Jei į keturkampį įrašytas apskritimas, tai suma. Įbrėžtieji ir apibrėžtieji keturkampiai

Keturkampis yra įrašytas į apskritimą, jei visos jo viršūnės yra apskritime. Toks apskritimas yra apibrėžtas apie keturkampį.

Kaip ne kiekvienas keturkampis gali būti aprašytas aplink apskritimą, taip ne kiekvienas keturkampis gali būti įrašytas į apskritimą.

Išgaubtas keturkampis, įrašytas į apskritimą, turi savybę, kad jo priešingi kampai sudaro 180°. Taigi, jei duotas keturkampis ABCD, kuriame kampas A yra priešingas kampui C, o kampas B yra priešingas kampui D, tada ∠A + ∠C = 180° ir ∠B + ∠D = 180°.

Apskritai, jei viena pora priešingi kampai keturkampiai sumuojasi iki 180°, tada kita pora sumuoja tiek pat. Tai išplaukia iš to, kad išgaubtas keturkampis kampų suma visada yra 360°. Savo ruožtu šis faktas išplaukia iš to, kad išgaubtiems daugiakampiams kampų suma nustatoma pagal formulę 180° * (n – 2), kur n yra kampų (arba kraštinių) skaičius.

Ciklinę keturkampę savybę galite įrodyti taip. Į apskritimą O įbrėžtas keturkampis ABCD. Turime įrodyti, kad ∠B + ∠D = 180°.

Kampas B įrašytas į apskritimą. Kaip žinoma, toks kampas lygus pusei lankas, ant kurio jis remiasi. IN šiuo atveju kampas B palaikomas lanko ADC, o tai reiškia ∠B = ½◡ADC. (Kadangi lankas lygus kampui tarp jį sudarančių spindulių, galime parašyti, kad ∠B = ½∠AOC, kurio vidinėje srityje yra taškas D.)

Kitoje pusėje keturkampio kampas D remiasi į lanką ABC, tai yra, ∠D = ½◡ABC.

Kadangi kampų B ir D kraštinės kerta apskritimą tuose pačiuose taškuose (A ir C), jie padalija apskritimą tik į du lankus – ◡ADC ir ◡ABC. Nes pilnas ratas prideda iki 360°, tada ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Taigi gautos tokios lygybės:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Išreikškime kampų sumą:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Įdėkime ½ iš skliaustų:

∠B + ∠D = ½ (◡ADC + ◡ABC)

Pakeiskime lankų sumą jų skaitine verte:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Mes nustatėme, kad įbrėžto keturkampio priešingų kampų suma yra 180°. Tai ir reikėjo įrodyti.

Tai, kad įbrėžtasis keturkampis turi šią savybę (priešingų kampų suma yra 180°), nereiškia, kad į apskritimą galima įrašyti bet kurį keturkampį, kurio priešingų kampų suma yra 180°. Nors iš tikrųjų tai tiesa. Šis faktas paskambino įrašytas keturkampis testas ir formuluojamas taip: jei išgaubto keturkampio priešingų kampų suma yra 180°, tai aplink jį galima aprašyti (arba įbrėžti į apskritimą) apskritimą.

Įbrėžto keturkampio testą galite įrodyti prieštaravimu. Pateikiame keturkampį ABCD, kurio priešingi kampai B ir D sudaro 180°. Šiuo atveju kampas D nėra ant apskritimo. Tada paimkite tašką E tiesėje, kurioje yra segmentas CD, kad jis būtų ant apskritimo. Rezultatas yra ciklinis keturkampis ABCE. Šis keturkampis turi priešingus kampus B ir E, o tai reiškia, kad jie sudaro 180°. Tai išplaukia iš įbrėžto keturkampio savybės.

Pasirodo, ∠B + ∠D = 180° ir ∠B + ∠E = 180°. Tačiau keturkampio ABCD kampas D trikampio AED atžvilgiu yra išorinis, o tai reiškia daugiau kampoŠio trikampio E. Taigi, mes priėjome prie prieštaravimo. Tai reiškia, kad jei keturkampio priešingų kampų suma yra 180°, tada ją visada galima įrašyti į apskritimą.

Jums reikės

• - keturkampis su duotus parametrus;
• - kompasas;
• - liniuotė;
• - transporteris;
• - skaičiuotuvas;
• - popieriaus lapas.

Instrukcijos

Išmatuokite visus jums duoto keturkampio kampus. Raskite priešingų kampų sumą. Įdėkite keturkampį į ratas galima tik tada, kai priešingų kampų sumos yra lygios 180°. Taigi sukurkite aprašytą ratas Visada galite apeiti kvadratą ar trapeciją.

