વ્યવહારમાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવો એકદમ સામાન્ય છે. અમે આ ક્રિયા ત્યારે કરીએ છીએ જ્યારે આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કેવી રીતે ખર્ચ ઘટાડવો, નફો વધારવો, ઉત્પાદન પરના શ્રેષ્ઠ ભારની ગણતરી કરવી વગેરે, એટલે કે એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આપણે નિર્ધારિત કરવાની જરૂર છે. શ્રેષ્ઠ મૂલ્યકોઈપણ પરિમાણ. આવી સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે ઉકેલવા માટે, તમારે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શું છે તેની સારી સમજ હોવી જરૂરી છે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

સામાન્ય રીતે આપણે આ મૂલ્યોને ચોક્કસ અંતરાલ x ની અંદર વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે બદલામાં ફંક્શનના સમગ્ર ડોમેન અથવા તેના ભાગને અનુરૂપ હોઈ શકે છે. તે સેગમેન્ટ [a; b ] , અને ખુલ્લું અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), અનંત અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) અથવા અનંત અંતરાલ - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞), (- ∞; + ∞) .

આ સામગ્રીમાં અમે તમને કહીશું કે એક ચલ y=f(x) y = f (x) સાથે સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

ચાલો, હંમેશની જેમ, મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓની રચના સાથે પ્રારંભ કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y = f (x 0) x ∈ X છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા બનાવે છે f (x) ≤ f (x) માન્ય 0) .

વ્યાખ્યા 2

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી નાનું મૂલ્ય m i n x ∈ X y = f (x 0) છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા f(X f) બનાવે છે. (x) ≥ f (x 0) .

આ વ્યાખ્યાઓ એકદમ સ્પષ્ટ છે. તેનાથી પણ સરળ, આપણે આ કહી શકીએ: ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય તેની સૌથી વધુ છે મહાન મૂલ્ય abscissa x 0 પર જાણીતા અંતરાલ પર, અને x 0 પર સમાન અંતરાલ પર સૌથી નાનું સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા 3

સ્થિર બિંદુઓ ફંક્શનની દલીલના તે મૂલ્યો છે કે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન 0 બને છે.

આપણે શા માટે એ જાણવાની જરૂર છે કે સ્થિર બિંદુઓ શું છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે ફર્મેટના પ્રમેયને યાદ રાખવાની જરૂર છે. તે તેના પરથી અનુસરે છે કે સ્થિર બિંદુ એ એક બિંદુ છે કે જેના પર વિભેદક કાર્યનો અંતિમ ભાગ સ્થિત છે (એટલે કે તેનું સ્થાનિક લઘુત્તમઅથવા મહત્તમ). પરિણામે, ફંક્શન ચોક્કસ અંતરાલ પર સ્થિર બિંદુઓમાંથી એક પર ચોક્કસપણે સૌથી નાનું અથવા સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે.

ફંક્શન તે બિંદુઓ પર સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય પણ લઈ શકે છે જ્યાં ફંક્શન પોતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

આ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે પહેલો પ્રશ્ન ઉદ્ભવે છે: બધા કિસ્સાઓમાં આપણે આપેલ અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું કે નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકીએ? ના, અમે આ કરી શકતા નથી જ્યારે આપેલ અંતરાલની સીમાઓ વ્યાખ્યા ડોમેનની સીમાઓ સાથે સુસંગત હોય, અથવા જો આપણે અનંત અંતરાલ સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ. એવું પણ બને છે કે આપેલ સેગમેન્ટમાં અથવા અનંતમાં ફંક્શન અનંત નાનું અથવા અનંત લેશે મોટા મૂલ્યો. આ કિસ્સાઓમાં, સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરવું શક્ય નથી.

ગ્રાફ પર દર્શાવ્યા પછી આ મુદ્દા વધુ સ્પષ્ટ થશે:

પ્રથમ આકૃતિ આપણને એક કાર્ય બતાવે છે જે સેગમેન્ટ [ - 6 ; 6].

ચાલો બીજા ગ્રાફમાં દર્શાવેલ કેસની વિગતવાર તપાસ કરીએ. ચાલો સેગમેન્ટની કિંમત [ 1 ; 6 ] અને આપણે શોધીએ છીએ કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય અંતરાલની જમણી સીમા પરના એબ્સીસા સાથેના બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે અને સૌથી નાનું સ્થિર બિંદુ.

ત્રીજી આકૃતિમાં, પોઈન્ટના એબ્સીસાસ સેગમેન્ટના સીમા બિંદુઓને રજૂ કરે છે [ - 3 ; 2]. તેઓ આપેલ કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

હવે ચાલો ચોથું ચિત્ર જોઈએ. તેમાં, ફંક્શન ખુલ્લા અંતરાલ (- 6; 6) પર સ્થિર બિંદુઓ પર m a x y (સૌથી મોટી કિંમત) અને m i n y (સૌથી નાની કિંમત) લે છે.

જો આપણે અંતરાલ લઈએ [ 1 ; 6), પછી આપણે કહી શકીએ કે તેના પરના કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે. સૌથી મોટી કિંમત આપણા માટે અજાણ હશે. જો x = 6 અંતરાલ સાથે સંબંધિત હોય તો ફંક્શન તેની મહત્તમ કિંમત x બરાબર 6 પર લઈ શકે છે. આ ગ્રાફ 5 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

ગ્રાફ 6 પર સૌથી ઓછું મૂલ્ય આ કાર્યઅંતરાલ (- 3; 2 ] ની જમણી સીમા પર પ્રાપ્ત થાય છે, અને અમે સૌથી વધુ મૂલ્ય વિશે ચોક્કસ નિષ્કર્ષ દોરી શકતા નથી.

