Trigonometrinės eilutės ir jų savybės. Padidinto sudėtingumo skaičių serijos

Trigonometrinės serijos Apibrėžimas. Funkcija /(x), apibrėžta neribotas skaičius D vadinamas periodiniu, jei yra toks skaičius T Ф 0, kad kiekvieno x D sąlyga tenkinama. Mažiausias iš tokių skaičių T vadinamas funkcijos f(x) periodu. 1 pavyzdys. Funkcija, apibrėžta intervale, yra periodinė, nes yra toks skaičius T = 2* φ O, kad sąlyga tenkinama visiems x. Taigi, nuodėmės funkcija x turi periodą T = 2zh. Tas pats pasakytina ir apie funkciją 2 pavyzdys. Funkcija, apibrėžta skaičių aibėje D, yra periodinė, nes yra skaičius T Ф 0, ty T = toks, kad x 6 D turime apibrėžimą. Funkcinis diapazonas tipas ao FOURIER SERIES Trigonometrinės serijos Ortogonalumas trigonometrinė sistema Trigonometrinė Furjė eilutė Pakankamos Furjė eilės funkcijos skaidomumo sąlygos vadinamos trigonometrinės serijos, o konstantos a0, a„, bn (n = 1, 2,...) vadinamos trigonometrinės eilutės (1) koeficientais. Trigonometrinės eilutės (1) dalinės sumos 5n(g) yra funkcijų, vadinamų trigonometrine sistema, linijiniai deriniai. Kadangi šios eilutės nariai yra periodinės funkcijos, kurių periodas 2n-, tai eilučių (I) konvergencijos atveju jos suma S(x) bus periodinė funkcija, kurios periodas T = 2m: Apibrėžimas. Periodinės funkcijos f(x), kurios periodas T = 2n, išplėtimas į trigonometrinę eilutę (1) reiškia, kad reikia rasti konvergentinę trigonometrinę eilutę, kurios suma lygi funkcijai /(x). . Trigonometrinės sistemos ortogonalumas Apibrėžimas. Funkcijos f(x) ir d(x), tolydžios intervale [a, 6], vadinamos stačiakampėmis šiame intervale, jei tenkinama sąlyga. Pavyzdžiui, funkcijos yra stačios intervale [-1,1]. nuo Apibrėžimo. Vadinama baigtinė arba begalinė funkcijų, kurios integruojamos intervale [a, b], sistema ortogonalioji sistema intervale [a, 6), jei bet kokiems tokio tipo skaičiams, kad m Φ n, lygybės teorema 1. Trigonometrinė sistema yra stačiakampė intervale. Bet kurį sveikąjį skaičių n Φ 0 turime žinomos formulės Trigonometrija bet kuriai natūraliai m ir n, m Ф n, randame: Galiausiai pagal bet kurio sveikojo skaičiaus formulę gauname trigonometrinę Furjė eilutę Iškelkime sau užduotį apskaičiuoti trigonometrinės eilutės (1) koeficientus, žinodami funkcija 2 teorema. Tegul lygybė galioja visoms reikšmėms x, o eilutės dešinėje lygybės pusėje tolygiai konverguoja intervale [-3z, x]. Tada galioja šios formulės: vienoda konvergencija serija (1) reiškia funkcijos f(x) tęstinumą, taigi ir integruojamumą. Todėl lygybės (2) turi prasmę. Be to, serija (1) gali būti integruota po termino. Iš kurios seka pirmoji iš (2) formulių, kai n = 0. Dabar padauginkime abi lygybės (1) puses iš cos funkcija mi, kur m yra savavališkas natūralusis skaičius: serija (3), kaip ir eilutė (1), konverguoja tolygiai. Todėl jį galima integruoti po terminą Visi integralai dešinėje, išskyrus vieną, gautą n = m, yra lygūs nuliui dėl trigonometrinės sistemos ortogonalumo. Taigi, iš kur Panašiai padauginus abi lygybės (1) puses iš sinmx ir integruojant iš -m į m, gauname, iš kur Tegu savavališkas periodinė funkcija 2* periodo f(x), integruojamas intervale *]. Iš anksto nežinoma, ar ją galima pavaizduoti kaip konvergencinių trigonometrinių eilučių sumą. Tačiau naudojant (2) formules galima apskaičiuoti konstantas a„ ir bn. Apibrėžimas. Trigonometrinė eilutė, kurios koeficientai oq, an, b„ nustatomi per funkciją f(x) pagal formules FURJER SERIJOS Trigonometrinė eilutė Trigonometrinės sistemos ortogonalumas Trigonometrinė Furjė eilutė Pakankamos sąlygos funkcijai išskaidyti į Furjė eilutės vadinamos funkcijos f(x) trigonometrine Furjė eilute, o šiomis formulėmis nustatyti koeficientai a„ , bnt – funkcijos /(x) Furjė