nth ક્રમના વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા. રેખીય વિભેદક

રેખીય વિભેદક સિસ્ટમો સમીકરણો

વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે રેખીયજો તે અજાણ્યા કાર્યો અને તેમના ડેરિવેટિવ્સના સંદર્ભમાં રેખીય હોય. સિસ્ટમ n-1 લી ક્રમના રેખીય સમીકરણો ફોર્મમાં લખેલા છે:

સિસ્ટમ ગુણાંક સતત છે.

આ સિસ્ટમમાં લખવું અનુકૂળ છે મેટ્રિક્સ ફોર્મ: ,

જ્યાં એક દલીલ પર આધાર રાખીને અજાણ્યા કાર્યોનો કૉલમ વેક્ટર છે.

આ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝના કૉલમ વેક્ટર.

મફત શરતોનો કૉલમ વેક્ટર.

ગુણાંક મેટ્રિક્સ.

પ્રમેય 1:જો બધા મેટ્રિક્સ ગુણાંક એચોક્કસ અંતરાલ પર સતત હોય છે અને પછી દરેક મીટરના ચોક્કસ પડોશમાં. TS&E શરતો પૂરી થાય છે. પરિણામે, આવા દરેક બિંદુમાંથી એક અભિન્ન વળાંક પસાર થાય છે.

ખરેખર, આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમની જમણી બાજુઓ દલીલોના સમૂહના સંદર્ભમાં સતત છે અને બંધ અંતરાલ પર સાતત્યને કારણે (મેટ્રિક્સ A ના ગુણાંકની સમાન) ના સંદર્ભમાં તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ મર્યાદિત છે.

SLDs ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

1. વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ અજાણ્યાઓને દૂર કરીને એક સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ:સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: (1)

ઉકેલ:બાકાત zઆ સમીકરણોમાંથી. પ્રથમ સમીકરણથી આપણી પાસે છે. બીજા સમીકરણમાં બદલીને, સરળીકરણ પછી આપણને મળે છે: .

સમીકરણોની આ સિસ્ટમ (1) એક બીજા ક્રમના સમીકરણમાં ઘટાડો. આ સમીકરણમાંથી શોધ્યા પછી y, શોધી કાઢવી જોઈએ z, સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને.

2. અજાણ્યાઓને દૂર કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે, વ્યક્તિ સામાન્ય રીતે વધુ સમીકરણ મેળવે છે ઉચ્ચ ક્રમ, તેથી, ઘણા કિસ્સાઓમાં તે શોધીને સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે વધુ અનુકૂળ છે સંકલિત સંયોજનો.

ચાલુ 27b

ઉદાહરણ:સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ:

ચાલો નક્કી કરીએ આ સિસ્ટમયુલરની પદ્ધતિ. ચાલો લાક્ષણિકતા શોધવા માટે નિર્ણાયક લખીએ

સમીકરણ: , (કારણ કે સિસ્ટમ સજાતીય છે, તેના માટે બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે, તે જરૂરી છે કે આ નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર). અમે એક લાક્ષણિક સમીકરણ મેળવીએ છીએ અને તેના મૂળ શોધીએ છીએ:

સામાન્ય ઉકેલ છે: ;

- eigenvector.

અમે તેના માટે ઉકેલ લખીએ છીએ: ;

- eigenvector.

અમે તેના માટે ઉકેલ લખીએ છીએ: ;

અમને સામાન્ય ઉકેલ મળે છે: .

ચાલો તપાસીએ:

ચાલો શોધીએ : અને તેને આ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ, એટલે કે. .

અમને મળે છે:

- સાચી સમાનતા.

રેખીય વિભેદક. nth ક્રમના સમીકરણો. વિશે પ્રમેય સામાન્ય નિર્ણયવિજાતીય રેખીય સમીકરણ nth ઓર્ડર.

nમા ક્રમનું રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે ફોર્મનું સમીકરણ: (1)

જો આ સમીકરણમાં ગુણાંક હોય, તો તેના દ્વારા ભાગાકાર કરવાથી, આપણે સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ: (2) .

સામાન્ય રીતે પ્રકારના સમીકરણો (2). ધારો કે ur-i માં (2) તમામ મતભેદ, તેમજ f(x)અમુક અંતરાલ પર સતત (a,b).પછી, TS&E અનુસાર, સમીકરણ (2) ધરાવે છે એકમાત્ર ઉકેલ, પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે: , , …, સાથે . અહીં - અંતરાલમાંથી કોઈપણ બિંદુ (a,b),અને બધું - કોઈપણ આપેલ નંબરો. સમીકરણ (2) TC&E ને સંતુષ્ટ કરે છે , તેથી નથી ખાસ ઉકેલો.

