Erdvinių figūrų tūrių skaičiavimas yra vienas iš svarbias užduotis stereometrija. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime daugiakampio, pavyzdžiui, piramidės, tūrio nustatymo klausimą, taip pat pateiksime šešiakampį reguliarųjį.
Šešiakampė piramidė
Pirmiausia pažiūrėkime, kokia yra figūra, kuri bus aptariama straipsnyje.
Turėkime savavališką šešiakampį, kurio kraštinės nebūtinai yra lygios viena kitai. Taip pat tarkime, kad pasirinkome erdvės tašką, kuris nėra šešiakampio plokštumoje. Visus pastarojo kampus sujungę su pasirinktu tašku, gauname piramidę. Dvi skirtingos piramidės, turinčios šešiakampis pagrindas, parodyta paveikslėlyje žemiau.
Matyti, kad be šešiakampio figūrą sudaro šeši trikampiai, kurių jungties taškas vadinamas viršūne. Skirtumas tarp pavaizduotų piramidžių yra tas, kad dešiniosios aukštis h nesikerta su šešiakampiu pagrindu. geometrinis centras, o kairiosios figūros aukštis patenka būtent į šį centrą. Dėl šio kriterijaus kairioji piramidė buvo vadinama tiesia, o dešinioji – pasvirusiąja.
Kadangi paveikslo kairiosios figūros pagrindą sudaro šešiakampis su vienodomis kraštinėmis ir kampais, jis vadinamas taisyklingu. Toliau straipsnyje kalbėsime tik apie šią piramidę.
Norėdami apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, turime sekančią formulę:
Čia h yra figūros aukščio ilgis, S o yra jos pagrindo plotas. Naudokime šią išraišką šešiakampės taisyklingosios piramidės tūriui nustatyti.
Kadangi nagrinėjamos figūros pagrindas yra lygiakraštis šešiakampis, jo plotui apskaičiuoti galite naudoti šiuos metodus bendra išraiška n-gon:
S n = n/4 * a 2 * ctg (pi/n)
Čia n yra sveikasis skaičius, lygus daugiakampio kraštinių (kampų) skaičiui, a yra jo kraštinės ilgis, kotangentinė funkcija apskaičiuojama naudojant atitinkamas lenteles.
Taikydami išraišką n = 6, gauname:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg (pi/6) = √3/2 * a 2
Dabar belieka pakeisti šią išraišką į bendroji formulė V tomui:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Taigi, norint apskaičiuoti nagrinėjamos piramidės tūrį, būtina žinoti jos du tiesinis parametras: pagrindo kraštinės ilgis ir figūros aukštis.
Problemos sprendimo pavyzdys
Parodykime, kaip gautą V 6 išraišką galima panaudoti sprendžiant šią problemą.
Yra žinoma, kad teisingas tūris yra 100 cm 3 . Būtina nustatyti pagrindo kraštą ir figūros aukštį, jei žinoma, kad jie yra susiję vienas su kitu šia lygybe:
Kadangi tūrio formulėje yra tik a ir h, ja galite pakeisti bet kurį iš šių parametrų, išreikštų kitu. Pavyzdžiui, pakeitę a, gauname:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Norėdami sužinoti figūros aukštį, turite paimti trečiąją tūrio šaknį, atitinkančią ilgio matmenį. Piramidės tūrio V 6 reikšmę pakeičiame iš probleminių sąlygų, gauname aukštį:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Kadangi pagrindo kraštinė, atsižvelgiant į problemos būklę, yra dvigubai didesnė už rastąją reikšmę, gauname jos vertę:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Apimtis šešiakampė piramidė galima rasti ne tik per figūros aukštį ir jos pagrindo kraštinės vertę. Jai apskaičiuoti pakanka žinoti du skirtingus piramidės tiesinius parametrus, pavyzdžiui, apotemą ir šoninės briaunos ilgį.
Data: 2015-01-19
Jei reikia žingsnis po žingsnio instrukcijas Kaip sukurti piramidės nuskaitymą, tada prašau jūsų prisijungti prie mūsų pamokos. Pirmiausia įvertinkite, ar jūsų piramidė išdėstyta panašiai kaip 1 paveiksle.
