અંકિત અને પરિમાણિત ચતુષ્કોણ અને તેમના ગુણધર્મો - ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટેની સામગ્રી. એક માપદંડ કે ત્રિકોણમાંથી સીધી રેખા દ્વારા કાપવામાં આવેલ ચતુષ્કોણ ચોક્કસ વર્તુળમાં અંકિત થયેલ છે

જો ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ વર્તુળની સ્પર્શક હોય તો વર્તુળને ચતુર્ભુજમાં લખેલું કહેવાય છે.

આ વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ છે. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક બિંદુઓ તરફ દોરેલી ત્રિજ્યા ચતુષ્કોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ હોય છે.

જો વર્તુળ તેના તમામ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય તો તેને ચતુર્ભુજની આસપાસ પરિક્રમિત કહેવામાં આવે છે.

આ વર્તુળનું કેન્દ્ર ચતુર્ભુજની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે

દરેક ચતુર્ભુજને વર્તુળ સાથે અંકિત કરી શકાતું નથી, અને દરેક ચતુષ્કોણને વર્તુળ સાથે અંકિત કરી શકાતા નથી.

અંકિત અને પરિપત્ર ચતુર્ભુજના ગુણધર્મો

થિયોરેમ બહિર્મુખ અંકિત ચતુર્ભુજમાં, વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો એકબીજાને સમાન અને 180° જેટલો હોય છે.

થિયોરેમ તેનાથી વિપરિત: જો ચતુર્ભુજમાં વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન હોય, તો ચતુર્ભુજની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે. તેનું કેન્દ્ર બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે.

થિયોરેમ જો કોઈ વર્તુળ ચતુર્ભુજમાં લખેલું હોય, તો તેની વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળા સમાન હોય છે.

થિયોરેમ તેનાથી વિપરીત: જો ચતુર્ભુજમાં વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળો સમાન હોય, તો તેમાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે. તેનું કેન્દ્ર દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે.

કોરોલરીઝ: બધા સમાંતરગ્રામોમાંથી, ફક્ત એક લંબચોરસની આસપાસ (ખાસ કરીને, ચોરસની આસપાસ) વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે.

બધા સમાંતરગ્રામોમાંથી, માત્ર એક સમચતુર્ભુજ (ખાસ કરીને એક ચોરસ) વર્તુળ લખી શકે છે (કેન્દ્ર એ કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે, ત્રિજ્યા છે અડધા સમાનઊંચાઈ).

જો ટ્રેપેઝોઇડની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય, તો તે સમદ્વિબાજુ છે. કોઈપણ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઈડની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે.

જો કોઈ વર્તુળ ટ્રેપેઝોઈડમાં લખેલું હોય, તો તેની ત્રિજ્યા અડધા ઊંચાઈ જેટલી હોય છે.

ઉકેલો સાથે કાર્યો

1. વર્તુળમાં અંકિત લંબચોરસનો કર્ણ શોધો જેની ત્રિજ્યા 5 છે.

લંબચોરસને ઘેરાયેલું વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે. તેથી, કર્ણ એસી 2 બરાબર છે આર. એટલે કે એસી=10
જવાબ: 10.

2. ટ્રેપેઝોઇડની આસપાસ એક વર્તુળનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, જેના પાયા 6 સેમી અને 8 સેમી છે, અને આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ 7 સેમી છે.

દો ડીસી=6, એબી=8. એક વર્તુળ ટ્રેપેઝોઇડની આસપાસ ઘેરાયેલું હોવાથી, તે સમદ્વિબાજુ છે.

ચાલો બે ઊંચાઈ દોરીએ ડીએમ અને સીએન.કારણ કે ટ્રેપેઝોઈડ સમદ્વિબાજુ છે AM=NB=

પછી એ.એન=6+1=7

ત્રિકોણમાંથી ANSપાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ એસી.

ત્રિકોણમાંથી સીવીએનપાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ સૂર્ય.

