Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Už

Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų prireiks? Kodėl turėtumėte skirti laiko jų studijoms?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias kasdienybė perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinios priartins jus prie sėkmės pravažiavęs OGE arba vieningą valstybinį egzaminą ir stojimą į savo svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

ĮĖJIMO LYGIS

Pakelti į valdžią yra tas pats matematinis veiksmas kaip sudėjimas, atimtis, daugyba ar padalijimas.

Dabar aš viską paaiškinsiu žmonių kalba labai paprasti pavyzdžiai. Būkite atsargūs. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti skirtingai: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat kolos butelių, ir sugalvojo metodą, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

Kokių dar protingų skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui,. Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos laipsnio yra... Ir tokias problemas jie išsprendžia savo galvose – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl jis vadinamas antruoju laipsniu? kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys vienas metras ir vienas metras. Baseinas yra jūsų vasarnamyje. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet... baseinas neturi dugno! Baseino dugną reikia iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Rodydami pirštu galite tiesiog apskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei turite plyteles po vieną metrą, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur jūs matėte tokias plyteles? Plytelė greičiausiai bus cm po cm Ir tada būsite kankinami „skaičiuojant pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi, vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginkite iš ir gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių padauginome iš savęs? Ką tai reiškia? Kadangi dauginame tą patį skaičių, galime naudoti „eksponentavimo“ techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti į laipsnį yra daug lengviau, be to, skaičiavimuose pasitaiko mažiau klaidų Vieningam valstybiniam egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, nuo trisdešimties iki antros galios bus (). Arba galime pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norint apskaičiuoti jų skaičių, reikia aštuonis padauginti iš aštuonių arba... jei pastebite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tuomet galite kvadratu aštuonis. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnė. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Beje, tūriai ir skysčiai matuojami kubinių metrų. Netikėta, tiesa?) Nupieškite baseiną: metro dugną ir metro gylį ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys metras ir metras, tilps į jūsų baseiną.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys...Kiek gavote? Nepametėte? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? tai viskas! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams...Taip lengviau, ar ne?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie taip pat supaprastintų. Viską sumažinome iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius dauginamas iš savęs... Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką kartą suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kubeliai yra lygūs. Parašyta taip: .

Viskas, kas lieka, yra prisimink laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, kad pagaliau jus įtikintume, kad laipsnius sugalvojo metantys rūkyti ir gudrūs žmonės, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemos, o kad nesukurtumėte jums problemų, čia yra dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.

4 realaus gyvenimo pavyzdys

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir... kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais - du padauginti iš dviejų... antraisiais - kas atsitiko, dar iš dviejų, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš karto. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris gali skaičiuoti greičiausiai, gaus šiuos milijonus... Verta prisiminti skaičių galias, ar nemanote?

5 pavyzdys realiame gyvenime

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate dar dviem. Puiku, ar ne? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtajai laipsniai jis lygus milijonui. Tik reikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Sąvokos ir sąvokos... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ar manote kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprasčiau - tai numeris, esantis apačioje, prie pagrindo.

Štai geras brėžinys.

Gerai viduje bendras vaizdas, siekiant apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze " " ir rodikliu " " yra skaitomas kaip "laipsnis" ir rašomas taip:

Skaičiaus c galia natūralus rodiklis

Tikriausiai jau atspėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas tai yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai – tai tie skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis penkių taškų“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. sveikieji skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. Ką reiškia neigiami („minuso“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia norėdami nurodyti skolas: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs skaičiai... Įdomu, ar ne?

Yra ir daugiau neracionalūs skaičiai. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Tęsti:

Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (ty sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.

1. Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam:
2. Skaičiaus kvadratas reiškia jį padauginti iš savęs:
3. Suskaidyti skaičių kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinkite skaičių iki natūralus laipsnis- reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:
.

Laipsnių savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau dabar parodysiu.

Pažiūrėkime: kas tai yra Ir ?

Pagal apibrėžimą:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie faktorių pridėjome daugiklius, o rezultatas yra daugikliai.

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti identiškais pagrindais!
Todėl mes sujungiame galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

2. štai ir viskas skaičiaus laipsnis

Kaip ir su ankstesne savybe, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Galiomis natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net.

Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, tai veikia.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Visa vadiname natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su " " ženklu) ir skaičiumi.

visa teigiamas skaičius , ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, paklauskime savęs: kodėl taip yra?

Panagrinėkime tam tikrą laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, kas buvo - . Iš kokio skaičiaus padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, įjungti. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kuriam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius nuliniam laipsniui, jis turi būti lygus. Taigi, kiek tame yra tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė kelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar negalime ne tik dalyti iš nulio, bet ir pakelti iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai taip pat apima neigiamus skaičius. Norėdami suprasti, kas tai yra neigiamas laipsnis, darykime kaip nurodyta paskutinį kartą: padauginkite įprastą skaičių iš to paties skaičiaus iki neigiamo laipsnio:

Iš čia lengva išreikšti tai, ko ieškote:

Dabar išplėskime gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius iki neigiamo laipsnio yra to paties skaičiaus atvirkštinė vertė teigiamas laipsnis. Bet tuo pačiu Bazė negali būti nulinė:(nes negalima dalyti iš).

Apibendrinkime:

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Problemų analizė savarankiškam sprendimui:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet vieningo valstybinio egzamino metu turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimus, jei negalėjote jų išspręsti, ir išmoksite lengvai su jais susidoroti egzamine!

Toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar pasvarstykime racionalūs skaičiai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: viskas, kas gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai, ir.

Norėdami suprasti, kas tai yra "dalinis laipsnis", apsvarstykite trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisiminkime taisyklę apie "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, laipsnio šaknis yra atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija: .

Pasirodo, kad. Akivaizdu, kad tai ypatingas atvejis galima išplėsti: .

Dabar pridedame skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą lengva gauti naudojant galios į galią taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk negalima išgauti šaknies iš visų skaičių.

Nieko!

Prisiminkime taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išgauti net šaknų!

Tai reiškia, kad tokių skaičių negalima padidinti trupmeninė galia su lyginiu vardikliu, tai yra, posakis neturi prasmės.

O kaip su išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, redukuojamos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet jei rodiklį užrašysime kitaip, vėl pateksime į bėdą: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtume tokių paradoksų, svarstome tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

• — natūralusis skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsniai su racionalus rodiklis labai naudinga konvertuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 praktikos pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, dabar ateina sunkiausia dalis. Dabar mes tai išsiaiškinsime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi

Galų gale, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...skaičių iki nulio laipsnio- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent skaičius;

...laipsnis su sveikuoju skaičiumi neigiamas rodiklis - tarsi įvyko kažkoks „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su kompleksiniu rodikliu, tai yra, rodiklis nėra lygus realus skaičius.

Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo įprastos galios pakėlimo į laipsnį taisyklės:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio nustatymas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

• — laipsnio bazė;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliu rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

Statyba iki nulio laipsnio:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra neigiamas sveikasis skaičius numeris:

(nes negalima dalyti iš).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei, tada.

Pavyzdžiai:

Galia su racionaliuoju rodikliu

• — natūralusis skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnių savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

Pagal apibrėžimą:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gauname tokį produktą:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, tai yra:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys. Todėl mes deriname galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

Dar vienas dalykas svarbi pastaba: tai yra taisyklė - tik galių sandaugai!

Jokiomis aplinkybėmis negali to rašyti.

Kaip ir su ankstesne savybe, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pergrupuokime šį darbą taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai gali būti vadinama „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso: !

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol mes tik aptarėme, koks jis turėtų būti indikatorius laipsnių. Bet kas turėtų būti pagrindas? Galiomis natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net. Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime - .

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galime suformuluoti taip paprastos taisyklės:

1. net laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kokiai galiai yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimename, tai tampa aišku, taigi ir pagrindas mažiau nei nulis. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir padalijame juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš išardydami paskutinė taisyklė, išspręskime kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite išraiškas:

Sprendimai :

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek iš viso yra raidžių? kartų pagal daugiklius – ką tai jums primena? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: Ten buvo tik daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su eksponentu laipsnis:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs kartų, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, vadinasi, pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias numeris“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu eksponentu - tarsi įvyktų koks nors „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Tai veikiau grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalus rodiklis laipsnių? Stengiamės jo atsikratyti :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Atsakymai:

SKYRIUS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS SANTRAUKA

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Galia su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnių savybės

Laipsnių ypatumai.

• Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
• Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
• Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TU TURITE ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Žemiau komentaruose parašykite, ar patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį naudojant laipsnio savybes.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją daugumą jūsų bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Skaičiuoklė padeda greitai padidinti skaičių iki galios internete. Laipsnio pagrindas gali būti bet koks skaičius (ir sveikieji, ir realieji skaičiai). Rodiklis taip pat gali būti sveikas arba realus skaičius, taip pat gali būti teigiamas arba neigiamas. Atminkite, kad neigiamų skaičių atveju didinimas iki ne sveikojo skaičiaus laipsnio yra neapibrėžtas, todėl skaičiuotuvas praneš apie klaidą, jei bandysite tai padaryti.

Laipsnio skaičiuoklė

Pakelti į valdžią

Eksponentiniai koeficientai: 24601

Kas yra natūrali skaičiaus galia?

Skaičius p vadinamas n-tuoju skaičiaus laipsniu, jei p yra lygus skaičiui a, padaugintam iš savęs n kartų: p = a n = a·...·a
n - paskambino eksponentas, o skaičius a yra laipsnio pagrindu.

Kaip pakelti skaičių iki natūralios galios?

Norėdami suprasti, kaip statyti skirtingi skaičiai apie natūralias galias, apsvarstykite keletą pavyzdžių:

1 pavyzdys. Pakelkite skaičių tris iki ketvirtos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 3 4
Sprendimas: kaip minėta aukščiau, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Atsakymas: 3 4 = 81 .

2 pavyzdys. Pakelkite skaičių penktą iki penktos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 5 5
Sprendimas: panašiai, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Atsakymas: 5 5 = 3125 .

Taigi, norint padidinti skaičių iki natūralios laipsnio, tereikia jį padauginti iš savęs n kartų.

Kas yra neigiama skaičiaus galia?

Šiuo atveju neigiama galia egzistuoja tik nuliniams skaičiams, nes kitaip įvyktų padalijimas iš nulio.

Kaip padidinti skaičių iki neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio?

Norėdami pakelti ne nulį skaičių iki neigiamo laipsnio, turite apskaičiuoti šio skaičiaus reikšmę iki tos pačios teigiamos galios ir padalyti vieną iš rezultato.

1 pavyzdys. Pakelkite skaičių du iki neigiamos ketvirtosios laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 2 -4

Atsakymas: 2 -4 = 0.0625 .

2 (dviejų) laipsnių lentelė nuo 0 iki 32

Toliau pateiktoje lentelėje, be dviejų galių, rodomi didžiausi skaičiai, kuriuos kompiuteris gali saugoti duotas numerisšiek tiek. Be to, tiek sveikiesiems skaičiams, tiek skaičiams su ženklu.

Istoriškai kompiuteriai naudojo dvejetainę skaičių sistemą ir atitinkamai duomenų saugojimą. Taigi bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip nulių ir vienetų (informacijos bitų) seka. Yra keletas būdų, kaip pateikti skaičius kaip dvejetainę seką.

Panagrinėkime paprasčiausią iš jų - tai teigiamas sveikasis skaičius. Tada kas didesnis skaičius mums reikia rašyti, tuo ilgesnės bitų sekos mums reikia.

Žemiau yra 2 skaičiaus galių lentelė. Tai parodys reikiamą bitų skaičių, kurio mums reikia numeriams išsaugoti.

Kaip vartoti numerio antrojo galių lentelė?

Pirmas stulpelis yra dviejų galia, kuris vienu metu žymi bitų skaičių, kuris reiškia skaičių.

Antras stulpelis – reikšmė du iki atitinkamo laipsnio (n).

2 galios radimo pavyzdys. Pirmame stulpelyje randame skaičių 7 Mes žiūrime išilgai linijos į dešinę ir randame vertę nuo dviejų iki septintojo laipsnio(2 7) yra 128

Trečias stulpelis - didžiausias skaičius, kurį galima pavaizduoti naudojant tam tikrą bitų skaičių(pirmoje skiltyje).