ડેફ.: ખાસબિંદુઓ તે છે કે જેના પર =0.

રેખીય સમીકરણના ગુણધર્મો:

1. એક રેખીય સમીકરણ રેખીય રહે છે, ભલે સ્વતંત્ર ચલ કેવી રીતે બદલાય.
2. ઇચ્છિત કાર્યના કોઈપણ રેખીય ફેરફાર માટે રેખીય સમીકરણ રહે છે.

ડેફ:જો સમીકરણમાં (2) મૂકો f(x)=0, પછી આપણને ફોર્મનું સમીકરણ મળે છે: (3) , જેને કહેવામાં આવે છે સજાતીય સમીકરણપ્રમાણમાં નથી સજાતીય સમીકરણ (2).

ચાલો વિચારણામાં પરિચય કરીએ રેખીય વિભેદકઓપરેટર: (4). આ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને તમે તેને ફરીથી લખી શકો છો ટૂંકા સ્વરૂપસમીકરણો (2) અને (3): L(y)=f(x), L(y)=0.ઓપરેટર (4) નીચેના ધરાવે છે સરળ ગુણધર્મો:

આ બે ગુણોમાંથી કોરોલરી કાઢી શકાય છે: .

કાર્ય y=y(x)અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ છે (2), જો L(y(x))=f(x), પછી f(x)સમીકરણનો ઉકેલ કહેવાય છે. તેથી સમીકરણનો ઉકેલ (3) કાર્ય કહેવાય છે y(x), જો L(y(x))=0ગણવામાં અંતરાલો પર.

ધ્યાનમાં લો અસંગત રેખીય સમીકરણ: , L(y)=f(x).

ધારો કે આપણે કોઈ રીતે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધી કાઢ્યો છે, તો પછી.

ચાલો એક નવું અજ્ઞાત કાર્ય રજૂ કરીએ zસૂત્ર અનુસાર: , ચોક્કસ ઉકેલ ક્યાં છે.

ચાલો તેને સમીકરણમાં બદલીએ: , કૌંસ ખોલો અને મેળવો:

પરિણામી સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

કારણ કે મૂળ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે, તો પછી.

આમ, અમે સંદર્ભમાં એક સમાન સમીકરણ મેળવ્યું છે z. આ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ રેખીય સંયોજન છે: , જ્યાં કાર્યો - છે મૂળભૂત સિસ્ટમસજાતીય સમીકરણના ઉકેલો. અવેજીમાં zરિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલામાં, આપણને મળે છે: (*) કાર્ય માટે y- મૂળ સમીકરણનું અજ્ઞાત કાર્ય. મૂળ સમીકરણના તમામ ઉકેલો (*) માં સમાયેલ હશે.

આમ, અસંગત રેખાનો સામાન્ય ઉકેલ. સમીકરણને સજાતીય રેખીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળા અને અસંગત સમીકરણના અમુક ચોક્કસ ઉકેલ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે.

(બીજી બાજુ ચાલુ)

30. અસ્તિત્વનો પ્રમેય અને વિભેદકના ઉકેલની વિશિષ્ટતા. સમીકરણો

પ્રમેય:જો Eq માં. જમણી બાજુલંબચોરસમાં સતત અને મર્યાદિત છે, અને લિપ્સ્ચિટ્ઝની સ્થિતિને પણ સંતુષ્ટ કરે છે: , N=const, તો ત્યાં એક અનન્ય ઉકેલ છે જે પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે અને સેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે , ક્યાં .

પુરાવો:

ચાલો સંપૂર્ણ ધ્યાનમાં લઈએ મેટ્રિક જગ્યા સાથે,જેના બિંદુઓ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત તમામ સંભવિત સતત કાર્યો y(x) છે , જેના આલેખ લંબચોરસની અંદર આવેલા છે અને અંતર સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: . આ જગ્યાનો ઉપયોગ ઘણીવાર ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં થાય છે અને તેને કહેવામાં આવે છે જગ્યા સમાન સંકલન , કારણ કે આ જગ્યાના મેટ્રિકમાં કન્વર્જન્સ એકસમાન છે.

