Ada beberapa golongan persamaan yang dapat diselesaikan dengan mereduksinya menjadi persamaan kuadrat. Salah satu persamaan tersebut adalah persamaan biquadratic.
Persamaan bikuadrat
Persamaan bikuadrat- ini adalah persamaan bentuk a*x^4 + b*x^2 + c = 0, dimana a tidak sama dengan 0.
Persamaan bikuadrat diselesaikan dengan substitusi x^2 =t. Setelah substitusi seperti itu, kita memperoleh persamaan kuadrat untuk t. a*t^2+b*t+c=0. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan, kami punya kasus umum t1 dan t2. Jika pada tahap ini berhasil akar negatif, bilangan tersebut dapat dikeluarkan dari penyelesaian, karena kita mengambil t=x^2, dan kuadrat suatu bilangan adalah bilangan positif.
Kembali ke variabel awal, kita memiliki x^2 =t1, x^2=t2.
x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).
Mari kita lihat contoh kecilnya:
9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.
Mari kita perkenalkan penggantinya t=x^2. Kemudian persamaan asli akan mengambil bentuk berikut:
9*t^2+5*t-4=0.
Mari kita selesaikan persamaan kuadrat salah satu dari metode yang diketahui, kami menemukan:
t1=4/9, t2=-1.
Akar -1 tidak cocok karena persamaan x^2 = -1 tidak masuk akal.
Akar kedua 4/9 tetap ada. Pindah ke variabel awal, kita memiliki persamaan berikut:
x^2 = 4/9.
x1=-2/3, x2=2/3.
Ini akan menjadi solusi persamaan tersebut.
Menjawab: x1=-2/3, x2=2/3.
Jenis persamaan lain yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat adalah persamaan rasional pecahan. Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan kanannya sama ekspresi rasional. Jika dalam suatu persamaan rasional ruas kiri atau ruas kanannya sama ekspresi pecahan, maka persamaan rasional tersebut disebut pecahan.
Skema penyelesaian persamaan rasional pecahan
Skema umum untuk menyelesaikan pecahan persamaan rasional.
1. Temukan penyebut yang sama dari semua pecahan yang termasuk dalam persamaan.
2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama.
3. Selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan.
4. Periksa akar-akarnya dan kecualikan akar-akar yang menyebabkan penyebutnya hilang.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Selesaikan persamaan rasional pecahan: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Kami akan tetap berpegang pada itu skema umum. Mari kita cari dulu penyebut semua pecahan.
Kita mendapatkan x*(x-5).
Kalikan setiap pecahan dengan penyebut yang sama dan tuliskan seluruh persamaan yang dihasilkan.
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Mari kita sederhanakan persamaan yang dihasilkan. Kami mendapatkan,
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Diterima persamaan kuadrat tereduksi sederhana. Kami menyelesaikannya dengan salah satu metode yang diketahui, kami mendapatkan akar x=-2 dan x=5. Sekarang kami memeriksa solusi yang diperoleh. Substitusikan angka -2 dan 5 ke dalam penyebut yang sama.
Pada x=-2, penyebutnya x*(x-5) tidak hilang, -2*(-2-5)=14. Artinya angka -2 akan menjadi akar persamaan rasional pecahan asli.
Ketika x=5 penyebutnya x*(x-5) menjadi sama dengan nol. Oleh karena itu, bilangan ini bukanlah akar persamaan rasional pecahan asli, karena akan terjadi pembagian dengan nol.
Menjawab: x=-2.
Pekerjaan selesai
KERJA GELAR
Banyak yang telah berlalu dan sekarang Anda sudah lulus, jika tentu saja Anda menulis tesis tepat waktu. Tetapi hidup adalah sesuatu yang baru sekarang menjadi jelas bagi Anda bahwa, setelah berhenti menjadi pelajar, Anda akan kehilangan semua kegembiraan sebagai pelajar, banyak di antaranya belum pernah Anda coba, menunda segalanya dan menundanya sampai nanti. Dan sekarang, alih-alih mengejar ketinggalan, Anda malah mengerjakan tesis Anda? Ada solusi terbaik: unduh tesis yang Anda perlukan dari situs web kami - dan Anda akan langsung memiliki banyak waktu luang!
Tesis telah berhasil dipertahankan di universitas-universitas terkemuka di Republik Kazakhstan.
Biaya pengerjaan mulai 20.000 tenge
KURSUS BEKERJA
Proyek kursus adalah kerja praktek serius pertama. Dengan penulisan makalah itulah persiapan pengembangan dimulai. proyek diploma. Jika seorang siswa belajar menyajikan isi suatu topik dengan benar proyek kursus dan menyusunnya dengan benar, maka kedepannya ia tidak akan mengalami kesulitan baik dalam menulis laporan maupun dalam menggambar tesis, maupun dengan implementasi orang lain tugas-tugas praktis. Untuk membantu siswa dalam menulis karya siswa jenis ini dan untuk memperjelas pertanyaan-pertanyaan yang timbul selama persiapannya, sebenarnya bagian informasi ini dibuat.
