ઉચ્ચ ક્રમના બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલતી વખતે ગણિતમાં રસ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ માટે અસરકારક પદ્ધતિઝડપથી મૂળ શોધવું, દ્વિપદી x – a અથવા ax + b વડે શેષ સાથે વિભાજન કરવું એ હોર્નરની યોજના છે.

હોર્નરની યોજનાનો વિચાર કરો.

ચાલો P(x) ને x – a વડે વિભાજિત કરતી વખતે અપૂર્ણ ભાગાંક દર્શાવીએ

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1, અને બાકીનું b n છે.

ત્યારથી P(x) = Q(x)(x–) + b n, પછી સમાનતા ધરાવે છે

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(x–a) + b n

ચાલો જમણી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ અને તેના માટે ગુણાંકની તુલના કરીએ સમાન ડિગ્રી x ડાબે અને જમણે. આપણે મેળવીએ છીએ કે a 0 = b 0 અને 1 પર < k < n સંબંધો a k = b k - a b k-1 હોલ્ડ. તે અનુસરે છે કે b 0 = a 0 અને b k = a k + a b k-1, 1 < k < n

અમે બહુપદી Q(x) અને બાકીના b n ના ગુણાંકની ગણતરી કોષ્ટકના રૂપમાં લખીએ છીએ:

ઉદાહરણ 1. બહુપદી 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 ને x + 1 વડે વિભાજિત કરો.

ઉકેલ. અમે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

જ્યારે 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 ને x + 1 વડે ભાગીએ ત્યારે આપણને 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1 મળે છે

જવાબ: 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

ઉદાહરણ 2. P(3) ની ગણતરી કરો, જ્યાં P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

ઉકેલ. બેઝાઉટના પ્રમેય અને હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

જવાબ: P(3) = 535

વ્યાયામ

1) હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, બહુપદીને વિભાજીત કરો

x + 2 પર 4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2;

2) બહુપદીને વિભાજીત કરો

x + 1 પર 2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1;

3) x = 7 માટે બહુપદી P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 ની કિંમત શોધો.

1.1. પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે સમીકરણોના તર્કસંગત મૂળ શોધો

પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બીજગણિત સમીકરણના તર્કસંગત મૂળ શોધવા માટેની પદ્ધતિ નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવી છે.

પ્રમેય:જો પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેનું સમીકરણ હોય તર્કસંગત મૂળ, પછી તેઓ અગ્રણી ગુણાંકના વિભાજક દ્વારા વિભાજિત મુક્ત પદના વિભાજકનો ભાગ છે.

પુરાવો: a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0

ચાલો x = p/q એ તર્કસંગત મૂળ છે, q, p કોપ્રાઈમ છે.

અપૂર્ણાંક p/q ને સમીકરણમાં બદલીને અને પોતાને છેદમાંથી મુક્ત કરીને, આપણને મળે છે

a 0 p n + a 1 p n-1 q+ … + a n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

ચાલો (1) ને બે રીતે ફરીથી લખીએ:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

a 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

સમાનતા (2) થી તે અનુસરે છે કે n q n એ p વડે વિભાજ્ય છે, અને ત્યારથી q n અને p કોપ્રાઈમ છે, પછી a n એ p વડે વિભાજ્ય છે. એ જ રીતે, સમાનતા (3) પરથી તે અનુસરે છે કે 0 એ q વડે વિભાજ્ય છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0 ઉકેલો.

ઉકેલ. સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ નથી; આપણે સમીકરણના તર્કસંગત મૂળ શોધીએ છીએ. અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંક p/q એ સમીકરણનું મૂળ છે, પછી p એ મુક્ત પદના વિભાજકોમાં જોવા મળે છે, એટલે કે. સંખ્યાઓ વચ્ચે ± 1, અને q અગ્રણી ગુણાંકના હકારાત્મક વિભાજકોમાં: 1; 2.

તે. ± 1, ± 1/2 નંબરો વચ્ચે સમીકરણના તર્કસંગત મૂળ શોધવું આવશ્યક છે, P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1) 0, P 3 (–1) 0 દર્શાવો ,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 એ સમીકરણનું મૂળ છે.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

આપણને મળે છે: x 2 (2x – 1) – 3x(2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

બીજા અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવીને અને સમીકરણ ઉકેલવાથી આપણને મળે છે

કસરતો

સમીકરણો ઉકેલો:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. પારસ્પરિક સમીકરણો અને ઉકેલ પદ્ધતિઓ

વ્યાખ્યા. અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં પૂર્ણાંક શક્તિઓ સાથેના સમીકરણને આવર્તક કહેવામાં આવે છે જો તેના ગુણાંક, ડાબી બાજુના છેડાથી સમાન, એકબીજા સાથે સમાન હોય, એટલે કે. ફોર્મનું સમીકરણ

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

વિષમ ડિગ્રીનું પારસ્પરિક સમીકરણ

ax 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + a = 0

હંમેશા રુટ x = – 1 હોય છે. તેથી, તે સમીકરણ x + 1 = 0 અને . છેલ્લું સમીકરણ એ સમ ડિગ્રીનું પારસ્પરિક સમીકરણ છે. આમ, કોઈપણ ડિગ્રીના પારસ્પરિક સમીકરણોને ઉકેલવાથી સમાન ડિગ્રીના પારસ્પરિક સમીકરણને ઉકેલવામાં ઘટાડો થાય છે.

તેને કેવી રીતે ઉકેલવું? સમ ડિગ્રીનું પારસ્પરિક સમીકરણ આપવા દો

ax 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + a = 0

નોંધ કરો કે x = 0 એ સમીકરણનું મૂળ નથી. પછી આપણે સમીકરણને x n વડે ભાગીએ છીએ, આપણને મળે છે

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

અમે જોડીમાં ડાબી બાજુની શરતોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ

a(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

અમે બદલીએ છીએ x + x -1 = y. x 2 + x -2 = y 2 – 2 અભિવ્યક્તિઓને અવેજી કર્યા પછી;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 સમીકરણમાં આપણને સમીકરણ મળે છે ખાતેАу n + બાય n-1 + Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તમારે x + x -1 = y k, જ્યાં k = 1, 2, ... n ફોર્મના કેટલાક ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની જરૂર છે. આમ, આપણે મૂળ મેળવીએ છીએ મૂળ સમીકરણ.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0 ઉકેલો.

ઉકેલ. x = – 1 એ સમીકરણનું મૂળ છે. ચાલો હોર્નરની સ્કીમ લાગુ કરીએ.

આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3 ? 0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

જૂથીકરણ, અમને મળે છે: .

અમે રિપ્લેસમેન્ટ રજૂ કરીએ છીએ: ; ; .

આપણે પ્રમાણમાં મેળવીએ છીએ ખાતેસમીકરણ: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1)(y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 = ± 3.

સમીકરણો ઉકેલવા , , ,

આપણને મૂળ મળે છે: , , ,

જવાબ: x 1 = -1, ,

કસરતો

સમીકરણો ઉકેલો.

1. 2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;
2. 2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;
3. 15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. સમીકરણો ઉકેલવા માટે વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ એ સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ છે. પરિવર્તનશીલ પરિવર્તન કરવાની કળા એ જોવાનું છે કે કયો ફેરફાર સૌથી વધુ અર્થપૂર્ણ છે અને વધુ ઝડપથી સફળતા તરફ દોરી જશે.

જો સમીકરણ આપવામાં આવે તો

F(f(x)) = 0, (1)

પછી અજાણ્યા y = f(x) ને બદલીને તે પ્રથમ સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે

અને પછી સમીકરણ (2) y 1 , y 2 , …, y n , … ના તમામ ઉકેલો શોધી કાઢ્યા પછી સમીકરણ f(x) = y 1, f(x) = y 2 ,…, f ના સમૂહને હલ કરવામાં ઘટાડો થાય છે. (x) = y 2,...

ચલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિને અમલમાં મૂકવાની મુખ્ય રીતો છે:

• અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરીને;
• દ્વિપદીના ચોરસને પ્રકાશિત કરવું;
• સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સંક્રમણ;
• જોડીમાં કૌંસ ખોલવા;
• જોડીમાં કૌંસ ખોલવા અને સમીકરણની બંને બાજુઓ વિભાજીત કરવી;
• સમીકરણની ડિગ્રીમાં ઘટાડો;
• ડબલ રિપ્લેસમેન્ટ.

1.3.1. સમીકરણની શક્તિ ઘટાડવી

સમીકરણ ઉકેલો (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3)

ઉકેલ. ચાલો x 2 + x + 2 = y સૂચવીએ, પછી ચાલો y (y + 1) = 6 લઈએ, બાદમાં ઉકેલવાથી, આપણને y 1 = 2, y 2 = -3 મળે છે. આ સમીકરણ (3) x 2 + x + 2 = 2 સમીકરણોના સમૂહની સમકક્ષ છે

x 2 + x + 2 = -3

પ્રથમ હલ કરવાથી, આપણને x 1 = 0, x 2 = -1 મળે છે. બીજાને ઉકેલવાથી, આપણને મળે છે ,

જવાબ: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. ફોર્મનું ચોથું ડિગ્રી સમીકરણ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, જ્યાં a + b = c + d, અથવા a + c = b + d, અથવા a + d = b+c.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40

ઉકેલ. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, કૌંસની આ જોડીનો ગુણાકાર કરવાથી, આપણને સમીકરણ મળે છે (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40

ચાલો બદલીનો પરિચય કરીએ: x 2 - 5x – 14 = y, આપણને y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0. y 1 = -20, y સમીકરણ મળે છે. 2 = 2. મૂળ ચલ પર પાછા ફરીને, અમે સમીકરણોનો સમૂહ હલ કરીએ છીએ:

1.3.3. ફોર્મનું સમીકરણ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ex 2,

જ્યાં ab = cd, અથવા ac = bd, અથવા ad = bc. જોડીમાં કૌંસ ખોલો અને બંને ભાગોને x 2 0 વડે વિભાજીત કરો.

ઉદાહરણ. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

ઉકેલ. પ્રથમ અને ત્રીજા અને બીજા અને ચોથા કૌંસમાં સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન સમાન છે, એટલે કે. – 8 (- 1) = (- 2) (- 4). ચાલો કૌંસની દર્શાવેલ જોડીનો ગુણાકાર કરીએ અને સમીકરણ લખીએ (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2.

x = 0 એ સમીકરણનું મૂળ ન હોવાથી, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને x 2 0 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: , રિપ્લેસમેન્ટ: , મૂળ સમીકરણ ફોર્મ લેશે: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા જઈએ:

આપણે પ્રથમ સમીકરણ હલ કરીએ છીએ, આપણને x 1.2 = 5 ± મળે છે

બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: x 1.2 = 5 ±

1.3.4. ચોથા પ્રકારનું સમીકરણ (ax 2 + b 1 x + c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2

સમીકરણ (ax 2 + b 1 x+ c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2, જ્યાં c 0, A 0, પાસે મૂળ x = 0 નથી, તેથી, સમીકરણને x 2 વડે ભાગતા, આપણને સમકક્ષ સમીકરણ મળે છે , જે, અજાણ્યાને બદલ્યા પછી, ચોરસના રૂપમાં ફરીથી લખવામાં આવશે અને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

બીજગણિત સમીકરણો - ફોર્મના સમીકરણો

ચલોમાં બહુપદી ક્યાં છે. આ ચલોને અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ આ સમીકરણને સંતોષે છે જો, જ્યારે , દ્વારા , વગેરે દ્વારા બદલવામાં આવે. સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓનો ક્રમાંકિત ટ્રિપલ (3, 4, 5) સમીકરણને સંતોષે છે, કારણ કે ). જે સંખ્યા બીજગણિતીય સમીકરણને એક અજાણ્યામાં સંતોષે છે તેને તે સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે. આપેલ સમીકરણને સંતોષતા સંખ્યાઓના તમામ સેટનો સમૂહ આ સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ છે. બે બીજગણિતીય સમીકરણો કે જેમાં ઉકેલોનો સમાન સમૂહ હોય તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. બહુપદીની ડિગ્રીને સમીકરણની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, - પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ, - બીજી ડિગ્રી અને - ચોથી ડિગ્રી. પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણોને રેખીય પણ કહેવામાં આવે છે (રેખીય સમીકરણો જુઓ).

એક અજ્ઞાત સાથે બીજગણિત સમીકરણ છે અંતિમ સંખ્યામૂળ, અને સાથેના બીજગણિત સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ મોટી સંખ્યામાંઅજ્ઞાત પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે અનંત સમૂહસંખ્યાઓનો ચોક્કસ સમૂહ. તેથી, તેઓ સામાન્ય રીતે અજાણ્યાઓ સાથેના વ્યક્તિગત બીજગણિતીય સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ સમીકરણોની સિસ્ટમો અને સંખ્યાઓના સેટને શોધે છે જે આપેલ સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોને એક સાથે સંતોષે છે. આ બધા સમૂહોનું સંયોજન સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ છે: .

એબેલના કાર્યને માન્યતા મળી, અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેના ભાવિ માટે ચિંતા દર્શાવવાનું શરૂ કર્યું. ફ્રેન્ચ શૈક્ષણિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ એબેલના ભાવિમાં ભાગ લેવાની વિનંતી સાથે નોર્વે પર શાસન કરનારા સ્વીડિશ રાજાને સંદેશ મોકલે છે. દરમિયાન, એબેલનો ક્ષય રોગ ઝડપથી આગળ વધી રહ્યો હતો, અને 6 એપ્રિલ, 1829 ના રોજ તેનું અવસાન થયું. એક અજાણ્યા સાથે 1લી ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણો પહેલેથી જ ઉકેલાઈ ગયા હતાપ્રાચીન ઇજિપ્ત અને પ્રાચીન બેબીલોન. બેબીલોનીયન શાસ્ત્રીઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણો તેમજ સરળ પ્રણાલીઓ ઉકેલવામાં સક્ષમ હતારેખીય સમીકરણો અને 2જી ડિગ્રીના સમીકરણો. વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તેઓએ 3જી ડિગ્રીના કેટલાક સમીકરણો પણ ઉકેલ્યા, ઉદાહરણ તરીકે. પ્રાચીન ગ્રીસમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ભૌમિતિક બાંધકામોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવતા હતા. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફેન્ટસ (3જી સદી) એ બીજગણિતીય સમીકરણો અને આવા સમીકરણોની પ્રણાલીઓને તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં ઘણી અજાણ્યાઓ સાથે ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ વિકસાવી હતી. ઉદાહરણ તરીકે, તેણે સમીકરણને તર્કસંગત સંખ્યામાં હલ કર્યું