ચાલો વિભેદકને બદલીએ. ડેટા સાથે સમીકરણ પ્રારંભિક શરતોસમકક્ષ અભિન્ન સમીકરણ માટે: અને ઓપરેટરને ધ્યાનમાં લો A(y), આ સમીકરણની જમણી બાજુ સમાન: . આ ઓપરેટર દરેક સાથે મેળ ખાય છે સતત કાર્ય

લિપ્સ્ચિટ્ઝની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે અંતર લખી શકીએ છીએ. હવે જેના માટે એક પસંદ કરીએ નીચેની અસમાનતા: .

તે પસંદ કરવું જોઈએ જેથી , પછી . આમ અમે તે બતાવ્યું.

સંકોચન મેપિંગના સિદ્ધાંત અનુસાર, ત્યાં એક બિંદુ છે અથવા, શું સમાન છે, એક જ કાર્ય - વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ જે આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.

n-મો ઓર્ડર

પ્રમેય. જો y 0- સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ L[y]=0, y 1- અનુરૂપ અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ L[y] = f(x), પછી સરવાળો y 0 + y 1આ અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલની રચના નીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય. જો વાય- સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ L[y] = f(x)સાથે સતત ગુણાંક, - અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ L[y] = 0, તો પછી આ અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ટિપ્પણી. રેખીય અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલને લખવા માટે, આ સમીકરણનો અમુક ચોક્કસ ઉકેલ અને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણો n

રેખીય અસંગત સમીકરણને ધ્યાનમાં લો n-સતત ગુણાંક સાથેનો ક્રમ

જ્યાં a 1, a 2, …, એક એન - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. ચાલો અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ લખીએ

અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y 0આપણે ચોક્કસ ઉકેલ શોધી શકીએ છીએ વાયદ્વારા શોધી શકાય છે અનિશ્ચિત ગુણાંકનીચેના સરળ કેસોમાં:

IN સામાન્ય કેસમનસ્વી સ્થિરાંકો બદલવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.

મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ

રેખીય અસંગત સમીકરણને ધ્યાનમાં લો n- ચલ ગુણાંક સાથેનો ક્રમ

જો આ સમીકરણનો કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો મુશ્કેલ હોય, પરંતુ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ જાણીતો હોય, તો અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી શકાય છે. મનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધતાની પદ્ધતિ.

અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ દો

એક સામાન્ય ઉકેલ છે

અમે ફોર્મમાં અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીશું

જ્યાં y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n = y n (x)તેના સામાન્ય ઉકેલમાં સમાવિષ્ટ સજાતીય સમીકરણના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો છે, અને C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- અજ્ઞાત કાર્યો. આ કાર્યોને શોધવા માટે, ચાલો તેમને કેટલીક શરતોને આધીન કરીએ.

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ

અમારે જરૂર છે કે બીજા કૌંસમાંનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર હોય, એટલે કે

ચાલો બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ

અને અમે તેની માંગ કરીશું

સમાન પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમને મળે છે

આ કિસ્સામાં, તમે બીજા કૌંસમાંનો સરવાળો અદૃશ્ય થઈ જાય તે જરૂરી નથી, કારણ કે કાર્યો C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)પહેલેથી જ ગૌણ n-1શરતો, પરંતુ તમારે હજી પણ મૂળ અસંગત સમીકરણને સંતોષવાની જરૂર છે.

વિભેદક સમીકરણોn-મો ઓર્ડર.

જો સમીકરણ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે, તો તેનું સ્વરૂપ (1) છે. nમા ક્રમના સમીકરણને n પ્રથમ ક્રમના સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે.

(3)

n-મા ક્રમના સમીકરણ માટે, સિસ્ટમ માટે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પરના પ્રમેયની શરતો (1)~(2)~(3) થી સંતુષ્ટ છે.

ઓર્ડર ઘટાડવાના સૌથી સરળ કિસ્સાઓ.

સમીકરણમાં ક્રમ સુધી જરૂરી કાર્ય અને તેનું વ્યુત્પન્ન સમાવતું નથી k -1 સહિત , એટલે કે

આ કિસ્સામાં ઓર્ડર ઘટાડી શકાય છે
બદલી જો આપણે આ સમીકરણ વ્યક્ત કરીએ તો k-ફોલ્ડ ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન દ્વારા ઉકેલ y નક્કી કરી શકાય છે પી.

ઉદાહરણ.
.

કોઈ અજ્ઞાત ચલ ધરાવતું સમીકરણ

(5)

આ કિસ્સામાં, ઑર્ડર અવેજી દ્વારા એક દ્વારા ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ.
.