Biaya pengerjaan mulai 2.500 tenge
DISERTASI MAGISTER
Saat ini lebih tinggi lembaga pendidikan Di Kazakhstan dan negara-negara CIS, tingkat pendidikan tinggi sangat umum pendidikan kejuruan, yang mengikuti gelar sarjana - gelar master. Pada program magister, mahasiswa belajar dengan tujuan memperoleh gelar magister, yang diakui di sebagian besar negara di dunia lebih dari sekadar gelar sarjana, dan juga diakui oleh pemberi kerja asing. Hasil studi magister adalah pertahanan tesis master.
Kami akan memberi Anda materi analitis dan tekstual terkini, harga sudah termasuk 2 artikel ilmiah dan abstrak.
Biaya pengerjaan mulai 35.000 tenge
LAPORAN PRAKTEK
Setelah menyelesaikan semua jenis magang siswa (pendidikan, industri, pra-kelulusan), diperlukan laporan. Dokumen ini akan menjadi konfirmasi kerja praktek siswa dan dasar pembentukan penilaian untuk praktek. Biasanya, untuk menyusun laporan magang, perlu mengumpulkan dan menganalisis informasi tentang perusahaan, mempertimbangkan struktur dan rutinitas kerja organisasi tempat magang berlangsung, dan menyusun rencana kalender dan jelaskan milikmu kegiatan praktis.
Kami akan membantu Anda menulis laporan magang Anda, dengan mempertimbangkan aktivitas spesifik perusahaan tertentu.
Teori umum pemecahan masalah menggunakan persamaan
Sebelum melanjutkan ke tipe tertentu mari kita buat daftar masalahnya terlebih dahulu teori umum untuk izin berbagai tugas menggunakan persamaan. Pertama-tama, permasalahan dalam disiplin ilmu seperti ekonomi, geometri, fisika dan banyak lainnya direduksi menjadi persamaan. Prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan menggunakan persamaan adalah sebagai berikut:
- Semua besaran yang kita cari dari kondisi masalah, serta besaran tambahan apa pun, dilambangkan dengan variabel yang sesuai bagi kita. Paling sering variabel-variabel ini adalah huruf terakhir Alfabet Latin.
- Menggunakan data ke dalam tugas nilai numerik, serta hubungan verbal, satu atau lebih persamaan disusun (tergantung kondisi soal).
- Mereka memecahkan persamaan yang dihasilkan atau sistemnya dan membuang solusi yang “tidak logis”. Misalnya, jika Anda perlu mencari luasnya, maka angka negatif, jelas akan menjadi akar yang asing.
- Kami mendapatkan jawaban akhir.
Contoh soal aljabar
Disini kami akan memberikan contoh soal yang direduksi menjadi persamaan kuadrat tanpa bergantung pada luas tertentu.
Contoh 1
Temukan dua bilangan irasional seperti itu, jika dijumlahkan kuadratnya, hasilnya adalah lima, dan bila dijumlahkan, hasilnya adalah lima tambahan biasa bertiga satu sama lain.
Mari kita nyatakan angka-angka ini dengan huruf $x$ dan $y$. Berdasarkan kondisi soal, cukup mudah untuk membuat dua persamaan $x^2+y^2=5$ dan $x+y=3$. Kita melihat salah satunya berbentuk persegi. Untuk menemukan solusi, Anda perlu menyelesaikan sistem:
$\kasus(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$
Pertama kita ekspresikan dari $x$ kedua
Mengganti yang pertama dan melakukan transformasi dasar
$(3-y)^2 +y^2=5$
$9-6y+y^2+y^2=5$
Kami melanjutkan ke penyelesaian persamaan kuadrat. Mari kita lakukan ini menggunakan rumus. Mari kita cari diskriminannya:
Akar pertama
$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
Akar kedua
$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
Mari kita cari variabel kedua.
Untuk akar pertama:
$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
Untuk akar kedua:
$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
Karena urutan angka tidak penting bagi kita, kita mendapatkan sepasang angka.
Jawaban: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ dan $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.
Contoh soal fisika
Mari kita perhatikan contoh masalah yang mengarah pada penyelesaian persamaan kuadrat dalam fisika.
Contoh 2
Sebuah helikopter yang terbang seragam dalam cuaca tenang memiliki kecepatan $250$ km/jam. Dia harus terbang dari markasnya ke lokasi kebakaran, yang terletak $70$ km jauhnya dan kembali lagi. Saat ini, angin bertiup menuju pangkalan, memperlambat pergerakan helikopter menuju hutan. Karena itu, dia kembali ke markas 1 jam lebih awal. Temukan kecepatan angin.
