Iš sveikųjų skaičiaus eksponentų a perėjimas į racionalus rodiklis. Žemiau apibrėšime laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir tai padarysime taip, kad būtų išsaugotos visos laipsnio su sveikuoju rodikliu savybės. Tai būtina, nes sveikieji skaičiai yra racionaliųjų skaičių dalis.

Yra žinoma, kad racionaliųjų skaičių aibę sudaro sveikieji skaičiai ir trupmenos, ir kiekvienas trupmeninis skaičius gali būti pavaizduotas kaip teigiamas arba neigiamas bendroji trupmena. Ankstesnėje pastraipoje apibrėžėme laipsnį sveikuoju rodikliu, todėl norėdami užbaigti laipsnio apibrėžimą racionaliuoju rodikliu, turime suteikti reikšmės skaičiaus laipsniui a Su trupmeninis rodiklis m/n, Kur m yra sveikasis skaičius ir n- natūralus. Padarykime tai.

Panagrinėkime laipsnį su formos trupmeniniu rodikliu. Kad galios į valdžią savybė liktų galioti, turi galioti lygybė . Jei atsižvelgsime į gautą lygybę ir į tai, kaip nustatėme laipsnio n-ąją šaknį, tai logiška priimti, su sąlyga, kad duota m, n Ir a posakis turi prasmę.

Nesunku patikrinti, ar galioja visos laipsnio savybės su sveikuoju rodikliu (tai buvo padaryta laipsnio su racionaliuoju rodikliu ypatybės).

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums padaryti šiuos dalykus išvada: jei pateikti duomenys m, n Ir a išraiška turi prasmę, tada skaičiaus galia a su trupmeniniu rodikliu m/n vadinama šaknimi n laipsnis a iki laipsnio m.

Šis teiginys priartina mus prie laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimo. Belieka tik aprašyti prie ko m, n Ir a posakis turi prasmę. Priklausomai nuo taikomų apribojimų m, n Ir a Yra du pagrindiniai požiūriai.

1. Lengviausias būdas yra nustatyti apribojimą a, priėmęs a≥0 už teigiamą m Ir a>0 už neigiamą m(nuo kada m≤0 laipsnį 0 m neapibrėžtas). Tada gauname sekantį apibrėžimą laipsnių su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Teigiamo skaičiaus galia a su trupmeniniu rodikliu m/n , Kur m- visas ir n – natūralusis skaičius, vadinamas šaknimi n- numerio a iki laipsnio m, tai yra,.

Nulio trupmeninė galia taip pat nustatoma su vieninteliu įspėjimu, kad indikatorius turi būti teigiamas.

Apibrėžimas.

Nulio laipsnis su trupmeniniu teigiamu eksponentu m/n , Kur m yra teigiamas sveikasis skaičius ir n– natūralusis skaičius, apibrėžtas kaip .
Kai laipsnis nenustatytas, tai yra skaičiaus nulis su trupmena laipsnis neigiamas rodiklis neturi prasmės.

Reikėtų pažymėti, kad naudojant šį laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu, yra vienas įspėjimas: kai kuriems neigiamiems a ir kai kurie m Ir n posakis yra prasmingas, bet mes atmetėme šiuos atvejus įvesdami sąlygą a≥0. Pavyzdžiui, įrašai turi prasmę arba , o aukščiau pateiktas apibrėžimas verčia teigti, kad laipsniai su formos trupmeniniu rodikliu nėra prasmės, nes bazė neturėtų būti neigiama.

2. Kitas būdas nustatyti laipsnį su trupmeniniu rodikliu m/n susideda iš atskiro šaknies lyginių ir nelyginių eksponentų svarstymo. Šis požiūris reikalauja papildoma sąlyga: skaičiaus galia a, kurio eksponentas yra redukuojama paprastoji trupmena, laikomas skaičiaus laipsniu a, kurio rodiklis yra atitinkamas neredukuojama trupmena(Šios sąlygos svarba bus paaiškinta toliau). Tai yra, jei m/n yra neredukuojama trupmena, tada bet kuriam natūraliajam skaičiui k laipsnis preliminariai pakeičiamas .

Netgi n ir teigiamas m posakis turi prasmę bet kokiam neneigiamam a(lyginė neigiamo skaičiaus šaknis neturi reikšmės), neigiamam m numerį a vis tiek turi skirtis nuo nulio (kitaip bus dalijama iš nulio). Ir dėl keisto n ir teigiamas m numerį a gali būti bet kokia (nelyginė šaknis apibrėžiama bet kuriai realus skaičius), ir neigiamiems m numerį a turi būti ne nulis (kad nebūtų dalijimosi iš nulio).

