એક અલગ કાર્યને સતત એકમાં રૂપાંતરિત કરવું. ઇમેજ પ્રોસેસિંગ ટૂલબોક્સનું વર્ણન

ફોરિયર પરિવર્તન

ઘણા સિગ્નલોનું વિઘટન કરીને તેમને સાઇનસૉઇડ્સ (હાર્મોનિક્સ) માં પૃથ્થકરણ કરવું અનુકૂળ છે. આના અનેક કારણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, માનવ કાન સમાન રીતે કામ કરે છે. તે વિવિધ ફ્રીક્વન્સીઝના વ્યક્તિગત સ્પંદનોમાં ધ્વનિનું વિઘટન કરે છે. વધુમાં, તે બતાવી શકાય છે કે સાઇનુસોઇડ્સ " પોતાના કાર્યો» રેખીય સિસ્ટમો (જ્યારથી તેઓ પસાર થાય છે રેખીય સિસ્ટમો, આકાર બદલ્યા વિના, પરંતુ માત્ર તબક્કા અને કંપનવિસ્તાર બદલી શકે છે). બીજું કારણ એ છે કે કોટેલનિકોવનું પ્રમેય સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમના સંદર્ભમાં ઘડવામાં આવ્યું છે.

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ) એ ફંક્શનનું સાઇનસૉઇડ્સમાં વિઘટન છે (ત્યારબાદ આપણે કોસાઇન ફંક્શન્સને સાઇનસૉઇડ્સ પણ કહીએ છીએ, કારણ કે તેઓ ફક્ત તબક્કામાં જ "વાસ્તવિક" સાઇનસૉઇડ્સથી અલગ પડે છે). ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ઘણા પ્રકારો છે.

1. બિન-સામયિક સતત સંકેતફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ માં વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

2. સામયિક સતત સિગ્નલને અનંત ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

3. બિન-સામયિક અલગ સિગ્નલને ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

4. સામયિક અલગ સિગ્નલને મર્યાદિત ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

કમ્પ્યુટર મર્યાદિત માત્રામાં ડેટા સાથે જ કામ કરી શકે છે, તેથી, તે ખરેખર માત્ર છેલ્લા પ્રકારના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરી શકે છે. ચાલો તેના પર નજીકથી નજર કરીએ.

વાસ્તવિક સંકેત DFT

એક અલગ સિગ્નલ x નો સમયગાળો N પોઈન્ટ ધરાવો. આ કિસ્સામાં, તેને અલગ સાઇનુસોઇડ્સની મર્યાદિત શ્રેણી (એટલે ​​​​કે, રેખીય સંયોજન) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

સમકક્ષ સંકેત (આપણે દરેક કોસાઈનને સાઈન અને કોસાઈનમાં વિઘટિત કરીએ છીએ, પરંતુ હવે તબક્કા વગર):

ચોખા. 6. 8-પોઇન્ટ માટે ફ્યુરિયર શ્રેણીના આધાર કાર્યો સ્વતંત્ર સંકેત. ડાબી બાજુએ કોસાઇન્સ છે, જમણી બાજુએ સાઇન છે. ફ્રીક્વન્સીઝ ઉપરથી નીચે સુધી વધે છે.

મૂળભૂત સાઇનુસોઇડ્સમાં બહુવિધ ફ્રીક્વન્સી હોય છે. શ્રેણીનું પ્રથમ પદ (k = 0) એક સ્થિર કહેવાય છે સતત ઘટક(DC ઑફસેટ) સિગ્નલ. ખૂબ જ પ્રથમ સાઇનસૉઇડ (k = 1) ની એવી આવર્તન છે કે તેનો સમયગાળો મૂળ સિગ્નલના સમયગાળા સાથે મેળ ખાય છે. સૌથી વધુ આવર્તન ઘટક (k =N /2) ની આવર્તન એવી છે કે તેનો સમયગાળો બે ગણતરીઓ જેટલો છે. ગુણાંક A k અને

B k ને સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ (સ્પેક્ટ્રમ) કહેવામાં આવે છે. તેઓ સી-ના કંપનવિસ્તાર દર્શાવે છે.

નુસોઇડ્સ જે સિગ્નલ બનાવે છે. ફ્યુરિયર વિસ્તરણથી બે સંલગ્ન સાઇનસૉઇડ્સ વચ્ચેની આવર્તન પગલું કહેવામાં આવે છે આવર્તન રીઝોલ્યુશનસ્પેક્ટ્રમ

ફિગ માં. આકૃતિ 6 બતાવે છે કે 8 પોઈન્ટથી અલગ સિગ્નલને વિઘટિત કરવા માટે વપરાતા સિનુસોઈડ્સ. દરેક સિનુસોઇડ્સમાં 8 પોઈન્ટ હોય છે, એટલે કે, તે એક સામાન્ય અલગ સિગ્નલ છે. સ્પષ્ટતા માટે આકૃતિમાં સતત સાઇનુસોઇડ્સ બતાવવામાં આવ્યા છે.

દરેક બિંદુ પર ફ્યુરિયર શ્રેણીના સરવાળાની ગણતરી કરીને મૂળ સિગ્નલને કન્વર્ટ કરો. સિગ્નલને સાઇનસૉઇડ્સમાં વિઘટન કરવું (એટલે ​​​​કે ગુણાંક મેળવવું) કહેવાય છે ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. વિપરીત પ્રક્રિયા - sinusoids નો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલ સંશ્લેષણ - કહેવામાં આવે છે ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ(વિપરીત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ).

ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટેનું અલ્ગોરિધમ સ્પષ્ટ છે (તે ફૌરીયર શ્રેણીના સૂત્રમાં સમાયેલું છે; સંશ્લેષણ કરવા માટે, તમારે ફક્ત તેમાં ગુણાંકને બદલવાની જરૂર છે). ચાલો અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ સીધું રૂપાંતરફોરિયર, એટલે કે. A k અને B k ગુણાંક શોધવી.

પીરિયડ N સાથે સામયિક અલગ સિગ્નલોની જગ્યામાં ટોગોનલ આધાર. આનો અર્થ એ છે કે તેમાં અવકાશના કોઈપણ તત્વ (સિગ્નલ) ને વિઘટિત કરવા માટે, તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે ડોટ ઉત્પાદનોસિસ્ટમના તમામ કાર્યો સાથે આ તત્વ, અને પરિણામી ગુણાંક સામાન્ય કરવામાં આવે છે. પછી A k અને B k ગુણાંક સાથેનો આધાર વિસ્તરણ સૂત્ર મૂળ સિગ્નલ માટે માન્ય રહેશે.

તેથી, ગુણાંક A k અને B k ની ગણતરી સ્કેલર ઉત્પાદનો તરીકે કરવામાં આવે છે (બિન-

અવ્યવસ્થિત કેસમાં - વિધેયોના ઉત્પાદનના અભિન્ન ભાગો, અલગ કિસ્સામાં

- અલગ સંકેતોના ઉત્પાદનમાંથી સરવાળો):

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ

દ્વિ-પરિમાણીય ક્ષેત્ર (દ્વિ-પરિમાણીય સિગ્નલ) પંક્તિઓ અને કૉલમના કદની એક અલગ છબીનું વર્ણન કરે છે. ઉલ્લેખિત મર્યાદાની બહાર, આ સંકેત વ્યાખ્યાયિત નથી. ચાલો દ્વિ-પરિમાણીય સામયિક સંકેત રજૂ કરીને આ મર્યાદિત સિગ્નલનું સામયિક ચાલુ રાખીએ.

. (3.21)

જો સિગ્નલ તત્વોની બાજુઓ (ફિગ. 3.4.a) સાથે લંબચોરસની અંદર જ અસ્તિત્વમાં હોય, તો સિગ્નલ સમગ્ર પ્લેન પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેના પર લંબચોરસ સામયિક હોય છે (ફિગ. 3.4.b).