આકૃતિ 7 માં આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનમાં સ્થિર બિંદુ પર m a x y હશે જેનું abscissa 1 ની બરાબર હશે. ફંક્શન સી અંતરાલની સીમા પર તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચશે જમણી બાજુ. માઇનસ અનંત પર, ફંક્શન વેલ્યુ એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે.

જો આપણે અંતરાલ x ∈ 2 લઈએ; + ∞ , પછી આપણે જોઈશું કે આપેલ ફંક્શન તેના પર ન તો નાનું કે સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે. જો x 2 તરફ વળે છે, તો ફંક્શનના મૂલ્યો માઈનસ અનંત તરફ વળશે, કારણ કે સીધી રેખા x = 2 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે. જો એબ્સીસા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો ફંક્શન મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે. આકૃતિ 8 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

આ ફકરામાં આપણે ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે કરવામાં આવતી ક્રિયાઓનો ક્રમ રજૂ કરીશું.

પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ. ચાલો તપાસીએ કે શરતમાં ઉલ્લેખિત સેગમેન્ટ તેમાં શામેલ છે કે કેમ.
હવે ચાલો આ સેગમેન્ટમાં સમાવિષ્ટ બિંદુઓની ગણતરી કરીએ કે જેના પર પ્રથમ ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં નથી. મોટેભાગે તેઓ એવા કાર્યોમાં મળી શકે છે જેની દલીલ મોડ્યુલસ સાઇન હેઠળ અથવા ઇન લખવામાં આવે છે પાવર કાર્યો, જેનો ઘાત અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યા છે.
આગળ, આપણે શોધીશું કે આપેલ સેગમેન્ટમાં કયા સ્થિર બિંદુઓ આવશે. આ કરવા માટે, તમારે ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પછી તેને 0 સાથે સમાન કરો અને પરિણામી સમીકરણને હલ કરો, અને પછી યોગ્ય મૂળ પસંદ કરો. જો આપણને એક પણ સ્થિર બિંદુ ન મળે અથવા તે આપેલ સેગમેન્ટમાં ન આવે, તો અમે આગળના પગલા પર આગળ વધીએ છીએ.
અમે નક્કી કરીએ છીએ કે આપેલ સ્થિર બિંદુઓ (જો કોઈ હોય તો) પર ફંક્શન કયા મૂલ્યો લેશે, અથવા તે બિંદુઓ પર જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (જો ત્યાં કોઈ હોય તો), અથવા અમે x = a અને માટે મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ x = b.
5. અમારી પાસે સંખ્યાબંધ ફંક્શન વેલ્યુ છે, જેમાંથી હવે આપણે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો હશે જેને આપણે શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો જોઈએ કે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ અલ્ગોરિધમને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લાગુ કરવું.

ઉદાહરણ 1

શરત:ફંક્શન y = x 3 + 4 x 2 આપેલ છે. સેગમેન્ટ્સ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરો [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

ઉકેલ:

ચાલો આપેલ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીને શરૂ કરીએ. આ કિસ્સામાં, તેણી પાસે ઘણા બધા હશે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, 0 સિવાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ શરતમાં ઉલ્લેખિત બંને વિભાગો વ્યાખ્યા વિસ્તારની અંદર હશે.

હવે આપણે અપૂર્ણાંક તફાવતના નિયમ અનુસાર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

અમે શીખ્યા કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પર અસ્તિત્વમાં રહેશે [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

હવે આપણે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો આ સમીકરણ x 3 - 8 x 3 = 0 નો ઉપયોગ કરીને કરીએ. તે માત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, જે 2 છે. તે ફંક્શનનું સ્થિર બિંદુ હશે અને પ્રથમ સેગમેન્ટમાં આવશે [1; 4].

ચાલો પ્રથમ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ અને આ બિંદુએ, એટલે કે. x = 1, x = 2 અને x = 4 માટે:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

અમને જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 એ x = 1 પર પ્રાપ્ત થશે, અને સૌથી નાનો m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 પર.

બીજા સેગમેન્ટમાં એક સ્થિર બિંદુનો સમાવેશ થતો નથી, તેથી આપણે આપેલ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શન મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

આનો અર્થ છે m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

જવાબ:સેગમેન્ટ માટે [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , સેગમેન્ટ માટે [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

ચિત્ર જુઓ:

તમે અભ્યાસ કરો તે પહેલાં આ પદ્ધતિ, અમે તમને એકતરફી મર્યાદા અને અનંતતા પરની મર્યાદાની યોગ્ય રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી તેની સમીક્ષા કરવા તેમજ તેમને શોધવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ શીખવાની સલાહ આપીએ છીએ. ખુલ્લા અથવા અનંત અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે, નીચેના પગલાંઓ ક્રમિક રીતે કરો.