ટ્રેપેઝોઇડનું ઘેરાયેલું વર્તુળ પણ ત્રિકોણનું પરિક્રમિત વર્તુળ છે. ડીઆઈએ

ચાલો વિસ્તાર શોધીએસૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આ ત્રિકોણ બે રીતે

જ્યાં h- ઊંચાઈ અને - ત્રિકોણનો આધાર

જ્યાં R એ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

આ સમીકરણોમાંથી આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. જ્યાં

વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ બરાબર હશે

3. ખૂણા અને ચતુષ્કોણ આ રીતે સંબંધિત છે. જો આપેલ ચતુષ્કોણની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય તો કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો

તે શરતથી અનુસરે છે કે .કારણ કે વર્તુળને ચતુર્ભુજની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે, તો પછી

અમને સમીકરણ મળે છે . પછી . ચતુષ્કોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો 360º છે. પછી

. આપણે તે ક્યાંથી મેળવીએ છીએ

4. વર્તુળની આસપાસ ઘેરાયેલ ટ્રેપેઝોઈડની બાજુઓ 3 અને 5 છે. ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા શોધો.

પછી મધ્યરેખાની સમાન

5. પરિમિતિ લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડવર્તુળ 22 છે, તેની મુખ્ય બાજુ 7 છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ટ્રેપેઝોઇડમાં, અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા અડધા ઊંચાઈ જેટલી હોય છે. ચાલો SC ની ઊંચાઈ દોરીએ.

પછી .

એક વર્તુળ ટ્રેપેઝોઈડમાં લખેલું હોવાથી, લંબાઈનો સરવાળો વિરુદ્ધ બાજુઓસમાન છે. પછી

પછી પરિમિતિ

અમને સમીકરણ મળે છે

6. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઈડના પાયા 8 અને 6 છે. ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા 5 છે. સમદ્વિબાજુની ઊંચાઈ શોધો.

O એ ટ્રેપેઝોઇડની આસપાસના વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો. પછી .

ચાલો બિંદુ O દ્વારા ઊંચાઈ KH દોરીએ

પછી , જ્યાં KO અને OH ઊંચાઈ છે અને તે જ સમયે મધ્યક છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ DOC અને AOB. પછી

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર.

અંકિતચતુર્ભુજ - એક ચતુર્ભુજ જેના બધા શિરોબિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર આવેલા છે.
દેખીતી રીતે, આ વર્તુળ કહેવામાં આવશે વર્ણવેલચતુષ્કોણની આસપાસ.

વર્ણવેલચતુર્ભુજ એવું છે કે તેની બધી બાજુઓ એક વર્તુળને સ્પર્શે છે. આ કિસ્સામાં વર્તુળ અંકિતચતુષ્કોણમાં

આકૃતિ અંકિત અને પરિમાણિત ચતુષ્કોણ અને તેમના ગુણધર્મો દર્શાવે છે.

ચાલો જોઈએ કે યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે.

1. વર્તુળમાં અંકિત ચતુર્ભુજના બે ખૂણા 82° અને 58° છે. સૌથી મોટો બાકીનો કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.

અંકિત ચતુષ્કોણના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે. કોણ A ને 82° થવા દો. પછી તેની સામે 98 ડિગ્રીનો ખૂણો છે. જો કોણ B 58° છે, તો કોણ D 180° - 58° = 122° છે.

જવાબ: 122.

2. વર્તુળની ફરતે ઘેરાયેલ ચતુષ્કોણની ત્રણ બાજુઓ 1:2:3 ના ગુણોત્તરમાં (ક્રમિક ક્રમમાં) છે. આ ચતુષ્કોણની સૌથી લાંબી બાજુ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે તેની પરિમિતિ 32 છે.

બાજુ AB ને x, AD ને 2x અને DC ને 3x માનીએ. વર્ણવેલ ચતુષ્કોણની મિલકત અનુસાર, વિરુદ્ધ બાજુઓનો સરવાળો સમાન છે, અને તેથી
x + 3x = BC + 2x.
તે તારણ આપે છે કે BC બરાબર 2x છે. પછી ચતુષ્કોણની પરિમિતિ 8x છે. આપણને તે x = 4, અને મળે છે મોટી બાજુ 12 બરાબર છે.

