Apa itu persamaan?

Mereka yang baru pertama kali mempelajari aljabar tentunya membutuhkan penyajian materi yang paling teratur. Oleh karena itu, dalam artikel kami tentang apa itu persamaan, kami tidak hanya akan memberikan definisinya, tetapi juga memberikannya berbagai klasifikasi persamaan dengan contoh.

Apa itu persamaan: konsep umum

Jadi, persamaan adalah salah satu jenis persamaan dengan yang tidak diketahui, dilambangkan dengan huruf latin. Pada saat yang sama nilai numerik dari huruf tertentu, yang memungkinkan kita memperoleh persamaan yang benar, disebut akar persamaan. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang ini di artikel kami, tetapi kami akan terus membicarakan persamaan itu sendiri. Argumen suatu persamaan (atau variabel) tidak diketahui, dan penyelesaian suatu persamaan adalah menemukan semua akarnya atau tidak adanya akar.

Jenis persamaan

Persamaan tersebut terbagi menjadi dua kelompok besar: aljabar dan transendental.

Persamaan aljabar adalah persamaan yang hanya ada operasi aljabar- 4 aritmatika, serta eksponensial dan ekstraksi akar alami.
Persamaan transendental adalah persamaan yang menggunakan fungsi non aljabar untuk mencari akarnya: misalnya trigonometri, logaritma dan lain-lain.

Di antara persamaan aljabar juga terdapat:

keutuhan - dengan kedua bagian terdiri dari keutuhan ekspresi aljabar sehubungan dengan hal yang tidak diketahui;
pecahan - berisi ekspresi aljabar bilangan bulat dengan pembilang dan penyebut;
irasional - ekspresi aljabar di sini berada di bawah tanda akar.

Perhatikan juga bahwa pecahan dan persamaan irasional dapat direduksi menjadi menyelesaikan seluruh persamaan.

Persamaan transendental dibagi menjadi:

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel sebagai eksponennya. Mereka diselesaikan dengan berpindah ke basis atau eksponen tunggal, dengan mengambil pengganda umum di luar tanda kurung, dengan faktorisasi dan beberapa cara lainnya;
logaritma - persamaan dengan logaritma, yaitu persamaan yang tidak diketahui berada di dalam logaritma itu sendiri. Menyelesaikan persamaan seperti itu sangat sulit (tidak seperti, katakanlah, kebanyakan persamaan aljabar), karena memerlukan penyelesaian pelatihan matematika. Hal terpenting di sini adalah berpindah dari persamaan dengan logaritma ke persamaan tanpa logaritma, yaitu menyederhanakan persamaan tersebut (metode menghilangkan logaritma ini disebut potensiasi). Tentu saja, mempotensiasi persamaan logaritma hanya mungkin jika keduanya mempunyai basis numerik yang sama dan tidak mempunyai koefisien;
persamaan trigonometri adalah persamaan dengan variabel yang berada di bawah tanda fungsi trigonometri. Penyelesaiannya memerlukan penguasaan awal fungsi trigonometri;
campuran adalah persamaan terdiferensiasi dengan bagian-bagian yang memiliki tipe berbeda (misalnya, dengan bagian parabola dan elips atau elips dan hiperbolik, dll.).

Adapun klasifikasi berdasarkan jumlah yang tidak diketahui, semuanya sederhana: ada persamaan dengan satu, dua, tiga, dan seterusnya yang tidak diketahui. Ada juga klasifikasi lain, yaitu berdasarkan derajat yang ada di sisi kiri polinomial. Berdasarkan hal ini, dibedakan antara linier, persegi dan persamaan kubik. Persamaan linier juga dapat disebut persamaan derajat 1, persamaan kuadrat - ke-2, dan persamaan kubik, masing-masing ke-3. Nah, sekarang mari kita berikan contoh persamaan suatu kelompok atau kelompok lainnya.

Contoh berbagai jenis persamaan

Contoh persamaan aljabar:

kapak + b= 0
kapak 3 + bx 2 + cx+ d= 0
kapak 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
(a tidak sama dengan 0)

Contoh persamaan transendental:

cos x = x log x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

Contoh persamaan utuh:

(2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Contoh persamaan pecahan:

15 x + — = 5x - 17 x

Contoh persamaan irasional:

√2kf(x)=g(x)

Contoh persamaan linear:

2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

Contoh persamaan kuadrat:

x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Contoh persamaan kubik:

x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Contoh persamaan eksponensial:

5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

Contoh persamaan logaritma:

catatan 2 x= 3 catatan 3 x= -1

Contoh persamaan trigonometri:

3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

Contoh persamaan campuran:

log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Tetap menambahkannya untuk menyelesaikan persamaan berbagai jenis paling banyak metode yang berbeda. Nah, untuk menyelesaikan hampir semua persamaan, Anda memerlukan pengetahuan tidak hanya tentang aljabar, tetapi juga tentang trigonometri, dan seringkali pengetahuan yang sangat mendalam.

Persamaan

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan?

Di bagian ini kita akan mengingat (atau mempelajari, tergantung siapa) yang paling banyak persamaan dasar. Jadi apa persamaannya? Berbicara bahasa manusia, ini adalah semacam ekspresi matematika di mana ada tanda sama dengan dan tidak diketahui. Yang biasanya dilambangkan dengan huruf "X". Selesaikan persamaannya- ini untuk mencari nilai x yang jika disubstitusikan ke asli ekspresi akan memberi kita identitas yang benar. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa identitas adalah ekspresi yang tidak menimbulkan keraguan bahkan dalam diri seseorang yang sama sekali tidak terbebani pengetahuan matematika. Seperti 2=2, 0=0, ab=ab, dst. Jadi bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Mari kita cari tahu.

Ada berbagai macam persamaan (saya terkejut, bukan?). Tetapi seluruh keragamannya yang tak terbatas hanya dapat dibagi menjadi empat jenis.

4. Semua orang lain.)

Selebihnya, tentu saja, yang terpenting, ya...) Ini termasuk kubik, eksponensial, logaritma, trigonometri dan lain-lain. Kami akan bekerja sama dengan mereka di bagian yang sesuai.

