Mokykloje daugelis žmonių nesugeba išspręsti integralų arba turi su jais kokių nors sunkumų. Šis straipsnis padės jums tai išsiaiškinti, nes jame rasite viską. vientisos lentelės.
Integralinis yra vienas iš pagrindinių skaičiavimų ir sąvokų matematinė analizė. Jo išvaizda atsirado dėl dviejų tikslų:
Pirmas įvartis- atkurti funkciją naudojant jos išvestinę.
Antras įvartis- ploto, esančio atstumu nuo grafiko iki funkcijos f(x) tiesėje, kur a yra didesnis arba lygus x didesnis arba lygus b ir x ašiai, apskaičiavimas.
Šie tikslai veda mus į apibrėžtus ir neapibrėžtus integralus. Ryšys tarp šių integralų yra savybių paieška ir skaičiavimas. Bet viskas teka ir laikui bėgant keičiasi, buvo rasti nauji sprendimai, identifikuoti papildymai, taip vedant apibrėžtus ir neapibrėžtus integralus į kitas integracijos formas.
Kas atsitiko neapibrėžtas integralas tu klausi. Tai yra vieno kintamojo x antiderivatinė funkcija F(x), esanti intervale a, didesnė nei x didesnė už b. vadinama bet kokia funkcija F(x), duotame intervale bet kokiam žymėjimui x išvestinė lygi F(x). Akivaizdu, kad F(x) yra antiderivinė f(x) intervale a yra didesnis nei x yra didesnis už b. Tai reiškia, kad F1(x) = F(x) + C. C – yra bet kokia konstanta ir antidarinė f(x) tam tikrame intervale. Šis teiginys yra apverčiamas funkcijai f(x) - 2 antidariniai skiriasi tik konstanta. Remiantis teorema integralinis skaičiavimas paaiškėja, kad kiekviena ištisinė intervale a
Apibrėžtasis integralas suprantama kaip riba integralinėse sumose arba tam tikroje (a,b) eilutėje apibrėžtos funkcijos f(x) situacijoje, kurioje yra antidarinė F, reiškianti jos išraiškų skirtumą tam tikros eilutės galuose. F(b) – F(a).
Norėdami iliustruoti šios temos tyrimą, siūlau pažiūrėti vaizdo įrašą. Jame išsamiai pasakojama ir parodoma, kaip rasti integralus.
Kiekviena integralų lentelė pati savaime yra labai naudinga, nes padeda sprendžiant konkretus tipas integralai.
Visų galimų raštinės reikmenų tipai ir kt. Įsigyti galite per internetinę parduotuvę v-kant.ru. Arba tiesiog sekite nuorodą Kanceliarinės prekės Samara (http://v-kant.ru) kokybė ir kainos jus maloniai nustebins.
Išvardykime integralus elementarios funkcijos, kurios kartais vadinamos lentelėmis:
Bet kurią iš aukščiau pateiktų formulių galima įrodyti imant dešinės pusės išvestinę (rezultatas bus integrandas).
Integravimo metodai
Pažvelkime į keletą pagrindinių integravimo būdų. Tai apima:
1. Dekompozicijos metodas(tiesioginė integracija).
Šis metodas pagrįstas tiesioginiu lentelių integralų naudojimu, taip pat neapibrėžto integralo 4 ir 5 savybių naudojimu (t. y. pastovaus koeficiento išėmimu iš skliaustų ir (arba) integrando atvaizdavimu kaip funkcijų suma – išskaidymas integrando į terminus).
1 pavyzdys. Pavyzdžiui, norėdami rasti(dx/x 4), galite tiesiogiai naudoti lentelės integralą x n dx. Tiesą sakant,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.
2 pavyzdys. Norėdami jį rasti, naudojame tą patį integralą:
3 pavyzdys. Norėdami jį rasti, turite pasiimti
4 pavyzdys. Norėdami rasti, formoje atstovaujame integrando funkciją 
ir eksponentinei funkcijai naudokite lentelės integralą:
Laikykime skliaustų naudojimą pastoviu veiksniu.