3. એક ટ્રેપેઝોઇડ વર્તુળની આસપાસ વર્ણવેલ છે, જેની પરિમિતિ 40 છે. તેની મધ્યરેખા શોધો.

આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા પાયાના અડધા સરવાળા જેટલી હોય છે. ટ્રેપેઝોઇડના પાયા a અને c, અને સમાન થવા દો બાજુઓ- બી અને ડી. વર્ણવેલ ચતુષ્કોણની મિલકત અનુસાર,
a + c = b + d, જેનો અર્થ છે પરિમિતિ 2(a + c) છે.
આપણને મળે છે કે a + c = 20, અને મધ્ય રેખા 10 છે.

ચાલો ફરી એક વાર અંકિત અને પરિમાણિત ચતુષ્કોણના ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન કરીએ.

ચતુર્ભુજને વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો તેના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° જેટલો હોય.

ચતુર્ભુજને વર્તુળની આસપાસ પરિક્રમા કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો તેની વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હોય.

"વર્તુળ"આપણે જોયું છે કે કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસ વર્તુળને પરિક્રમા કરી શકાય છે. એટલે કે, દરેક ત્રિકોણ માટે એક વર્તુળ એવું છે કે ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓ તેના પર "બેસે છે". આની જેમ:

પ્રશ્ન: શું ચતુષ્કોણ વિશે પણ એવું જ કહી શકાય? શું તે સાચું છે કે ત્યાં હંમેશા એક વર્તુળ હશે જેના પર ચતુષ્કોણના ચારેય શિરોબિંદુઓ "બેસશે"?

તે તારણ આપે છે કે આ સાચું નથી! ચતુષ્કોણ હંમેશા વર્તુળમાં લખી શકાતું નથી. એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સ્થિતિ છે:

અમારા ચિત્રમાં:

જુઓ, ખૂણાઓ અને એકબીજાની વિરુદ્ધ આવેલા છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ વિરુદ્ધ છે. પછી ખૂણાઓ વિશે શું અને? તેઓ પણ વિરોધી લાગે છે? શું ખૂણા લેવાનું શક્ય છે અને ખૂણાને બદલે અને?

અલબત્ત તમે કરી શકો છો! મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે ચતુર્ભુજમાં કેટલાક બે છે વિરોધી ખૂણા, જેનો સરવાળો થશે. બાકીના બે ખૂણાઓ પણ પોતાની મેળે ઉમેરાશે. મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? ચાલો ખાતરી કરીએ. જુઓ:

રહેવા દો. શું તમને યાદ છે કે કોઈપણ ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે? ચોક્કસપણે, . તે છે - હંમેશા! . પરંતુ, →.

જાદુ ત્યાં જ!

તેથી આ ખૂબ જ નિશ્ચિતપણે યાદ રાખો:

જો કોઈ વર્તુળમાં ચતુર્ભુજ અંકિત હોય, તો તેના કોઈપણ બે વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર થાય છે.

અને ઊલટું:

જો ચતુષ્કોણમાં બે વિરોધી ખૂણા હોય જેનો સરવાળો સમાન હોય, તો ચતુર્ભુજ ચક્રીય છે.

અમે આ બધું અહીં સાબિત કરીશું નહીં (જો તમને રસ હોય, તો સિદ્ધાંતના આગલા સ્તરો જુઓ). પરંતુ ચાલો જોઈએ કે આ ક્યાં લઈ જાય છે અદ્ભુત હકીકતકે અંકિત ચતુષ્કોણના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મનમાં પ્રશ્ન આવે છે: શું સમાંતરગ્રામની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરવું શક્ય છે? ચાલો પહેલા "પોક મેથડ" અજમાવીએ.

કોઈક રીતે તે કામ કરતું નથી.

ચાલો હવે જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીએ:

ચાલો ધારીએ કે આપણે કોઈક રીતે વર્તુળને સમાંતર ચતુષ્કોણ પર ફિટ કરવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ. પછી ત્યાં ચોક્કસપણે હોવું જોઈએ: , એટલે કે.

