Tiesinė priklausomybė Ir linijinė nepriklausomybė vektoriai.
Vektorių pagrindas. Afininė koordinačių sistema

Žiūrovų salėje stovi vežimėlis su šokoladukais, o kiekvienas lankytojas šiandien gaus saldžią porelę – analitinę geometriją su tiesine algebra. Šis straipsnis apims dvi dalis vienu metu. aukštoji matematika, ir pamatysime, kaip jie susitvarkys viename pakete. Pailsėk, suvalgyk Twix! ...velnias, kokia nesąmonė. Nors, gerai, balų neįtrauksiu, galiausiai į studijas reikėtų nusiteikti teigiamai.

Tiesinė vektorių priklausomybė, tiesinio vektoriaus nepriklausomybė, vektorių pagrindu o kiti terminai turi ne tik geometrinė interpretacija, bet, visų pirma, algebrinė reikšmė. Pati „vektoriaus“ sąvoka žiūrint iš požiūrio tiesinė algebra- tai ne visada yra „įprastas“ vektorius, kurį galime pavaizduoti plokštumoje ar erdvėje. Įrodymų toli ieškoti nereikia, pabandykite nupiešti penkiamatės erdvės vektorių . Arba orų vektorius, dėl kurio ką tik nuėjau į Gismeteo: – temperatūra ir atmosferos slėgis atitinkamai. Pavyzdys, žinoma, yra neteisingas savybių požiūriu vektorinė erdvė, tačiau, nepaisant to, niekas nedraudžia formalizuoti šių parametrų kaip vektorių. Rudens dvelksmas...

Ne, aš nesiruošiu jums nuobodžiauti teorija, tiesinėmis vektorinėmis erdvėmis, užduotis yra suprasti apibrėžimai ir teoremos. Naujieji terminai (tiesinė priklausomybė, nepriklausomybė, tiesinis derinys, pagrindas ir kt.) taikomi visiems vektoriams algebriniu požiūriu, tačiau bus pateikti geometriniai pavyzdžiai. Taigi viskas paprasta, prieinama ir aišku. Už užduočių ribų analitinė geometrija pažiūrėsime kai kuriuos tipinės užduotys algebra Norint įsisavinti medžiagą, patartina susipažinti su pamokomis Manekenų vektoriai Ir Kaip apskaičiuoti determinantą?

Plokštumos vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė.
Plokštumos pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Apsvarstykime jūsų kompiuterio stalo plokštumą (tik stalas, naktinis staliukas, grindys, lubos, kas jums patinka). Užduotį sudarys šie veiksmai:

1) Pasirinkite plokštumos pagrindą. Grubiai tariant, stalviršis turi ilgį ir plotį, todėl intuityviai suprantama, kad pagrindui sukurti reikės dviejų vektorių. Akivaizdu, kad vieno vektoriaus nepakanka, trijų vektorių yra per daug.

2) Remiantis pasirinktu pagrindu nustatyti koordinačių sistemą(koordinačių tinklelis), kad priskirtumėte koordinates visiems lentelės objektams.

Nenustebkite, iš pradžių paaiškinimai bus ant pirštų. Be to, ant jūsų. Prašau vietą rodomasis pirštas kaire ranka ant stalviršio krašto, kad jis žiūrėtų į monitorių. Tai bus vektorius. Dabar vieta mažasis pirštas dešine ranka ant stalo krašto tokiu pat būdu – kad būtų nukreiptas į monitoriaus ekraną. Tai bus vektorius. Šypsokis, tu puikiai atrodai! Ką galime pasakyti apie vektorius? Duomenų vektoriai kolinearinis, o tai reiškia linijinis išreikšti vienas per kitą:
, gerai, arba atvirkščiai: , kur koks nors skaičius skiriasi nuo nulio.

Šio veiksmo nuotrauką galite pamatyti klasėje. Manekenų vektoriai, kur paaiškinau vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę.

Ar jūsų pirštai nustatys pagrindą ant kompiuterio stalo plokštumos? Akivaizdu, kad ne. Kolineariniai vektoriai keliauja pirmyn ir atgal vienas kryptimi, o plokštuma turi ilgį ir plotį.

Tokie vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas.

Nuoroda: Žodžiai „linijinis“, „tiesiškai“ reiškia faktą, kad in matematines lygtis, išraiškose nėra kvadratų, kubelių, kitų laipsnių, logaritmų, sinusų ir kt. Yra tik tiesinės (1 laipsnio) išraiškos ir priklausomybės.

Du plokštumos vektoriai tiesiškai priklausomas jei ir tik tada, kai jie yra kolineariniai.

Sukryžiuokite pirštus ant stalo taip, kad tarp jų būtų ne 0 arba 180 laipsnių kampas. Du plokštumos vektoriailinijinis Ne priklausomi tada ir tik tada, kai jie nėra kolineariniai. Taigi gaunamas pagrindas. Nereikia gėdytis, kad pagrindas pasirodė „iškreiptas“ su skirtingo ilgio nestatmenais vektoriais. Labai greitai pamatysime, kad jo konstrukcijai tinka ne tik 90 laipsnių kampas, o ne tik vienodo ilgio vienetiniai vektoriai

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis būdas išplečiamas pagal pagrindą:
, kur yra realieji skaičiai. Skaičiai skambinami vektoriaus koordinates V šiuo pagrindu.

Taip pat sakoma, kad vektoriuspateikta kaip linijinis derinys baziniai vektoriai. Tai yra, išraiška vadinama vektoriaus skaidymaspagal pagrindą arba linijinis derinys baziniai vektoriai.

