નીચેના સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

ઉપર પ્રસ્તુત દરેક સમીકરણ એ બે ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. ઘણા પોઈન્ટ સંકલન વિમાન, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવે છે, તેને કહેવામાં આવે છે બે અજાણ્યામાં સમીકરણનો આલેખ.

બે ચલોમાં સમીકરણ આલેખવું

બે ચલો સાથેના સમીકરણોમાં આલેખની વિશાળ વિવિધતા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 2*x + 3*y = 15 માટે આલેખ એક સીધી રેખા હશે, સમીકરણ x 2 + y 2 = 4 માટે આલેખ ત્રિજ્યા 2 સાથેનું વર્તુળ હશે, સમીકરણ y* નો ગ્રાફ x = 1 હાયપરબોલા હશે, વગેરે.

બે ચલો સાથેના સંપૂર્ણ સમીકરણો પણ ડિગ્રી જેવા ખ્યાલ ધરાવે છે. આ ડિગ્રી એક ચલ સાથેના સમગ્ર સમીકરણની જેમ જ નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, જ્યારે ફોર્મમાં સમીકરણ લાવો ડાબી બાજુબહુપદી છે પ્રમાણભૂત દૃશ્ય, અને જમણી બાજુ શૂન્ય છે. આ સમકક્ષ પરિવર્તનો દ્વારા કરવામાં આવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

ચાલો સમજીએ કે બે ચલ સાથેના બે સમીકરણો ધરાવતી સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે ઉકેલવી. ચાલો આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

ચાલો સમાન સંકલન પ્રણાલીમાં પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોના ગ્રાફ બનાવીએ. પ્રથમ સમીકરણનો આલેખ મૂળ અને ત્રિજ્યા 5 પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ હશે. બીજા સમીકરણનો આલેખ એક પેરાબોલા હશે જેની શાખાઓ નીચે જશે.

ગ્રાફ પરના તમામ બિંદુઓ દરેક પોતપોતાના સમીકરણને સંતોષશે. આપણે એવા મુદ્દા શોધવાની જરૂર છે જે પ્રથમ અને બીજા બંને સમીકરણોને સંતોષે. દેખીતી રીતે, આ તે બિંદુઓ હશે જ્યાં આ બે ગ્રાફ એકબીજાને છેદે છે.

અમારી આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ અંદાજિત મૂલ્યોકોઓર્ડિનેટ્સ કે જેના પર આ બિંદુઓ છેદે છે. અમને નીચેના પરિણામો મળે છે:

A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).

આનો અર્થ એ છે કે આપણી સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ચાર ઉકેલો છે.

x1 ≈ -2.2; y1 ≈ -4.5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2.2; y3 ≈ 4.5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

જો આપણે આ મૂલ્યોને આપણી સિસ્ટમના સમીકરણોમાં બદલીએ, તો આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રથમ અને ત્રીજા ઉકેલો અંદાજિત છે, અને બીજા અને ચોથા સચોટ છે. ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઘણીવાર મૂળની સંખ્યા અને તેમની અંદાજિત સીમાઓનો અંદાજ કાઢવા માટે વપરાય છે. ઉકેલો ઘણીવાર સચોટ હોવાને બદલે અંદાજિત હોય છે.

આ પાઠમાં આપણે બે ચલોમાં બે સમીકરણોના ઉકેલની પ્રણાલીઓ જોઈશું. પ્રથમ, ચાલો બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન અને તેમના આલેખના સમૂહની વિશિષ્ટતાઓ જોઈએ. આગળ, અમે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સિસ્ટમોને હલ કરીશું.

વિષય: સમીકરણોની સિસ્ટમો

પાઠ: સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો

સંખ્યાઓની એક જોડી જે સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા બંને સમીકરણોનો એક સાથે ઉકેલ છે તેને કહેવામાં આવે છે. સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી.

સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા, અથવા સ્થાપિત કરવું કે ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી. અમે મૂળભૂત સમીકરણોના આલેખ જોયા છે, ચાલો સિસ્ટમો પર વિચાર કરવા આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 1. સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ:

આ રેખીય સમીકરણો છે, તેમાંના દરેકનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે. પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (0; 1) અને (-1; 0)માંથી પસાર થાય છે. બીજા સમીકરણનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (0; -1) અને (-1; 0)માંથી પસાર થાય છે. રેખાઓ બિંદુ (-1; 0) પર છેદે છે, આ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે ( ચોખા. 1).

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે, દરેક સમીકરણમાં સંખ્યાઓની આ જોડીને બદલીને, આપણે સાચી સમાનતા મેળવીએ છીએ.

અમે મળી એકમાત્ર ઉકેલ રેખીય સિસ્ટમ.

યાદ કરો કે જ્યારે રેખીય પ્રણાલીને હલ કરતી વખતે, નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે - રેખાઓ છેદે છે,

સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી - રેખાઓ સમાંતર છે,

સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે - સીધી રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

અમે સમીક્ષા કરી છે ખાસ કેસસિસ્ટમો જ્યારે p(x; y) અને q(x; y) એ x અને y ના રેખીય સમીકરણો છે.

