પરિમાણ સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમો. લાક્ષણિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

1. સિસ્ટમ્સ રેખીય સમીકરણોપરિમાણ સાથે

પેરામીટર સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો સમાન મૂળભૂત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે પરંપરાગત સિસ્ટમોસમીકરણો: અવેજી પદ્ધતિ, સમીકરણો ઉમેરવાની પદ્ધતિ અને ગ્રાફિક પદ્ધતિ. ગ્રાફિક અર્થઘટનનું જ્ઞાન રેખીય સિસ્ટમોમૂળની સંખ્યા અને તેમના અસ્તિત્વ વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનું સરળ બનાવે છે.

ઉદાહરણ 1.

પરિમાણ a માટે તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

ઉકેલ.

ચાલો આ કાર્યને હલ કરવાની ઘણી રીતો જોઈએ.

1 રસ્તો.અમે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો x ની સામે ગુણાંકનો ગુણોત્તર y ની સામેના ગુણોત્તરના ગુણોત્તર જેટલો હોય, પરંતુ ગુણોત્તરની બરાબર ન હોય તો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. મફત સભ્યો(a/a 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). પછી અમારી પાસે છે:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 અથવા સિસ્ટમ

(અને 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

પ્રથમ સમીકરણ a 2 = 4 થી, તેથી, ≠ 2 એ શરત ધ્યાનમાં લેતા, આપણને જવાબ મળે છે.

જવાબ: a = -2.

પદ્ધતિ 2.અમે અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરીએ છીએ.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

પ્રથમ સમીકરણમાં બાદબાકી પછી સામાન્ય ગુણક y કૌંસમાંથી, અમને મળે છે:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

જો પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલો ન હોય તો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, એટલે કે

(અને 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

દેખીતી રીતે, a = ±2, પરંતુ બીજી શરતને ધ્યાનમાં લેતા, જવાબ માત્ર માઈનસ જવાબ સાથે આવે છે.

જવાબ: a = -2.

ઉદાહરણ 2.

પરિમાણ a માટેના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે અનંત સમૂહનિર્ણયો

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

ઉકેલ.

ગુણધર્મ અનુસાર, જો x અને y ના ગુણોત્તર સમાન હોય, અને સિસ્ટમના મુક્ત સભ્યોના ગુણોત્તર સમાન હોય, તો તેની પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે (એટલે ​​કે a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). તેથી 8/a = a/2 = 2/1. પરિણામી સમીકરણોમાંથી દરેકને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ કે આ ઉદાહરણમાં a = 4 એ જવાબ છે.

જવાબ: a = 4.

2. સિસ્ટમ્સ તર્કસંગત સમીકરણોપરિમાણ સાથે

ઉદાહરણ 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

પ્રથમમાંથી બીજા સમીકરણને બાદ કરીએ તો આપણને 5|x| મળે છે = 4 – એ. આ સમીકરણ હશે એકમાત્ર ઉકેલ a = 4 માટે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, આ સમીકરણમાં બે ઉકેલો હશે (a માટે< 4) или ни одного (при а > 4).

જવાબ: a = 4.

ઉદાહરણ 4.

પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

ઉકેલ.

અમે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમને હલ કરીશું. આમ, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણનો આલેખ એક એકમ સેગમેન્ટ દ્વારા ઉપરની તરફ ઓય અક્ષ સાથે ઉભો થયેલો પેરાબોલા છે. પ્રથમ સમીકરણ રેખા y = -x ની સમાંતર રેખાઓનો સમૂહ દર્શાવે છે (આકૃતિ 1). આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે કે જો સીધી રેખા y = -x + a એ કોઓર્ડિનેટ્સ (-0.5, 1.25) સાથેના બિંદુ પર પેરાબોલાની સ્પર્શક હોય તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે. આ કોઓર્ડિનેટ્સને x અને y ને બદલે સીધી રેખા સમીકરણમાં બદલીને, આપણે પરિમાણ a નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

1.25 = 0.5 + a;

જવાબ: a = 0.75.

ઉદાહરણ 5.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, પરિમાણ a ના કયા મૂલ્ય પર શોધો, સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

ઉકેલ.

પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે y વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને બીજામાં બદલીએ છીએ:

(y = કુહાડી – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

ચાલો બીજા સમીકરણને kx = b ફોર્મમાં ઘટાડીએ, જેમાં k ≠ 0 માટે અનન્ય ઉકેલ હશે. અમારી પાસે છે:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

અમે કૌંસના ગુણાંક તરીકે ચોરસ ત્રિપદી a 2 + 3a + 2 રજૂ કરીએ છીએ

(a + 2)(a + 1), અને ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસમાંથી x લઈએ છીએ:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

દેખીતી રીતે, 2 + 3a અસ્તિત્વમાં હોવું જોઈએ નહીં શૂન્ય બરાબર, તેથી જ,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, જેનો અર્થ છે a ≠ 0 અને ≠ -3.

જવાબ: a ≠ 0; ≠ -3.

ઉદાહરણ 6.

ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમમાં વિશિષ્ટ ઉકેલ છે તે પરિમાણના કયા મૂલ્ય પર નિર્ધારિત કરો.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

ઉકેલ.

શરતના આધારે, અમે મૂળમાં કેન્દ્ર અને 3 ની ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ બનાવીએ છીએ એકમ સેગમેન્ટ, તે ચોક્કસપણે આ છે જે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે

x 2 + y 2 = 9. સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ (y = |x| + a) એ તૂટેલી રેખા છે. ઉપયોગ કરીને આકૃતિ 2અમે બધું ધ્યાનમાં લઈએ છીએ શક્ય કેસોવર્તુળ સંબંધિત તેનું સ્થાન. તે જોવું સરળ છે કે a = 3.

જવાબ: a = 3.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? સમીકરણોની સિસ્ટમો કેવી રીતે હલ કરવી તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

પ્રામાણિક સમીકરણો દ્વારા સીધી રેખા આપવા દો

:
,

અને પ્લેન - સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા

:.

1. સીધી રેખા અને પ્લેન વચ્ચેનો કોણ દિશા વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણા જેટલો છે
પ્રત્યક્ષ અને સામાન્ય વેક્ટર
પ્લેન અને સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

. (3.1)

2. રેખા અને વિમાન વચ્ચેની સમાનતા માટેની સ્થિતિનું સ્વરૂપ છે

તે વેક્ટર ઓર્થોગોનાલિટીની સ્થિતિની સમકક્ષ છે અને

3. રેખા અને વિમાનની લંબરૂપતા માટેની સ્થિતિનું સ્વરૂપ છે

.

તે વેક્ટરની સમકક્ષતાની સ્થિતિની સમકક્ષ છે અને
.

4. લાઇન સાથે જોડાયેલા માટેની સ્થિતિ વિમાન ફોર્મમાં લખેલ છે

(3.2)

જ્યાં
બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ
રેખા સાથે જોડાયેલા.

3.2. લાક્ષણિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કાર્ય 3.1.શોધો તીવ્ર કોણસીધી રેખા વચ્ચે
અને વિમાન.

ઉકેલ.રેખાની દિશા વેક્ટર બરાબર છે
. પ્લેનનું સામાન્ય વેક્ટર છે
. સૂત્ર મુજબ (3.1)

,.

જવાબ:

સમસ્યા 3.2.કયા મૂલ્ય પર સીધા :
પ્લેનની સમાંતર :?

ઉકેલ.સમસ્યાની શરતો અનુસાર, સીધી રેખા બે વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત. પ્રથમ પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર બરાબર છે
, બીજા પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર બરાબર છે
. રેખાની દિશા વેક્ટર બરાબર છે
(સૂત્ર જુઓ (2.6)):

.

રેખાની સમાંતરતા માટેની સ્થિતિ અને વિમાનો આ સીધી રેખાના દિશા વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટીની સ્થિતિ છે
અને પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર
, એટલે કે
. ગુણાકાર, આપણને મળે છે

.

તેથી પ્લેનનું સમીકરણ હશે
.

જવાબ:

સમસ્યા 3.3.કયા મૂલ્યો પર અને
સીધા
પ્લેનમાં આવેલું છે?

ઉકેલ.એક સીધી રેખા પ્લેનની સમાંતર હશે જો તેની દિશા વેક્ટર હોય
પ્લેનના સામાન્ય વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હશે
, એટલે કે
. ચાલો આ શરત લખીએ:

જો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય તો સીધી રેખા પ્લેનની હશે
, જેમાંથી સીધી રેખા પસાર થાય છે, પ્લેનના સમીકરણને સંતોષો:
. અહીંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ

સમસ્યા હલ કરતી વખતે, અમે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યો (3.2).