કેટલીક ભૌમિતિક સમસ્યાઓ: ક્યુબને બમણું કરવું, એક ખૂણાનું ત્રિ-વિભાજન (જુઓ પ્રાચીનકાળની શાસ્ત્રીય સમસ્યાઓ), નિયમિત હેપ્ટાગોનનું નિર્માણ - ઘન સમીકરણોના ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે. સોલ્યુશન દરમિયાન, કોનિક વિભાગો (અંદાજ, પેરાબોલાસ અને હાયપરબોલાસ) ના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવાનું જરૂરી હતું. ભૌમિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, મધ્યયુગીન પૂર્વના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘન સમીકરણોના ઉકેલોનો અભ્યાસ કર્યો. જો કે, તેઓ તેમને ઉકેલવા માટે એક ફોર્મ્યુલા મેળવવામાં અસમર્થ હતા. પશ્ચિમ યુરોપીયન ગણિતની પ્રથમ મોટી શોધ 16મી સદીમાં મળી હતી. ઉકેલ માટે સૂત્ર ઘન સમીકરણ. તે સમયે નકારાત્મક સંખ્યાઓ હજી વ્યાપક બની ન હતી, તેથી આવા પ્રકારના સમીકરણો વગેરેનું અલગથી વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી હતું. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી એસ. ડેલ ફેરો (1465-1526) એ સમીકરણ ઉકેલ્યા અને તેના પુત્રને ઉકેલની જાણ કરી. -લો અને વિદ્યાર્થી એ.-એમ. ફિઓરે, જેમણે નોંધપાત્ર સ્વ-શિક્ષિત ગણિતશાસ્ત્રી એન. ટાર્ટાગ્લિયા (1499-1557) ને ગાણિતિક ટુર્નામેન્ટમાં પડકાર્યો હતો. ટુર્નામેન્ટના થોડા દિવસો પહેલા, ટાર્ટાગ્લિયા મળી સામાન્ય પદ્ધતિક્યુબિક સમીકરણો ઉકેલ્યા અને જીત્યા, તેને ઓફર કરેલી તમામ 30 સમસ્યાઓ ઝડપથી ઉકેલી. જો કે, સમીકરણ ઉકેલવા માટે ટાર્ટાગ્લિયા દ્વારા સૂત્ર મળ્યું

સુધીની સંખ્યાના ખ્યાલનું બીજગણિતીય પ્રતીકવાદ અને સામાન્યીકરણનું નિર્માણ જટિલ સંખ્યાઓ XVII-XVIII સદીઓમાં મંજૂરી. સંશોધન સામાન્ય ગુણધર્મોઉચ્ચ ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણો, તેમજ એક અને અનેક ચલોમાં બહુપદીના સામાન્ય ગુણધર્મો.

સૌથી વધુ એક મહત્વપૂર્ણ કાર્યો 17મી-18મી સદીમાં બીજગણિત સમીકરણોનો સિદ્ધાંત. 5મી ડિગ્રી સમીકરણ ઉકેલવા માટે એક સૂત્ર શોધી રહ્યો હતો. 18મી સદીના ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિકના પ્રયાસો દ્વારા બીજગણિતશાસ્ત્રીઓની ઘણી પેઢીઓની નિરર્થક શોધો પછી. જે. લેગ્રેન્જ (1736-1813), ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક પી. રુફિની (1765-1822) અને નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી એન. એબેલ XVIII ના અંતમાં – પ્રારંભિક XIXવી. તે સાબિત થયું હતું કે માત્ર અંકગણિત કામગીરી અને મૂળના નિષ્કર્ષણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા કોઈપણ 5મી ડિગ્રીના સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ સૂત્ર નથી. આ અભ્યાસો ઇ. ગેલોઈસના કાર્ય દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવ્યા હતા, જેની થિયરી કોઈપણ સમીકરણ માટે નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે કે શું તેના મૂળ રેડિકલમાં વ્યક્ત થાય છે. આ પહેલા પણ કે.એફ. ગૌસે સમીકરણના મૂળને ચોરસ રેડિકલમાં વ્યક્ત કરવાની સમસ્યા હલ કરી, જેમાં હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત ત્રિકોણ બનાવવાની સમસ્યા ઓછી થાય છે. ખાસ કરીને, આ સાધનોનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત હેપ્ટાગોન, નાઈનગોન, વગેરેનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે. - આવા બાંધકામ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે - ફોર્મની મુખ્ય સંખ્યા અથવા અલગનું ઉત્પાદન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓઆ પ્રકારની.

ઉકેલ માટે સૂત્રોની શોધ સાથે ચોક્કસ સમીકરણોકોઈપણ બીજગણિત સમીકરણ માટે મૂળના અસ્તિત્વના પ્રશ્નની તપાસ કરવામાં આવી હતી. 18મી સદીમાં ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી જે. ડી'એલેમ્બર્ટે સાબિત કર્યું કે જટિલ ગુણાંક સાથે બિન-શૂન્ય ડિગ્રીના કોઈપણ બીજગણિત સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછું એક જટિલ મૂળ હોય છે, જે પાછળથી ગૌસ દ્વારા ભરવામાં આવ્યા હતા. આ પ્રમેયમાંથી તે અનુસર્યું કે ડિગ્રી 0 ની કોઈપણ બહુપદી રેખીય પરિબળોના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત થઈ શકે છે.

હાલમાં, બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સિદ્ધાંત ગણિતના સ્વતંત્ર ક્ષેત્રમાં ફેરવાઈ ગયો છે જેને બીજગણિત ભૂમિતિ કહેવાય છે. તે આવા સમીકરણોની સિસ્ટમો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉચ્ચ પરિમાણોની રેખાઓ, સપાટીઓ અને મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ કરે છે.

બીજગણિત સમીકરણ, ફોર્મ F(x 1 ,…,x m)=0 નું સમીકરણ, જ્યાં F એ m ચલોમાં બહુપદી છે, જેને અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે.

એવું માનવામાં આવે છે કે બહુપદીના ગુણાંક નિશ્ચિત મુખ્ય ક્ષેત્ર K સાથે સંબંધિત છે. બીજગણિત સમીકરણનો ઉકેલ એ ક્ષેત્ર K (અથવા તેના એક્સ્ટેંશન), જે, બહુપદી F માં અવેજી પછી, તેને શૂન્યમાં ફેરવે છે. બીજગણિતીય સમીકરણોના સિદ્ધાંતનું મુખ્ય કાર્ય એ પરિસ્થિતિઓને સ્પષ્ટ કરવાનું છે જ્યારે આપેલ બીજગણિત સમીકરણમાં ઉકેલ હોય છે અને તમામ ઉકેલોના સમૂહનું વર્ણન હોય છે.

એક અજાણ્યા સાથેનું બીજગણિતીય સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે

એવું માનવામાં આવે છે કે n>0 અને a 0 ≠ 0. સંખ્યા n એ સમીકરણની ડિગ્રી કહેવાય છે, અને સંખ્યાઓ a 0, a 1 ..., અને n તેના ગુણાંક છે. અજ્ઞાત x ના મૂલ્યો જે સમીકરણના ઉકેલો છે તેને તેના મૂળ, તેમજ બહુપદી F(x) ના મૂળ કહેવામાં આવે છે. જો α એ સમીકરણ (1) નું મૂળ છે, તો બહુપદી F(x) ને (x-α) (બેઝાઉટનું પ્રમેય) દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. જો બહુપદી F(x) એ (x-α)k વડે વિભાજ્ય ન હોય અને (x-α)k વડે વિભાજ્ય ન હોય તો મુખ્ય ક્ષેત્ર K (અથવા તેનું વિસ્તરણ) નું તત્વ α એ બીજગણિતીય સમીકરણનું k-ફોલ્ડ રુટ કહેવાય છે. +1. ગુણાકાર 1 ના મૂળ પણ કહેવામાં આવે છે સરળ મૂળસમીકરણો

K ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે ડિગ્રી n ના દરેક બહુપદી K માં મૂળ n કરતાં વધુ નથી, તેમના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા મૂળની ગણતરી કરે છે. જો ક્ષેત્ર K બીજગણિતીય રીતે બંધ હોય, તો પછી આવા દરેક બહુપદીમાં તેમના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા બરાબર n મૂળ હોય છે. ખાસ કરીને, જટિલ સંખ્યાઓ C (બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય) ના ક્ષેત્ર માટે આ સાચું છે. બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી તે અનુસરે છે કે F(x) ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