Didžiausio beženklio sveikojo skaičiaus nustatymo pavyzdys. Naudodami duomenis iš ankstesnio pavyzdžio žinome, kad 2 7 = 128. Tai tiesa, jei norime suprasti, ką skaičių skaičius, gali būti pavaizduotas naudojant septynis bitus. Bet, kadangi pirmasis skaičius yra nulis, tada didžiausias skaičius, kurį galima pavaizduoti naudojant septynis bitus, yra 128 – 1 = 127. Tai yra trečiojo stulpelio reikšmė.

Stafilokokas laikomas oportunistiniu mikroorganizmu. Tačiau jo perteklius yra nepalankios paciento sveikatos būklės rodiklis. Norint laiku išvengti infekcinių procesų, būtinas šios bakterijos tyrimas.

Kas tai per mikroorganizmas?

Tai yra labiausiai paplitęs mikroorganizmas, su kuriuo susiduria žmonės. Yra daug bakterijų porūšių - auksinis, epidermio ir kiti. Jis gyvena ant odos, gleivinių ir žmogaus žarnyne. Esant susiformavusiam vietiniam imunitetui ir normaliai mikrofloros pusiausvyrai, stafilokokas ligoniui nepavojingas.

Jei yra kokių nors veiksnių, kurie silpnina imuninę sistemą, arba pacientas susiduria didelis skaičius bakterijos (dauguma dažnas pavyzdys- apsinuodijimas maistu), taip pat pažeidžiama gleivinė, atsiranda stafilokokų sukelti uždegiminiai procesai.

Stafilokoko analizė leidžia įvertinti, kokia didelė rizika susirgti bakterinės infekcijos. Dažnai aktyvus bakterijų augimas niekaip nepasireiškia ir neturi išoriniai ženklai, o jo buvimą galima nustatyti tik laboratoriniais metodais.

Tyrimų tipai

Kadangi stafilokokas gyvena visur, yra daugybė testų, kurie gali jį aptikti. Kiekvienam tipui yra tam tikros taisyklės medžiagos rinkimas ir paruošimas. Vienas iš bendrosios taisyklės– dvi savaites iki tyrimo negalima vartoti antibiotikų.

1. Kraujo tyrimas. Reikalingas veninis kraujas ir dovanojamas gydymo įstaiga. Indikacijos: sepsis, jo įtarimas, didelis infekcijos židinys organizme.
2. Žaizdų išskyrų tyrimas. Gydymo įstaigoje analizei paimamas tepinėlis. Indikacijos: pūlingos žaizdos buvimas.
3. Šlapimo ir išmatų tyrimas. Pacientas renka medžiagą savarankiškai, reikalingas sterilus laboratorinis indas. sterilumas - svarbi sąlyga kad pašaliniai mikroorganizmai neiškreiptų rezultato. Indikacijos: Urogenitalinių takų ligos ir žarnyno infekcijos.
4. Tamponas iš gleivinės, dažniausiai nosies ar makšties. Medžiagą surenka gydytojas apžiūros metu, tai greita ir neskausminga procedūra. Indikacijos: infekcinės ENT organų ar lytinių takų ligos moterims.

Kiekvienas iš šių testų patvirtina arba paneigia bakterijų peraugimą. Tai pačiai medžiagai galima atlikti ir jautrumo antibiotikams tyrimą. Esant infekcinėms ligoms, tai daroma nedelsiant, profilaktinio patikrinimo metu – gydytojo nuožiūra.

Kokia turėtų būti norma?

Normalus rezultatas priklauso nuo terpės, iš kurios paimtas tepinėlis. Iš esmės galioja taisyklė: kuo mažiau, tuo geriau.

• Kraujas ir šlapimas sveikas žmogus sterilus, be bakterijų.
• Sveiko paciento išmatose yra nedaug mikroorganizmų – stafilokokai nėra žarnyno mikrofloros pagrindas. Teigiamas rezultatas kalba apie bakterijų nešiojimą arba pūlingą ligą.
• Infekcijos buvimas žaizdoje rodo pūlingą infekciją arba didelę jos vystymosi riziką.
• Ant gleivinės viršutinė normos riba laikoma 10*6 laipsnių – jei bakterijų daugiau, tai rodo ligos buvimą.

Pasirinkti rodikliai

Rezultatas pateikiamas kaip skaičius – tai yra bakterijų ląstelių, kurios tapo kolonijos (CFU) pagrindu, skaičius 1 ml terpės. Bandymas atliekamas maistinė terpė bakterijoms - tiriama medžiaga dedama į specialų uždarą indą, o jei yra patogenų, jie pradės aktyviai daugintis.