જવાબ:

સમસ્યા 3.4.રેખાના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો :
અને વિમાનો :

ઉકેલ.ચાલો સીધી રેખાના સમીકરણોને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં લખીએ

માટે અવેજી અભિવ્યક્તિઓ
પ્લેનના સમીકરણમાં , અમને મળે છે

હવે તમારે પરિમાણ મૂલ્યને બદલવાની જરૂર છે
વી પેરામેટ્રિક સમીકરણોપ્રત્યક્ષ . અમે તેને શોધીએ છીએ.

જવાબ:

ઉપયોગી સૂત્ર.જો સીધા
પ્લેન સાથે છેદે છે
, પછી આંતરછેદ બિંદુ
પરિમાણ મૂલ્યને અનુરૂપ છે

. (3.3)

સમસ્યા 3.5.પ્લેનનું સમીકરણ શોધો , લાઇનમાંથી પસાર થવું :
પ્લેન પર લંબરૂપ :

આર નિર્ણયપ્લેન બે દિશા વેક્ટર ધરાવે છે
અને
અને બિંદુ પરથી પસાર થાય છે
(ફિગ. 3.1). સૂત્ર (1.9) મુજબ, તેના સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે

,

છેલ્લે:
.

જવાબ:
.

સમસ્યા 3.6.ટેટ્રેહેડ્રોન શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા છે:



સમીકરણ અને તેની ઊંચાઈની લંબાઈ શોધો
.

આર

:
.

ઊંચાઈ સૂત્ર (1.5) નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જે બિંદુથી અંતર નક્કી કરે છે
અણી પર
:.

(તે યાદ રાખો
પ્લેનના સામાન્ય સમીકરણમાં ગુણાંક છે અને તે સમાન છે
,
,
,
.)

જવાબ:
:
;
.

સમસ્યા 3.7.સીધી રેખાઓ આપી છે :
અને :
. પ્લેનનું સમીકરણ શોધો સીધી રેખામાંથી પસાર થવું રેખાની સમાંતર

ઉકેલ.વેક્ટર્સ
અને
પ્લેનના દિશા વેક્ટર છે (ફિગ. 3.3). ડોટ
પ્લેનનું છે . અમે સૂત્ર (1.9) નો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીએ છીએ:

,

છેલ્લે:.

જવાબ:.

સમસ્યા 3.8.રેખામાંથી પસાર થતા વિમાન માટે સમીકરણ લખો :
અને સમયગાળો
.

ઉકેલ.સીધું એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે
અને તેની દિશા વેક્ટર છે
. મનસ્વી બિંદુ
ઇચ્છિત વિમાન સાથે સંબંધિત હશે , જો વેક્ટર્સ

અને કોપ્લાનર
(ફિગ. 3.4), એટલે કે.

.

આ પ્લેનનું સમીકરણ છે . અમે કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ છીએ:

,

છેલ્લે:.

જવાબ:.

ઉપયોગી સૂત્ર.રેખામાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ :
અને સમયગાળો
, આ લાઇન પર બોલતી નથી, ફોર્મ ધરાવે છે

(3.4)

સમસ્યા 3.9.તે સીધું સાબિત કરો

:
:

સમાન વિમાનમાં સૂઈ જાઓ અને આ વિમાનનું સમીકરણ શોધો.

આર નિર્ણયપ્રથમ રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે
અને તેની દિશા વેક્ટર
.
બીજી સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે
અને તેની દિશા વેક્ટર છે
,અને કોપ્લાનર
. દેખીતી રીતે, જો વેક્ટર્સ હોય તો લીટીઓ સમાન પ્લેનમાં રહે છે

.

(ફિગ. 3.5), એટલે કે. ચાલો અવેજી કરીએ:

.

આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ અને આનો અર્થ એ કે સીધો અને એ જ વિમાનમાં સૂવું. વેક્ટર્સ

સમરેખા નથી. તેથી, આ રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે. ચાલો પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ અને , જેમાં લીટીઓ આવેલી છે . દેખીતું
ઓહ શું મનસ્વી મુદ્દો છે
,,જો વેક્ટર હોય તો પ્લેનનું રહેશે
કોપ્લાનર

.

(ફિગ. 3.6), એટલે કે.

,

છેલ્લે:
.

જવાબ:
.