koeficientais. Kiekviena funkcija f(x), integruojama intervale [-тр, -к], gali būti susieta su jos Furjė eilute, t.y. trigonometrinės eilutės, kurių koeficientai nustatomi formulėmis (2). Tačiau jei iš funkcijos f(x) nereikalaujame nieko, išskyrus integruojamumą intervale [-x*, m], tada paskutiniame santykio atitikmens ženklas, paprastai kalbant, negali būti pakeistas lygybės ženklu. komentuoti. Dažnai reikia išplėsti funkciją /(x) į trigonometrinę eilutę, apibrėžtą tik intervale (-*, n\ ir todėl ne periodiškai. Kadangi (2) formulėse Furjė koeficientams integralai skaičiuojami per intervalą *], tada tokioms funkcijoms galime parašyti ir trigonometrinę Furjė eilutę. Tuo pačiu, jei tęsiame funkciją f(x) periodiškai išilgai visos Ox ašies, gauname funkciją F(x), periodinę. su periodu 2n, sutampančiu su /(x) intervale (-ir, l): Ši funkcija F(x) vadinama periodiniu funkcijos /(x) plėtiniu. Be to, funkcija F(x) neturi nedviprasmiškas apibrėžimas taškuose x = ±n, ±3r, ±5r,.... Funkcijos F(x) Furjė eilutė yra identiška funkcijos /(x) Furjė eilutei. Be to, jei funkcijos /(x) Furjė eilutė konverguoja į ją, tada jos suma, būdama periodine funkcija, suteikia periodinį funkcijos /(x) tęsinį iš atkarpos |-jt, n\ į visą Jaučio ašis. Šia prasme kalbant apie Furjė eilutes funkcijai /(x), apibrėžtai intervale (-i-, jt|), tolygu kalbėjimui apie Furjė eilutes funkcijai F(x), kuri yra periodinis tęsinys. Funkcijos /(x) per visą Ox ašį. Iš to išplaukia, kad periodinėms funkcijoms pakanka suformuluoti Furjė eilučių konvergencijos kriterijus. pakankamai įrodymų Furjė eilutės konvergencija, t.y. formuluojame sąlygas suteikta funkcija, pagal kurią susilieja iš jos sukonstruota Furjė serija, ir išsiaiškinsime, kaip elgiasi šios serijos suma. Svarbu pabrėžti, kad nors toliau pateikta monotoninių funkcijų klasė yra gana plati, funkcijos, kurioms Furjė serija konverguoja, jos neišsemia. Apibrėžimas. Funkcija f(x) vadinama atkarpos [a, 6] dalimis monotoniška, jei ši atkarpa gali būti padalinta į intervalus baigtiniu taškų skaičiumi, kurių kiekviename f(x) yra monotoniškas, t.y. arba nemažėja, arba nedidėja (žr. 1 pav.). 1 pavyzdys. Funkcija yra fragmentiškai monotoniška intervale (-oo,oo), nes šis intervalas gali būti padalintas į du intervalus (-co, 0) ir (0, +oo), kurių pirmame jis mažėja (ir todėl nedidėja), o antruoju didėja (ir todėl nemažėja). 2 pavyzdys. Funkcija fragmentiškai monotoniška atkarpoje [-зг, jt|, nes ši atkarpa gali būti padalinta į du intervalus, kurių pirmame cos i didėja nuo -I iki +1, o antrajame mažėja nuo. 3 teorema. Funkcija f(x), fragmentiškai monotoniška ir apribota intervalu (a, b]), gali turėti tik pirmos rūšies nenutrūkstamumo taškus. Tada dėl ribos funkcijos f(x) ir monotoniškumo abiejose taško c pusėse yra baigtinės ribos. 4 teorema. Jei periodinė funkcija f(x) su periodu 2π yra ribojama intervale [-m, m), tada jos Furjė eilutė konverguoja kiekviename šio intervalo taške ir sumai. šios serijos lygybės tenkinamos: Prmmer3. 2jt periodo funkcija /(z), apibrėžta intervale (-*,*) lygybe (3 pav.), tenkina teoremos sąlygas. Todėl ją galima išplėsti į Furjė seriją. Jai randame Furjė koeficientus: Furjė serija šiai funkcijai turi formą 4 pavyzdys. Išplėskite funkciją į Furjė seriją (4 pav.) intervale Ši funkcija tenkina teoremos sąlygas. Raskime Furjė koeficientus. Naudojant adityvumo savybę apibrėžtasis integralas, turėsime FURJ SERIJA Trigonometrinė eilutė Trigonometrinės sistemos stačiakampis Trigonometrinė Furjė eilutė Pakankamos Furjė eilutės funkcijos skaidomumo sąlygos. , t. y. taškuose x = -x ir x = x, kurie yra pirmosios rūšies nenutrūkstamumo taškai, turėsime Pastaba Jei rastoje Furjė eilutėje įdėsime x = 0, tai gausime iš to.