જ્યાં α 1,.....α n એ સમીકરણના મૂળ છે. સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વિએટાના સૂત્રો દ્વારા સંબંધિત છે

ડિગ્રી n≤ 4 નું કોઈપણ સમીકરણ રેડિકલમાં ઉકેલી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણના મૂળ માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો છે જે સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા મૂળને વ્યક્ત કરે છે અને માત્ર સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર અને મૂળ નિષ્કર્ષણનો ઉપયોગ કરે છે. n=2 (ચતુર્ભુજ સમીકરણ) ના કિસ્સામાં, સૂત્રોનું સ્વરૂપ હોય છે

2જી અને 3જી ડિગ્રીના ચોક્કસ પ્રકારના સમીકરણોમાં ઘટાડી સમસ્યાઓના ઉકેલો પ્રાચીન બેબીલોનના ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથોમાં જોવા મળે છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતની પ્રથમ રજૂઆત ડાયોફેન્ટસના અંકગણિત (3જી સદી)માં આપવામાં આવી છે. માં 3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણોના રેડિકલમાં ઉકેલ સામાન્ય દૃશ્ય 16મી સદીમાં ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ જી. કાર્ડાનો અને એલ. ફેરારી દ્વારા મેળવવામાં આવ્યું હતું. શોધવા માટે લગભગ 300 વર્ષોથી પ્રયાસો કરવામાં આવી રહ્યા છે સામાન્ય ઉકેલ 4 થી વધુ ડિગ્રીના સમીકરણોના રેડિકલ્સમાં. 1826 માં, એન. એબેલે સાબિત કર્યું કે આ અશક્ય છે (જો કે, ડિગ્રી n>4 ના ચોક્કસ સમીકરણો માટે આવા સૂત્રોના અસ્તિત્વની શક્યતા બાકાત નથી). સંપૂર્ણ ઉકેલરેડિકલમાં બીજગણિત સમીકરણ કઈ પરિસ્થિતિમાં ઉકેલી શકાય તેવા પ્રશ્નનો જવાબ ઈ. ગેલોઈસ (1830ની આસપાસ) દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. રેડિકલમાં સમીકરણોની દ્રાવ્યતાનો પ્રશ્ન ના પ્રશ્ન સાથે નજીકથી સંબંધિત છે ભૌમિતિક બાંધકામોહોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, ખાસ કરીને વર્તુળને n સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવા સાથે, ક્યુબને બમણું કરવાની અશક્યતાના પુરાવા સાથે, ખૂણાના ત્રણ ભાગ અને વર્તુળનું વર્ગીકરણ.

એપ્લિકેશન્સ માટે, જ્યારે સમીકરણના ગુણાંક અને મૂળ સંખ્યાઓ હોય ત્યારે કેસ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે (Z પૂર્ણાંકો, Q રેશનાલ્સ, R વાસ્તવિક અથવા C જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રોમાંથી); આ કિસ્સામાં, આ ક્ષેત્રોના વિશેષ ગુણધર્મોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ટોપોલોજીની હાજરી અથવા તેમાં ક્રમાંકન). આ કિસ્સામાં, વિશિષ્ટ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને, તમે 4 થી વધુ ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો મેળવી શકો છો.

R અને C ના ગુણાંક સાથેના સમીકરણોના મૂળને વ્યવહારીક રીતે શોધવા માટે, અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના સમીકરણોના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા ઉપરથી અંદાજ કાઢવા માટે, તમે ડેકાર્ટેસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકો છો: સંખ્યા હકારાત્મક મૂળ, તેમના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા, સમાન અથવા દ્વારા સમ સંખ્યા ઓછી સંખ્યાસમીકરણના બિન-શૂન્ય ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નોના ફેરફારો.

મૂળના મૂલ્યો માટે અસંખ્ય અંદાજો છે. આમ, ફીલ્ડ C પર મૂલ્યો |α i |, i = 1, ..., n, ઓળંગતા નથી

જો ગુણાંક વાસ્તવિક હોય અને 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0 હોય, તો સમીકરણના તમામ મૂળ તેના પર આવેલા છે જટિલ વિમાનએકમ વર્તુળમાં.

ટકાઉપણાના મુદ્દાના અભ્યાસના સંબંધમાં યાંત્રિક સિસ્ટમોજ્યારે આપેલ બહુપદી F(x) ના તમામ મૂળમાં નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગો હોય છે ત્યારે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે (રાઉથ-હરવિટ્ઝ સમસ્યા). આવા બહુપદી F ને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. સ્થિર બહુપદી પરના મુખ્ય પરિણામો સી. હર્માઈટ, અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક ઈ. રાઉથ અને જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ એ. હુર્વિટ્ઝ અને આઈ. શૂરના છે.

બીજગણિતીય ભૂમિતિમાં કેટલાંક અજાણ્યાઓમાં બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. એક અલગ વિભાગ, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણોનો સિદ્ધાંત, ખુલ્લા ક્ષેત્રો પર બીજગણિત સમીકરણોના અભ્યાસનો સમાવેશ કરે છે, જેમ કે ક્ષેત્ર Q.

બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ એ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે જેનું સ્વરૂપ છે

રેખીય બીજગણિતમાં ડિગ્રી 1 (રેખીય સમીકરણો) ના સમીકરણોની સિસ્ટમોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોની સંખ્યા પરનું સૌથી સરળ પરિણામ એવા કિસ્સામાં લાગુ પડે છે જ્યારે k હોય સજાતીય સમીકરણો k + 1 ચલોમાંથી. બધા ઉકેલો x 1 * ,...,x x+1 k ઉકેલો λ 1 * ..., λх k+1 * ના વર્ગોમાં જોડવામાં આવે છે, જ્યાં λ≠0 ક્ષેત્ર K સાથે સંબંધિત છે. પછી બિન-ની સંખ્યા સિસ્ટમના ઉકેલોના શૂન્ય (વર્ગો) માં તેમની ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા સામાન્ય કેસબહુપદી F 1, ..., F k ની શક્તિઓના ગુણાંક સમાન છે. સામાન્યતાની સ્થિતિ એ છે કે બહુપદી F 1, ..., F k ના ગુણાંક અમુક બીજગણિત વિવિધ સાથે સંબંધિત નથી. સંલગ્ન જગ્યા A (બેઝાઉટનું પ્રમેય) કરતાં સખત રીતે નાનું પરિમાણ ધરાવતા ગુણાંક.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે અસંગત બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે, ડિગ્રી કરતાં વધુ સૂક્ષ્મ અવિવર્તનનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે, એટલે કે ન્યૂટન પોલિહેડ્રા. જો

જ્યાં i=(i 1 ,..i n) Є Z n તો બહુપદી F નો ન્યુટન બહુપદી એ પોઈન્ટ i ના R n જગ્યામાં બહિર્મુખ હલ છે જેના માટે a i ≠ 0. અંકગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોની સંખ્યા બહુપદી F 1 ના ન્યૂટન પોલિહેડ્રા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. . . ,એફકે.

લિટ.: મિશિના એ.પી., પ્રોસ્કુર્યાકોવ I.V. ઉચ્ચ બીજગણિત. રેખીય બીજગણિત, બહુપદી સામાન્ય બીજગણિત. એમ., 1965; કુરોશ એ.જી. ઉચ્ચ બીજગણિતનો કોર્સ. એમ., 1975; કોસ્ટ્રિકિન એ.આઈ. બીજગણિતનો પરિચય. એમ., 1977; પોસ્ટનિકોવ M. M. સ્થિર બહુપદી. એમ., 1981; ફદેવ ડી.કે., ઉચ્ચ બીજગણિતમાં સોમિન્સકી આઇ.એસ. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, 2001.