પ્રથમ, તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે શું આપેલ અંતરાલ આપેલ ફંક્શનના ડોમેનનો સબસેટ હશે.
ચાલો આપણે બધા બિંદુઓ નક્કી કરીએ જે જરૂરી અંતરાલમાં સમાયેલ છે અને જેના પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. તેઓ સામાન્ય રીતે ફંક્શન્સમાં થાય છે જ્યાં દલીલ મોડ્યુલસ ચિહ્નમાં બંધ હોય છે, અને અપૂર્ણાંક સાથે પાવર ફંક્શન્સમાં તર્કસંગત સૂચક. જો આ બિંદુઓ ખૂટે છે, તો પછી તમે આગલા પગલા પર આગળ વધી શકો છો.
હવે ચાલો નક્કી કરીએ કે કયા સ્થિર બિંદુઓ આપેલ અંતરાલમાં આવશે. પ્રથમ, આપણે વ્યુત્પન્નને 0 સાથે સરખાવીએ છીએ, સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ અને યોગ્ય મૂળ પસંદ કરીએ છીએ. જો આપણી પાસે એક પણ સ્થિર બિંદુ ન હોય અથવા તે આપેલ અંતરાલમાં ન આવે, તો અમે તરત જ જઈએ છીએ આગળની ક્રિયાઓ. તેઓ અંતરાલના પ્રકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

જો અંતરાલ સ્વરૂપનું છે [ a ; b) , તો આપણે બિંદુ x = a અને એકતરફી પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે મર્યાદા x → b - 0 f (x) .
જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a; b ] હોય, તો આપણે બિંદુ x = b અને એક બાજુની મર્યાદા lim x → a + 0 f (x) પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a; b) હોય, તો આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
જો અંતરાલ સ્વરૂપનું છે [ a ; + ∞), પછી આપણે બિંદુ x = a અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) પરની મર્યાદા પરની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
જો અંતરાલ (- ∞ ; b ] જેવો દેખાય છે, તો આપણે બિંદુ x = b પરની કિંમત અને માઇનસ અનંત લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ.
જો - ∞ ; b , પછી આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) અને માઈનસ અનંત lim x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
જો - ∞; + ∞ , પછી આપણે માઈનસ અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) , લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

અંતે, તમારે પ્રાપ્ત કાર્ય મૂલ્યો અને મર્યાદાઓના આધારે નિષ્કર્ષ દોરવાની જરૂર છે. અહીં ઘણા બધા વિકલ્પો ઉપલબ્ધ છે. તેથી, જો એકતરફી મર્યાદા માઇનસ અનંત અથવા વત્તા અનંતની બરાબર હોય, તો તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના સૌથી નાના અને મોટા મૂલ્યો વિશે કશું કહી શકાતું નથી. નીચે આપણે એક જોઈશું લાક્ષણિક ઉદાહરણ. વિગતવાર વર્ણનોશું છે તે સમજવામાં તમને મદદ કરશે. જો જરૂરી હોય તો, તમે સામગ્રીના પ્રથમ ભાગમાં આકૃતિ 4 - 8 પર પાછા આવી શકો છો.

ઉદાહરણ 2

શરત: આપેલ ફંક્શન y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . અંતરાલોમાં તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરો - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

ઉકેલ

સૌ પ્રથમ, આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. અપૂર્ણાંકનો છેદ સમાવે છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, જે 0 પર ન જવું જોઈએ:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મેળવ્યું છે કે જેમાં શરતમાં ઉલ્લેખિત તમામ અંતરાલો સંબંધિત છે.

હવે ચાલો ફંક્શનને અલગ કરીએ અને મેળવીએ:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

પરિણામે, ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

ચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધવા તરફ આગળ વધીએ. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન x = - 1 2 પર 0 બને છે. આ એક સ્થિર બિંદુ છે જે અંતરાલો (- 3 ; 1 ] અને (- 3 ; 2) માં આવેલું છે.

ચાલો અંતરાલ (- ∞ ; - 4 ] માટે x = - 4 પર ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ, તેમજ માઇનસ અનંત પરની મર્યાદા:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 થી, તેનો અર્થ એમ થાય છે કે m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. આ અમને અનન્ય રીતે સૌથી નાનું મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. ફંક્શન.

બીજા અંતરાલની ખાસિયત એ છે કે તેમાં એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી અને તેમાં એક પણ કડક સીમા નથી. પરિણામે, અમે ફંક્શનના સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્યની ગણતરી કરી શકીશું નહીં. માઇનસ અનંત પર મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી અને દલીલ ડાબી બાજુએ - 3 તરફ વળે છે, અમને ફક્ત મૂલ્યોનો અંતરાલ મળે છે:

લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય મૂલ્યો અંતરાલમાં સ્થિત થશે - 1; +∞

ત્રીજા અંતરાલમાં ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે તેનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ x = - 1 2 જો x = 1 પર નક્કી કરીએ છીએ. જ્યારે દલીલ જમણી બાજુએ - 3 તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે અમને કેસ માટે એકતરફી મર્યાદા પણ જાણવાની જરૂર પડશે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

તે બહાર આવ્યું છે કે ફંક્શન સ્થિર બિંદુ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 પર સૌથી વધુ મૂલ્ય લેશે. નાનામાં નાના મૂલ્ય માટે, અમે તેને નિર્ધારિત કરી શકતા નથી. આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું , - 4 ની નીચી મર્યાદાની હાજરી છે.