કોઈપણ સામયિક સંકેતને ફોરિયર શ્રેણી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, પરંતુ, એક-પરિમાણીય સંકેતોથી વિપરીત, દ્વિ-પરિમાણીય સંકેતોનું વર્ણન દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર શ્રેણી દ્વારા કરવામાં આવે છે, જેનું સ્વરૂપ છે:

આ દ્વિ-પરિમાણીય રજૂઆતના આધાર કાર્યો બે-પરિમાણીય જટિલ ઘાતાંકીય છે (કેટલીકવાર જટિલ સાઇનુસોઇડ્સ કહેવાય છે)

(3.23)

સિગ્નલની જેમ, સમાન સમયગાળા સાથે લંબચોરસ સામયિકતા ધરાવે છે. અહીં (,) એ બેઝિસ ફંક્શનની દ્વિ-પરિમાણીય સંખ્યા છે, અને જથ્થાઓનો અર્થ અવકાશી ફ્રીક્વન્સીઝ છે. ક્યારેક પૂર્ણાંક જથ્થા અને અવકાશી આવર્તન કહેવાય છે.

શ્રેણીના ફોરિયર ગુણાંક (3.22) દ્વિ-પરિમાણીય બનાવે છે આવર્તન સ્પેક્ટ્રમસિગ્નલ અને ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટેના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

(3.24)

અભિવ્યક્તિ (3.22), જે તેના સ્પેક્ટ્રમમાંથી સિગ્નલને પુનઃસ્થાપિત કરે છે, તે વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. રૂપાંતરણની માન્યતા (3.22) અને (3.24), જેને દ્વિ-પરિમાણીય DFT કહેવાય છે, (3.24) ને (3.22) માં બદલીને અને લાવીને ચકાસી શકાય છે. જમણી બાજુડાબી બાજુના મૂલ્યની પરિણામી સમાનતા, એટલે કે. થી .

નોંધ કરો કે FFT સૂત્રો અનુસાર તત્વોના દ્વિ-પરિમાણીય સમયગાળા સાથેના અલગ સિગ્નલની સચોટ રજૂઆત માટે, આધાર કાર્યોની મર્યાદિત સંખ્યા (3.23) પર્યાપ્ત છે - શ્રેણી (3.22) મર્યાદિત છે. આ સમજી શકાય તેવું છે, કારણ કે રજૂ કરેલ સિગ્નલ પોતે એક સમયગાળામાં સમાવે છે અંતિમ સંખ્યાપોઈન્ટ, એટલે કે સ્વતંત્રતાની મર્યાદિત સંખ્યામાં ડિગ્રી ધરાવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે સ્પેક્ટ્રમમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સિગ્નલમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાથી અલગ હોઈ શકતી નથી.

ચાલો આપણે દ્વિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર ફોરિયર સ્પેક્ટ્રમના સૌથી આવશ્યક ગુણધર્મો પર ધ્યાન આપીએ. ચાલો આવર્તન બિંદુઓ પર સ્પેક્ટ્રલ ગુણાંક (3.24) ની ગણતરી કરીએ :

કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્યો અને પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં છેલ્લો પરિબળ હોવાથી એક સમાન, તો પછી આપણી પાસે સમાનતા છે:

,

દ્વિ-પરિમાણીય DFT ની લંબચોરસ સામયિકતા દર્શાવે છે. પરિણામે, દ્વિ-પરિમાણીય ડીએફટીનું ચિત્ર દ્વિ-પરિમાણીય સમયાંતરે સતત સિગ્નલના ચિત્ર જેવું જ છે, જે ફિગમાં ગુણાત્મક રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે. 3.4.b (જો તેના પરના અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ ફ્રીક્વન્સીવાળાઓ દ્વારા બદલવામાં આવે તો). જો કે, તે ધ્યાનમાં રાખવું આવશ્યક છે કે સ્પેક્ટ્રલ ગુણાંક, (3.24) માંથી નીચે મુજબ છે, વાસ્તવિક સિગ્નલ સહિત જટિલ સંખ્યાઓ છે. પણ પછી પ્રશ્ન ઉભો થાય છે. સ્પેક્ટ્રલ ઘટકોની કુલ સંખ્યા જોવા મળે છે. જટિલ સંખ્યા વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડીની સમકક્ષ છે - બીજગણિત સંકેતમાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો અથવા ઘાતાંકીય સંકેતમાં મોડ્યુલસ અને તબક્કા. તેથી, સંપૂર્ણ સ્પેક્ટ્રમ વર્ણવેલ છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જે સિગ્નલના જ પરિમાણ કરતાં બમણું છે. પ્રથમ નજરમાં, આમાં વિરોધાભાસ છે. તે દ્વિ-પરિમાણીય DFT ના ગુણધર્મોના વધુ અભ્યાસ સાથે તેની સ્પષ્ટતા શોધે છે.

ચાલો નીચે પ્રમાણે સંબંધ (3.25) ને રૂપાંતરિત કરીએ. પ્રથમ, ફ્રીક્વન્સીઝને બદલે, ચાલો ફ્રીક્વન્સીઝને બદલીએ. બીજું, અમે બંને ભાગોનું જટિલ જોડાણ કરીશું, જે સમાનતાનું ઉલ્લંઘન કરશે નહીં. પરિણામે, અભિવ્યક્તિ મેળવવાનું સરળ છે:

,

જે સ્પેક્ટ્રલ લંબચોરસના બે જુદા જુદા બિંદુઓ પર વર્ણપટ ગુણાંક વચ્ચે અસ્પષ્ટ જોડાણ સ્થાપિત કરે છે. પરિણામી સંબંધ વિરોધાભાસને દૂર કરે છે, કારણ કે આ સ્પેક્ટ્રલ સપ્રમાણતાને કારણે સ્વતંત્ર સ્પેક્ટ્રલ ગુણાંકની સંખ્યા અડધાથી ઓછી થાય છે. સ્થાપિત મિલકત અનુસાર, લંબચોરસના ઉપલા ડાબા અને નીચલા જમણા ખૂણાઓ સાથે જોડાયેલા વર્ણપટના ગુણાંક સ્પેક્ટ્રલ સંયુક્ત અવલંબન દ્વારા જોડાયેલા છે. તેવી જ રીતે, વર્ણપટના લંબચોરસના ઉપરના જમણા અને નીચલા ડાબા વિભાગોમાંથી ફ્યુરિયર ગુણાંક પણ એકબીજા સાથે સંબંધિત છે.

આ ફકરાના અંતે, અમે નિર્દેશ કરીએ છીએ કે જ્યારે વ્યવહારુ એપ્લિકેશનદ્વિ-પરિમાણીય DFT - પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત બંને, સામયિક સંકેતો અને સ્પેક્ટ્રા સાથે કામ કરવાની જરૂર નથી, જેમ કે રૂપાંતરણ (3.22) અને (3.24) દ્વારા ધારવામાં આવે છે. સંબંધો (3.22) અને (3.24) પોતે આ જરૂરિયાતને દૂર કરે છે. વાસ્તવમાં, ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (3.24) જમણી બાજુએ ફક્ત એક "મુખ્ય" લંબચોરસમાં સમયાંતરે ચાલુ સિગ્નલના મૂલ્યો ધરાવે છે. પરંતુ આ મર્યાદાઓની અંદર, મૂળ અને સમયાંતરે ચાલુ સિગ્નલો સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે, જે ફોર્મ્યુલામાં મૂળ સિગ્નલનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે (3.24). વિપરીત રૂપાંતરણ (3.22) વિશે સમાન સ્પષ્ટતા કરી શકાય છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે ગણતરીની પ્રક્રિયામાં વ્યવહારીક રીતે સંબંધિત સ્પેક્ટ્રમના "મુખ્ય" ભાગ સાથે કામ કરવું જોઈએ. સ્પેક્ટ્રલ પ્રદેશ.

કરવામાં આવેલા ખુલાસાઓમાંથી, જેનું માત્ર સંપૂર્ણ ગણતરીત્મક મહત્વ છે, કોઈએ ધ્યાનમાં લેવાયેલી કૃત્રિમતા અને નકામીતા વિશે કોઈ નિષ્કર્ષ ન કાઢવો જોઈએ. ગાણિતિક મોડેલોસામયિક ક્ષેત્રો. છબીઓ પર પ્રક્રિયા કરતી વખતે, અસંખ્ય સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે, જેનું યોગ્ય અર્થઘટન અને ઉકેલ ફક્ત આ ગાણિતિક અર્થઘટનના આધારે જ શક્ય છે. આમાંથી એક સૌથી મહત્વપૂર્ણ કાર્યોસ્પેક્ટ્રલ ડોમેનમાં ડિજિટલ દ્વિ-પરિમાણીય ફિલ્ટરિંગ છે, જેનું અમલીકરણ કહેવાતા ચક્રીય સંક્રમણના અમલીકરણ સાથે સંકળાયેલું છે.