Pavyzdžiui, galime pasakyti, kad vektorius yra išskaidytas pagal ortonormalų plokštumos pagrindą, arba galime pasakyti, kad jis pavaizduotas kaip tiesinis vektorių derinys.

Suformuluokime pagrindo apibrėžimas formaliai: Lėktuvo pagrindas vadinama tiesiškai nepriklausomų (ne kolinearinių) vektorių pora, , kol bet koks plokštumos vektorius yra tiesinis bazinių vektorių derinys.

Esminis apibrėžimo punktas yra tai, kad vektoriai yra paimti V tam tikra tvarka . Bazės – tai dvi visiškai skirtingos bazės! Kaip sakoma, negali pakeisti kairės rankos mažojo piršto vietoj dešinės rankos mažojo piršto.

Mes išsiaiškinome pagrindą, tačiau neužtenka nustatyti koordinačių tinklelį ir kiekvienam kompiuterio stalo elementui priskirti koordinates. Kodėl neužtenka? Vektoriai yra laisvi ir klaidžioja visoje plokštumoje. Taigi, kaip priskirti koordinates toms mažoms nešvarioms vietoms ant stalo, likusioms po laukinio savaitgalio? Reikalingas atspirties taškas. Ir toks orientyras yra visiems pažįstamas taškas – koordinačių kilmė. Supraskime koordinačių sistemą:

Pradėsiu nuo „mokyklos“ sistemos. Jau įjungta įvadinė pamoka Manekenų vektoriai Pabrėžiau kai kuriuos skirtumus tarp stačiakampės koordinačių sistemos ir stačiakampio pagrindo. Štai standartinis paveikslėlis:

Kai jie kalba apie stačiakampė koordinačių sistema, tada dažniausiai jie reiškia koordinačių kilmę, koordinačių ašys ir mastelį išilgai ašių. Pabandykite į paieškos variklį įvesti „stačiakampė koordinačių sistema“ ir pamatysite, kad daugelis šaltinių jums pasakys apie koordinačių ašis, pažįstamas iš 5–6 klasės, ir kaip nubraižyti taškus plokštumoje.

Kita vertus, atrodo, kad stačiakampė sistema koordinates galima visiškai nustatyti ortonormaliu pagrindu. Ir tai beveik tiesa. Formuluotė yra tokia:

kilmės, Ir ortonormalus nustatytas pagrindas Dekarto stačiakampio plokštumos koordinačių sistema . Tai yra stačiakampė koordinačių sistema būtinai yra apibrėžtas vienu tašku ir dviem vienetiniais stačiakampiais vektoriais. Štai kodėl jūs matote piešinį, kurį pateikiau aukščiau - viduje geometrinės problemos Dažnai (bet ne visada) nubrėžiami ir vektoriai, ir koordinačių ašys.

Manau, kad visi supranta, kad naudojant tašką (kilmę) ir ortonormalų pagrindą Bet koks TAŠKAS lėktuve ir BET VEKTORIAUS lėktuve galima priskirti koordinates. Vaizdžiai tariant, „viskas lėktuve gali būti sunumeruota“.

Ar jie įpareigoti koordinačių vektoriai būti izoliuotam? Ne, jie gali būti savavališkai nulinio ilgio. Apsvarstykite tašką ir du ortogonalinis vektorius savavališkas ne nulis ilgis:

Toks pagrindas vadinamas stačiakampis. Koordinačių su vektoriais kilmė apibrėžiama koordinačių tinkleliu, o bet kuris plokštumos taškas, bet koks vektorius turi savo koordinates tam tikru pagrindu. Pavyzdžiui, arba. Akivaizdus nepatogumas yra tas, kad koordinačių vektoriai V bendras atvejis turi skirtingus ilgius, išskyrus vienetą. Jei ilgiai lygūs vienetui, tada gaunamas įprastas ortonormalus pagrindas.

! Pastaba : stačiakampyje, taip pat žemiau afininės bazės nagrinėjami plokštumos ir erdvės vienetai išilgai ašių SĄLYGINĖ. Pavyzdžiui, viename vienete išilgai x ašies yra 4 cm, viename vienete išilgai ordinačių ašies yra 2 cm. Šios informacijos pakanka, kad prireikus „nestandartines“ koordinates būtų galima konvertuoti į „mūsų įprastus centimetrus“.

Ir antras klausimas, į kurį iš tikrųjų jau buvo atsakyta, ar kampas tarp bazinių vektorių turi būti lygus 90 laipsnių? Ne! Kaip nurodyta apibrėžime, baziniai vektoriai turi būti tik nekolinearinis. Atitinkamai, kampas gali būti bet koks, išskyrus 0 ir 180 laipsnių.

Taškas lėktuve vadinamas kilmės, Ir nekolinearinis vektoriai, , rinkinys afininės plokštumos koordinačių sistema :

Kartais tokia koordinačių sistema vadinama įstrižas sistema. Kaip pavyzdžiai, brėžinyje rodomi taškai ir vektoriai:

Kaip suprantate, afininė koordinačių sistema yra dar mažiau patogi vektorių ir atkarpų ilgių formulės, kurias aptarėme antroje pamokos dalyje, joje neveikia; Manekenų vektoriai, daug skanių formulių, susijusių su vektorių skaliarinė sandauga. Tačiau galioja vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklės, segmento padalijimo formulės šiuo atžvilgiu, taip pat kai kurios kitos problemos, kurias netrukus apsvarstysime.