Moksle ir technikoje dažnai tenka susidurti su periodiškais reiškiniais, t.y. tie, kurie atkuriami po tam tikro laiko T, vadinamas tašku. Paprasčiausia iš periodinių funkcijų (išskyrus konstantą) yra sinusoidinis dydis: Asin(x+ ), harmoninis svyravimas, kur yra „dažnis“, susijęs su periodu santykiu: . Iš tokių paprastų periodinių funkcijų galima sudaryti sudėtingesnes. Akivaizdu, kad komponentiniai sinusoidiniai dydžiai turi būti skirtingų dažnių, nes pridėjus to paties dažnio sinusoidinius dydžius, gaunamas tokio paties dažnio sinusoidinis dydis. Jei sudėsite kelis formos kiekius

Kaip pavyzdį čia pateikiame trijų sinusinių dydžių pridėjimą: . Pažvelkime į šios funkcijos grafiką

Šis grafikas labai skiriasi nuo sinusinės bangos. Taip pat į didesniu mastu tai įvyksta begalinės serijos, sudarytos iš šio tipo terminų, sumai. Užduokime klausimą: ar ši periodinė periodinė funkcija gali būti T pavaizduoti kaip baigtinių ar bent jau skaičių begalinis skaičius sinusoidiniai kiekiai? Pasirodo, kad kalbant apie didelę funkcijų klasę, į šį klausimą galima atsakyti teigiamai, tačiau tai tik tuo atveju, jei įtraukiame visą begalinę tokių terminų seką. Geometriškai tai reiškia, kad periodinės funkcijos grafikas gaunamas uždedant sinusoidų eilę. Jei apsvarstysime kiekvieną sinusoidinė vertė kaip kokia harmonika svyruojantis judesys, tada galime sakyti, kad tai sudėtingas svyravimas, kuriam būdinga funkcija arba tiesiog jos harmonikos (pirma, antra ir kt.). Periodinės funkcijos skaidymo į harmonikas procesas vadinamas harmoninė analizė.

Svarbu pažymėti, kad tokie išplėtimai dažnai būna naudingi tiriant funkcijas, nurodytas tik tam tikrame baigtiniame intervale, o ne generuojamas jokių virpesių reiškinių.

Apibrėžimas. Trigonometrinė serija yra šios formos serija:

Arba (1).

Realūs skaičiai vadinami trigonometrinių eilučių koeficientais. Šią seriją taip pat galima parašyti taip:

Jei pirmiau pateikto tipo eilutė suartėja, tada jos suma yra periodinė funkcija su periodu 2p.

Apibrėžimas. Trigonometrinės eilutės Furjė koeficientai vadinami: (2)

(3)

(4)

Apibrėžimas. Furjė netoliese f(x) vadinama trigonometrine eilute, kurios koeficientai yra Furjė koeficientai.

Jei funkcijos Furjė serija f(x) suartėja su juo visuose tęstinumo taškuose, tada sakome, kad funkcija f(x) išsiplečia į Furjė seriją.

Teorema.(Dirichlet teorema) Jei funkcijos periodas yra 2p ir yra tęstinis intervale arba turi galutinis skaičius Pirmojo tipo nenutrūkstamumo taškai, atkarpą galima padalyti į baigtinį skaičių segmentų, kad kiekvienoje iš jų funkcija būtų monotoniška, tada funkcijos Furjė eilutė suartėja visoms reikšmėms X, o funkcijos tęstinumo taškuose jo suma S(x) yra lygus , o nutrūkimo taškuose jo suma lygi , t.y. kairėje ir dešinėje esančių ribinių verčių aritmetinis vidurkis.

Šiuo atveju funkcijos Furjė serija f(x) tolygiai susilieja į bet kurį segmentą, priklausantį funkcijos tęstinumo intervalui.

Funkcija, kuri tenkina šios teoremos sąlygas, vadinama atkarpoje sklandžiai.

Panagrinėkime Furjė serijos funkcijos išplėtimo pavyzdžius.

1 pavyzdys. Išplėskite funkciją į Furjė seriją f(x)=1-x, turintis menstruacijų 2p ir pateikta segmente .

Sprendimas. Nubraižykime šią funkciją

Ši funkcija yra ištisinė atkarpoje , tai yra periodo ilgio atkarpoje, todėl ją galima išplėsti į Furjė eilutę, konverguojant į ją kiekviename šios atkarpos taške. Naudodami (2) formulę randame šios serijos koeficientą: .