આ ઇચ્છિત પ્લેનનું સમીકરણ છે. અમે કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ છીએ અને પ્રથમ પંક્તિના ઘટકો પર વિસ્તરણ કરીને નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ. અમને મળે છેઉપયોગી સૂત્રો.

:
:

બે સીધા

. (3.5)

એ જ વિમાનમાં સૂવું જો

. (3.6)

જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, તો આ પ્લેનનું સમીકરણ હશેટિપ્પણી.
રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે (એટલે ​​​​કે એક જ પ્લેનમાં આવેલા નથી) જો અને માત્ર જો

અને સમાનતા (3.5) અયોગ્ય છે.
ઝેડસમસ્યા 3.10.

:
:
.

આર

.

(ફિગ. 3.7), એટલે કે.

,

છેલ્લે:.

જવાબ:.

ઉપયોગી સૂત્ર.આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને, આપણે પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ છીએ ,
)

:
:
,

બે સમાંતર રેખાઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ (

. (3.7)

જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, તો આ પ્લેનનું સમીકરણ હશેજેવો દેખાય છે

સમસ્યાઓ 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 માં, તમે ઇચ્છિત વિમાનોના બે દિશા વેક્ટર સરળતાથી સૂચવી શકો છો. તેથી, આ સમસ્યાઓનો ઉકેલ સમસ્યા 1.2 ના ઉકેલ જેવો જ છે. જો સોલ્યુશન દરમિયાન આ દિશા વેક્ટર સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યા નથી, તો પછી તેમને જાતે શોધો. (1.7)–(1.9), (3.4)-(3.7) માં કયા સૂત્રો સામ્ય છે તે વિશે વિચારો.સમસ્યા 3.11.
પ્રોજેક્શન કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો
પોઈન્ટ :.

ઉકેલ.પ્લેન માટે રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો શોધવી
પ્લેન પર લંબરૂપ , બિંદુમાંથી પસાર થવું . માર્ગદર્શક વેક્ટર તરીકે પ્રત્યક્ષ વિમાન તમે સામાન્ય વેક્ટર પસંદ કરી શકો છો
, એટલે કે મૂકો (ફિગ. 3.8). રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો

હશે (સૂત્ર (2.2) જુઓ):
ફોર્મ્યુલા (3.3) નો ઉપયોગ કરીને આપણે પરિમાણની કિંમત શોધીએ છીએ
, જેના પર સીધી રેખા પ્લેનને છેદે છે. અમને મળે છે

જવાબ:

. ચાલો આ મૂલ્યને રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં બદલીએ અને બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ3.12. કાર્ય
, સપ્રમાણ બિંદુ
પ્લેનની તુલનામાં :.

ઉકેલ.ચાલો પહેલાની સમસ્યા હલ કરવાના પરિણામનો ઉપયોગ કરીએ. ડોટ
- બિંદુ પ્રક્ષેપણ
પ્લેન માટે. પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ

(ફિગ. 3.9). આથી,

જવાબ:

સમસ્યા 3.13.પ્રોજેક્શન કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો
પ્રોજેક્શન કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો
સીધા :
.

ઉકેલ.ચાલો પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ , રેખાને લંબરૂપ અને બિંદુ પરથી પસાર થાય છે
. સામાન્ય વેક્ટર તરીકે વિમાન તમે માર્ગદર્શક વેક્ટર પસંદ કરી શકો છો . માર્ગદર્શક વેક્ટર તરીકે તમે સામાન્ય વેક્ટર પસંદ કરી શકો છો
(ફિગ. 3.10). પછી વિમાનનું સમીકરણ

:

રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો જેવો દેખાય છે

આગળ આપણે સમસ્યા 3.11 ની સમાન રીતે હલ કરીએ છીએ. પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ
આપણે સૂત્ર (3.3) નો ઉપયોગ કરીને શોધી કાઢીએ છીએ. અમને મળે છે
,

જવાબ:

સમસ્યા 3.14.બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો
, સપ્રમાણ બિંદુ
પ્રમાણમાં સીધા

:

ઉકેલ.ચાલો સમસ્યા 3.13 ના પરિણામનો ઉપયોગ કરીએ. ડોટ
બિંદુ પ્રક્ષેપણ
સીધા .

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ
સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

(ફિગ. 3.11). આથી,

જવાબ:

સમસ્યા 3.15.સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

.

