Prisiminkime pagrindinę informaciją iš trigonometrijos, kuri reikalinga toliau.

Trigonometrinės funkcijos iš pradžių laikomos kampo funkcijomis, nes skaitinė reikšmė kiekvienas iš jų (jei yra prasmingas) nustatomas nurodant kampą. Vienas su vienu atitikimas tarp apskritimo lankų ir centriniai kampai leidžia trigonometrines funkcijas laikyti lanko funkcijomis. Taigi, pavyzdžiui, funkcijos argumentas sinφ turime galimybę jį interpretuoti kaip kampą arba kaip lanką pagal valią. Taigi iš pradžių trigonometrinės funkcijos argumentas veikia kaip geometrinis objektas – kampas arba lankas. Tačiau tiek pačioje matematikoje, tiek jos taikymuose trigonometrines funkcijas reikia laikyti funkcijomis skaitinis argumentas. Netgi mokyklinė matematika Trigonometrinės funkcijos argumentas ne visada laikomas kampu. Taigi, pavyzdžiui, harmoninis svyruojantis judesys pateikiama naudojant lygtį: s = A nuodėmė at.Čia argumentas t yra laikas, o ne kampas (koeficientas a yra skaičius, apibūdinantis virpesių dažnį).

Kampų (ar lankų) matavimo procesas kiekvienam kampui (lankui) priskiria tam tikrą skaičių kaip matą. Matuojant kampą (lanką), galite gauti bet koks realusis skaičius, nes galime laikyti bet kokio dydžio nukreiptus kampus (lankus). Pasirinkę tam tikrą kampų (lankų) matavimo vienetą, kiekvieną kampą (lanką) galite susieti su jį matuojančiu skaičiumi, ir, atvirkščiai, kiekvienas skaičius gali susieti kampą (lanką), išmatuotą tam tikru skaičiumi. Tai leidžia trigonometrinės funkcijos argumentą interpretuoti kaip skaičių. Panagrinėkime kokią nors trigonometrinę funkciją, pavyzdžiui, sinusą. Tegul x yra bet koks realusis skaičius, šis skaičius visiškai atitinka tam tikras kampas(lankas), matuojamas skaičiumi x, o gautas kampas (lankas) atitinka labai specifinę sinuso reikšmę sin x. Galiausiai gaunamas skaičių atitikimas: kiekvienas tikrasis skaičius x atitinka tiksliai apibrėžtą realųjį skaičių y = sin x. Todėl sin x galima interpretuoti kaip funkciją skaitinis argumentas. Peržiūrint trigonometrinės funkcijos kaip skaitinio argumento funkcijas, buvo sutarta matavimo vienetu imti lankus ir kampus radianas. Remiantis šia sutartimi, simboliai sin x, cos x, tgx ir ctg x turėtų būti interpretuojami kaip kampo (arko), kurio radianinis matas išreiškiamas skaičiumi x, sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Pavyzdžiui, nuodėmė 2 yra lanko sinusas, išmatuotas dviem radianais *.

* (Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriuose vadovuose radianinis matas labai nesėkmingai vadinamas abstrakčiu, priešingai nei laipsnio matas. Tarp abiejų matavimo metodų jokio esminio skirtumo, pasirenkami tik skirtingi matavimo vienetai. Deja, iki šių dienų šis klausimas kartais sukelia pseudomokslinių, žalingų „metodinių“ tuščių kalbų.)

Lankų ir kampų matavimo vieneto pasirinkimas neturi esminės svarbos. Radiano pasirinkimas nepadiktuota būtinybė. Radianas pasirodo esąs tik patogiausias vienetas, nes matuojant radianą formulės matematinė analizė, susiję su trigonometrinėmis funkcijomis, yra paprasčiausia *.

* (Šis supaprastinimas paaiškinamas tuo, kad radianiniu matu kampų matavimo vienetu paimkime, pavyzdžiui, laipsnį. Tegul t ir x yra atitinkamai laipsnio ir radiano matai nurodytas kampas, tada mes turime:

Argumento ir trigonometrinės funkcijos reikšmių atitikimo dėsnis nėra nustatytas tiesioginiu nurodymu matematines operacijas(formulė), kuri turi būti atlikta su argumentu, ir geometriškai *. Tačiau tam, kad būtų galima kalbėti apie funkciją, būtina turėti atitikimo dėsnį, pagal kurį kiekvienas priimtina vertė argumentas atitinka konkrečią funkcijos reikšmę, bet ne esminis kaip nustatytas šis įstatymas.

* (Priemonėmis elementarioji matematika neįmanoma sudaryti formulių, išreiškiančių trigonometrinių funkcijų reikšmes algebrinės operacijos per ginčą. Formulės, žinomos iš aukštoji matematika, išreiškiantis trigonometrinių funkcijų reikšmes tiesiogiai per argumento reikšmę,

Funkcijos sin x ir cos x turi prasmę bet kokioms tikrosioms x reikšmėms, todėl jų apibrėžimo sritis yra visų aibė. realūs skaičiai.

Funkcija tg x yra apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms, skiriasi nuoπ / 2 + kπ formos skaičiai.

Funkcija ctg x yra apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms, skiriasi nuo kπ formos skaičiai.