Lygiosios ratas kurio spindulys R. Nustatykite jo centrą. Kaip, tai žymima O. Raskite ant paties apskritimo savavališkas taškas ir pavadinkite jį bet kuria raide. Tarkime, tai yra taškas A. Jūsų tolesni veiksmaiŠtai kodėl keturkampis jums duotas. Kvadrato įstrižainės yra statmenos viena kitai ir yra apibrėžto apskritimo spinduliai. Todėl sukonstruokite du skersmenis, kurių kampas yra 90°. Jų susikirtimo taškai su ratas Sujunkite juos nuosekliai tiesiomis linijomis.

Norėdami pritaikyti stačiakampį, turite žinoti kampą tarp įstrižainių arba kraštinių matmenis. Antruoju atveju kampas gali būti naudojamas naudojant Pitagoro teoremą, sinusus arba kosinusus. Nubrėžkite vieną iš skersmenų. Pažymėkite jį, pavyzdžiui, taškais A ir C. Iš taško O, kuris taip pat yra įstrižainės vidurys, pažymėkite kampą tarp įstrižainių. Per centrą ir naujas taškas nubrėžkite antrą skersmenį. Taip pat kaip ir kvadrato atveju, nuosekliai sujunkite skersmenų susikirtimo taškus su ratas Yu.

Norėdami sukurti lygiašonę trapeciją, suraskite savavališką apskritimo tašką. Iš jo sukonstruokite stygą, lygią viršutinei arba apatinei bazei. Raskite jo vidurį ir nubrėžkite per jį ir apskritimo centrą, kurio skersmuo statmenas . Atidėkite trapecijos aukščio skersmenį. Per šį tašką nubrėžkite statmeną abiem kryptimis, kol jis susikerta su ratas Yu. Sujunkite galus poromis.

Naudingi patarimai

Statant įrašytus daugiakampius in AutoCAD programa Pirmiausia pagrindiniame meniu raskite išskleidžiamąjį langą „Brėžinys“, o jame – funkciją „Daugiakampis“. Kvadrato kraštinių skaičius nustatomas iš karto. Kai jis pasirodys ekrane, eikite į funkciją „Įrašytas/apribotas daugiakampis“. Ekrane iškart pasirodys reikalinga formacija.

Norėdami šioje programoje sukurti trapeciją arba stačiakampį, raskite įstrižainių susikirtimo taško koordinates. Tai taip pat bus apibrėžto apskritimo centras.

Trapecija yra plokščia keturkampė figūra, kurios dvi kraštinės (pagrindai) yra lygiagrečios, o kitos dvi ( pusės) būtinai turi būti nelygiagreti. Jei visos keturios trapecijos viršūnės yra tame pačiame apskritime, sakoma, kad šis keturkampis yra į jį įrašytas. Sukurti tokią figūrą nėra sunku.

Jums reikės

• Popierius, pieštukas, kvadratas, kompasas.

Instrukcijos

Jei įbrėžiamai trapecijai papildomų reikalavimų nėra, galite turėti bet kokio ilgio šonus. Todėl pradėkite statyti nuo savavališko, pavyzdžiui, apatiniame kairiajame kvartale. Pažymėkite jį raide A – čia bus viena iš įrašytų viršūnių ratas trapecijos.

Nubrėžkite horizontalią liniją, pradedant nuo A ir baigiant sankirta su ratas yu apatiniame dešiniajame kampe. Pažymėkite šią sankryžą raide B. Sukonstruota atkarpa AB yra apatinis trapecijos pagrindas.

Bet koks patogiu būdu nubrėžkite atkarpą, lygiagrečią apatinei bazei, virš centro. Pavyzdžiui, jei turite tokį, galite tai padaryti taip: pritvirtinkite prie pagrindo AB ir nubrėžkite pagalbinę statmeną liniją. Tada padėkite įrankį ant pagalbinės linijos virš apskritimo centro ir nubrėžkite statmenus abiejose jo pusėse, kurių kiekviena baigiasi sankirtoje ratas Yu. Šie du statmenai turi gulėti ant vieno ir tada sudaryti viršutinį trapecijos pagrindą. Kairė kraštutinis taškas Pažymėkite šį pagrindą raide D, o dešinįjį - raide C.

Jei nėra kvadrato, bet yra kompasas, tada sukonstruoti viršutinį pagrindą bus dar lengviau. Padėkite savavališką tašką viršutiniame kairiajame apskritimo ketvirtyje. Vienintelė sąlyga yra ta, kad ji neturėtų būti išdėstyta griežtai vertikaliai virš taško A, kitaip sukonstruota figūra bus kvadratas. Pažymėkite tašką raide D ir kompase pažymėkite atstumą tarp taškų A ir D Tada padėkite kompasą taške B ir pažymėkite tašką viršutiniame dešiniajame apskritimo ketvirtyje, kuris atitinka pažymėtą atstumą. Pažymėkite jį raide C ir nubrėžkite viršutinį pagrindą sujungdami taškus D ir C.

