Jei galite sutalpinti apskritimą į trapeciją, tada... Trapecija

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jeigu jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslas:

• edukacinis– supažindinti su trapecijos samprata, supažindinti su trapecijos rūšimis, tirti trapecijos savybes, išmokyti studentus pritaikyti įgytas žinias sprendžiant uždavinius;
• besivystantis– mokinių komunikacinių savybių ugdymas, gebėjimo atlikti eksperimentus, apibendrinti, daryti išvadas ugdymas, domėjimosi dalyku ugdymas.
• edukacinis– ugdyti dėmesį, sukurti sėkmės, džiaugsmo iš nepriklausomybės situaciją sunkumų įveikimas, ugdyti mokiniuose saviraiškos poreikį per įvairių tipų darbai

Darbo formos: priekinė, garinė pirtis, grupė.

Vaikų užsiėmimų organizavimo forma: gebėjimas klausytis, kurti diskusiją, išsakyti mintį, klausimą, papildymą.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, ekranas. Ant mokinių stalų: ant kiekvieno mokinio stalo iškirpti medžiagą trapecijos formavimui; kortelės su užduotimis (piešinių ir užduočių atspaudai iš pamokos užrašų).

PAMOKOS EIGA

I. Organizacinis momentas

Pasisveikinimas, darbo vietos pasirengimo pamokai tikrinimas.

II. Žinių atnaujinimas

• objektų klasifikavimo įgūdžių ugdymas;
• pagrindinių ir antrinių charakteristikų nustatymas klasifikuojant.

Apsvarstykite brėžinį Nr. 1.

Toliau ateina piešinio aptarimas.
– Iš ko padaryta ši geometrinė figūra? Vaikinai atsakymą randa paveikslėliuose: [iš stačiakampio ir trikampių].
– Kokie turėtų būti trikampiai, sudarantys trapeciją?
Išklausomos ir aptariamos visos nuomonės, pasirenkamas vienas variantas: [trikampiai turi būti stačiakampiai].
– Kaip formuojami trikampiai ir stačiakampis? [Kad priešingos stačiakampio kraštinės sutaptų su kiekvieno trikampio kojele].
– Ką žinote apie priešingas stačiakampio puses? [Jie yra lygiagrečiai].
– Vadinasi, šis keturkampis turės lygiagrečias kraštines? [Taip].
- Kiek jų yra? [Du].
Po diskusijos mokytojas demonstruoja „pamokos karalienę“ – trapeciją.

III. Naujos medžiagos paaiškinimas

1. Trapecijos apibrėžimas, trapecijos elementai

• išmokyti mokinius apibrėžti trapeciją;
• pavadinkite jo elementus;
• asociatyvinės atminties ugdymas.

– Dabar pabandykite pateikti išsamų trapecijos apibrėžimą. Kiekvienas mokinys apgalvoja atsakymą į klausimą. Jie keičiasi nuomonėmis poromis ir paruošia vieną atsakymą į klausimą. Vienam mokiniui atsakoma žodžiu iš 2-3 porų.
[Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios].

– Kaip vadinamos trapecijos kraštinės? [ Lygiagrečios pusės vadinamos trapecijos pagrindais, o kitos dvi – šoninėmis kraštinėmis].

Mokytojas siūlo iškirptas figūras sulenkti į trapecijas. Mokiniai dirba poromis ir prideda figūras. Gerai, jei mokinių poros yra skirtingo lygio, tada vienas iš mokinių yra konsultantas ir padeda draugui iškilus sunkumams.

– Savo sąsiuviniuose susikurkite trapeciją, užsirašykite trapecijos kraštinių pavadinimus. Užduokite kaimynui klausimų apie piešinį, išklausykite jo atsakymus ir pasakykite jam savo atsakymų variantus.