ઉકેલ.આપણે કાટખૂણેની લંબાઈની ગણતરી કરવાની જરૂર છે , બિંદુ પરથી ઘટીને
, જેમાંથી સીધી રેખા પસાર થાય છે , સીધા . આ કરવા માટે, આપણે બાજુઓ સાથે સમાંતરગ્રામ બનાવીશું
અને (ફિગ. 3.12). અહીં
- બિંદુ કે જેના દ્વારા રેખા પસાર થાય છે , એ
રેખાઓનું દિશા વેક્ટર (પછી લીટીઓ સમાંતર હોવાથી). ચોરસ સમાંતર ચતુષ્કોણની ગણતરી વેક્ટર્સના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે
અને
:

અંતર આપણે સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળને વિભાજીત કરીને મેળવીએ છીએ તેની બાજુની લંબાઈ દ્વારા
:

જવાબ:

ઉપયોગી સૂત્ર.જો બે સમાંતર રેખાઓ આપવામાં આવે

;

,

પછી અંતર તેમની વચ્ચે સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે

,

જ્યાં
અને
બિંદુઓ કે જેના દ્વારા રેખાઓ પસાર થાય છે અને અનુક્રમે,
તેમની દિશા વેક્ટર.

સમસ્યા 3.16.ક્રોસિંગ લાઇન વચ્ચેનું અંતર શોધો:

આર નિર્ણયસીધું એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે
અને તેની દિશા વેક્ટર
. સીધું એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે
અને તેની દિશા વેક્ટર
. તે જાણીતું છે કે જો સીધી રેખાઓ છેદે છે, તો ત્યાં બે સમાંતર વિમાનો છે અને જેમ કે તે સીધી છે પ્લેનમાં આવેલું છે , અને સીધી રેખા
પ્લેનમાં . માર્ગદર્શક વેક્ટર્સ અને આ વિમાનોના દિશા વેક્ટર હશે.

ચાલો એક સમાંતર પાઇપ બનાવીએ જેની બાજુઓ વેક્ટર હોય
(ફિગ. 3.13). ચાલો તેનું વોલ્યુમ શોધીએ. આ કરવા માટે, અમે મિશ્ર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ

આમ, વોલ્યુમ

હવે ચાલો વિસ્તાર શોધીએમેદાન સમાંતર (સમસ્યા 3.15નો ઉકેલ જુઓ):

,

અંતર છેદતી રેખાઓ વચ્ચે સમાન હશે

જવાબ:

ઉપયોગી સૂત્ર.બે છેદતી રેખાઓ આપી

,

પછી તેમની વચ્ચેનું અંતર સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

અહીં
અને
- બિંદુઓ જેના દ્વારા રેખાઓ પસાર થાય છે અને અનુક્રમે, અને તેમના દિશા વેક્ટર છે.

જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, તો આ પ્લેનનું સમીકરણ હશેચાલો સમસ્યા 3.16 હલ કરવાની બીજી રીતનું ટૂંકમાં વર્ણન કરીએ. પ્રથમ આપણે પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ છીએ (આ જાતે કરો). હશે

.

અંતર બિંદુથી અંતર જેટલું
વિમાન માટે . હવે બધું ફોર્મ્યુલાને અનુસરે છે (1.5).

લક્ષ્યો:પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ બતાવો અને તેમાંથી દરેકનો ઉપયોગ કરવાની સગવડ અને કાર્યક્ષમતા નક્કી કરો.

શૈક્ષણિક- પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવાના વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને વિસ્તૃત કરો;

વિકાસશીલ- તર્કસંગત ઉકેલો શોધવાની ક્ષમતા દ્વારા નવીન વિચારસરણીનો વિકાસ કરો, એક પદ્ધતિથી બીજી પદ્ધતિમાં કેવી રીતે સ્વિચ કરવું તે શીખવો, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે દલીલના તમામ તબક્કાઓનું નિરીક્ષણ કરવાની સંસ્કૃતિ વિકસાવો;

શૈક્ષણિક - ધૈર્ય, ધ્યેય હાંસલ કરવામાં દ્રઢતા અને ટીમમાં કામ કરવાની ક્ષમતા કેળવો.

શીખવો:

1. પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે કોઓર્ડિનેટ-પેરામેટ્રિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો, તેને ગ્રાફિકલ પદ્ધતિથી અલગ કરવામાં સક્ષમ બનો.

2. કરો યોગ્ય પસંદગીઆપેલ સમસ્યાની શરતોના આધારે સમીકરણ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ.