ઉદાહરણ 2. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ:

પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે, બીજા સમીકરણનો ગ્રાફ એક વર્તુળ છે. ચાલો પ્રથમ ગ્રાફ પોઈન્ટ દ્વારા બનાવીએ (ફિગ. 2).

વર્તુળનું કેન્દ્ર બિંદુ O(0; 0) પર છે, ત્રિજ્યા 1 છે.

આલેખ બિંદુ A(0; 1) અને બિંદુ B(-1; 0) પર છેદે છે.

ઉદાહરણ 3. સિસ્ટમને ગ્રાફિકલી ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીએ - તે t.O(0; 0) અને ત્રિજ્યા 2 પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. બીજા સમીકરણનો આલેખ પેરાબોલા છે. તે મૂળની તુલનામાં 2 દ્વારા ઉપરની તરફ ખસેડવામાં આવે છે, એટલે કે. તેનું શિરોબિંદુ બિંદુ (0; 2) છે (ફિગ. 3).

ગ્રાફમાં એક છે સામાન્ય બિંદુ- t. A(0; 2). તે સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. ચાલો તે સાચા છે કે કેમ તે તપાસવા માટે સમીકરણમાં કેટલાક નંબરો પ્લગ કરીએ.

ઉદાહરણ 4. સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીએ - આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર t.O(0; 0) અને ત્રિજ્યા 1 (ફિગ. 4) પર છે.

ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ આ એક તૂટેલી લાઇન છે (ફિગ. 5).

હવે ચાલો તેને ઓય અક્ષ સાથે 1 નીચે ખસેડીએ. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ હશે

ચાલો બંને આલેખને સમાન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં મૂકીએ (ફિગ. 6).

આપણને ત્રણ આંતરછેદ બિંદુઓ મળે છે - બિંદુ A(1; 0), બિંદુ B(-1; 0), બિંદુ C(0; -1).

અમે સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ જોઈ. જો તમે દરેક સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવી શકો અને આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો, તો આ પદ્ધતિ એકદમ પર્યાપ્ત છે.

પરંતુ ઘણીવાર ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ સિસ્ટમનો અંદાજિત ઉકેલ શોધવાનું અથવા ઉકેલોની સંખ્યા વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનું શક્ય બનાવે છે. તેથી, અન્ય પદ્ધતિઓ જરૂરી છે, વધુ સચોટ, અને અમે નીચેના પાઠોમાં તેમની સાથે વ્યવહાર કરીશું.

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: પાઠ્યપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ.- ચોથી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-192 પૃષ્ઠ: બીમાર.

2. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9મું ધોરણ: વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યાનું પુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ/ એ. જી. મોર્ડકોવિચ, ટી. એન. મિશુસ્ટીના અને અન્ય - 4 થી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર.

3. મકરીચેવ યુ. બીજગણિત. 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે. સંસ્થાઓ / યુ. એન. મકરીચેવ, એન. જી. મિંડ્યુક, કે. આઇ. નેશકોવ, આઇ. ઇ. ફેઓક્ટીસ્ટોવ. — 7મી આવૃત્તિ., રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008.

4. અલીમોવ શ.એ., કોલ્યાગિન યુ.એમ., સિદોરોવ યુ.વી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 16મી આવૃત્તિ. - એમ., 2011. - 287 પૃ.

5. મોર્ડકોવિચ એ. જી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: 2010. - 224 પૃષ્ઠ: બીમાર.

6. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 ભાગોમાં ભાગ 2. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, એલ. એ. એલેકસાન્ડ્રોવા, ટી. એન. મિશુસ્ટીના અને અન્ય; એડ. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. — 12મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: 2010.-223 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. ગણિત પર કૉલેજ.ru વિભાગ ().

2. ઇન્ટરનેટ પ્રોજેક્ટ "કાર્યો" ().

3. શૈક્ષણિક પોર્ટલ"હું ઉપયોગ ઉકેલીશ" ().

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, ટી. એન. મિશુસ્ટીના, વગેરે. - 4 થી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર. નંબર 105, 107, 114, 115.

વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ " ગ્રાફિક પદ્ધતિસમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલો" રજૂ કરે છે શૈક્ષણિક સામગ્રીઆ વિષયમાં નિપુણતા મેળવવા માટે. સામગ્રી સમાવે છે સામાન્ય ખ્યાલસમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા વિશે, તેમજ વિગતવાર સમજૂતીસમીકરણોની સિસ્ટમ ગ્રાફિકલી કેવી રીતે ઉકેલાય છે તેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને.

વિઝ્યુઅલ સહાય બાંધકામોને વધુ અનુકૂળ અને સમજી શકાય તેવું બનાવવા માટે એનિમેશનનો ઉપયોગ કરે છે અલગ અલગ રીતેસ્રાવ મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોઅને સામગ્રીની ઊંડાણપૂર્વકની સમજ અને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે વિગતો.