Istorinis fonas

"Trapecija"- graikiškas žodis, senovėje reiškęs „stalas“ (graikų kalboje „trapedzion“ reiškia stalą, valgomąjį stalą. Geometrinė figūra taip pavadinta dėl išorinio panašumo į nedidelį stalą).
Elementuose (gr. Στοιχεῖα, lot. Elementa) – pagrindinis Euklido veikalas, parašytas apie 300 m. e. ir skirta sistemingam geometrijos konstravimui), terminas „trapecija“ vartojamas ne šiuolaikine, o kita prasme: bet koks keturkampis (ne lygiagretainis). „Trapecija“ mūsų prasme pirmą kartą aptinkama senovės graikų matematiko Posidonijaus (I a.). Viduramžiais, pasak Euklido, bet koks keturkampis (ne lygiagretainis) buvo vadinamas trapecija; tik XVIII a. šis žodis įgauna šiuolaikinę prasmę.

Trapecijos konstravimas iš jos pateiktų elementų. Vaikinai atlieka užduotis kortelėje Nr.1.

Mokiniai turi konstruoti įvairių išdėstymų ir formų trapecijas. 1 punkte būtina statyti stačiakampė trapecija. 2 punkte tampa įmanoma statyti lygiašonė trapecija. 3 punkte trapecija „gulės ant šono“. 4 dalyje brėžinyje sukonstruota trapecija, kurioje vienas iš pagrindų pasirodo neįprastai mažas.
Mokiniai „stebina“ mokytoją skirtingomis figūrėlėmis, dėvint tokias pačias bendras vardas– trapecijos formos. Mokytojas demonstruoja galimi variantai pastato trapecijos.

1 problema. Ar dvi trapecijos bus lygios, jei viena iš bazių ir dvi iš jų yra atitinkamai lygios? pusės?
Grupėse aptarkite problemos sprendimą ir įrodykite samprotavimų teisingumą.
Vienas mokinys iš grupės piešia piešinį lentoje ir paaiškina samprotavimus.

2. Trapecijos tipai

• plėtra motorinė atmintis, įgūdžiai sulaužyti trapeciją garsios figūros, būtinas problemoms spręsti;
• įgūdžių apibendrinti, lyginti, apibrėžti pagal analogiją ir kelti hipotezes ugdymas.

Pažiūrėkime į paveikslėlį:

– Kuo skiriasi paveikslėlyje pavaizduotos trapecijos?
Vaikinai pastebėjo, kad trapecijos tipas priklauso nuo kairėje esančio trikampio tipo.
– Užbaikite sakinį:

Trapecija vadinama stačiakampe, jei...
Trapecija vadinama lygiašone, jei...

3. Trapecijos savybės. Lygiašonės trapecijos savybės.

• pagal analogiją su lygiašoniu trikampiu iškeliant hipotezę apie lygiašonės trapecijos savybę;
• analitinių įgūdžių ugdymas (lyginti, kelti hipotezes, įrodyti, statyti).

• Atkarpa, jungianti įstrižainių vidurio taškus, yra lygi pusei pagrindų skirtumo.
• Lygiašonė trapecija turi vienodus kampus bet kuriame pagrinde.
• Lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios.
• Lygiašonės trapecijos aukštis nuleistas nuo jos viršūnės iki didesnė bazė, padalija jį į du segmentus, kurių vienas lygus pusei bazių sumos, kitas – pusei bazių skirtumo.

2 užduotis.Įrodykite, kad lygiašonėje trapecijoje: a) kampai kiekviename pagrinde lygūs; b) įstrižainės lygios. Norėdami įrodyti šias lygiašonės trapecijos savybes, primename trikampių lygybės požymius. Mokiniai užduotį atlieka grupėse, diskutuoja, sprendimą surašo į sąsiuvinius.
Vienas mokinys iš grupės atlieka įrodinėjimą prie lentos.

4. Dėmesio pratimas

5. Trapecijos formų naudojimo kasdieniame gyvenime pavyzdžiai:

• interjeruose (sofos, sienos, pakabinamos lubos);
• kraštovaizdžio dizaine (vejos ribos, dirbtiniai tvenkiniai, akmenys);
• mados industrijoje (drabužiai, avalynė, aksesuarai);
• kuriant kasdienius daiktus (lempas, indus, naudojant trapecijos formas);
• architektūroje.