Aukščiau pateiktas samprotavimas veda prie šio laipsnio apibrėžimo su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Leiskite m/n– neredukuojama trupmena, m- visas ir n– natūralusis skaičius. Bet kuriai redukuojamai trupmenai laipsnis pakeičiamas . Skaičiaus galia a su neredukuojamu trupmeniniu rodikliu m/n- tai skirta

o bet koks tikrasis skaičius a, viskas teigiama m ir keistai natūralus n, Pavyzdžiui, ;

o bet koks realusis skaičius, kuris nėra nulis a, neigiamas sveikasis skaičius m ir nelyginis n, pavyzdžiui, ;

o bet koks neneigiamas skaičius a, viskas teigiama m ir net n, Pavyzdžiui, ;

o bet koks teigiamas a, neigiamas sveikasis skaičius m ir net n, pavyzdžiui, ;

o kitais atvejais laipsnis su trupmeniniu rodikliu nenustatomas, nes, pavyzdžiui, laipsniai neapibrėžiami .a įrašui nesuteikiame jokios reikšmės, apibrėžiame skaičiaus nulio laipsnį teigiamiems trupmeniniams rodikliams m/n Kaip , neigiamiems trupmeniniams eksponentams skaičiaus nulio laipsnis nenustatomas.

Baigdami šią pastraipą atkreipkime dėmesį į tai, kad trupmeninis rodiklis gali būti parašytas kaip dešimtainė trupmena arba mišrus skaičius, Pavyzdžiui, . Norėdami apskaičiuoti šio tipo išraiškų reikšmes, turite parašyti eksponentą įprastos trupmenos forma, o tada naudoti eksponento apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Aukščiau pateiktiems pavyzdžiams turime Ir

Vaizdo pamokoje „Laikiklis su racionaliu rodikliu“ yra vaizdinė medžiaga mokomoji medžiaga vesti pamoką šia tema. Vaizdo pamokoje pateikiama informacija apie laipsnio su racionaliu rodikliu sąvoką, tokių laipsnių savybes, taip pat pavyzdžiai, aprašantys mokomosios medžiagos panaudojimą sprendžiant. praktines problemas. Šios video pamokos tikslas – aiškiai ir aiškiai pateikti mokomąją medžiagą, palengvinti mokiniams ją rengti ir įsiminti, ugdyti gebėjimą spręsti problemas naudojant išmoktas sąvokas.

Pagrindiniai video pamokos privalumai – galimybė vizualiai atlikti transformacijas ir skaičiavimus, galimybė panaudoti animacijos efektus mokymosi efektyvumui gerinti. Balso nurodymai padeda tobulėti teisingai matematikos kalba, taip pat leidžia pakeisti mokytojo paaiškinimą, išlaisvinant jį individualiam darbui.

Vaizdo pamoka prasideda temos pristatymu. Studijų susiejimas nauja tema su anksčiau ištirta medžiaga, siūloma atsiminti, kad n √a kitaip žymimas 1/n natūraliam n ir teigiamam a. Šis pristatymas n-root rodomas ekrane. Toliau siūlome apsvarstyti, ką reiškia išraiška a m/n, kurioje a yra teigiamas skaičius, o m/n yra trupmena. Pateiktas laipsnio, kurio racionalusis rodiklis yra m/n = n √a m, apibrėžimas, paryškintas rėmelyje. Pastebėta, kad n gali būti natūralusis skaičius, o m – sveikasis skaičius.

Apibrėžus laipsnį racionaliuoju rodikliu, jo reikšmė atskleidžiama per pavyzdžius: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Taip pat parodytas pavyzdys, kuriame dešimtainės trupmenos laipsnis konvertuojamas į paprastoji trupmena turi būti pavaizduota kaip šaknis: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √ (1/7) 17 ir pavyzdys su neigiama vertė laipsniai: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Atskirai nurodomas specialaus atvejo, kai laipsnio pagrindas lygus nuliui, ypatumas. Pažymima, kad šis laipsnis prasminga tik naudojant teigiamą trupmeninį rodiklį. Šiuo atveju jo reikšmė lygi nuliui: 0 m/n =0.