Saya akan segera mengatakan bahwa terkadang persamaannya adalah yang pertama tiga jenis mereka akan sangat menipu Anda sehingga Anda bahkan tidak akan mengenali mereka... Tidak ada. Kita akan belajar cara melepaskannya.

Dan mengapa kita membutuhkan keempat tipe ini? Lalu apa persamaan linear diselesaikan dengan satu cara persegi yang lain, rasional pecahan - ketiga, A istirahat Mereka tidak berani sama sekali! Ya, bukannya mereka tidak bisa mengambil keputusan sama sekali, tapi saya salah dalam matematika.) Hanya saja mereka punya teknik dan metode khusus masing-masing.

Tapi untuk siapa pun (saya ulangi - untuk setiap!) persamaan memberikan dasar yang andal dan aman untuk penyelesaian. Bekerja di mana saja dan selalu. Landasan ini - Kedengarannya menakutkan, tetapi sangat sederhana. Dan sangat (Sangat!) penting.

Sebenarnya, solusi persamaan tersebut terdiri dari transformasi-transformasi ini. 99% Jawaban atas pertanyaan: " Bagaimana cara menyelesaikan persamaan?" justru terletak pada transformasi ini. Apakah petunjuknya jelas?)

Transformasi persamaan yang identik.

DI DALAM persamaan apa pun untuk menemukan hal yang tidak diketahui, Anda perlu mengubah dan menyederhanakan contoh asli. Begitu pula saat berganti penampilan inti persamaannya tidak berubah. Transformasi seperti ini disebut identik atau setara.

Perhatikan bahwa transformasi ini berlaku khusus untuk persamaan. Ada juga transformasi identitas dalam matematika ekspresi. Ini adalah topik lain.

Sekarang kita akan mengulangi semuanya, semuanya, semuanya dasar transformasi identitas persamaan.

Dasar karena bisa diterapkan setiap persamaan - linier, kuadrat, pecahan, trigonometri, eksponensial, logaritma, dll. dll.

Transformasi identitas pertama: Anda dapat menambahkan (mengurangi) kedua ruas persamaan apa pun setiap(tetapi satu dan sama!) nomor atau ekspresi (termasuk ekspresi dengan yang tidak diketahui!). Hal ini tidak mengubah esensi persamaan.

Omong-omong, Anda terus-menerus menggunakan transformasi ini, Anda hanya berpikir bahwa Anda memindahkan beberapa suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya dengan perubahan tanda. Jenis:

Kasusnya familiar, kita pindahkan keduanya ke kanan, dan kita mendapatkan:

Sebenarnya kamu dibawa pergi dari kedua sisi persamaan adalah dua. Hasilnya sama:

x+2 - 2 = 3 - 2

Memindahkan suku ke kiri dan ke kanan dengan perubahan tanda hanyalah versi singkat dari transformasi identitas pertama. Dan mengapa kita membutuhkan pengetahuan yang mendalam? – kamu bertanya. Tidak ada apa pun dalam persamaan. Demi Tuhan, tahanlah. Jangan lupa untuk mengganti tandanya. Namun dalam ketimpangan, kebiasaan transferensi bisa berujung pada jalan buntu...

Transformasi identitas kedua: kedua ruas persamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama bukan nol angka atau ekspresi. Di sini batasan yang dapat dimengerti sudah muncul: mengalikan dengan nol itu bodoh, dan membaginya sama sekali tidak mungkin. Ini adalah transformasi yang Anda gunakan ketika Anda memecahkan sesuatu yang keren

Sudah jelas X= 2. Bagaimana caramu menemukannya? Berdasarkan seleksi? Atau apakah itu baru saja Anda sadari? Agar tidak memilih dan tidak menunggu wawasan, Anda perlu memahami bahwa Anda adil membagi kedua sisi persamaan sebanyak 5. Saat membagi ruas kiri (5x), limanya dikurangi, menyisakan X murni. Itulah yang kami butuhkan. Dan jika ruas kanan (10) dibagi lima, hasilnya tentu saja dua.

Itu saja.

Ini lucu, tetapi dua (hanya dua!) transformasi identik ini adalah dasar dari solusinya semua persamaan matematika. Wow! Masuk akal untuk melihat contoh apa dan bagaimana, bukan?)

Contoh transformasi persamaan identik. Masalah utama.

Mari kita mulai dengan Pertama transformasi identitas. Pindahkan ke kiri-kanan.

Contoh bagi yang lebih muda.)

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

3-2x=5-3x

Mari kita ingat mantranya: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan!" Mantra ini adalah instruksi untuk menggunakan transformasi identitas pertama.) Apa ekspresi dengan tanda X di sebelah kanan? 3x? Jawabannya salah! Di sebelah kanan kami - 3x! dikurangi tigax! Oleh karena itu, bila digeser ke kiri, tandanya akan berubah menjadi plus. Ternyata:

3-2x+3x=5

Jadi, X-nya dikumpulkan dalam satu tumpukan. Mari kita bahas angkanya. Ada tiga di sebelah kiri. Dengan tanda apa? Jawaban “tidak ada” tidak diterima!) Di depan ketiganya, memang tidak ada yang tergambar. Artinya sebelum ketiganya ada plus. Jadi para ahli matematika setuju. Tidak ada yang tertulis, yang artinya plus. Oleh karena itu, di sisi kanan troika akan ditransfer dengan minus. Kami mendapatkan:

-2x+3x=5-3

Hanya ada hal-hal sepele yang tersisa. Di sebelah kiri - bawa yang serupa, di sebelah kanan - hitung. Jawabannya langsung muncul:

Dalam contoh ini, satu transformasi identitas saja sudah cukup. Yang kedua tidak diperlukan. Baiklah.)