Iš vieno medžiagos mėginio susidarančių kolonijų skaičius yra proceso sunkumo rodiklis. Mažesnis nei 10 kolonijų augimas viename mėginyje laikomas normaliu gleivinės ir odos atveju. Nuo 10 iki 100 kolonijų yra asimptominio patogeno pernešimo rodiklis. Yra daugiau nei 100 kolonijų aiškus ženklas ligų.

10 iki 2 laipsnio

• Jei toks indikatorius randamas ant odos, nosies ar gerklės, tai yra normos variantas. Tokiu atveju nereikia imtis jokių veiksmų. Jei yra kokių nors odos problemų, jas sukelia kiti mikroorganizmai.
• Jei tokia koncentracija randama išmatose, tada gerai jaustis tai laikoma norma. Gydytojas gali suteikti jums mitybos rekomendacijų. Jei yra virškinimo sutrikimų, pacientas turi pradėti gydyti disbiozę.
• Makštyje toks rezultatas būdingas 3 ar 4 grynumo tepinėliui. Tai nereiškia ligos, bet skatina ją. Patartina atlikti makšties higieną, tačiau tai nėra skubu. Toks rezultatas tampa pavojingas tik nėštumo metu.
• Šlapime mažas kiekis stafilokokas gali rodyti uždegiminį procesą arba trumpalaikę bakteriuriją. Pakartotinis šlapimo mėginių ėmimas reikalingas po 2-3 dienų.
• Bet koks mikroorganizmų skaičius kraujyje yra pavojingas ženklas. Jei nėra sepsio simptomų, pakartotinį tyrimą reikia atlikti praėjus 2-3 dienoms po rezultatų gavimo.
• Tokio skaičiaus mikroorganizmų atsiradimas žaizdoje nėra svarbus diagnostinis požymis. Reikalinga pakartotinė analizė.

10 iki 3

• Ši vertė yra gana normali odai. Burnos ir nosies gleivinė tokį rezultatą rodo ir normaliai, ir prasidėjus ligoms.
• Reikia pakartotinės analizės išmatose.
• Makštyje situacija panaši į ankstesnį tašką.
• Šlapime – greičiausiai yra uždegiminis šlapimo takų procesas (urolitiazė, rečiau cistitas).
• Žaizdoje yra ženklas didelė rizika pūlingos infekcijos vystymasis.

10 4 val

• Tvirtinama ant odos nuo spuogų lengvas laipsnis, bet galima stebėti normaliai.
• Nosies ir ryklės gleivinė yra lėtinių kvėpavimo takų infekcijų požymis.
• Išmatose - bakterijų nešiotis ar disbakteriozė pacientui nerekomenduojama dirbti maisto produktai arba kontaktas su vaikais (sanitarijos reikalingos), kitais atvejais nebūtina.
• Makštyje – indikatorius aktyvus augimas patogeninė mikroflora.
• Šlapime jis būdingas urolitiazei ir cistitui remisijos metu.
• Žaizdoje – rodo, kad prasidėjo infekcinis procesas.

10 5 val

• Ant odos - spuogai, furunkuliozė, galima pastebėti sveikiems žmonėms.
• Nosiaryklės – lėtinės kvėpavimo takų patologijos, peršalimas su komplikacijų rizika.
• Išmatos yra nešiotojai arba aktyvi infekcija.
• Makštyje – bakterinis vaginitas.
• Šlapimas – ūminis cistitas.

10 6 val

• Ant odos - viršutinė riba normalios vertės, gali atsirasti su spuogais įvairaus laipsnio išraiškingumas.
• Nosiaryklėje – nuo ​​infekcinių ligų.
• Kitos aplinkos – ūminis uždegiminis procesas.

Išvada

Laiku nustatyti ligos sukėlėją būtina įvairių sveikatos problemų gydymui ir profilaktikai. Visų pirma, tai liečia odą ir gleivines, nes būtent ten dažniausiai aptinkama patogeninė mikroflora. Galite kovoti su antibiotikais ir imunitetą didinančiomis priemonėmis (bendruoju ir vietiniu). Taip pat nepamirškite asmeninės higienos, tinkama mityba ir grūdinimas.