સમીકરણની ડાબી બાજુ

(6)

અમુક વિભેદક અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન છે ( n -1)મો ક્રમ .
. જો
- તેથી છેલ્લા સમીકરણનો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે. અમે સમીકરણ (6) નું પહેલું અવિભાજ્ય મેળવ્યું અને એક દ્વારા ઉકેલાઈ રહેલા સમીકરણની ડિગ્રી ઓછી કરી.

ટિપ્પણી.કેટલીકવાર (6) ની ડાબી બાજુ એ (n-1)મા ક્રમના વિભેદક સમીકરણની વ્યુત્પન્ન બને છે જ્યારે તેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે
તેથી, બિનજરૂરી ઉકેલો અહીં દેખાઈ શકે છે (વિપરીત શૂન્ય સુધી) અથવા જો આપણે ઉકેલ ગુમાવી શકીએ છીએ અવ્યવસ્થિત કાર્ય.

ઉદાહરણ.

સમીકરણ

(7)

એકરૂપ સંબંધિત અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ .

અથવા સૂચક ક્યાં છે
એકરૂપતાની શરતો પરથી નક્કી થાય છે.

આ સમીકરણનો ક્રમ બદલીને એક દ્વારા ઘટાડી શકાય છે: .

જો આપણે આ સંબંધોને (7) માં બદલીએ અને કાર્યની એકરૂપતાને ધ્યાનમાં લઈએ એફ , પછી અંતે આપણને મળે છે: .

ઉદાહરણ.
.

બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો,

ક્રમમાં ઘટાડા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી
.

જો સમીકરણ (8) સૌથી વધુ વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય છે, તો Eq.
ચલ પર બે વાર સંકલિત x.

તમે પરિમાણ રજૂ કરી શકો છો અને સમીકરણ (8) ને તેના પેરામેટ્રિક રજૂઆત સાથે બદલી શકો છો:
. તફાવતો માટે સંબંધનો ઉપયોગ કરીને:
, અમને મળે છે: અને

II .
(9)

ચાલો પેરામેટ્રિક રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીએ:

III.
. (10)

તમે બદલીને ઓર્ડર ઘટાડી શકો છો:
.

જો સમીકરણ (10) સૌથી વધુ વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે
, પછી જમણી બાજુનો ગુણાકાર કરો અને ડાબી બાજુપર
. અમને મળે છે: આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે:
.

સમીકરણ (10) ને તેના પેરામેટ્રિક રજૂઆત દ્વારા બદલી શકાય છે: . ચાલો વિભેદકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ:.

ઉદાહરણ.
.

રેખીય વિભેદક સમીકરણોn-મો ઓર્ડર.

વ્યાખ્યા. રેખીય વિભેદક સમીકરણો n -મો ઓર્ડર ફોર્મના સમીકરણોને કહેવામાં આવે છે:
. (1)

જો મતભેદ માટે સતત
, પછી કોઈપણ ના પડોશમાં પ્રારંભિક મૂલ્યોજેમ કે: ક્યાં અંતરાલથી સંબંધિત છે, પછી આ પ્રારંભિક મૂલ્યોની પડોશમાં શરતો સંતુષ્ટ છે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેય. સમીકરણ (1) ની રેખીયતા અને એકરૂપતા કોઈપણ પરિવર્તન હેઠળ સચવાય છે
, ક્યાં એક મનસ્વી ntimes વિભેદક કાર્ય છે. તદુપરાંત
. જ્યારે અજ્ઞાત કાર્ય રેખીય અને એકરૂપ રૂપાંતરિત થાય છે ત્યારે રેખીયતા અને એકરૂપતા સાચવવામાં આવે છે.

ચાલો રેખીય વિભેદક ઓપરેટરનો પરિચય આપીએ: , પછી (1) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય:
. માટે Wronski નિર્ણાયક
જેવો દેખાશે:

, ક્યાં - સમીકરણના રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો (1).

પ્રમેય 1. જો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કાર્યો
સતત સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ (1) નો ઉકેલ છે
ગુણાંક
, પછી Wronski નિર્ણાયક
સેગમેન્ટ પર કોઈપણ બિંદુએ અદૃશ્ય થતું નથી
.

પ્રમેય 2. સતત સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ
ગુણાંક
ઉકેલોનું રેખીય સંયોજન હશે , એટલે કે
(2), જ્યાં
સેગમેન્ટ પર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર
ખાનગી ઉકેલો (1).