Ir išvada tokia, kad patogiausias specialus atvejis afininė sistema koordinatės yra Dekarto stačiakampė sistema. Štai kodėl tau dažniausiai tenka ją matyti, mano brangioji. ...Tačiau viskas šiame gyvenime yra reliatyvu – yra daug situacijų, kai įstrižas kampas (ar koks kitas, pvz. poliarinis) koordinačių sistema. Ir humanoidams tokios sistemos gali patikti =)

Pereikime prie praktinės dalies. Visos užduotys šią pamoką galioja ir stačiakampei koordinačių sistemai, ir bendrajai giminingajai raidei. Čia nėra nieko sudėtingo, visa medžiaga prieinama net moksleiviui.

Kaip nustatyti plokštumos vektorių kolineariškumą?

Tipiškas dalykas. Tam, kad du plokštumos vektoriai buvo kolinerinės, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos Iš esmės tai yra akivaizdžių santykių detalizavimas po koordinatės.

1 pavyzdys

a) Patikrinkite, ar vektoriai yra kolinearūs .
b) Ar vektoriai sudaro pagrindą? ?

Sprendimas:
a) Išsiaiškinkime, ar yra vektorių proporcingumo koeficientas, kad būtų įvykdytos lygybės:

Aš tikrai papasakosiu apie „foppish“ programos tipą šios taisyklės, kuris praktiškai veikia gana gerai. Idėja yra nedelsiant sudaryti proporciją ir patikrinti, ar ji teisinga:

Padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių santykio:

Sutrumpinkime:
, taigi atitinkamos koordinatės yra proporcingos, todėl

Santykis gali būti sukurtas atvirkščiai, tai yra lygiavertis variantas:

Norėdami atlikti savęs patikrinimą, galite naudoti faktą, kad kolineariniai vektoriai yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. IN šiuo atveju yra lygybės . Jų pagrįstumą galima lengvai patikrinti atliekant elementarias operacijas su vektoriais:

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Mes tiriame vektorių kolineariškumą . Sukurkime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad iš antrosios lygties išplaukia, kad tai reiškia sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi atitinkamos vektorių koordinatės nėra proporcingos.

Išvada: vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Supaprastinta sprendimo versija atrodo taip:

Padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių :
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Paprastai šios parinkties recenzentai neatmeta, tačiau problema iškyla tais atvejais, kai kai kurios koordinatės yra lygios nuliui. kaip tai: . Arba taip: . Arba taip: . Kaip čia išnaudoti proporcijas? (Iš tiesų, jūs negalite padalyti iš nulio). Būtent dėl ​​šios priežasties supaprastintą sprendimą pavadinau „foppish“.

Atsakymas: a) , b) forma.

Mažas kūrybinis pavyzdys Už savarankiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Kokioje parametro reikšmėje yra vektoriai ar jie bus kolineariniai?

Mėginio tirpale parametras randamas per proporciją.

Yra grakštus algebrinis metodas vektorių kolineariškumo tikrinimas Susisteminkime savo žinias ir pridėkime tai kaip penktą tašką:

Dviejų vektorių plokštumos yra lygiavertės šiuos teiginius :

2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra kolineariniai;

+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra nulis.

Atitinkamai, sekantys priešingi teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai priklausomi;
2) vektoriai nesudaro pagrindo;
3) vektoriai yra kolineariniai;
4) vektoriai gali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, lygus nuliui .

Aš tikrai labai to tikiuosi šiuo metu jūs jau suprantate visus terminus ir teiginius, su kuriais susiduriate.

Pažvelkime atidžiau į naują, penktąjį tašką: du plokštumos vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:. Naudojimui šios savybės Natūralu, kad reikia mokėti rasti determinantų.

Nuspręskime 1 pavyzdys antruoju būdu:

a) Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių :
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra kolineariniai.

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių :
, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Atsakymas: a) , b) forma.

Tai atrodo daug kompaktiškiau ir gražiau nei sprendimas su proporcijomis.

Nagrinėjamos medžiagos pagalba galima nustatyti ne tik vektorių kolineariškumą, bet ir įrodyti atkarpų bei tiesių lygiagretumą. Panagrinėkime keletą problemų, susijusių su konkrečiomis geometrinėmis formomis.

3 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas: Problemoje nereikia kurti brėžinio, nes sprendimas bus grynai analitinis. Prisiminkime lygiagretainio apibrėžimą:
Lygiagretainis Vadinamas keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

Taigi, būtina įrodyti:
1) priešingų kraštinių lygiagretumas ir;
2) priešingų kraštinių lygiagretumas ir.

Mes įrodome:

1) Raskite vektorius:

2) Raskite vektorius:

Rezultatas yra tas pats vektorius („pagal mokyklą“ – lygūs vektoriai). Kolineariškumas yra gana akivaizdus, ​​tačiau geriau įforminti sprendimą aiškiai, susitarus. Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra kolineariniai ir .

Išvada: Priešingos pusės keturkampiai yra lygiagretūs poromis, o tai reiškia, kad pagal apibrėžimą tai yra lygiagretainis. Q.E.D.

Daugiau gerų ir skirtingų figūrų:

4 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra trapecija.

Norint tiksliau suformuluoti įrodymą, žinoma, geriau gauti trapecijos apibrėžimą, tačiau pakanka tiesiog prisiminti, kaip ji atrodo.

Tai užduotis, kurią turite išspręsti patys. Pilnas sprendimas pamokos pabaigoje.

O dabar atėjo laikas lėtai judėti iš lėktuvo į kosmosą:

Kaip nustatyti erdvės vektorių kolineariškumą?

Taisyklė labai panaši. Kad du erdvės vektoriai būtų kolineriniai, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos.