હવે ચાલો સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મોને યાદ કરીએ:

દરેક સમાંતરગ્રામમાં સમાન વિરોધી ખૂણા હોય છે.

તે બહાર આવ્યું છે કે

કોણ વિશે શું અને? ઠીક છે, અલબત્ત એ જ વસ્તુ.

અંકિત → →

સમાંતર → →

અમેઝિંગ, અધિકાર?

તે તારણ આપે છે કે જો કોઈ વર્તુળમાં સમાંતર ચતુષ્કોણ લખાયેલ હોય, તો તેના બધા ખૂણા સમાન છે, એટલે કે, તે એક લંબચોરસ છે!

અને તે જ સમયે - વર્તુળનું કેન્દ્ર આ લંબચોરસના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ સાથે એકરુપ છે. આ એક બોનસ તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે, તેથી વાત કરવા માટે.

ઠીક છે, તેનો અર્થ એ છે કે અમને જાણવા મળ્યું કે વર્તુળમાં કોતરેલ સમાંતરગ્રામ છે લંબચોરસ.

હવે ટ્રેપેઝોઇડ વિશે વાત કરીએ. જો વર્તુળમાં ટ્રેપેઝોઇડ લખેલું હોય તો શું થાય છે?પરંતુ તે ત્યાં હશે સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ . શા માટે?

ટ્રેપેઝોઇડને વર્તુળમાં લખવા દો. પછી ફરીથી, પરંતુ રેખાઓની સમાંતરતાને કારણે અને.

આનો અર્થ એ છે કે આપણી પાસે છે: → → સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ.

લંબચોરસ કરતાં પણ સરળ, બરાબર? પરંતુ તમારે નિશ્ચિતપણે યાદ રાખવાની જરૂર છે - તે હાથમાં આવશે:

ચાલો ફરીથી સૌથી મહત્વપૂર્ણ સૂચિબદ્ધ કરીએ મુખ્ય નિવેદનોવર્તુળમાં અંકિત ચતુર્ભુજની સ્પર્શક:

ચતુર્ભુજ વર્તુળમાં અંકિત કરવામાં આવે છે જો અને માત્ર જો તેના બે વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન હોય
વર્તુળમાં કોતરેલ સમાંતરગ્રામ - ચોક્કસપણે લંબચોરસઅને વર્તુળનું કેન્દ્ર કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ સાથે એકરુપ છે
વર્તુળમાં લખાયેલ ટ્રેપેઝોઇડ સમભુજ છે.

અંકિત ચતુર્ભુજ. મધ્યવર્તી સ્તર

તે જાણીતું છે કે દરેક ત્રિકોણ માટે એક પરિમાણિત વર્તુળ છે (અમે આને "ધ સરકમસ્ક્રાઇબ્ડ સર્કલ" વિષયમાં સાબિત કર્યું છે). ચતુર્ભુજ વિશે શું કહી શકાય? તે તારણ આપે છે કે દરેક ચતુષ્કોણ વર્તુળમાં લખી શકાતું નથી, અને આવી પ્રમેય છે:

એક ચતુર્ભુજ વર્તુળમાં અંકિત કરવામાં આવે છે જો અને માત્ર જો તેના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન હોય.

અમારા ચિત્રમાં -

ચાલો સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે આવું કેમ છે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, હવે આપણે આ પ્રમેયને સાબિત કરીશું. પરંતુ તમે તેને સાબિત કરો તે પહેલાં, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે નિવેદન પોતે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે. શું તમે નિવેદનમાં "પછી અને ત્યારે જ" શબ્દો નોંધ્યા છે? આવા શબ્દોનો અર્થ એ છે કે હાનિકારક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ બે વિધાનોને એકમાં જોડી દીધા છે.

ચાલો ડીસાયફર કરીએ:

“પછી” નો અર્થ છે: જો કોઈ વર્તુળમાં ચતુર્ભુજ અંકિત હોય, તો તેના કોઈપણ બે વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર થાય.
"ફક્ત પછી" નો અર્થ છે: જો ચતુર્ભુજમાં બે વિરોધી ખૂણા હોય જેનો સરવાળો સમાન હોય, તો આવા ચતુર્ભુજને વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે.