Taikykime integravimo dalimis formulę ir raskime atitinkamai iš (3) ir (4) formulių:

Pakeitę koeficientus į (1) formulę, gauname arba .

Ši lygybė galioja visuose taškuose, išskyrus taškus ir (taškus, kuriuose grafikai sujungti). Kiekviename iš šių taškų serijos suma yra lygi jos ribinių verčių dešinėje ir kairėje aritmetiniam vidurkiui, ty.

Pateiksime funkcijos išskaidymo algoritmą Furjė serijoje.

Bendra tvarka Problemos sprendimas yra toks.

Kelių lankų kosinusais ir sinusais, t.y. formos serija

arba viduje sudėtinga forma

Kur a k,b k arba, atitinkamai, c k paskambino T.r koeficientai
Pirmą kartą T. r. rastas L. Euler (L. Euler, 1744). Jis gavo skilimą

Visi R. 18-ojo amžiaus Tyrinėjant stygos laisvosios vibracijos problemą, iškilo klausimas apie galimybę pavaizduoti funkciją, apibūdinančią pradinė padėtis stygos, T. r sumos pavidalu. Šis klausimas sukėlė karštas, kelis dešimtmečius trukusias diskusijas tarp geriausių to meto analitikų – D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Eu1er). Ginčai kilo dėl funkcijos sąvokos turinio. Tuo metu funkcijos dažniausiai buvo siejamos su jų analitinėmis funkcijomis. užduotį, dėl kurios buvo svarstoma tik analitinė arba dalimis analitinės funkcijos. Ir čia prireikė funkcijai, kurios grafikas yra gana savavališkas, sukonstruoti šią funkciją reprezentuojančią TR. Tačiau šių ginčų reikšmė didesnė. Tiesą sakant, jie diskutavo arba kilo dėl klausimų, susijusių su daugeliu iš esmės svarbios sąvokos ir matematikos idėjas. analizė apskritai - funkcijų vaizdavimas Taylor serijomis ir analitinis. funkcijų tęsinys, divergentinių eilučių naudojimas, ribos, begalinės lygčių sistemos, funkcijos daugianariais ir kt.
Ir ateityje, kaip ir šiuo pradiniu laikotarpiu, teorija apie tr. pasitarnavo kaip naujų matematikos idėjų šaltinis. Furjė integralas, beveik periodinės funkcijos, bendrosios stačiakampės eilutės, abstrakčiai. Tyrimas dėl T. r. buvo aibių teorijos kūrimo atskaitos taškas. T.r. yra galingas įrankis funkcijoms vaizduoti ir tyrinėti.
Klausimą, dėl kurio kilo ginčai tarp XVIII amžiaus matematikų, 1807 metais išsprendė J. Furjė, nurodęs termodinamikos koeficientų skaičiavimo formules. (1), kuris turėtų. pavaizduokite funkciją f(x):

ir pritaikė juos sprendžiant šilumos laidumo problemas. Formulės (2) vadinamos Furjė formulėmis, nors anksčiau jos buvo rastos A. Clairaut (1754), o L. Euleris (1777) jas pasiekė naudodamas terminą integraciją. T.r. (1), kurių koeficientai nustatomi formulėmis (2), vadinama. Funkcijos f Furjė eilutės ir skaičiai a k, b k- Furjė koeficientai.
Gautų rezultatų pobūdis priklauso nuo to, kaip suprantamas funkcijos vaizdavimas serija, kaip suprantamas integralas formulėse (2). Šiuolaikinė teorija T.r. įgytas pasirodžius Lebesgue integralui.
Teorija apie T. r. galima suskirstyti į dvi dideles dalis – teorija Furjė serija, kurioje daroma prielaida, kad eilutė (1) yra tam tikros funkcijos Furjė eilutė, ir bendrosios termodinamikos teorija, kur tokia prielaida nedaroma. Žemiau pateikiami pagrindiniai rezultatai, gauti bendrosios termodinamikos teorijoje. (šiuo atveju aibės ir funkcijų išmatuojamumas suprantami pagal Lebesgue).
Pirmasis sisteminis TR tyrimas, kuriame nebuvo manoma, kad šios serijos yra Furjė eilutės, buvo W. Riemanno disertacija (W. Riemann, 1853). Todėl teorija apie bendrąjį T. r. paskambino kartais Riemano teorija apie T. r.
Ištirti savavališko TR savybes. (1) kurių koeficientai linkę į nulį B. Riemannas nuolatinė funkcija F(x) , kuri yra tolygiai susiliejančių eilučių suma

gauta po dvigubo etapo integravimo eilučių (1). Jei serija (1) konverguoja tam tikrame taške x į skaičių s, tai šiame taške egzistuoja ir yra lygi s antroji simetriška. F funkcijos:

tada sumuojama serija (1), kurią sukuria veiksniai paskambino Riemann sumavimo metodas. Naudojant funkciją F, suformuluotas Riemano lokalizacijos principas, pagal kurį (1) serijos elgsena taške x priklauso tik nuo funkcijos F elgsenos savavališkai mažoje šio taško kaimynystėje.
Jeigu T. r. susilieja su teigiamų matų rinkiniu, tada jo koeficientai linkę į nulį (Cantor-Lebesgue). Siekiama nulinių TR koeficientų. taip pat išplaukia iš jos konvergencijos antrosios kategorijos rinkinyje (W. Young, W. Young, 1909).
Vienas iš centrinės problemos teorijos generolo T. r. yra savavališkos TR funkcijos vaizdavimo problema. Sustiprinęs N. N. Luzino (1915) rezultatus apie T. R. funkcijų vaizdavimą, apibendrintus Abel-Poisson ir Riemann metodais, D. E. Menshovas įrodė (1940) tokią teoremą, susijusią su svarbiausiu atveju, kai funkcijos vaizdavimas. f suprantama kaip T.r. Į f(x) beveik visur. Kiekvienai funkcijai f, kuri yra išmatuojama ir baigtinė beveik visur, egzistuoja tiesinė lygtis, kuri suartėja su ja beveik visur (Menšovo teorema). Pažymėtina, kad net jei f yra integruojamas, tada, paprastai kalbant, neįmanoma laikyti Furjė funkcijos f serija, nes yra Furjė eilučių, kurios visur skiriasi.
Aukščiau pateikta Menšovo teorema leidžia paaiškinti: jei funkcija f yra išmatuojama ir baigtinė beveik visur, tada egzistuoja tokia, beveik visur ir terminiškai diferencijuota funkcijos j Furjė eilutė beveik visur konverguoja į f(x) (N.K. Bari, 1952).
Nežinoma (1984), ar Menšovo teoremoje beveik visur galima praleisti funkcijos f baigtinumo sąlygą. Visų pirma, nežinoma (1984 m.), ar T. r. susilieja beveik visur
Todėl buvo svarstoma funkcijų, galinčių gauti begalines vertes teigiamų matų rinkinyje, vaizdavimo problema, kai ji pakeičiama silpnesniu reikalavimu - . Matų konvergencija prie funkcijų, kurios gali turėti begalines reikšmes, apibrėžiamas taip: dalinės sumos T. p. s n(x) konverguoja į funkciją f(x) . jei kur fn(x) susilieja su / (x) beveik visur, o seka konverguoja iki nulio. Šioje formuluotėje funkcijų vaizdavimo klausimas yra visiškai išspręstas: kiekvienai išmatuojamai funkcijai yra TR, kuris suartėja su juo matu (D. E. Menshov, 1948).
Daug tyrimų buvo skirta TR unikalumo problemai: ar du skirtingi TR gali skirtis tai pačiai funkcijai; kita formuluote: jei T. r. konverguoja į nulį, ar iš to išplaukia, kad visi serijos koeficientai yra lygūs nuliui. Čia galime reikšti konvergenciją visuose taškuose arba visuose taškuose, esančiuose už tam tikros aibės ribų. Atsakymas į šiuos klausimus iš esmės priklauso nuo tos aibės savybių, už kurių ribų konvergencija nelaikoma.
Sukurta tokia terminija. Daug vardų daugelio unikalumas arba U- nustatyti, jei nuo konvergencijos T. r. iki nulio visur, išskyrus, galbūt, aibės taškus E, iš to seka, kad visi šios serijos koeficientai yra lygūs nuliui. Priešingu atveju Yenaz. M rinkinys.
Kaip parodė G. Cantor (G. Cantor, 1872), kaip ir bet kuri baigtinė aibė yra U aibės. Savavališkas yra ir U raidė (W. Jung, 1909). Kita vertus, kiekvienas teigiamų matų rinkinys yra M aibė.
M matų aibių egzistavimą nustatė D. E. Menshovas (1916), sukūręs pirmąjį tobulos aibės, turinčios šias savybes, pavyzdį. Šis rezultatas yra labai svarbus unikalumo problemai spręsti. Iš nulio matavimo M rinkinių išplaukia, kad kai trikampių eilučių funkcijos vaizduojamos kaip susiliejančios beveik visur, šios eilutės nustatomos akivaizdžiai unikaliu būdu.
Tobuli rinkiniai taip pat gali būti U formos rinkiniai (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Unikalumo problemoje labai svarbus vaidmuo tenka subtilios savybės nulinių matavimų rinkiniai. Bendras klausimas dėl nulinių matmenų rinkinių klasifikavimo į M- o U-set lieka (1984) atidarytas. Tai nėra išspręsta net už tobuli rinkiniai.
Ši problema yra susijusi su unikalumo problema. Jeigu T. r. susilieja su funkcija tada ši eilutė turėtų būti funkcijos / Furjė eilutė. P. Du Bois-Reymond (1877) davė teigiamą atsakymą į šį klausimą, jei f yra Riemano integralioji ir eilutė visuose taškuose konverguoja į f(x). Iš III rezultatų. J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) teigia, kad atsakymas yra teigiamas net ir tuo atveju, kai visur, išskyrus skaičiuojamą taškų rinkinį, eilutė suartėja ir jos suma yra baigtinė.
Jei eilučių eilutė absoliučiai konverguoja tam tikrame taške x 0, tai šios eilutės konvergencijos taškai, taip pat jos absoliučios konvergencijos taškai yra simetriškai taško x 0 atžvilgiu. (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Pagal Denjoy – Luzino teorema nuo absoliučios TR konvergencijos. (1) teigiamų matų rinkinyje eilutė suartėja ir todėl absoliuti konvergencija(1) eilutė visiems X.Šią savybę turi ir antrosios kategorijos rinkiniai, ir tam tikri nulio matavimo rinkiniai.
Ši apžvalga apima tik vienmačius TR. (1). Yra atskiri rezultatai, susiję su bendru T. r. iš kelių kintamųjų. Čia daugeliu atvejų vis dar reikia rasti natūralias problemų formuluotes.