5 pavyzdys

Sužinokite, ar šie erdvės vektoriai yra kolineariniai:

A) ;
b)
V)

Sprendimas:
a) Patikrinkime, ar yra atitinkamų vektorių koordinačių proporcingumo koeficientas:

Sistema neturi sprendimo, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolineariniai.

„Supaprastintas“ įforminamas tikrinant proporciją. Šiuo atveju:
– atitinkamos koordinatės nėra proporcingos, vadinasi, vektoriai nėra kolinijiniai.

Atsakymas: vektoriai nėra kolineariniai.

b-c) Tai savarankiško sprendimo taškai. Išbandykite dviem būdais.

Yra metodas, leidžiantis patikrinti erdvinių vektorių kolineariškumą naudojant trečiosios eilės determinantą, šis metodas aprašyta straipsnyje Vektorinė vektorių sandauga.

Panašiai kaip ir plokštumos atveju, nagrinėjamais įrankiais galima tirti erdvinių atkarpų ir tiesių lygiagretumą.

Sveiki atvykę į antrą skyrių:

Vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė trimatėje erdvėje.
Erdvinis pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Daugelis modelių, kuriuos ištyrėme plokštumoje, galios erdvėje. Bandžiau sumažinti teorijos pastabas, nes liūto dalis informacijos jau buvo sukramtyta. Tačiau rekomenduoju atidžiai perskaityti įžanginę dalį, nes atsiras naujų terminų ir sąvokų.

Dabar vietoj kompiuterio stalo plokštumos tyrinėjame trimatę erdvę. Pirmiausia sukurkime jo pagrindą. Kažkas dabar yra patalpoje, kažkas lauke, bet bet kuriuo atveju negalime išvengti trijų matmenų: pločio, ilgio ir aukščio. Todėl norint sukurti pagrindą, reikės trijų erdvinių vektorių. Vieno ar dviejų vektorių neužtenka, ketvirtas – nereikalingas.

Ir vėl šildome ant pirštų. Prašau pakelti ranką ir ištiesti skirtingos pusės nykštis, rodyklė ir vidurinis pirštas . Tai bus vektoriai, jie atrodo skirtingomis kryptimis, yra skirtingo ilgio ir turi skirtingi kampai tarpusavyje. Sveikiname, trimatės erdvės pagrindas yra paruoštas! Beje, mokytojams to demonstruoti nereikia, kad ir kaip pirštus suktum, bet nuo apibrėžimų nepabėgsi =)

Toliau paklauskime svarbus klausimas, ar bet kurie trys vektoriai sudaro pagrindą trimatė erdvė ? Trimis pirštais tvirtai prispauskite prie kompiuterio stalo viršaus. Kas atsitiko? Trys vektoriai yra vienoje plokštumoje, ir, grubiai tariant, praradome vieną iš matmenų – aukštį. Tokie vektoriai yra koplanarinis ir visiškai akivaizdu, kad trimatės erdvės pagrindas nėra sukurtas.

Reikėtų pažymėti, kad koplanariniai vektoriai neturi būti toje pačioje plokštumoje, jie gali būti lygiagrečiose plokštumose (tik nedarykite to pirštais, tai padarė tik Salvadoras Dali =)).

Apibrėžimas: vektoriai vadinami koplanarinis, jei yra plokštuma, kuriai jie lygiagretūs. Čia logiška pridurti, kad jei tokios plokštumos nėra, vektoriai nebus lygiagrečiai.

Trys koplanariniai vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi, tai yra, jie yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. Paprastumo dėlei dar kartą įsivaizduokime, kad jie guli toje pačioje plokštumoje. Pirma, vektoriai yra ne tik koplanarūs, jie taip pat gali būti kolineariniai, tada bet koks vektorius gali būti išreikštas bet kuriuo vektoriumi. Antruoju atveju, jei, pavyzdžiui, vektoriai nėra kolineariniai, tada trečiasis vektorius per juos išreiškiamas unikaliu būdu: (ir kodėl, nesunku atspėti iš ankstesniame skyriuje pateiktos medžiagos).

Ir atvirkščiai: trys nevienaplaniai vektoriai visada yra tiesiškai nepriklausomi, tai yra, jie jokiu būdu nėra išreikšti vienas per kitą. Ir, aišku, tik tokie vektoriai gali sudaryti trimatės erdvės pagrindą.

Apibrėžimas: Trimatės erdvės pagrindas vadinamas tiesiškai nepriklausomų (ne lygiaplokščių) vektorių trigubu, paimti tam tikra tvarka, ir bet koks erdvės vektorius vienintelis būdas yra išskaidomas per tam tikrą pagrindą, kur yra šio pagrindo vektoriaus koordinatės

Leiskite jums priminti, kad taip pat galime pasakyti, kad vektorius vaizduojamas formoje linijinis derinys baziniai vektoriai.

Koordinačių sistemos sąvoka įvedama lygiai taip pat, kaip ir vieno taško ir bet kurių trijų tiesinių atveju nepriklausomi vektoriai:

kilmės, Ir ne lygiagrečiai vektoriai, paimti tam tikra tvarka, rinkinys afininė trimatės erdvės koordinačių sistema :

Žinoma, koordinačių tinklelis yra „įstrižas“ ir nepatogus, tačiau, nepaisant to, sukonstruota koordinačių sistema leidžia mums būtinai nustatyti bet kurio vektoriaus koordinates ir bet kurio erdvės taško koordinates. Panašiai kaip plokštumoje, kai kurios formulės, kurias jau minėjau, neveiks erdvės afininėje koordinačių sistemoje.