આધુનિક સંચાર ટેકનોલોજી વિના કલ્પના કરી શકાતી નથી સ્પેક્ટ્રલ વિશ્લેષણ. માં સંકેતોનું પ્રતિનિધિત્વ આવર્તન ડોમેનતેમની લાક્ષણિકતાઓના વિશ્લેષણ માટે અને રેડિયો કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સના ટ્રાન્સસીવર્સના બ્લોક્સ અને એકમોના વિશ્લેષણ માટે બંને જરૂરી છે. સિગ્નલોને ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ થાય છે. ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે સામાન્ય સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

આવર્તન વિશ્લેષણ માટેના આ સૂત્રમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, ગણતરી કરવામાં આવે છે સહસંબંધ અવલંબનઆપેલ આવર્તન પર સમયના ડોમેનમાં રજૂ કરાયેલ સિગ્નલ અને જટિલ ઘાતાંકીય વચ્ચે. આ કિસ્સામાં, યુલરના સૂત્ર મુજબ, જટિલ ઘાતાંકીય વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગમાં વિઘટિત થાય છે:

ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં દર્શાવવામાં આવતા સિગ્નલને ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને ટાઇમ ડોમેનમાં પાછું રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ લખાયેલ છે:

ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોર્મ્યુલા માઈનસ અનંતથી અનંત સુધી સમયના એકીકરણનો ઉપયોગ કરે છે. સ્વાભાવિક રીતે આ એક ગાણિતિક અમૂર્ત છે. IN વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓથી સંકલિત કરી શકીએ છીએ આ ક્ષણેસમય, જેને આપણે સમય T પહેલા 0 તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ. ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટેનું સૂત્ર નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થશે:

પરિણામે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ગુણધર્મો નોંધપાત્ર રીતે બદલાય છે. તેના બદલે સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ સતત કાર્ય મૂલ્યોની એક અલગ શ્રેણી બની જાય છે. હવે લઘુત્તમ આવર્તન અને તે જ સમયે સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમના આવર્તન મૂલ્યોનું પગલું બને છે:

માત્ર કાર્યો પાપઅને ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે cos k/Tપરસ્પર ઓર્થોગોનલ હશે, અને આ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે અનિવાર્ય સ્થિતિ છે. ફ્યુરિયર શ્રેણીના વિસ્તરણના પ્રથમ કાર્યોનો સમૂહ આકૃતિ 1 માં બતાવવામાં આવ્યો છે. આ કિસ્સામાં, કાર્યોની અવધિ વિશ્લેષણની અવધિ સાથે એકરુપ છે. ટી.

હવે સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ આકૃતિ 2 માં બતાવ્યા પ્રમાણે દેખાશે.

IN આ કિસ્સામાંડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (4) ની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે:

મર્યાદિત સમયગાળામાં સ્પેક્ટ્રમ નક્કી કરવાના કિસ્સામાં વ્યસ્ત ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાશે:

એ જ રીતે, તમે ડિજિટલ સિગ્નલ નમૂનાઓ માટે ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે સૂત્ર નક્કી કરી શકો છો. સતત સિગ્નલને બદલે તેના ડિજિટલ નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અભિવ્યક્તિ (6) માં અવિભાજ્યને સરવાળો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, વિશ્લેષણ કરેલ સિગ્નલની અવધિ ડિજિટલ નમૂનાઓની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે એન. ડિજિટલ સિગ્નલ નમૂનાઓ માટે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છેઅને નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

હવે ચાલો જોઈએ કે મર્યાદિત સમય અંતરાલમાં ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની તુલનામાં ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (DFT) ના ગુણધર્મો કેવી રીતે બદલાયા છે. જ્યારે અમે એનાલોગ સિગ્નલ સેમ્પલિંગ પર જોયું, ત્યારે અમે શીખ્યા કે ઇનપુટ સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ આવર્તન મર્યાદિત હોવું જોઈએ. આ જરૂરિયાત સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમના અલગ ઘટકોની સંખ્યાને મર્યાદિત કરે છે. શરૂઆતમાં એવું લાગે છે કે આપણે સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમને ફ્રીક્વન્સી સુધી મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ f d/2, જે આવર્તન ઘટકોની સંખ્યાને અનુરૂપ છે K=N/2. જોકે, આ સાચું નથી. સકારાત્મક ફ્રીક્વન્સીઝ અને નેગેટિવ ફ્રીક્વન્સીઝ માટે વાસ્તવિક સિગ્નલ સેમ્પલ માટે સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ લગભગ 0 સપ્રમાણ હોય છે, કેટલાક સ્પેક્ટ્રમ અલ્ગોરિધમ્સ માટે નેગેટિવ ફ્રીક્વન્સીની જરૂર પડી શકે છે, જેમ કે. ઇનપુટ સિગ્નલના જટિલ નમૂનાઓ પર સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરતી વખતે તફાવત એ પણ વધારે છે. માટે પરિણામે સંપૂર્ણ વર્ણનડિજિટલ સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ જરૂરી છે એનઆવર્તન નમૂનાઓ ( k = 0, ..., N/2).

હું માનું છું કે બધું જ છે સામાન્ય રૂપરેખાફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ જેવા અદ્ભુત ગાણિતિક સાધનના અસ્તિત્વ વિશે જાણો. જો કે, કેટલાક કારણોસર તે યુનિવર્સિટીઓમાં એટલી નબળી રીતે શીખવવામાં આવે છે કે પ્રમાણમાં ઓછા લોકો સમજે છે કે આ પરિવર્તન કેવી રીતે કાર્ય કરે છે અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો જોઈએ. દરમિયાન, આ પરિવર્તનનું ગણિત આશ્ચર્યજનક રીતે સુંદર, સરળ અને ભવ્ય છે. હું દરેકને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અને કેવી રીતે સંબંધિત વિષય વિશે થોડું વધુ જાણવા માટે આમંત્રિત કરું છું એનાલોગ સંકેતોકોમ્પ્યુટેશનલ પ્રોસેસિંગ માટે અસરકારક રીતે ડિજિટલમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.

કોઈ ઉપયોગ નથી જટિલ સૂત્રોઅને Matlab હું નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશ:

• FT, DTF, DTFT - શું તફાવત છે અને કેવી રીતે દેખીતી રીતે સંપૂર્ણપણે અલગ ફોર્મ્યુલા આવા કલ્પનાત્મક રીતે સમાન પરિણામો આપે છે?
• પરિણામોનું યોગ્ય અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું ઝડપી રૂપાંતરફોરિયર (FFT)
• જો તમને 179 નમૂનાઓનો સંકેત આપવામાં આવે અને FFT ને લંબાઈના ઇનપુટ ક્રમની જરૂર હોય તો શું કરવું સમાન રીતે deuces
• શા માટે, જ્યારે અપેક્ષિત સિંગલ “સ્ટીક” ને બદલે, ફોરિયરનો ઉપયોગ કરીને સાઇનસૉઇડનું સ્પેક્ટ્રમ મેળવવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ગ્રાફ પર એક વિચિત્ર સ્ક્વિગલ દેખાય છે અને તેના વિશે શું કરી શકાય છે
• શા માટે એનાલોગ ફિલ્ટર્સ ADC પહેલા અને DAC પછી મૂકવામાં આવે છે?
• શું સેમ્પલિંગ ફ્રિકવન્સી કરતાં અડધા કરતાં વધુ આવર્તન સાથે ADC સિગ્નલને ડિજિટાઇઝ કરવું શક્ય છે (શાળાનો જવાબ ખોટો છે, સાચો જવાબ શક્ય છે)
• ડિજિટલ સિક્વન્સનો ઉપયોગ કરીને મૂળ સિગ્નલને કેવી રીતે પુનઃસ્થાપિત કરવું