Lit.: Bari N.K., Trigonometrinė serija, M., 1961; Zygmund A., Trigonometrinė eilutė, vert. iš anglų k., t. 1-2, M., 1965; Luzin N.N., Integral and trigonometric series, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., vert. iš vokiečių kalbos, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Telakovskis.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. I. M. Vinogradovas. 1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „TRIGONOMETRIC SERIES“ kituose žodynuose:

Formos eilutė, kurioje koeficientai a0, a1, b1, a2, b2 ... nepriklauso nuo kintamojo x ... Didysis enciklopedinis žodynas

Matematikoje trigonometrinė eilutė yra bet kuri formos eilutė: Trigonometrinė eilutė vadinama funkcijos Furjė eilute, jei koeficientai ir apibrėžiami taip... Vikipedija

Formos (1) funkcinė serija, ty serija, esanti išilgai kelių lankų sinusų ir kosinusų. Dažnai T.r. Sudėtinga forma parašyti skaičiai an, bn arba cn vadinami koeficientais T.… … Didžioji sovietinė enciklopedija

Formos eilutė, kurioje koeficientai a0, a1, b1, a2, b2, ... nepriklauso nuo kintamojo x. * * * TRIGONOMETRINĖS SERIES TRIGONOMETRINĖS SERIES, formos, kai koeficientai a0, a1, b1, a2, b2 ... nepriklauso nuo kintamojo x ... enciklopedinis žodynas

Trigonometrinė Furjė eilutės savavališkos funkcijos vaizdavimas su tašku serijos pavidalu (1) arba naudojant sudėtingas rekordas, serijos forma: . Turinys... Vikipedija

begalinė trigonometrinė Furjė serija- - Telekomunikacijų temos, pagrindinės sąvokos EN Furjė serija ... Techninis vertėjo vadovas

Įvadinės pastabos

Mes apsvarstysime Furjė eilutės išraiškas trigonometrine ir sudėtinga forma, taip pat atkreipsime dėmesį į Dirichlet sąlygas Furjė eilutės konvergencijai. Be to, mes išsamiai gyvensime prie tokios sąvokos kaip neigiamas signalo spektro dažnis, kuri dažnai sukelia sunkumų susipažįstant su spektrinės analizės teorija, paaiškinimu.

Periodinis signalas. Trigonometrinė Furjė serija

Pavyzdžiui, 1 paveiksle parodyta c trukmės stačiakampių impulsų seka, kartojama su c periodu.

1 pav. Periodinė seka

Stačiakampiai impulsai

Iš kurso matematinė analizėžinoma, kad trigonometrinių funkcijų sistema

Dirichlet sąlygos Furjė serijos konvergencijai reikalauja, kad segmente būtų nurodytas periodinis signalas ir tenkinamos šios sąlygos:

Pavyzdžiui, periodinė funkcija neatitinka Dirichlet sąlygų, nes funkcija turi antrojo tipo netolydumus ir įgyja begalines vertes ties , kur yra savavališkas sveikasis skaičius. Taigi funkcija negali būti pavaizduotas Furjė serija. Taip pat galite pateikti funkcijos pavyzdį , kuris yra ribotas, bet taip pat netenkina Dirichlet sąlygų, nes artėjant prie nulio turi begalinį ekstremumo taškų skaičių. Funkcijos grafikas parodyta 2 paveiksle.