3. જૂથોમાં કાર્ય ગોઠવો.

1. પાઠનો પરિચય, સંસ્થાકીય તબક્કો(પરિશિષ્ટ 1 ની સ્લાઇડ્સ 1, 2, 3).

2. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનું પુનરાવર્તન.

શિક્ષક. પરિમાણ સાથે સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે?

સૂચવેલ જવાબ. પરિમાણ સાથે સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવો, જેની મદદથી પરિમાણના દરેક મૂલ્ય માટે અનુરૂપ સમીકરણના મૂળનો સમૂહ સૂચવવામાં આવે છે.

શિક્ષક. સમસ્યામાં પરિમાણને કઈ ભૂમિકા સોંપવામાં આવી છે તેના આધારે (ચલની સમાન અથવા અસમાન), બે મુખ્ય ગ્રાફિકલ તકનીકોને તે મુજબ ઓળખી શકાય છે: પ્રથમ ગ્રાફિકલ છબીનું બાંધકામ છે. સંકલન વિમાન(x; y), બીજું – ચાલુ (x; a).

યોજનાકીય રીતે, પ્રથમ પદ્ધતિની રચના નીચે મુજબ છે. પ્લેન પર (x; y), ફંક્શન y=f(x; a) પરિમાણ a પર આધાર રાખીને વળાંકોના કુટુંબને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક કુટુંબ એફ ધરાવે છે ચોક્કસ ગુણધર્મો, પરંતુ મુખ્ય વસ્તુ એ એક કુટુંબના વળાંકથી બીજામાં સંક્રમણ છે.

બીજી પદ્ધતિની વાત કરીએ તો, તે કોઓર્ડિનેટ-પેરામેટ્રિક પ્લેનના તમામ બિંદુઓના સમૂહને શોધવા પર આધારિત છે, કોઓર્ડિનેટ્સ x અને પેરામીટર a ના મૂલ્યો જેમાંથી દરેક સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં ઉલ્લેખિત સંબંધને સંતોષે છે. જો પોઈન્ટનો ઉલ્લેખિત સમૂહ મળી આવે, તો a=const પરિમાણની દરેક માન્ય કિંમત આ સમૂહના સંકલન બિંદુઓ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે, જે સમસ્યાનું ઇચ્છિત મૂલ્ય આપે છે. અમે આજના પાઠને આ પદ્ધતિ માટે સમર્પિત કરીશું.

વધુ સંદેશાવ્યવહારની સરળતા માટે, અમે પ્રથમ પદ્ધતિને ગ્રાફિકલ કહીશું, અને બીજી કોઓર્ડિનેટ-પેરામેટ્રિક કહીશું અને ઉદાહરણો સાથે તેનો ઉપયોગ દર્શાવીશું.

3. મુખ્ય ભાગ.

a) વિદ્યાર્થીઓને એક સમસ્યા ઓફર કરવામાં આવે છે જે દરેક સૂચિત પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. ઉકેલો સ્લાઇડ્સ પર રજૂ કરવામાં આવ્યા છે (પરિશિષ્ટ 1 ની 4 અને 5) અને તેની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

નંબર 1. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ બે કરતાં વધુ મૂળ ધરાવે છે.

ઉકેલ. પદ્ધતિ I (સંકલન-પેરામેટ્રિક):

જો તમે x=0 in ને બદલે મૂળ સમીકરણ, તો આપણને 6=6 મળે છે, જેનો અર્થ છે કે x=0 એ કોઈપણ a માટે સમીકરણનો ઉકેલ છે. ચાલો હવે x, પછી આપણે a= લખી શકીએ . ચાલો 2x+3 અને 2x-3 સમીકરણોના ચિહ્નો શોધીએ.

ચોખા. 1

ચોખા. 2

a=

પ્લેનમાં આપણે બિંદુઓનો સમૂહ (x;a) બનાવીશું, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સંબંધને સંતોષે છે.

જો a = 0 હોય, તો સમીકરણમાં અંતરાલ પર અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો હોય છે, અન્ય મૂલ્યો માટે સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા બે કરતાં વધી જતી નથી.

જવાબ: a=0

ઉકેલ. પદ્ધતિ II (ગ્રાફિક):

ચાલો ફંક્શન્સ y= પ્લોટ કરીએ અને y=ax+6 અને પરિમાણ a પર આધાર રાખીને તેમના આંતરછેદના બિંદુઓની સંખ્યા શોધો.