Pastebima dar viena laipsnio su racionaliuoju laipsniu ypatybė – kad laipsnis su trupmeniniu rodikliu negali būti laikomas trupmeniniu rodikliu. Pateikiami neteisingo laipsnių žymėjimo pavyzdžiai: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Toliau vaizdo pamokoje aptariame laipsnio savybes su racionaliuoju rodikliu. Pažymima, kad laipsnio su sveikuoju rodikliu savybės galios ir laipsniui su racionaliuoju rodikliu. Siūloma priminti savybių, kurios taip pat galioja, sąrašą šiuo atveju:

Dauginant galias su tuo pačiu pagrindu jų rodikliai sumuojasi: a p a q =a p+q.
Laipsnių su vienodomis bazėmis padalijimas sumažinamas iki laipsnio su duotu pagrindu ir rodiklių skirtumu: a p:a q =a p-q.
Jei laipsnį padidiname iki tam tikros laipsnio, tada gauname laipsnį su duota baze ir rodiklių sandauga: (a p) q =a pq.

Visos šios savybės galioja laipsniams, kurių racionalieji rodikliai p, q ir teigiama bazė a>0. Be to, laipsnio transformacijos atidarant skliaustus išlieka teisingos:

(ab) p =a p b p - padidinus iki tam tikro laipsnio su racionaliuoju laipsniu, dviejų skaičių sandauga redukuojama į skaičių sandaugą, kurių kiekvienas pakeliamas iki tam tikro laipsnio.
(a/b) p =a p /b p - trupmenos didinimas iki laipsnio su racionaliuoju rodikliu sumažinamas iki trupmenos, kurios skaitiklis ir vardiklis pakeliami iki duotosios laipsnio.

Vaizdo pamokoje aptariami pavyzdžiai, kuriuose naudojamos svarstomos galių savybės su racionaliuoju rodikliu. Pirmajame pavyzdyje siūloma rasti išraiškos, kurioje yra kintamieji x trupmenos laipsniu, reikšmę: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Nepaisant išraiškos sudėtingumo, naudojant galių savybes, ją galima išspręsti gana paprastai. Problemos sprendimas pradedamas supaprastinant išraišką, kuri naudoja laipsnio su racionaliuoju laipsniu didinimo taisyklę, taip pat laipsnių padauginimą su ta pačia baze. Po pakeitimo nustatyta vertė x=8 supaprastintoje išraiškoje x 1/3 +48, nesunku gauti reikšmę - 50.

Antrame pavyzdyje reikia sumažinti trupmeną, kurios skaitiklis ir vardiklis turi laipsnius su racionaliuoju rodikliu. Naudodamiesi laipsnio savybėmis, iš skirtumo išskiriame koeficientą x 1/3, kuris po to sumažinamas skaitiklyje ir vardikliu, o naudojant kvadratų skirtumo formulę, skaitiklis yra koeficientas, o tai suteikia tolesnius identiškus sumažinimus. skaitiklio ir vardiklio veiksniai. Tokių transformacijų rezultatas yra trumpoji trupmena x 1/4 +3.

Vietoj to, kai mokytojas aiškintų naują pamokos temą, gali būti naudojama vaizdo pamoka „Laikiklis su racionaliuoju rodikliu“. Šiame vadove taip pat yra pakankamai visa informacija Už savarankiškas mokymasis studentas. Medžiaga gali būti naudinga ir nuotoliniam mokymuisi.

Šiame straipsnyje mes išsiaiškinsime, kas tai yra skaičiaus galia. Čia pateiksime skaičiaus galios apibrėžimus, o išsamiai išnagrinėsime visus galimus rodiklius, pradedant natūraliuoju ir baigiant neracionaliuoju. Medžiagoje rasite daugybę laipsnių pavyzdžių, apimančių visas iškylančias subtilybes.

Puslapio naršymas.

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu, skaičiaus kvadratas, skaičiaus kubas

Pradėkime nuo. Žvelgiant į priekį, tarkime, kad skaičiaus a laipsnio apibrėžimas su natūraliuoju rodikliu n pateiktas a, kurį vadinsime laipsnio pagrindu, ir n, kuriuos vadinsime eksponentas. Taip pat pažymime, kad laipsnis su natūraliu rodikliu nustatomas per sandaugą, todėl norėdami suprasti toliau pateiktą medžiagą, turite suprasti skaičių dauginimą.

Apibrėžimas.