એલિસની જેમ: "હું જે કહું છું તે મને લાગે છે" અને "હું જે વિચારું છું તે કહું છું."

હવે ચાલો જાણીએ કે શા માટે 1 અને 2 બંને સાચા છે?

પ્રથમ 1.

ચતુષ્કોણને વર્તુળમાં અંકિત કરવા દો. ચાલો તેના કેન્દ્રને ચિહ્નિત કરીએ અને ત્રિજ્યા અને દોરીએ. શું થશે? શું તમને યાદ છે કે અંકિત કોણ અનુરૂપ કેન્દ્રીય કોણના કદ કરતાં અડધો હોય છે? જો તમને યાદ હોય, તો અમે હવે તેનો ઉપયોગ કરીશું, અને જો નહીં, તો વિષય પર એક નજર નાખો "વર્તુળ. અંકિત કોણ".

અંકિત

પરંતુ જુઓ: .

અમને મળે છે કે જો - અંકિત છે, તો પછી

સારું, તે સ્પષ્ટ છે કે તે પણ ઉમેરે છે. (આપણે પણ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે).

હવે "ઉલટું", એટલે કે, 2.

ચાલો તે ચાલુ કરીએ કે ચતુર્ભુજમાં કેટલાક બે વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે. ચાલો કહીએ

અમે હજી સુધી જાણતા નથી કે આપણે તેની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરી શકીએ કે કેમ. પરંતુ આપણે ખાતરીપૂર્વક જાણીએ છીએ કે આપણે ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરી શકવાની ખાતરી આપીએ છીએ. તો ચાલો તે કરીએ.

જો કોઈ બિંદુ વર્તુળ પર "બેસતું" નથી, તો તે અનિવાર્યપણે બહાર અથવા અંદર સમાપ્ત થાય છે.

ચાલો બંને કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

બિંદુને પહેલા બહાર રહેવા દો. પછી સેગમેન્ટ વર્તુળને અમુક બિંદુએ છેદે છે. ચાલો કનેક્ટ કરીએ અને. પરિણામ એ અંકિત (!) ચતુષ્કોણ છે.

આપણે તેના વિશે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે તેના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે, એટલે કે, અને આપણી સ્થિતિ અનુસાર.

તે તારણ આપે છે કે તે આવું હોવું જોઈએ.

પરંતુ આ કદાચ ન હોઈ શકે કારણ કે - બાહ્ય ખૂણોમાટે અને અર્થ.

અંદર વિશે શું? ચાલો સમાન વસ્તુઓ કરીએ. બિંદુને અંદર રહેવા દો.

પછી સેગમેન્ટની ચાલુતા વર્તુળને એક બિંદુ પર છેદે છે. ફરીથી - એક અંકિત ચતુષ્કોણ, અને સ્થિતિ અનુસાર તે સંતુષ્ટ હોવું જ જોઈએ, પરંતુ - અને અર્થ માટેનો બાહ્ય કોણ, એટલે કે, ફરીથી તે તે હોઈ શકતું નથી.

એટલે કે, બિંદુ વર્તુળની બહાર અથવા અંદર ન હોઈ શકે - તેનો અર્થ એ કે તે વર્તુળ પર છે!

આખું પ્રમેય સાબિત થયું છે!

હવે ચાલો જોઈએ કે આ પ્રમેય શું સારા પરિણામો આપે છે.

કોરોલરી 1

વર્તુળમાં લખેલ સમાંતર ચતુષ્કોણ માત્ર એક લંબચોરસ હોઈ શકે છે.

ચાલો સમજીએ કે આવું કેમ છે. સમાંતર ચતુષ્કોણને વર્તુળમાં લખવા દો. પછી તે કરવું જોઈએ.

પરંતુ સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે.

અને તે જ વસ્તુ, કુદરતી રીતે, ખૂણાઓ સંબંધિત અને.

તેથી તે એક લંબચોરસ હોવાનું બહાર આવ્યું છે - બધા ખૂણાઓ સાથે છે.