Mari kita nyatakan kecepatan angin dengan $v$. Kemudian kita mendapatkan bahwa helikopter akan terbang menuju hutan dengan kecepatan sebenarnya sebesar $250-v$, dan kembali kecepatan sebenarnya adalah $250+v$. Mari kita hitung waktu perjalanan kesana dan perjalanan pulang.
$t_1=\frac(70)(250-v)$
$t_2=\frac(70)(250+v)$
Karena helikopter kembali ke pangkalan $1$ jam lebih awal, kita akan mendapatkannya
$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$
Mari kita memberi sisi kiri Ke penyebut yang sama, terapkan aturan proporsi dan lakukan transformasi dasar:
$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$
$140v=62500-v^2$
$v^2+140v-62500=0$
Kami memperoleh persamaan kuadrat untuk menyelesaikan masalah ini. Mari kita selesaikan.
Kami akan menyelesaikannya menggunakan diskriminan:
$D=19600+250000=269600≈519^2$
Persamaannya memiliki dua akar:
$v=\frac(-140-519)(2)=-329,5$ dan $v=\frac(-140+519)(2)=189,5$
Karena kita mencari kecepatan (yang tidak boleh negatif), jelas bahwa akar pertama tidak berguna.
Jawaban: $189,5$
Contoh soal geometri
Mari kita perhatikan contoh masalah yang mengarah pada penyelesaian persamaan kuadrat dalam geometri.
Contoh 3
Temukan areanya segitiga siku-siku, yang memuaskan kondisi berikut: sisi miringnya sama dengan $25$, dan perbandingan kaki-kakinya adalah $4$ berbanding $3$.
Untuk menemukan luas yang dibutuhkan, kita perlu mencari kaki-kakinya. Mari kita tandai satu bagian kaki melalui $x$. Kemudian, dengan menyatakan kaki melalui variabel ini, kita menemukan bahwa panjangnya sama dengan $4x$ dan $3x$. Jadi, dari teorema Pythagoras kita dapat membentuk persamaan kuadrat berikut:
$(4x)^2+(3x)^2=625$
(akar $x=-5$ dapat diabaikan, karena kakinya tidak boleh negatif)
Kami menemukan bahwa kakinya masing-masing sama dengan $20$ dan $15$, yang berarti luasnya
$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$
Pelajaran #1
Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru.
Format pelajaran: percakapan.
Target: mengembangkan kemampuan menyelesaikan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat.
Tugas:
- mengenalkan siswa pada salah satu cara menyelesaikan persamaan;
- mengembangkan keterampilan dalam memecahkan persamaan tersebut;
- menciptakan kondisi untuk pembentukan minat terhadap mata pelajaran dan pengembangan pemikiran logis;
- untuk memastikan hubungan pribadi dan manusiawi antara peserta dalam proses pendidikan.
Rencana pelajaran:
1. Momen organisasi.
3. Mempelajari materi baru.
4. Konsolidasi materi baru.
5. Pekerjaan rumah.
6. Ringkasan pelajaran.
KEMAJUAN PELAJARAN
1. Momen organisasi
Guru:“Teman-teman, hari ini kita mulai mempelajari hal-hal penting dan topik yang menarik"Persamaan yang Dapat Direduksi menjadi Persamaan Kuadrat." Anda tahu konsep persamaan kuadrat. Mari kita ingat apa yang kita ketahui tentang topik ini."
Anak sekolah diberikan instruksi:
- Ingat definisi yang terkait dengan topik ini.
- Ingat metode untuk menyelesaikan persamaan yang diketahui.
- Ingatlah kesulitan Anda saat menyelesaikan tugas pada topik yang “dekat” dengan topik ini.
- Ingat cara untuk mengatasi kesulitan.
- Pikirkan kemungkinan tugas penelitian dan cara menyelesaikannya.
- Ingat di mana masalah yang diselesaikan sebelumnya diterapkan.
Siswa mengingat kembali bentuk persamaan kuadrat lengkap, persamaan kuadrat tidak lengkap, syarat-syarat penyelesaian persamaan kuadrat lengkap, cara menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, konsep persamaan utuh, konsep derajat.
Guru menyarankan untuk menyelesaikan persamaan berikut (bekerja berpasangan):
a) x 2 – 10x + 21 = 0
b) 3x 2 + 6x + 8 = 0
c) x (x – 1) + x 2 (x – 1) = 0
Salah satu siswa mengomentari solusi persamaan ini.
3. Mempelajari materi baru
Guru menyarankan untuk mempertimbangkan dan menyelesaikan persamaan berikut ( tugas yang bermasalah):
(x 2 – 5x + 4) (x 2 – 5x + 6) = 120
Siswa berbicara tentang pangkat persamaan tertentu dan menyarankan mengalikan faktor-faktor ini. Namun ada siswa yang memperhatikan istilah yang sama dalam persamaan ini. Metode solusi apa yang bisa diterapkan di sini?