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu n laipsnis yra a n formos išraiška, kurios reikšmė lygi n faktorių sandaugai, kurių kiekvienas yra lygus a, tai yra .
Visų pirma, skaičiaus a, kurio eksponentas 1, laipsnis yra pats skaičius a, tai yra, a 1 =a.

Iš karto verta paminėti apie laipsnių skaitymo taisykles. Universalus metodas skaitant įrašą a n yra: „a iki n laipsnio“. Kai kuriais atvejais taip pat priimtinos šios parinktys: „a iki n-ojo laipsnio“ ir „n-ojo a laipsnio“. Pavyzdžiui, paimkime laipsnį 8 12, tai yra „aštuoni iki dvylikos laipsnio“ arba „aštuoni iki dvyliktosios laipsnio“ arba „dvyliktoji aštuonių laipsniai“.

Antroji skaičiaus laipsniai, kaip ir trečioji skaičiaus laipsniai, turi savo pavadinimus. Vadinamas antrasis skaičiaus laipsnis skaičių kvadratu, pavyzdžiui, 7 2 skaitomas kaip „septyni kvadratai“ arba „skaičiaus septyni kvadratas“. Vadinamas trečiasis skaičiaus laipsnis kubiniais skaičiais, pavyzdžiui, 5 3 galima perskaityti kaip „penki kubeliai“ arba galite pasakyti „skaičiaus 5 kubas“.

Pats laikas atnešti laipsnių pavyzdžiai su natūraliaisiais rodikliais. Pradėkime nuo laipsnio 5 7, čia 5 yra laipsnio pagrindas, o 7 yra eksponentas. Pateikiame kitą pavyzdį: 4,32 yra bazė, o natūralusis skaičius 9 yra eksponentas (4,32) 9 .

Atkreipkite dėmesį, kad in paskutinis pavyzdys Laipsnio pagrindas 4,32 rašomas skliausteliuose: kad išvengtume neatitikimų, skliausteliuose dėsime visus laipsnio pagrindus, kurie skiriasi nuo natūraliųjų skaičių. Kaip pavyzdį pateikiame šiuos laipsnius su natūraliaisiais rodikliais , jų pagrindai nėra natūralieji skaičiai, todėl jie rašomi skliausteliuose. Na, siekiant visiško aiškumo, šiuo metu parodysime skirtumą, esantį (-2) 3 ir -2 3 formos įrašuose. Išraiška (−2) 3 yra −2 laipsnis, kurio natūralusis rodiklis yra 3, o išraiška −2 3 (gali būti parašytas kaip −(2 3) ) atitinka skaičių, laipsnio 2 3 reikšmę. .

Atkreipkite dėmesį, kad yra skaičiaus a laipsnio žymėjimas, kurio rodiklis n yra a^n. Be to, jei n yra daugiareikšmis natūralusis skaičius, tada eksponentas imamas skliausteliuose. Pavyzdžiui, 4^9 yra kitas 4 9 laipsnio žymėjimas. Ir čia yra dar keletas laipsnių rašymo naudojant simbolį „^“ pavyzdžių: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Toliau pirmiausia naudosime a n formos laipsnio žymėjimą.

Viena iš problemų, priešingų pakėlimui į laipsnį su natūraliu rodikliu, yra problema, kaip rasti galios pagrindą žinoma vertė laipsnis ir žinomas rodiklis. Ši užduotis veda į.

Yra žinoma, kad racionaliųjų skaičių aibę sudaro sveikieji skaičiai ir trupmenos, o kiekviena trupmena gali būti pavaizduota kaip teigiama arba neigiama paprastoji trupmena. Ankstesnėje pastraipoje apibrėžėme laipsnį sveikuoju rodikliu, todėl norint užbaigti laipsnio apibrėžimą racionaliuoju rodikliu, reikia įprasminti skaičiaus a laipsnį su trupmeniniu rodikliu m/n, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Padarykime tai.

Panagrinėkime laipsnį su formos trupmeniniu rodikliu. Kad galios į valdžią savybė liktų galioti, turi galioti lygybė . Jei atsižvelgsime į gautą lygybę ir tai, kaip nustatėme , logiška ją priimti, su sąlyga, kad duoti m, n ir a, išraiška turi prasmę.

Nesunku patikrinti, ar galioja visos laipsnio savybės su sveikuoju rodikliu (tai buvo padaryta laipsnio su racionaliuoju rodikliu ypatybės).