Labiausiai pažįstamas ir patogiausias specialus afininės koordinačių sistemos atvejis, kaip visi spėja, yra stačiakampės erdvės koordinačių sistema:

Taškas erdvėje vadinamas kilmės, Ir ortonormalus nustatytas pagrindas Dekarto stačiakampės erdvės koordinačių sistema . Pažįstamas vaizdas:

Prieš pereidami prie praktinių užduočių, dar kartą susisteminkime informaciją:

Už trys vektoriai tarpas šie teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi;
2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra vienodi;
4) vektoriai negali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, skiriasi nuo nulio.

Manau, kad priešingi teiginiai yra suprantami.

Erdvės vektorių tiesinė priklausomybė/nepriklausomybė tradiciškai tikrinama naudojant determinantą (5 punktas). Likę praktines užduotis turės ryškų algebrinį pobūdį. Atėjo laikas pakabinti geometrijos lazdą ir valdyti linijinės algebros beisbolo lazdą:

Trys erdvės vektoriai yra plokštumos tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui: .

Noriu atkreipti jūsų dėmesį į nedidelį techninį niuansą: vektorių koordinates galima rašyti ne tik stulpeliais, bet ir eilutėmis (determinanto reikšmė dėl to nesikeis – žr. determinantų savybes). Bet tai daug geriau stulpeliuose, nes tai naudingiau sprendžiant kai kurias praktines problemas.

Tiems skaitytojams, kurie determinantų skaičiavimo metodus šiek tiek pamiršo, o gal išvis menkai juos supranta, rekomenduoju vieną iš seniausių mano pamokų: Kaip apskaičiuoti determinantą?

6 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą:

Sprendimas: Tiesą sakant, visas sprendimas priklauso nuo determinanto apskaičiavimo.

a) Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių (determinantas atskleidžiamas pirmoje eilutėje):

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ne koplanarūs) ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

Atsakymas: šie vektoriai sudaro pagrindą

b) Tai nepriklausomo sprendimo taškas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Susipažink ir kūrybinės užduotys:

7 pavyzdys

Esant kokiai parametro vertei vektoriai bus lygiagrečiai?

Sprendimas: Vektoriai yra vienodi tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:

Iš esmės jums reikia išspręsti lygtį su determinantu. Nusileidžiame ant nulių kaip aitvarai ant jerboų - geriausia atidaryti determinantą antroje eilutėje ir nedelsiant atsikratyti minusų:

Atliekame tolesnius supaprastinimus ir sumažiname dalyką iki paprasčiausios tiesinės lygties:

Atsakymas: at

Tai lengva patikrinti, kad tai padarytumėte, gautą vertę pakeisti pradiniu determinantu ir tuo įsitikinti , atidarykite jį dar kartą.

Pabaigoje pažvelkime į dar vieną tipinė užduotis, kuri yra labiau algebrinio pobūdžio ir tradiciškai įtraukiama į tiesinės algebros eigą. Tai taip įprasta, kad nusipelno savo temos:

Įrodykite, kad 3 vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą
ir šiame pagrinde raskite 4-ojo vektoriaus koordinates

8 pavyzdys

Pateikiami vektoriai. Parodykite, kad vektoriai sudaro pagrindą trimatėje erdvėje ir suraskite vektoriaus koordinates šiame pagrinde.

Sprendimas: Pirma, panagrinėkime sąlygą. Pagal sąlygą pateikiami keturi vektoriai ir, kaip matote, jie jau turi koordinates tam tikru pagrindu. Kas yra šis pagrindas, mums neįdomu. Įdomu tai: trys vektoriai gali sudaryti naują pagrindą. Ir pirmasis etapas visiškai sutampa su 6 pavyzdžio sprendimu, reikia patikrinti, ar vektoriai yra tikrai tiesiškai nepriklausomi:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

! Svarbu : vektorinės koordinatės Būtinai užsirašyti į kolonas determinantas, o ne eilutėse. Priešingu atveju kils painiavos tolesniame sprendimo algoritme.

Vektorinė sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, tarp kurių bent vienas skiriasi nuo nulio, kad lygybė https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= “ >.

Jei ši lygybė tenkinama tik tuo atveju, kai visi , vadinasi vektorių sistema tiesiškai nepriklausomas.

Teorema. Vektorinė sistema bus tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai bent vienas jo vektorius yra tiesinis kitų vektorių derinys.

1 pavyzdys. Polinomas yra tiesinis daugianarių derinys https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomai sudaromi tiesiškai nepriklausoma sistema, nes daugianario https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2 pavyzdys. Matricos sistema , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> yra tiesiškai nepriklausoma, nes linijinis derinys yra lygus nulinė matrica tik tuo atveju, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tiesiškai priklausomas.

Sprendimas.

Padarykime tiesinį šių vektorių derinį https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" aukštis=" 22">.

To paties pavadinimo koordinatės lygūs vektoriai, gauname https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Pagaliau gauname

Ir

Sistema turi unikalų trivialų sprendimą, todėl tiesinė šių vektorių kombinacija lygi nuliui tik tuo atveju, kai visi koeficientai lygūs nuliui. Štai kodėl šią sistemą vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi.

4 pavyzdys. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Kokios bus vektorinės sistemos?

a).;

b).?

Sprendimas.

a). Padarykime linijinį derinį ir prilyginkime nuliui

Pasinaudodami operacijų su vektoriais tiesinėje erdvėje savybėmis perrašome paskutinę lygybę formoje

Kadangi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, koeficientai ties turi būti lygūs nuliui, ty.gif" width="12" height="23 src=">

Gauta lygčių sistema turi unikalų trivialų sprendimą .