હું એ ધારણાથી આગળ વધીશ કે વાચક સમજે છે કે અવિભાજ્ય શું છે, એક જટિલ સંખ્યા (તેમજ તેનું મોડ્યુલસ અને દલીલ), ફંક્શન્સનું કન્વ્યુલેશન, વત્તા ડિરાક ડેલ્ટા ફંક્શન શું છે તેનો ઓછામાં ઓછો "હેન્ડ-ઓન" વિચાર. છે. જો તમને ખબર નથી, તો કોઈ વાંધો નથી, ઉપરની લિંક્સ વાંચો. માં "કાર્યોનું ઉત્પાદન" હેઠળ આ લખાણહું દરેક જગ્યાએ “બિંદુ પ્રમાણે ગુણાકાર” સમજીશ

આપણે કદાચ એ હકીકતથી શરૂઆત કરવી જોઈએ કે સામાન્ય રૂપાંતરફ્યુરિયર એ એક પ્રકારની વસ્તુ છે જે તમે નામ પરથી અનુમાન લગાવી શકો છો, કેટલાક ફંક્શનને અન્યમાં રૂપાંતરિત કરે છે, એટલે કે, વાસ્તવિક ચલ x(t) ના દરેક ફંક્શનને તેના સ્પેક્ટ્રમ અથવા ફૌરિયર ઈમેજ y(w) સાથે સાંકળે છે:

જો આપણે સામ્યતા આપીએ, તો અર્થમાં સમાન પરિવર્તનનું ઉદાહરણ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ભિન્નતા, ફંક્શનને તેના વ્યુત્પન્નમાં ફેરવવું. એટલે કે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ આવશ્યકપણે ડેરિવેટિવ લેવા જેવું જ ઓપરેશન છે, અને તે ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે. એ જ રીતે, ફંક્શન પર ત્રિકોણાકાર "કેપ" દોરો. માત્ર ભિન્નતાથી વિપરીત, જેને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ હંમેશા વધુ સામાન્ય જટિલ સંખ્યાઓ સાથે "કાર્ય કરે છે". આ કારણે, આ રૂપાંતરણના પરિણામો પ્રદર્શિત કરવામાં હંમેશા સમસ્યાઓ હોય છે, ત્યારથી જટિલ સંખ્યાઓએક દ્વારા નહીં, પરંતુ ઓપરેટિંગ પરના બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓગ્રાફિક્સ એક નિયમ તરીકે, જટિલ સંખ્યાઓને મોડ્યુલસ અને દલીલના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી અને તેમને બે અલગ ગ્રાફ તરીકે અલગથી દોરવા તે સૌથી અનુકૂળ છે:

જટિલ મૂલ્યની દલીલના ગ્રાફને ઘણીવાર આ કિસ્સામાં "તબક્કો સ્પેક્ટ્રમ" કહેવામાં આવે છે, અને મોડ્યુલસના ગ્રાફને ઘણીવાર "કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ" કહેવામાં આવે છે. કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ સામાન્ય રીતે વધુ રસ ધરાવે છે, અને તેથી સ્પેક્ટ્રમનો "તબક્કો" ભાગ ઘણીવાર છોડવામાં આવે છે. આ લેખમાં આપણે "કંપનવિસ્તાર" વસ્તુઓ પર પણ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, પરંતુ આપણે ગ્રાફના ગુમ થયેલ તબક્કાના ભાગના અસ્તિત્વ વિશે ભૂલવું જોઈએ નહીં. વધુમાં, સામાન્ય જટિલ મૂલ્ય મોડ્યુલને બદલે, તે ઘણીવાર દોરવામાં આવે છે દશાંશ લઘુગણક 10 વડે ગુણાકાર. પરિણામ ડેસિબલ્સ (dB) માં પ્રદર્શિત મૂલ્યો સાથેનો લઘુગણક ગ્રાફ છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ખૂબ જ નહીં નકારાત્મક સંખ્યાઓલઘુગણક ગ્રાફ (-20 ડીબી અથવા ઓછું) વ્યવહારીક રીતે અનુરૂપ છે શૂન્ય સંખ્યાઓ"સામાન્ય" ચાર્ટ પર. તેથી, આવા ગ્રાફ પરના વિવિધ સ્પેક્ટ્રાની લાંબી અને પહોળી "પૂંછડીઓ", જ્યારે "સામાન્ય" કોઓર્ડિનેટ્સમાં પ્રદર્શિત થાય છે, ત્યારે નિયમ પ્રમાણે, વ્યવહારીક રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. પ્રથમ નજરે રજૂઆતમાં આવી વિચિત્રતાની સગવડ એ હકીકત પરથી ઊભી થાય છે કે ફ્યુરિયર છબીઓ વિવિધ કાર્યોઘણીવાર તે એકબીજામાં ગુણાકાર કરવા માટે જરૂરી છે. જટિલ-મૂલ્યવાળી ફ્યુરિયર છબીઓના આવા બિંદુવાર ગુણાકાર સાથે, તેમના તબક્કાના સ્પેક્ટ્રા ઉમેરવામાં આવે છે, અને તેમના કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રાનો ગુણાકાર થાય છે. પ્રથમ કરવું સરળ છે, જ્યારે બીજું પ્રમાણમાં મુશ્કેલ છે. જો કે, કંપનવિસ્તારનો ગુણાકાર કરતી વખતે કંપનવિસ્તારના લઘુગણકનો ઉમેરો થાય છે, તેથી લઘુગણક આલેખકંપનવિસ્તાર, જેમ કે તબક્કાના આલેખ, ફક્ત બિંદુ દ્વારા બિંદુ ઉમેરી શકાય છે. વધુમાં, માં વ્યવહારુ સમસ્યાઓસિગ્નલના "કંપનવિસ્તાર" સાથે નહીં, પરંતુ તેની "શક્તિ" (કંપનવિસ્તારનો ચોરસ) સાથે કામ કરવું ઘણીવાર વધુ અનુકૂળ હોય છે. ચાલુ લઘુગણક સ્કેલબંને આલેખ (કંપનવિસ્તાર અને શક્તિ) સમાન દેખાય છે અને માત્ર ગુણાંકમાં જ ભિન્ન છે - પાવર ગ્રાફ પરના તમામ મૂલ્યો કંપનવિસ્તાર સ્કેલ કરતા બમણા મોટા હોય છે. તદનુસાર, આવર્તન (ડેસિબલ્સમાં) દ્વારા પાવર વિતરણને કાવતરું કરવા માટે, તમે કંઈપણ ચોરસ કરી શકતા નથી, પરંતુ દશાંશ લઘુગણકની ગણતરી કરો અને તેને 20 વડે ગુણાકાર કરો.

તમે કંટાળી ગયા છો? થોડી વાર રાહ જુઓ, અમે ટૂંક સમયમાં આલેખનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું તે સમજાવતા લેખના કંટાળાજનક ભાગ સાથે પૂર્ણ કરીશું :). પરંતુ તે પહેલાં, તમારે એક અત્યંત સમજવું જોઈએ મહત્વપૂર્ણ વસ્તુ: જો કે ઉપરોક્ત તમામ સ્પેક્ટ્રમ પ્લોટ અમુક મર્યાદિત શ્રેણીના મૂલ્યો માટે દોરવામાં આવ્યા હતા (ખાસ કરીને હકારાત્મક સંખ્યાઓ), આ તમામ પ્લોટ્સ વાસ્તવમાં પ્લસ અને માઈનસ અનંત સુધી ચાલુ રહે છે. આલેખ આલેખના કેટલાક "સૌથી અર્થપૂર્ણ" ભાગનું નિરૂપણ કરે છે, જે સામાન્ય રીતે પ્રતિબિંબિત થાય છે નકારાત્મક મૂલ્યોપરિમાણ અને મોટા પાયે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે ત્યારે ચોક્કસ પગલા સાથે સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થાય છે.