વિડિયો પાઠ વિષયનો પરિચય આપીને શરૂ થાય છે. વિદ્યાર્થીઓને યાદ અપાવવામાં આવે છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ શું છે અને તેઓ 7મા ધોરણમાં પહેલાથી જ કઈ સમીકરણોથી પરિચિત હતા. અગાઉ, વિદ્યાર્થીઓએ ફોર્મ ax+by=c ના સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની હતી. સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની વિભાવનાને વધુ ઊંડી બનાવવી અને તેમને હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવા માટે, આ વિડિઓ પાઠ બીજી ડિગ્રીના બે સમીકરણો, તેમજ બીજી ડિગ્રીનું એક સમીકરણ, અને બીજું સમીકરણ ધરાવતી સિસ્ટમના ઉકેલની તપાસ કરે છે. પ્રથમ ડિગ્રીની. સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી એ શું છે તેની અમને યાદ અપાય છે. ચલોના મૂલ્યોની જોડી તરીકે સિસ્ટમના ઉકેલની વ્યાખ્યા કે જે તેના સમીકરણોને જ્યારે યોગ્ય સમાનતામાં બદલવામાં આવે ત્યારે તેને ઉલટાવી દે છે તે સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે. સિસ્ટમ સોલ્યુશનની વ્યાખ્યા અનુસાર, કાર્ય સ્પષ્ટ થયેલ છે. તે યાદ રાખવા માટે સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે કે સિસ્ટમને ઉકેલવાનો અર્થ છે યોગ્ય ઉકેલો શોધવા અથવા તેની ગેરહાજરી સાબિત કરવી.

સમીકરણોની ચોક્કસ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવાની દરખાસ્ત છે. અરજી આ પદ્ધતિ x 2 +y 2 =16 અને y=-x 2 +2x+4 સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમ ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. ગ્રાફિક સોલ્યુશનસિસ્ટમ આ દરેક સમીકરણો રચીને શરૂ થાય છે. દેખીતી રીતે, સમીકરણ x 2 + y 2 = 16 નો ગ્રાફ એક વર્તુળ હશે. આપેલ વર્તુળના બિંદુઓ એ સમીકરણનો ઉકેલ છે. સમીકરણની બાજુમાં, મૂળ પર કેન્દ્ર O સાથે ત્રિજ્યા 4 નું વર્તુળ સંકલન સમતલ પર બાંધવામાં આવે છે. બીજા સમીકરણનો આલેખ એક પેરાબોલા છે, જેની શાખાઓ નીચે નીચે છે. સમીકરણના ગ્રાફને અનુરૂપ આ પેરાબોલા સંકલન સમતલ પર બાંધવામાં આવે છે. કોઈપણ બિંદુ પેરાબોલાને લગતું, એ સમીકરણ y=-x 2 +2x+4 નો ઉકેલ છે. તે સમજાવવામાં આવ્યું છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ ગ્રાફ પરના બિંદુઓ છે જે એકસાથે બંને સમીકરણોના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત છે. આનો અર્થ એ છે કે બાંધવામાં આવેલા આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો હશે.

તે નોંધ્યું છે કે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં બે ગ્રાફના આંતરછેદ પર સ્થિત બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવાનો સમાવેશ થાય છે, જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણના ઉકેલોના સમૂહને પ્રતિબિંબિત કરે છે. આકૃતિ બે ગ્રાફના મળેલા આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દર્શાવે છે: A, B, C, D[-2;-3.5]. આ બિંદુઓ ગ્રાફિકલી જોવા મળેલી સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો છે. તમે તેમને સમીકરણમાં બદલીને અને વાજબી સમાનતા મેળવીને તેમની સાચીતા ચકાસી શકો છો. સમીકરણમાં પોઈન્ટ્સને બદલ્યા પછી, તે સ્પષ્ટ છે કે કેટલાક પોઈન્ટ આપે છે ચોક્કસ મૂલ્યઉકેલો, અને ભાગ સમીકરણના ઉકેલના અંદાજિત મૂલ્યને રજૂ કરે છે: x 1 =0, y 1 =4; x 2 =2, y 2 ≈3.5; x 3 ≈3.5, y 3 = -2; x 4 = -2, y 4 ≈-3.5.

વિડિયો ટ્યુટોરીયલ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિના સાર અને એપ્લિકેશનને વિગતવાર સમજાવે છે. આ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે શાળામાં બીજગણિત પાઠમાં વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ તરીકે તેનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. માટે સામગ્રી પણ ઉપયોગી થશે સ્વ-અભ્યાસવિદ્યાર્થીઓ અને અંતર શિક્ષણ દરમિયાન વિષય સમજાવવામાં મદદ કરી શકે છે.