Jei turite jį pasukę 90 laipsnių kampu, tada kraštą, pažymėtą paveikslėlyje kaip „žinomos tikrosios vertės“, jūsų atveju galite rasti profilio projekcijoje, kurią turėsite sukonstruoti. Mano atveju tai nėra būtina, mes jau turime visus statybai reikalingus kiekius. Svarbu nepamiršti, kad šiame brėžinyje visu dydžiu rodomi tik kraštai SA ir SD priekinėje projekcijoje. Visi kiti projektuojami su ilgio iškraipymu. Be to, vaizde iš viršaus visos šešiakampio pusės taip pat projektuojamos visu dydžiu. Remdamiesi tuo, tęskime.
1. Siekdami didesnio grožio, pirmąją liniją nubrėžkime horizontaliai (1 pav.). Tada nubrėžkime platų lanką, kurio spindulys R=a, t.y. spindulys lygus ilgiuišoninis piramidės kraštas. Gaukime tašką A. Kompasu iš jo padarysime įpjovą ant lanko, kurio spindulys r=b (piramidės pagrindo kraštinės ilgis). Gaukime tašką B. Jau turime pirmąjį piramidės veidą!
2. Iš taško B padarome dar vieną išpjovą tokiu pat spinduliu - gauname tašką C ir sujungę jį su taškais B ir S gauname antrąjį piramidės šoninį paviršių (2 pav.).
3. Šių veiksmų kartojimas reikalingas kiekis kartų (viskas priklauso nuo to, kiek veidų turi jūsų piramidė) gausime tokį vėduoklį (3 pav.). Jei sukonstruotas teisingai, turėtumėte gauti visus pagrindinius taškus, o kraštutinius - pakartoti.
4. Tai ne visada reikalinga, bet vis tiek būtina: pridėkite piramidės pagrindą prie šoninio paviršiaus vystymosi. Tikiu, kad visi, kurie skaitė iki šiol, žino, kaip nupiešti šešiakampį penkiakampį (pamokoje išsamiai aprašyta, kad figūra turi būti nupiešta tinkamoje vietoje). ir tinkamu kampu. Mes nubrėžiame ašį per bet kurio veido vidurį. Nuo sankirtos taško su pagrindo tiesia linija nubrėžiame atstumą m, kaip parodyta 4 paveiksle. 
Per šį tašką nubrėžę statmeną, gauname būsimo šešiakampio ašis. Iš gauto centro nubrėžiame apskritimą, kaip darėte kurdami viršutinį vaizdą. Atkreipkite dėmesį, kad apskritimas turi eiti per du taškus šoniniame paviršiuje (mano atveju tai yra F ir A)
5. 5 paveiksle parodytas galutinis šešiakampės prizmės raidos vaizdas. 
Tai užbaigia piramidės statybą. Kurkite savo tobulėjimą, išmokite rasti sprendimus, būkite kruopštūs ir niekada nepasiduokite. Ačiū, kad užsukote. Nepamirškite mūsų rekomenduoti savo draugams:) Viso geriausio!
arba užsirašykite mūsų telefono numerį ir papasakokite apie mus draugams – tikriausiai kažkas ieško, kaip užbaigti brėžinius
arba Susikurkite pastabą apie mūsų pamokas savo puslapyje arba tinklaraštyje – ir kažkas kitas galės išmokti piešti.
Piramidės yra: trikampės, keturkampės ir t.t., priklausomai nuo to, kas yra pagrindas - trikampis, keturkampis ir kt.
Piramidė vadinama taisyklingąja (286 pav., b), jei, pirma, jos pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, antra, jos aukštis eina per šio daugiakampio centrą.
Kitu atveju piramidė vadinama netaisyklingąja (286 pav., c). Viskas yra tinkamoje piramidėje šoniniai šonkauliai lygūs vienas kitam (kaip linkę lygios projekcijos). Todėl viskas šoniniai veidai taisyklinga piramidė yra lygiašonių trikampių.
Taisyklingos šešiakampės piramidės elementų analizė ir jų vaizdavimas kompleksiniame brėžinyje (287 pav.).
A) Kompleksinis piešimas Taisyklinga šešiakampė piramidė. Piramidės pagrindas yra plokštumoje P 1; dvi piramidės pagrindo kraštinės yra lygiagrečios projekcijos plokštumai P 2.
b) Pagrindas ABCDEF yra šešiakampis, esantis projekcijos plokštumoje P 1.
c) ASF šoninis paviršius yra trikampis, esantis bendrojoje plokštumoje.
d) FSE šoninis paviršius yra trikampis, esantis profilio projektavimo plokštumoje.
e) Edge SE yra segmentas bendroje padėtyje.
f) Rib SA – priekinis segmentas.
g) Piramidės viršūnė S yra erdvės taškas.