ગ્રાફ પર શું દોરવામાં આવ્યું છે તે નક્કી કર્યા પછી, ચાલો ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અને તેના ગુણધર્મો પર પાછા આવીએ. ત્યાં અનેક છે અલગ અલગ રીતેઆ રૂપાંતર કેવી રીતે નક્કી કરવું, નાની વિગતોમાં ભિન્ન (વિવિધ સામાન્યીકરણ). ઉદાહરણ તરીકે, અમારી યુનિવર્સિટીઓમાં, કેટલાક કારણોસર, તેઓ વારંવાર ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મના સામાન્યકરણનો ઉપયોગ કરે છે, જે કોણીય આવર્તન (રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ) ના સંદર્ભમાં સ્પેક્ટ્રમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. હું વધુ અનુકૂળ પશ્ચિમી ફોર્મ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરીશ જે સામાન્ય આવર્તન (હર્ટ્ઝ) ના સંદર્ભમાં સ્પેક્ટ્રમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ડાયરેક્ટ અને વ્યસ્ત રૂપાંતરઆ કિસ્સામાં ફોરિયર ડાબી બાજુના સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને આ પરિવર્તનના કેટલાક ગુણધર્મો કે જેની આપણને જરૂર પડશે તે જમણી બાજુના સાત બિંદુઓની સૂચિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

આ ગુણધર્મોમાં પ્રથમ રેખીયતા છે. જો આપણે ફંક્શનનું અમુક રેખીય સંયોજન લઈએ, તો આ સંયોજનનું ફોરિયર રૂપાંતરણ આ ફંકશનની ફોરિયર ઈમેજનો સમાન રેખીય સંયોજન હશે. આ મિલકત તમને ઘટાડવા માટે પરવાનગી આપે છે જટિલ કાર્યોઅને તેમના ફોરિયર સરળ લોકોમાં પરિવર્તિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રિક્વન્સી f અને કંપનવિસ્તાર a સાથેના સિનુસાઈડલ ફંક્શનનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ બે ડેલ્ટા ફંક્શન્સનું સંયોજન છે જે f અને -f બિંદુઓ પર સ્થિત છે અને a/2 ગુણાંક સાથે છે:

જો આપણે અલગ-અલગ ફ્રીક્વન્સીઝવાળા સાઇનસૉઇડ્સના સમૂહનો સમાવેશ કરતું ફંક્શન લઈએ, તો રેખીયતાના ગુણધર્મ અનુસાર, આ ફંક્શનના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં ડેલ્ટા ફંક્શનના અનુરૂપ સમૂહનો સમાવેશ થશે. આ અમને સિદ્ધાંત અનુસાર સ્પેક્ટ્રમનું નિષ્કપટ પરંતુ દ્રશ્ય અર્થઘટન આપવા દે છે “જો ફંક્શન ફ્રીક્વન્સીના સ્પેક્ટ્રમમાં f કંપનવિસ્તાર a ને અનુલક્ષે છે, તો મૂળ કાર્યને સિનુસોઇડ્સના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી એક હશે. ફ્રિક્વન્સી f અને કંપનવિસ્તાર 2a સાથેનો સાઇનસૉઇડ." કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, આ અર્થઘટન ખોટું છે, કારણ કે ડેલ્ટા ફંક્શન અને ગ્રાફ પરનો બિંદુ સંપૂર્ણપણે અલગ વસ્તુઓ છે, પરંતુ જેમ આપણે પછી જોઈશું, સ્વતંત્ર ફ્યુરિયર રૂપાંતરણ માટે તે સત્યથી દૂર રહેશે નહીં.

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની બીજી મિલકત એ છે કે સિગ્નલના સમયની પાળીમાંથી કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમની સ્વતંત્રતા. જો આપણે કોઈ ફંક્શનને x-અક્ષ સાથે ડાબી કે જમણી તરફ લઈ જઈએ, તો માત્ર તેના તબક્કા સ્પેક્ટ્રમ બદલાશે.

ત્રીજી ગુણધર્મ એ છે કે સમય અક્ષ (x) ની સાથે મૂળ ફંક્શનને સ્ટ્રેચિંગ (સંકુચિત કરવું) ફ્રિક્વન્સી સ્કેલ (w) સાથે તેની ફોરિયર ઈમેજને પ્રમાણસર સંકુચિત કરે છે (લંબાય છે). ખાસ કરીને, મર્યાદિત અવધિના સિગ્નલનું વર્ણપટ હંમેશા અનંત પહોળું હોય છે અને તેનાથી વિપરીત, મર્યાદિત પહોળાઈના સ્પેક્ટ્રમ હંમેશા અમર્યાદિત સમયગાળાના સંકેતને અનુરૂપ હોય છે.

ચોથા અને પાંચમા ગુણધર્મો કદાચ બધામાં સૌથી વધુ ઉપયોગી છે. તેઓ ફંક્શનના કન્વોલ્યુશનને તેમની ફ્યુરિયર ઈમેજોના પોઈન્ટવાઈઝ ગુણાકારમાં ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે અને તેનાથી વિપરિત - ફંક્શનના પોઈન્ટવાઈઝ ગુણાકારને તેમની ફ્યુરિયર ઈમેજીસના કન્વ્યુલેશનમાં ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે. થોડું આગળ હું બતાવીશ કે આ કેટલું અનુકૂળ છે.

છઠ્ઠી મિલકત ફોરિયર છબીઓની સમપ્રમાણતા વિશે બોલે છે. ખાસ કરીને, આ ગુણધર્મમાંથી તે અનુસરે છે કે વાસ્તવિક-મૂલ્યવાળું કાર્ય (એટલે ​​​​કે, કોઈપણ "વાસ્તવિક" સિગ્નલ) ના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમહંમેશા છે સમ કાર્ય, અને તબક્કો સ્પેક્ટ્રમ (જો શ્રેણીમાં લાવવામાં આવે તો -pi...pi) વિચિત્ર છે. તે આ કારણોસર છે કે સ્પેક્ટ્રા લગભગ ક્યારેય ગ્રાફ પર દોરવામાં આવતા નથી. નકારાત્મક ભાગસ્પેક્ટ્રમ - વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન સંકેતો માટે તે કોઈ પ્રદાન કરતું નથી નવી માહિતી(પરંતુ, હું પુનરાવર્તન કરું છું, તે શૂન્ય પણ નથી).

છેલ્લે, છેલ્લી, સાતમી મિલકત, કહે છે કે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સિગ્નલની "ઊર્જા" સાચવે છે. તે ફક્ત મર્યાદિત અવધિના સંકેતો માટે જ અર્થપૂર્ણ છે, જેની ઊર્જા મર્યાદિત છે, અને સૂચવે છે કે અનંત પર આવા સંકેતોનું સ્પેક્ટ્રમ ઝડપથી શૂન્યની નજીક આવે છે. તે ચોક્કસપણે આ ગુણધર્મને કારણે છે કે સ્પેક્ટ્રમ ગ્રાફ સામાન્ય રીતે સિગ્નલના ફક્ત "મુખ્ય" ભાગને દર્શાવે છે, જે ઊર્જાનો સિંહનો હિસ્સો ધરાવે છે - બાકીનો ગ્રાફ ફક્ત શૂન્ય તરફ વળે છે (પરંતુ, ફરીથી, શૂન્ય નથી).

આ 7 ગુણધર્મોથી સજ્જ, ચાલો સિગ્નલ "ડિજિટાઇઝેશન" ના ગણિતને જોઈએ, જે આપણને સતત સિગ્નલને સંખ્યાના ક્રમમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ કરવા માટે, આપણે "ડીરાક કોમ્બ" તરીકે ઓળખાતા ફંક્શન લેવાની જરૂર છે:

ડીરાક કોમ્બ એ એકતા ગુણાંક સાથે ડેલ્ટા ફંક્શનનો એક સામયિક ક્રમ છે, જે શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને સ્ટેપ T સાથે આગળ વધે છે. સિગ્નલને ડિજિટાઇઝ કરવા માટે, T શક્ય તેટલી નાની સંખ્યા તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