પ્રવેશ સ્તર

ફંક્શન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો, અસમાનતાઓ, સિસ્ટમો ઉકેલવા. વિઝ્યુઅલ માર્ગદર્શિકા (2019)

ઘણા કાર્યો કે જે આપણે સંપૂર્ણ રીતે બીજગણિતની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે તે કાર્ય આલેખનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ સરળ અને ઝડપી ઉકેલી શકાય છે; તમે કહો, "એવું કેવી રીતે?" કંઈક દોરો, અને શું દોરવું? મારા પર વિશ્વાસ કરો, કેટલીકવાર તે વધુ અનુકૂળ અને સરળ હોય છે. શું આપણે શરૂઆત કરીશું? ચાલો સમીકરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ!

સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

રેખીય સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

જેમ તમે પહેલાથી જ જાણો છો, રેખીય સમીકરણનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે, તેથી આ પ્રકારનું નામ. રેખીય સમીકરણો બીજગણિતીય રીતે ઉકેલવા માટે એકદમ સરળ છે - અમે તમામ અજાણ્યાઓને સમીકરણની એક બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, જે બધું આપણે જાણીએ છીએ તે બીજી તરફ અને વોઇલા! અમને મૂળ મળ્યું. હવે હું તમને બતાવીશ કે તે કેવી રીતે કરવું ગ્રાફિકલી.

તેથી તમારી પાસે સમીકરણ છે:

તેને કેવી રીતે ઉકેલવું?
વિકલ્પ 1, અને સૌથી સામાન્ય એ છે કે અજ્ઞાતને એક બાજુ અને જ્ઞાતને બીજી તરફ ખસેડવું, આપણને મળે છે:

હવે ચાલો બાંધીએ. તમને શું મળ્યું?

તમને લાગે છે કે આપણા સમીકરણનું મૂળ શું છે? તે સાચું છે, આલેખના આંતરછેદ બિંદુનું સંકલન છે:

અમારો જવાબ છે

તે ગ્રાફિક સોલ્યુશનની સંપૂર્ણ શાણપણ છે. જેમ તમે સરળતાથી ચકાસી શકો છો, અમારા સમીકરણનું મૂળ એક સંખ્યા છે!

મેં ઉપર કહ્યું તેમ, આ સૌથી સામાન્ય વિકલ્પ છે, નજીક બીજગણિત ઉકેલ, પરંતુ તમે તેને અલગ રીતે હલ કરી શકો છો. વિચારણા માટે વૈકલ્પિક ઉકેલચાલો આપણા સમીકરણ પર પાછા જઈએ:

આ વખતે આપણે કંઈપણ એક બાજુથી બીજી બાજુ ખસેડીશું નહીં, પરંતુ સીધા આલેખ બનાવીશું, જેમ કે તે હવે છે:

બિલ્ટ? ચાલો જોઈએ!

આ વખતે ઉકેલ શું છે? તે સાચું છે. સમાન વસ્તુ - ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુનું સંકલન:

અને, ફરીથી, અમારો જવાબ છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સાથે રેખીય સમીકરણોબધું અત્યંત સરળ છે. કંઈક વધુ જટિલ જોવાનો આ સમય છે... ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

તો, હવે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાનું શરૂ કરીએ. ચાલો કહીએ કે તમારે આ સમીકરણના મૂળ શોધવાની જરૂર છે:

અલબત્ત, તમે હવે ભેદભાવ દ્વારા અથવા વિયેટાના પ્રમેય મુજબ ગણતરી કરવાનું શરૂ કરી શકો છો, પરંતુ ઘણા લોકો, જ્ઞાનતંતુઓની બહાર, ગુણાકાર અથવા વર્ગીકરણ કરતી વખતે ભૂલો કરે છે, ખાસ કરીને જો ઉદાહરણ સાથે મોટી સંખ્યામાં, અને, જેમ તમે જાણો છો, તમારી પાસે પરીક્ષા માટે કેલ્ક્યુલેટર નહીં હોય... તેથી, ચાલો આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે થોડો આરામ કરવાનો અને દોરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ગ્રાફિકલી ઉકેલો શોધો આપેલ સમીકરણકરી શકે છે વિવિધ રીતે. ચાલો વિવિધ વિકલ્પો જોઈએ, અને તમે પસંદ કરી શકો છો કે તમને કયો શ્રેષ્ઠ ગમે છે.

પદ્ધતિ 1. સીધી

અમે આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ફક્ત એક પેરાબોલા બનાવીએ છીએ:

આ ઝડપથી કરવા માટે, હું તમને એક નાનો સંકેત આપીશ: પેરાબોલાના શિરોબિંદુને નિર્ધારિત કરીને બાંધકામ શરૂ કરવું અનુકૂળ છે.નીચેના સૂત્રો પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં મદદ કરશે:

તમે કહેશો “રોકો! માટેનું સૂત્ર ભેદભાવ કરનારને શોધવાના સૂત્ર જેવું જ છે," હા, તે છે, અને તેના મૂળ શોધવા માટે પેરાબોલાને "સીધી રીતે" બાંધવાનો આ એક મોટો ગેરલાભ છે. જો કે, ચાલો અંત સુધી ગણતરી કરીએ, અને પછી હું તમને બતાવીશ કે તે કેવી રીતે કરવું (ઘણું!) સરળ!