Praktinis darbas(pagal galimybes).

– Vienoje koordinačių sistemoje pagal duotas tris viršūnes statykite lygiašones trapecijas.

1 parinktis: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) ir (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…; …).
2 variantas: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) ir (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …; …).

– Nustatykite ketvirtosios viršūnės koordinates.
Sprendimą tikrina ir komentuoja visa klasė. Mokiniai nurodo ketvirto rasto taško koordinates ir žodžiu bando paaiškinti kodėl duotomis sąlygomis apibrėžti tik vieną tašką.

Įdomi užduotis. Sulenkite trapeciją iš: a) keturių stačiųjų trikampių; b) iš trijų stačiųjų trikampių; c) iš dviejų stačiųjų trikampių.

IV. Namų darbai

• auklėjimas teisinga savigarba;
• sukurti kiekvienam mokiniui „sėkmės“ situaciją.

44 p., žinoti trapecijos apibrėžimą, elementus, jos tipus, žinoti trapecijos savybes, mokėti jas įrodyti, Nr.388, Nr.390.

V. Pamokos santrauka. Pamokos pabaigoje ji įteikiama vaikams anketa, kuri leidžia atlikti savianalizę, kokybiškai ir kiekybiškai įvertinti pamoką .

- (graikų trapecija). 1) geometrijoje – keturkampis, kurio dvi kraštinės lygiagrečios, o dvi ne lygiagrečios. 2) gimnastikos pratimams pritaikyta figūra. Žodynas svetimžodžiai, įtraukta į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910. TRAPEZĖ... ... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

Trapecija- Trapecija. TRAPEZĖ (iš graikų kalbos trapecija, pažodžiui lentelė), išgaubtas keturkampis, kurioje dvi kraštinės lygiagrečios (trapecijos pagrindai). Trapecijos plotas lygus pusės pagrindų (vidurinės linijos) sumos ir aukščio sandaugai. ... Iliustruotas enciklopedinis žodynas

trapecijos formos- keturkampis, sviedinys, skersinis Rusų sinonimų žodynas. trapecijos formos daiktavardis, sinonimų skaičius: 3 skersinis (21) ... Sinonimų žodynas

TRAPEZĖ- (iš graikų kalbos trapecija, pažodžiui lentelė), išgaubtas keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios (trapecijos pagrindai). Trapecijos plotas lygus pusės pagrindų (vidurinės linijos) sumos ir aukščio sandaugai... Šiuolaikinė enciklopedija

TRAPEZĖ- (iš graikiškos trapecijos liet. lentelės), keturkampis, kuriame du priešingos pusės, vadinamos trapecijos pagrindais, yra lygiagrečios (paveiksle AD ir BC), o kitos dvi yra nelygiagrečios. Atstumas tarp pagrindų vadinamas trapecijos aukščiu (esant ... ... Didysis enciklopedinis žodynas

TRAPEZĖ- TRAPEZĖ, keturkampė plokščia figūra, kuriame dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios. Trapecijos plotas lygus pusei lygiagrečių kraštinių sumos, padaugintos iš statmens tarp jų ilgio... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

TRAPEZĖ- TRAPEZĖ, trapecija, moteriška. (iš graikų trapecijos lentelės). 1. Keturkampis su dviem lygiagrečiomis ir dviem nelygiagrečiomis kraštinėmis (mat.). 2. Gimnastikos aparatas, susidedantis iš skersinio, pakabinto ant dviejų lynų (sportinis). Akrobatinis...... Žodynas Ušakova

TRAPEZĖ- TRAPEZĖ, ir, moteriška. 1. Keturkampis su dviem lygiagrečiomis ir dviem nelygiagrečiomis kraštinėmis. Trapecijos pagrindai (jos lygiagrečios kraštinės). 2. Cirko arba gimnastikos aparatas – tai ant dviejų trosų pakabintas skersinis. Ožegovo aiškinamąjį žodyną. SU… Ožegovo aiškinamasis žodynas