ચોખા. 3

તેથી, જો a=0, તો x. જો એ , તો સમીકરણમાં બે ઉકેલો છે, પરંતુ a માટે એક ઉકેલ છે આપેલ સમીકરણ. એટલે કે, જ્યારે a=0 હોય ત્યારે સમીકરણ બે કરતાં વધુ મૂળ ધરાવે છે.

જવાબ: a=0.

શિક્ષક: આ કિસ્સામાં કઈ પદ્ધતિ તમને અપીલ કરે છે?

સૂચવેલ જવાબ. ગ્રાફિક. તેને ઓછી ગણતરીઓની જરૂર છે, જો કે રેખાની સીમા સ્થાનો પર પરિમાણની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે.

b) જૂથોમાં સ્વતંત્ર કાર્ય.

વર્ગને જૂથોમાં વહેંચવામાં આવ્યો છે, જેમાંથી કેટલાક નીચેની સમસ્યાને ગ્રાફિકલી હલ કરે છે, અને કેટલાક - કોઓર્ડિનેટ-પેરામેટ્રિક. સમય વીતી ગયા પછી, મલ્ટીમીડિયા બોર્ડનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો તપાસવામાં આવે છે (પરિશિષ્ટ 1 ની સ્લાઇડ્સ નંબર 6, નંબર 7).

નંબર 2. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે એક અનન્ય ઉકેલ છે.

ઉકેલ.પદ્ધતિ I (ગ્રાફિક):

ચાલો y= અને y= ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ

ચોખા. 4

A(-4; 0), B(-2; 0) આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે.

ચોખા. 5

જવાબ: a=-8; a=-4.

ઉકેલ. II પદ્ધતિ (સંકલન-પેરામેટ્રિક).

નિરપેક્ષ મૂલ્યની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે દરેક "આંશિક પ્રદેશો" માં સમીકરણને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેમાં સીધી રેખાઓ x = -3, x = KP સમતલ વિભાજિત થાય છે, કેસ a ને ધ્યાનમાં લેતા. < -6 અને a>-6, તેને સમકક્ષ સમૂહ સાથે બદલીને.

ચોખા. 6

ચોખા. 7

ચોખા. 8

પ્રથમ વખતની જેમ, ચાલો સમીકરણને સમૂહ સાથે બદલીએ.

ચોખા. 9

પોઈન્ટનો સમૂહ (x; a) નીચે દર્શાવેલ છે - સંકલન x અને પરિમાણ a, જે સમીકરણને સંતોષે છે, તે ઉકેલની વિશિષ્ટતાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનું શક્ય બનાવે છે.

શિક્ષક. છેલ્લી સમસ્યાનું નિર્માણ અગાઉના મુદ્દાઓથી કેવી રીતે અલગ છે?

અનુમાનિત જવાબ: પ્રારંભિક સમસ્યાઓમાં મુખ્ય વસ્તુ મૂળની સંખ્યા શોધવાનું હતું, અને છેલ્લામાં - મૂળ પોતે. અને આ કિસ્સામાં, કોઓર્ડિનેટ-પેરામેટ્રિક પદ્ધતિ વધારાની ગણતરીઓ વિના તૈયાર સોલ્યુશન્સ ઉત્પન્ન કરે છે.

4. પાઠનો સારાંશ.

શિક્ષક, વિદ્યાર્થીઓની મદદથી, નવી પદ્ધતિ અને તેના ઉપયોગની શક્યતાઓ વિશે તારણો કાઢે છે.

1. પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, કોઈ એક પદ્ધતિને બીજી પદ્ધતિ પર પ્રાધાન્ય આપવા વિશે વાત કરી શકતું નથી.

2. ઉકેલની પદ્ધતિની પસંદગી સમસ્યાની રચના પર આધાર રાખે છે, એટલે કે. જ્યારે આપણે સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવાની જરૂર હોય, ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે ગ્રાફિક પદ્ધતિ, અને જો આપણે પરિમાણના આધારે સમીકરણના મૂળ શોધવાની જરૂર હોય, તો સંકલન-પેરામેટ્રિક પદ્ધતિ વધુ અસરકારક છે.

5. હોમવર્ક.

KP પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેના સમીકરણોને ઉકેલો.

1. ¦Х + 2¦ +¦ Х – 4¦ + ¦Х – 1¦ = a.

2. ¦X + a – 1¦ = ¦X – a + 1¦.