Nuo lygybės (*) vykdoma tik tada, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – tiesiškai nepriklausomas;

b). Padarykime lygybę https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Taikydami panašius samprotavimus gauname

Išspręsdami lygčių sistemą Gauso metodu, gauname

arba

Pastaroji sistema turi begalinis rinkinys sprendimai https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Taigi yra nenulinis koeficientų rinkinys, kurio lygybė laikosi (**) . Todėl vektorių sistema – tiesiškai priklausomas.

5 pavyzdys Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Lygybėje (***) . Iš tiesų, esant , sistema būtų tiesiškai priklausoma.

Iš santykio (***) gauname arba Pažymėkime .

Mes gauname

Savarankiško sprendimo problemos (klasėje)

1. Sistema, turinti nulinį vektorių, yra tiesiškai priklausoma.

2. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus A, yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, a=0.

3. Sistema, susidedanti iš dviejų vektorių, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vektoriai yra proporcingi (tai yra, vienas iš jų gaunamas iš kito padauginus iš skaičiaus).

4. Jei k yra tiesinis priklausoma sistema pridėkite vektorių, gausite tiesiškai priklausomą sistemą.

5. Jei vektorius pašalinamas iš tiesiškai nepriklausomos sistemos, tai gauta vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

6. Jei sistema S yra tiesiškai nepriklausomas, bet pridedant vektorių tampa tiesiškai priklausomas b, tada vektorius b tiesiškai išreikštas sistemos vektoriais S.

c). Matricų sistema , , antros eilės matricų erdvėje.

10. Tegu vektorių sistema a,b,c vektoriaus erdvė yra tiesiškai nepriklausoma. Įrodykite linijinį nepriklausomumą toliau nurodytos sistemos vektoriai:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– savavališkas skaičius

c).a+b, a+c, b+c.

11. Leiskite a,b,c– trys vektoriai plokštumoje, iš kurių galima suformuoti trikampį. Ar šie vektoriai bus tiesiškai priklausomi?

12. Pateikti du vektoriai a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Paimk dar du keturmatis vektorius a3 ira4 kad sistema a1,a2,a3,a4 buvo tiesiškai nepriklausomas .

Leiskite L- savavališkas linijinė erdvė,a i Î L,- jo elementai (vektoriai).

Apibrėžimas 3.3.1. Išraiška , kur, - savavališkas realūs skaičiai, vadinamas linijiniu deriniu vektoriai a 1, a 2,…, a n.

Jei vektorius r = , tada jie taip sako r suskaidomi į vektorius a 1, a 2,…, a n.

Apibrėžimas 3.3.2. Vadinamas linijinis vektorių derinys ne trivialus, jei tarp skaičių yra bent vienas nulis. Priešingu atveju vadinamas linijinis derinys trivialus.

3 apibrėžimas.3.3 . Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinami tiesiškai priklausomais, jei egzistuoja netrivialus tiesinis jų derinys, kad

= 0 .

3 apibrėžimas.3.4. Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinami tiesiškai nepriklausomomis, jei lygybė = 0 galima tik tuo atveju, kai visi skaičiai l 1, l 2,…, l n tuo pačiu metu yra lygūs nuliui.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kuris nulinis elementas a 1 gali būti laikomas tiesiškai nepriklausoma sistema, nes lygybė l a 1 = 0 įmanoma tik tuo atveju, jei l= 0.

3.3.1 teorema. Būtinas ir pakankama būklė tiesinė priklausomybė a 1, a 2,…, a n yra galimybė bent vieną iš šių elementų suskaidyti į likusius.

Įrodymas. Būtinybė. Tegu elementai a 1 , a 2 ,…, a n tiesiškai priklausomas. Tai reiškia, kad = 0 , ir bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, l n skiriasi nuo nulio. Leisk dėl tikrumo l 1 ¹ 0. Tada

y., elementas a 1 suskaidomas į elementus a 2 , a 3 , …, a n.

Tinkamumas. Tegul elementas a 1 bus išskaidytas į elementus a 2 , a 3 , …, a n, ty 1 = . Tada = 0 , todėl yra netrivialus tiesinis vektorių derinys a 1 , a 2 ,…, a n, lygus 0 , todėl jie yra tiesiškai priklausomi .

3.3.2 teorema. Jei bent vienas iš elementų a 1 , a 2 ,…, a n nulis, tada šie vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

Įrodymas . Leiskite a n= 0 , tada = 0 , o tai reiškia tiesinę šių elementų priklausomybę.

3.3.3 teorema. Jei tarp n vektorių yra bet kuris p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Įrodymas. Apibrėžtumo dėlei elementai a 1 , a 2 ,…, a p tiesiškai priklausomas. Tai reiškia, kad yra netrivialus tiesinis derinys, toks, kad = 0 . Nurodyta lygybė bus išsaugota, jei elementą pridėsime prie abiejų jo dalių. Tada + = 0 , ir bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, lp skiriasi nuo nulio. Todėl vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n yra tiesiškai priklausomi.

Išvada 3.3.1. Jei n elementų yra tiesiškai nepriklausomi, tai bet kuris iš jų k yra tiesiškai nepriklausomas (k< n).

3.3.4 teorema. Jei vektoriai a 1, a 2,…, a n- 1 yra tiesiškai nepriklausomi ir elementai a 1, a 2,…, a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada vektorius a n gali būti išplėstas į vektorius a 1, a 2,…, a n- 1 .

Įrodymas. Kadangi pagal sąlygą a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada yra netrivialus tiesinis jų derinys = 0 , ir (kitaip vektoriai a 1 , a 2 ,…, a bus tiesiškai priklausomi n- 1). Bet tada vektorius

,

Q.E.D.