અંતરાલ (- 3 ; 2) માટે, અગાઉની ગણતરીના પરિણામો લો અને ફરી એકવાર ગણતરી કરો કે જ્યારે ડાબી બાજુએ 2 તરફ વળવું ત્યારે એકતરફી મર્યાદા કેટલી બરાબર છે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 લિમ x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

આનો અર્થ એ છે કે m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, અને સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકાતું નથી, અને ફંક્શનના મૂલ્યો નંબર - 4 દ્વારા નીચેથી મર્યાદિત છે .

અગાઉની બે ગણતરીઓમાં જે મળ્યું તેના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે અંતરાલ [ 1 ; 2) ફંક્શન x = 1 પર સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે, પરંતુ સૌથી નાનું શોધવાનું અશક્ય છે.

અંતરાલ પર (2 ; + ∞) ફંક્શન સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચશે નહીં, એટલે કે. તે અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લેશે - 1 ; + ∞

લિમ x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 પર ફંક્શનની કિંમત કેટલી હશે તેની ગણતરી કર્યા પછી, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , અને વત્તા અનંત પર આપેલ ફંક્શન એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સીધી રેખા y = - 1 સુધી પહોંચશે.

આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે દરેક ગણતરીમાં આપણને શું મળ્યું તેની સરખામણી કરીએ. આકૃતિમાં, એસિમ્પ્ટોટ્સ ડોટેડ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો શોધવા વિશે અમે તમને આટલું જ કહેવા માગીએ છીએ. અમે આપેલ ક્રિયાઓનો ક્રમ તમને જરૂરી ગણતરીઓ શક્ય તેટલી ઝડપથી અને સરળ રીતે કરવામાં મદદ કરશે. પરંતુ યાદ રાખો કે ફંક્શન કયા અંતરાલમાં ઘટશે અને કયા સમયે તે વધશે તે શોધવા માટે તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે, જેના પછી તમે વધુ તારણો દોરી શકો છો. આ રીતે તમે કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોને વધુ સચોટ રીતે નિર્ધારિત કરી શકો છો અને પ્રાપ્ત પરિણામોને ન્યાયી ઠેરવી શકો છો.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

નાનો અને સુંદર સરળ કાર્યફ્લોટિંગ વિદ્યાર્થી માટે જીવન રક્ષક તરીકે સેવા આપનારાઓની શ્રેણીમાંથી. તે જુલાઈના મધ્યમાં પ્રકૃતિમાં છે, તેથી તે બીચ પર તમારા લેપટોપ સાથે સ્થાયી થવાનો સમય છે. વહેલી સવારેરમવાનું શરૂ કર્યું સની બન્નીસિદ્ધાંત ટૂંક સમયમાં પ્રેક્ટિસ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા માટે, જે તેની સરળતા હોવા છતાં, રેતીમાં કાચના ટુકડા ધરાવે છે. આ સંદર્ભમાં, હું ભલામણ કરું છું કે તમે આ પૃષ્ઠના થોડા ઉદાહરણોને પ્રામાણિકપણે ધ્યાનમાં લો. ઉકેલવા માટે વ્યવહારુ કાર્યોસક્ષમ હોવા જોઈએ ડેરિવેટિવ્ઝ શોધોઅને લેખની સામગ્રીને સમજો મોનોટોનિસિટી અંતરાલ અને કાર્યનો અંતિમ ભાગ.

પ્રથમ, મુખ્ય વસ્તુ વિશે ટૂંકમાં. વિશેના પાઠમાં કાર્યની સાતત્યમેં એક બિંદુએ સાતત્ય અને અંતરાલમાં સાતત્યની વ્યાખ્યા આપી. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની અનુકરણીય વર્તણૂક સમાન રીતે ઘડવામાં આવે છે. કાર્ય અંતરાલ પર સતત હોય છે જો:

1) તે અંતરાલ પર સતત છે;
2) એક બિંદુ પર સતત અધિકારઅને બિંદુ પર બાકી.

બીજા ફકરામાં આપણે કહેવાતા વિશે વાત કરી એકતરફી સાતત્યએક બિંદુ પર કાર્યો. તેને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઘણા અભિગમો છે, પરંતુ હું અગાઉ શરૂ કરેલી લાઇનને વળગી રહીશ:

કાર્ય બિંદુ પર સતત છે અધિકાર, જો તે આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેની જમણી બાજુની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર કાર્યના મૂલ્ય સાથે એકરુપ છે: . તે બિંદુ પર સતત છે બાકી, જો આપેલ બિંદુ અને તેની ડાબી બાજુની મર્યાદા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે મૂલ્યની સમાનઆ બિંદુએ:

તેની કલ્પના કરો લીલા બિંદુઓ- આ તે નખ છે જેના પર જાદુઈ સ્થિતિસ્થાપક બેન્ડ જોડાયેલ છે:

માનસિક રીતે તમારા હાથમાં લાલ રેખા લો. દેખીતી રીતે, ભલે આપણે આલેખને ઉપર અને નીચે (અક્ષ સાથે) ગમે તેટલો લંબાવીએ, કાર્ય હજુ પણ રહેશે. મર્યાદિત- ટોચ પર વાડ, તળિયે વાડ, અને અમારું ઉત્પાદન વાડોમાં ચરાય છે. આમ, એક અંતરાલ પર સતત કાર્ય તેના પર બંધાયેલ છે. ગાણિતિક પૃથ્થકરણ દરમિયાન, આ દેખીતી રીતે સરળ હકીકત જણાવવામાં આવી છે અને સખત રીતે સાબિત થઈ છે. વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રથમ પ્રમેય....ઘણા લોકો નારાજ છે કે ગણિતમાં પ્રાથમિક વિધાનોને કંટાળાજનક રીતે સાબિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ આનો મહત્વનો અર્થ છે. ધારો કે ટેરી મધ્ય યુગના ચોક્કસ રહેવાસીએ દૃશ્યતાની મર્યાદાની બહાર આકાશમાં ગ્રાફ ખેંચ્યો, આ દાખલ કરવામાં આવ્યું હતું. ટેલિસ્કોપની શોધ પહેલાં, અવકાશમાં મર્યાદિત કાર્ય બિલકુલ સ્પષ્ટ ન હતું! ખરેખર, તમે કેવી રીતે જાણો છો કે ક્ષિતિજ પર આપણી રાહ શું છે? છેવટે, પૃથ્વી એક સમયે સપાટ માનવામાં આવતી હતી, તેથી આજે પણ સામાન્ય ટેલિપોર્ટેશનને પુરાવાની જરૂર છે =)

અનુસાર વેયરસ્ટ્રાસનું બીજું પ્રમેય, એક સેગમેન્ટ પર સતતકાર્ય તેના સુધી પહોંચે છે ચોક્કસ ટોચની ધાર અને તમારું ચોક્કસ તળિયે ધાર .

નંબર પણ બોલાવવામાં આવે છે સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું મહત્તમ મૂલ્યઅને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને સંખ્યા છે સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું ન્યૂનતમ મૂલ્યચિહ્નિત

અમારા કિસ્સામાં:

નોંધ : સિદ્ધાંતમાં, રેકોર્ડિંગ્સ સામાન્ય છે .

આશરે કહીએ તો, સૌથી વધુ મૂલ્ય એ છે કે જ્યાં સૌથી વધુ છે ઉચ્ચ બિંદુગ્રાફિક્સ, અને સૌથી નાનું તે છે જ્યાં સૌથી નીચો બિંદુ છે.

મહત્વપૂર્ણ!વિશે લેખમાં પહેલેથી જ ભાર મૂક્યો છે કાર્યની અંતિમ, સૌથી વધુ કાર્ય મૂલ્યઅને સૌથી નાનું કાર્ય મૂલ્ય – સમાન નથી, શું મહત્તમ કાર્યઅને ન્યૂનતમ કાર્ય. તેથી, વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, સંખ્યા એ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ છે, પરંતુ ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

માર્ગ દ્વારા, સેગમેન્ટની બહાર શું થાય છે? હા, પૂર પણ, વિચારણા હેઠળની સમસ્યાના સંદર્ભમાં, આ અમને બિલકુલ રસ નથી. કાર્યમાં ફક્ત બે નંબરો શોધવાનો સમાવેશ થાય છે અને તે છે!

તદુપરાંત, ઉકેલ સંપૂર્ણ રીતે વિશ્લેષણાત્મક છે, તેથી, ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર નથી!

અલ્ગોરિધમ સપાટી પર આવેલું છે અને ઉપરોક્ત આકૃતિમાંથી પોતાને સૂચવે છે:

1) માં ફંક્શનની કિંમતો શોધો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ , જે સંબંધિત છે આ સેગમેન્ટ .

બીજું બોનસ મેળવો: અહીં એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી સ્થિતિ તપાસવાની જરૂર નથી, કારણ કે, હમણાં બતાવ્યા પ્રમાણે, ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમની હાજરી હજુ બાંયધરી આપતું નથી, ન્યૂનતમ શું છે અથવા મહત્તમ મૂલ્ય. નિદર્શન કાર્ય મહત્તમ સુધી પહોંચે છે અને, ભાગ્યની ઇચ્છાથી, સમાન સંખ્યા સેગમેન્ટ પરના કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે. પરંતુ, અલબત્ત, આવા સંયોગ હંમેશા થતો નથી.

તેથી, પ્રથમ પગલામાં, તેમાં ચરમસીમા છે કે નહીં તેની ચિંતા કર્યા વિના, સેગમેન્ટના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી ઝડપી અને સરળ છે.

2) અમે સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ.

3) 1લા અને 2જા ફકરામાં મળેલ ફંક્શન વેલ્યુમાંથી, સૌથી નાનું અને સૌથી વધુ પસંદ કરો મોટી સંખ્યામાં, જવાબ લખો.

અમે કિનારે બેસીએ છીએ વાદળી સમુદ્રઅને અમારી રાહ વડે છીછરા પાણીને ફટકારો:

ઉદાહરણ 1

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો

ઉકેલ:
1) ચાલો આ સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા નિર્ણાયક બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:

ચાલો બીજા નિર્ણાયક બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ:

2) ચાલો સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:

3) "બોલ્ડ" પરિણામો ઘાતાંક અને લઘુગણક સાથે મેળવવામાં આવ્યા હતા, જે તેમની સરખામણીને નોંધપાત્ર રીતે જટિલ બનાવે છે. આ કારણોસર, ચાલો આપણી જાતને કેલ્ક્યુલેટર અથવા એક્સેલ સાથે સજ્જ કરીએ અને અંદાજિત મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ, તે ભૂલશો નહીં:

હવે બધું સ્પષ્ટ છે.