(રેખીય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમના કિસ્સામાં સમાન રીતે સાબિત થાય છે)

પરિણામ.મહત્તમ સંખ્યા રેખીય છે સ્વતંત્ર નિર્ણયો(1) તેના ક્રમ સમાન છે.

સમીકરણ (1) માટે એક બિન-તુચ્છ વિશિષ્ટ ઉકેલ જાણવું -
, તમે અવેજી કરી શકો છો
અને તેની રેખીયતા અને વિજાતીયતા જાળવી રાખીને સમીકરણનો ક્રમ ઓછો કરો. સામાન્ય રીતે આ અવેજી બે ભાગમાં વિભાજિત થાય છે. કારણ કે આ એક રેખીય સજાતીય રજૂઆત છે, તે (1) ની રેખીયતા અને એકરૂપતાને જાળવી રાખે છે, જેનો અર્થ છે (1) ફોર્મમાં ઘટાડો કરવો આવશ્યક છે. નિર્ણય
અમલમાં
ઉકેલને અનુરૂપ છે
, અને તેથી
. બદલી કર્યા
, અમે ઓર્ડર સાથે સમીકરણ મેળવીએ છીએ
.

લેમ્મા. (3)

ફોર્મ (3) અને (4) ના બે સમીકરણો, જ્યાં Q i અને P i એ સતત કાર્યો છે જે ઉકેલોની સામાન્ય મૂળભૂત સિસ્ટમ ધરાવે છે, એકરૂપ થાય છે, એટલે કે. Q i (x) = P i (x), i=1,2,…n,  x

લેમ્માના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ y 1 y 2 …y n સંપૂર્ણપણે રેખીય સજાતીય સમીકરણ (3) નક્કી કરે છે.

ચાલો આપણે સમીકરણ (3) નું સ્વરૂપ શોધીએ, જેમાં y 1 y 2 …y n ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ છે. કોઈપણ ઉકેલ y(x) સમીકરણ (3) રેખીય રીતે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ પર આધાર રાખે છે, જેનો અર્થ છે કે W=0. ચાલો છેલ્લા કૉલમ પર Wronski નિર્ણાયક W ને વિસ્તૃત કરીએ.

સમીકરણ (5) એ મૂળભૂત ઉકેલોની આપેલ સિસ્ટમ ધરાવતું ઇચ્છિત રેખીય વિભેદક સમીકરણ છે. આપણે (5) ને ડબલ્યુ વડે ભાગી શકીએ છીએ, કારણ કે તે શૂન્ય  x બરાબર નથી.

(*)

પછી:

નિર્ણાયકના ભિન્નતાના નિયમ મુજબ, નિર્ણાયકનું વ્યુત્પન્ન i=1,2...n નિર્ધારકોના સરવાળા જેટલું છે, જેમાંથી દરેકની i-મી પંક્તિ i- ના વ્યુત્પન્ન સમાન છે. મૂળ નિર્ણાયકની મી પંક્તિ. આ સરવાળામાં, છેલ્લા એક સિવાયના તમામ નિર્ધારકો શૂન્યના સમાન છે (કારણ કે તેમની પાસે બે સરખી રેખાઓ છે), અને છેલ્લી એક સમાન (*) છે. આમ, અમને મળે છે:
(6)

(7)

વ્યાખ્યા. , પછી: ફોર્મ્યુલા (6) અને (7) કહેવાય છે

ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી-લ્યુવિલે સૂત્રો.

અમે બીજા-ક્રમના રેખીય સજાતીય સમીકરણને એકીકૃત કરવા માટે (7) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અને ચાલો સમીકરણ (8) ના y 1 ઉકેલોમાંથી એક જાણીએ.

(9)

(7) મુજબ, કોઈપણ ઉકેલ (8) નીચેના સંબંધને સંતોષવા જ જોઈએ:

ચાલો એકીકૃત પરિબળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.

સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણો

સતત ગુણાંક.

જો રેખીય સજાતીય સમીકરણમાં બધા ગુણાંક સ્થિર હોય,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

પછી ચોક્કસ ઉકેલો (1) ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: y=e kx, જ્યાં k એ સ્થિરાંક છે.

વ્યાખ્યા. (3) - a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

લાક્ષણિક સમીકરણ.

1ઉકેલનો પ્રકાર (1) લાક્ષણિક સમીકરણ (3) ના મૂળ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ). બધા મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે

, પછી: .