5 pavyzdys.
Pavyzdžiui, suraskime 
. Atsižvelgdami į tai, gauname
6 pavyzdys. Surasime. Nes 
, naudokime lentelės integralą 
Mes gauname
Toliau pateiktuose dviejuose pavyzdžiuose taip pat galite naudoti skliaustus ir lentelės integralus:
7 pavyzdys.
(naudojame ir 
);
8 pavyzdys.
(mes naudojame 
Ir 
).
Pažvelkime į sudėtingesnius pavyzdžius, kuriuose naudojamas sumos integralas.
9 pavyzdys. Pavyzdžiui, suraskime 
. Norėdami taikyti išplėtimo metodą skaitiklyje, naudojame sumos kubo formulę , o gautą daugianarį dalijame iš vardiklio, terminas po termino.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Pažymėtina, kad sprendinio pabaigoje rašoma viena bendra konstanta C (o ne atskiros integruojant kiekvieną terminą). Ateityje taip pat siūloma sprendinio proceso atskirų terminų integravimo konstantas praleisti tol, kol reiškinyje yra bent vienas neapibrėžtas integralas (sprendimo pabaigoje rašysime vieną konstantą).
10 pavyzdys. Mes surasime 
. Norėdami išspręsti šią problemą, skaitiklį suskaidykime faktoriais (po to vardiklį galime sumažinti).
11 pavyzdys. Surasime. Čia galima naudoti trigonometrines tapatybes.
Kartais, norint išskaidyti išraišką į terminus, reikia naudoti sudėtingesnius metodus.
12 pavyzdys. Mes surasime 
. Integrande pasirenkame visą trupmenos dalį 
. Tada
13 pavyzdys. Mes surasime
2. Kintamojo pakeitimo metodas (pakeitimo metodas)
Metodas pagrįstas tokia formule: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kur x =(t) yra funkcija, diferencijuojama pagal nagrinėjamą intervalą.
Įrodymas. Raskime išvestines kintamojo t atžvilgiu iš kairės ir teisingos dalys formules.
Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusėje yra sudėtinga funkcija, kurios tarpinis argumentas yra x = (t). Todėl norėdami jį diferencijuoti t atžvilgiu, pirmiausia diferencijuojame integralą x atžvilgiu, o tada imame tarpinio argumento išvestinę t atžvilgiu.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Išvestinė iš dešinės pusės:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Kadangi šios išvestinės yra lygios, remiantis Lagrange'o teorema, įrodomos formulės kairioji ir dešinioji pusės skiriasi tam tikra konstanta. Kadangi patys neapibrėžtieji integralai yra apibrėžti iki neapibrėžto konstantos termino, ši konstanta gali būti neįtraukta į galutinį žymėjimą. Įrodyta.
Sėkmingas kintamojo pakeitimas leidžia supaprastinti pradinį integralą, o paprasčiausiais atvejais sumažinti jį iki lentelės. Taikant šį metodą, skiriami tiesinio ir netiesinio pakeitimo metodai.
a) Tiesinio pakeitimo metodas Pažiūrėkime į pavyzdį.
1 pavyzdys.
. Tada tegul t= 1 – 2x
dx=d(½ – ½t) = – ½ dt
Reikėtų pažymėti, kad naujo kintamojo nereikia aiškiai įrašyti. Tokiais atvejais kalbama apie funkcijos transformavimą po diferencialo ženklu arba apie konstantų ir kintamųjų įvedimą po diferencialo ženklu, t.y. O numanomas kintamojo pakeitimas.
2 pavyzdys. Pavyzdžiui, suraskimecos(3x + 2)dx. Pagal diferencialo savybes dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tadacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Abiejuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose integralams rasti buvo naudojamas tiesinis pakaitalas t=kx+b(k0).
Bendruoju atveju galioja tokia teorema.
Tiesinio pakeitimo teorema. Tegu F(x) yra tam tikra funkcijos f(x) antidarinė. Tadaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kur k ir b yra tam tikros konstantos,k0.
Įrodymas.
Pagal integralo f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C apibrėžimą. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Iš integralo ženklo išimkime pastovų koeficientą k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Dabar galime padalyti kairę ir dešinę lygybės puses į dvi ir gauti teiginį, kurį reikia įrodyti iki pastovaus nario žymėjimo.
Ši teorema teigia, kad jei integralo f(x)dx= F(x) + C apibrėžime vietoj argumento x pakeisime išraišką (kx+b), atsiras papildoma koeficientas 1/k prieš antidarinį.
Naudodamiesi patikrinta teorema, išsprendžiame šiuos pavyzdžius.
3 pavyzdys.
Mes surasime 
. Čia kx+b= 3 –x, t.y. k= -1,b= 3. Tada
4 pavyzdys.
Surasime. Herekx+b= 4x+ 3, t.y. k= 4,b= 3. Tada
5 pavyzdys.
Mes surasime 
. Čia kx+b= -2x+ 7, t.y. k= -2,b= 7. Tada
.
6 pavyzdys. Mes surasime 
. Čia kx+b= 2x+ 0, t.y. k= 2,b=0.
.
Palyginkime gautą rezultatą su 8 pavyzdžiu, kuris buvo išspręstas skaidymo metodu. Išspręsdami tą pačią problemą kitu metodu, gavome atsakymą 
. Palyginkime rezultatus: Taigi šios išraiškos viena nuo kitos skiriasi pastoviu terminu 
, t.y. Gauti atsakymai vienas kitam neprieštarauja.
7 pavyzdys. Mes surasime 
. Vardiklyje pasirinkite tobulą kvadratą.
Kai kuriais atvejais pakeitus kintamąjį integralas nesumažėja tiesiai į lentelę, bet gali supaprastinti sprendimą, todėl kitame žingsnyje galima naudoti išplėtimo metodą.
8 pavyzdys. Pavyzdžiui, suraskime 
. Pakeiskite t=x+ 2, tada dt=d(x+ 2) =dx. Tada
,
kur C = C 1 – 6 (pakeitus reiškinį (x+ 2) vietoj pirmųjų dviejų dėmenų, gauname ½x 2 -2x– 6).
9 pavyzdys. Mes surasime 
. Tegu t= 2x+ 1, tada dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Pakeiskime raišką (2x+ 1) t, atidarykime skliaustus ir duokime panašius.
Atkreipkite dėmesį, kad transformacijų procese perėjome prie kito pastovaus termino, nes transformacijos proceso metu pastovių terminų grupės galima praleisti.
b) Netiesinio pakeitimo metodas Pažiūrėkime į pavyzdį.
1 pavyzdys.
. Lett = -x 2. Tada galima x išreikšti t, tada rasti dx išraišką ir įgyvendinti kintamojo pakeitimą norimame integrale. Tačiau šiuo atveju lengviau viską daryti kitaip. Leiskite rasti = d(-x 2) = -2xdx. Atkreipkite dėmesį, kad išraiška xdx yra norimo integralo integrando veiksnys. Išreikškime ją iš gautos lygybėsxdx= - ½dt. Tada
Antiderivatinė funkcija ir neapibrėžtas integralas
1 faktas. Integravimas yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas, būtent funkcijos atkūrimas iš žinomos šios funkcijos išvestinės. Taip atkurta funkcija F(x) vadinamas antiderivatinis už funkciją f(x).
Apibrėžimas 1. Funkcija F(x f(x) tam tikru intervalu X, jei visoms vertybėms x nuo šio intervalo galioja lygybė F "(x)=f(x), tai yra šią funkciją f(x) yra vedinys iš antiderivatinė funkcija F(x). .