પરંતુ, વધુમાં, ત્યાં એક વધારાની સુખદ હકીકત છે: લંબચોરસની આસપાસના વર્તુળનું કેન્દ્ર કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ સાથે એકરુપ છે.

ચાલો સમજીએ શા માટે. હું આશા રાખું છું કે તમને ખૂબ સારી રીતે યાદ હશે કે વ્યાસ દ્વારા સમાવિષ્ટ કોણ એક સીધી રેખા છે.

વ્યાસ,

વ્યાસ

જેનો અર્થ છે કે તે કેન્દ્ર છે. બસ.

કોરોલરી 2

વર્તુળમાં અંકિત ટ્રેપેઝોઇડ સમદ્વિબાજુ છે.

ટ્રેપેઝોઇડને વર્તુળમાં લખવા દો. પછી.

અને એ જ.

શું આપણે બધી ચર્ચા કરી છે? ખરેખર નથી. વાસ્તવમાં, અંકિત ચતુષ્કોણને ઓળખવાની બીજી, "ગુપ્ત" રીત છે. અમે આ પદ્ધતિને ખૂબ જ કડક રીતે નહીં (પરંતુ સમજી શકાય તેવું) ઘડીશું, અને અમે તેને ફક્ત માં જ સાબિત કરીશું છેલ્લા સ્તરસિદ્ધાંતો

જો કોઈ ચતુર્ભુજમાં કોઈ વ્યક્તિ અહીં આકૃતિમાં જેવું ચિત્ર જોઈ શકે છે (અહીં બિંદુઓની બાજુમાં ખૂણા "જોઈ રહ્યા છે" અને સમાન છે), તો આવા ચતુર્ભુજ કોતરવામાં આવે છે.

આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ચિત્ર છે - સમસ્યાઓમાં તે શોધવાનું ઘણીવાર સરળ હોય છે સમાન ખૂણા, ખૂણાઓના સરવાળા કરતાં અને.

અમારા ફોર્મ્યુલેશનમાં કઠોરતાનો સંપૂર્ણ અભાવ હોવા છતાં, તે સાચું છે, અને વધુમાં, તે હંમેશા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના પરીક્ષકો દ્વારા સ્વીકારવામાં આવે છે. તમારે આના જેવું કંઈક લખવું જોઈએ:

"- અંકિત" - અને બધું સારું થઈ જશે!

આ એક ભૂલશો નહીં મહત્વપૂર્ણ સંકેત- ચિત્રને યાદ રાખો, અને કદાચ સમસ્યા હલ કરતી વખતે તે તમારી આંખને પકડી લેશે.

અંકિત ચતુર્ભુજ. સંક્ષિપ્ત વર્ણન અને મૂળભૂત સૂત્રો

અને ઊલટું:

ચતુષ્કોણ વર્તુળમાં અંકિત થાય છે જો અને માત્ર જો તેના બે વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન હોય.

વર્તુળમાં કોતરેલ સમાંતરગ્રામ- ચોક્કસપણે એક લંબચોરસ, અને વર્તુળનું કેન્દ્ર કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ સાથે એકરુપ છે.

વર્તુળમાં અંકિત ટ્રેપેઝોઇડ સમદ્વિબાજુ છે.

અંકિત અને પરિપત્ર બહુકોણ,

§ 106. અંકિત અને વર્ણવેલ ક્વાડ્રિગન્સની મિલકતો.

પ્રમેય 1. ચક્રીય ચતુષ્કોણના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો છે 180°.

ચતુર્ભુજ ABCD ને કેન્દ્ર O (ફિગ. 412) ધરાવતા વર્તુળમાં અંકિત કરવા દો. તે સાબિત કરવું જરૂરી છે / A+ / C = 180° અને / બી + / ડી = 180°.

/ A, વર્તુળ O માં લખ્યા મુજબ, 1/2 BCD માપે છે.
/ C, સમાન વર્તુળમાં લખ્યા મુજબ, 1/2 BAD માપે છે.