Contoh untuk anak yang lebih besar.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Setelah kita mempelajari konsep persamaan, yaitu salah satu jenisnya – persamaan numerik, kita dapat beralih ke jenis persamaan penting lainnya. Dalam kerangka materi ini kami akan menjelaskan apa itu persamaan dan akarnya, merumuskan definisi dasar dan memberikannya berbagai contoh persamaan dan mencari akar-akarnya.

Yandex.RTB RA-339285-1

Konsep persamaan

Biasanya konsep persamaan dipelajari di awal kursus sekolah aljabar. Kemudian didefinisikan seperti ini:

Definisi 1

Persamaan disebut kesetaraan dengan nomor tak dikenal, yang perlu ditemukan.

Merupakan kebiasaan untuk menyebut hal-hal yang tidak diketahui sebagai hal yang kecil dalam huruf latin, misalnya, t, r, m dll., tetapi paling sering digunakan x, y, z. Dengan kata lain persamaan ditentukan oleh bentuk pencatatannya, yaitu persamaan akan menjadi persamaan hanya jika direduksi menjadi tipe tertentu– harus berisi huruf, yang perlu dicari maknanya.

Mari kita berikan beberapa contoh persamaan paling sederhana. Ini bisa berupa persamaan dalam bentuk x = 5, y = 6, dst., serta persamaan yang mencakup operasi aritmatika, misalnya x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

Setelah konsep tanda kurung dipelajari maka muncullah konsep persamaan dengan tanda kurung. Ini termasuk 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, dst. Huruf yang perlu dicari bisa muncul lebih dari satu kali, tetapi beberapa kali, seperti , misalnya pada persamaan x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Selain itu, bilangan yang tidak diketahui dapat ditempatkan tidak hanya di sebelah kiri, tetapi juga di sebelah kanan atau di kedua bagian secara bersamaan, misalnya x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 atau 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Selanjutnya setelah siswa terbiasa dengan konsep bilangan bulat, real, rasional, bilangan asli, serta logaritma, akar, dan pangkat, muncul persamaan baru yang mencakup semua objek ini. Kami telah menyediakan artikel terpisah untuk contoh ekspresi tersebut.

Pada kurikulum kelas 7 konsep variabel muncul pertama kali. Ini adalah surat-surat yang bisa diambil arti yang berbeda(untuk lebih jelasnya lihat artikel tentang angka, ekspresi literal dan ekspresi dengan variabel). Berdasarkan konsep ini, kita dapat mendefinisikan kembali persamaan:

Definisi 2

Persamaan adalah persamaan yang melibatkan variabel yang nilainya perlu dihitung.

Misalnya, ekspresi x + 3 = 6 x + 7 adalah persamaan dengan variabel x, dan 3 y − 1 + y = 0 adalah persamaan dengan variabel y.

Satu persamaan bisa mempunyai lebih dari satu variabel, melainkan dua atau lebih. Masing-masing disebut persamaan dengan dua, tiga variabel, dan seterusnya. Mari kita tuliskan definisinya:

Definisi 3

Persamaan dengan dua (tiga, empat atau lebih) variabel adalah persamaan yang mencakup sejumlah variabel yang tidak diketahui.

Misalnya persamaan bentuk 3, 7 x + 0, 6 = 1 adalah persamaan dengan satu variabel x, dan x − z = 5 adalah persamaan dengan dua variabel x dan z. Contoh persamaan dengan tiga variabel adalah x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Akar persamaan

Ketika kita berbicara tentang suatu persamaan, segera muncul kebutuhan untuk mendefinisikan konsep akarnya. Mari kita coba jelaskan apa maksudnya.

Contoh 1

Kita diberikan persamaan tertentu yang mencakup satu variabel. Jika kita menggantinya surat yang tidak dikenal bilangan, maka persamaan tersebut menjadi persamaan numerik - benar atau salah. Jadi, jika pada persamaan a + 1 = 5 kita mengganti huruf dengan angka 2, maka persamaannya menjadi salah, dan jika 4 maka persamaan yang benar adalah 4 + 1 = 5.

Kami lebih tertarik pada nilai-nilai yang dengannya variabel tersebut akan berubah menjadi persamaan yang sebenarnya. Mereka disebut akar atau solusi. Mari kita tuliskan definisinya.

Definisi 4

Akar persamaan Mereka menyebut nilai suatu variabel yang mengubah persamaan tertentu menjadi persamaan sejati.

Akar juga bisa disebut solusi, atau sebaliknya - kedua konsep ini memiliki arti yang sama.

Contoh 2

Mari kita ambil contoh untuk memperjelas definisi ini. Di atas kami memberikan persamaan a + 1 = 5. Menurut definisinya, akarnya adalah dalam hal ini akan menjadi 4, karena jika diganti dengan huruf, akan menghasilkan persamaan numerik yang benar, dan dua tidak akan menjadi penyelesaian, karena sesuai dengan persamaan yang salah 2 + 1 = 5.

Berapa banyak akar yang dapat dimiliki suatu persamaan? Apakah setiap persamaan mempunyai akar? Mari kita jawab pertanyaan-pertanyaan ini.

Persamaan yang tidak memiliki akar tunggal juga ada. Contohnya adalah 0 x = 5. Kita bisa mengganti banyak hal nomor yang berbeda, namun tidak ada satupun yang dapat mengubahnya menjadi persamaan sejati, karena mengalikannya dengan 0 selalu menghasilkan 0.

Ada juga persamaan yang memiliki beberapa akar. Mereka bisa terbatas atau tidak terbatas jumlah besar akar

Contoh 3

Jadi, pada persamaan x − 2 = 4 hanya terdapat satu akar - enam, pada x 2 = 9 dua akar - tiga dan dikurangi tiga, pada x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tiga akar - nol, satu dan dua, persamaan x=x mempunyai banyak akar yang tak terhingga.

Sekarang mari kita jelaskan cara menulis akar-akar persamaan dengan benar. Jika tidak ada, maka kita tulis: “persamaan tersebut tidak memiliki akar”. Dalam hal ini, Anda juga dapat menunjukkan tanda himpunan kosong ∅. Jika ada akar-akarnya, maka kita menulisnya dengan dipisahkan koma atau menunjukkannya sebagai elemen himpunan, dengan mengapitnya kawat gigi. Jadi, jika suatu persamaan memiliki tiga akar - 2, 1 dan 5, maka kita tulis - 2, 1, 5 atau (- 2, 1, 5).