Pavyzdžiui, funkcija F(x) = nuodėmė x yra funkcijos antidarinys f(x) = cos x visoje skaičių eilutėje, nes bet kuriai x reikšmei (nuodėmė x)" = (cos x) .
Apibrėžimas 2. Neapibrėžtas funkcijos integralas f(x) yra visų jo antidarinių rinkinys. Šiuo atveju naudojamas žymėjimas
∫
f(x)dx
,kur yra ženklas ∫ vadinama integralo ženklu, funkcija f(x) – integravimo funkcija ir f(x)dx – integrandinė išraiška.
Taigi, jei F(x) – kai kurie antidariniai skirti f(x), Tai
∫
f(x)dx = F(x) +C
Kur C - savavališka konstanta (konstanta).
Suprasti funkcijos kaip antidarinių aibės reikšmę neapibrėžtas integralas Tinkama tokia analogija. Tebūnie durys (tradicinės medinės durys). Jo funkcija yra „būti durimis“. Iš ko padarytos durys? Pagaminta iš medžio. Tai reiškia, kad integrando funkcijos „būti durimis“ antidarinių aibė, tai yra jos neapibrėžtas integralas, yra funkcija „būti medžiu + C“, kur C yra konstanta, kuri šiame kontekste gali nurodyti, pavyzdžiui, medžio tipą. Kaip durys yra pagamintos iš medžio naudojant kai kuriuos įrankius, funkcijos išvestinė yra „pagaminta“ iš antidarinės funkcijos naudojant formules, kurias išmokome studijuodami išvestinę .
Tada įprastų objektų ir juos atitinkančių antidarinių ("būti durimis" - "būti medžiu", "būti šaukštu" - "būti metalu" ir kt.) funkcijų lentelė yra panaši į pagrindinių lentelę. neapibrėžtieji integralai, kurie bus pateikti toliau. Neapibrėžtų integralų lentelėje pateikiamos bendros funkcijos, nurodant antidarinius, iš kurių šios funkcijos yra „pagamintos“. Dalyje neapibrėžtinio integralo paieškos problemų pateikiami integrandai, kuriuos galima integruoti tiesiogiai be didelių pastangų, tai yra, naudojant neapibrėžtų integralų lentelę. Sudėtingesnėse problemose pirmiausia reikia transformuoti integrandą, kad būtų galima naudoti lentelės integralus.
2 faktas. Atkurdami funkciją kaip antidarinį, turime atsižvelgti į savavališką konstantą (konstantą) C, o kad nerašytum antidarinių sąrašo su įvairiomis konstantomis nuo 1 iki begalybės, reikia parašyti antidarinių rinkinį su savavališka konstanta C, pavyzdžiui, taip: 5 x³+C. Taigi, savavališka konstanta (konstanta) įtraukiama į antidarinės išraišką, nes antidarinys gali būti funkcija, pavyzdžiui, 5 x³+4 arba 5 x³+3, o kai diferencijuota, 4 arba 3 arba bet kuri kita konstanta tampa nuliu.
Iškelkime integravimo problemą: šiai funkcijai f(x) rasti tokią funkciją F(x), kurio vedinys lygus f(x).
1 pavyzdys. Raskite funkcijos antidarinių aibę
Sprendimas. Šiai funkcijai antidarinys yra funkcija
Funkcija F(x) vadinamas funkcijos antidariniu f(x), jei išvestinė F(x) yra lygus f(x), arba, kas yra tas pats, diferencialas F(x) yra lygus f(x) dx, t.y.
(2)
Todėl funkcija yra funkcijos antidarinys. Tačiau tai nėra vienintelis antiderivatinis preparatas, skirtas . Jie taip pat atlieka funkcijas
Kur SU– savavališka konstanta. Tai galima patikrinti diferencijuojant.
Taigi, jei funkcijai yra vienas antidarinys, tada jai yra begalinis rinkinys antidariniai, kurie skiriasi pastoviu terminu. Visi funkcijos antidariniai parašyti aukščiau pateikta forma. Tai išplaukia iš šios teoremos.