જવાબ આપો:

માટે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત ઉદાહરણ સ્વતંત્ર નિર્ણય:

ઉદાહરણ 6

મહત્તમ શોધો અને ન્યૂનતમ મૂલ્યઅંતરાલ પર કાર્યો

આવી સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો સમાવેશ થાય છે, કાર્યના શૂન્ય શોધ્યા પછી, અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નક્કી કરવા. પછી કયા પ્રશ્નની સ્થિતિમાં છે તેના આધારે, મળેલા મહત્તમ (અથવા લઘુત્તમ) બિંદુઓ અને અંતરાલની સીમા પર મૂલ્યોની ગણતરી.

હું તમને વસ્તુઓ થોડી અલગ રીતે કરવાની સલાહ આપું છું. શા માટે? મેં આ વિશે લખ્યું.

હું નીચે પ્રમાણે આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું:

1. વ્યુત્પન્ન શોધો.
2. વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધો.
3. તેમાંથી કયું આ અંતરાલનું છે તે નક્કી કરો.
4. અમે અંતરાલની સીમાઓ અને પગલું 3 ના બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ.
5. અમે એક નિષ્કર્ષ દોરીએ છીએ (પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપો).

પ્રસ્તુત ઉદાહરણો હલ કરતી વખતે, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા વિશે વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી નથી; તેમને પણ ખબર હોવી જોઈએ.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

77422. ફંક્શન y=x ની સૌથી મોટી કિંમત શોધોસેગમેન્ટ [–2;0] પર 3 –3x+4.

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ:

બિંદુ x = –1 શરતમાં ઉલ્લેખિત અંતરાલનો છે.

અમે પોઈન્ટ -2, -1 અને 0 પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય 6 છે.

જવાબ: 6

77425. સેગમેન્ટ પર ફંક્શન y = x 3 – 3x 2 + 2 ની સૌથી નાની કિંમત શોધો.

ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ:

બિંદુ x = 2 એ સ્થિતિમાં ઉલ્લેખિત અંતરાલનો છે.

અમે પોઈન્ટ 1, 2 અને 4 પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય -2 છે.

જવાબ: -2

77426. સેગમેન્ટ [–3;3] પર ફંક્શન y = x 3 – 6x 2 ની સૌથી મોટી કિંમત શોધો.

ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ:

શરતમાં ઉલ્લેખિત અંતરાલમાં બિંદુ x = 0 છે.

અમે પોઈન્ટ -3, 0 અને 3 પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય 0 છે.

જવાબ: 0

77429. સેગમેન્ટ પર ફંક્શન y = x 3 – 2x 2 + x +3 ની સૌથી નાની કિંમત શોધો.

ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

3x 2 – 4x + 1 = 0

આપણને મૂળ મળે છે: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

શરતમાં ઉલ્લેખિત અંતરાલ માત્ર x = 1 ધરાવે છે.

ચાલો બિંદુ 1 અને 4 પર ફંક્શનની કિંમતો શોધીએ:

અમે જોયું કે ફંક્શનની સૌથી નાની કિંમત 3 છે.

જવાબ: 3

77430. સેગમેન્ટ પર y = x 3 + 2x 2 + x + 3 ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો [– 4; -1].

ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ, હલ કરીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

3x 2 + 4x + 1 = 0

ચાલો મૂળ મેળવીએ:

શરતમાં ઉલ્લેખિત અંતરાલ x = –1 રુટ ધરાવે છે.

આપણે પોઈન્ટ -4, -1, -1/3 અને 1 પર ફંક્શનની કિંમતો શોધીએ છીએ:

અમને જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય 3 છે.

જવાબ: 3

77433. સેગમેન્ટ પર ફંક્શન y = x 3 – x 2 – 40x +3 ની સૌથી નાની કિંમત શોધો.

ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો વ્યુત્પન્નના શૂન્ય શોધીએ અને ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ:

3x 2 – 2x – 40 = 0

ચાલો મૂળ મેળવીએ:

શરતમાં ઉલ્લેખિત અંતરાલ x = 4 સમાવે છે.

પોઈન્ટ 0 અને 4 પર ફંક્શન વેલ્યુ શોધો:

અમને જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનની સૌથી નાની કિંમત –109 છે.

જવાબ: -109

ચાલો વ્યુત્પન્ન વિના કાર્યોના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોને નિર્ધારિત કરવાની રીત પર વિચાર કરીએ. જો તમારી પાસે હોય તો આ અભિગમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે મોટી સમસ્યાઓ. સિદ્ધાંત સરળ છે - અમે ફંક્શનમાં અંતરાલમાંથી તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યોને બદલીએ છીએ (હકીકત એ છે કે આવા તમામ પ્રોટોટાઇપ્સમાં જવાબ પૂર્ણાંક છે).

77437. સેગમેન્ટ [–2;2] પર ફંક્શન y=7+12x–x 3 ની સૌથી નાની કિંમત શોધો.

-2 થી 2 સુધીના અવેજી પોઈન્ટ્સ: ઉકેલ જુઓ

77434. સેગમેન્ટ [–2;0] પર y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 ફંક્શનની સૌથી મોટી કિંમત શોધો.

બસ એટલું જ. તમને શુભકામનાઓ!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય

ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય સૌથી મોટું છે, લઘુત્તમ મૂલ્ય તેના તમામ મૂલ્યોમાં સૌથી નાનું છે.