TRAPEZĖ- moteris, geom. keturkampis su nelygiomis kraštinėmis, iš kurių dvi lygiagrečios (lygiagrečios). Trapecija, panašus keturkampis, kuriame visos kraštinės išsiskiria. Trapecoedras, kūnas, briaunuotas trapecijos formos. Dahlio aiškinamasis žodynas. V.I. Dahl. 1863 1866… Dahlio aiškinamasis žodynas

TRAPEZĖ- (Trapecija), JAV, 1956 m., 105 min. Melodrama. Trokštantis akrobatas Tino Orsini prisijungia prie cirko trupės, kurioje dirba garsus buvęs trapecijos menininkas Mike'as Ribble'as. Mike'as kartą koncertavo su Tino tėvu. Jaunoji Orsini nori Mike'o... Kino enciklopedija

Trapecija- keturkampis, kurio dvi kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios. Atstumas tarp lygiagrečių kraštinių vadinamas. aukštis T. Jei lygiagrečiose pusėse ir aukštyje yra a, b ir h metrai, tai T plote yra kvadratinių metrų … Brockhauso ir Efrono enciklopedija

Trapecijos elementams žymėti yra specifinė terminija. Lygiagrečios šios pusės geometrinė figūra vadinamos jos bazėmis. Paprastai jie nėra lygūs vienas kitam. Tačiau yra vienas, kuris nieko nesako apie nelygiagrečias puses. Todėl kai kurie matematikai lygiagretainį laiko ypatingu trapecijos atveju. Tačiau didžiojoje daugumoje vadovėlių vis dar minimas antrosios šoninės poros, vadinamos šoninėmis, nelygiagretumas.

Yra keletas trapecijos tipų. Jei jos kraštinės yra lygios viena kitai, tada trapecija vadinama lygiašone arba lygiašone. Viena iš kraštinių gali būti statmena pagrindams. Atitinkamai, šiuo atveju figūra bus stačiakampė.

Yra dar kelios linijos, kurios apibrėžia trapecijas ir padeda apskaičiuoti kitus parametrus. Padalinkite šonus per pusę ir nubrėžkite tiesią liniją per gautus taškus. Gausite trapecijos vidurio liniją. Jis yra lygiagretus pagrindams ir jų pusinei sumai. Jį galima išreikšti formule n=(a+b)/2, kur n – ilgis, a ir b – pagrindų ilgiai. Vidurinė linija yra labai svarbus parametras. Pavyzdžiui, galite jį naudoti norėdami išreikšti trapecijos plotą, kuris yra lygus vidurio linijos ilgiui, padaugintam iš aukščio, tai yra, S = nh.

Iš kampo tarp šono ir trumpesnio pagrindo nubrėžkite statmeną ilgam pagrindui. Gausite trapecijos aukštį. Kaip ir bet kuris statmenas, aukštis - trumpiausias atstumas tarp nurodytų eilučių.

Yra papildomų savybių, kurias reikia žinoti. Kampai tarp šonų ir pagrindo yra vienas su kitu. Be to, jo įstrižainės lygios, o tai lengva lyginant jų suformuotus trikampius.

Padalinkite pagrindus per pusę. Raskite įstrižainių susikirtimo tašką. Tęskite šonus, kol jie susikerta. Gausite 4 taškus, per kuriuos galėsite nubrėžti tiesią liniją, ir tik vieną.

Vienas iš svarbios savybės bet kurio keturkampio yra gebėjimas sudaryti įbrėžtą arba apibrėžtą apskritimą. Tai ne visada veikia su trapecija. Įbrėžtas apskritimas bus suformuotas tik tuo atveju, jei pagrindų suma lygi kraštinių sumai. Apskritimas gali būti aprašytas tik aplink lygiašonę trapeciją.

Cirko trapecija gali būti stacionari arba kilnojama. Pirmasis yra mažas apvalus skersinis. Jis tvirtinamas prie cirko kupolo iš abiejų pusių geležiniais strypais. Kilnojama trapecija tvirtinama trosais ar virvėmis, gali laisvai siūbuoti. Yra dvigubos ir net trigubos trapecijos. Ta pati sąvoka reiškia ir patį cirko akrobatikos žanrą.