2). જો બધા ગુણાંક વાસ્તવિક હોય, તો મૂળ જટિલ સંયોજક હોઈ શકે છે

k 1 =+i k 2 =-i

પછી ઉકેલો ફોર્મ ધરાવે છે:

ઉદાહરણ.

પ્રમેય મુજબ: જો વાસ્તવિક ગુણાંક ધરાવતા ઓપરેટરમાં જટિલ સંયોજક ઉકેલો હોય, તો તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો પણ ઉકેલો છે. પછી:
ચાલો ફોર્મમાં ઉકેલ રજૂ કરીએ

, પછી લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

, અમને બે ઉકેલો મળે છે:

પછી જરૂરી કાર્ય છે: k 3). ત્યાં બહુવિધ મૂળ છે: i  3). ત્યાં બહુવિધ મૂળ છે: . બહુવિધતા સાથે
નાના હશે, તેથી, તમારે ગુમ થયેલ રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોને અલગ સ્વરૂપમાં જોવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે:

પુરાવો:

ચાલો કહીએ k i =0, જો આપણે તેને (3) માં બદલીએ, તો આપણને તે મળે છે, પછી:

- ચોક્કસ ઉકેલો (3).

ચાલો k i 0 કરીએ, ચાલો બદલીએ
(6)

(6) ને (1) માં બદલીને, અમે સતત ગુણાંક (7) સાથે nમા ક્રમના z એક રેખીય સજાતીય સમીકરણના સંદર્ભમાં મેળવીએ છીએ.

મૂળ (3) લાક્ષણિક સમીકરણ (7) ના મૂળથી k i શબ્દ દ્વારા અલગ પડે છે.

(8)

જો k=k i , તો આ k એ સમીકરણ (7) ના રુટ p=0 સાથેના ઉકેલને અનુરૂપ છે, એટલે કે. ફોર્મ z= ના ઉકેલોને અનુરૂપ
, પછી y= એ સમીકરણ (1) નો ઉકેલ છે. અને સામાન્ય ઉકેલ આના જેવો દેખાય છે:

k i માટે ઉકેલ



યુલરનું સમીકરણ.

વ્યાખ્યા. ફોર્મનું સમીકરણ:

a i અચળ ગુણાંક છે, કહેવાય છે યુલરનું સમીકરણ.

x=e t ને બદલીને યુલરનું સમીકરણ સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

તમે y=x k ફોર્મમાં ઉકેલો શોધી શકો છો, પછી તેમની પાસે ફોર્મ છે:

રેખીય અસંગત સમીકરણો.

જો 0 (x)0 હોય, તો સમીકરણ (1) ને આ ગુણાંક વડે વિભાજિત કરીએ તો આપણને મળે છે:

.

જો i અને f એ b પર સતત હોય, તો (2) પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે જે અનુરૂપ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે. જો આપણે (2) માંથી ઉચ્ચતમ ડેરિવેટિવ્ઝ સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરીએ, તો આપણે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ જેની જમણી બાજુ અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેયને સંતોષે છે. ઑપરેટર L રેખીય હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે (2) માટે નીચેના ધરાવે છે:

1).
- ઉકેલ (2), જો - અસંગત સમીકરણ (2) નો ઉકેલ, અને - અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ.

2). જો - ઉકેલો
, તે
સમીકરણનો ઉકેલ
.

મિલકત 2 એ સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત છે, જ્યારે તે માન્ય છે
, જો શ્રેણી
- એકરૂપ થાય છે અને સ્વીકારે છે m- બહુવિધ શબ્દ-દર-અવધિ તફાવત.

3) ઓપરેટર સમીકરણ આપવા દો
, જ્યાં L એ ગુણાંક સાથે ઓપરેટર છે , બધા - વાસ્તવિક. U અને V કાર્યો પણ વાસ્તવિક છે. પછી, જો આ સમીકરણનો ઉકેલ છે
, તો પછી સમાન સમીકરણનો ઉકેલ કાલ્પનિક અને વાસ્તવિક બંને ભાગો હશે:
અને
. તદુપરાંત, તેમાંથી દરેક ઉકેલને અનુરૂપ છે.

પ્રમેય. અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલn- વિશે
સેગમેન્ટ પર [a, b] આપેલ છે કે તમામ ગુણાંક
અને જમણી બાજુ
- સતત કાર્યો, અનુરૂપ સામાન્ય ઉકેલના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે સજાતીય સિસ્ટમ
અને અસંગતતા માટે ચોક્કસ ઉકેલ -
.