આઇ.વી. પ્રોસ્કુર્યાકોવ, એ.એન. પરશીન.

બીજગણિત સમીકરણો. વ્યાખ્યા

વિધેયો f(x) અને μ(x) ને અમુક સમૂહ A પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. અને એક સમૂહ X શોધવા દો કે જેના પર આ વિધેયો લે છે સમાન મૂલ્યો, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમાનતા ધરાવે છે: f(x) = q(x).

આ ફોર્મ્યુલેશન સાથે, આ સમાનતાને અજાણ્યા x સાથેનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણને બીજગણિત કહેવામાં આવે છે જો અજાણ્યા - સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને મૂળ નિષ્કર્ષણ પર માત્ર બીજગણિતની ક્રિયાઓ કરવામાં આવે. કુદરતી સૂચક.

બીજગણિતીય સમીકરણોમાં માત્ર બીજગણિતીય કાર્યો (પૂર્ણાંક, તર્કસંગત, અતાર્કિક) હોય છે. સામાન્ય સ્વરૂપમાં બીજગણિતીય સમીકરણ વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે nth ડિગ્રીના બહુપદી દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

સમૂહ A ને સમૂહ (વિસ્તાર) કહેવામાં આવે છે. સ્વીકાર્ય મૂલ્યોમાટે અજ્ઞાત આપેલ સમીકરણ.

સમૂહ Xને ઉકેલોનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે, અને તેના દરેક ઉકેલો x=a આ સમીકરણનું મૂળ છે. સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી.

બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

ઘણા વૈજ્ઞાનિક અને એન્જિનિયરિંગ સમસ્યાઓફોર્મના સમીકરણને ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે

જ્યાં f(x) એ આપેલ સતત બિનરેખીય કાર્ય છે.

વિશ્લેષણાત્મક રીતે ફક્ત સરળ સમીકરણો માટે ઉકેલો શોધવાનું શક્ય છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પ્રકાર (1) ના સમીકરણને હલ કરવું જરૂરી છે.

સમીકરણ (1) નો સંખ્યાત્મક ઉકેલ સામાન્ય રીતે બે તબક્કામાં હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રથમ તબક્કે, તમારે ચલ x માં પરિવર્તનના આવા અંતરાલો શોધવાની જરૂર છે જ્યાં ફક્ત એક જ રુટ સ્થિત છે. આ સમસ્યા સામાન્ય રીતે ગ્રાફિકલી ઉકેલવામાં આવે છે. બીજા તબક્કે, વ્યક્તિગત મૂળ સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. આ માટે વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઉકેલ પદ્ધતિઓ બિનરેખીય સમીકરણોપ્રત્યક્ષ અને પુનરાવર્તિત વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સીધી પદ્ધતિઓ તમને સૂત્રના સ્વરૂપમાં મૂળ લખવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, વ્યવહારમાં આવતા સમીકરણો હંમેશા ઉકેલી શકાતા નથી સરળ પદ્ધતિઓ. તેમને ઉકેલવા માટે અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ, એટલે કે અનુગામી અંદાજની પદ્ધતિઓ.

સીધી પદ્ધતિઓ - ઉકેલ અગાઉથી મળી આવે છે જાણીતી સંખ્યા અંકગણિત કામગીરી, નિર્ણય કડક છે. ઉદાહરણો: ગૌસીયન પદ્ધતિ, વર્ગમૂળ પદ્ધતિ, ક્રેમરનો નિયમ, વગેરે.

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ એ અનુગામી અંદાજની પદ્ધતિઓ છે જેમાં આપેલ ચોકસાઈ સાથે સમીકરણ (સિસ્ટમ) ઉકેલવા માટે જરૂરી અંકગણિત કામગીરીની સંખ્યાની આગાહી કરવી અશક્ય છે. ઉદાહરણો: પદ્ધતિ સરળ પુનરાવર્તનો, ગૌસ-સીડેલ પદ્ધતિ, સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિ, વગેરે.

આ પેપર સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરે છે અને તેની તુલના કરે છે અર્ધ વિભાગસેગમેન્ટ

1. ડિગ્રીનું બીજગણિત સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે

અગ્રણી ગુણાંક ક્યાં છે

બીજગણિતીય સમીકરણોના સૌથી સરળ પ્રકારો - 1 લી અને 2 જી ડિગ્રીના સમીકરણો અને 3 જી ડિગ્રીના કેટલાક વિશિષ્ટ પ્રકારના સમીકરણો - ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાછા હલ કરી શકે છે. પ્રાચીન બેબીલોનલગભગ 4000 વર્ષ પહેલાં. સાચું, તે દૂરના સમયમાં વૈજ્ઞાનિકો હજી આધુનિક જાણતા ન હતા ગાણિતિક પ્રતીકવાદઅને બંને સમીકરણો અને તેને શબ્દોમાં ઉકેલવાની પ્રક્રિયા લખી, સૂત્રોમાં નહીં

2. પ્રથમ ડિગ્રીનું મનસ્વી સમીકરણ

હંમેશા હોય છે, અને વધુમાં, એકમાત્ર ઉકેલ

IN શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત, નીચેનું પ્રમેય મનસ્વી ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા વિશે સાબિત થાય છે

જો સંખ્યા હોય તો સમીકરણમાં બરાબર બે મૂળ હોય છે, જે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

જો, તો ત્યાં ફક્ત એક જ મૂળ છે:

જો , તો મૂળ વચ્ચે છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ હંમેશા કેસોના આવા વિભાજનને ટાળવાનો પ્રયાસ કરે છે - તેમની સંખ્યા માત્ર ત્યારે જ વધશે જ્યારે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો તરફ આગળ વધશે. અલબત્ત, નીચેની રચના કરવી ઇચ્છનીય છે: "બીજી ડિગ્રીના સમીકરણમાં બે મૂળ છે." તે પ્રાપ્ત કરી શકાય છે જો, એક તરફ, સંખ્યાની વિભાવનાને વિસ્તૃત કરવામાં આવે જેથી તેમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવાનું શક્ય બને. નકારાત્મક સંખ્યાઓ, અને બીજી બાજુ, કેટલાક મૂળને "ઘણી વખત" ગણો (બહુવિધ મૂળનો ખ્યાલ રજૂ કરો).

બંને કાળજીપૂર્વક કરી શકાય છે.

3. ત્રીજા ડિગ્રીના સામાન્ય સમીકરણમાં ફોર્મ છે

અગ્રણી ગુણાંક A દ્વારા આ સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિભાજન - આમાંથી ઉકેલો દેખીતી રીતે બદલાતા નથી - આપણે ફોર્મના સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ

નવો અજ્ઞાત જથ્થો રજૂ કરીને, તમે અજ્ઞાતને બીજી ઘાત ધરાવતા શબ્દમાંથી છૂટકારો મેળવી શકો છો, એટલે કે, સમીકરણને ફોર્મમાં લાવો

ત્રીજા ડિગ્રીનું ઘટાડેલું સમીકરણ કહેવાય છે.