Guru mengajak siswa untuk membuka buku teks (Yu. N. Makarychev “Aljabar-9”, paragraf 11, hal. 63) dan mencari solusi dari persamaan ini. Kelas dibagi menjadi dua kelompok. Siswa yang memahami metode solusi melakukan tugas-tugas berikut:
a) (x 2 + 2x) (x 2 +2x + 2) = –1
b) (x 2 – 7) 2 – 4 (x 2 – 7) – 45 = 0,
sisanya adalah algoritma solusi persamaan tersebut dan menganalisis penyelesaian persamaan berikutnya bersama guru.
(2x 2 + 3) 2 – 12(2x 2 + 3) + 11 = 0.
Algoritma:
– masukkan variabel baru;
– buat persamaan yang berisi variabel ini;
– selesaikan persamaannya;
– substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam substitusi;
– selesaikan persamaan dengan variabel awal;
– periksa akar yang ditemukan, tuliskan jawabannya.
4. Konsolidasi materi baru
Bekerja berpasangan: “kuat” menjelaskan, “lemah” mengulangi, memutuskan.
Selesaikan persamaan:
a) 9x 3 – 27x 2 = 0
b) x 4 – 13x 2 + 36 = 0
Guru:“Mari kita ingat di mana lagi kita menggunakan penyelesaian persamaan kuadrat?”
Siswa:“Saat menyelesaikan kesenjangan; ketika menemukan domain definisi suatu fungsi; saat menyelesaikan persamaan dengan parameter.”
Guru menawarkan tugas opsional. Kelas dibagi menjadi 4 kelompok. Setiap kelompok menjelaskan solusi tugas mereka.
a) Selesaikan persamaan:
b) Temukan domain definisi fungsi:
c) Pada nilai apa A persamaannya tidak mempunyai akar:
d) Selesaikan persamaan: x + – 20 = 0.
5. Pekerjaan rumah
Nomor 221(a, b, c), Nomor 222(a, b, c).
Guru menyarankan untuk menyiapkan pesan:
1. " Informasi sejarah tentang pembuatan persamaan ini" (berdasarkan bahan dari Internet).
2. Metode penyelesaian persamaan di halaman majalah Kvant.
Pencarian sifat kreatif Lakukan sesuai keinginan di buku catatan terpisah:
a) x 6 + 2x 4 – 3x 2 = 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x – 2) – (x 2 + x – 5) / (x 2 + x – 4) = 1
6. Ringkasan pelajaran
Orang-orang memberi tahu kami apa yang baru mereka pelajari dalam pelajaran, tugas apa yang menyebabkan kesulitan, di mana mereka menerapkannya, dan bagaimana mereka mengevaluasi kinerja mereka.
Pelajaran #2
Jenis pelajaran: pelajaran tentang mengkonsolidasikan keterampilan dan kemampuan.
Format pelajaran: lokakarya pelajaran.
Target: mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh, mengembangkan kemampuan untuk memecahkan persamaan tentang topik ini.
Tugas:
- mengembangkan kemampuan menyelesaikan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat;
- mengembangkan keterampilan berpikir mandiri;
- mengembangkan kemampuan untuk melakukan analisis dan mencari informasi yang hilang;
- menumbuhkan aktivitas, kemandirian, disiplin.
Rencana pelajaran:
1. Momen organisasi.
2. Memperbarui pengalaman subjektif siswa.
3. Pemecahan masalah.
4. Kerja mandiri.
5. Pekerjaan rumah.
6. Ringkasan pelajaran.
KEMAJUAN PELAJARAN
1. Momen organisasi
Guru:“Pada pelajaran terakhir kita belajar tentang persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat. Matematikawan manakah yang berkontribusi pada penyelesaian persamaan derajat ketiga dan keempat?”
Siswa yang menyiapkan pesan tersebut berbicara tentang matematikawan Italia abad ke-16.
2. Aktualisasi pengalaman subjektif
1) Memeriksa pekerjaan rumah
Seorang siswa dipanggil ke papan tulis dan memecahkan persamaan yang mirip dengan persamaan di rumah:
a) (x 2 – 10) 2 – 3 (x 2 – 10) – 4 = 0
b) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0
Pada saat ini, untuk menjembatani kesenjangan pengetahuan, siswa “lemah” menerima kartu. Siswa “lemah” mengomentari penyelesaian kepada siswa “kuat”, siswa “kuat” menandai penyelesaian dengan tanda “+” atau “–”.
2) Pengulangan materi teori
Siswa diminta untuk mengisi tabel seperti:
Siswa mengisi kolom ketiga di akhir pembelajaran.
Tugas yang diselesaikan di papan diperiksa. Solusi sampel masih ada di papan.