288 ir 289 paveiksluose pateikti nuoseklių grafinių operacijų pavyzdžiai atliekant sudėtingą piramidžių piešinį ir vizualinius vaizdus (aksonometriją).
Duota:
1. Pagrindas yra plokštumoje P 1.
2. Viena iš pagrindo kraštinių lygiagreti x ašiai 12.
I. Kompleksinis brėžinys.
aš, a. Projektuojame piramidės pagrindą – daugiakampį, pagalši sąlyga
gulėdamas plokštumoje P1.
Projektuojame viršūnę – tašką, esantį erdvėje. S taško aukštis lygus piramidės aukščiui. Horizontali taško S projekcija S 1 bus piramidės pagrindo projekcijos centre (pagal sąlygą).
Aš, gim. Projektuojame piramidės kraštus – segmentus; Tam pagrindo ABCDE viršūnių projekcijas sujungiame su atitinkamomis piramidės S viršūnės projekcijomis tiesiomis linijomis. Piramidės kraštų frontalines projekcijas S 2 C 2 ir S 2 D 2 pavaizduojame punktyrinėmis linijomis, kaip nematomas, uždarytas piramidės kraštų (SА ir SAE). Aš, c. Atsižvelgiant į horizontalią taško K projekciją K 1 SBA šoniniame paviršiuje, reikia rasti jo priekinę projekciją. Norėdami tai padaryti, nubrėžiame pagalbinę tiesę S 1 F 1 per taškus S 1 ir K 1, randame jos priekinę projekciją ir naudokite ją
vertikali linija ryšį, nustatome norimos taško K priekinės projekcijos K 2 vietą. II. Piramidės paviršiaus raida - plokščia figūra
, susidedantis iš šoninių paviršių – identiškų lygiašonių trikampių, kurių viena kraštinė lygi pagrindo kraštinei, o kitos dvi lygios šoninėms briaunoms, o nuo
taisyklingas daugiakampis 1
- pagrindai. Natūralūs pagrindo šonų matmenys atsiskleidžia horizontalioje jo projekcijoje. Natūralūs šonkaulių matmenys iškyšose nebuvo atskleisti. Hipotenūza S 2 ¯A 2 (288 pav., , b) stačiakampis trikampis
S 2 O 2 ¯A 2, kuris turi didelę koją lygus ūgiui S 2 O 2 piramidės, o mažoji – horizontalioji briaunos projekcija S 1 A 1 – natūralus piramidės briaunos dydis. Šlavimo konstrukcija turėtų būti atliekama tokia tvarka: a) nuo savavališkas taškas
S (viršūnės) nubrėžia R spindulio lanką, lygus kraštui piramidės;
b) ant nubrėžto lanko nubraižome penkis R 1 dydžio akordus lygus šonui pagrindai;
d) piramidės pagrindą - penkiakampį - pritvirtiname prie bet kurio veido trianguliacijos metodu, pavyzdžiui, prie DSE paviršiaus.
K taško perkėlimas į nuskaitymą atliekamas pagalbine tiesia linija, naudojant matmenį B 1 F 1, paimtą iš horizontalios projekcijos, ir matmenį A 2 K 2, paimtą pagal natūralų šonkaulio dydį.
III.
Vizualus piramidės vaizdas izometrijoje. 1
III, a.
Piramidės pagrindą pavaizduojame naudodami koordinates pagal (288 pav., 1
III, a.
, A).
Piramidės viršūnę pavaizduojame naudodami koordinates pagal (288 pav.,
III, b.
Duota:
Mes pavaizduojame piramidės šoninius kraštus, jungiančius viršūnę su pagrindo viršūnėmis. Kraštas S"D" ir pagrindo C"D" ir D"E" kraštinės pavaizduotos punktyrinėmis linijomis, kaip nematomos, uždarytos piramidės kraštais C"S"B, B"S"A" ir A"S"E.
III, e.
Piramidės paviršiaus tašką K nustatome naudodami matmenis y F ir x K. Dimetriniam piramidės vaizdui reikia laikytis tos pačios sekos.
Netaisyklingos trikampės piramidės vaizdas. 1. Pagrindas yra plokštumoje P 1. 2. Pagrindo kraštinė BC statmena X ašiai.