સતત કાર્યને બદલે, આવા ગુણાકાર પછી, ચોક્કસ ઊંચાઈના ડેલ્ટા સ્પંદનોનો ક્રમ પ્રાપ્ત થાય છે. તદુપરાંત, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની પ્રોપર્ટી 5 અનુસાર, પરિણામી ડિસક્રીટ સિગ્નલનું વર્ણપટ એ સંબંધિત ડિરાક કોમ્બ સાથે મૂળ સ્પેક્ટ્રમનું કન્વ્યુલેશન છે. તે સમજવું સરળ છે કે, કન્વોલ્યુશનના ગુણધર્મોના આધારે, મૂળ સિગ્નલના વર્ણપટને 1/T ના પગલા સાથે આવર્તન ધરી સાથે અનંત સંખ્યામાં "કૉપિ" કરવામાં આવે છે, અને પછી સારાંશ કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે જો મૂળ સ્પેક્ટ્રમની મર્યાદિત પહોળાઈ હોય અને અમે પૂરતા પ્રમાણમાં ઉચ્ચ સેમ્પલિંગ આવર્તનનો ઉપયોગ કર્યો હોય, તો મૂળ સ્પેક્ટ્રમની નકલો ઓવરલેપ થશે નહીં, અને તેથી એકબીજા સાથે સરવાળો થશે નહીં. તે સમજવું સરળ છે કે આવા "ભંગી" સ્પેક્ટ્રમમાંથી મૂળને પુનઃસ્થાપિત કરવું સરળ બનશે - તે ફક્ત શૂન્યના ક્ષેત્રમાં સ્પેક્ટ્રમ ઘટક લેવા માટે પૂરતું હશે, અનંતતા તરફ જતી વધારાની નકલોને "કાપીને". આ કરવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે શ્રેણી -1/2T...1/2T અને આ શ્રેણીની બહાર શૂન્યમાં T ની બરાબર લંબચોરસ ફંક્શન વડે સ્પેક્ટ્રમનો ગુણાકાર કરવો. આવા ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફંક્શન sinc(Tx) ને અનુલક્ષે છે અને ગુણધર્મ 4 મુજબ, આવા ગુણાકાર એ ફંક્શન sinc(Tx) સાથે ડેલ્ટા ફંક્શનના મૂળ ક્રમના કન્વ્યુલેશનની સમકક્ષ છે.

એટલે કે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે સમય-નમૂનાથી મૂળ સિગ્નલને સરળતાથી પુનઃનિર્માણ કરવાની એક રીત છે, જો કે અમે ઓછામાં ઓછા બે વાર સેમ્પલિંગ ફ્રીક્વન્સીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (સ્પેક્ટ્રમમાં નકારાત્મક ફ્રીક્વન્સીઝની હાજરીને કારણે) મૂળ સિગ્નલમાં હાજર મહત્તમ આવર્તન કરતાં વધુ. આ પરિણામ વ્યાપકપણે જાણીતું છે અને તેને "કોટેલનિકોવ/શેનોન-નાયક્વિસ્ટ પ્રમેય" કહેવામાં આવે છે. જો કે, હવે નોંધવું સરળ છે (સાબિતીને સમજવું), આ પરિણામ, વ્યાપક ગેરસમજની વિરુદ્ધ, નક્કી કરે છે પર્યાપ્ત, પરંતુ નહીં જરૂરીમૂળ સિગ્નલ પુનઃસ્થાપિત કરવા માટેની સ્થિતિ. અમારે માત્ર એ સુનિશ્ચિત કરવાની જરૂર છે કે સિગ્નલના નમૂના લીધા પછી સ્પેક્ટ્રમનો જે ભાગ આપણને રુચિ ધરાવે છે તે એકબીજાને ઓવરલેપ ન કરે, અને જો સિગ્નલ પૂરતા પ્રમાણમાં સાંકડી હોય (સ્પેક્ટ્રમના બિન-શૂન્ય ભાગની નાની "પહોળાઈ" હોય), પછી આ પરિણામ ઘણીવાર સિગ્નલની મહત્તમ આવર્તન કરતાં બમણી ઓછી સેમ્પલિંગ આવર્તન પર પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ તકનીકને "અંડરસેમ્પલિંગ" (સબસેમ્પલિંગ, બેન્ડપાસ સેમ્પલિંગ) કહેવામાં આવે છે અને તમામ પ્રકારના રેડિયો સિગ્નલની પ્રક્રિયામાં તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ફ્રિક્વન્સી બેન્ડમાં 88 થી 108 MHz સુધી કાર્યરત FM રેડિયો લઈએ, તો તેને ડિજિટાઈઝ કરવા માટે આપણે કોટેલનિકોવના પ્રમેય દ્વારા ધારેલા 216 MHz ને બદલે માત્ર 43.5 MHz ની આવર્તન સાથે ADC નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, જો કે, તમારે ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળા ADC અને સારા ફિલ્ટરની જરૂર પડશે.

મને નોંધ લેવા દો કે નીચા ઓર્ડરની ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝનું "ડુપ્લિકેશન" એ સિગ્નલ સેમ્પલિંગની તાત્કાલિક મિલકત છે જે પરિણામને બદલી ન શકાય તેવી રીતે "બગાડે છે". તેથી, જો સિગ્નલ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉચ્ચ-ઓર્ડર ફ્રીક્વન્સીઝ (એટલે ​​​​કે, લગભગ હંમેશા) સમાવી શકે છે, તો ADC ની સામે એક એનાલોગ ફિલ્ટર મૂકવામાં આવે છે, જે મૂળ સિગ્નલમાં બિનજરૂરી દરેક વસ્તુને "કાપી નાખે છે". આ કરવામાં મોડું થશે). આ ફિલ્ટર્સની લાક્ષણિકતાઓ, એનાલોગ ઉપકરણો તરીકે, આદર્શ નથી, તેથી સિગ્નલને કેટલાક "નુકસાન" હજુ પણ થાય છે, અને વ્યવહારમાં તે અનુસરે છે કે સ્પેક્ટ્રમમાં સૌથી વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ, નિયમ તરીકે, અવિશ્વસનીય છે. આ સમસ્યાને ઘટાડવા માટે, ઇનપુટ એનાલોગ ફિલ્ટરને ઓછી બેન્ડવિડ્થ પર સેટ કરીને અને એડીસીની સૈદ્ધાંતિક રીતે ઉપલબ્ધ આવર્તન શ્રેણીના માત્ર નીચેના ભાગનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલને ઘણીવાર ઓવરસેમ્પલ કરવામાં આવે છે.

અન્ય સામાન્ય ગેરસમજ, માર્ગ દ્વારા, જ્યારે DAC આઉટપુટ પર સિગ્નલ "સ્ટેપ્સ" માં દોરવામાં આવે છે. "પગલાઓ" પહોળાઈ T અને ઊંચાઈ 1 ના લંબચોરસ કાર્ય સાથે નમૂનારૂપ સિગ્નલ સિક્વન્સના કન્વ્યુલેશનને અનુરૂપ છે:

આ ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથેના સિગ્નલ વર્ણપટને આ લંબચોરસ ફંક્શનના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને સમાન લંબચોરસ ફંક્શન માટે તે ફરીથી sinc(w), “ખેંચાયેલ” છે, અનુરૂપ લંબચોરસની પહોળાઈ જેટલી નાની હશે. આવા "DAC" સાથેના નમૂનારૂપ સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમને આ સ્પેક્ટ્રમ દ્વારા પોઈન્ટ દ્વારા પોઈન્ટનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સ્પેક્ટ્રમની "વધારાની નકલો" સાથે બિનજરૂરી ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝ સંપૂર્ણપણે કાપી નાખવામાં આવતી નથી, પરંતુ સ્પેક્ટ્રમના "ઉપયોગી" ભાગનો ઉપરનો ભાગ, તેનાથી વિપરીત, ક્ષીણ થાય છે.

વ્યવહારમાં, અલબત્ત, કોઈ આ કરતું નથી. DAC બનાવવા માટે ઘણા જુદા જુદા અભિગમો છે, પરંતુ નજીકના વેઇટીંગ-ટાઇપ DAC માં પણ, DAC માં લંબચોરસ કઠોળ, તેનાથી વિપરિત, ક્રમમાં શક્ય તેટલા ટૂંકા (ડેલ્ટા કાર્યોના વાસ્તવિક ક્રમની અંદાજિત) તરીકે પસંદગી કરવામાં આવે છે. સ્પેક્ટ્રમના ઉપયોગી ભાગના અતિશય દમનને ટાળવા માટે. પરિણામી બ્રોડબેન્ડ સિગ્નલમાં "વધારાની" ફ્રીક્વન્સીઝ લગભગ હંમેશા એનાલોગ લો-પાસ ફિલ્ટર દ્વારા સિગ્નલ પસાર કરીને રદ કરવામાં આવે છે, જેથી કન્વર્ટરની "અંદર" અથવા, ખાસ કરીને, તેના આઉટપુટ પર કોઈ "ડિજિટલ પગલાં" ન હોય.