શું તમે ગણતરી કરી? પેરાબોલાના શિરોબિંદુ માટે તમને કયા કોઓર્ડિનેટ્સ મળ્યા? ચાલો તેને એકસાથે શોધી કાઢીએ:

બરાબર એ જ જવાબ? શાબાશ! અને હવે આપણે શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, પરંતુ પેરાબોલા બનાવવા માટે આપણને વધુ... પોઈન્ટની જરૂર છે. તમને લાગે છે કે અમને કેટલા ન્યૂનતમ પોઈન્ટની જરૂર છે? સાચું, .

તમે જાણો છો કે પેરાબોલા તેના શિરોબિંદુ વિશે સપ્રમાણ છે, ઉદાહરણ તરીકે:

તદનુસાર, આપણને પેરાબોલાની ડાબી અથવા જમણી શાખા પર વધુ બે બિંદુઓની જરૂર છે, અને ભવિષ્યમાં આપણે આ બિંદુઓને વિરુદ્ધ બાજુ પર સમપ્રમાણરીતે પ્રતિબિંબિત કરીશું:

ચાલો આપણા પેરાબોલા પર પાછા ફરીએ. અમારા કેસ માટે, સમયગાળો. આપણને વધુ બે પોઈન્ટની જરૂર છે, જેથી આપણે પોઝીટીવ લઈ શકીએ કે નેગેટીવ લઈ શકીએ? તમારા માટે કયા બિંદુઓ સૌથી અનુકૂળ છે? સકારાત્મક લોકો સાથે કામ કરવું મારા માટે વધુ અનુકૂળ છે, તેથી હું અને પર ગણતરી કરીશ.

હવે આપણી પાસે ત્રણ બિંદુઓ છે, અને આપણે બે પ્રતિબિંબિત કરીને આપણું પેરાબોલા સરળતાથી બનાવી શકીએ છીએ છેલ્લા બિંદુઓતેની ટોચની તુલનામાં:

તમને શું લાગે છે કે સમીકરણનો ઉકેલ શું છે? તે સાચું છે, બિંદુઓ જેના પર, એટલે કે, અને. કારણ કે.

અને જો આપણે એમ કહીએ, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે પણ સમાન હોવું જોઈએ, અથવા.

બસ? અમે જટિલ ગ્રાફિકલ રીતે સમીકરણ ઉકેલવાનું સમાપ્ત કર્યું છે, અથવા ત્યાં વધુ હશે!

અલબત્ત, તમે બીજગણિતીય રીતે અમારા જવાબને ચકાસી શકો છો - તમે વિએટાના પ્રમેય અથવા ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને મૂળની ગણતરી કરી શકો છો. તમને શું મળ્યું? એ જ? તમે જુઓ! હવે ચાલો એક ખૂબ જ સરળ ગ્રાફિક ઉકેલ જોઈએ, મને ખાતરી છે કે તમને તે ખરેખર ગમશે!

પદ્ધતિ 2. કેટલાક કાર્યોમાં વિભાજિત

ચાલો આપણું સમાન સમીકરણ લઈએ: , પરંતુ આપણે તેને થોડું અલગ રીતે લખીશું, એટલે કે:

શું આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ? અમે કરી શકીએ છીએ, કારણ કે પરિવર્તન સમાન છે. ચાલો આગળ જોઈએ.

ચાલો બે કાર્યોને અલગથી બનાવીએ:

- શેડ્યૂલ છે સરળ પેરાબોલા, જે તમે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને શિરોબિંદુને વ્યાખ્યાયિત કર્યા વિના અને અન્ય બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે કોષ્ટક દોર્યા વિના પણ સરળતાથી બનાવી શકો છો.
- ગ્રાફ એ એક સીધી રેખા છે, જેને તમે કેલ્ક્યુલેટરનો આશરો લીધા વિના પણ તમારા માથામાંના મૂલ્યોનો અંદાજ લગાવીને સરળતાથી બનાવી શકો છો.

બિલ્ટ? ચાલો મને જે મળ્યું તેની સાથે સરખામણી કરીએ:

શું તમને લાગે છે કે માં આ કિસ્સામાંસમીકરણના મૂળ છે? અધિકાર! બે ગ્રાફના આંતરછેદ દ્વારા મેળવેલ કોઓર્ડિનેટ્સ અને, એટલે કે:

તદનુસાર, આ સમીકરણનો ઉકેલ છે:

તમે શું કહો છો? સંમત થાઓ, ઉકેલની આ પદ્ધતિ અગાઉના કરતાં ઘણી સરળ છે અને ભેદભાવ કરનાર દ્વારા મૂળ શોધવા કરતાં પણ સરળ છે! જો એમ હોય તો, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેના સમીકરણને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો:

તમને શું મળ્યું? ચાલો આપણા ગ્રાફની તુલના કરીએ:

આલેખ બતાવે છે કે જવાબો છે:

શું તમે મેનેજ કર્યું? શાબાશ! હવે ચાલો સમીકરણોને થોડા વધુ જટિલ જોઈએ, એટલે કે, ઉકેલ મિશ્ર સમીકરણો, એટલે કે, વિવિધ પ્રકારનાં કાર્યો ધરાવતા સમીકરણો.