3. Pemecahan masalah
Guru menawarkan pilihan dua kelompok persamaan. Kelas dibagi menjadi dua kelompok. Yang satu melakukan tugas sesuai model, yang lain mencari metode baru untuk menyelesaikan persamaan. Jika pengambilan keputusan menimbulkan kesulitan, maka siswa dapat beralih ke model – penalaran.
a) (2x 2 + 3) 2 – 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x – 63) (5 x – 18) = 550
b) x 4 – 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 – 7 x 2 + 9 = 0
Kelompok pertama mengomentari solusi mereka, kelompok kedua memeriksa solusi melalui proyektor overhead dan mengomentari metode solusi mereka.
Guru: Teman-teman, mari kita lihat salah satu persamaan menarik: (x 2 – 6 x – 9) 2 = x (x 2 – 4 x – 9).
– Metode apa yang Anda usulkan untuk menyelesaikannya?
Siswa mulai mendiskusikan permasalahan yang ada dalam kelompok. Mereka menyarankan membuka tanda kurung, membawanya istilah serupa, dapatkan seluruh persamaan aljabar derajat keempat dan di antara pembaginya anggota bebas temukan akar utuh, jika ada; lalu faktorkan dan cari akar-akar persamaan tersebut.
Guru menyetujui algoritma solusi dan menyarankan untuk mempertimbangkan metode solusi lain.
Misalkan x 2 – 4x – 9 = t, maka x 2 – 6x – 9 = t – 2x. Kita peroleh persamaan t 2 – 5tx + 4x 2 = 0 dan selesaikan untuk t.
Persamaan awal dipecah menjadi dua persamaan:
x 2 – 4 x – 9 = 4x x = – 1
x 2 – 4 x – 9 = x x = 9
x = (5 + 61)/2 x = (5 – 61)/2
4. Kerja mandiri
Siswa ditawari persamaan berikut untuk dipilih:
a) x 4 – 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 – kamu 2) + 7 (1 – kamu 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 – 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 – 18 x 2 – 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 – 28 = 0
Guru mengomentari persamaan masing-masing kelompok, memperhatikan fakta persamaan tersebut di bawah poin c) memungkinkan siswa untuk memperdalam pengetahuan dan keterampilannya.
Pekerjaan mandiri dilakukan di atas kertas dengan menggunakan kertas karbon.
Siswa memeriksa solusi melalui proyektor overhead setelah bertukar buku catatan.
5. Pekerjaan rumah
No.223(g,e,f), No.224(a,b) atau No.225, No.226.
tugas kreatif.
Tentukan derajat persamaan dan turunkan rumus Vieta untuk persamaan ini:
6. Ringkasan pelajaran
Siswa kembali mengisi kolom “Saya belajar” pada tabel.
Pelajaran #3
Jenis pelajaran: pelajaran review dan sistematisasi pengetahuan.
Format pelajaran: pelajaran adalah sebuah kompetisi.
Tujuan pelajaran: belajar mengevaluasi pengetahuan dan keterampilan Anda dengan benar, menghubungkan kemampuan Anda dengan benar dengan tugas yang ditawarkan.
Tugas:
- mengajari Anda bagaimana menerapkan pengetahuan Anda secara komprehensif;
- mengidentifikasi kedalaman dan kekuatan keterampilan dan kemampuan;
- mendorong organisasi rasional tenaga kerja;
- menumbuhkan aktivitas dan kemandirian.
Rencana pelajaran:
1. Momen organisasi.
2. Memperbarui pengalaman subjektif siswa.
3. Pemecahan masalah.
4. Kerja mandiri.
5. Pekerjaan rumah.
6. Ringkasan pelajaran.
KEMAJUAN PELAJARAN
1. Momen organisasi
Guru:“Hari ini kami akan mengadakan pembelajaran yang tidak biasa, pembelajaran kompetisi. Anda sudah familiar dengan matematikawan Italia Fiori, N. Tartaglia, L. Ferrari, D. Cardano dari pelajaran terakhir.
Pada tanggal 12 Februari 1535, terjadi duel ilmiah antara Fiori dan N. Tartaglia, di mana Tartaglia meraih kemenangan gemilang. Dalam dua jam dia menyelesaikan semua tiga puluh masalah yang diajukan oleh Fiori, sementara Fiori tidak menyelesaikan satu pun masalah Tartaglia.
Berapa banyak persamaan yang dapat Anda selesaikan dalam satu pelajaran? Metode apa yang harus Anda pilih? Matematikawan Italia menawarkan persamaannya kepada Anda.”
2. Aktualisasi pengalaman subjektif
Pekerjaan lisan
1) Bilangan manakah: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 yang merupakan akar-akar persamaan:
a) x 3 – x = 0 b) kamu 3 – 9 kamu = 0 c) kamu 3 + 4 kamu = 0?
– Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan derajat ketiga?
– Metode apa yang akan Anda gunakan untuk menyelesaikan persamaan ini?
2) Periksa solusi persamaan tersebut. Temukan kesalahan yang Anda buat.
x 3 – 3x 2 + 4x – 12 = 0
x 2 (x – 3) + 4 (x – 3) = 0
(x – 3)(x 2 + 4) = 0
(x – 3)(x + 2)(x – 2) = 0
x = 3, x = – 2, x = 2.