I. Kompleksinis brėžinys
aš, a.
Piramidės pagrindo projektavimas -
lygiašonis trikampis , esantis plokštumoje P 1, o viršūnė S yra erdvėje esantis taškas, kurio aukštis lygus piramidės aukščiui. Aš, gim.
Projektuojame piramidės briaunas - atkarpas, kurioms pagrindo viršūnių to paties pavadinimo projekcijų tieses sujungiame su to paties pavadinimo piramidės viršūnės projekcijomis. Lėktuvo pagrindo šono horizontalią projekciją su punktyrine linija pavaizduojame kaip nematomą, uždengtą dviem piramidės ABS, ACS paviršiais.
a) nubraižykite lygiašonį trikampį - veidą CSB, kurio pagrindas yra lygus piramidės CB pagrindo kraštinei, ir pusės- natūralus šonkaulio dydis SC;
b) prie pastatyto trikampio kraštinių SC ir SB pritvirtiname du trikampius - piramidės CSA ir BSA paviršius, o prie pastatyto trikampio pagrindo CB - piramidės pagrindą CBA, todėl gauname pilną šios piramidės paviršiaus raida.
Taškas D perkeliamas į nuskaitymą tokia tvarka: pirmiausia nuskaitydami šoninį veidą ASC, nubrėžkite horizontalią liniją naudodami dydį R 1 ir tada nustatykite taško D vietą horizontalioje linijoje naudodami R 2 dydį.
III. Vizualus piramidės ir priekinės dimetrinės projekcijos vaizdas
III, a. Pavaizduojame piramidės pagrindą A"B"C ir viršų S, naudodami koordinates pagal (
Brėžinys yra pirmasis ir labai svarbus sprendimo žingsnis geometrinė problema. Kaip turėtų atrodyti įprastos piramidės brėžinys?
Pirmiausia prisiminkime lygiagrečios konstrukcijos savybės:
- pavaizduoti lygiagrečiai figūros segmentai lygiagrečiai segmentai;
— išsaugomas lygiagrečių tiesių atkarpų ir vienos tiesės atkarpų ilgių santykis.
Taisyklingos trikampės piramidės brėžinys
Pirmiausia nupiešiame pagrindą. Nuo kada lygiagretus dizainas kampų ir ilgio santykiai nėra lygiagrečiai segmentai nėra išsaugoti, taisyklingas trikampis piramidės pagrinde pavaizduotas kaip savavališkas trikampis.
centras taisyklingas trikampis yra trikampio medianų susikirtimo taškas. Kadangi susikirtimo taške medianos dalijamos santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės, pagrindo viršūnę mintyse sujungiame su priešingos pusės viduriu, apytiksliai padaliname į tris dalis ir dedame tašką ties 2 dalių atstumu nuo viršūnės. Nuo šio taško nubrėžiame statmeną aukštyn. Tai yra piramidės aukštis. Nubrėžkite tokio ilgio statmeną, kad šoninis kraštas neuždengtų aukščio vaizdo.
Piešimas teisingas keturkampė piramidė
Taip pat nuo pagrindo pradedame piešti taisyklingą keturkampę piramidę. Kadangi atkarpų lygiagretumas išsaugomas, o kampų reikšmės ne, kvadratas prie pagrindo vaizduojamas kaip lygiagretainis. Pageidautina aštrus kampas Padarykite šį lygiagretainį mažesnį, tada šoniniai paviršiai bus didesni. Kvadrato centras yra jo įstrižainių susikirtimo taškas. Nubrėžiame įstrižaines ir atstatome statmeną nuo susikirtimo taško. Šis statmuo yra piramidės aukštis. Statmens ilgį pasirenkame taip, kad šoniniai šonkauliai nesusilietų vienas su kitu.
Taisyklingos šešiakampės piramidės brėžinys
Kadangi projektuojant lygiagrečiai išsaugomas atkarpų lygiagretumas, taisyklingos šešiakampės piramidės pagrindas – taisyklingas šešiakampis – vaizduojamas kaip šešiakampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios. Taisyklingo šešiakampio centras yra jo įstrižainių susikirtimo taškas. Kad brėžinys nebūtų netvarkingas, nebraižome įstrižainių, o apytiksliai randame šį tašką. Iš jo atstatome statmeną – piramidės aukštį, kad šoniniai šonkauliai nesusilietų vienas su kitu.