મિશ્ર સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

હવે ચાલો નીચેના ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરીએ:

અલબત્ત, અમે બધું લાવી શકીએ છીએ સામાન્ય છેદ, પરિણામી સમીકરણના મૂળ શોધો, ODZ ને ધ્યાનમાં લેવાનું ભૂલશો નહીં, પરંતુ ફરીથી, અમે તેને ગ્રાફિકલી હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીશું, જેમ આપણે અગાઉના તમામ કેસોમાં કર્યું હતું.

આ વખતે ચાલો નીચેના 2 ગ્રાફ બનાવીએ:

- આલેખ અતિપરવલય છે
- ગ્રાફ એ એક સીધી રેખા છે, જેને તમે કેલ્ક્યુલેટરનો આશરો લીધા વિના પણ તમારા માથામાંના મૂલ્યોનો અંદાજ લગાવીને સરળતાથી બનાવી શકો છો.

સમજાયું? હવે બાંધકામ શરૂ કરો.

મને જે મળ્યું તે અહીં છે:

આ ચિત્ર જોઈને કહો કે આપણા સમીકરણના મૂળ શું છે?

તે સાચું છે, અને. અહીં પુષ્ટિકરણ છે:

અમારા મૂળને સમીકરણમાં જોડવાનો પ્રયાસ કરો. તે કામ કર્યું?

તે સાચું છે! સંમત થાઓ, આવા સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા એ આનંદની વાત છે!

સમીકરણને જાતે ગ્રાફિકલી હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો:

હું તમને એક સંકેત આપીશ: સમીકરણનો ભાગ ખસેડો જમણી બાજુ, જેથી બંને બાજુએ બાંધવા માટે સૌથી સરળ કાર્યો હોય. શું તમને સંકેત મળ્યો? પગલાં લો!

હવે ચાલો જોઈએ કે તમને શું મળ્યું:

અનુક્રમે:

- ક્યુબિક પેરાબોલા.
- સામાન્ય સીધી રેખા.

સારું, ચાલો બનાવીએ:

જેમ તમે લાંબા સમય પહેલા લખ્યું છે, આ સમીકરણનું મૂળ છે -.

આ નક્કી કર્યા પછી મોટી સંખ્યામાંઉદાહરણો, મને ખાતરી છે કે તમને સમજાયું હશે કે સમીકરણો ઉકેલવા તે કેટલું સરળ અને ઝડપી છે ગ્રાફિકલી. આ રીતે સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી તે શોધવાનો આ સમય છે.

સિસ્ટમ્સનું ગ્રાફિક સોલ્યુશન

ગ્રાફિકલી સોલ્વિંગ સિસ્ટમ્સ આવશ્યકપણે ગ્રાફિકલી સોલ્વિંગ સમીકરણોથી અલગ નથી. અમે બે ગ્રાફ પણ બનાવીશું, અને તેમના આંતરછેદ બિંદુઓ આ સિસ્ટમના મૂળ હશે. એક ગ્રાફ એ એક સમીકરણ છે, બીજો ગ્રાફ એ બીજું સમીકરણ છે. બધું અત્યંત સરળ છે!

ચાલો સૌથી સરળ વસ્તુથી શરૂ કરીએ - રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી હલ કરવી.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે નીચેની સિસ્ટમ છે:

પ્રથમ, ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી ડાબી બાજુએ દરેક વસ્તુ છે જે સાથે જોડાયેલ છે, અને જમણી બાજુએ - દરેક વસ્તુ જેની સાથે જોડાયેલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચાલો આ સમીકરણોને આપણા સામાન્ય સ્વરૂપમાં ફંક્શન તરીકે લખીએ:

હવે આપણે ફક્ત બે સીધી રેખાઓ બનાવીએ છીએ. અમારા કિસ્સામાં ઉકેલ શું છે? અધિકાર! તેમના આંતરછેદનો મુદ્દો! અને અહીં તમારે ખૂબ, ખૂબ કાળજી લેવાની જરૂર છે! તે વિશે વિચારો, શા માટે? ચાલો હું તમને એક સંકેત આપું: અમે સિસ્ટમ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ: સિસ્ટમમાં બંને છે, અને... સંકેત મળ્યો?

તે સાચું છે! સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે, આપણે બંને કોઓર્ડિનેટ્સ જોવું જોઈએ, અને સમીકરણો ઉકેલતી વખતે નહીં! અન્ય મહત્વપૂર્ણ બિંદુ- તેમને યોગ્ય રીતે લખો અને ગૂંચવશો નહીં કે આપણી પાસે ક્યાં અર્થ છે અને અર્થ ક્યાં છે! શું તમે તેને લખી નાખ્યું? હવે ચાલો ક્રમમાં દરેક વસ્તુની તુલના કરીએ:

અને જવાબો: અને. તપાસ કરો - મળેલા મૂળને સિસ્ટમમાં બદલો અને ખાતરી કરો કે અમે તેને ગ્રાફિકલી યોગ્ય રીતે ઉકેલી છે કે કેમ?

બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

શું જો, એક સીધી રેખાને બદલે, આપણી પાસે હોય ચતુર્ભુજ સમીકરણ? તે ઠીક છે! તમે સીધી રેખાને બદલે માત્ર એક પેરાબોલા બનાવો! મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? નીચેની સિસ્ટમને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો:

અમારું આગળનું પગલું શું છે? તે સાચું છે, તેને લખો જેથી અમને આલેખ બનાવવા માટે તે અનુકૂળ હોય:

અને હવે તે બધી નાની વસ્તુઓની બાબત છે - તેને ઝડપથી બનાવો અને અહીં તમારો ઉકેલ છે! અમે બનાવીએ છીએ:

શું આલેખ સમાન બહાર આવ્યું છે? હવે આકૃતિમાં સિસ્ટમના ઉકેલોને ચિહ્નિત કરો અને ઓળખાયેલા જવાબોને યોગ્ય રીતે લખો!

તમે બધું કર્યું? મારી નોંધો સાથે સરખામણી કરો:

બધું બરાબર છે ને? શાબાશ! તમે પહેલેથી જ ક્લિક કરી રહ્યાં છો સમાન કાર્યોબદામ જેવા! જો એમ હોય, તો ચાલો તમને વધુ જટિલ સિસ્ટમ આપીએ:

અમે શું કરી રહ્યા છીએ? અધિકાર! અમે સિસ્ટમ લખીએ છીએ જેથી તે બિલ્ડ કરવા માટે અનુકૂળ હોય:

હું તમને થોડો સંકેત આપીશ, કારણ કે સિસ્ટમ ખૂબ જ જટિલ લાગે છે! આલેખ બનાવતી વખતે, તેમને "વધુ" બનાવો, અને સૌથી અગત્યનું, આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યાથી આશ્ચર્ય પામશો નહીં.

તો, ચાલો જઈએ! શ્વાસ બહાર કાઢ્યો? હવે બાંધકામ શરૂ કરો!

તો કેવી રીતે? સુંદર? તમને કેટલા આંતરછેદ બિંદુઓ મળ્યા? મારી પાસે ત્રણ છે! ચાલો આપણા ગ્રાફની તુલના કરીએ:

પણ? હવે અમારી સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો કાળજીપૂર્વક લખો:

હવે ફરીથી સિસ્ટમ જુઓ:

શું તમે કલ્પના કરી શકો છો કે તમે આ માત્ર 15 મિનિટમાં ઉકેલી લીધું છે? સંમત થાઓ, ગણિત હજી પણ સરળ છે, ખાસ કરીને જ્યારે કોઈ અભિવ્યક્તિને જોતા હોય ત્યારે તમે ભૂલ કરતા ડરતા નથી, પરંતુ ફક્ત તેને લો અને તેને હલ કરો! તમે મહાન છો!

અસમાનતાના ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

રેખીય અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

પછી છેલ્લું ઉદાહરણતમે બધું સંભાળી શકો છો! હવે શ્વાસ બહાર કાઢો - અગાઉના વિભાગોની તુલનામાં, આ એક ખૂબ જ સરળ હશે!

અમે હંમેશની જેમ, ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન સાથે પ્રારંભ કરીશું રેખીય અસમાનતા. ઉદાહરણ તરીકે, આ એક:

પ્રથમ, ચાલો સૌથી સરળ પરિવર્તનો કરીએ - કૌંસ ખોલો સંપૂર્ણ ચોરસઅને સમાન શરતો આપો:

અસમાનતા કડક નથી, તેથી તે અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ નથી, અને ઉકેલ એ તમામ બિંદુઓ હશે જે જમણી તરફ છે, કારણ કે વધુ, વધુ, અને તેથી વધુ:

જવાબ:

બસ! સરળતાથી? ચાલો બે ચલો સાથે એક સરળ અસમાનતાને હલ કરીએ:

ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શન દોરીએ.

શું તમને આવું શેડ્યૂલ મળ્યું છે? હવે આપણે ધ્યાનથી જોઈએ કે આપણે ત્યાં કઈ અસમાનતા છે? ઓછું? આનો અર્થ એ છે કે આપણે આપણી સીધી રેખાની ડાબી બાજુની દરેક વસ્તુ પર પેઇન્ટ કરીએ છીએ. જો ત્યાં વધુ હોત તો? તે સાચું છે, તો પછી અમે અમારી સીધી રેખાની જમણી બાજુની દરેક વસ્તુ પર પેઇન્ટ કરીશું. તે સરળ છે.

બધા ઉકેલો આ અસમાનતા"શેડ્ડ" નારંગી. બસ, બે ચલો સાથેની અસમાનતા ઉકેલાઈ ગઈ. આનો અર્થ એ છે કે છાંયેલા વિસ્તારમાંથી કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ ઉકેલો છે.

ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

હવે આપણે સમજીશું કે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ગ્રાફિકલી કેવી રીતે હલ કરવી.