Nubrėžkite įbrėžtos trapecijos kraštines, nubrėždami atkarpas AD ir BC.

Video tema

Pagal apibrėžimą, aprašytą ratas turi praeiti per visas kampines viršūnes duotas daugiakampis. Šiuo atveju visiškai nesvarbu, koks tai daugiakampis – trikampis, kvadratas, stačiakampis, trapecija ar dar kažkas. Taip pat nesvarbu, ar daugiakampis yra taisyklingas, ar netaisyklingas. Tiesiog reikia atsižvelgti į tai, kad aplink juos yra daugiakampiai ratas negalima aprašyti. Jūs visada galite aprašyti ratas aplink trikampį. Kalbant apie keturkampius, tada ratas galima apibūdinti aplink kvadratą ar stačiakampį arba lygiašonę trapeciją.

Jums reikės

• Nurodytas daugiakampis
• Valdovas
• Kvadratas
• Pieštukas
• Kompasas
• Protektorius
• Sinuso ir kosinuso lentelės
• Matematinės sąvokos ir formulės
• Pitagoro teorema
• Sinusų teorema
• Kosinuso teorema
• Trikampių panašumo ženklai

Instrukcijos

Sukurkite daugiakampį su nurodytais parametrais ir ar galima jį apibūdinti ratas. Jei jums duotas keturkampis, apskaičiuokite jo priešingų kampų sumą. Kiekvienas iš jų turi būti lygus 180°.

Apibūdinti ratas, reikia apskaičiuoti jo spindulį. Prisiminkite, kur yra apskritimo centras skirtinguose daugiakampiuose. Trikampyje jis yra visų aukščių susikirtimo taške duotas trikampis. Kvadrate ir stačiakampiuose - įstrižainių susikirtimo taške, trapecijos - simetrijos ašies susikirtimo taške su linija, jungiančia kraštinių vidurio taškus, ir bet kuriai kitai išgaubtas daugiakampis- sankirtos taške statmenos pusiausvyrosį šonus.

Apskaičiuokite aplink kvadratą ir stačiakampį apibrėžto apskritimo skersmenį naudodami Pitagoro teoremą. Jis bus lygus kvadratinė šaknis nuo stačiakampio kraštinių kvadratų sumos. Kvadrato, kurio visos kraštinės yra lygios, įstrižainė yra lygi kvadratinei šaknei iš dvigubo kraštinės kvadrato. Padalijus skersmenį iš 2, gausite spindulį.

Apskaičiuokite trikampio apskritimo spindulį. Kadangi trikampio parametrai pateikti sąlygose, spindulį apskaičiuokite pagal formulę R = a/(2·sinA), kur a yra viena iš trikampio kraštinių, ? - kampas, priešingas jam. Vietoj šios pusės galite paimti šoną ir priešingą kampą.

Apskaičiuokite trapecijos formos apskritimo spindulį. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) Šioje formulėje a ir b yra trapecijos pagrindai, žinomi iš sąlygų, h yra aukštis, d yra įstrižainė, p = 1/2*(a+d+c) . Apskaičiuokite trūkstamas reikšmes. Aukštis gali būti apskaičiuojamas naudojant sinusų arba kosinusų teoremą trapecijos kraštinių ilgiai ir kampai pateikti sąlygose. Žinodami aukštį ir atsižvelgdami į trikampių panašumus, apskaičiuokite įstrižainę. Po to belieka apskaičiuoti spindulį pagal aukščiau pateiktą formulę.

Video tema

Naudingi patarimai

Norėdami apskaičiuoti apskritimo, apriboto aplink kitą daugiakampį, spindulį, atlikite šiuos veiksmus: papildomos konstrukcijos. Gaukite daugiau paprastos figūros, kurio parametrai jums žinomi.

Užduotis – įsilieti į ratas daugiakampis dažnai gali suklaidinti suaugusįjį. Moksleivė turi paaiškinti savo sprendimą, todėl tėvai eina naršyti pasaulinis tinklas ieškant sprendimo.

Instrukcijos

Lygiosios ratas. Uždėkite kompaso adatą apskritimo šone, bet nekeiskite spindulio. Nubrėžkite du susikertančius lankus ratas, sukant kompasą į dešinę ir į kairę.

Perkelkite kompaso adatą išilgai apskritimo iki taško, kur lankas ją kerta. Dar kartą pasukite kompasą ir nubrėžkite dar du lankus, kirsdami apskritimo kontūrą. Kartokite šią procedūrą, kol ji susikirs su pirmuoju tašku.