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums padaryti šiuos dalykus išvada: jei duota m, n ir a išraiška turi prasmę, tada a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n vadinamas n-ąja šaknimis iš a iki laipsnio m.

Šis teiginys priartina mus prie laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimo. Belieka tik apibūdinti, kur m, n ir a išraiška turi prasmę. Atsižvelgiant į m, n ir a taikomus apribojimus, yra du pagrindiniai būdai.

Lengviausias būdas yra nustatyti a apribojimą, imant a≥0, kai teigiamas m, ir a>0, kai m neigiamas (kadangi m≤0 m laipsnis 0 neapibrėžtas). Tada gauname tokį laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Teigiamo skaičiaus a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius, vadinamas n-ąja skaičiaus a šaknimi laipsniu m, ty .

Nulio trupmeninė galia taip pat nustatoma su vieninteliu įspėjimu, kad indikatorius turi būti teigiamas.

Apibrėžimas.

Nulio galia su trupmeniniu teigiamu rodikliu m/n, kur m yra teigiamas sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius, apibrėžiamas kaip .
Kai laipsnis nenustatytas, tai yra, skaičiaus nulio laipsnis su trupmeniniu neigiamu eksponentu neturi prasmės.

Reikėtų pažymėti, kad su šiuo laipsnio apibrėžimu su trupmeniniu rodikliu yra vienas įspėjimas: kai kuriems neigiamiems a ir kai kuriems m ir n išraiška yra prasminga, ir mes atmetėme šiuos atvejus, įvesdami sąlygą a≥0. Pavyzdžiui, įrašai turi prasmę arba , o aukščiau pateiktas apibrėžimas verčia teigti, kad laipsniai su formos trupmeniniu rodikliu nėra prasmės, nes bazė neturėtų būti neigiama.

Kitas būdas nustatyti laipsnį su trupmeniniu rodikliu m/n yra atskirai apsvarstyti šaknies lyginius ir nelyginius rodiklius. Šis metodas reikalauja papildomos sąlygos: skaičiaus a laipsnis, kurio rodiklis yra , yra laikomas skaičiaus a laipsniu, kurio rodiklis yra atitinkama neredukuojama trupmena (šios sąlygos svarbą paaiškinsime toliau). ). Tai yra, jei m/n yra neredukuojama trupmena, tai bet kurio natūraliojo skaičiaus k laipsnis pirmiausia pakeičiamas .

Jei n ir teigiamas m, išraiška turi prasmę bet kokiam neneigiamam a (neigiamo skaičiaus lyginė šaknis neturi prasmės, skaičius a vis tiek turi skirtis nuo nulio (kitaip bus dalijimasis). nuliu). O nelyginio n ir teigiamo m skaičius a gali būti bet koks (nelyginio laipsnio šaknis apibrėžiama bet kuriam realiajam skaičiui), o neigiamam m skaičius a turi būti ne lygus nuliui (kad nebūtų dalijimosi iš nulis).

Aukščiau pateiktas samprotavimas veda prie šio laipsnio apibrėžimo su trupmeniniu rodikliu.

Apibrėžimas.

Tegu m/n yra neredukuojama trupmena, m – sveikas skaičius, o n – natūralusis skaičius. Bet kuriai redukuojamai trupmenai laipsnis pakeičiamas . Skaičiaus su neredukuojamu trupmeniniu rodikliu m/n laipsnis yra skirtas

Paaiškinkime, kodėl laipsnis su redukuojamu trupmeniniu rodikliu pirmiausia pakeičiamas laipsniu su neredukuojamu laipsniu. Jei laipsnį paprasčiausiai apibrėžtume kaip , ir nepadarytume išlygos dėl trupmenos m/n neredukuojamumo, susidurtume su panašiomis situacijomis: kadangi 6/10 = 3/5, tai lygybė turi galioti , Bet , A.

Pradinis lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019)

Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų prireiks? Kodėl turėtumėte skirti laiko jų studijoms?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias kasdienybė perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinios priartins sėkmingas užbaigimas OGE arba vieningas valstybinis egzaminas ir priėmimas į savo svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).

ĮĖJIMO LYGIS

Pakelti į valdžią yra tas pats matematinis veiksmas kaip sudėjimas, atimtis, daugyba ar padalijimas.