Pristatome mūsų linijinės operacijos virš vektorių sudaryti sąlygas įvairios išraiškos Už vektoriniai dydžiai ir transformuoti juos naudodami šioms operacijoms nustatytas savybes.

Remdamiesi duotu vektorių a 1, ..., a n rinkiniu, galite sukurti formos išraišką

kur a 1, ... ir n yra savavališki realieji skaičiai. Ši išraiška vadinama linijinis vektorių derinys a 1, ..., a n. Skaičiai α i, i = 1, n reiškia tiesinės kombinacijos koeficientai. Taip pat vadinamas vektorių rinkinys vektorių sistema.

Ryšium su įvestu vektorių linijinės kombinacijos samprata, iškyla vektorių rinkinio, kurį galima parašyti kaip tam tikros vektorių sistemos a 1, ..., a n linijinį derinį, apibūdinimo problema. Be to, kyla natūralūs klausimai apie sąlygas, kuriomis yra vektoriaus atvaizdavimas linijinio derinio pavidalu, ir apie tokio vaizdavimo unikalumą.

Apibrėžimas 2.1. Vektoriai a 1, ... ir n vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra aibė koeficientų α 1 , ... , α n, kad

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

ir bent vienas iš šių koeficientų yra lygus nuliui. Jei nurodytos koeficientų aibės nėra, tada iškviečiami vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

Jei α 1 = ... = α n = 0, tada, akivaizdu, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Turėdami tai omenyje, galime pasakyti taip: vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai nepriklausomi, jei iš lygybės (2.2) išplaukia, kad visi koeficientai α 1 , ... , α n yra lygūs nuliui.

Toliau pateikta teorema paaiškina, kodėl nauja sąvoka vadinama terminu „priklausomybė“ (arba „nepriklausomybė“), ir pateikia paprastą tiesinės priklausomybės kriterijų.

2.1 teorema. Tam, kad vektoriai a 1, ... ir n, n > 1 būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad vienas iš jų būtų tiesinis kitų derinys.

◄ Būtinybė. Tarkime, kad vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi. Pagal 2.1 tiesinės priklausomybės apibrėžimą, lygybėje (2.2) kairėje yra bent vienas nenulinis koeficientas, pavyzdžiui, α 1. Pirmąjį terminą palikę kairėje lygybės pusėje, likusią dalį perkeliame į dešinėje pusėje, keičia savo ženklus, kaip įprasta. Padalinę gautą lygybę iš α 1, gauname

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektoriaus a 1 vaizdavimas kaip tiesinis likusių vektorių a 2, ..., a n derinys.

Tinkamumas. Tegu, pavyzdžiui, pirmasis vektorius a 1 gali būti pavaizduotas kaip tiesinė likusių vektorių kombinacija: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Perkeldami visus terminus iš dešinės pusės į kairę, gauname a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.y. vektorių a 1, ..., a n linijinis derinys su koeficientais α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, lygus nulinis vektorius. Šiame tiesiniame derinyje ne visi koeficientai yra lygūs nuliui. Pagal 2.1 apibrėžimą vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi.

Tiesinės priklausomybės apibrėžimas ir kriterijus suformuluoti taip, kad reikštų dviejų ar daugiau vektorių buvimą. Tačiau galime kalbėti ir apie tiesinę vieno vektoriaus priklausomybę. Norėdami realizuoti šią galimybę, vietoj „vektoriai yra tiesiškai priklausomi“, turite pasakyti „vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma“. Nesunku suprasti, kad posakis „vieno vektoriaus sistema yra tiesiškai priklausoma“ reiškia, kad šis vienas vektorius yra lygus nuliui (tiesinėje kombinacijoje yra tik vienas koeficientas ir jis neturėtų būti lygus nuliui).

Tiesinės priklausomybės sąvoka turi paprastą geometrinį aiškinimą. Šie trys teiginiai paaiškina šį aiškinimą.

2.2 teorema. Du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie kolinearinis.

◄ Jei vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi, tai vienas iš jų, pavyzdžiui, a, išreiškiamas per kitą, t.y. a = λb tam tikram realiajam skaičiui λ. Pagal apibrėžimą 1.7 darbai vektoriai vienam skaičiui, vektoriai a ir b yra kolineariniai.

Tegul vektoriai a ir b yra kolinearūs. Jei jie abu yra lygūs nuliui, tai akivaizdu, kad jie yra tiesiškai priklausomi, nes bet koks jų tiesinis derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Tegul vienas iš šių vektorių nėra lygus 0, pavyzdžiui, vektorius b. λ pažymėkime vektorių ilgių santykį: λ = |a|/|b|. Kolineariniai vektoriai gali būti vienakryptis arba nukreipta priešingai. IN pastarasis atvejis pakeiskime λ ženklą. Tada, patikrinę 1.7 apibrėžimą, įsitikiname, kad a = λb. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi.

Pastaba 2.1. Dviejų vektorių atveju, atsižvelgiant į tiesinės priklausomybės kriterijų, įrodyta teorema gali būti performuluojama taip: du vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai vienas iš jų vaizduojamas kaip kito sandauga skaičiumi. Tai patogus dviejų vektorių kolineariškumo kriterijus.

2.3 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie koplanarinis.

◄ Jeigu trys vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi, tai pagal 2.1 teoremą vienas iš jų, pavyzdžiui, a, yra tiesinė kitų kombinacija: a = βb + γc. Sujungkime vektorių b ir c pradžią taške A. Tada vektoriai βb, γс turės bendrą pradžią taške A ir išilgai pagal lygiagretainio taisyklę jų suma yra tie. vektorius a bus vektorius, kurio kilmė A ir pabaiga, kuri yra lygiagretainio, sudaryto iš komponentų vektorių, viršūnė. Taigi visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, ty lygiagrečiai.