પરિણામે, ખૂણા A અને C નો સરવાળો ચાપ BCD અને BAD ના અડધા સરવાળા દ્વારા માપવામાં આવે છે, આ ચાપ એક વર્તુળ બનાવે છે, એટલે કે તેમની પાસે 360° છે.
અહીંથી / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે / બી + / ડી = 180°. જો કે, આને બીજી રીતે અનુમાનિત કરી શકાય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ 360° ની બરાબર. A અને C ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે, જેનો અર્થ છે કે ચતુષ્કોણના અન્ય બે ખૂણાઓનો સરવાળો પણ 180° રહે છે.

પ્રમેય 2(વિપરીત). જો ચતુર્ભુજમાં બે વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન હોય 180° , તો પછી આવા ચતુષ્કોણની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે.

ચતુર્ભુજ ABCD ના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° જેટલો થવા દો, એટલે કે
/ A+ / C = 180° અને / બી + / D = 180° (રેખાંકન 412).

ચાલો સાબિત કરીએ કે આવા ચતુષ્કોણની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે.

પુરાવો. આ ચતુર્ભુજના કોઈપણ 3 શિરોબિંદુઓ દ્વારા તમે વર્તુળ દોરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે A, B અને C બિંદુઓ દ્વારા. બિંદુ D ક્યાં સ્થિત હશે?

બિંદુ D તેમાંથી ફક્ત એક જ કબજે કરી શકે છે આગામી ત્રણસ્થિતિઓ: વર્તુળની અંદર હોવું, વર્તુળની બહાર હોવું, વર્તુળના પરિઘ પર હોવું.

ચાલો ધારીએ કે શિરોબિંદુ વર્તુળની અંદર છે અને સ્થાન D લે છે" (ફિગ. 413). પછી ચતુર્ભુજ ABCD" માં આપણી પાસે હશે:

/ બી + / ડી" = 2 ડી.

બિંદુ E પર વર્તુળ સાથે આંતરછેદ તરફ AD" ને ચાલુ રાખીને અને બિંદુ E અને Cને જોડતા, આપણે ચક્રીય ચતુર્ભુજ ABCE મેળવીએ છીએ, જેમાં, પ્રત્યક્ષ પ્રમેય દ્વારા

/ B+ / ઇ = 2 ડી.

આ બે સમાનતાઓમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

/ ડી" = 2 ડી - / બી;
/ E=2 ડી - / બી;

/ ડી" = / ઇ,

પરંતુ આ ન હોઈ શકે, કારણ કે / D", ત્રિકોણ CD"E ના બાહ્ય સંબંધિત તરીકે, હોવું આવશ્યક છે વધુ કોણ E. તેથી, બિંદુ D વર્તુળની અંદર ન હોઈ શકે.

તે પણ સાબિત થયું છે કે શિરોબિંદુ D વર્તુળની બહાર D" સ્થાન લઈ શકતું નથી (ફિગ. 414).

તે ઓળખવાનું બાકી છે કે શિરોબિંદુ D વર્તુળના પરિઘ પર હોવું જોઈએ, એટલે કે, બિંદુ E સાથે એકરુપ હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે ચતુર્ભુજ ABCD ની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે.

પરિણામો. 1. કોઈપણ લંબચોરસની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે.

2. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે.

બંને કિસ્સાઓમાં, વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

પ્રમેય 3.પરિઘવાળા ચતુષ્કોણમાં, વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળો સમાન હોય છે. ચતુર્ભુજ ABCD ને વર્તુળ (ફિગ. 415) વિશે વર્ણવવા દો, એટલે કે, તેની બાજુઓ AB, BC, CD અને DA આ વર્તુળની સ્પર્શક છે.

તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે AB + CD = AD + BC. ચાલો M, N, K, P અક્ષરો દ્વારા સ્પર્શકતાના બિંદુઓને સૂચિત કરીએ. એક બિંદુ (§ 75) થી વર્તુળ તરફ દોરેલા સ્પર્શકોના ગુણધર્મોના આધારે, આપણી પાસે છે:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

ચાલો આ સમાનતા શબ્દને ટર્મ દ્વારા ઉમેરીએ. અમને મળે છે:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

એટલે કે AB + CD = AD + BC, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

કસરતો.