Terminas "trapecija"

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

\[(\Large(\tekstas(Laisva trapecija)))\]

Apibrėžimai

Trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios.

Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos pagrindais, o kitos dvi kraštinės – šoninėmis.

Trapecijos aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kitą pagrindą.

Teoremos: trapecijos savybės

1) Kampų suma šone yra \(180^\circ\) .

2) Įstrižainės padalija trapeciją į keturis trikampius, iš kurių du yra panašūs, o kiti du yra vienodo dydžio.

Įrodymas

1) Nes \(AD\parallel BC\), tada kampai \(\kampas BAD\) ir \(\kampas ABC\) yra vienpusiai šioms linijoms ir skersinei \(AB\), todėl \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) Nes \(AD\parallel BC\) ir \(BD\) yra sekantas, tada \(\angle DBC=\angle BDA\) yra skersai.
Taip pat \(\angle BOC=\angle AOD\) kaip vertikali.
Todėl dviem kampais \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Įrodykime tai \(S_(\trikampis AOB)=S_(\trikampis COD)\). Tegul \(h\) yra trapecijos aukštis. Tada \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Tada: \

Apibrėžimas

Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus.

Teorema

Trapecijos vidurio linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusinei sumai.

įrodymas*

1) Įrodykime paraleliškumą.

Per tašką \(M\) nubrėžkime tiesę \(MN"\parallel AD\) (\(N"\CD\) ). Tada pagal Thaleso teoremą (nuo \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM = MB\)) taškas \(N"\) yra atkarpos \(CD\) vidurys. Tai reiškia, kad taškai \(N\) ir \(N"\) sutaps.

2) Įrodykime formulę.

Atlikime \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Leiskite \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Tada pagal Thaleso teoremą \(M"\) ir \(N"\) yra atitinkamai atkarpų \(BB"\) ir \(CC"\) vidurio taškai. Taigi, \(MM"\) - vidurio linija\(\trikampis ABB"\) , \(NN"\) yra vidurinė linija \(\trikampis DCC"\). Todėl: \

Nes \(MN\parallel AD\parallel BC\) ir \(BB", CC"\perp AD\) , tada \(B"M"N"C"\) ir \(BM"N"C\) yra stačiakampiai. Pagal Thaleso teoremą, iš \(MN\parallel AD\) ir \(AM=MB\) išplaukia, kad \(B"M"=M"B\) . Taigi \(B"M"N"C "\) ir \(BM"N"C\) – vienodi stačiakampiai, todėl \(M"N"=B"C"=BC\) .

Taigi:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: savybė laisva trapecija

Pagrindų vidurio taškai, trapecijos įstrižainių susikirtimo taškas ir šoninių kraštinių tęsinių susikirtimo taškas yra toje pačioje tiesėje.

įrodymas*
Su įrodymu rekomenduojama susipažinti išstudijavus temą „Trikampių panašumas“.

1) Įrodykime, kad taškai \(P\) , \(N\) ir \(M\) yra toje pačioje tiesėje.

Nubrėžkime tiesę \(PN\) (\(P\) – šoninių kraštinių plėtinių susikirtimo taškas, \(N\) – \(BC\) vidurys). Tegul jis kerta kraštinę \(AD\) taške \(M\) . Įrodykime, kad \(M\) yra \(AD\) vidurio taškas.

Apsvarstykite \(\trikampis BPN\) ir \(\trikampis APM\) . Jie yra panašūs dviem kampais (\(\angle APM\) – bendras, \(\angle PAM=\kampas PBN\), kaip atitinka \(AD\parallel BC\) ir \(AB\) sekantą). Priemonės: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Apsvarstykite \(\trikampis CPN\) ir \(\triangle DPM\) . Jie yra panašūs dviem kampais (\(\angle DPM\) – bendras, \(\angle PDM=\kampas PCN\), kaip atitinka \(AD\parallel BC\) ir \(CD\) sekantą). Priemonės: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Iš čia \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Bet \(BN=NC\) todėl \(AM=DM\) .