2 pav. Funkcijų grafikas :

A - du kartojimo periodai; b - netoliese

2a paveiksle pavaizduoti du funkcijos pasikartojimo periodai , o 2b paveiksle - plotas, esantis šalia . Matyti, kad artėjant prie nulio virpesių dažnis be galo didėja, ir tokios funkcijos Furjė serija pavaizduoti negalima, nes ji nėra monotoniška.

Reikėtų pažymėti, kad praktiškai nėra signalų su begalinėmis srovės ar įtampos reikšmėmis. Funkcijos su begalinis skaičius tipo ekstremumai taip pat viduje taikomų problemų nesusitikti. Visi realūs periodiniai signalai atitinka Dirichlet sąlygas ir gali būti pavaizduoti begaline trigonometrine Furjė eilute, kurios forma:

Išraiškoje (2) koeficientas nurodo pastovų periodinio signalo komponentą.

Visuose taškuose, kur signalas yra nenutrūkstamas, Furjė serija (2) konverguoja į duoto signalo reikšmes, o pirmosios rūšies nenutrūkstamumo taškuose - į vidutinę reikšmę , kur ir yra ribos kairėje ir atitinkamai į dešinę nuo nutrūkimo taško.

Iš matematinės analizės taip pat žinoma, kad naudojant sutrumpintą Furjė eilutę, kurioje vietoj begalinės sumos yra tik pirmieji nariai, gaunamas apytikslis signalo vaizdas:

3 pav. Signalų aproksimacija naudojant sutrumpintą Furjė eilutę:

A - stačiakampiai impulsai; b - pjūklo signalas

Furjė serija sudėtinga forma

Taigi periodinį signalą galima pavaizduoti pastovaus komponento ir kompleksinių eksponentų, besisukančių dažniais su teigiamų dažnių koeficientais, ir sudėtingų eksponentų, besisukančių neigiamais dažniais, suma.

Panagrinėkime kompleksinių eksponentų, besisukančių teigiamais dažniais, koeficientus:

Išraiškos (6) ir (7) sutampa, be to, pastovųjį komponentą taip pat galima parašyti per kompleksinį eksponentinį nulinį dažnį:

Taigi, (5), atsižvelgiant į (6)-(8), gali būti pavaizduota kaip viena suma, kai indeksuojama nuo minus begalybės iki begalybės:

Išraiška (9) yra sudėtingos formos Furjė eilutė. Sudėtingos formos Furjė eilutės koeficientai yra susiję su eilučių in koeficientais trigonometrinė forma, ir yra nustatomi tiek teigiamam, tiek neigiamam dažniui. Dažnio žymėjime esantis apatinis indeksas nurodo diskrečiosios harmonikos skaičių, o neigiamus indeksus atitinka neigiamus dažnius.

Iš (2) išraiškos išplaukia, kad realiam signalui serijos (2) koeficientai taip pat yra realūs. Tačiau (9) realų signalą susieja su kompleksinių konjuguotų koeficientų rinkiniu, susijusių tiek su teigiamais, tiek su neigiamais dažniais.

Kai kurie Furjė serijos paaiškinimai sudėtinga forma

Pirma, dirbti su sudėtingais eksponentais daugeliu atvejų yra lengviau nei dirbti su trigonometrinėmis funkcijomis. Pavyzdžiui, dauginant ir dalinant sudėtingus rodiklius, pakanka tik sudėti (atimti) laipsnius, o trigonometrinių funkcijų dauginimo ir dalijimo formulės yra sudėtingesnės.

Diferencijuoti ir integruoti eksponentus, net sudėtingus, taip pat lengviau trigonometrinės funkcijos, kurios nuolat kinta diferenciacijos ir integracijos metu (sinusas virsta kosinusu ir atvirkščiai).

Jei signalas yra periodinis ir tikras, tada trigonometrinė Furjė eilutė (2) atrodo aiškesnė, nes visi plėtimosi koeficientai , ir išlieka realūs. Tačiau dažnai tenka susidurti su sudėtingais periodiniais signalais (pavyzdžiui, moduliuojant ir demoduliuojant naudojamas kvadratinis kompleksinio apvalkalo atvaizdas). Šiuo atveju, naudojant trigonometrinę Furjė eilutę, visi koeficientai ir plėtiniai (2) taps sudėtingi, o naudojant Furjė kompleksinę formą (9), tie patys plėtimosi koeficientai bus naudojami tiek realiems, tiek sudėtingiems įvesties signalams. .