Dabar aš viską paaiškinsiu žmonių kalba labai paprasti pavyzdžiai. Būkite atsargūs. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti skirtingai: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat kolos butelių, ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

Kokių dar protingų skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui,. Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos laipsnio yra... Ir tokias problemas jie išsprendžia savo galvose – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl jis vadinamas antruoju laipsniu? kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys vienas metras ir vienas metras. Baseinas yra jūsų vasarnamyje. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet... baseinas neturi dugno! Baseino dugną reikia iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Rodydami pirštu galite tiesiog apskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei turite plyteles po vieną metrą, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur jūs matėte tokias plyteles? Plytelė greičiausiai bus cm po cm Ir tada būsite kankinami „skaičiuojant pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi, vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginkite iš ir gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių padauginome iš savęs? Ką tai reiškia? Kadangi dauginame tą patį skaičių, galime naudoti „eksponentavimo“ techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti į laipsnį yra daug lengviau, be to, skaičiavimuose pasitaiko mažiau klaidų Vieningam valstybiniam egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, nuo trisdešimties iki antros galios bus (). Arba galime sakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norint apskaičiuoti jų skaičių, reikia aštuonis padauginti iš aštuonių arba... jei pastebite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tuomet galite kvadratu aštuonis. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Beje, tūriai ir skysčiai matuojami kubinių metrų. Netikėta, tiesa?) Nupieškite baseiną: metro ir metro gylio dugną ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys metras ir metras, tilps į jūsų baseiną.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys...Kiek gavote? Nepametėte? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? tai viskas! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams...Tai lengviau, ar ne?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie taip pat supaprastintų. Viską sumažinome iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius dauginamas iš savęs... Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką kartą suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kubeliai yra lygūs. Parašyta taip: .

Lieka tik prisimink laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, kad pagaliau jus įtikintume, kad laipsnius sugalvojo metantys rūkyti ir gudrūs žmonės, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemos, o kad nesukurtumėte jums problemų, čia yra dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.

4 pavyzdys realiame gyvenime

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų turimas milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir... kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais - du padauginti iš dviejų... antraisiais - kas atsitiko, dar iš dviejų, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš karto. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris gali skaičiuoti greičiausiai, gaus šiuos milijonus... Verta prisiminti skaičių galias, ar nemanote?

5 realaus gyvenimo pavyzdys

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar du. Puiku, ar ne? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtajai laipsniai jis lygus milijonui. Tik reikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Sąvokos ir sąvokos... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ar manote kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprasčiau - tai numeris, esantis apačioje, prie pagrindo.

Čia yra brėžinys, skirtas geram matavimui.

Gerai viduje bendras vaizdas, siekiant apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze " " ir rodikliu " " yra skaitomas kaip "laipsnis" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes rodiklis yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas tai yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai – tai tie skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis penkių taškų“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. sveikieji skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. Ką reiškia neigiami („minuso“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia norėdami nurodyti skolas: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs skaičiai... Įdomu, ar ne?

Yra ir daugiau neracionalūs skaičiai. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Tęsti:

Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (ty sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.

Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam:
Skaičiaus kvadratas reiškia jį padauginti iš savęs:
Sudaryti skaičių kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinkite skaičių iki natūralus laipsnis- reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:
.

Laipsnių savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau dabar parodysiu.

Pažiūrėkime: kas tai yra Ir ?

Pagal apibrėžimą:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie faktorių pridėjome daugiklius, o rezultatas yra daugikliai.

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys!
Todėl mes deriname galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

2. štai ir viskas skaičiaus laipsnis

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai gali būti vadinama „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Galiomis natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net.

Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, tai veikia.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti.

Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Visa vadiname natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su " " ženklu) ir skaičiumi.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, paklauskime savęs: kodėl taip yra?

Panagrinėkime tam tikrą laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, kas buvo - . Iš kokio skaičiaus padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kuriam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius nuliniam laipsniui, jis turi būti lygus. Taigi, kiek tame yra tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė kelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar negalime ne tik dalyti iš nulio, bet ir pakelti iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai taip pat apima neigiamus skaičius. Norėdami suprasti, kas yra neigiamas laipsnis, atlikime taip paskutinį kartą: padauginkite įprastą skaičių iš to paties skaičiaus neigiamas laipsnis:

Iš čia lengva išreikšti tai, ko ieškote:

Dabar išplėskime gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius iki neigiamo laipsnio yra to paties skaičiaus atvirkštinė vertė teigiamas laipsnis. Bet tuo pačiu Bazė negali būti nulinė:(nes negalima dalyti iš).