Bekerja berpasangan. Siswa menjelaskan cara menyelesaikan persamaan dan kesalahan yang mereka buat.
Guru:“Kalian hebat! Anda telah menyelesaikan tugas pertama matematikawan Italia.”
3. Pemecahan masalah
Dua siswa di papan tulis:
a) Tentukan koordinat titik potong dengan sumbu koordinat grafik fungsi: 
b) Selesaikan persamaan: 
Siswa di kelas memilih untuk menyelesaikan satu atau dua tugas. Siswa di dewan secara konsisten mengomentari tindakan mereka.
4. Kerja mandiri “end-to-end”.
Kumpulan kartu disusun menurut tingkat kesulitan dan pilihan jawaban.
1) x 4 – x 2 – 12 = 0
2) 16 x 3 – 32 x 2 – x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 – 7 (x 2 + 2 x) – 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = – 1
5) x 4 + x 3 – 4 x 2 + x + 1 = 0
Jawaban yang mungkin:
1) a) – 2;
2b) – 3; 3 c) tidak ada solusi
2) a) – 1/4;
1/4b) – 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) – 4; 1;
5. Pekerjaan rumah
2b) –1; 1; – 4; 2 c) – 4; 2
4) a) – 2; – 1;. b) – 2; – 1; 1 c) 1; 2
5) a) – 1; (– 3 + 5) /2 b) 1; (– 3 – 5) /2 c) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.
Kumpulan tugas ujian tertulis aljabar : No. 72, No. 73 atau No. 76, No. 78.
Tugas tambahan
Tentukan nilai parameter a yang persamaannya x 4 + (a 2 – a + 1) x 2 – a 3 – a = 0
Persamaan bikuadrat
a) memiliki akar tunggal; b) mempunyai dua akar yang berbeda;
c) tidak mempunyai akar.
Persamaan direduksi menjadi kuadrat.
Persiapan awal
1) untuk pelajaran: pertimbangan metode penyelesaian persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat;
2) pendidikan: pelatihan keterampilan kerja kelompok, aktivitas sadar siswa;
3) berkembang: perkembangan aktivitas mental siswa, keterampilan interaksi antar siswa, kemampuan menggeneralisasi fakta yang dipelajari.
Peralatan: kisi-kisi teka-teki silang pada kartu, kartu, poster - rencana perjalanan, catatan di papan, kode positif, salinan karbon.
Jenis pelajaran: perjalanan pelajaran keliling negeri “Matematika”.
Kemajuan pelajaran
SAYA. Momen organisasi
Rencana perjalanan, yang mencantumkan nama stasiun, ditampilkan pada slide.
Hari ini kita akan melakukan perjalanan melintasi negeri Matematika. Mari kita singgah di kota Persamaan derajat ketiga dan keempat, lanjutkan perkenalan kita dengan persamaan biquadratic, dan dengarkan laporan tentang matematikawan Italia.
II. Bepergian keliling negara "Matematika"
1. Stasiun untuk pecinta teka-teki silang.
Kisi-kisi dengan jawaban sudah direkam sebelumnya pada kode positif atau aktif sisi belakang papan.
Anda masing-masing memiliki kartu dengan kotak teka-teki silang dan pertanyaan. Letakkan di bawah kartu batu tulis kosong dan salinan karbon. Tulis jawaban Anda hanya di kasus nominatif. Pecahkan teka-teki silang, serahkan kartunya, dan lakukan tes mandiri pada lembar tersebut.
Horisontal:
4. Apa ungkapannya? B 4 – 4ac untuk persamaan kuadrat dengan koefisien A, B, C? (Diskriminan.)
6. Nilai variabel yang persamaannya berubah menjadi persamaan sejati. (Akar.)
8. Persamaan bentuk kapak 4 + bx 2 + C = 0, dimana A ≠ 0. (Biquad.)
9. Matematikawan Perancis. (Vietnam)
10. Persamaan yang ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi bilangan bulat. (Utuh.)
11. Persamaan dengan satu variabel yang mempunyai himpunan akar-akar yang sama. (Setara.)
Vertikal:
1. Himpunan akar-akar persamaan. (Larutan.)
2. Penyelesaian persamaan Oh 2 = 0. (Nol.)
3. Kesetaraan yang mengandung variabel. (Persamaan.)
5. Persamaan kuadrat yang salah satu koefisiennya B atau C sama dengan 0. (Tidak lengkap.)
7. Persamaan kuadrat yang koefisiennya pertama sama dengan satu. (Ditambahkan.)
2. Stasiun "Istoricheskaya".
Memeriksa pekerjaan rumah.
Kami bersama Anda di stasiun Istoricheskaya. Kita akan mendengar laporan siswa tentang matematikawan besar Italia. Dengarkan baik-baik. Anda juga bisa mendapatkan “5” untuk tambahan yang menarik.