ઘન સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રની શોધના ઇતિહાસ વિશેની માહિતી અધૂરી અને વિરોધાભાસી છે. દેખીતી રીતે, ઘન સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ શોધનાર પ્રથમ (1515ની આસપાસ) બોલોગ્ના યુનિવર્સિટીના પ્રોફેસર એસ. ફેરો (1465-1526) હતા. સ્વતંત્ર રીતે (1535ની આસપાસ), આ પદ્ધતિની શોધ એન. ટાર્ટાગ્લિયા (1500-1557) દ્વારા કરવામાં આવી હતી. જો કે, જી. કાર્ડાનો (1501-1576) ઘન સમીકરણના મૂળ માટે સૂત્ર પ્રકાશિત કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા (તેમનું કાર્ય 1545 માં પ્રકાશિત થયું હતું), અને તેથી આ સૂત્ર તેમનું નામ ધરાવે છે. નોંધ કરો કે કાર્ડાનો ટાર્ટાગ્લિયા અને ફેરોના કામથી પરિચિત હોઈ શકે છે.

આધુનિક નોટેશનમાં, સમીકરણ (1) ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે.

ચાલો બે નવા અજાણ્યાઓ રજૂ કરીએ; તે અમારી પાસે મૂકે છે

જો અજાણ્યાઓ સિસ્ટમને સંતુષ્ટ કરે છે

પછી તેઓ સમીકરણને પણ સંતોષે છે (2). સોલ્વિંગ સિસ્ટમ (3) ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો પ્રથમ સમીકરણને ક્યુબ કરીએ અને તેના બદલે બીજા સમીકરણમાંથી અભિવ્યક્તિને બદલીએ; અમને તે સંતોષ મળે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ

આથી,

અને છેલ્લે

ઘટાડેલ ઘન સમીકરણ (1) ઉકેલવા માટે આ કાર્ડનોનું સૂત્ર છે.

તરત જ પ્રશ્નો ઉભા થાય છે:

1) જો અભિવ્યક્તિ હોય તો શું કરવું

2) ઘન સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?

3) શું કાર્ડનોનું સૂત્ર (4) સમીકરણ (1) ના તમામ ઉકેલો આપે છે?

આ પ્રશ્નો એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે. તે સરળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, તે સમીકરણ ચકાસવું

ઉકેલો છે -5, 2, 3, અને માત્ર આ કિસ્સામાં

તેથી કાર્ડાનો સૂત્રમાં વર્ગમૂળ તેમનો અર્થ ગુમાવે છે અને ત્રણ દર્શાવેલ મૂળ આ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થતા નથી.

બધું સૂચવે છે કે અહીં, ચતુર્ભુજ સમીકરણોના કિસ્સામાં કરતાં પણ વધુ, કેટલીક "નવી સંખ્યાઓ" રજૂ કર્યા વિના કરવું અશક્ય છે જેના માટે વર્ગમૂળ કાઢવાનું હંમેશા શક્ય છે. આવી સંખ્યાઓ 16મી-19મી સદી દરમિયાન ધીમે ધીમે રજૂ કરવામાં આવી હતી. તેમને જટિલ સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. જટિલ સંખ્યામાં, ડિગ્રીના કોઈપણ બીજગણિતીય સમીકરણમાં ચોક્કસ મૂળ હોય છે

ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણને ધ્યાનમાં લો

તે સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે અને અમને પછીથી તેની જરૂર પડશે.

જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં આ સમીકરણ છે વિવિધ ઉકેલો, જેને એકતાની ડિગ્રીના મૂળ કહેવામાં આવે છે:

ઘન સમીકરણના ઉકેલો લખવા માટે, આપણને 1 ના 3જી ડિગ્રી મૂળની જરૂર છે. સૂત્રો (6) અનુસાર, આ નીચેની જટિલ સંખ્યાઓ હશે:

તે બતાવી શકાય છે કે ઘટાડેલા ઘન સમીકરણના ત્રણ મૂળ છે

અહીં અક્ષર સૂચવે છે - 3જી ડિગ્રીનું મૂળ કારણ કે તે જોવામાં સરળ છે, સમાન છે આ અંતિમ કાર્ડાનો સૂત્ર છે.

4. 1લી, 2જી અને 3જી ડિગ્રીના સમીકરણોના કિસ્સામાં, આપણે એવા સૂત્રો જાણીએ છીએ કે જે તર્કસંગત કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા મૂળને વ્યક્ત કરે છે: વર્ગમૂળ કાઢવાની કામગીરી (ચતુર્ભુજ સમીકરણના કિસ્સામાં), કામગીરી ચોરસ અને ઘનમૂળ કાઢવાનું (ઘન સમીકરણના કિસ્સામાં). ઇટાલિયન બીજગણિતશાસ્ત્રી એલ. ફેરારી (1522-1565) જી. કાર્ડાનોના વિદ્યાર્થી દ્વારા 4થી ડિગ્રીના સમીકરણો માટે સમાન નિયમો સૂચવવામાં આવ્યા હતા. તેઓ માત્ર તર્કસંગત કામગીરી અને કામગીરીનો પણ સમાવેશ કરે છે. ઉચ્ચ ડિગ્રીતર્કસંગત કામગીરીની મદદથી અને કામગીરી સફળ રહી ન હતી.

ધીમે ધીમે તેઓને શંકા થવા લાગી કે, કદાચ, માત્ર ઓપરેશન્સનો ઉપયોગ કરીને ગુણાંકના સંદર્ભમાં ડિગ્રી સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરવું સામાન્ય રીતે અશક્ય છે અને મનસ્વી કુદરતી મુદ્દાઓ માટે y, એટલે કે, આવા સમીકરણોના ઉકેલને ઘટાડવું અશક્ય છે. તર્કસંગત કામગીરી દ્વારા સુસંગત ઉકેલસમીકરણો ખાસ પ્રકાર. સમીકરણોના મૂળ, એટલે કે, જે સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેને સામાન્ય રીતે રેડિકલ કહેવામાં આવે છે, અને તેથી ફોર્મના સમીકરણો શોધવા માટે મનસ્વી સમીકરણના મૂળને શોધવાની સંભાવનાની સમસ્યાને સામાન્ય રીતે તેના મૂળને વ્યક્ત કરવાની સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. રેડિકલ દ્વારા સમીકરણ.

18મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં આ પૂર્વધારણાને સાબિત કરવા અથવા ખોટી સાબિત કરવાના પ્રયાસો ખાસ કરીને વારંવાર થયા અને 19મી સદીની શરૂઆતમાં ઉકેલની અશક્યતાના પુરાવા તરફ દોરી ગયા. સામાન્ય સમીકરણરેડિકલમાં 5મી અને ઉચ્ચ ડિગ્રી.

વચ્ચે XVIII કામ કરે છેઆ દિશામાં સદી, પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી જે.એલ. લેગ્રેન્જ (1736-1813) નું સંસ્મરણ, "સમીકરણોના બીજગણિત ઉકેલ પર પ્રવચન" (1771-1772) શીર્ષક, તેના વિચારોની સ્પષ્ટતા માટે અલગ છે. તેમાં, લેખકે આ કેસોમાં આવો ઉકેલ કેવી રીતે અને શા માટે શક્ય છે તે શોધવા માટે રેડિકલ્સમાં 2 જી, 3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની જાણીતી પદ્ધતિઓનું વિગતવાર અને કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કર્યું છે. તે જ સમયે, તેમણે નીચેના સંજોગોની નોંધ લીધી: આ બધા કિસ્સાઓમાં મૂળના કેટલાક કાર્યો છે જે નીચી ડિગ્રીના સમીકરણોને સંતોષે છે અને જેના વિશે તે પહેલાથી જ જાણીતું છે કે તેઓ રેડિકલમાં ઉકેલી શકાય છે. મૂળ સમીકરણના મૂળ, બદલામાં, આમાંથી શોધી શકાય છે મધ્યવર્તી કાર્યોફરીથી રેડિકલમાં ઉકેલાયેલા સમીકરણોમાંથી.