જો કે, ચાલો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર પાછા જઈએ. ઉપર વર્ણવેલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પ્રી-સેમ્પલ સિગ્નલ સિક્વન્સ પર લાગુ થાય છે તેને ડિસ્ક્રીટ ટાઈમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (DTFT) કહેવાય છે. આવા રૂપાંતર દ્વારા મેળવેલ સ્પેક્ટ્રમ હંમેશા 1/T-સામયિક હોય છે, તેથી DTFT સ્પેક્ટ્રમ સેગમેન્ટ પરના તેના મૂલ્યો દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે ) ), $$

અને વ્યસ્ત રૂપાંતર

$$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2) \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$

ઇમેજ પ્રોસેસિંગના કિસ્સામાં, દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ઘટકોને $\textit(અવકાશી ફ્રીક્વન્સીઝ)$ કહેવામાં આવે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની એક મહત્વપૂર્ણ મિલકત એ એક-પરિમાણીય FFT પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા છે:

$$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$

અહીં, ચોરસ કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ એ ડેટા મેટ્રિક્સની પંક્તિનું એક-પરિમાણીય પરિવર્તન છે, જે એક-પરિમાણીય FFT સાથે કરી શકાય છે. આમ, દ્વિ-પરિમાણીય ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ મેળવવા માટે, સૌપ્રથમ એક-પરિમાણીય પંક્તિ રૂપાંતરણોની ગણતરી કરવી જોઈએ, પરિણામોને મૂળ મેટ્રિક્સમાં લખવા જોઈએ અને પરિણામી મેટ્રિક્સના કૉલમ્સ માટે એક-પરિમાણીય પરિવર્તનની ગણતરી કરવી જોઈએ. દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના ખૂણામાં ઓછી આવર્તન કેન્દ્રિત કરવામાં આવશે, જે પ્રાપ્ત માહિતીની વધુ પ્રક્રિયા માટે ખૂબ અનુકૂળ નથી. 2D ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ રજૂઆત મેળવવા માટે અનુવાદ કરવા માટે જેમાં મેટ્રિક્સના કેન્દ્રમાં નીચી ફ્રીક્વન્સીઝ કેન્દ્રિત હોય છે, એક સરળ પ્રક્રિયા જે કરી શકાય છે તે મૂળ ડેટાને $-1^(m+n)$ વડે ગુણાકાર કરવાની છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 16 મૂળ છબી અને તેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ બતાવે છે.

હાફટોન ઇમેજ અને તેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (લેબવીવ સિસ્ટમમાં મેળવવામાં આવેલી તસવીરો)

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને કન્વોલ્યુશન.

$s(t)$ અને $r(t)$ ફંક્શનનું કન્વોલ્યુશન આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

$$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$

વ્યવહારમાં, અમારે અલગ કન્વોલ્યુશનનો સામનો કરવો પડે છે, જેમાં એક સમાન ગ્રીડના ગાંઠો પર મૂલ્યોના સેટ દ્વારા સતત કાર્યોને બદલવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે પૂર્ણાંક ગ્રીડ લેવામાં આવે છે):

$$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$

અહીં $-N$ અને $P$ એ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે $r(t) = 0$ છે.

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને કન્વોલ્યુશનની ગણતરી કરતી વખતે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે મુજબ ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં ફંક્શનની ઈમેજનું ઉત્પાદન સમય ડોમેનમાં આ ફંક્શન્સના કન્વ્યુલેશનની સમકક્ષ હોય છે.

સમાધાનની ગણતરી કરવા માટે, મૂળ ડેટાને ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, તેના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરવી, રૂપાંતરણના પરિણામોનો ગુણાકાર કરવો અને મૂળ પ્રતિનિધિત્વને પુનઃસ્થાપિત કરીને ઇનવર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરવું.

અલ્ગોરિધમના સંચાલનમાં એકમાત્ર સૂક્ષ્મતા એ હકીકતને કારણે છે કે એક સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (સતત એકની વિરુદ્ધ) ના કિસ્સામાં, બે સામયિક કાર્યો સંકુચિત છે, એટલે કે, અમારા મૂલ્યોના સેટ બરાબર સ્પષ્ટ કરે છે આ કાર્યોનો સમયગાળો, અને માત્ર અક્ષના અમુક અલગ વિભાગ પરના મૂલ્યો જ નહીં. એટલે કે, અલ્ગોરિધમ માને છે કે બિંદુ $x_(N )$ ને શૂન્ય દ્વારા નહીં, પરંતુ બિંદુ $x_(0)$ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે, અને તેથી વર્તુળમાં. તેથી, કન્વોલ્યુશનની યોગ્ય ગણતરી કરવા માટે, સિગ્નલને શૂન્યનો પૂરતો લાંબો ક્રમ સોંપવો જરૂરી છે.

ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં ફિલ્ટરિંગ છબીઓ.

લીનિયર ફિલ્ટરિંગ પદ્ધતિઓ સારી-સંરચિત પદ્ધતિઓમાંની એક છે જેના માટે ઝડપી કન્વોલ્યુશન અલ્ગોરિધમ્સ અને વર્ણપટ વિશ્લેષણ પર આધારિત કાર્યક્ષમ કોમ્પ્યુટેશનલ સ્કીમ્સ વિકસાવવામાં આવી છે. સામાન્ય રીતે, રેખીય ફિલ્ટરિંગ અલ્ગોરિધમ્સ ફોર્મનું રૂપાંતર કરે છે

$$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$

જ્યાં $K(\zeta ,\eta)$ એ લીનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશનનું કર્નલ છે.

સિગ્નલની એક અલગ રજૂઆત સાથે, આ સૂત્રમાં અભિન્ન ચોક્કસ છિદ્રની અંદર મૂળ છબીના નમૂનાઓના ભારિત સરવાળામાં અધોગતિ થાય છે. આ કિસ્સામાં, કર્નલ $K(\zeta ,\eta)$ ને એક અથવા બીજા શ્રેષ્ઠતા માપદંડ અનુસાર પસંદ કરવાથી સંખ્યાબંધ ઉપયોગી ગુણધર્મો થઈ શકે છે. .

રેખીય પ્રક્રિયા પદ્ધતિઓ આવર્તન ડોમેનમાં સૌથી અસરકારક રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે.

ફિલ્ટરિંગ કામગીરી કરવા માટે ઈમેજના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે આવી કામગીરીના ઉચ્ચ પ્રદર્શનને કારણે થાય છે. સામાન્ય રીતે, ફોરવર્ડ અને ઇન્વર્સ 2D ફોરિયર રૂપાંતરિત કરવામાં અને ફિલ્ટરની ફોરિયર ઇમેજના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં મૂળ ઇમેજ પર 2D કન્વોલ્યુશન કરવા કરતાં ઓછો સમય લાગે છે.

ફ્રીક્વન્સી ડોમેન ફિલ્ટરિંગ અલ્ગોરિધમ્સ કન્વોલ્યુશન પ્રમેય પર આધારિત છે. 2D કિસ્સામાં, કન્વોલ્યુશન ટ્રાન્સફોર્મેશન આના જેવું દેખાય છે:

$$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$

જ્યાં $G$ એ કન્વોલ્યુશન પરિણામનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે, $H$ એ ફિલ્ટરનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે, અને $F$ એ મૂળ ઈમેજનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. એટલે કે, ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં, દ્વિ-પરિમાણીય કન્વોલ્યુશનને મૂળ ઇમેજ અને અનુરૂપ ફિલ્ટરની છબીઓના તત્વ મુજબના ગુણાકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

કન્વ્યુલેશન કરવા માટે, તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે:

1. ફોરિયર ઈમેજને કેન્દ્રમાં રાખવા માટે મૂળ ઈમેજના તત્વોને $-1^(m+n)$ વડે ગુણાકાર કરો.
2. FFT નો ઉપયોગ કરીને $F(u,v)$ ની ફોરિયર ઈમેજની ગણતરી કરો.
3. ફોરિયર ઈમેજ $F(u,v)$ ને ફ્રીક્વન્સી ફિલ્ટર ફંક્શન $H(u,v)$ વડે ગુણાકાર કરો.
4. વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરો.
5. વ્યસ્ત પરિવર્તનના વાસ્તવિક ભાગને $-1^(m+n)$ વડે ગુણાકાર કરો.