Lygiosios ratas. Nubrėžkite skersmenį per jo centrą, linija turi būti horizontali. Sukurkite statmeną per apskritimo centrą, gausite vertikali linija(pvz., SV).

Padalinkite spindulį per pusę. Pažymėkite šį tašką skersmens linijoje (žymėkite A). Sukurti ratas kurių centras yra taške A ir spindulys AC. Kai kertama su horizontali linija gausite dar vieną tašką (pavyzdžiui, D). Dėl to segmento CD bus ta penkiakampio pusė, kurią reikia įrašyti.

Išilgai apskritimo kontūro nutieskite puslankius, kurių spindulys lygus CD. Taigi, originalas ratas bus padalintas į penkias lygias dalis. Sujunkite taškus su liniuote. Užduotis įrašyti penkiakampį ratas taip pat baigtas.

Toliau aprašoma priderinant į ratas kvadratas. Nubrėžkite skersmens liniją. Paimkite transporterį. Padėkite jį toje vietoje, kur skersmuo kerta apskritimo kraštą. Atidarykite kompasą iki spindulio ilgio.

Nubrėžkite du lankus, kol jie susikerta su ratas yu, pasukant kompasą viena ar kita kryptimi. Perkelkite kompaso koją į priešingą tašką ir tuo pačiu sprendimu nubrėžkite dar du lankus. Sujunkite gautus taškus.

Skersmens kvadratas, padalinkite iš dviejų ir paimkite šaknį. Dėl to gausite kvadrato kraštinę, kuri lengvai tilps ratas. Atidarykite kompasą iki tokio ilgio. Uždėkite jo adatą ratas ir nubrėžkite lanką, kertantį vieną apskritimo kraštą. Perkelkite kompaso koją į gautą tašką. Dar kartą nubrėžkite lanką.

Pakartokite procedūrą ir nubrėžkite dar du taškus. Sujunkite visus keturis taškus. Tai paprastesnis būdas sutalpinti kvadratą ratas.

Apsvarstykite užduotį įsitvirtinti ratas. Lygiosios ratas. Savavališkai paimkite tašką apskritime - tai bus trikampio viršūnė. Nuo šio taško, laikydami kompasą, nubrėžkite lanką, kol jis susikirs su ratas Yu. Tai bus antrasis pikas. Panašiai sukonstruokite iš jos trečiąją viršūnę. Sujunkite taškus su liniuote. Sprendimas rastas.

Video tema

Naudodami piešimo įrankius galite lengvai sutalpinti kvadratą į apskritimą. Tačiau šią problemą galima išspręsti net ir visiškai nesant. Jums tereikia atsiminti kai kurias kvadrato savybes.

Jums reikės

• - kompasas
• - pieštukas
• - kvadratas
• - žirklės

Instrukcijos

Atkreipkite dėmesį į problemą. Akivaizdu, kad apskritimo skersmuo yra įbrėžto įstrižainė. Prisimink žinomas turtas kvadratas: jo įstrižainės yra viena kitai statmenos. Naudokite šį įstrižainių ryšį kurdami nurodytą kvadratą.

Nubrėžkite skersmenį apskritime. Iš centro kvadratu nubrėžkite antrąjį skersmenį 90 laipsnių kampu į pirmąjį. Sujunkite statmenų skersmenų susikirtimo taškus su apskritimu ir gaukite į šį apskritimą įrašytą kvadratą.

Jei kaip piešimo įrankį turite tik kompasą, nubrėžkite apskritimą. Pažymėkite savavališką apskritimo tašką ir tiesiu kraštu nubrėžkite per jį skersmenį. Dabar reikia naudoti kompasą, kad pusę apskritimo tarp skersmens galų padalintumėte į dvi lygias dalis. Iš skersmens susikirtimo su apskritimu taškų padarykite dvi įpjovas, nepakeisdami kompaso angos. Nubrėžkite antrą skersmenį per šių įpjovų ir apskritimo centro susikirtimo tašką. Akivaizdu, kad jis bus statmenas pirmajam.

Jei neturite piešimo įrankių, galite iškirpti apskritimą, kurį riboja nurodyta apimtis. Iškirptą formą sulenkite tiksliai per pusę. Pakartokite operaciją. Reikia sulyginti lenkimo linijos galus, tada lenktos dalys derės be papildomų pastangų. Pataisykite lenkimo linijas. Dabar pasukite ratą. Aiškiai matomos lenkimo linijos. Sulenkite apskritimo segmentus tarp lenkimo linijų susikirtimo su apskritimu taškų ir nupjaukite šiuos segmentus. Pjovimo linijos yra norimo kvadrato kraštinės. Įdėkite iškirptą kvadratą duotas ratas, suderindamas jo centrą su apskritimo lenkimo linijų susikirtimo tašku. Atrodo, kad kvadrato viršūnės yra ant apskritimo, o to ir reikėjo.