ફંક્શનમાં માત્ર એક સૌથી મોટું અને માત્ર એક જ સૌથી નાનું મૂલ્ય હોઈ શકે છે, અથવા તેમાં કોઈ પણ ન હોઈ શકે. સૌથી મોટી શોધવી અને સૌથી નીચા મૂલ્યો સતત કાર્યોપર આધારિત છે નીચેના ગુણધર્મોઆ કાર્યો:

1) જો ચોક્કસ અંતરાલ (મર્યાદિત અથવા અનંત) માં ફંક્શન y=f(x) સતત હોય અને તેની માત્ર એક જ સીમા હોય અને જો આ મહત્તમ (લઘુત્તમ) હોય, તો તે ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય હશે. આ અંતરાલમાં.

2) જો ફંક્શન f(x) ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર સતત હોય, તો તે આ સેગમેન્ટ પર આવશ્યકપણે સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો ધરાવે છે. આ મૂલ્યો કાં તો સેગમેન્ટની અંદર આવેલા એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ પર અથવા આ સેગમેન્ટની સીમાઓ પર પહોંચે છે.

સેગમેન્ટ પર સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે, નીચેની યોજનાનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે:

1. વ્યુત્પન્ન શોધો.

2. કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો કે જેના પર =0 અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

3. નિર્ણાયક બિંદુઓ અને સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યો શોધો અને તેમાંથી સૌથી મોટો f મહત્તમ અને સૌથી નાનો f મહત્તમ પસંદ કરો.

નક્કી કરતી વખતે લાગુ સમસ્યાઓ, ખાસ કરીને ઓપ્ટિમાઇઝેશન, મહત્વપૂર્ણઅંતરાલ X પર ફંક્શનના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો (વૈશ્વિક મહત્તમ અને વૈશ્વિક લઘુત્તમ) શોધવાના કાર્યો હોય છે. આવી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, વ્યક્તિએ, સ્થિતિના આધારે, એક સ્વતંત્ર ચલ પસંદ કરવો જોઈએ અને અભ્યાસ હેઠળના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવું જોઈએ. આ ચલ. પછી પરિણામી કાર્યનું ઇચ્છિત સૌથી મોટું અથવા નાનું મૂલ્ય શોધો. આ કિસ્સામાં, સ્વતંત્ર ચલના પરિવર્તનનો અંતરાલ, જે મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે, તે પણ સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.ખુલ્લા ટોપ જેવો આકારનો જળાશય લંબચોરસ સમાંતરચોરસ તળિયે સાથે, તમારે અંદરથી ટીન કરવાની જરૂર છે. જો ટાંકીની ક્ષમતા 108 લિટર હોય તો તેના પરિમાણો શું હોવા જોઈએ? પાણી જેથી ટીનિંગનો ખર્ચ ન્યૂનતમ હોય?

ઉકેલ.ટાંકીને ટીન સાથે કોટિંગ કરવાની કિંમત ન્યૂનતમ હશે, જો આપેલ ક્ષમતા માટે, તેની સપાટીનો વિસ્તાર ન્યૂનતમ છે. ચાલો આધારની બાજુ dm દ્વારા દર્શાવીએ, b dm ટાંકીની ઊંચાઈ. પછી તેની સપાટીનો વિસ્તાર S બરાબર છે

અને

પરિણામી સંબંધ જળાશય S (કાર્ય) ના સપાટી વિસ્તાર અને આધાર a (દલીલ) ની બાજુ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. ચાલો એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શન Sનું પરીક્ષણ કરીએ. ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ, તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ અને પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ:

તેથી a = 6. (a) > a > 6 માટે 0, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

ઉદાહરણ. ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો અંતરાલ પર.

ઉકેલ: ઉલ્લેખિત કાર્યસતત સંખ્યા અક્ષ. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

માટે અને માટે વ્યુત્પન્ન. ચાલો આ બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:

આપેલ અંતરાલના અંતે ફંક્શનની કિંમતો સમાન છે. તેથી, ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય at ની બરાબર છે, ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય at ની બરાબર છે.

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો

1. ફોર્મની અનિશ્ચિતતાઓ જાહેર કરવા માટે L'Hopital નો નિયમ ઘડવો. યાદી વિવિધ પ્રકારોઅનિશ્ચિતતાઓ જેના માટે L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

2. વધતા અને ઘટતા કાર્યના ચિહ્નોની રચના કરો.

3. કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ વ્યાખ્યા આપો.

4. ઘડવું જરૂરી સ્થિતિએક ચરમસીમાનું અસ્તિત્વ.

5. દલીલના કયા મૂલ્યો (કયા બિંદુઓ) ને નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે? આ બિંદુઓ કેવી રીતે શોધવી?

6. ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વના પર્યાપ્ત ચિહ્નો શું છે? પ્રથમ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રીમમ પર ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવા માટેની યોજનાની રૂપરેખા બનાવો.

7. બીજા ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રીમમ પર ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવા માટેની યોજનાની રૂપરેખા બનાવો.

8. વળાંકની બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતાને વ્યાખ્યાયિત કરો.

9. ફંક્શનના ગ્રાફના ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટને શું કહેવાય છે? આ બિંદુઓને શોધવા માટેની પદ્ધતિ સૂચવો.

10. જરૂરી ઘડવું અને પર્યાપ્ત સંકેતોઆપેલ સેગમેન્ટ પર વળાંકની બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતા.