આગળ, લેગ્રેન્જ મૂળમાંથી સમાન કાર્યો કેવી રીતે શોધી શકાય તે પ્રશ્નની શોધ કરે છે જાણીતા કેસો. તે બહાર આવ્યું છે કે આ મૂળમાં બહુપદી છે જે, મૂળના તમામ સંભવિત ક્રમચયો માટે - અને તેમની સંખ્યા, જેમ કે જાણીતી છે, સમાન છે - લેતી નથી. નાની સંખ્યામૂલ્યો, અને તેનાથી પણ ઓછા - અભ્યાસ હેઠળના સમીકરણની ડિગ્રી). આ ત્યારે થશે જ્યારે તે મૂળના કેટલાક ક્રમચયો સાથે બદલાશે નહીં.

આ રીતે રેડિકલમાં સમીકરણ ઉકેલવાના પ્રશ્નમાં ક્રમચયો દેખાય છે!

જો મૂળમાંથી કાર્ય માત્ર k લે છે વિવિધ અર્થોપછી બહુપદીના ગુણાંક

લાંબા સમયથી એક જાણીતા પ્રમેય મુજબ - આ સપ્રમાણ કાર્યો વિશે કહેવાતા મૂળભૂત પ્રમેય છે - તે અભ્યાસ હેઠળના સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા તર્કસંગત રીતે વ્યક્ત થવું જોઈએ

4 ઉદાહરણો. 1. એક વૈકલ્પિક કાર્ય થવા દો

શક્તિ સમીકરણના મૂળમાંથી. મૂળના તમામ સંભવિત ક્રમચયો માટે, ક્રમચય સમ કે વિષમ છે તેના આધારે તે માત્ર બે મૂલ્યો લે છે. પરિણામે, સમીકરણનો ભેદભાવ તમામ સંભવિત ક્રમચયો હેઠળ બદલાતો નથી અને અભ્યાસ હેઠળના સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા તર્કસંગત રીતે વ્યક્ત થાય છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે

ઘટાડેલા ઘન સમીકરણ માટે

મૂળનું ચિહ્ન-વૈકલ્પિક કાર્ય સમીકરણોને સંતોષે છે

અનુક્રમે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેના સૂત્રમાં વર્ગમૂળ હેઠળના સમીકરણોને ઓળખીશું અને સતત પરિબળકાર્ડાનો ફોર્મ્યુલામાં.

2. ઉપર જણાવેલ લેગ્રેન્જના કાર્યમાં બીજું ઉદાહરણ દેખાયું. આ કહેવાતા લેગ્રેન્જ સોલવન્ટ્સ છે. 3જી ડિગ્રીના સમીકરણના કિસ્સામાં, અમે લેગ્રેન્જની જેમ, તેમને ધ્યાનમાં લઈશું. મદદ સાથે ઘન મૂળ 1 થી

તેઓ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

અહીં અભ્યાસ હેઠળ ઘન સમીકરણના મૂળ છે. ચાલો બીજા અને ત્રીજા ઉકેલો પર ધ્યાન આપીએ. જેમ કે જોવામાં સરળ છે, જ્યારે ચક્રીય રીતે મૂળને ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, ત્યારે તે અનુક્રમે માત્ર દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. પરિણામે, તેઓ ચક્રીય ક્રમચયોનો સામનો કરે છે અને તેથી સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા અને A દ્વારા તર્કસંગત રીતે વ્યક્ત થાય છે. અનુરૂપ રજૂઆતોની ગણતરી કરી શકાય છે. ક્યુબ રુટ લઈને તમે મેળવી શકો છો. વિએટાના પ્રમેય મુજબ, આ વિપરીત ચિહ્ન સાથેનો ગુણાંક છે, એટલે કે ઘન સમીકરણમાં ઘટાડો થવાના કિસ્સામાં. રેખીય સમીકરણો (7) ની સિસ્ટમમાંથી જાણીને, જો આપણે અમલમાં મૂકીએ તો કોઈ મેળવી શકે છે ચોક્કસ ગણતરીઓ, તો પછી તમે ખાતરી કરી શકો છો કે તેઓ કાર્ડાનો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરે છે.

એ જ રીતે, પરંતુ તકનીકી રીતે વધુ જટિલ, તમે રેડિકલમાં 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણ માટે ઉકેલ મેળવી શકો છો. 5મી ડિગ્રીના સમીકરણની વાત કરીએ તો, નીચી ડિગ્રીના સમીકરણોમાં સમાન ઘટાડો મેળવી શકાયો નથી. જો કે, લેગ્રેન્જે તેની શક્યતાને બાકાત રાખી નથી.

આવો ઘટાડો મૂળભૂત રીતે અવ્યવહારુ છે તે કામ 1799 માં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. સામાન્ય સિદ્ધાંતસમીકરણો, જે અશક્યતા સાબિત કરે છે બીજગણિત ઉકેલચોથા ડિગ્રીથી ઉપરના સામાન્ય સમીકરણો" ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી પી. રુફિની (1765-1822). જો કે, તેના પુરાવામાં એવા ગાબડા હતા જેને તે દૂર કરવામાં અસમર્થ હતા. નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી એન.જી. એબેલ (1802-1829) ના કાર્યમાં ફક્ત 1826 માં એક સચોટ પુરાવો આપવામાં આવ્યો હતો "જેની ડિગ્રી ચોથા કરતા વધી જાય તેવા સમીકરણોની બીજગણિતીય દ્રાવ્યતાની અશક્યતાનો પુરાવો."

વિચારણા હેઠળના સમીકરણો કરતાં નીચી ડિગ્રીના સંતોષકારક સમીકરણો (અપવાદ હંમેશા ચતુર્ભુજ સમીકરણને સંતોષતું વૈકલ્પિક કાર્ય હોય છે) ના અસ્તિત્વનું ઊંડું કારણ તેજસ્વી દ્વારા બહાર આવ્યું હતું. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઇવેરિસ્ટ ગેલોઇસ (1811-1832). દરેક સમીકરણ સાથે સંકળાયેલ ગેલોઈસ તેના મૂળના તે ક્રમચયોનું જૂથ છે જે ગુણાંક પર તર્કસંગત રીતે આધાર રાખે છે તેવા ગુણાંક સાથે મૂળમાંથી તમામ બહુપદીના મૂલ્યોને બદલતા નથી. આપેલ સમીકરણ. આ જૂથને હવે વિચારણા હેઠળના સમીકરણનું ગેલોઈસ જૂથ કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણના ગેલોઈસ જૂથનો ખ્યાલ નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે. અમુક ડિગ્રીનું બીજગણિતીય સમીકરણ હોઈએ (આ સમીકરણની ડાબી બાજુ) ડિગ્રીની બહુપદી હોઈ શકે.