Manoma, kad apskritimas yra įrašytas į daugiakampį, jei jis visiškai yra daugiakampyje. Kiekviena aprašytos figūros pusė turi bendrą tašką su apskritimu.

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jeigu jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai.

Švietimo. Sudaryti sąlygas sėkmingai įsisavinti aprašyto keturkampio sampratą, jo savybes, charakteristikas ir įvaldyti gebėjimus juos taikyti praktikoje.

Vystantis. Lavinti matematinius gebėjimus, sudaryti sąlygas gebėjimui apibendrinti ir taikyti mintis pirmyn ir atgal.

Švietimo. Ugdykite grožio jausmą per piešinių estetiką, nustebinkite neįprastu

sprendimas, organizacijos formavimas, atsakomybė už savo darbo rezultatus.

1. Išstudijuokite apibrėžtojo keturkampio apibrėžimą.

2. Įrodykite apibrėžtojo keturkampio kraštinių savybę.

3. Įveskite sumų savybių dvilypumą priešingos pusės o priešingi įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų keturkampių kampai.

4. Suteikti praktinio nagrinėjamų teoremų taikymo sprendžiant uždavinius patirties.

5. Atlikti pirminį naujos medžiagos įsisavinimo lygio stebėjimą.

Įranga:

• kompiuteris, projektorius;
• vadovėlis „Geometrija. 10-11 klasių“ bendrajam lavinimui. institucijos: pagrindinės ir profilio.

automatiniai lygiai A.V. Pogorelovas.

Programinė įranga: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Naudojimasis kompiuteriu ruošiant mokytoją pamokai.

1. Naudojant standartinę Windows operacinės sistemos programą, pamokai buvo sukurti:
2. Pristatymas.
3. Lentelės.
4. Piešiniai.

Dalomoji medžiaga.

Pamokos santrauka. (2 min.)

Pamokos eiga

1. Organizacinis momentas. Sveikinimai. Nurodykite pamokos temą ir tikslą. Užsirašykite pamokos datą ir temą į sąsiuvinį.

2. Namų darbų tikrinimas.

Darbas su apibrėžto daugiakampio samprata. Apibrėžimas. Daugiakampis vadinamas aprašyta apie ratą, jei Visi jo šonai rūpestį

kažkoks ratas.

<Презентация. Слайд №2>

<Презентация. Слайд №3>

Apribotojo keturkampio savybių įrodymas.

Teorema. Apribotame keturkampyje priešingų kraštinių sumos yra lygios.

Mokiniai dirba su vadovėliu ir surašo teoremos formuluotę sąsiuvinyje.

1. Pateikite teoremos formuluotę sąlyginio sakinio forma.

2. Kokia yra teoremos sąlyga?

3. Kokia teoremos išvada? Atsakymas. Jeigu keturkampis yra apibrėžtas apie apskritimą, Tai

priešingų kraštinių sumos yra lygios.

<Презентация. Слайд №4>

Atliekamas įrodinėjimas, mokiniai užsirašo į sąsiuvinius. Mokytojas. Pastaba dvilypumas

Apibrėžtųjų ir įrašytųjų keturkampių kraštinių ir kampų situacijos.

Įgytų žinių įtvirtinimas.

Užduotys pagal baigtus brėžinius. 1. Atsakymas. 2. 10 m. 3. 20 m.

Apribotojo keturkampio charakteristikos įrodymas.

Nurodykite atvirkštinę teoremą. <Презентация. Слайд №2>

Atsakymas. Jei keturkampyje priešingų kraštinių sumos yra lygios, tai į jį galima įrašyti apskritimą. (Grįžti į 2 skaidrę, 7 pav.) Mokytojas.

Patikslinkite teoremos formuluotę. Teorema. Jei priešingų pusių sumos išgaubtas

keturkampiai yra lygūs, tada į jį galima įrašyti apskritimą.

Įgytų žinių pritaikymas.

3. Užduotys pagal paruoštus brėžinius.

2. Ar galima į lygiašonę trapeciją, kurios pagrindai yra 1 m ir 9 m, o aukštis 3 m, įbrėžti apskritimą?

<Презентация. Слайд №6>

Užduotis. Raskite apskritimo, įbrėžto į rombą, kurio įstrižainės yra 6 m ir 8 m, spindulį.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Savarankiškas darbas.