Diperbolehkan menulis akar dalam bentuk persamaan sederhana. Jadi, jika persamaan yang tidak diketahui dilambangkan dengan huruf y, dan akar-akarnya adalah 2 dan 7, maka kita tulis y = 2 dan y = 7. Terkadang subskrip ditambahkan pada huruf, misalnya x 1 = 3, x 2 = 5. Dengan cara ini kita menunjukkan jumlah akarnya. Jika persamaan tersebut mempunyai banyak solusi yang tak terhingga, maka kita tuliskan jawabannya sebagai interval numerik atau kita menggunakan notasi yang berlaku umum: himpunan bilangan asli dilambangkan dengan N, bilangan bulat dengan Z, dan bilangan real dengan R. Katakanlah, jika kita ingin menuliskan bahwa penyelesaian persamaan tersebut adalah bilangan bulat apa pun, maka kita tuliskan bahwa x ∈ Z, dan jika ada bilangan real dari satu hingga sembilan, maka y ∈ 1, 9.

Jika suatu persamaan memiliki dua, tiga akar atau lebih, maka, sebagai suatu peraturan, kita tidak berbicara tentang akar-akarnya, tetapi tentang solusi persamaan tersebut. Mari kita rumuskan definisi penyelesaian persamaan dengan beberapa variabel.

Definisi 5

Penyelesaian persamaan dengan dua, tiga atau lebih variabel adalah dua, tiga atau lebih nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita jelaskan definisinya dengan contoh.

Contoh 4

Katakanlah kita mempunyai persamaan x + y = 7, yang merupakan persamaan dengan dua variabel. Mari kita gantikan satu dengan yang pertama, dan dua sebagai pengganti yang kedua. Kita akan mendapatkan persamaan yang salah, artinya pasangan nilai ini tidak akan menjadi solusi persamaan yang diberikan. Jika kita ambil pasangan 3 dan 4, maka persamaan tersebut menjadi benar yang berarti kita telah menemukan penyelesaiannya.

Persamaan seperti itu mungkin juga tidak memiliki akar atau jumlahnya tidak terbatas. Jika kita perlu menuliskan dua, tiga, empat nilai atau lebih, maka kita menuliskannya dengan dipisahkan koma tanda kurung. Artinya, pada contoh di atas, jawabannya akan terlihat seperti (3, 4).

Dalam praktiknya, Anda paling sering harus berurusan dengan persamaan yang mengandung satu variabel. Kami akan mempertimbangkan algoritma untuk menyelesaikannya secara rinci dalam artikel yang ditujukan untuk menyelesaikan persamaan.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter

Isi artikel

PERSAMAAN. Persamaan adalah hubungan matematis yang menyatakan persamaan dua ekspresi aljabar. Jika kesetaraan benar bagi siapa pun nilai-nilai yang dapat diterima yang tidak diketahui termasuk di dalamnya, maka disebut identitas; misalnya relasi bentuk ( X – 1) 2 = (X – 1)(X– 1) dilakukan untuk semua nilai variabel X. Untuk menunjukkan identitas, alih-alih menggunakan tanda sama dengan =, mereka sering menulis tanda є, yang berbunyi “sama persis”. Identitas digunakan dalam aljabar saat menulis faktorisasi polinomial (seperti pada contoh di atas). Mereka juga ditemukan dalam trigonometri dalam hubungan seperti sin 2 X+ karena 2 X= 1, dan masuk kasus umum mengungkapkan hubungan formal antara dua ekspresi matematika yang tampaknya berbeda.

Jika suatu persamaan mengandung variabel X, dijalankan hanya untuk nilai tertentu, dan tidak untuk semua nilai X, seperti halnya identitas, mungkin berguna untuk menentukan nilai-nilai tersebut X, yang persamaan ini valid. Nilai-nilai seperti itu X disebut akar atau solusi persamaan. Misalnya angka 5 adalah akar persamaan 2 X + 7= 17.

Persamaan berfungsi sebagai alat solusi yang ampuh masalah praktis. Bahasa yang tepat matematika memungkinkan Anda untuk dengan mudah mengungkapkan fakta dan hubungan yang pernah dinyatakan dalam bahasa biasa, mungkin tampak membingungkan dan rumit. Besaran yang tidak diketahui, dalam soal dilambangkan dengan simbol, misalnya X, dapat dicari dengan merumuskan masalah pada bahasa matematika dalam bentuk persamaan. Metode penyelesaian persamaan pada dasarnya merupakan pokok bahasan dari cabang matematika yang disebut teori persamaan.

JENIS PERSAMAAN

Persamaan aljabar.

Persamaan bentuk fn= 0, dimana fn– polinomial dalam satu atau lebih variabel, disebut persamaan aljabar. Polinomial adalah ekspresi bentuk

fn = A 0 x saya y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +ј + a s x p y q ... v r,

Di mana X, kamu,..., ay adalah variabel, dan Saya, J,..., R– eksponen (bilangan bulat) bilangan non-negatif). Polinomial dalam satu variabel ditulis sebagai berikut:

F(X) = A 0 xn + A 1 xn – 1 +... + sebuah – 1X + sebuah

atau, dalam kasus khusus, 3 X 4 – X 3 + 2X 2 + 4X– 1. Persamaan aljabar dengan satu hal yang tidak diketahui adalah persamaan bentuk apa pun F(X) = 0. Jika A 0 Tidak. 0 lalu N disebut derajat persamaan. Misalnya, 2 X+ 3 = 0 – persamaan derajat pertama; persamaan derajat pertama disebut linier, karena grafik fungsinya y = kapak + b tampak seperti garis lurus. Persamaan derajat kedua disebut kuadrat, dan persamaan derajat ketiga disebut kubik. Persamaan derajat yang lebih tinggi juga memiliki nama yang mirip.