બહુપદીના ગુણાંક - સંખ્યાઓ એકસાથે અમુક સંખ્યા ફીલ્ડની હોવી જોઈએ - સંખ્યાઓનો બિન-ખાલી સમૂહ જે 0 થી અલગ સંખ્યા દ્વારા સરવાળો, ગુણાકાર, બાદબાકી અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ હેઠળ બંધ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા ક્ષેત્ર છે. , બધી તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ Q. કારણ કે જરૂરી ખ્યાલોબધા આંકડાકીય ક્ષેત્રો માટે સમાન રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે તેમાંથી માત્ર એકને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે. તેથી, અમે માની લઈશું કે બહુપદીના ગુણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે. વધુમાં, કોઈ ધારી શકે છે (આ બીજગણિત અભ્યાસક્રમોમાં સાબિત થાય છે) કે બહુપદીના તમામ મૂળ અલગ છે, એટલે કે સમીકરણ અલગ છે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, જટિલ મૂળ

મૂળ વચ્ચેનો તર્કસંગત સંબંધ એ સ્વરૂપની કોઈપણ સમાનતા છે

સમીકરણ ચિહ્ન ક્યાં છે, આ સમાનતાની ડાબી બાજુનો સરવાળો કેટલાક સૂચકાંકોના સમૂહ પર લેવામાં આવે છે, અને તમામ ગુણાંક પરિમેય સંખ્યાઓ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તર્કસંગત સંબંધની ડાબી બાજુએ (8) c માં ચોક્કસ બહુપદી છે. તર્કસંગત ગુણાંક. સમીકરણના મૂળ વચ્ચેના તમામ તર્કસંગત સંબંધોનો સમૂહ ફક્ત બહુપદી પર આધારિત છે. તે સ્પષ્ટ છે કે અમુક બહુપદીના મૂળો વચ્ચેના તર્કસંગત સંબંધોના ટર્મ-બાય-ટર્મ સરવાળા અને ટર્મ-બાય-ટર્મ પ્રોડક્ટ પણ તેના મૂળ વચ્ચેના તર્કસંગત સંબંધો હશે. બિન-શૂન્ય તર્કસંગત સંબંધનું ઉદાહરણ કોઈપણ સમીકરણ માટે સૂચવવા માટે સરળ હોવાથી, આપણે આમાંથી મેળવીએ છીએ કે મનસ્વી સમીકરણતેના મૂળ વચ્ચેના તર્કસંગત સંબંધોના અનંત સમૂહને અનુરૂપ છે.

ચાલો હવે

સમીકરણના મૂળના સમૂહ પર અમુક ક્રમચય. ચાલો આ ક્રમચયનો ઉપયોગ કરીએ ડાબી બાજુઅભિવ્યક્તિઓ (8). દરેક મોનોમિયલ પુનઃ ગોઠવણની ક્રિયા હેઠળ એકવિધમાં રૂપાંતરિત થાય છે (તમામ મોનોમિયલ્સના ગુણાંક યથાવત રહે છે).

સંબંધની ડાબી બાજુ (8) નીચેના અભિવ્યક્તિમાં પરિવર્તિત થાય છે:

આ સંખ્યા શૂન્ય ન હોઈ શકે. સમીકરણના મૂળના સમૂહ પરના સપ્રમાણ જૂથમાંથી તમામ ક્રમચયોને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે - તે જે તર્કસંગત સંબંધને સાચવે છે (8) અને તે જે તેનું ઉલ્લંઘન કરે છે. જો ક્રમચયો તર્કસંગત સંબંધ (8) ને સાચવે છે, તો તે સ્પષ્ટ છે કે તેમનું ઉત્પાદન અને તેમાંના પ્રત્યેકનું વ્યસ્ત ક્રમચય પણ આ સમાનતાને ઉપલા સંબંધમાં પરિવર્તિત કરશે. સમાન પ્રકાર. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમામ સંભવિત ક્રમચયોનો સમૂહ જે સંબંધ (8) (કારણ કે તે ખાલી નથી!) સાચવે છે તે એક જૂથ બનાવે છે. આ જૂથને સમીકરણનું ગેલોઈસ જૂથ કહેવામાં આવે છે

આ ગેલોઈસ જૂથના ગુણધર્મોના આધારે, કોઈ નક્કી કરી શકે છે કે આપેલ સમીકરણ રેડિકલમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે કે નહીં. પરિણામી માપદંડમાં, વારંવારના કિસ્સાઓના રૂપમાં, રેડિકલમાં બીજગણિત સમીકરણોની દ્રાવ્યતા અથવા વણઉકલ્યાક્ષમતા વિશે અગાઉ જાણીતી તમામ માહિતી શામેલ છે.

પરંતુ તે શક્ય છે કે સાથે કેટલાક સમીકરણો સંખ્યાત્મક ગુણાંકરેડિકલમાં ઉકેલી શકાય તેવું. આ શક્ય છે કે નહીં તે ગેલોઈસ દ્વારા મળેલા ચિહ્નના આધારે ફરીથી સ્થાપિત થાય છે.

ગેલોઈસ જૂથોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ અમારી રજૂઆતના અવકાશની બહાર છે. અમે ફક્ત નોંધ કરીએ છીએ કે જો આપેલ સમીકરણનું ગેલોઈસ જૂથ એબેલિયન છે, તો સમીકરણ રેડિકલ્સમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે. રેડિકલમાં ઉકેલી શકાય તેવા સમીકરણો હશે જેનું ગેલોઈસ જૂથ ડાયહેડ્રોન જૂથોમાંનું એક છે, ટેટ્રાહેડ્રોન અને ક્યુબનું સપ્રમાણ જૂથ છે. આ કહેવાતા ઉકેલી શકાય તેવા જૂથોના ઉદાહરણો છે, એટલે કે રેડિકલ્સમાં ઉકેલી શકાય તેવા સમીકરણોના ગેલોઈસ જૂથો. અદ્રાવ્ય જૂથનું "સૌથી નાનું" ઉદાહરણ 60 ક્રમચયોનો સમાવેશ કરતું વૈકલ્પિક જૂથ છે; તે ધરાવતું જૂથ પણ વણઉકેલાયેલું છે, અમે કહી શકીએ કે આ જૂથો 5મી ડિગ્રીના રેડિકલના સામાન્ય સમીકરણની વણઉકેલતા માટે "દોષ" છે: 5મી ડિગ્રીના સમીકરણોમાં એવા લોકો છે કે જેમનું ગેલોઈસ જૂથ અથવા એન સાથે એકરુપ છે. આવા સમીકરણનું ઉદાહરણ છે

સમીકરણનું ગેલોઈસ જૂથ તેની એક મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા હોવાથી, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: સમીકરણમાંથી આ જૂથ કેવી રીતે બનાવવું? તે તારણ આપે છે કે સમીકરણના મૂળમાંથી તમામ તર્કસંગત સંબંધો તેના મૂળના આપેલ ક્રમચયનો સામનો કરે છે કે કેમ તે તપાસવાની જરૂર નથી. આ સંબંધોના અંતિમ અને તદ્દન દૃશ્યમાન ભાગ માટે આવી ચકાસણી માટે પોતાને મર્યાદિત કરવા માટે તે પૂરતું છે. અહીં ઉલ્લેખિત છેલ્લા અને અન્ય નિવેદનોનો પુરાવો ગેલોઇસ સિદ્ધાંતની રજૂઆતને સમર્પિત પુસ્તકોમાંથી એકમાં મળી શકે છે અને સંદર્ભોની સૂચિમાં દર્શાવેલ છે.

કસરતો

1. ઘન સમીકરણના ભેદભાવ D નો ઉપયોગ કરીને, તે સ્થાપિત કરવું અશક્ય છે કે શું આ સમીકરણના બધા મૂળ એકરૂપ છે, અથવા તેમાંથી ફક્ત બે જ એકરૂપ છે. અભિવ્યક્તિનું ઉદાહરણ આપો; આપેલ સમીકરણના મૂળથી બનેલું છે જે આને કરવાની મંજૂરી આપશે.

5. તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર સિવાયના સંખ્યાના ક્ષેત્રોના ઉદાહરણો આપો પ્ર. ચકાસો કે ફોર્મની તમામ સંભવિત સંખ્યાઓ

સંખ્યાત્મક ક્ષેત્ર બનાવો.

6. સાબિત કરો કે જો વર્ગમૂળબહુપદીના ભેદભાવમાંથી છે તર્કસંગત સંખ્યા, તો પછી આ બહુપદીના ગેલોઈસ જૂથમાં સંપૂર્ણ રીતે સમ ક્રમચયોનો સમાવેશ થાય છે.