Tegul vektoriai a, b, c yra lygiagrečiai. Jei vienas iš šių vektorių yra lygus nuliui, tai akivaizdu, kad tai bus tiesinis kitų vektorių derinys. Pakanka paimti visus tiesinės kombinacijos koeficientus, lygius nuliui. Todėl galime manyti, kad visi trys vektoriai nėra lygūs nuliui. Suderinamas prasidėjošie vektoriai yra bendras taškas O. Tegul jų galai yra atitinkamai taškai A, B, C (2.1 pav.). Per tašką C brėžiame tieses, lygiagrečias tiesėms, einančioms per taškų poras O, A ir O, B. Susikirtimo taškus pažymėdami kaip A" ir B", gauname lygiagretainį OA"CB", todėl OC" = OA" + OB". Vektorius OA" ir nulinis vektorius a = OA yra kolinearūs, todėl pirmąjį iš jų galima gauti antrąjį padauginus iš realus skaičiusα:OA" = αOA. Panašiai, OB" = βOB, β ∈ R. Dėl to gauname, kad OC" = α OA + βOB, t.y. vektorius c yra tiesinis vektorių a ir b derinys. Pagal 2.1 teoremą , vektoriai a , b, c yra tiesiškai priklausomi.

2.4 teorema. Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

◄ Įrodymą atliekame pagal tą pačią schemą, kaip ir 2.3 teoremoje. Apsvarstykite atsitiktinius keturis vektorius a, b, c ir d. Jei vienas iš keturių vektorių yra lygus nuliui arba tarp jų yra du kolineariniai vektoriai arba trys iš keturių vektorių yra vienodi, tai šie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Pavyzdžiui, jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, tada galime sudaryti jų tiesinę kombinaciją αa + βb = 0 su ne nuliniais koeficientais, o tada prie šio derinio pridėti likusius du vektorius, koeficientais laikant nulius. Gauname tiesinę keturių vektorių kombinaciją, lygią 0, kurioje yra nulinių koeficientų.

Taigi galime daryti prielaidą, kad tarp pasirinktų keturių vektorių nė vienas vektorius nėra lygus nuliui, nėra dviejų kolinearių ir nėra trijų lygiagrečių. Išsirinkime juos kaip bendra pradžia taškas O. Tada vektorių a, b, c, d galai bus kai kurie taškai A, B, C, D (2.2 pav.). Per tašką D nubrėžiame tris plokštumas, lygiagrečiai plokštumoms OBC, OCA, OAB ir tegul A", B", C" yra šių plokštumų susikirtimo taškai su tiesėmis atitinkamai OA, OB, OS. Gauname gretasienį OA"C"B"C"B"DA ", o vektoriai a, b, c yra ant jo kraštinių, kylančių iš viršūnės O. Kadangi keturkampis OC"DC" yra lygiagretainis, tai OD = OC" + OC" . Savo ruožtu atkarpa OC" yra įstrižainė lygiagretainis OA"C"B", kad OC" = OA" + OB" ir OD = OA" + OB" + OC" .

Belieka pastebėti, kad vektorių poros OA ≠ 0 ir OA" , OB ≠ 0 ir OB" , OC ≠ 0 ir OC" yra kolinijinės, todėl galima parinkti koeficientus α, β, γ taip, kad OA" = αOA, OB" = βOB ir OC" = γOC. Galiausiai gauname OD = αOA + βOB + γOC. Vadinasi, OD vektorius išreiškiamas per kitus tris vektorius, o visi keturi vektoriai pagal 2.1 teoremą yra tiesiškai priklausomi.

Apibrėžimas. Linijinis vektorių derinys a 1 , ..., a n su koeficientais x 1 , ..., x n vadinamas vektoriumi

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivialus, jei visi koeficientai x 1 , ..., x n lygūs nuliui.

Apibrėžimas. Vadinamas tiesinis derinys x 1 a 1 + ... + x n a n ne trivialus, jei bent vienas iš koeficientų x 1, ..., x n nėra lygus nuliui.

tiesiškai nepriklausomas, jei nėra netrivialaus šių vektorių derinio, lygaus nuliniam vektoriui.

Tai reiškia, kad vektoriai a 1, ..., a n yra tiesiškai nepriklausomi, jei x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tada ir tik tada, jei x 1 = 0, ..., x n = 0.

Apibrėžimas. Vektoriai a 1, ..., a n vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės:

2 ir 3 dimensijų vektoriams.

Du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. (Kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)

3 dimensijų vektoriams.

Trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (Trys koplanariniai vektoriai- tiesiškai priklausomas.)

• N matmenų vektoriams.

  n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Vektorių tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės problemų pavyzdžiai:

1 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) yra tiesiškai nepriklausomi .

Sprendimas:

Vektoriai bus tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmenys yra mažesni už vektorių skaičių.

2 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas:

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės:

Šis sprendimas rodo, kad sistemoje yra daug sprendinių, tai yra, yra skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kuris nėra nulinis, kad linijinis vektorių a, b, c derinys būtų lygus nulinis vektorius, pavyzdžiui:

A + b + c = 0

ir tai reiškia, kad vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

Atsakymas: vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

3 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas: Raskime koeficientų reikšmes, kurioms esant šių vektorių tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui.

Tai vektoriaus lygtis galima parašyti kaip sistemą tiesines lygtis

Išspręskime šią sistemą Gauso metodu

atimti pirmąją iš antrosios eilutės; atimkite pirmą iš trečios eilutės:

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą prie trečios eilutės.