આવર્તન ડોમેન અને અવકાશી ડોમેનમાં ફિલ્ટર કાર્ય વચ્ચેનો સંબંધ કન્વોલ્યુશન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.

$$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \right), $$

$$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\જમણે). $$

ઇમ્પલ્સ ફંક્શન સાથે ફંક્શનનું કન્વોલ્યુશન નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

$$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 )\right)=s(x_0 ,y_0). $$

આવેગ કાર્યનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ

$$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ ડાબે((x,y) \જમણે) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$

ચાલો $f(x,y) = \delta (x,y)$, પછી કન્વોલ્યુશન

$$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$

$$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$

આ અભિવ્યક્તિઓ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે આવર્તન અને અવકાશી ડોમેન્સમાં ફિલ્ટર ફંક્શન્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા એકબીજા સાથે સંકળાયેલા છે. ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં આપેલ ફિલ્ટર ફંક્શન માટે, ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લાગુ કરીને અવકાશી ડોમેનમાં અનુરૂપ ફિલ્ટર શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે. તે જ વિપરીત કેસ માટે સાચું છે. આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, અવકાશી રેખીય ફિલ્ટર્સના સંશ્લેષણ માટેની પ્રક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે.

1. અમે ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં ફિલ્ટરની આવશ્યક લાક્ષણિકતાઓ (આકાર) નક્કી કરીએ છીએ.
2. અમે ઇનવર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરીએ છીએ.
3. પરિણામી ફિલ્ટરનો ઉપયોગ અવકાશી કન્વોલ્યુશન માટે માસ્ક તરીકે કરી શકાય છે અને મૂળ ફિલ્ટરના કદની સરખામણીમાં માસ્કનું કદ ઘટાડી શકાય છે.

($\textit(આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર)$) $H(u,v)$ નું સ્વરૂપ $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v) છે< D_0 ,$$ $$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$ где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости.

($\textit(આદર્શ ઉચ્ચ-પાસ ફિલ્ટર)$) આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરને ઊંધું કરીને મેળવવામાં આવે છે:

$$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$

અહીં, ઓછી-આવર્તન ઘટકો સંપૂર્ણપણે દબાવવામાં આવે છે જ્યારે ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટકો સાચવવામાં આવે છે. જો કે, આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરના કિસ્સામાં, તેનો ઉપયોગ નોંધપાત્ર વિકૃતિના દેખાવથી ભરપૂર છે.

ન્યૂનતમ વિકૃતિ સાથે ફિલ્ટર્સને સંશ્લેષણ કરવા માટે વિવિધ અભિગમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તેમાંથી એક ઘાતાંકીય-આધારિત ફિલ્ટર સંશ્લેષણ છે. આવા ફિલ્ટર્સ પરિણામી ઇમેજમાં ન્યૂનતમ વિકૃતિ રજૂ કરે છે અને આવર્તન ડોમેનમાં સંશ્લેષણ માટે અનુકૂળ છે.

વાસ્તવિક ગૌસિયન ફંક્શન પર આધારિત ફિલ્ટર્સનું કુટુંબ ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

$\textit(લો-પાસ ગૌસીયન ફિલ્ટર)$ ફોર્મ ધરાવે છે

$$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( અને ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$

ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં ફિલ્ટર પ્રોફાઇલ જેટલી સાંકડી હોય છે (મોટા $\sigma $), તે અવકાશી ડોમેનમાં વિશાળ હોય છે.

($\textit(High-Pass Gaussian Filter)$) ફોર્મ ધરાવે છે

$$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$

$$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$

દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં ($\it(લો-પાસ)$), ગૌસીયન ફિલ્ટર આના જેવું દેખાય છે:

$$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$

($\it(ઉચ્ચ પાસ)$) ગૌસીયન ફિલ્ટર ફોર્મ ધરાવે છે

$$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$

ચાલો આવર્તન ડોમેન (ફિગ. 17 - 22) માં ઇમેજ ફિલ્ટરિંગ (ફિગ. 1) ના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. નોંધ કરો કે ઇમેજના ફ્રીક્વન્સી ફિલ્ટરિંગનો અર્થ બંને સ્મૂથિંગ ($\textit(લો-પાસ ફિલ્ટરિંગ)$) અને રૂપરેખા અને નાના-કદના ઑબ્જેક્ટ્સ ($\textit(હાઈ-પાસ ફિલ્ટરિંગ)$) હોઈ શકે છે.

ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 17, 19, ઇમેજના ઓછા-આવર્તન ઘટકમાં ફિલ્ટરિંગ "પાવર" વધે છે, છબીની "સ્પષ્ટ ડિફોકસિંગ" અથવા $\it(બ્લર)$ ની અસર વધુને વધુ સ્પષ્ટ થતી જાય છે. તે જ સમયે, છબીની મોટાભાગની માહિતી સામગ્રી ધીમે ધીમે ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટકમાં પસાર થાય છે, જ્યાં શરૂઆતમાં ફક્ત ઑબ્જેક્ટ્સના રૂપરેખા જ જોવામાં આવે છે (ફિગ. 18, 20 - 22).

ચાલો હવે ઈમેજમાં એડિટિવ ગૌસિયન અવાજની હાજરીમાં હાઈ-પાસ અને લો-પાસ ફિલ્ટર્સ (ફિગ. 23 - 28) ના વર્તનને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ. 7).

ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 23, 25, એડિટિવ રેન્ડમ અવાજને દબાવવા માટે ઓછી-આવર્તન ફિલ્ટર્સના ગુણધર્મો અગાઉ માનવામાં આવતા રેખીય ફિલ્ટર્સના ગુણધર્મો જેવા જ છે - પર્યાપ્ત ફિલ્ટર પાવર સાથે, અવાજ દબાવવામાં આવે છે, પરંતુ આની કિંમત રૂપરેખાની મજબૂત અસ્પષ્ટતા અને "ડિફોકસિંગ" છે. " સમગ્ર છબીની. ઘોંઘાટવાળી છબીનો ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટક માહિતીપ્રદ બનવાનું બંધ કરે છે, કારણ કે કોન્ટૂર અને ઑબ્જેક્ટ માહિતી ઉપરાંત, અવાજ ઘટક પણ ત્યાં સંપૂર્ણપણે હાજર છે (ફિગ. 27, 28).

જ્યારે અવાજ પ્રક્રિયાના આંકડાકીય મોડલ અને/અથવા ઇમેજ ટ્રાન્સમિશન ચેનલનું ઓપ્ટિકલ ટ્રાન્સફર કાર્ય જાણીતું હોય ત્યારે આવર્તન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ સૌથી વધુ યોગ્ય છે. પુનઃનિર્માણ ફિલ્ટર તરીકે નીચેના ફોર્મના સામાન્યકૃત નિયંત્રિત ફિલ્ટર ($\sigma$ અને $\mu$ દ્વારા) પસંદ કરીને આવા પ્રાથમિક ડેટાને ધ્યાનમાં લેવાનું અનુકૂળ છે:

$$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$

જ્યાં $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра, $P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ - стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации, $\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры плотности мощности изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик, и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации.

રેખીય ફિલ્ટરિંગ પદ્ધતિઓના ફાયદાઓમાં તેમના સ્પષ્ટ ભૌતિક અર્થ અને પરિણામોના વિશ્લેષણની સરળતા શામેલ છે. જો કે, સિગ્નલ-ટુ-અવાજ ગુણોત્તરમાં તીવ્ર બગાડ સાથે, વિસ્તારના અવાજના સંભવિત પ્રકારો અને ઉચ્ચ-કંપનવિસ્તાર આવેગ અવાજની હાજરી સાથે, રેખીય પ્રીપ્રોસેસિંગ પદ્ધતિઓ અપૂરતી હોઈ શકે છે. આ સ્થિતિમાં, બિનરેખીય પદ્ધતિઓ વધુ શક્તિશાળી છે.