Persamaan transendental.

Persamaan yang mengandung fungsi transendental seperti logaritma, eksponensial, atau fungsi trigonometri, disebut transendental. Contohnya adalah persamaan berikut:

dimana log adalah logaritma ke basis 10.

Persamaan diferensial.

Ini adalah nama yang diberikan untuk persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi dan turunan atau diferensialnya. Persamaan diferensial telah terbukti menjadi sarana yang sangat berharga dalam merumuskan hukum alam secara akurat.

Persamaan integral.

Persamaan yang mengandung fungsi yang tidak diketahui di bawah tanda integral, misalnya, F (S) = t K (s, t) F(T) dt, Di mana F(S) Dan K(S,T) diberikan, dan F(T) perlu ditemukan.

Persamaan Diophantine.

Persamaan Diophantine disebut persamaan aljabar dengan dua atau lebih bilangan tak diketahui dengan koefisien bilangan bulat, yang penyelesaiannya dicari dalam bilangan bulat atau bilangan rasional. Misalnya persamaan 3 X – 5kamu= 1 punya solusi X = 7, kamu= 4; secara umum, solusinya berbentuk bilangan bulat X = 7 + 5N, kamu = 4 + 3N.

MENYELESAIKAN PERSAMAAN ALJABAR

Untuk semua jenis persamaan di atas metode umum tidak ada solusi. Namun dalam banyak kasus, terutama untuk persamaan aljabar jenis tertentu, jumlahnya sudah cukup teori yang lengkap keputusan mereka.

Persamaan linier.

Persamaan sederhana ini diselesaikan dengan mereduksinya menjadi persamaan ekuivalen dimana nilai yang tidak diketahui langsung terlihat. Misalnya persamaan X+ 2 = 7 dapat direduksi menjadi persamaan ekuivalen X= 5 dengan mengurangkan angka 2 pada ruas kanan dan kiri. Langkah-langkah pencampuran persamaan sederhana, Misalnya, X+ 2 = 7, yang setara, didasarkan pada penggunaan empat aksioma.

1. Jika nilai-nilai yang setara bertambah dengan jumlah yang sama maka hasilnya akan sama.

2. Jika bilangan yang sama dikurangkan dari besaran yang sama, hasilnya akan sama.

3. Jika nilai yang sama dikalikan dengan angka yang sama, maka hasilnya akan sama.

4. Jika besaran yang sama dibagi dengan bilangan yang sama, maka hasilnya akan sama.

Misalnya untuk menyelesaikan persamaan 2 X+ 5 = 15, kita akan menggunakan aksioma 2 dan mengurangkan angka 5 dari ruas kanan dan kiri, sehingga menghasilkan persamaan ekuivalen 2 X= 10. Kemudian kita menggunakan aksioma 4 dan membagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan 2, sehingga persamaan aslinya direduksi menjadi bentuk X= 5, yang merupakan solusi yang diinginkan.

Persamaan kuadrat.

Solusi umum persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c= 0 dapat diperoleh dengan menggunakan rumus

Jadi, ada dua solusi yang mungkin sama dalam kasus tertentu.

Persamaan aljabar lainnya.

Rumus eksplisit, mirip dengan rumus penyelesaian persamaan kuadrat, hanya dapat ditulis untuk persamaan derajat ketiga dan keempat. Namun rumus ini rumit dan tidak selalu membantu menemukan akarnya dengan mudah. Adapun persamaan derajat kelima atau lebih tinggi, bagi mereka, seperti yang dibuktikan N. Abel pada tahun 1824, tidak mungkin untuk menunjukkan rumus umum, yang akan menyatakan akar persamaan melalui koefisiennya menggunakan radikal. Dalam beberapa kasus khusus, persamaan derajat yang lebih tinggi dapat diselesaikan dengan mudah dengan memfaktorkannya sisi kiri, yaitu memfaktorkannya menjadi faktor-faktor.

Misalnya persamaan X 3 + 1 = 0 dapat ditulis dalam bentuk faktorisasi ( X + 1)(X 2 – X+ 1) = 0. Kita mencari solusi dengan menetapkan masing-masing faktor sama dengan nol:

Jadi akar-akarnya sama X= –1, yaitu hanya 3 akar.

Jika persamaan tersebut tidak dapat difaktorkan, maka solusi aproksimasi harus digunakan. Metode utama untuk menemukan solusi perkiraan dikembangkan oleh Horner, Newton dan Greffe. Namun, dalam semua kasus terdapat keyakinan kuat bahwa ada solusi: persamaan aljabar N-Tingkat ke-th memiliki persisnya N akar

Sistem persamaan linear.

Dua persamaan linear dalam dua hal yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai

Persamaan adalah salah satu konsep landasan semua matematika. Baik sekolah maupun pendidikan tinggi. Masuk akal untuk mengetahuinya, bukan? Apalagi ini adalah konsep yang sangat sederhana. Lihat sendiri di bawah ini. :) Jadi apa persamaannya?

Fakta bahwa kata ini memiliki akar kata yang sama dengan kata “setara”, “kesetaraan”, menurut saya, tidak menimbulkan keberatan dari siapa pun.

Persamaannya adalah dua ekspresi matematika, dihubungkan dengan tanda "=" (sama dengan).

Tapi... bukan sembarang. Dan yang di dalamnya (setidaknya satu) berisi kuantitas yang tidak diketahui. Atau, dengan cara lain, nilai variabel. Atau singkatnya "variabel". Yang biasanya dilambangkan dengan huruf "X".

Mungkin ada satu variabel, atau mungkin ada beberapa. DI DALAM matematika sekolah persamaan dengan satu variabel. Dan untuk saat ini kita juga akan mempertimbangkan persamaan dengan satu variabel. Dengan dua variabel atau lebih - dalam pelajaran khusus.

Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan?

Variabel yang termasuk dalam persamaan dapat diambil setiap nilai yang dapat diterima secara matematis. Itu sebabnya itu bervariasi. :) Untuk beberapa nilai variabel, persamaan numerik yang benar diperoleh, tetapi untuk nilai lainnya tidak.