Teorema (2 formalus fakto konstatavimas). Jeigu F(x) – funkcijos antidarinys f(x) tam tikru intervalu X, tada bet koks kitas antidarinis skirtas f(x) tame pačiame intervale gali būti pavaizduotas formoje F(x) + C, Kur SU– savavališka konstanta.
IN sekantį pavyzdį Jau kreipiamės į integralų lentelę, kuri bus pateikta 3 pastraipoje po neapibrėžtinio integralo savybių. Tai darome prieš skaitydami visą lentelę, kad būtų aiški to, kas išdėstyta pirmiau, esmė. O po lentelės ir ypatybių integravimo metu naudosime jas visas.
2 pavyzdys. Raskite antiderivatinių funkcijų rinkinius:
Sprendimas. Randame antiderivatinių funkcijų rinkinius, iš kurių šios funkcijos „pagamintos“. Minėdami formules iš integralų lentelės, kol kas tiesiog sutikite, kad ten yra tokios formulės, o pačią neapibrėžtinių integralų lentelę panagrinėsime šiek tiek toliau.
1) Taikant formulę (7) iš integralų lentelės n= 3, gauname
2) Naudojant (10) formulę iš integralų lentelės n= 1/3, mes turime
3) Nuo tada
tada pagal (7) formulę su n= -1/4 randame
Po integraliu ženklu parašyta ne pati funkcija. f, o jo produktas pagal diferencialą dx. Tai pirmiausia daroma siekiant nurodyti, pagal kurį kintamąjį ieškoma antidarinio. Pavyzdžiui,
,
;
čia abiem atvejais integrandas lygus , bet jo neapibrėžtieji integralai nagrinėjamais atvejais pasirodo esantys skirtingi. Pirmuoju atveju ši funkcija laikoma kintamojo funkcija x, o antrajame - kaip funkcija z .
Funkcijos neapibrėžto integralo radimo procesas vadinamas tos funkcijos integravimu.
Neapibrėžtinio integralo geometrinė reikšmė
Tarkime, kad turime rasti kreivę y=F(x) ir mes jau žinome, kad liestinės polinkio kampo liestinė kiekviename taške yra suteikta funkcija f(x)šio taško abscisė.
Pagal geometrine prasme išvestinė, liestinės kampo liestinė tam tikrame kreivės taške y=F(x) lygi vertei išvestinė F"(x). Taigi turime rasti tokią funkciją F(x), kuriam F"(x) = f (x). Užduotyje reikalinga funkcija F(x) yra antidarinys f(x). Uždavinio sąlygas tenkina ne viena kreivė, o kreivių šeima. y=F(x)- viena iš šių kreivių ir iš jos galima gauti bet kurią kitą kreivę lygiagretus perdavimas palei ašį Oy.
Pavadinkime antidarinės funkcijos grafiku f(x) integralinė kreivė. Jeigu F"(x) = f (x), tada funkcijos grafikas y=F(x) yra integralinė kreivė.
3 faktas. Neapibrėžtas integralas geometriškai pavaizduotas visų integralų kreivių šeima , kaip žemiau esančiame paveikslėlyje. Kiekvienos kreivės atstumas nuo koordinačių pradžios nustatomas pagal savavališką integravimo konstantą C.
Neapibrėžtinio integralo savybės
4 faktas. 1 teorema. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui, o diferencialas – integrandui.
5 faktas. 2 teorema. Funkcijos diferencialo neapibrėžtasis integralas f(x) lygus funkcijai f(x) iki pastovaus termino , t.y.
(3)
1 ir 2 teoremos rodo, kad diferenciacija ir integravimas yra tarpusavyje atvirkštinės operacijos.
6 faktas. 3 teorema. Pastovus daugiklis V integrandas gali būti išimtas iš neapibrėžtinio integralo ženklo , t.y.