તે. ઉકેલ
.

જો અસંગત સિસ્ટમના ચોક્કસ ઉકેલોને સ્પષ્ટપણે પસંદ કરવાનું અશક્ય છે, તો તમે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો. અચલની વિવિધતા . અમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધીશું:

(3)

જ્યાં
સજાતીય સિસ્ટમ માટે ઉકેલો,
- અજ્ઞાત કાર્યો.

કુલ અજાણ્યા કાર્યો
- એન.

અભિવ્યક્તિ y(x) ને સમીકરણ (2) માં બદલીને, અમે ફક્ત એક જ અજ્ઞાત કાર્ય નક્કી કરવા માટેની શરતો મેળવીએ છીએ. બાકીના (n-1)-વેલ ફંક્શન્સ નક્કી કરવા માટે, એક (n-1)-પરંતુ વધારાની સ્થિતિ જરૂરી છે તેઓ મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે; ચાલો તેમને પસંદ કરીએ જેથી ઉકેલ (2) - y(x) નું સ્વરૂપ સમાન હોય
સ્થિર હતા.

,

કારણ કે
પછી, સ્થિરાંકોની જેમ વર્તે
, જેનો અર્થ થાય છે
.

તે. આપણને સમીકરણ (1) ઉપરાંત (n-1)-પરંતુ શરત મળે છે. જો આપણે સમીકરણ (1) માં ડેરિવેટિવ્ઝ માટેની અભિવ્યક્તિને બદલીએ અને પ્રાપ્ત કરેલી બધી શરતો અને હકીકત એ છે કે y i એ અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીનું સોલ્યુશન છે ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે છેલ્લી શરત મેળવીએ છીએ
.

ચાલો સિસ્ટમ પર આગળ વધીએ:

(3)

સિસ્ટમનો નિર્ણાયક (3) છે (W) વ્રોન્સકીનો નિર્ણાયક, અને કારણ કે y હું સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલો છું, તો પછી W0 ચાલુ.

ઉદાહરણ. અસંગત સમીકરણ

, અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ

અમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએy= ઇ kx . લાક્ષણિક સમીકરણk 2 +1=0, એટલે કેk 1,2 =  3). ત્યાં બહુવિધ મૂળ છે:

y= ઇ ix = cos x + 3). ત્યાં બહુવિધ મૂળ છે: પાપ x, સામાન્ય ઉકેલ છે

ચાલો સતત ભિન્નતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ:

માટે શરતો
:

, જે લેખન માટે સમકક્ષ છે:

અહીંથી:

સીધા સંકલન દ્વારા સમીકરણો ઉકેલાય છે

નીચેના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:
.
અમે n વખત એકીકૃત કરીએ છીએ.
;
;
અને તેથી વધુ. તમે સૂત્રનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો:
.
સેમી. વિભેદક સમીકરણો જે સીધા ઉકેલી શકાય છે એકીકરણ >>>

સમીકરણો કે જેમાં સ્પષ્ટપણે આશ્રિત ચલ y શામેલ નથી

અવેજી સમીકરણના ક્રમને એકથી ઘટાડે છે. અહીં થી એક કાર્ય છે.
સેમી. ઉચ્ચ ઓર્ડરના વિભેદક સમીકરણો જેમાં સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં કોઈ ફંક્શન નથી હોતું >>>

સમીકરણો જેમાં સ્પષ્ટપણે સ્વતંત્ર ચલ x નો સમાવેશ થતો નથી

.
અમે માનીએ છીએ કે તે એક કાર્ય છે.
.
પછી
સેમી. એ જ રીતે અન્ય ડેરિવેટિવ્ઝ માટે. પરિણામે, સમીકરણનો ક્રમ એકથી ઓછો થાય છે.

ઉચ્ચ ઓર્ડરના વિભેદક સમીકરણો જેમાં સ્પષ્ટ ચલ >>> શામેલ નથી

y, y′, y′′, ... ના સંદર્ભમાં એકરૂપ સમીકરણો
,
આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, અમે અવેજી બનાવીએ છીએ
.
નું કાર્ય ક્યાં છે.
સેમી. પછી

અમે એ જ રીતે ડેરિવેટિવ્ઝ વગેરેને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પરિણામે, સમીકરણનો ક્રમ એકથી ઓછો થાય છે.