Jadi begini:

Memecahkan persamaan berarti menemukan SEMUA nilai variabel yang jika disubstitusikan ke dalamnya asli persamaan tersebut ternyata merupakan persamaan yang benar. Atau, lebih ilmiahnya, identitas sebenarnya. Atau buktikan bahwa nilai variabel tersebut tidak ada.

Apa yang terjadi kesetaraan yang sebenarnya? Ini adalah kesetaraan yang tidak diragukan lagi bahkan bagi orang yang sama sekali tidak terbebani dengan pengetahuan matematika yang mendalam. Misalnya, 5=5, 0=0, -10=-10. Dan sebagainya. :)

Nilai variabel, ketika menggantinya, ini tercapai kesetaraan yang sebenarnya, disebut dengan sangat indah dan ilmiah - akar persamaan.

Mungkin ada satu akar, mungkin ada beberapa. Atau mungkin akar yang sangat banyak- seluruh interval atau bahkan seluruh garis bilangan dari –∞ ke +∞ . Ya, ini juga terjadi! Semuanya dari persamaan tertentu bergantung.)

Dan itu juga terjadi itu dilarang temukan X yang akan memberi kita kesetaraan sejati. Pada prinsipnya hal itu tidak mungkin. Untuk alasan tertentu. Tidak ada X seperti itu...

Dalam kasus seperti ini biasanya dikatakan persamaan tidak memiliki akar.

Untuk apa persamaan?

Pertanyaannya lucu. Seumur hidup! Di sekolah, sebagai suatu peraturan, persamaan diperlukan untuk menyelesaikannya masalah kata . Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa ini adalah tugas untuk pekerjaan, minat, dan banyak lainnya.

Dan masuk kehidupan dewasa tanpa persamaan, mustahil untuk menjawab persamaan yang paling biasa sekalipun, tetapi ini sangat penting masalah penting kehidupan sehari-hari: bagaimana cuaca besok, apakah bangunan dapat menahan beban yang diberikan. Atau lift. Atau pesawat. Di mana roket akan menghantam... Dan sekarang tidak akan ada peramal cuaca, tidak ada insinyur, tidak ada akuntan, tidak ada ekonom, tidak ada programmer di antara kita... Karena tidak perlu. Apakah itu menginspirasi?)

Mengapa demikian? Tapi karena persamaan menggambarkan hampir segalanya diketahui manusia fenomena alam dan proses. Perubahan tekanan dan suhu udara terhadap ketinggian, hukum gravitasi universal, pertumbuhan bakteri, peluruhan radioaktif, reaksi kimia, listrik, pasokan dan permintaan - merupakan inti dari semuanya persamaan matematika! Sederhana, kompleks - segala macam. Apa pun fenomena atau situasinya, itulah persamaannya.)

Jadi, mari kita ingat:

Persamaan adalah alat yang sangat ampuh dan serbaguna untuk memecahkan berbagai macam masalah terapan.

Persamaan macam apa yang ada?

Ada banyak sekali persamaan dalam matematika. Paling jenis yang berbeda. Namun seluruh ragam persamaan hanya dapat dibagi menjadi 4 kategori:

1. ,

2. ,

3. (atau rasional pecahan),

4. Lainnya.

Kategori persamaan yang berbeda memerlukan dan pendekatan yang berbeda untuk menyelesaikannya: persamaan linier diselesaikan dengan satu cara, persamaan kuadrat dengan cara lain, persamaan pecahan dengan cara ketiga, trigonometri, logaritma, eksponensial, dan lain-lain juga diselesaikan dengan metodenya sendiri.

Tentu masih ada persamaan lain lagi ya...) Keduanya irasional dan trigonometri , dan , dan , dan banyak persamaan lainnya. Dan bahkan persamaan diferensial(untuk siswa), di mana peran yang tidak diketahui dimainkan bukan oleh angka, tetapi fungsi. Atau bahkan serangkaian fungsi. :)

Dalam pelajaran terkait, kita akan menganalisis semua jenis persamaan ini secara mendetail. Dan di sini kita punya - teknik dasar dan aturan.

Aturan-aturan ini disebut - transformasi persamaan yang identik (atau setara). . Hanya ada dua dari mereka. Dan tidak ada jalan lain untuk menghindarinya. Jadi mari berkenalan!

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Transformasi persamaan yang identik (setara).

Larutan setiap persamaan terdiri dari transformasi langkah demi langkah dari ekspresi yang termasuk di dalamnya. Tapi bukan sembarang transformasi, tapi dari langkah ke langkah inti dari keseluruhan persamaan tidak berubah. Terlepas dari kenyataan bahwa setelah setiap transformasi, persamaannya akan berubah dan, pada akhirnya, menjadi sangat berbeda dari aslinya.

Transformasi seperti itu dalam matematika disebut setara atau identik. Jumlahnya cukup banyak, tetapi di antara seluruh variasi transformasi persamaan yang identik, ada satu yang menonjol dua dasar. Mereka akan dibahas dalam pelajaran ini. Ya, ya, hanya dua! Tapi – sangat penting! Dan masing-masing dari mereka patut mendapat perhatian khusus.

Penerapan dua transformasi identik ini dalam satu urutan atau lainnya menjamin keberhasilan dalam menyelesaikan 99% persamaan matematika. Menggoda, bukan?

Jadi silakan!

Transformasi identitas pertama:

Anda dapat menambahkan (atau mengurangi) bilangan atau ekspresi apa pun (tetapi identik!) (termasuk yang memiliki variabel) pada kedua ruas persamaan. Hal ini tidak akan mengubah esensi persamaan.

Anda menerapkan transformasi ini di mana saja, dengan naif berpikir bahwa Anda memindahkan beberapa suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, mengubah tanda. :)

Misalnya persamaan keren ini:

Tidak ada yang perlu dipikirkan disini, kita pindahkan ketiganya ke kanan, ubah minus menjadi plus:

Tapi apa yang sebenarnya terjadi? Namun kenyataannya kamu... tambahkan tiga pada kedua ruas persamaan!