Apibendrinkime:

I. Išraiška byloje neapibrėžta. Jei, tada.

II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .

III. Skaičius, ne lygus nuliui, neigiamas laipsnis yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Problemų analizė savarankiškam sprendimui:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet vieningo valstybinio egzamino metu turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimus, jei negalėjote jų išspręsti, ir išmoksite lengvai su jais susidoroti egzamine!

Ir toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar pasvarstykime racionalūs skaičiai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: viskas, kas gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai, ir.

Norėdami suprasti, kas tai yra "dalinis laipsnis", apsvarstykite trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisiminkime taisyklę apie "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, laipsnio šaknis yra atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija: .

Pasirodo, kad. Akivaizdu, kad tai ypatingas atvejis galima išplėsti: .

Dabar pridedame skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą lengva gauti naudojant galios į galią taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk negalima išgauti šaknies iš visų skaičių.

Nieko!

Prisiminkime taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išgauti net šaknų!

Tai reiškia, kad tokių skaičių negalima padidinti trupmeninė galia su lyginiu vardikliu, tai yra, posakis neturi prasmės.

O kaip su išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, redukuojamos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet jei rodiklį užrašysime kitaip, vėl pateksime į bėdą: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtume tokių paradoksų, svarstome tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

— natūralusis skaičius;
- sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Racionalieji eksponentai yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 praktikos pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, dabar ateina sunkiausia dalis. Dabar mes tai išsiaiškinsime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi

Galų gale, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...skaičių iki nulio laipsnio- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent skaičius;

...neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis- tarsi įvyko kažkoks „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo įprastos galios pakėlimo į laipsnį taisyklės:

Dabar pažiūrėkite į indikatorių. Ar jis tau nieko neprimena? Prisiminkime sutrumpinto kvadratų skirtumo daugybos formulę:

Šiuo atveju

Pasirodo, kad:

Atsakymas: .

2. Rodiklio trupmenas sumažiname iki ta pati išvaizda: abu dešimtainiai arba abu įprastiniai. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16

3. Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio nustatymas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

— laipsnio bazė;
- eksponentas.

Laipsnis su natūraliu rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

Statyba iki nulio laipsnio:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra neigiamas sveikasis skaičius numeris:

(nes negalima dalyti iš).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei, tada.

Pavyzdžiai:

Galia su racionaliuoju rodikliu

— natūralusis skaičius;
- sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnių savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

Pagal apibrėžimą:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gauname tokį produktą:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, tai yra:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys. Todėl mes sujungiame galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

Dar vienas dalykas svarbi pastaba: tai yra taisyklė - tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pergrupuokime šį darbą taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso: !

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol mes tik aptarėme, koks jis turėtų būti indikatorius laipsnių. Bet kas turėtų būti pagrindas? Galiomis natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net. Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime - .

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galime suformuluoti taip paprastos taisyklės:

net laipsnis, - skaičius teigiamas.
Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
Nulis bet kokiam laipsniui yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimename, tai tampa aišku, taigi ir pagrindas mažiau nei nulis. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir padalijame juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš išardydami paskutinė taisyklė, išspręskime kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite išraiškas:

Sprendimai :

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!

Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, 3 taisyklė galėtų būti taikoma. Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar viskas pasirodo taip:

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti. Tačiau svarbu atsiminti: Visi ženklai keičiasi tuo pačiu metu! Jūs negalite jo pakeisti pakeisdami tik vieną mums nepatinkantį trūkumą!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek iš viso yra raidžių? kartų pagal daugiklius – ką tai jums primena? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: Ten buvo tik daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su eksponentu laipsnis:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, vadinasi, pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias numeris“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu eksponentu - tarsi įvyktų koks nors „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Tai veikiau grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalus rodiklis laipsnių? Stengiamės jo atsikratyti :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Atsakymai:

Prisiminkime kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
Sumažiname trupmenas į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

SKYRIUS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS SANTRAUKA

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Galia su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnių savybės

Laipsnių ypatumai.

Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
Bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TU TURITE ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Žemiau komentaruose parašykite, ar patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį naudojant laipsnio savybes.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Galia su racionaliuoju rodikliu

Khasyanova T.G.,

matematikos mokytojas

Pateikta medžiaga bus naudinga matematikos mokytojams, studijuojant temą „Laikiklis su racionaliuoju rodikliu“.