1. અંકિત ચતુષ્કોણમાં, બે વિરોધી ખૂણા 3:5 ના ગુણોત્તરમાં હોય છે,
અને અન્ય બે આ ખૂણાઓની તીવ્રતા 4:5 ના ગુણોત્તરમાં છે.

2. વર્ણવેલ ચતુષ્કોણમાં, બે વિરુદ્ધ બાજુઓનો સરવાળો 45 સેમી છે, બાકીની બે બાજુઓ 0.2: 0.3 ના ગુણોત્તરમાં છે. આ બાજુઓની લંબાઈ શોધો.

કાર્ય 6:સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં પાયા 21 અને 9 સેન્ટિમીટર છે, ઊંચાઈ 8 સેન્ટિમીટર છે. ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

1. ચાલો હાથ ધરીએ લંબ દ્વિભાજકોપાયા H અને K સુધી, પછી વર્તુળ O નું કેન્દ્ર સીધી રેખા NK પર આવેલું છે.

2. AO=OB=R. બિંદુ O સેગમેન્ટ NK ને બે ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે: ચાલો HO = x, પછી OK = 8 - x.

3. AO 2 = AK 2 + KO 2; OB 2 = VN 2 + NO 2;

OA 2 = OB 2 થી, અમને મળે છે:

AK 2 + KO 2 = VN 2 + NO 2

90 + 64 - 16x = 0

OB 2 = HV 2 + NO 2

જવાબ: OB = 10.625

ચતુષ્કોણમાં અંકિત વર્તુળ સાથે સમસ્યાઓ

કાર્ય 7:ત્રિજ્યા R નું વર્તુળ સમચતુર્ભુજમાં અંકિત થયેલ છે જો તે સમચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ શોધો વિશાળ કર્ણ 4 વખત ત્રિજ્યા કરતાં વધુઅંકિત વર્તુળ.

આપેલ: રોમ્બસ, અંકિત વર્તુળ ત્રિજ્યા - R, BD r 4 વખત

1. ચાલો OE = R, BD = 4OE = 4R

સમસ્યા 8:ત્રિજ્યા 4 સાથે વર્તુળની આસપાસ ઘેરાયેલ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધો જો તે જાણીતું હોય કે ટ્રેપેઝોઇડની બાજુની બાજુ 10 છે.

આપેલ: ABCD - સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ, r = 4, AB = 10

1. AB = CD = 10 શરત દ્વારા

2. AB + CD = AD + BC અન્તર્ગોળ ગુણધર્મ દ્વારા

3. AD + BC = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 4 = 8

સમસ્યા 9:અંદર નિયમિત ત્રિકોણબાજુ a સાથે ત્રણ છે સમાન વર્તુળો, જેમાંથી દરેક ત્રિકોણની બે બાજુઓ અને અન્ય બે વર્તુળોને સ્પર્શે છે. આ વર્તુળોની બહાર સ્થિત ત્રિકોણના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

1. ચાલો AB = BC = AC = a.

2. ચાલો O 1 E = O 1 K = ED = r, પછી AD = AE + ED = AE + r = .

3. AO 1 એ કોણ A નો દ્વિભાજક છે, તેથી, ? O 1 AE = 30? અને લંબચોરસ?AO 1 Eમાં આપણી પાસે AO 1 = 2O 1 E = 2r અને AE === છે. પછી AE + r = = , ક્યાંથી.

સમસ્યા 10: ત્રિજ્યા R ના વર્તુળની સમગ્ર ચાપ 4 મોટા અને 4 નાના ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે, જે એક પછી એક વૈકલ્પિક થાય છે. સૌથી વધુનાના કરતા બમણું લાંબું. અષ્ટકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરો જેના શિરોબિંદુઓ ગોળ ચાપના વિભાજક બિંદુઓ છે.

1. ચાલો?AOB = 2x, ?BOC = x, પછી શરત દ્વારા 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°

સમસ્યા 11:ત્રિકોણની બાજુઓ 12 મીટર, 16 મીટર અને 20 મીટર છે.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 સાચો છે, તેથી? ABC - લંબચોરસ (પ્રમેય મુજબ, પ્રમેયની વાતચીતપાયથાગોરસ)