Inilah yang terjadi:

Dan hasilnya sama:

Itu saja. Di sebelah kiri masih ada X murni (yang sebenarnya ingin kami capai), dan di sebelah kanan - apa pun yang terjadi. Tapi yang terpenting adalah menambahkan tiga ke kedua bagian inti dari keseluruhan persamaan tidak berubah!

Faktanya adalah bahwa perpindahan istilah yang biasa dari satu bagian ke bagian lain dengan perubahan tanda adalah hal yang sederhana versi singkat transformasi identitas pertama.

Dan mengapa kita perlu menggali lebih dalam? Tidak perlu persamaan. Tenang saja dan jangan khawatir. Cuma jangan lupa ganti tandanya.) Tapi dalam ketimpangan, kebiasaan transferensi bisa sedikit mengecilkan hati ya...

Ini adalah transformasi identik pertama. Mari kita beralih ke yang kedua.

Transformasi identitas kedua:

Kedua ruas persamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan atau ekspresi bukan nol yang sama.

Kami terus-menerus menggunakan transformasi serupa ketika kami menyelesaikan sesuatu yang sangat menyeramkan seperti:

Jelas bagi semua orang di sini bahwa x=3. Bagaimana Anda mendapatkan jawaban ini? Apakah kamu mengambilnya? Apakah Anda dapat menebaknya?

Agar tidak memilih dan menebak (kami adalah ahli matematika, bukan peramal), Anda perlu memahami bahwa Anda hanyalah membagi kedua sisi persamaan untuk empat. Hal itulah yang mengganggu kami.

Seperti ini:

Tongkat pembagian ini artinya dibagi empat. kedua bagian persamaan kita. Melalui pecahan, prosedurnya terlihat seperti ini:

Di sebelah kiri, keempatnya berhasil dikurangi, menyisakan X di dalamnya isolasi yang luar biasa. Dan di sebelah kanan, jika 12 dibagi 4, hasilnya tentu saja tiga. :)

Dan itu saja.)

Kedengarannya luar biasa, tapi keduanya (hanya dua!) transformasi sederhana menjadi dasar pengambilan keputusan semua persamaan matematika! Ya, ya, tepatnya setiap orang, saya tidak melebih-lebihkan sama sekali! Dari linier dan kuadrat di sekolah hingga diferensial di universitas.)

Baiklah, mari kita lihat aksi transformasi persamaan yang identik?

Penerapan transformasi identitas untuk menyelesaikan persamaan.

Mari kita mulai dengan Pertama transformasi identitas. Pindahkan ke kiri dan ke kanan.

Contoh untuk pemula:

1 – x = 3 – 2x

Ini bukan persoalan rumit. Ini . Kami bekerja secara langsung sesuai dengan mantranya: “Dengan X di sebelah kiri, tanpa X di sebelah kanan.”

Mantra ini adalah instruksi universal tentang penerapan transformasi identitas pertama. Jadi mari kita lihat persamaannya. Suku apa yang memiliki X di sebelah kanan? Apa? 2x? Tidak!) Di sebelah kanan kami -2x (dikurangi dua x)! Oleh karena itu, bila dipindahkan ke kiri, minusnya akan berubah menjadi plus:

1 – x +2x = 3

Setengah pekerjaan selesai, tanda X telah dikumpulkan di sebelah kiri. Yang tersisa hanyalah mengumpulkan semua angka di sebelah kanan. Ada satu di sisi kiri persamaan. Sekali lagi pertanyaannya adalah - dengan tanda apa? Jawaban “tanpa apa-apa” tidak akan berhasil.) Benar-benar tidak ada apa pun yang tertulis di sebelah kiri sebelum angka 1. Artinya ada tanda di depannya "plus". Begitulah cara kerjanya dalam matematika: tidak ada yang tertulis, yang berarti nilai plus.)

Oleh karena itu, yang satu akan bergerak ke kanan dengan minus:

-x + 2x = 3 - 1

Itu hampir semuanya. Di sebelah kiri kami menyajikan yang serupa, dan di sebelah kanan kami menghitungnya. Dan kami mendapatkan:

x = 2

Itu adalah persamaan yang sepenuhnya primitif.

Sekarang contoh yang lebih keren, untuk siswa sekolah menengah:

Selesaikan persamaan:

Persamaan. Jadi apa? Siapa yang peduli? Bagaimanapun, langkah pertama adalah melakukan transformasi identitas dasar (“Dengan X di sebelah kiri….”). Untuk melakukan ini, suku dengan X (yaitu, - mencatat 3 X) bergerak ke kiri. Dengan perubahan tanda:

A ekspresi numerik (mencatat 3 4 ) bergerak ke kanan. Juga dengan perubahan tanda tentunya:

Itu saja. Di sebelah kanan adalah formula murni. Siapa pun yang berteman dengannya akan menyelesaikan persamaan di kepalanya dan mendapatkan:

x=3

Apa? Apakah Anda ingin sinus? Tolong, ini sinusnya:

Dan lagi semua sama! Kami melakukan transformasi identik pertama - kami mentransfer dosa X ke kiri (dengan minus), dan pindahkan -0,25 ke kanan (dengan plus):

Kami mendapatkan yang paling sederhana persamaan trigonometri dengan sinus, yang (bagi yang tahu) juga tidak sulit dipecahkan.

Lihat betapa universalnya yang pertama? transformasi setara! Itu ditemukan di mana-mana dan di mana saja dan tidak ada jalan lain... Itulah mengapa sangat penting untuk dapat melakukannya secara otomatis dan tanpa kesalahan.

Sebenarnya, Anda hanya bisa melakukan satu kesalahan di sini - lupa mengganti tanda saat mentransfer. Itulah yang terjadi sepanjang waktu. Tidak ada yang membatalkan perhatian, ya...)

Baiklah, mari kita lanjutkan permainan kita? Mari bersenang-senang sekarang Kedua transformasi!)