1 variantas

1. Ar galima įbrėžti apskritimą

1) į stačiakampį, kurio kraštinės yra 7 m ir 10 m,

2. Aplink apskritimą apibrėžto keturkampio priešingos kraštinės yra 7 m ir 10 m.

Raskite keturkampio perimetrą.

3. Aplink apskritimą aprašyta lygiakraštė trapecija, kurios pagrindai yra 4 m ir 16 m.

1) įbrėžto apskritimo spindulys,

2 variantas

1. Ar galima nubrėžti apskritimą:

1) lygiagrečiame, kurio kraštinės yra 6 m ir 13 m,

2) kvadratu?

2. Aplink apskritimą apibrėžto keturkampio priešingos kraštinės yra 9 m ir 11 m. Raskite keturkampio perimetrą.

3. Lygiakraštė trapecija, kurios kraštinė yra 5 m, apibrėžiama apie 2 m spindulio apskritimą.

1) trapecijos pagrindas,

2) apibrėžtojo apskritimo spindulys.

5. Namų darbai. P.86, Nr. 28, 29, 30.

6. Pamokos santrauka. Tikrinami savarankiški darbai, suteikiami pažymiai.

<Презентация. Слайд № 8>

ABCD per a, b, c, d ir jo įstrižainės per x ir y Nubrėžkime AK ^ BC ir CL ^ AD.

Kadangi priešingybių suma kampus ciklinio keturkampio yra 2d, tai jei kampas B yra smailusis, kampas D turi būti bukas.

Todėl nuo trikampiai ABC ir ADC galime rašyti:

x 2 = a 2 + b 2 - 2b. BK ;

x 2 = c 2 + d 2 + 2d. D.L.

Dešinieji trikampiai ABK ir CDL panašus, nes juose yra vienodai aštrus kampas (kampai B ir CDL yra lygūs, nes kiekvienas iš jų tarnauja kaip 2d kampo ADC papildinys).

Iš jų panašumo darome išvadą:

iš kur BK? c = DL. a.

Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais x, BK ir DL.

Norėdami pašalinti BK ir DL, išlyginkime paskutinius pirmųjų dviejų lygčių narius, kurių lygtį padauginame iš cd, o lygtį iš ab.

Tada sudėję rezultatus ir atsižvelgdami į lygtį, randame:

(ab + cd)x 2 = a 2 cd + b 2 cd + c 2 ab + d 2 ab =ac(ad + bc) + bd(bc+ad)=(ac + bd)(ad+bc),

.

Atkreipkite dėmesį, kad radikalios reikšmės skaitiklyje pirmasis daugiklis- priešingų pusių sandaugų suma, o antroji - produktų suma kraštinės, susiliejančios tam tikros įstrižainės galuose, o vardiklis reiškia kraštinių, susiliejančių kitos įstrižainės galuose, sandaugų sumą.

Po to galime pagal analogiją parašyti tokią formulę Už įstrižainės y:

.

1 išvada.

Įstrižainių sandauga ciklinis keturkampis lygus priešingų kraštinių sandaugų sumai.

Iš tiesų, padauginę x ir y išraiškas, gauname:

Šis pasiūlymas žinomas kaip Ptolemėjaus teorema.

2 išvada.

Įstrižainės santykis ciklinis keturkampis yra lygus pirmosios įstrižainės galuose susiliejančių kraštinių sandaugų ir antrosios įstrižainės galuose susiliejančių kraštinių sandaugų sumos santykiui.

Iš tiesų, padalijant tas pačias dvi lygybes, gauname:

.

Šias dvi pasekmes lengva prisiminti. Iš jų galime atvirkščiai išvesti x ir y formules (dauginant arba padalijant lygybes, apibrėžiančias xy ir x/y).

"Ratas" Matėme, kad apskritimas gali būti apibrėžiamas aplink bet kurį trikampį. Tai reiškia, kad kiekvienam trikampiui yra apskritimas, kuriame visos trys trikampio viršūnės „sėdi“. kaip tai:

Klausimas: ar tą patį galima pasakyti apie keturkampį? Ar tiesa, kad visada bus apskritimas, ant kurio „sėdės“ visos keturios keturkampio viršūnės?

Pasirodo, tai NĖRA TIKRAI! Keturkampis NE VISADA gali būti įrašytas į apskritimą. Yra labai svarbi sąlyga:

Mūsų paveikslėlyje:

Žiūrėkite, kampai ir yra priešais vienas kitą, o tai reiškia, kad jie yra priešingi. O kaip tada su kampais ir? Atrodo, kad jie taip pat yra priešingi dalykai? Ar galima imti kampus ir vietoj kampų ir?