ઉચ્ચ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો જે ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં સજાતીય હોય છે >>> ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય વિભેદક સમીકરણો:
(1) ,
ચાલો વિચાર કરીએ
(2) ,
nth ક્રમનું રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ
સ્વતંત્ર ચલના કાર્યો ક્યાં છે. nth ક્રમના રેખીય સજાતીય સમીકરણ એ આ સમીકરણના n રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો છે.

ઉચ્ચ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો જે ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં સજાતીય હોય છે >>> nth ક્રમનું રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણ:
.
આ સમીકરણ માટે કોઈ ચોક્કસ (કોઈપણ) ઉકેલ આવવા દો. પછી સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:
,
સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ ક્યાં છે (1).

રેખીય વિભેદક સમીકરણો જેમાં સતત ગુણાંક અને તેમને ઘટાડી શકાય છે

સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણો

આ ફોર્મના સમીકરણો છે:
(3) .
અહીં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, આપણે n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે જે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે. પછી સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર (2) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
(2) .

અમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ. અમને મળે છે:
(4) .

લાક્ષણિક સમીકરણ જો આ સમીકરણ છેવિવિધ મૂળ
.

, તો પછી ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે: જો ઉપલબ્ધ હોય
,
જટિલ મૂળ પછી ત્યાં એક જટિલ સંયોજક મૂળ પણ છે.આ બે મૂળ ઉકેલોને અનુરૂપ છે અને , જેને આપણે તેના બદલે મૂળભૂત સિસ્ટમમાં સમાવીએ છીએ

સંકલિત ઉકેલોઅને .

બહુવિધ મૂળ ગુણાકાર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે: . ગુણાકાર
.

જટિલ મૂળ

ગુણાકાર અને તેમના જટિલ સંયુક્ત મૂલ્યો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે:
,
વિશિષ્ટ અસંગત ભાગ સાથે રેખીય અસંગત સમીકરણો 1 ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો 2 ડિગ્રી s ના બહુપદી ક્યાં છે

અને એસ ;- કાયમી.
,
પહેલા આપણે સજાતીય સમીકરણ (3) માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. જો લાક્ષણિકતા સમીકરણ (4)
;
;
રુટ સમાવતું નથી 1 ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો 2 .

, પછી અમે ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ: જ્યાં s - s માંથી મહાન
.

જો લાક્ષણિકતા સમીકરણ (4)
.

મૂળ ધરાવે છે

ગુણાકાર, પછી આપણે ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ:

1) આ પછી અમને સામાન્ય ઉકેલ મળે છે:.
સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત સમીકરણો
.
અહીં ત્રણ સંભવિત ઉકેલો છે.
,
બર્નૌલી પદ્ધતિ - 1 પ્રથમ, આપણે સજાતીય સમીકરણનો કોઈપણ બિનશૂન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ

2) પછી અમે અવેજી બનાવીએ છીએ x ચલનું કાર્ય ક્યાં છે. .
અમે u માટે એક વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાં x ના સંદર્ભમાં માત્ર u ના ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે.
,
અવેજી હાથ ધરીને, આપણે સમીકરણ n મેળવીએ છીએ - મી ઓર્ડર.પદ્ધતિ રેખીય અવેજીચાલો એક અવેજી બનાવીએ

3) જ્યાં એક મૂળ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ
(2) .
અમે આગળ ધારીએ છીએ કે સ્થિરાંકો x ચલના કાર્યો છે.
,
પછી મૂળ સમીકરણના ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

જ્યાં અજાણ્યા કાર્યો છે. મૂળ સમીકરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીને અને કેટલાક નિયંત્રણો લાદીને, અમે સમીકરણો મેળવીએ છીએ જેમાંથી આપણે કાર્યોના પ્રકાર શોધી શકીએ છીએ.

યુલરનું સમીકરણ
.
તે અવેજી દ્વારા સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે:
.
જો કે, યુલર સમીકરણને ઉકેલવા માટે, આવા અવેજી બનાવવાની જરૂર નથી. તમે તરત જ ફોર્મમાં સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ શોધી શકો છો

પરિણામે, અમે સતત ગુણાંક સાથેના સમીકરણ માટે સમાન નિયમો મેળવીએ છીએ, જેમાં તમારે ચલને બદલે અવેજી કરવાની જરૂર છે.
વપરાયેલ સાહિત્ય: વી.વી. સ્ટેપનોવ, કોર્સવિભેદક સમીકરણો
, "LKI", 2015. એન.એમ. ગુંથર, આર.ઓ. કુઝમિન, સમસ્યાઓનો સંગ્રહ ચાલુઉચ્ચ ગણિત