Pateiktos medžiagos tikslas: atskleisti savo patirtį vedant pamoką tema „Laikiklis su racionaliuoju rodikliu“ darbo programa disciplina „Matematika“.

Pamokos vedimo metodika atitinka jos pobūdį – pamoka studijuojant ir iš pradžių įtvirtinant naujas žinias. Atnaujinta pagrindines žinias ir įgūdžiai, pagrįsti anksčiau įgyta patirtimi; pirminis naujos informacijos įsiminimas, konsolidavimas ir pritaikymas. Naujos medžiagos konsolidavimas ir pritaikymas vyko sprendžiant problemas, kurias išbandžiau įvairaus sudėtingumo duodamas teigiamas rezultatas temos įvaldymas.

Pamokos pradžioje stojau prieš mokinius sekančius tikslus: ugdomasis, lavinamasis, ugdomasis. Per pamoką naudojau įvairių būdų veikla: priekinė, individuali, porinė, nepriklausoma, bandomoji. Užduotys buvo diferencijuotos ir leido kiekviename pamokos etape nustatyti žinių įgijimo laipsnį. Užduočių apimtis ir sudėtingumas atitinka amžiaus ypatybės studentai. Iš savo patirties - namų darbai, panašiai kaip problemos, išspręstos darbo kambarys, leidžia patikimai įtvirtinti įgytas žinias ir įgūdžius. Pamokos pabaigoje buvo atlikta refleksija ir vertinamas atskirų mokinių darbas.

Tikslai buvo pasiekti. Studentai nagrinėjo laipsnio sampratą ir savybes racionaliuoju rodikliu, mokėsi šias savybes panaudoti sprendžiant praktines problemas. Už savarankiškas darbasĮvertinimai bus paskelbti kitos pamokos metu.

Manau, kad metodiką, kurią naudoju mokydamas matematiką, gali naudoti matematikos mokytojai.

Pamokos tema: Galia su racionaliuoju rodikliu

Pamokos tikslas:

Studentų žinių ir įgūdžių komplekso įvaldymo lygio nustatymas ir, remiantis juo, pritaikymas tam tikrus sprendimus tobulinti ugdymo procesą.

Pamokos tikslai:

Švietimas: formuoti studentų naujas žinias apie pagrindines sąvokas, taisykles, laipsnio nustatymo dėsnius su racionaliu rodikliu, gebėjimą savarankiškai taikyti žinias standartinėmis sąlygomis, modifikuotomis ir nestandartinėmis sąlygomis;

kuriant: logiškai mąstykite ir įgyvendinkite kūrybiškumas;

kėlimas: ugdyti susidomėjimą matematika, papildyti žodyną naujais terminais, įgyti papildomos informacijos apie mus supantį pasaulį. Ugdykite kantrybę, atkaklumą ir gebėjimą įveikti sunkumus.

Organizacinis momentas

Informacinių žinių atnaujinimas

Dauginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, eksponentai pridedami, tačiau bazė išlieka ta pati:

Pavyzdžiui,

2. Dalijant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, laipsnių rodikliai atimami, bet bazė išlieka ta pati:

Pavyzdžiui,

3. Didinant laipsnį iki laipsnio, rodikliai dauginami, bet bazė išlieka ta pati:

Pavyzdžiui,

4. Produkto laipsnis yra lygus veiksnių laipsnių sandaugai:

Pavyzdžiui,

5. Dalinio laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių daliniui:

Pavyzdžiui,

Pratimai su sprendimais

Raskite posakio prasmę:

Sprendimas:

Šiuo atveju į aiški forma negali būti taikoma nė viena laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybė, nes turi visi laipsniai skirtingų priežasčių. Parašykime kai kurias galias kita forma:

(produkto laipsnis lygus veiksnių laipsnių sandaugai);

(dauginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, laipsniai pridedami, bet bazė išlieka ta pati; keliant laipsnį iki laipsnio, laipsniai dauginami, bet bazė išlieka ta pati).

Tada gauname:

IN šiame pavyzdyje Naudotos pirmosios keturios laipsnio savybės su natūraliuoju rodikliu.

Aritmetinė kvadratinė šaknis
- Tai Ne neigiamas skaičius, kurio kvadratas lygusa,
. At
- išraiška
neapibrėžtas, nes nėra tikrojo skaičiaus, kurio kvadratas būtų lygus neigiamam skaičiuia.