Žinoma, galite! Svarbiausia, kad keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma bus tokia. Tada likę du kampai taip pat susidės savaime. Netikite manimi? Įsitikinkime. Žiūrėk:

Tegul būna. Ar atsimenate, kokia yra visų keturių bet kurio keturkampio kampų suma? Be abejo,. Tai yra - visada! . Tačiau → .

Magija čia pat!

Taigi atsiminkite tai labai tvirtai:

Jei keturkampis įbrėžtas į apskritimą, tai bet kurių dviejų jo priešingų kampų suma yra lygi

ir atvirkščiai:

Jei keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma yra lygi, tai keturkampis yra ciklinis.

Mes viso to čia neįrodysime (jei jus domina, pažvelkite į kitus teorijos lygius). Bet pažiūrėkime, kur tai veda nuostabus faktas kad įbrėžto keturkampio priešingų kampų suma yra lygi.

Pavyzdžiui, iškyla klausimas: ar galima apibūdinti apskritimą aplink lygiagretainį? Pirmiausia pabandykime „kišti metodą“.

Kažkaip nesiseka.

Dabar pritaikykime žinias:

Tarkime, kad mums kažkaip pavyko sutalpinti apskritimą ant lygiagretainio. Tada tikrai turi būti: , tai yra.

Dabar prisiminkime lygiagretainio savybes:

Kiekvienas lygiagretainis turi lygius priešingus kampus.

Paaiškėjo, kad

O kaip su kampais ir? Na, žinoma, tas pats.

Užrašyta → →

Lygiagretainė → →

Nuostabu, tiesa?

Pasirodo, jei lygiagretainis įrašytas į apskritimą, tai visi jo kampai yra lygūs, tai yra, tai yra stačiakampis!

Ir tuo pačiu metu - apskritimo centras sutampa su šio stačiakampio įstrižainių susikirtimo tašku. Taip sakant, tai įtraukta kaip premija.

Na, tai reiškia, kad mes išsiaiškinome, kad į apskritimą įrašytas lygiagretainis yra stačiakampis.

Dabar pakalbėkime apie trapeciją. Kas atsitiks, jei trapecija bus įrašyta į apskritimą? Bet, pasirodo, bus lygiašonė trapecija . Kodėl?

Tegu trapecija įbrėžta į apskritimą. Tada vėl, bet dėl ​​linijų lygiagretumo ir.

Tai reiškia, kad turime: → → lygiašonę trapeciją.

Net lengviau nei su stačiakampiu, tiesa? Bet jūs turite tvirtai atsiminti - tai bus naudinga:

Dar kartą išvardinkime svarbiausius pagrindiniai teiginiaiį apskritimą įbrėžto keturkampio liestinė:

1. Keturkampis įbrėžiamas į apskritimą tada ir tik tada, kai jo dviejų priešingų kampų suma yra lygi
2. Į apskritimą įbrėžtas lygiagretainis – tikrai stačiakampis o apskritimo centras sutampa su įstrižainių susikirtimo tašku
3. Į apskritimą įbrėžta trapecija yra lygiakraštė.

Įbrėžtas keturkampis. Vidutinis lygis

Yra žinoma, kad kiekvienam trikampiui yra apibrėžtas apskritimas (tai įrodėme temoje „Apribotas ratas“). Ką galima pasakyti apie keturkampį? Pasirodo, kad NE KIEKVIENAS keturkampis gali būti įrašytas į apskritimą, ir yra tokia teorema:

Keturkampis įbrėžiamas į apskritimą tada ir tik tada, kai jo priešingų kampų suma yra lygi.

Mūsų piešinyje -

Pabandykime suprasti, kodėl taip yra? Kitaip tariant, dabar įrodysime šią teoremą. Tačiau prieš įrodydami, turite suprasti, kaip veikia pats teiginys. Ar pastebėjote teiginyje žodžius „tada ir tik tada“? Tokie žodžiai reiškia, kad žalingi matematikai sugrūdo du teiginius į vieną.

Iššifruokime:

1. „Tada“ reiškia: jei keturkampis yra įbrėžtas į apskritimą, tada bet kurių dviejų jo priešingų kampų suma yra lygi.
2. „Tik tada“ reiškia: Jei keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma yra lygi, tai tokį keturkampį galima įrašyti į apskritimą.

Visai kaip Alisa: „Aš galvoju, ką sakau“ ir „Aš sakau, ką galvoju“.

Dabar išsiaiškinkime, kodėl 1 ir 2 yra teisingi?

Pirmas 1.