Selesaikan persamaan:

7x=28

Pria keren, sejujurnya.) Oke, ini emosi...

Kita melihat dan berpikir: apa yang menghentikan kita dalam persamaan ini? Apa, apa... Ya, tujuh menghalangi! Akan menyenangkan untuk menyingkirkannya. Ya, agar tidak merusak persamaan aslinya.)

Tapi bagaimana caranya? Bergerak ke kanan? Uh... Berhenti! Tidak.) Tujuh dengan tanda X perkalian terhubung. Koefisien, Anda tahu.) Anda tidak dapat melepaskannya dari X dan memindahkannya ke kanan. Itulah keseluruhan ekspresinya 7x secara lengkap - tolong (pertanyaan - mengapa?). Tapi tujuh secara terpisah - tidak mungkin.

Saatnya mengingat tentang perkalian/pembagian! Kita membutuhkan X murni sebagai jawabannya, bukan? Dan tujuh adalah penghalang. Jadi kita bagi ruas kirinya dengan tujuh. Kami “menghapus” X dari koefisien. Jadi kita diperlukan. Tapi kemudian sisi kanannya juga harus dibagi tujuh: ini sudah matematika memerlukan. Apapun yang terjadi di sana akan berhasil. Tapi contohnya bagus. Saya mencobanya.) 28 habis dibagi 7. Anda mendapatkan 4.

Menjawab: x=4

Atau persamaan ini:

Apa yang menghentikan kita di sini? Pecahannya 1/6 ya? Jadi mari kita singkirkan itu. Aman untuk persamaan tersebut.) Bagaimana caranya? Nah, Anda bisa melakukan hal yang sama - bagi kedua bagian dengan 1/6 yang sama. Tapi ini sangat tidak nyaman dalam pikiran. Beberapa orang akan bingung...

Tapi kami tidak hanya membagi, kami juga tahu cara mengalikan!) Kami ingat dari kelas junior, setelah tindakan apa yang kita lakukan apakah pecahannya hilang? Benar! Fraksi kita menghilang ketika perkalian dengan bilangan yang sama dengan (atau kelipatan) penyebutnya. Jadi mari kalikan kedua ruas persamaan kita dengan 6. Di sebelah kiri Anda masih mendapatkan X murni, tetapi mengalikan ruas kanan dengan 6 bukanlah pekerjaan yang paling sulit.)

Itu saja.) Perkalian kedua bagian persamaan untuk angka yang diperlukan memungkinkan Anda untuk segera menghilangkan pecahan, melewati perhitungan perantara, yang, omong-omong, Anda dapat dengan mudah membuat kesalahan. Jalan yang lebih pendek - lebih sedikit kesalahan!

Sekarang kembali ke mesin waktu dan - ke sekolah menengah:

Selesaikan persamaan:

Untuk mencapai X dan dengan demikian menyelesaikan masalah ini dengan keren persamaan trigonometri , pertama-tama kita perlu mendapatkan cosinus murni di sebelah kiri, tanpa koefisien apa pun. Tapi deuce menghalanginya. :) Jadi kita bagi seluruh ruas kiri dengan 2:

Tapi kemudian sisi kanan juga harus dibagi dua: MATEMATIKA membutuhkan ini. Membagi:

Tepatnya nilai tabel kosinus. Dan sekarang persamaan tersebut terpecahkan untuk jiwa yang manis.)

Itu semua kebijaksanaannya. Seperti yang Anda lihat, transformasi persamaan yang identik adalah hal yang berguna. Dan sekaligus bukan yang paling sulit. Transfer dan perkalian/pembagian. Namun, tidak semua orang berhasil pertama kali dan tanpa kesalahan, oh, tidak semua orang... Ada dua masalah utama di sini.

Masalah pertama (untuk yang belum berpengalaman):

Terkadang seorang siswa berpikir bahwa penyederhanaan persamaan dilakukan satu per satu, sekali dan untuk selamanya. aturan yang ditetapkan. Dan dia tidak dapat memahami dan memahami aturan ini: dalam beberapa contoh, aturan tersebut dimulai dengan perkalian (atau pembagian), pada contoh lain, aturan tersebut dimulai dengan transfer. Mereka mentransfernya sekitar tiga kali dan tidak pernah melipatgandakannya...

Misalnya saja seperti ini persamaan linier:

10x + 5 = 5x – 20

Di mana memulainya? Anda bisa mulai dengan transfer:

10x – 5x = -20 - 5

Atau Anda dapat membagi kedua bagian terlebih dahulu dengan lima, lalu mentransfernya. Maka angka-angkanya akan segera menjadi lebih sederhana:

Seperti yang bisa kita lihat, kita bisa memutuskan dengan cara ini dan itu. Dan ini adalah contoh primitif! Hal ini menimbulkan pertanyaan bagi siswa yang belum berpengalaman: “Mana yang benar?”

Benar dalam segala hal! Mana yang lebih nyaman bagi Anda. :) Tidak ada resep universal di sini dan tidak mungkin ada. Matematika menawarkan Anda pilihan dua jenis transformasi persamaan. Dan urutan transformasi ini bergantung sepenuhnya pada persamaan asli, serta dari preferensi pribadi dan kebiasaan pengambil keputusan.

Masalah kedua (untuk semua orang...yah...hampir):

Kesalahan dalam perhitungan. Dalam transformasi Anda harus selalu mengalikan tanda kurung. Lampirkan ekspresi dalam tanda kurung dan tanda kurung terbuka. Kalikan dan bagi pecahan. Bekerja dengan derajat... Singkatnya, seluruh rangkaian operasi matematika dasar tersedia. Dengan segala konsekuensinya...

Kedua masalah ini hanya dapat diatasi dengan satu cara - praktik. Keraguan dan kesalahan hilang. Contohnya menjadi lebih sederhana, tugas menjadi lebih mudah. Dan pada akhirnya, bukan matematika yang memerintahkan Anda, namun Andalah yang memerintahkan matematika. :)