Murid. Matematikawan Italia abad ke-16 memberikan kontribusi besar terhadap masalah penyelesaian persamaan derajat 3 dan 4. N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano, L. Ferrari dan lain-lain. Pada tahun 1535, duel ilmiah terjadi antara A. Fiore dan N. Tartaglia, di mana N. Tartaglia meraih kemenangan gemilang. Dalam 2 jam ia memecahkan 30 masalah yang diajukan oleh A. Fiore, dan A. Fiore sendiri tidak dapat menyelesaikan satu pun masalah yang diberikan kepadanya oleh N. Tartaglia.
Guru. Apakah ada tambahan? Siapa lagi yang menyiapkan laporan tentang matematikawan Italia?
Pesan yang disiapkan oleh siswa didengarkan. Setiap pesan akan memakan waktu 2-3 menit.
Guru. Jadi, N. Tartaglia menyelesaikan 30 soal dalam waktu 2 jam. Berapa banyak persamaan yang bisa kamu selesaikan? Solusi apa yang akan Anda pilih?
3. Kota Persamaan ( bagian lisan)
Ini bukan hanya kota Persamaan, tapi persamaan derajat ketiga dan keempat. Anda harus menjawab semua pertanyaan. Hanya dengan menjawabnya Anda dapat melanjutkan.
Tugas 1. Bagaimana Anda menyelesaikan persamaan untuk setiap kelompok?
1) X 3 – X = 0, X 3 + 9X = 0, X 4 – 4X 2 = 0, pada 4 – 16 = 0.
2) 9pada 3 - 18pada 2 – kamu + 2 = 0, x 3 – 5X 2 + 16X – 80 = 0, 6pada 4 – 3pada 3 + 12pada 2 – 6pada = 0.
3) (pada 2 – pada + 1)(pada 2 – pada – 7) = 65, (X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0,
(X 2 + X – 1)(X 2 + X + 2) = 40.
Jawaban:
Contoh kelompok 1) paling baik diselesaikan dengan memfaktorkan dengan mengeluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung atau menggunakan rumus perkalian yang disingkat.
Contoh kelompok 2) lebih baik diselesaikan dengan pengelompokan dan faktorisasi.
Contoh kelompok 3) lebih baik diselesaikan dengan memasukkan variabel baru dan beralih ke persamaan kuadrat.
Tugas 2. Faktor apa yang akan Anda keluarkan dari tanda kurung pada contoh tugas kelompok 1) 1?
Jawaban: X(X 2 – 1) = 0,
X(X 2 + 9) = 0,
X 2 (X 2 – 4) = 0.
Tugas 3. Bagaimana Anda mengelompokkan suku-suku pada contoh kelompok 2) tugas 1?
Jawaban: (9pada 3 – 18pada 2) – (pada – 2) = 0,
(X 3 – 5X 2) + (16X – 80) = 0,
(6pada 4 – 3pada 3) + (12pada 2 – 6pada) = 0.
Tugas 4. Apa yang akan Anda nyatakan dengan variabel baru dalam contoh kelompok 3) tugas 1?
Jawaban: pada 2 – pada = T,
X 2 + 2X = T,
X 2 + X = T.
Tugas 5. Bagaimana cara memfaktorkan polinomial? pada 4 – 16 = 0?
Menjawab: (pada 2 – 4)(pada 2 + 4) = (pada – 2)(pada + 2)(pada 2 + 4) = 0.
4. Kota Persamaan. Bagian praktis.
Sudahkah Anda mengatasinya pekerjaan lisan di kota Persamaan, dan kami berangkat untuk melakukan perjalanan lebih jauh melalui ini kota yang menarik dan terus berkenalan persamaan yang menarik.
Tugas 6.
Dua siswa menyelesaikan tugas di papan pada waktu yang sama.
A) Siswa pertama memecahkan masalah di papan tulis dengan penjelasan.
9X 3 – 18X 2 – x + 2 = 0.
B) Siswa kedua memecahkan persamaan dalam hati, kemudian menjelaskan penyelesaiannya, kelas mendengarkan dan mengajukan pertanyaan jika ada yang kurang jelas.
X 3 + X 2 – 4(X + 1) 2 = 0.
Tugas 7. Selesaikan persamaannya (lihat lampiran.)
Tugas diselesaikan secara mandiri sesuai pilihan. Sebelumnya, bersama guru, mereka mempertimbangkan kemungkinan pengganti pengenalan variabel baru. Diperiksa secara lisan.
PilihanSAYA.
(X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0.
X 2 + 2X = T.
PilihanII.
(X 2 – X + 1)(X 2 – X – 7) = 0.
Substitusi untuk memperkenalkan variabel baru X 2 - X = T.
Tugas 8.
Tugas tambahan bagi mereka yang bisa mengatasi persamaan sebelumnya tadi.
(2X 2 + X – 1)(2X 2 + X – 4) + 2 = 0.