Tegu į apskritimą įbrėžtas keturkampis. Pažymėkime jo centrą ir nubrėžkime spindulius ir. Kas atsitiks? Ar prisimenate, kad įbrėžtas kampas yra perpus mažesnis už atitinkamą centrinį kampą? Jei prisiminsite, mes juo pasinaudosime dabar, o jei ne, pažvelkite į temą "Ratas. Įrašytas kampas".

Užrašyta

Užrašyta

Bet žiūrėk:.

Gauname, kad jei - yra įrašyta, tada

Na, aišku, kad tai taip pat pridedama. (mes taip pat turime apsvarstyti).

Dabar „atvirkščiai“, tai yra, 2.

Tegul paaiškėja, kad keturkampyje kai kurių dviejų priešingų kampų suma yra lygi. Tarkime, tegul

Mes dar nežinome, ar galime apibūdinti ratą aplink jį. Bet mes tikrai žinome, kad garantuotai galėsime apibūdinti apskritimą aplink trikampį. Taigi padarykime tai.

Jei taškas „nesėdi“ ant apskritimo, jis neišvengiamai atsiduria išorėje arba viduje.

Panagrinėkime abu atvejus.

Tegul taškas pirmiausia būna išorėje. Tada atkarpa tam tikru momentu kerta apskritimą. Prisijunkime ir. Rezultatas yra įrašytas (!) keturkampis.

Mes jau žinome apie tai, kad jo priešingų kampų suma yra lygi, tai yra ir pagal mūsų būklę.

Pasirodo, taip ir turi būti.

Bet tai negali būti dėl to, kad išorinis kampas už ir reiškia .

O kaip viduje? Darykime panašius dalykus. Tegul esmė yra viduje.

Tada atkarpos tęsinys taške kerta apskritimą. Vėlgi - įrašytas keturkampis, ir pagal sąlygą jis turi būti tenkinamas, bet - išorinis kampas už ir reiškia, tai vėl negali būti toks.

Tai yra, taškas negali būti nei apskritimo išorėje, nei viduje - tai reiškia, kad jis yra apskritime!

Visa teorema įrodyta!

Dabar pažiūrėkime, kokias geras pasekmes duoda ši teorema.

1 išvada

Į apskritimą įrašytas lygiagretainis gali būti tik stačiakampis.

Supraskime, kodėl taip yra. Tegu lygiagretainis įbrėžtas į apskritimą. Tada tai turėtų būti padaryta.

Bet iš lygiagretainio savybių tai žinome.

Ir tas pats, žinoma, dėl kampų ir.

Taigi pasirodo stačiakampis – visi kampai išilgai.

Tačiau, be to, yra dar vienas malonus faktas: apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras sutampa su įstrižainių susikirtimo tašku.

Supraskime kodėl. Tikiuosi, kad gerai atsimenate, kad kampas, kurį sudaro skersmuo, yra tiesi linija.

skersmuo,

Skersmuo

o tai reiškia, kad tai centras. Tai viskas.

2 išvada

Į apskritimą įbrėžta trapecija yra lygiašonė.

Tegu trapecija įbrėžta į apskritimą. Tada.

Ir tas pats.

Ar viską aptarėme? Tikrai ne. Tiesą sakant, yra ir kitas, „slaptas“ būdas atpažinti įrašytą keturkampį. Šį metodą suformuluosime ne itin griežtai (bet suprantamai), o įrodysime tik in paskutinis lygis teorijos.

Jeigu keturkampyje galima stebėti tokį paveikslą kaip čia paveiksle (čia kampai “žiūri” į taškų šoną ir yra lygūs), tai toks keturkampis yra įrašytas.

Tai labai svarbus piešinys – problemose jį dažnai lengviau rasti vienodi kampai, nei kampų suma ir.

Nepaisant visiško mūsų formuluotės griežtumo trūkumo, ji yra teisinga, be to, ją visada priima vieningo valstybinio egzamino egzaminuotojai. Turėtumėte parašyti kažką panašaus į tai:

"- įrašyta" - ir viskas bus gerai!

Nepamirškite šio svarbus ženklas- prisiminkite paveikslėlį ir galbūt jis laiku patrauks jūsų dėmesį sprendžiant problemą.

Įbrėžtas keturkampis. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Jei keturkampis įbrėžtas į apskritimą, tai bet kurių dviejų jo priešingų kampų suma yra lygi

ir atvirkščiai:

Jei keturkampis turi du priešingus kampus, kurių suma yra lygi, tai keturkampis yra ciklinis.

Keturkampis įbrėžiamas į apskritimą tada ir tik tada, kai jo dviejų priešingų kampų suma yra lygi.

Į apskritimą įrašyta lygiagretė- tikrai stačiakampis, o apskritimo centras sutampa su įstrižainių susikirtimo tašku.

Į apskritimą įbrėžta trapecija yra lygiašonė.