Ir galiausiai, būtina pasilikti prie neigiamų dažnių, pasirodžiusių (9), paaiškinimo. Šis klausimas dažnai sukelia nesusipratimų. IN Kasdienybė mes nesusiduriame su neigiamais dažniais. Pavyzdžiui, mes niekada nederiname savo radijo neigiamo dažnio. Panagrinėkime šią mechanikos analogiją. Tegul būna mechaninė spyruoklinė švytuoklė, kuri laisvai svyruoja tam tikru dažniu. Ar gali švytuoklė svyruoti neigiamu dažniu? Žinoma ne. Kaip nėra radijo stočių, transliuojančių neigiamais dažniais, taip ir švytuoklės virpesių dažnis negali būti neigiamas. Tačiau spyruoklinė švytuoklė yra vienmatis objektas (švytuoklė svyruoja išilgai vienos tiesios linijos).

Taip pat galime pateikti kitą analogiją iš mechanikos: ratas, besisukantis dažniu . Ratas, skirtingai nei švytuoklė, sukasi, t.y. taškas rato paviršiuje juda plokštumoje, o ne tiesiog svyruoja išilgai vienos tiesios linijos. Todėl norint vienareikšmiškai nurodyti rato sukimąsi, neužtenka nustatyti sukimosi greitį, nes reikia nustatyti ir sukimosi kryptį. Būtent todėl galime naudoti dažnio ženklą.

Taigi, jei ratas sukasi dažniu rad/s prieš laikrodžio rodyklę, tai laikysime, kad ratas sukasi teigiamu dažniu, o jei pagal laikrodžio rodyklę, tada sukimosi dažnis bus neigiamas. Taigi sukimosi komandai neigiamas dažnis nustoja būti nesąmonė ir rodo sukimosi kryptį.

Ir dabar svarbiausias dalykas, kurį turime suprasti. Vienmačio objekto vibracija (pvz. spyruoklinė švytuoklė) gali būti pavaizduota kaip dviejų vektorių, parodytų 4 paveiksle, sukimosi suma.

4 pav. Spyruoklinės švytuoklės svyravimas

Kaip dviejų vektorių sukimosi suma

įjungta sudėtinga plokštuma

Švytuoklė svyruoja išilgai tikrosios kompleksinės plokštumos ašies dažniu harmonijos dėsnis. Švytuoklės judėjimas rodomas kaip horizontalus vektorius. Viršutinis vektorius sukasi kompleksinėje plokštumoje teigiamu dažniu (prieš laikrodžio rodyklę), o apatinis vektorius sukasi neigiamu dažniu (pagal laikrodžio rodyklę). 4 paveikslas aiškiai iliustruoja gerai žinomą trigonometrijos kurso ryšį:

Taigi Furjė serija kompleksine forma (9) vaizduoja periodinius vienmačius signalus kaip vektorių sumą kompleksinėje plokštumoje, besisukančių teigiamais ir neigiamais dažniais. Tuo pačiu metu atkreipkime dėmesį, kad tikrojo signalo atveju pagal (9) neigiamų dažnių plėtimosi koeficientai yra kompleksiškai konjuguoti su atitinkamais teigiamų dažnių koeficientais. Sudėtingo signalo atveju ši koeficientų savybė negalioja dėl to, kad ir taip pat yra sudėtingi.

Periodinių signalų spektras

Kadangi periodiniai signalai išdėstomi iš eilės tik fiksuoto dažnio tinkle, periodinių signalų spektras yra linijinis (diskretusis).

5 pav. Periodinės sekos spektras

Stačiakampiai impulsai:

A - amplitudės spektras; b - fazių spektras

5 paveiksle parodytas periodinės stačiakampių impulsų sekos amplitudės ir fazių spektro pavyzdys (žr. 1 pav.), esant c, impulso trukmei c ir impulso amplitudei B.

Pradinio tikrojo signalo amplitudės spektras yra simetriškas nulinio dažnio atžvilgiu, o fazių spektras yra antisimetriškas. Tuo pačiu metu pastebime, kad fazių spektro reikšmės ir atitinka tą patį tašką kompleksinėje plokštumoje.

Galime daryti išvadą, kad visi sumažinto signalo plėtimosi koeficientai yra grynai realūs, o fazių spektras atitinka neigiamus koeficientus.

Atkreipkite dėmesį, kad amplitudės spektro matmuo sutampa su signalo matmeniu. Jei jis apibūdina įtampos pokytį laikui bėgant, matuojamas voltais, tada spektro harmonikų amplitudės taip pat turės voltų dydį.

išvadas

Išsamiai aptarėme Furjė serijos išraišką sudėtinga forma ir parodėme, kad periodinius signalus, tiek tikrus, tiek sudėtingus, vaizduoja sudėtingų eksponentų serija su teigiamais ir neigiamais dažniais. Šiuo atveju plėtimosi koeficientai taip pat yra sudėtingi ir apibūdina periodinio signalo amplitudę ir fazių spektrą.

IN kitą skyrių Išsamiau panagrinėsime periodinių signalų spektrų savybes.

Programinės įrangos diegimas DSPL bibliotekoje