11. વળાંકના એસિમ્પ્ટોટને વ્યાખ્યાયિત કરો. ઊભી, આડી અને કેવી રીતે શોધવી ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સકાર્ય ગ્રાફિક્સ?

12. રૂપરેખા સામાન્ય યોજનાફંક્શનનું સંશોધન કરવું અને તેનો ગ્રાફ રચવો.

13. આપેલ અંતરાલ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા માટે એક નિયમ બનાવો.

આ લેખમાં આપણે શોધવા માટે તમામ પ્રકારની સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરીશું

ચાલો યાદ કરીએ ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન: જો સ્પર્શકને એક બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવે છે, તો સ્પર્શકનો ઢોળાવ ગુણાંક ( સ્પર્શક સમાનસ્પર્શક અને ધરીની સકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો કોણ) બિંદુ પરના કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

ચાલો તેને સ્પર્શક પર લઈએ મનસ્વી બિંદુકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે:

અને કાટકોણ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો:

આ ત્રિકોણમાં

અહીંથી

આ બિંદુ પરના કાર્યના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલા સ્પર્શકનું સમીકરણ છે.

સ્પર્શક સમીકરણ લખવા માટે, આપણે ફંક્શનના સમીકરણ અને સ્પર્શક કયા બિંદુ પર દોરવામાં આવે છે તે જાણવાની જરૂર છે. પછી આપણે શોધી શકીએ છીએ અને.

ત્રણ મુખ્ય પ્રકારની સ્પર્શક સમીકરણ સમસ્યાઓ છે.

1. સંપર્ક બિંદુ આપેલ

2. સ્પર્શક ઢાળ ગુણાંક આપવામાં આવે છે, એટલે કે, બિંદુ પર કાર્યના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય.

3. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપેલ છે જેના દ્વારા સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે, પરંતુ જે સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ નથી.

ચાલો દરેક પ્રકારના કાર્યને જોઈએ.

1. ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો બિંદુ પર .

b) બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો. પહેલા ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ શોધીએ

ચાલો મળેલા મૂલ્યોને સ્પર્શક સમીકરણમાં બદલીએ:

ચાલો સમીકરણની જમણી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ. અમને મળે છે:

જવાબ: .

2. જે બિંદુઓ પર વિધેયો ગ્રાફની સ્પર્શક હોય છે તે બિંદુઓનું એબ્સીસા શોધો x-અક્ષની સમાંતર.

જો સ્પર્શક x-અક્ષની સમાંતર હોય, તો સ્પર્શક અને ધરીની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો કોણ શૂન્ય બરાબર, તેથી સ્પર્શકોણની સ્પર્શક શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સંપર્કના બિંદુઓ પર શૂન્ય છે.

a) કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો .

b) ચાલો વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ અને તે મૂલ્યો શોધીએ જેમાં સ્પર્શક અક્ષની સમાંતર હોય:

દરેક પરિબળને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, આપણને મળે છે:

જવાબ: 0;3;5

3. ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શક માટે સમીકરણો લખો , સમાંતર પ્રત્યક્ષ .

સ્પર્શક રેખાની સમાંતર હોય છે. આ રેખાનો ઢાળ -1 છે. સ્પર્શક આ રેખાની સમાંતર હોવાથી, તેથી, સ્પર્શકનો ઢાળ પણ -1 છે. એટલે કે આપણે સ્પર્શકનો ઢોળાવ જાણીએ છીએ, અને, આમ, સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન મૂલ્ય.

સ્પર્શક સમીકરણ શોધવા માટે આ બીજી પ્રકારની સમસ્યા છે.

તેથી, આપણને સ્પર્શક બિંદુ પર કાર્ય અને વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય આપવામાં આવે છે.

a) એવા બિંદુઓ શોધો કે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન -1 બરાબર છે.

પ્રથમ, ચાલો વ્યુત્પન્ન સમીકરણ શોધીએ.

ચાલો વ્યુત્પન્નને નંબર -1 સાથે સરખાવીએ.

ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધીએ.

(શરત દ્વારા)

b) બિંદુ પરના ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધીએ.

(શરત દ્વારા).

ચાલો આ મૂલ્યોને સ્પર્શક સમીકરણમાં બદલીએ:

જવાબ:

4. વક્રના સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો , એક બિંદુમાંથી પસાર થવું

પ્રથમ, ચાલો તપાસીએ કે શું બિંદુ સ્પર્શ બિંદુ છે. જો કોઈ બિંદુ સ્પર્શક બિંદુ હોય, તો તે કાર્યના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત છે, અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ કાર્યના સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ. ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને ફંક્શનના સમીકરણમાં બદલીએ.

શીર્ષક="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} નકારાત્મક સંખ્યા, સમાનતા સાચી નથી, અને બિંદુ કાર્યના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત નથી અને સંપર્કનું બિંદુ નથી.

સ્પર્શક સમીકરણ શોધવા માટે આ છેલ્લી પ્રકારની સમસ્યા છે. સૌ પ્રથમ આપણે સ્પર્શક બિંદુની અબ્સીસા શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો મૂલ્ય શોધીએ.

સંપર્કનો મુદ્દો બનવા દો. બિંદુ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક સાથે સંબંધિત છે. જો આપણે આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને સ્પર્શક સમીકરણમાં બદલીએ, તો આપણને સાચી સમાનતા મળે છે: