Optimalumas yra būtina sąlyga. Sėkmė: būtinos ir pakankamos sąlygos

Gaukime optimalumo sąlygas, kurias turi tenkinti norima valdymo seka. Šiuo tikslu aukščiau suformuluotą problemą interpretuojame kaip problemą matematinis programavimas.

Pavaizduokime (4.2) kriterijų kaip tam tikrą norimo valdymo funkciją

Čia po Ir ir £ yra suprantami kaip sekos , parašytos apibrėžtumui išplėstinių vektorių su matmenimis forma (N+l)m Ir (N+l)r atitinkamai. Galutinės būsenos funkcijos priklausomybė J iš Ir o numanomas ir pasireiškia per (4.1) lygtį. Formaliai optimizavimo uždavinys yra rasti tokį vektorių tarp galimų Ir, kuris sumažina kriterijų . O tai yra - normali užduotis matematinis programavimas. Būtinoji optimalumo sąlyga tokiame uždavinyje redukuojama iki išvestinės neneigiamumo sąlygos įvykdymo norimame taške Ir bet kuria leistina kryptimi, t.y.

Toliau žymėjimas naudojamas skaliarinės funkcijos gradientui žymėti J(s) pagal vektorinį argumentą Ir, skaičiuojamas taške u = a. Po gradientu , kaip žinoma, turime omenyje vektorių (stulpelį), sudarytą iš pirmųjų funkcijos / visų vektoriaus argumentų dalinių išvestinių Ir. IN šiuo atveju gali būti pavaizduotas taip:

kur savo ruožtu žymi funkcijos gradientą J pagal atskirą vektorių .

Dabar paaiškinkime terminą galiojanti kryptis. Priimtina kryptis reiškia vektorių, kurį pridėjus prie vektoriaus Ir, nesukels pradinių valdymo apribojimų pažeidimo bet kuriai savavališkai mažai paties vektoriaus modulio vertei. Kitaip tariant, jis laikomas galiojančiu, jei tenkinama sąlyga U visų leistinų rinkinių rinkinys suspaustas , ir yra gana mažas neneigiamas skaičius. Taip pat atkreipkime dėmesį, kad rašydami tam tikrus dalinius išvestinius, natūraliai, konkrečiai nenurodydami, manysime, kad jie egzistuoja.

Su čia pateikta optimalumo sąlyga sunku dirbti dėl to, kad ji naudoja išplėstinį valdymo vektorių Ir, paprastai turi labai didelį matmenį. Paverskime šią sąlygą daugiau paprastas vaizdas. Šiuo tikslu tarp leistinų vektorių aibės atsižvelgiame tik į tuos, kurių komponentai nėra nuliniai tik viename. i akimirka. Kitaip tariant, reikalausime už visus , ir adresu . Tada optimalumo sąlyga įgauna paprastesnę formą, būtent,

visiems galioja y., tenkinantis sąlygą

Kadangi santykis (4.4) galioja bet kurį momentą , Vietoj vienos optimalumo sąlygos gauname visą aibę formos (4.4) optimalumo sąlygų. Šių sąlygų pranašumai yra tai, kad kiekviena iš jų apima tik vieną matmenų valdymo vektorių T.

Fizinė prasmė kiekviena iš sąlygų (4.4) yra ta, kad galinio kriterijaus (4.2) pokytis dėl valdymo pokyčio i Momentas, apskaičiuotas atsižvelgiant į optimalų valdymą, yra neneigiamas dydis.

Optimalumo sąlygos (4.4) dar nėra tiesiogiai susijusios su originalu matematinis modelis. Užmegzkime šį ryšį. Tuo tikslu atskleisime darinius , pastarąjį jungiant su (4.1) lygtimi. Pirmiausia parodome, kaip galima apskaičiuoti bet kurios kontrolės išvestinę priemonę Ir ir bet koks pasipiktinimas. Norėdami tai padaryti, išskiriame funkciją J = F(x N + l) išilgai vektoriaus, atsižvelgiant į ryšį (4.1). Galime parašyti tokią santykių grandinę:

Čia žymime funkcijos dalinių išvestinių matricas, atsižvelgiant į jos argumentus ir atitinkamai. Be to, šios matricos sudaromos pagal tokią taisyklę: kiekvienas matricos stulpelis parodo atitinkamo vektoriaus funkcijos komponento gradientą vektoriaus argumento atžvilgiu. Formaliai įvedamas užrašas

gauname kompaktiškesnę išvestinės išraišką

Dabar taip pat oficialiai atsižvelgiame į šiuos dalykus skaliarinė funkcija:

kuri iš esmės yra taškinis produktas vektorius, nustatytas pagal pasikartojimo ryšį (4.5), ir vektorius , būtis dešinėje pusėje pradinė lygtis (4.1). Funkcija N i apibrėžtas pagal (4.7), vadinamas Hamiltonu. Pabrėžkime, kad bendras atvejis Hamiltonas yra atsitiktinė funkcija, nes tai priklauso nuo trikdymo. Kaip pamatysime vėliau, Hamiltonas yra patogi konstrukcija tiek optimalumo sąlygoms formuoti, tiek įvairioms įgyvendinti skaitmeniniai metodai optimizavimas. Pradėkime nuo optimalumo sąlygų. Nesunku nustatyti, kad daliniai Hamiltono vediniai savo argumentuose turi tokią formą:

Atsižvelgiant į tai, pradines judesio lygtis (4.1), taip pat vektorius apibrėžiančius ryšius (4.5), galima sumažinti iki šių kanoninė forma:

Vektoriaus lygtis paprastai vadinama konjugato atžvilgiu pradinė lygtis vektoriui . Todėl pats vektorius, tenkinantis sistemą (4.8), bus vadinamas konjuguotu vektoriumi. Norint jį nustatyti naudojant žinomą valdiklį, būtina, kaip matyti iš sistemos (4.8), pirmiausia nustatyti judėjimo tiesioginiu laiku trajektoriją tam tikram laikui. pradinė būklė. Ir tik po to, atvirkštiniu laiku, raskite konjuguotą vektorių, atsižvelgdami į rastą trajektoriją ir vektoriui taikomą ribinę sąlygą. Taip pat reikia turėti omenyje, kad dėl atsitiktinio trikdymo dešinėje sistemos (4.8) lygčių pusėse, konjuguotas vektorius bendruoju atveju taip pat yra atsitiktinis .

Jei dabar grįšime prie išraiškos (4.6), tai naudojant Hamiltono sąvoką, ją galima parašyti forma

Atsižvelgiant į tai, kad paprastai diferenciacijos ir matematinio lūkesčio operacijos yra komutacinės, todėl galioja lygybė

būtinas sąlygas optimalumą (4.4) pagaliau galima pavaizduoti formoje kita sistema nelygybės:

kuri turi būti patenkinta visoms galiojančioms .

Taigi būtinos optimalumo sąlygos programavimo sistemos valdymo uždavinyje (4.1), kad būtų pasiektas minimalus kriterijus (4.2), yra nelygybių sistemos (4.10) įvykdymas, kuri turi būti atskleista atsižvelgiant į pirminę lygčių sistemą ( 4.1) ir konjuguotą lygčių sistemą (4.5) arba, kas yra ta pati, sistemą (4.8).

Paprastai šių sąlygų tiesioginis panaudojimas optimalaus valdymo programavimo uždaviniui išspręsti yra sudėtingas. Taip yra dėl pačių sąlygų nekonstruktyvumo (4.10), kuris pasireiškia tuo, kad nelygybių sistema išvis sunku pasinaudoti ieškant optimalaus sprendimo. Viena vertus, sunkumus apsunkina tai, kad šiose nelygybėse yra matematinių lūkesčių veikimo nelygybės (visų atsitiktinių veiksnių statistinis vidurkis) ir, kita vertus, kiekvieno konkretaus įgyvendinimo poreikis išspręsti ribinės vertės problemą. (4.1) ir (4.5) lygčių sistemai. Šiuo atveju optimali kontrolė kiekviename įgyvendinime turėtų lemti abiejų ribinių sąlygų „kairėje“ įvykdymą. pradžios momentas sistemai (4.1), o ribinė sąlyga „dešinėje“ galutiniu momentu sistemai (4.5).

Dar kartą reikia pabrėžti, kad santykis (4.6) galioja bet kokiai fiksuotai (nebūtinai optimaliai) kontrolei. Todėl jis gali būti sėkmingai naudojamas norint gauti optimalų valdymą naudojant skaitmeninio optimizavimo metodus, nes leidžia su fiksuotu valdikliu, naudojant vieną skaičiavimą, pirmiausia naudojant (4.1) lygtį, o paskui (4.6) lygtį, iš karto nustatyti visus gradiento vektorius konkrečiame įgyvendinime . Santykio (4.6) panaudojimas kartu su (4.1) ir (4.5) gradiento komponentams apskaičiuoti bus vadinamas konjuguotų sistemų metodu daugialypiškumo sumetimais.

Dabar aptarkime dažniausiai pasitaikančius ypatingus atvejus, kai reikiamas optimalumo sąlygas galima perkelti į konstruktyvesnę formą.

1. Kontrolei nėra jokių apribojimų. Šiuo atveju bet kokie vektoriai apibrėžia leistinas kryptis, įskaitant vektorius su tomis pačiomis absoliučiomis reikšmėmis, bet su priešingais ženklais. Tai reiškia, kad sąlygos (4.10) gali būti įvykdytos tik esant griežtoms lygybėms

Pažymėtina, kad prie šio atvejo ateiname ir tada, kai kontrolės apribojimai, nors ir egzistuoja, vykdomi automatiškai.

Programavimo problemos sprendimas šiuo atveju priklauso nuo sąlygos (4.11) panaudojimo kiekviename valdymo žingsnyje, siekiant nustatyti valdymo struktūrą ir paskesnį sistemos (4.8) sprendimą su rasta struktūra.

2. Nėra atsitiktinių trikdžių, , . Šis atvejis atitinka deterministinės sistemos valdymą. Formaliai matematinio lūkesčio veiksmas yra praleistas ir būtinos optimalumo sąlygos (4.40) įgauna formą

kur Hamiltono ir vektoriai , yra deterministiniai ir nustatomi naudojant šiuos ryšius:

Visi problemos sprendimo, naudojant optimalumo sąlygas, sunkumai, aptarti anksčiau svarstant stochastinė sistema, čia taip pat išsaugoti. Vienintelis supaprastinimas yra tas, kad, kaip jau buvo nurodyta, matematinio lūkesčio operacijos nėra, nes nėra pačių atsitiktinių veiksnių.

3. Leidžiamų valdiklių rinkinys yra išgaubtas, o Hamiltono yra išgaubta funkcija. Visų pirma pažymime, kad kiekviena iš sąlygų (4.10) bendruoju atveju gali būti interpretuojama kaip būtina sąlyga minimaliam Hamiltono matematiniam lūkesčiui valdymo vektoriaus atžvilgiu. . Toliau galime parodyti, kad jei Hamiltono yra išgaubtas, funkcija taip pat bus išgaubta . Ir žinoma, kad minimalios funkcijos išgaubimo atveju išgaubtoje aibėje minimumas yra unikalus, todėl tuo pačiu metu pakaks ir būtinų optimalumo sąlygų. Atsižvelgiant į tai, kiekviena sistemos (4.10) sąlyga nagrinėjamu atveju yra lygiavertė sąlygai pasiekti optimalų valdymą matematinis lūkestis Hamiltono mažiausią kontrolinę vertę. Kitaip tariant, vietoj (4.10) galime rašyti

kur , reiškia bet kokį leistiną valdiklį , a pro – norimas optimalus valdymas.

Natūralu, kad galimi aptartų ypatingų atvejų deriniai ir atitinkamai optimalumo sąlygos. Taigi, pavyzdžiui, deterministiniu atveju, ty nesant trikdžių

(), o kai Hamiltono yra išgaubtas, reikiamos optimalumo sąlygos įgauna formą

Atkreipkite dėmesį, kad jei įvedant žymėjimą (4.6), vektorius apibrėžiamas kaip galinės funkcijos išvestinė priešingo ženklo atžvilgiu, t.y. forma

tada dėl vektoriaus ženklo pokyčio optimalumo sąlygomis (4.10) nelygybės ženklas taip pat pasikeičia į priešingą, ir dėl to optimalumo sąlygomis (4.12), (4.13) minimali operacija yra pakeičiama maksimalia operacija. Deterministiniu atveju vietoj (4.13) turime

Paskutinė optimalumo sąlyga literatūroje dažniausiai vadinama deterministinių diskrečiųjų valdymo sistemų i maksimalaus principu arba trumpai kaip diskrečiuoju deterministiniu maksimumu. Pagal analogiją sąlygą (4.13) galima pavadinti diskrečiuoju deterministiniu minimumo principu, o optimalumo sąlygą (4.12) – diskrečiuoju stochastinio minimumo principu.

Pagal diskretišką stochastinis principas minimali (4.12) optimali valdymo programa diskreti sistema(4.1) išgaubtumo sąlygomis užtikrina minimalų matematinį Hamiltono lūkestį kiekviename valdymo žingsnyje. Vėliau pamatysime, kad minimalus (maksimalus) principas problemoms su nuolatinis laikas galioja nepriklausomai nuo prielaidų apie Hamiltono išgaubtumą. Tačiau atskiroms problemoms šios prielaidos yra būtinos.

Dabar parodykime, kad diskrečios sistemos valdymo uždavinyje (4.1), siekiant sumažinti integroterminalinį kriterijų (4.3)

išsaugomos gautos optimalumo sąlygos (4.10) arba atitinkamai (4.11), (4.12). Tačiau vietoj santykių (4.7) ir (4.5), apibrėžiančių Hamiltono ir konjugato vektorių, tenkina šias lygtis:

Nes visiems , tada Hamiltono iki komponento sutampa su Hamiltono (4.14). Todėl išvestinės išraiška , dalyvaujant optimalumo sąlygose, gali būti pateikta ta pati forma (4.9):

nepaisant to, kad Hamiltonas dabar apibrėžiamas pagal (4.14), o ne (4.7). O tai reiškia, kad formos optimalumo sąlygos išliks nepakitusios.

Gaukime optimalumo sąlygas, kurias turi tenkinti norima valdymo seka. Šiuo tikslu aukščiau suformuluotą problemą interpretuojame kaip matematinio programavimo uždavinį.

Pavaizduokime (4.2) kriterijų kaip tam tikrą norimo valdymo funkciją

Čia po Ir ir £ yra suprantami kaip sekos , parašytos apibrėžtumui išplėstinių vektorių su matmenimis forma (N+l)m Ir (N+l)r atitinkamai. Galutinės būsenos funkcijos priklausomybė J iš Ir o numanomas ir pasireiškia per (4.1) lygtį. Formaliai optimizavimo uždavinys yra rasti tokį vektorių tarp galimų Ir, kuris sumažina kriterijų . Ir tai yra dažna matematinio programavimo problema. Būtinoji optimalumo sąlyga tokiame uždavinyje redukuojama iki išvestinės neneigiamumo sąlygos įvykdymo norimame taške Ir bet kuria leistina kryptimi, t.y.

kur savo ruožtu žymi funkcijos gradientą J pagal atskirą vektorių .

Dabar paaiškinkime terminą galiojanti kryptis. Priimtina kryptis reiškia vektorių, kurį pridėjus prie vektoriaus Ir, nesukels pradinių valdymo apribojimų pažeidimo bet kuriai savavališkai mažai paties vektoriaus modulio vertei. Kitaip tariant, jis laikomas galiojančiu, jei tenkinama sąlyga U visų leistinų rinkinių rinkinys suspaustas , a yra pakankamai mažas neneigiamas skaičius. Taip pat atkreipkime dėmesį, kad rašydami tam tikrus dalinius išvestinius, natūraliai, konkrečiai nenurodydami, manysime, kad jie egzistuoja.

Su čia pateikta optimalumo sąlyga sunku dirbti dėl to, kad ji naudoja išplėstinį valdymo vektorių Ir, paprastai turi labai didelį matmenį. Paverskime šią sąlygą paprastesne forma. Šiuo tikslu tarp leistinų vektorių aibės atsižvelgiame tik į tuos, kurių komponentai nėra nuliniai tik viename. i akimirka. Kitaip tariant, reikalausime už visus , ir adresu . Tada optimalumo sąlyga įgauna paprastesnę formą, būtent,

visiems galioja y., tenkinantis sąlygą

Kiekvienos sąlygos (4.4) fizinė reikšmė yra ta, kad galutinio kriterijaus (4.2) pokytis dėl valdymo pokyčių i Momentas, apskaičiuotas atsižvelgiant į optimalų valdymą, yra neneigiamas dydis.

Optimalumo sąlygos (4.4) dar nėra tiesiogiai susijusios su pirminiu matematiniu modeliu. Užmegzkime šį ryšį. Tuo tikslu atskleisime darinius , pastarąjį jungiant su (4.1) lygtimi. Pirmiausia parodome, kaip galima apskaičiuoti bet kurios kontrolės išvestinę priemonę Ir ir bet koks pasipiktinimas. Norėdami tai padaryti, išskiriame funkciją J = F(x N + l) išilgai vektoriaus, atsižvelgiant į ryšį (4.1). Galime parašyti tokią santykių grandinę:

gauname kompaktiškesnę išvestinės išraišką

Dabar taip pat oficialiai atsižvelgiame į šią skaliarinę funkciją:

kuri iš esmės yra vektoriaus skaliarinė sandauga, nustatyta pagal pasikartojimo santykį (4.5), ir vektoriaus , kuri yra dešinioji pradinės lygties (4.1) pusė. Funkcija N i apibrėžtas pagal (4.7), vadinamas Hamiltonu. Pabrėžiame, kad bendruoju atveju Hamiltono funkcija yra atsitiktinė funkcija, nes ji priklauso nuo perturbacijos . Kaip matysime vėliau, Hamiltonas yra patogi konstrukcija tiek optimalumo sąlygoms formuoti, tiek įvairiems skaitmeninio optimizavimo metodams įgyvendinti. Pradėkime nuo optimalumo sąlygų. Nesunku nustatyti, kad daliniai Hamiltono vediniai savo argumentuose turi tokią formą:

Atsižvelgiant į tai, pradinės judesio lygtys (4.1), taip pat ryšiai (4.5), apibrėžiantys vektorių, gali būti redukuojami į tokią kanoninę formą:

Vektoriaus lygtis paprastai vadinama konjuguota pradinės vektoriaus lygties atžvilgiu . Todėl pats vektorius, tenkinantis sistemą (4.8), bus vadinamas konjuguotu vektoriumi. Norint jį nustatyti naudojant žinomą valdiklį, būtina, kaip matyti iš sistemos (4.8), pirmiausia nustatyti judėjimo tiesioginiu laiku trajektoriją tam tikrai pradinei sąlygai. Ir tik po to, atvirkštiniu laiku, raskite konjuguotą vektorių, atsižvelgdami į rastą trajektoriją ir vektoriui taikomą ribinę sąlygą. Taip pat reikia turėti omenyje, kad dėl atsitiktinio trikdymo dešinėje sistemos (4.8) lygčių pusėse, konjuguotas vektorius bendruoju atveju taip pat yra atsitiktinis .

Jei dabar grįšime prie išraiškos (4.6), tai naudojant Hamiltono sąvoką, ją galima parašyti forma

Atsižvelgiant į tai, kad paprastai diferenciacijos ir matematinio lūkesčio operacijos yra komutacinės, todėl galioja lygybė

reikiamos optimalumo sąlygos (4.4) galiausiai pateikiamos tokios nelygybių sistemos pavidalu:

kuri turi būti patenkinta visoms galiojančioms .

Paprastai šių sąlygų tiesioginis panaudojimas optimalaus valdymo programavimo uždaviniui išspręsti yra sudėtingas. Taip yra dėl pačių sąlygų nekonstruktyvumo (4.10), kuris pasireiškia tuo, kad nelygybių sistema išvis sunku pasinaudoti ieškant optimalaus sprendimo. Viena vertus, sunkumus apsunkina tai, kad šiose nelygybėse yra matematinių lūkesčių veikimo nelygybės (visų atsitiktinių veiksnių statistinis vidurkis) ir, kita vertus, kiekvieno konkretaus įgyvendinimo poreikis išspręsti ribinės vertės problemą. (4.1) ir (4.5) lygčių sistemai. Šiuo atveju optimalus valdymas kiekviename įgyvendinime turėtų lemti tiek ribinės sąlygos „kairėje“ įvykdymą pradiniu sistemos momentu (4.1), tiek ribinę sąlygą „dešinėje“ galutiniu sistemos momentu (4.5). ).

Dabar aptarkime dažniausiai pasitaikančius ypatingus atvejus, kai reikiamas optimalumo sąlygas galima perkelti į konstruktyvesnę formą.

Pažymėtina, kad prie šio atvejo ateiname ir tada, kai kontrolės apribojimai, nors ir egzistuoja, vykdomi automatiškai.

kur Hamiltono ir vektoriai , yra deterministiniai ir nustatomi naudojant šiuos ryšius:

Čia išlieka visi problemos sprendimo, naudojant optimalumo sąlygas, sunkumai, aptarti anksčiau svarstant stochastinę sistemą. Vienintelis supaprastinimas yra tas, kad, kaip jau buvo nurodyta, matematinio lūkesčio operacijos nėra, nes nėra pačių atsitiktinių veiksnių.

3. Leidžiamų valdiklių rinkinys yra išgaubtas, o Hamiltono yra išgaubta funkcija. Visų pirma pažymime, kad kiekviena iš sąlygų (4.10) bendruoju atveju gali būti interpretuojama kaip būtina sąlyga minimaliam Hamiltono matematiniam lūkesčiui valdymo vektoriaus atžvilgiu. . Toliau galime parodyti, kad jei Hamiltono yra išgaubtas, funkcija taip pat bus išgaubta . Ir žinoma, kad minimalios funkcijos išgaubimo atveju išgaubtoje aibėje minimumas yra unikalus, todėl tuo pačiu metu pakaks ir būtinų optimalumo sąlygų. Atsižvelgiant į tai, kiekviena sistemos (4.10) sąlyga nagrinėjamu atveju yra lygiavertė sąlygai, kad Hamiltono matematinis lūkestis pasiektų savo minimalią valdymo reikšmę esant optimaliai valdymui. Kitaip tariant, vietoj (4.10) galime rašyti

kur , reiškia bet kokį leistiną valdiklį , a pro – norimas optimalus valdymas.

Natūralu, kad galimi aptartų ypatingų atvejų deriniai ir atitinkamai optimalumo sąlygos. Taigi, pavyzdžiui, deterministiniu atveju, ty nesant trikdžių

(), o kai Hamiltono yra išgaubtas, reikiamos optimalumo sąlygos įgauna formą

Optimalumo sąlygos

Tiriant bet kokio tipo optimizavimo problemą svarbi vieta susijęs su klausimu optimalumo sąlygos arba, kaip sakoma, ekstremaliomis sąlygomis. Yra nepaprastai svarbi optimalumo sąlyga ᴛ.ᴇ. sąlygos, kurias turi atitikti taškas, kuris yra problemos sprendimas, ir pakankamai sąlygų optimalumas, ᴛ.ᴇ. sąlygos, iš kurių tai išplaukia duotas taškas yra problemos sprendimas.

Pastabos:

1. Jei funkcija turi vienarūšiškumo savybę, tai lokalus minimumas automatiškai yra globalus minimumas.

2. Jei funkcija nėra unimodalinė, tai gali būti keletas lokalinių optimalų, o globalų minimumą galima nustatyti suradus visus lokalinius optimalus ir pasirinkus mažiausią iš jų.

4.1 teorema.(labai svarbi pirmos eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ taške yra diferencijuojama. Jei yra vietinis problemos (4.1) sprendimas, tada

(4.5)

kur yra funkcijos gradientas.

Taškas X* paprastai vadinama tenkinimo sąlyga (4.5). stacionarus taškas funkcijos ar problemos (4.1). Tai aišku stacionarus taškas neturi būti sprendimas, ᴛ.ᴇ. (4.5) nėra pakankama optimalumo sąlyga. Tokie taškai yra įtartini, nes jie yra optimalūs.

4.1 pavyzdys. Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkciją f(x) = x 3 (4.4 pav.). Ši funkcija tenkina itin svarbią optimalumo sąlygą, tačiau neturi nei maksimumo, nei minimumo X* = 0, ᴛ.ᴇ. ir laikotarpis X* – stacionarus taškas.

Jei stacionarus taškas neatitinka vietinio optimalumo (minimalus arba maksimalus), tada jis yra vingio taškas arba balno taškas. Norint atskirti atvejus, kai stacionarus taškas atitinka lokalinį minimumą, lokalų maksimumą arba yra vingio taškas, itin svarbu sukonstruoti pakankamas optimalumo sąlygas.

x*x

Ryžiai. 4.6. Funkcijos, turinčios vingio tašką, grafikas

4.2 teorema.(labai svarbi antros eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ yra du kartus diferencijuojama taške . Tuo atveju X* yra lokalus problemos (4.1) sprendimas, tada matrica yra neneigiama apibrėžtoji, ᴛ.ᴇ.

h E n, (4.6)

Kur yra funkcijos ¦ Hesenas taške .

Pakankama vietinio optimalumo sąlyga apima būdingą matricos reikalavimų stiprinimą.

4.3 teorema.(pakankama antros eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ yra du kartus diferencijuojama taške . Tarkime, kad , o matrica yra teigiama apibrėžtoji, ᴛ.ᴇ.

, h E n, h≠ 0. (4.7)

Tada X* – griežtas lokalus problemos sprendimas (4.1). Dėl funkcijos skaitinis argumentas (n= 1) sąlygos (4.6) ir (4.7) reiškia, kad antroji išvestinė as skaliarinis dydis atitinkamai ne neigiamas ir teigiamas.

Taigi, funkcijai ¦ skaitmeninis argumentas negarantuoja, kad bus optimalus, jei tenkinamos sąlygos − minimumas; − maksimalus.

Tam, kad stacionarus taškas būtų ekstremalus taškas, nepaprastai svarbu tenkinti pakankamas sąlygas vietinis ekstremumas. Pakankama sąlyga yra tokia teorema.

4.4 teorema. Tegul taške X* pirmas ( n−1) funkcijos išvestiniai išnyksta, o išvestinė n tvarka skiriasi nuo nulio:

1) Tuo atveju n– taigi keista X* – vingio taškas;

2) Tuo atveju n− net tada X* – vietinis optimalus taškas.

Be to:

A) jei ši išvestinė yra teigiama, tada X* – taškas vietinis minimumas;

b) jei ši išvestinė yra neigiama, tada X* – vietinio maksimumo taškas.

Norėdami pritaikyti funkcijai šią 4.4 teoremą f(x) = x 3 (4.1 pavyzdys), apskaičiuokime:

Kadangi pirmosios nenulinės išvestinės eilė yra 3 ( nelyginis skaičius), taškas X= 0 yra vingio taškas.

4.2 pavyzdys. Apsvarstykite visoje apibrėžtą funkciją tikroji ašis ir nustatyti vienetiniai taškai:

Optimalumo sąlygos – samprata ir rūšys. Kategorijos „Optimalumo sąlygos“ klasifikacija ir ypatumai 2017, 2018 m.

Yra dviejų tipų optimalios sprendimo sąlygos: būtinas ir pakankamas.

Būtinos sąlygos optimalumui.

Bendra būtinų sąlygų formuluotė: jei teiginys A visada reiškia teiginį B, tai B būtinas A.

Kalbant apie optimizavimo problemą: iš teiginio A (yra geriausias aibės elementas D) po teiginio B ( - geriausias rinkinio elementas L, priklauso D ir formuojant aplinkinę teritoriją
) (1.7 pav.).

Taigi vietinis netobulinamumas (
- geriausias elementas tarp leistinų jo kaimynystės elementų) yra būtina sąlyga
buvo optimaliausias sprendimas. Kitaip tariant, norintX  D , tai būtinaX  buvo optimalus sprendimas filmavimo aikštelėjeL, priklausoD ir formuojant taško kaimynystęX  . Kaip taisyklė, daugelis L parenkamas taip, kad pradinio uždavinio kriterijus ir apribojimai tiksliai sutaptų su pagalbinio supaprastinto uždavinio kriterijais ir apribojimais, kurių sprendimą galima nustatyti naudojant tam tikras lygtis. Tokiu atveju lygtys, identifikuojančios lokaliai nepatobulinamą sprendimą, yra būtinos pradinės problemos optimalumo sąlygos. Paprastai supaprastinta problema konstruojama tiesiškai tiesinant pradinę problemą šalia norimo optimalaus sprendimo.

Pakankamos sąlygos optimalumui.

Bendra pakankamų sąlygų formuluotė: jei teiginys A visada išplaukia iš teiginio B, tai B pakanka A. Optimizavimo uždavinio atžvilgiu iš teiginio B (sprendimas
yra geriausia filmavimo aikštelėje V, įskaitant daugelį D, ir
priklauso D) visada seka teiginį A (
- geriausias rinkinio elementas D) (1.8 pav.)).

Taigi, rinkinio dangos nepatobulinimas D, kartu su priklausymu D, yra pakankama sąlyga
buvo norimas optimalus sprendimas.

Kitaip tariant, norintX  buvo optimalus sprendimas filmavimo aikštelėjeD , užtenkaX  buvo optimalus sprendimas filmavimo aikštelėjeV , įskaitant daugelįD , ir priklausė daugeliuiD .

Sudėtingiems leistinų sprendimų rinkiniams patartina naudoti pakankamas sąlygas D, todėl sunku išspręsti problemą, tačiau išplėstas rinkinys V pasirodo daug paprasčiau.

Pavyzdžiui, rinkinys D, parodytas Fig. Patartina 1,8 pakeisti sritimi V, kuri yra stačiakampis, apimantis plotą D ir gali būti apibūdinamas autonominiais formos apribojimais

(žr. 1.8 pav.)

2. Vieno kintamojo funkcijos maksimumo nustatymas.

2.1. Problemos pareiškimas. Optimizavimo uždavinių sprendimo metodai.

Šiuo atveju optimalumo kriterijuje yra tik vienas kintamasis. Jai gali būti taikomi tik savarankiški apribojimai, o problemos teiginys yra tokia forma:

(2.1)

(2.2)

Pagal Weierstrasse teoremą kiekviena funkcija
, tęstinis uždaroje ir ribotoje aibėje (
), pasiekia didžiausias ir mažiausias vertes. Funkcija
išgaubtasįjungta
, jei jis yra šiame rinkinyje vienas maksimumas. Išgaubta funkcija turi savybę, kad jei per bet kuriuos du jai priklausančius taškus nubrėžtume tiesę (su koordinatėmis Ir
), tada bet kuris tarpinis šios linijos taškas neviršys funkcijos reikšmės X(2.1 pav ) . Išgaubtai funkcijai galioja išraiška:

Kur

Jei funkcija nėra išgaubta (ne unimodalinė), tai ji turės kelis maksimalius taškus, o funkcijos reikšmė šiuose taškuose bus skirtinga (2.2 pav.)

Šiuo atveju taškas, atitinkantis didžiausią funkcijos reikšmę (taškas
paveiksle) vadinamas pasaulinis maksimalus taškas, o likę taškai (
,,
,) – funkcijos lokalūs maksimumai.

Visi sprendimo būdai optimizavimo problemos, įskaitant vieno kintamojo funkcijos maksimumo nustatymo metodus, skirstomi į:

Analitinės, pagrįstos būtinomis arba pakankamomis optimalumo sąlygomis, ir pakankamos sąlygos taikomos tik esant sudėtingoms priimtinų reikšmių sritims.D.

Skaitiniai, tai yra skaičiavimo procedūra, suteikianti nuoseklų sprendimo patikslinimą nuo tam tikro pradinio aproksimavimo iki maksimumo su nurodyta leistina paklaida.

2.2. Analitinis problemos sprendimo metodas. Vieno kintamojo funkcijos maksimumo sąlygos.

Leiskite
- nuolatinė ir du kartus diferencijuojama funkcija
uX 0 yra numatomo funkcijos maksimumo taškas. Kad funkcija pasiektų max X 0, būtina, kad bet kuriai kitai funkcijai X, savavališkai arti X 0, t.y.
, santykis (2.3) buvo patenkintas

Išskaidykime
į Taylor seriją šalia taško X 0

Mažiems  X, terminų, kurių laipsniai yra didesni nei vienas, galima nepaisyti, o tada iš (2.4) seka:

Pakeitę (2.5) į (2.3), galiausiai gauname būtina sąlyga maksimali vieno kintamojo funkcija:

(2.6)

Naudojant šią sąlygą, gali būti dvi parinktys:

1.
- vidinis taškas leistinų verčių diapazonas (2.3 pav.). Šiuo atveju ženklas  X neapibrėžtas ir (2.6) sąlygai tenkinti būtina

(2.7)

Šiuo atveju skirtumo ženklas (2.3) nustatomas pagal pirmojo atmesto Teiloro serijos nario ženklą, t.y. ženklas
. Todėl būtina sąlyga max (2,7) papildoma sąlyga