પરંતુ આપણે વ્યવસાય પર ઉતરીએ તે પહેલાં, ચાલો ચતુર્ભુજ કાર્યને લગતી કેટલીક સામગ્રીની સમીક્ષા કરીએ.

ભેદભાવ કરનાર શા માટે જવાબદાર છે? તે સાચું છે, ધરીને સંબંધિત ગ્રાફની સ્થિતિ માટે (જો તમને આ યાદ ન હોય, તો ચતુર્ભુજ કાર્યો વિશેનો સિદ્ધાંત ચોક્કસપણે વાંચો).

કોઈ પણ સંજોગોમાં, અહીં તમારા માટે થોડું રીમાઇન્ડર છે:

હવે અમે અમારી મેમરીમાં તમામ સામગ્રીને તાજી કરી દીધી છે, ચાલો વ્યવસાય પર ઉતરીએ - અસમાનતાને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ.

હું તમને તરત જ કહીશ કે તેને ઉકેલવા માટે બે વિકલ્પો છે.

વિકલ્પ 1

અમે અમારા પેરાબોલાને ફંક્શન તરીકે લખીએ છીએ:

સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ (ચતુર્ભુજ સમીકરણો હલ કરતી વખતે બરાબર એ જ છે):

શું તમે ગણતરી કરી? તમને શું મળ્યું?

હવે ચાલો વધુ બે જુદા જુદા મુદ્દાઓ લઈએ અને તેમના માટે ગણતરી કરીએ:

ચાલો પેરાબોલાની એક શાખા બનાવવાનું શરૂ કરીએ:

અમે સમપ્રમાણરીતે અમારા બિંદુઓને પેરાબોલાની બીજી શાખા પર પ્રતિબિંબિત કરીએ છીએ:

હવે આપણે આપણી અસમાનતા પર પાછા ફરીએ.

અમને તે હોવું જરૂરી છે શૂન્ય કરતાં ઓછું, અનુક્રમે:

કારણ કે અમારી અસમાનતામાં ચિહ્ન તેના કરતા સખત રીતે ઓછું છે અંતિમ બિંદુઓઅમે બાકાત રાખીએ છીએ - "પ્રિક આઉટ".

જવાબ:

લાંબો રસ્તો, બરાબર ને? હવે હું તમને સમાન અસમાનતાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફિકલ સોલ્યુશનનું સરળ સંસ્કરણ બતાવીશ:

વિકલ્પ 2

અમે અમારી અસમાનતા પર પાછા ફરીએ છીએ અને અમને જરૂરી અંતરાલોને ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

સંમત થાઓ, તે ખૂબ ઝડપી છે.

ચાલો હવે જવાબ લખીએ:

ચાલો બીજા ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ જે બીજગણિત ભાગને સરળ બનાવે છે, પરંતુ મુખ્ય વસ્તુ મૂંઝવણમાં ન આવવાની છે.

ડાબી અને જમણી બાજુઓને આના દ્વારા ગુણાકાર કરો:

નીચેના મુદ્દાઓને જાતે ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરો ચતુર્ભુજ અસમાનતાતમને ગમે તે રીતે: .

શું તમે મેનેજ કર્યું?

મારો ગ્રાફ કેવો નીકળ્યો તે જુઓ:

જવાબ: .

મિશ્ર અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

હવે ચાલો વધુ જટિલ અસમાનતાઓ તરફ આગળ વધીએ!

તમને આ કેવી રીતે ગમ્યું:

તે વિલક્ષણ છે, તે નથી? પ્રામાણિકપણે, મને આ બીજગણિત રીતે કેવી રીતે ઉકેલવું તે અંગે કોઈ ખ્યાલ નથી... પરંતુ તે જરૂરી નથી. ગ્રાફિકલી આમાં કંઈ જટિલ નથી! આંખો ડરે છે, પણ હાથ કરે છે!

પ્રથમ વસ્તુ જેની સાથે આપણે શરૂઆત કરીશું તે છે બે ગ્રાફ બનાવીને:

હું દરેક માટે એક ટેબલ લખીશ નહીં - મને ખાતરી છે કે તમે તે તમારી જાતે કરી શકો છો (વાહ, ઉકેલવા માટે ઘણા ઉદાહરણો છે!).

શું તમે તેને પેઇન્ટ કર્યું? હવે બે આલેખ બનાવો.

ચાલો આપણા રેખાંકનોની તુલના કરીએ?

શું તમારી સાથે પણ એવું જ છે? સરસ! હવે ચાલો આંતરછેદ બિંદુઓને ગોઠવીએ અને રંગનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરીએ કે કયો ગ્રાફ સિદ્ધાંતમાં મોટો હોવો જોઈએ, એટલે કે. જુઓ અંતે શું થયું:

હવે ચાલો જોઈએ કે આપણો પસંદ કરેલ ગ્રાફ ગ્રાફ કરતા ક્યાં વધારે છે? આ વિસ્તાર પર પેન્સિલ લેવા અને પેઇન્ટ કરવા માટે મફત લાગે! તે આપણી જટિલ અસમાનતાનો ઉકેલ હશે!