2) Įrodykime, kad taškai \(N, O, M\) yra toje pačioje tiesėje.

Tegul \(N\) yra \(BC\) vidurio taškas, o \(O\) yra įstrižainių susikirtimo taškas. Nubrėžkime tiesę \(NO\) , ji kirs kraštinę \(AD\) taške \(M\) . Įrodykime, kad \(M\) yra \(AD\) vidurio taškas.

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) išilgai dviejų kampų (\(\angle OBN=\angle ODM\), esantis skersai ties \(BC\parallel AD\) ir \(BD\) sekante; \(\angle BON=\kampas DOM\) kaip vertikaliai). Priemonės: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Taip pat \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Priemonės: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Iš čia \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Bet \(BN=CN\) todėl \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Lygiašonė trapecija)))\]

Apibrėžimai

Trapecija vadinama stačiakampe, jei vienas iš jos kampų yra teisingas.

Trapecija vadinama lygiašone, jei jos kraštinės lygios.

Teoremos: lygiašonės trapecijos savybės

1) Lygiašonė trapecija turi vienodus pagrindo kampus.

2) Lygiašonės trapecijos įstrižainės lygios.

3) Du trikampiai, sudaryti iš įstrižainių ir pagrindo, yra lygiašoniai.

Įrodymas

1) Apsvarstykite lygiašonę trapeciją \(ABCD\) .

Iš viršūnių \(B\) ir \(C\) statmenus \(BM\) ir \(CN\) nuleidžiame atitinkamai į šoną \(AD\). Kadangi \(BM\perp AD\) ir \(CN\perp AD\) , tada \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , tada \(MBCN\) yra lygiagretainis, todėl \(BM = CN\) .

Pasvarstykime stačiųjų trikampių\(ABM\) ir \(CDN\) . Kadangi jų hipotenzės yra lygios, o kojelė \(BM\) yra lygi koja \(CN\), šie trikampiai yra lygūs, todėl \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Nes \(AB=CD, \kampas A=\kampas D, AD\)- bendras, tada pagal pirmąjį ženklą. Todėl \(AC=BD\) .

3) Nes \(\trikampis ABD=\trikampis ACD\), tada \(\angle BDA=\angle CAD\) . Todėl trikampis \(\trikampis AOD\) yra lygiašonis. Panašiai įrodyta, kad \(\trikampis BOC\) yra lygiašonis.

Teoremos: lygiašonės trapecijos ženklai

1) Jei trapecijos pagrindo kampai yra vienodi, tada ji yra lygiašonė.

2) Jei trapecijos įstrižainės yra lygios, tada ji yra lygiašonė.

Įrodymas

Apsvarstykite trapeciją \(ABCD\) taip, kad \(\kampas A = \kampas D\) .

Užbaikime trapeciją iki trikampio \(AED\), kaip parodyta paveikslėlyje. Kadangi \(\kampas 1 = \kampas 2\) , tada trikampis \(AED\) yra lygiašonis ir \(AE = ED\) . Kampai \(1\) ir \(3\) yra lygūs lygiagrečių linijų \(AD\) ir \(BC\) ir sekanto \(AB\) atitinkamiems kampams. Panašiai kampai \(2\) ir \(4\) yra lygūs, bet \(\kampas 1 = \kampas 2\), tada \(\kampas 3 = \kampas 1 = \kampas 2 = \kampas 4\), todėl trikampis \(BEC\) taip pat yra lygiašonis ir \(BE = EC\) .

Galų gale \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tai yra, \(AB = CD\), ką reikėjo įrodyti.

2) Tegu \(AC=BD\) . Nes \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), tada jų panašumo koeficientą pažymime kaip \(k\) . Tada, jei \(BO=x\) , tada \(OD=kx\) . Panašus į \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Nes \(AC=BD\) , tada \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Tai reiškia, kad \(\triangle AOD\) yra lygiašonis, o \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Taigi, pagal pirmąjį požymį \(\trikampis ABD=\trikampis ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)– bendras). Taigi, \(AB=CD\) , kodėl.