Substitusi untuk memasukkan variabel baru 2 X 2 + X = T.
Tugas 9. Selesaikan persamaannya.
Siswa mengomentari kemajuan solusi dari tempat duduk mereka.
X 4 (X + 1) – 6X 2 (X + 1) + 5(X + 1) = 0.
Larutan. Kami akan mengeluarkannya pengganda umum:
(X+ 1)(X 4 – 6X 2 + 5) = 0, dari mana X+ 1 = 0 atau X 4 – 6X 2 + 5 = 0, yaitu atau X= -1, atau
X 4 – 6X 2 + 5 = 0. Persamaan terakhir bersifat bikuadrat:
X 2 = T,
T 2 - 6 T + 5 = 0.
Menurut teorema, kebalikan dari teorema Vietnam T 1 + T 2 = 6, T 1 · T 2 = 5. Oleh karena itu T 1 =1, T 2 = 5. Jadi X 2 = 1, atau X 2 = 5, dari mana X 1,2 = ± 1, X 3,4 = ±.
Menjawab:- 1, 1, -, .
Tugas 10. Selesaikan persamaannya.
Pertama, guru mendiskusikan solusinya dengan kelas. Siswa kemudian memecahkan sebagian dari contoh di papan tulis.
(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) = 360.
Larutan. Mari kita kelompokkan faktor-faktornya terlebih dahulu:
((X + 1)(X+ 4)) · (( X + 2)(X + 3)) = 360,
(X 2 + 5X + 4)(X 2 + 5X + 6) = 360,
Membiarkan X 2 + 5X= T, Kemudian ( T + 4) ( T + 6) = 360.
T 2 + 10T + 24 – 360 = 0,
T + 10T – 336 = 0,
D= 100 + 4 336 = 1444 = 38 2.
Di mana T 1 = = 14, T 2 = = - 24.
Cara, X 2 + 5X= 14 atau X 2 + 5X= -24, yaitu X 2 + 5X– 14 = 0 atau X 2 + 5X + 24 = 0.
Dalam kasus kedua D= 25 – 4 24 = -71
Dalam kasus pertama ada dua akar X 1 = -7, X 2 = 2.
Menjawab: - 7; 2.
Tugas 11. Selesaikan persamaannya. (Lihat lampiran.)
Orang yang menyelesaikan persamaan paling biquadratic dengan benar dalam 10 menit akan menerima nilai “5”. Siswa bekerja secara mandiri diikuti dengan peer review.
A) X 4 – 5X 2 – 36 = 0,
B) pada 4 – 6pada 2 + 8 = 0,
c) 4 X 4 – 5X 2 + 1 = 0,
G) X 4 – 25X 2 + 144 = 0,
e) 5 pada 4 – 5pada 2 + 2 = 0,
e) T 4 – 2T 2 – 3 = 0.
Tugas 12. Pada nilai apa A persamaan T 2 + pada+ 9 = 0, tidak punya akar? (lihat lampiran.)
Contoh ini untuk pengulangan.
5. Stasiun rumah
Anda telah sampai di stasiun Domashnyaya. Mendapatkan pekerjaan rumah.
Tugas 13. Selesaikan persamaan matematikawan Italia:
(3X 2 + X – 4) 2 + 3X 2 + X= 4. (lihat lampiran.)
Tugas 14. Temukan dan selesaikan 3-4 persamaan yang diajukan oleh A. Fiore dan N. Tartaglia.
AKU AKU AKU. Menyimpulkan pelajaran.
Perjalanan kita sudah berakhir. Jadi, hitung berapa banyak persamaan yang Anda pecahkan masing-masing.
Dalam 2 pelajaran seluruh kelas memecahkan... persamaan. Nilai pelajaran...
Aplikasi
Solusi
Tugas 6.
A) Larutan.
9X 2 (X – 2) – (X – 2) = 0,
(X – 2)(9X 2 – 1) = 0,
X– 2 = 0, atau 9 X 2 – 1 = 0,
X= 2 atau X 2 = , yaitu X 1,2 = ±.
Menjawab: - ; ; 2.
B) Larutan.
X 2 (X + 1) – 4(X + 1) 2 = 0,
(X + 1)(X 2 – 4X – 4) = 0,
X+ 1 = 0 atau X 2 – 4X – 4 = 0,
X= - 1, atau X 1,2 = = 2 .
Menjawab: - 1; 2 - 2; 2 + 2.
Tugas 7.
PilihanSAYA.
Larutan. Penggantian X 2 + 2X = T, Kemudian:
T 2 – 2T – 3 = (T + 1)(T – 3) = 0.
X 2 + 2X= - 1 atau X 2 + 2X= 3,
X 2 + 2X+ 1 = 0 atau X 2 + 2X – 3 = 0,
(X+ 1) 2 = 0 atau ( X + 3)(X– 1) = 0.
Menjawab: - 3; - 1, 1.
PilihanII.
Larutan. Penggantian