Taigi, trigonometrinės funkcijos argumentas, mūsų nuožiūra, gali būti interpretuojamas kaip kampas arba kaip lankas, arba, galiausiai, kaip skaičius. Argumentą pavadindami lanku (arba kampu), juo galime reikšti ne patį lanką (ar kampą), o skaičių, kuris jį matuoja. Išsaugodami geometrinę terminologiją, leidžiame sau vietoj, pavyzdžiui, šios frazės: „skaičiaus sinusas π / 2“ sakyti: „arkos sinusas π / 2“.

Geometrinė terminija yra patogi, nes primena atitinkamus geometrinius vaizdus.

Vienas iš svarbiausias savybes trigonometrinės funkcijos yra jų periodiškumas. Funkcijos sin x ir cos x turi 2π periodą. Tai reiškia, kad bet kuriai x reikšmei galioja lygybės:

sin x = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) = ... = sin (x + 2kπ);

cos x = cos (x + 2π) = cos (x + 4π) = ... = cos (x + 2kπ),

Kur k- bet koks sveikasis skaičius.

Griežtai kalbant, funkcijos sin x ir cos x turi begalinis rinkinys laikotarpiai:

±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,

skaičius 2tr, kuris yra mažiausias teigiamas periodas, paprastai vadinamas tiesiog periodu.

Periodiškumo savybė turi tokį geometrinį aiškinimą: trigonometrinių funkcijų reikšmė nuodėmė x Ir cos x nesikeičia, jei prie lanko x pridedamas (arba atimamas) sveikasis apskritimų skaičius. Jei funkcija nuodėmė x arba cos x turi bet kokią argumento x = a vertės savybę, tada ji turi tokią pat savybę bet kuriai iš verčių a + 2kπ.

Funkcijos tg x ir ctg x taip pat yra periodinės (mažiausias teigiamas) yra skaičius π.

Tiriant savybes periodinė funkcija pakanka jį laikyti tam tikru intervalu, lygiu laikotarpiui.

Išvardinkime pagrindines trigonometrinių funkcijų savybes.

1°. nuodėmės funkcija x segmente (Aš ir aš neigiami ketvirčiai) dideja. Sinuso reikšmės segmento galuose, ty x = π / 2 ir x = - π / 2, yra atitinkamai lygios 1 ir -1.

2°. Kad ir koks būtų tikrasis skaičius k, pagal absoliučioji vertė ne daugiau kaip 1, atkarpoje - π / 2 ≤x≤ π / 2 yra vienas lankas x = x 1, kurio sinusas lygus k. Kitaip tariant, segmente vienai argumento x = x 1 reikšmei sinusas yra savavališkas nustatyta vertė, neviršija 1 absoliučia verte.

Tiesą sakant, pasak duota vertė sinusas galimas I ir I neigiamuose ketvirčiuose trigonometrinis ratas(visada manysime, kad trigonometrinio apskritimo spindulys lygus 1) sukonstruoti atitinkamą lanką. Pakanka nubrėžti k dydžio atkarpą ant vertikalaus skersmens (aukštyn, jei k>0, ir žemyn, jei k

Savybės 1° ir 2° paprastai derinamos toliau pateikto sąlyginio teiginio forma.

Atkarpoje - π / 2 ≤x≤ π / 2 sinusas didėja nuo -1 iki 1.

Naudojant panašius geometrinius samprotavimus arba naudojant formulę meta nuodėmę(π - x) = sin x, nesunku nustatyti, kad atkarpoje π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (t. y. II ir III ketvirčiuose) sinusas sumažėja nuo 1 iki -1. Segmentai – π/2 ≤x≤ π/2 ir π/2 ≤x≤ 3π/2 kartu sudaro pilnas ratas, t.y. apima visą sinuso periodą. Tolimesnis sinuso tyrimas tampa nereikalingas ir galime teigti, kad bet kuriame atkarpoje [- π / 2 +2kπ, π / 2 +2kπ] sinusas padidėja nuo -1 iki 1, o bet kuriame atkarpoje [π / 2 +2kπ, 3π / 2 +2kπ] sinusas sumažėja nuo 1 iki -1. Sinuso grafikas parodytas 11 paveiksle.

Panašiu būdu atliekamas ir kosinuso tyrimas. Pagrindinės kosinuso savybės yra šios:

Cos x funkcija segmente (t. y. 1 ir 2 ketvirčiuose) sumažėja nuo 1 iki -1. Atkarpoje [π, 2π] (t.y. III ir IV ketvirčiuose) kosinusas didėja nuo -1 iki 1. Dėl periodiškumo atkarpose kosinusas sumažėja nuo 1 iki -1, o atkarpose didėja nuo -1 iki 1 [(2k-1)π, 2kπ] (12 pav.).

Apsvarstykite funkciją y = tan x intervale (- π / 2, π / 2).

Ribinės vertės ±π/2 turėtų būti neįtrauktos, nes tg(±π/2) neegzistuoja.

1°. Intervale (- π / 2, π / 2) funkcija tg x dideja.

2°. Kad ir koks būtų tikrasis skaičius k, intervale - - π / 2

Lengva patikrinti lanko x 1 egzistavimą ir unikalumą geometrinė konstrukcija, pateiktas 13 brėžinyje.

Taigi intervale (- π / 2, π / 2) liestinė didėja ir, esant vienai argumento reikšmei, turi savavališką pateiktą tikroji vertė. Savybės 1° ir 2° trumpai suformuluotos taip:

intervale (- π / 2, π / 2) liestinė didėja nuo -∞ iki ∞.

Nesvarbu, kas duota (tokio dydžio, kiek norite) teigiamas skaičius N, liestinės vertės yra didesnės nei N, kai visos x vertės yra mažesnės nei π/2 ir pakankamai artimos π/2. Simboliškai šis teiginys parašytas taip:

Jei x reikšmės yra didesnės nei - π / 2 ir pakankamai artimos - π / 2 y reikšmėms tg x

* (Dažnai jie rašo tan π / 2 = ∞ ir sako, kad liestinės π / 2 reikšmė yra lygi ∞. Šis teiginys elementarios matematikos kurse gali sukelti tik juokingas antimokslines idėjas. Simbolis ∞ nėra skaičius ir negali būti funkcijos reikšmė. Tiksli prasmė, kuriame turėtų būti naudojami simboliai ±∞, paaiškinta tekste.)

Tolimesnis liestinės tyrimas nereikalingas, nes intervalo reikšmė (- π / 2, π / 2) lygi π, t.y. visas laikotarpis liestinė Vadinasi, bet kuriame intervale (- π / 2 + π, π / 2 + π) liestinė didėja nuo -∞ iki ∞, o taškuose x = (2k+1)π / 2 tai turi prasmę. Tangento grafikas pateiktas 14 pav.

Funkcija ctg x intervale (0, π), taip pat kiekviename iš intervalų (kπ, (k+1)π) mažėja nuo ∞ iki -∞, o taškuose x = kπ kotangentas neturi reikšmės. . Kotangento grafikas pateiktas 15 pav.

Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos. Trigonometrinių funkcijų savybės ir grafikai.

1 apibrėžimas: Skaitmeninė funkcija, pateikta pagal formulę y=sin x vadinamas sinusu.

Ši kreivė vadinama - sinusinės bangos.

Funkcijos y=sin x savybės

2. Funkcijos reikšmių diapazonas: E(y)=[-1; 1]

3. Pariteto funkcija:

y=sin x – nelyginis,.

4. Periodiškumas: sin(x+2πn)=sin x, kur n yra sveikas skaičius.

Ši funkcija po tam tikro laikotarpio priima tos pačios vertybės. Ši funkcijos savybė vadinama dažnis. Intervalas yra funkcijos laikotarpis.

Funkcijos y=sin x periodas yra 2π.

Funkcija y=sin x yra periodinė, su periodu Т=2πn, n yra sveikasis skaičius.

Mažiausiai teigiamas laikotarpis T = 2π.

Matematiškai tai galima parašyti taip: sin(x+2πn)=sin x, kur n yra sveikas skaičius.

2 apibrėžimas: Skaitinė funkcija, pateikta formule y=cosx, vadinama kosinusu.

Funkcijos y=cos x savybės

1. Funkcijos sritis: D(y)=R

2. Funkcijos reikšmės sritis: E(y)=[-1;1]

3. Pariteto funkcija:

y=cos x – lyginis.

4. Periodiškumas: cos(x+2πn)=cos x, kur n yra sveikas skaičius.

Funkcija y=cos x yra periodinė, jos periodas Т=2π.

3 apibrėžimas: Skaitinė funkcija, pateikta formule y=tan x, vadinama liestine.

Funkcijos y=tg x savybės

1. Funkcijos sritis: D(y) - visi realieji skaičiai, išskyrus π/2+πk, k – sveikasis skaičius. Kadangi šiuose taškuose liestinė nėra apibrėžta.

2. Funkcijų diapazonas: E(y)=R.

3. Pariteto funkcija:

y=tg x – nelyginis.

4. Periodiškumas: tg(x+πk)=tg x, kur k yra sveikas skaičius.

Funkcija y=tg x yra periodinė su periodu π.

4 apibrėžimas: Skaitinė funkcija, pateikta formule y=ctg x, vadinama kotangentine.

Funkcijos y=ctg x savybės

1. Funkcijos apibrėžimo sritis: D(y) – visi realieji skaičiai, išskyrus πk, k yra sveikasis skaičius. Kadangi šiuose taškuose kotangentas nėra apibrėžtas.

Šioje pamokoje apžvelgsime pagrindinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai, taip pat sąrašą pagrindiniai tipai trigonometrines lygtis ir sistemos. Be to, nurodome bendrieji paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendiniai ir specialieji jų atvejai.

Ši pamoka padės jums pasiruošti atlikti vieną iš užduočių tipų B5 ir C1.

Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui

Eksperimentuokite

10 pamoka. Trigonometrinės funkcijos. Trigonometrinės lygtys ir jų sistemos.

Teorija

Pamokos santrauka

Mes jau daug kartų vartojome terminą „trigonometrinė funkcija“. Pirmoje šios temos pamokoje mes nustatėme juos naudodami taisyklingas trikampis ir vienišas trigonometrinis ratas. Naudodami šiuos trigonometrinių funkcijų nurodymo būdus, jau galime daryti išvadą, kad joms viena argumento reikšmė (arba kampas) atitinka būtent vieną funkcijos reikšmę, t.y. turime teisę vadinti sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangentinės funkcijas.

Šioje pamokoje laikas pabandyti abstrahuotis nuo anksčiau aptartų trigonometrinių funkcijų verčių skaičiavimo metodų. Šiandien pereisime prie įprasto algebrinis požiūris dirbdami su funkcijomis pažvelgsime į jų savybes ir braižysime grafikus.

Kalbant apie trigonometrinių funkcijų savybes, tada Ypatingas dėmesys reikia pažymėti:

Apibrėžimo sritis ir reikšmių diapazonas, nes sinusui ir kosinusui taikomi reikšmių diapazono apribojimai, o liestinės ir kotangento – apibrėžimo diapazono apribojimai;

Visų trigonometrinių funkcijų periodiškumas, nes Jau pastebėjome mažiausią ne nulį argumentą, kurio pridėjimas nekeičia funkcijos vertės. Šis argumentas vadinamas funkcijos periodu ir žymimas raide . Sinuso / kosinuso ir liestinės / kotangento atveju šie laikotarpiai skiriasi.

Apsvarstykite funkciją:

1) apibrėžimo sritis;

2) Vertės diapazonas ;

3) Funkcija yra nelyginė ;

Sukurkime funkcijos grafiką. Šiuo atveju patogu pradėti konstrukciją nuo srities, kuri iš viršaus riboja grafiką skaičiumi 1, o iš apačios skaičiumi , kuris yra susietas su funkcijos reikšmių diapazonu, vaizdu. Be to, statybai naudinga atsiminti kelių pagrindinių sinusų vertes stalo kampai, pavyzdžiui, kad Tai leis jums sukurti pirmąją pilną diagramos „bangą“, o vėliau ją perbraižyti į dešinę ir į kairę, pasinaudojant tuo, kad paveikslėlis bus kartojamas su poslinkiu tam tikrą laikotarpį, t.y. ant .

Dabar pažvelkime į funkciją:

Pagrindinės šios funkcijos savybės:

1) apibrėžimo sritis;

2) Vertės diapazonas ;

3) Tolygi funkcija Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu;

4) funkcija nėra monotoniška visoje apibrėžimo srityje;

Sukurkime funkcijos grafiką. Kaip ir konstruojant sinusą, patogu pradėti nuo srities, kuri riboja grafiką viršuje su skaičiumi 1, o apačioje su skaičiumi , kuris yra susietas su funkcijos reikšmių diapazonu. Taip pat grafike nubraižysime kelių taškų koordinates, kurioms reikia atsiminti kelių pagrindinių lentelės kampų kosinusų reikšmes, pavyzdžiui, kad šių taškų pagalba galėtume sukurti pirmąją pilną „bangą“. “ grafiko ir tada perbraižykite jį į dešinę ir į kairę, pasinaudodami tuo, kad paveikslėlis kartosis su periodo poslinkiu, t.y. ant .

Pereikime prie funkcijos:

Pagrindinės šios funkcijos savybės:

1) Domenas, išskyrus , kur . Ankstesnėse pamokose jau nurodėme, kad jos nėra. Šį teiginį galima apibendrinti atsižvelgiant į liestinės periodą;

2) Vertybių diapazonas, t.y. liestinės vertės nėra ribojamos;

3) Funkcija yra nelyginė ;

4) Funkcija monotoniškai didėja savo vadinamosiose liestinėse šakose, kurias dabar matysime paveikslėlyje;

5) Funkcija yra periodinė su tašku

Sukurkime funkcijos grafiką. Šiuo atveju patogu pradėti statyti nuo vaizdo vertikalios asimptotės grafika taškuose, kurie neįtraukti į apibrėžimo sritį, t.y. ir tt Toliau kiekvienos asimptotų suformuotos juostelės viduje pavaizduojame liestinės šakas, spaudžiame jas į kairę ir į dešinę. Tuo pačiu metu nepamirškite, kad kiekviena šaka didėja monotoniškai. Visas šakas vaizduojame vienodai, nes funkcijos periodas lygus . Tai matyti iš to, kad kiekviena šaka gaunama perkeliant gretimą išilgai abscisių ašies.

Ir baigiame pažvelgdami į funkciją:

Pagrindinės šios funkcijos savybės:

1) Domenas, išskyrus , kur . Iš trigonometrinių funkcijų verčių lentelės jau žinome, kad jos nėra. Šį teiginį galima apibendrinti atsižvelgiant į kotangentinį laikotarpį;

2) Vertybių diapazonas, t.y. kotangentų vertės nėra ribojamos;

3) Funkcija yra nelyginė ;

4) Funkcija monotoniškai mažėja savo šakose, kurios yra panašios į liestinės šakas;

5) Funkcija yra periodinė su tašku

Sukurkime funkcijos grafiką. Šiuo atveju, kalbant apie liestinę, konstravimą patogu pradėti vaizduojant vertikalias grafo asimptotes taškuose, kurie neįtraukti į apibrėžimo sritį, t.y. ir tt Toliau pavaizduojame kotangento šakas kiekvienos asimptotų suformuotos juostelės viduje, prispaudžiame jas į kairįjį asimptotą ir į dešinę. Šiuo atveju atsižvelgiame į tai, kad kiekviena šaka mažėja monotoniškai. Visas šakas pavaizduojame panašiai į liestinę vienodai, nes funkcijos periodas lygus .

Atskirai reikia pažymėti, kad trigonometrinės funkcijos su sudėtingais argumentais gali turėti nestandartinį laikotarpį. Tai apie apie formos funkcijas:

Jų laikotarpis yra lygus. O apie funkcijas:

Jų laikotarpis yra lygus.

Kaip matote, norint apskaičiuoti naują laikotarpį, standartinis laikotarpis tiesiog padalytas iš argumento koeficiento. Tai nepriklauso nuo kitų funkcijos modifikacijų.

Galite išsamiau suprasti ir suprasti, iš kur kyla šios formulės, pamokoje apie funkcijų grafikų sudarymą ir transformavimą.

Priėjome vieną svarbiausių temos „Trigonometrija“ dalių, kurią skirsime trigonometrinėms lygtims spręsti. Gebėjimas išspręsti tokias lygtis yra svarbus, pavyzdžiui, aprašant virpesių procesai fizikoje. Įsivaizduokime, kad su sportiniu automobiliu nuvažiavote kelis ratus, trigonometrinės lygties sprendimas padės nustatyti, kiek laiko lenktyniavote priklausomai nuo automobilio padėties trasoje.

Parašykime paprasčiausią trigonometrinę lygtį:

Tokios lygties sprendimas yra argumentai, kurių sinusas yra lygus . Bet mes jau žinome, kad dėl sinuso periodiškumo tokių argumentų yra be galo daug. Taigi šios lygties sprendimas bus ir kt. Tas pats pasakytina ir sprendžiant bet kurią kitą paprastą trigonometrinę lygtį begalinis skaičius.

Trigonometrinės lygtys skirstomos į keletą pagrindinių tipų. Atskirai turėtume pasilikti ties paprasčiausiais, nes visa kita priklauso jiems. Tokios lygtys yra keturios (pagal pagrindinių trigonometrinių funkcijų skaičių). Jiems žinomi bendrieji sprendimai;

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys ir jų bendrieji sprendiniai atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad sinuso ir kosinuso reikšmės turi atsižvelgti į mums žinomus apribojimus. Jei, pavyzdžiui, lygtis neturi sprendinių ir nurodyta formulė neturėtų būti taikoma.

Be to, nurodytose šaknies formulėse yra parametras savavališko sveikojo skaičiaus forma. IN mokyklos mokymo programa Tai vienintelis atvejis, kai lygties sprendime be parametro yra parametras. Šis savavališkas sveikasis skaičius rodo, kad galima užrašyti begalinį bet kurios iš aukščiau pateiktų lygčių šaknų skaičių, tiesiog pakeičiant visus sveikuosius skaičius paeiliui.

Su detaliu šių formulių išvedimu galite susipažinti pakartoję skyrių „Trigonometrinės lygtys“ 10 klasės algebros programoje.

Atskirai reikia atkreipti dėmesį į ypatingus paprasčiausių sinuso ir kosinuso lygčių atvejus. Šios lygtys atrodo taip:

Formulių paieška jiems neturėtų būti taikoma bendrus sprendimus. Tokias lygtis patogiausia išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą, kuris duoda paprastesnį rezultatą nei bendrosios sprendinių formulės.

Pavyzdžiui, lygties sprendimas yra . Pabandykite patys gauti šį atsakymą ir išspręsti likusias nurodytas lygtis.

Be dažniausiai nurodytų trigonometrinių lygčių tipų, yra dar keletas standartinių. Mes išvardijame juos atsižvelgdami į tuos, kuriuos jau nurodėme:

1) Pirmuonys, Pavyzdžiui, ;

2) Ypatingi paprasčiausių lygčių atvejai, Pavyzdžiui, ;

3) Lygtys su sudėtingais argumentais, Pavyzdžiui, ;

4) Išvedimo būdu iki paprasčiausių sumažintos lygtys bendras daugiklis , Pavyzdžiui, ;

5) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių transformuojant trigonometrines funkcijas, Pavyzdžiui, ;

6) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių pakeitimo būdu, Pavyzdžiui, ;

7) Homogeninės lygtys , Pavyzdžiui, ;

8) Lygtys, kurias galima išspręsti naudojant funkcijų savybes, Pavyzdžiui, . Neišsigąskite dėl to, kad šioje lygtyje yra du kintamieji;

Taip pat lygtys, kurias galima išspręsti naudojant įvairių metodų.

Be trigonometrinių lygčių sprendimo, turite mokėti išspręsti jų sistemas.

Labiausiai paplitę sistemų tipai yra šie:

1) Kurioje viena iš lygčių yra galia, Pavyzdžiui, ;

2) Paprastų trigonometrinių lygčių sistemos, Pavyzdžiui, .

Šiandienos pamokoje apžvelgėme pagrindines trigonometrines funkcijas, jų savybes ir grafikus. Susitikome ir mes bendrosios formulės paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendiniai, nurodė pagrindinius tokių lygčių tipus ir jų sistemas.

Praktinėje pamokos dalyje nagrinėsime trigonometrinių lygčių ir jų sistemų sprendimo būdus.

1 langelis.Paprasčiausių trigonometrinių lygčių specialiųjų atvejų sprendimas.

Kaip jau sakėme pagrindinėje pamokos dalyje, specialūs trigonometrinių lygčių atvejai su formos sinusu ir kosinusu:

turėti daugiau paprasti sprendimai, ką duoda bendrųjų sprendinių formulės.

Tam naudojamas trigonometrinis apskritimas. Išanalizuokime jų sprendimo būdą pasitelkdami lygties pavyzdį.

Trigonometriniame apskritime pavaizduokime tašką, kuriame kosinuso reikšmė lygi nuliui, o tai taip pat yra koordinatė išilgai abscisių ašies. Kaip matote, yra du tokie punktai. Mūsų užduotis yra nurodyti ką lygus kampui, kuris atitinka šiuos apskritimo taškus.

Skaičiuoti pradedame nuo teigiamos abscisių ašies krypties (kosinuso ašies) ir nustatydami kampą patenkame į pirmą pavaizduotą tašką, t.y. vienas iš sprendimų būtų ši kampo vertė. Bet mes vis tiek esame patenkinti kampu, kuris atitinka antrąjį tašką. Kaip į jį patekti?

Šioje pamokoje apžvelgsime pagrindinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai, taip pat sąrašą pagrindiniai trigonometrinių lygčių ir sistemų tipai. Be to, nurodome bendrieji paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendiniai ir specialieji jų atvejai.

Ši pamoka padės jums pasiruošti atlikti vieną iš užduočių tipų B5 ir C1.

Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui

Eksperimentuokite

10 pamoka. Trigonometrinės funkcijos. Trigonometrinės lygtys ir jų sistemos.

Teorija

Pamokos santrauka

Mes jau daug kartų vartojome terminą „trigonometrinė funkcija“. Pirmoje šios temos pamokoje mes juos apibrėžėme naudodami stačiakampį trikampį ir vienetinį trigonometrinį apskritimą. Naudodami šiuos trigonometrinių funkcijų nurodymo būdus, jau galime daryti išvadą, kad joms viena argumento reikšmė (arba kampas) atitinka būtent vieną funkcijos reikšmę, t.y. turime teisę vadinti sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangentinės funkcijas.

Šioje pamokoje laikas pabandyti abstrahuotis nuo anksčiau aptartų trigonometrinių funkcijų verčių skaičiavimo metodų. Šiandien pereisime prie įprasto algebrinio požiūrio į darbą su funkcijomis, pažvelgsime į jų savybes ir pavaizduosime grafikus.

Kalbant apie trigonometrinių funkcijų savybes, ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas:

Apibrėžimo sritis ir reikšmių diapazonas, nes sinusui ir kosinusui taikomi reikšmių diapazono apribojimai, o liestinės ir kotangento – apibrėžimo diapazono apribojimai;

Apsvarstykite funkciją:

1) apibrėžimo sritis;

2) Vertės diapazonas ;

3) Funkcija yra nelyginė ;

Sukurkime funkcijos grafiką. Šiuo atveju patogu pradėti konstrukciją nuo srities, kuri iš viršaus riboja grafiką skaičiumi 1, o iš apačios skaičiumi , kuris yra susietas su funkcijos reikšmių diapazonu, vaizdu. Be to, kuriant pravartu atsiminti kelių pagrindinių lentelės kampų sinusų reikšmes, pavyzdžiui, kad tai leis jums sukurti pirmąją pilną grafiko „bangą“, tada perbraižyti ją į dešinę ir kairėje, pasinaudojant tuo, kad paveikslas bus kartojamas su poslinkiu tašku, t.y. ant .

Dabar pažvelkime į funkciją:

Pagrindinės šios funkcijos savybės:

1) apibrėžimo sritis;

2) Vertės diapazonas ;

3) Tolygi funkcija Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu;

4) funkcija nėra monotoniška visoje apibrėžimo srityje;

Pereikime prie funkcijos:

Pagrindinės šios funkcijos savybės:

1) Domenas, išskyrus , kur . Ankstesnėse pamokose jau nurodėme, kad jos nėra. Šį teiginį galima apibendrinti atsižvelgiant į liestinės periodą;

2) Vertybių diapazonas, t.y. liestinės vertės nėra ribojamos;

3) Funkcija yra nelyginė ;

4) Funkcija monotoniškai didėja savo vadinamosiose liestinėse šakose, kurias dabar matysime paveikslėlyje;

5) Funkcija yra periodinė su tašku

Sukurkime funkcijos grafiką. Tokiu atveju konstravimą patogu pradėti vaizduojant vertikalias grafo asimptotes taškuose, kurie neįtraukti į apibrėžimo sritį, t.y. ir tt Toliau kiekvienos asimptotų suformuotos juostelės viduje pavaizduojame liestinės šakas, spaudžiame jas į kairę ir į dešinę. Tuo pačiu metu nepamirškite, kad kiekviena šaka didėja monotoniškai. Visas šakas vaizduojame vienodai, nes funkcijos periodas lygus . Tai matyti iš to, kad kiekviena šaka gaunama perkeliant gretimą išilgai abscisių ašies.

Ir baigiame pažvelgdami į funkciją:

Pagrindinės šios funkcijos savybės:

1) Domenas, išskyrus , kur . Iš trigonometrinių funkcijų verčių lentelės jau žinome, kad jos nėra. Šį teiginį galima apibendrinti atsižvelgiant į kotangentinį laikotarpį;

2) Vertybių diapazonas, t.y. kotangentų vertės nėra ribojamos;

3) Funkcija yra nelyginė ;

4) Funkcija monotoniškai mažėja savo šakose, kurios yra panašios į liestinės šakas;

5) Funkcija yra periodinė su tašku

Atskirai reikia pažymėti, kad trigonometrinės funkcijos su sudėtingais argumentais gali turėti nestandartinį laikotarpį. Mes kalbame apie formos funkcijas:

Jų laikotarpis yra lygus. O apie funkcijas:

Jų laikotarpis yra lygus.

Kaip matote, norint apskaičiuoti naują laikotarpį, standartinis laikotarpis tiesiog padalytas iš argumento koeficiento. Tai nepriklauso nuo kitų funkcijos modifikacijų.

Galite išsamiau suprasti ir suprasti, iš kur kyla šios formulės, pamokoje apie funkcijų grafikų sudarymą ir transformavimą.

Priėjome vieną svarbiausių temos „Trigonometrija“ dalių, kurią skirsime trigonometrinėms lygtims spręsti. Gebėjimas išspręsti tokias lygtis yra svarbus, pavyzdžiui, aprašant svyravimo procesus fizikoje. Įsivaizduokime, kad su sportiniu automobiliu nuvažiavote kelis ratus, trigonometrinės lygties sprendimas padės nustatyti, kiek laiko lenktyniavote priklausomai nuo automobilio padėties trasoje.

Parašykime paprasčiausią trigonometrinę lygtį:

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys ir jų bendrieji sprendiniai atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad sinuso ir kosinuso reikšmės turi atsižvelgti į mums žinomus apribojimus. Jei, pavyzdžiui, lygtis neturi sprendinių ir nurodyta formulė neturėtų būti taikoma.

Be to, nurodytose šaknies formulėse yra parametras savavališko sveikojo skaičiaus forma. Mokyklos programoje tai yra vienintelis atvejis, kai lygties sprendime be parametro yra parametras. Šis savavališkas sveikasis skaičius rodo, kad galima užrašyti begalinį bet kurios iš aukščiau pateiktų lygčių šaknų skaičių, tiesiog pakeičiant visus sveikuosius skaičius paeiliui.

Su detaliu šių formulių išvedimu galite susipažinti pakartoję skyrių „Trigonometrinės lygtys“ 10 klasės algebros programoje.

Atskirai reikia atkreipti dėmesį į ypatingus paprasčiausių sinuso ir kosinuso lygčių atvejus. Šios lygtys atrodo taip:

Jiems neturėtų būti taikomos formulės, kaip rasti bendruosius sprendimus. Tokias lygtis patogiausia išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą, kuris duoda paprastesnį rezultatą nei bendrosios sprendinių formulės.

Pavyzdžiui, lygties sprendimas yra . Pabandykite patys gauti šį atsakymą ir išspręsti likusias nurodytas lygtis.

Be dažniausiai nurodytų trigonometrinių lygčių tipų, yra dar keletas standartinių. Mes išvardijame juos atsižvelgdami į tuos, kuriuos jau nurodėme:

1) Pirmuonys, Pavyzdžiui, ;

2) Ypatingi paprasčiausių lygčių atvejai, Pavyzdžiui, ;

3) Lygtys su sudėtingais argumentais, Pavyzdžiui, ;

4) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių, pašalinant bendrą koeficientą, Pavyzdžiui, ;

5) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių transformuojant trigonometrines funkcijas, Pavyzdžiui, ;

6) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių pakeitimo būdu, Pavyzdžiui, ;

7) Homogeninės lygtys, Pavyzdžiui, ;

8) Lygtys, kurias galima išspręsti naudojant funkcijų savybes, Pavyzdžiui, . Neišsigąskite dėl to, kad šioje lygtyje yra du kintamieji;

Taip pat lygtys, kurios sprendžiamos įvairiais metodais.

Be trigonometrinių lygčių sprendimo, turite mokėti išspręsti jų sistemas.

Labiausiai paplitę sistemų tipai yra šie:

1) Kurioje viena iš lygčių yra galia, Pavyzdžiui, ;

2) Paprastų trigonometrinių lygčių sistemos, Pavyzdžiui, .

Šiandienos pamokoje apžvelgėme pagrindines trigonometrines funkcijas, jų savybes ir grafikus. Taip pat susipažinome su bendromis paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulėmis, nurodėme pagrindinius tokių lygčių tipus ir jų sistemas.

Praktinėje pamokos dalyje nagrinėsime trigonometrinių lygčių ir jų sistemų sprendimo būdus.

1 langelis.Paprasčiausių trigonometrinių lygčių specialiųjų atvejų sprendimas.

Kaip jau sakėme pagrindinėje pamokos dalyje, specialūs trigonometrinių lygčių atvejai su formos sinusu ir kosinusu:

turi paprastesnius sprendimus nei pateikti bendrosiose sprendinių formulėse.

Tam naudojamas trigonometrinis apskritimas. Išanalizuokime jų sprendimo būdą pasitelkdami lygties pavyzdį.

Trigonometriniame apskritime pavaizduokime tašką, kuriame kosinuso reikšmė lygi nuliui, o tai taip pat yra koordinatė išilgai abscisių ašies. Kaip matote, yra du tokie punktai. Mūsų užduotis yra nurodyti, kam yra lygus kampas, atitinkantis šiuos apskritimo taškus.

Trigonometrinių funkcijų grafikas 11 klasėje

Pirmiausia matematikos mokytojas kvalifikacinė kategorija MAOU „Gimnazija Nr. 37“, Kazanė

Spiridonova L.V.

Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos
y=sin(x)+m Ir y=cos(x)+m
Formos funkcijų grafikų braižymas y=sin(x+t) Ir y=cos(x+t)
Formos funkcijų grafikų braižymas y=A · nuodėmė (x) Ir y=A · cos(x)
Pavyzdžiai

Trigonometrinės funkcijos skaitinis argumentas.

y=sin(x)

y=cos(x)

Funkcijos grafikas y = sin x .

Funkcijos y = savybės nuodėmė ( x ) .

visi tikrieji skaičiai ( R )

2. Pokyčių sritis (Verčių sritis) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funkcija y = nuodėmė ( x) keista, nes sin(-x ) = - sin x

π .

sin(x+2 π ) = sin(x).

5. Nepertraukiama funkcija

Mažėjantis: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Didėja: [ - π /2; π /2 ] .

Funkcijos grafikas y = cos x .

Funkcijos y = grafikas cos x gautas pervedimu

funkcijos y = grafikas nuodėmė x paliko π /2.

Funkcijos y = co savybės s ( x ) .

1. Funkcijos apibrėžimo sritis yra aibė

visi tikrieji skaičiai ( R )

2. Pokyčių sritis (Verčių sritis), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funkcija y = cos (X) net, nes cos (- X ) = cos (X)

Funkcija yra periodinė, o pagrindinis laikotarpis yra 2 π .

cos ( X + 2 π ) = cos (X) .

5. Nepertraukiama funkcija

Mažėjantis: [ 0 ; π ] .

6. Didėja: [ π ; 2 π ] .

Statyba

grafikai formos funkcijos

y = nuodėmė ( x ) + m

y = cos (X) + m.

0 arba žemyn, jei m " plotis = 640"

Lygiagretus grafiko perkėlimas išilgai Oy ašies

Funkcijos grafikas y=f(x) + m paaiškėja lygiagretus perdavimas funkcinė grafika y=f(x) , aukštyn m vienetų, jei m 0 ,

arba žemyn, jei m .

0 m. m 1 x" plotis = "640"

Konversija: y= nuodėmė ( x ) +m

Shift y= nuodėmė ( x ) palei ašį y aukštyn, jei m 0

0 m. m 1 x" plotis = "640"

Konversija: y= cos ( x ) +m

Shift y= cos ( x ) palei ašį y aukštyn , Jei m 0

Konversija: y = nuodėmė ( x ) +m

Shift y= nuodėmė ( x ) palei ašį y žemyn, Jeigu m 0

Konversija: y=cos ( x ) + m

Shift y= cos ( x ) palei ašį y žemyn, jei m 0

Statyba

grafikai formos funkcijos

y = nuodėmė ( x + t )

y = cos ( X +t )

0 ir į dešinę, jei t 0." width="640"

Lygiagretus grafiko perkėlimas išilgai Ox ašies

Funkcijos grafikas y = f(x + t) gautas lygiagrečiai perkeliant funkcijos grafiką y=f(x) palei ašį X įjungta |t| mastelio vienetų paliko, Jeigu t 0

Ir teisingai , Jeigu t 0.

0 y 1 x t" plotis = "640"

Konversija: y = sin(x + t)

pamaina y= f(x) palei ašį X paliko, Jeigu t 0

0 y 1 x t" plotis = "640"

Konversija: y = cos(x + t)

pamaina y= f(x) palei ašį X paliko, Jeigu t 0

Konversija: y=sin(x+t)

pamaina y= f(x) palei ašį X teisingai, Jeigu t 0

Konversija: y = cos(x + t)

pamaina y= f(x) palei ašį X teisingai, Jeigu t 0

1 ir 0 a 1" plotis = "640"

Formos funkcijų grafikų braižymas y = A · nuodėmė ( x ) Ir y= A · cos ( x ) , adresu a 1 ir 0 A 1

1 ir suspaudimas iki Ox ašies su koeficientu 0 A." width="640"

Suspaudimas ir tempimas išilgai Jaučio ašies

Funkcijos grafikas y=A · f(x ) gauname ištempę funkcijos grafiką y= f(x) su koeficientu A išilgai Jaučio ašies, jei A 1 Ir suspaudimas iki Ox ašies su koeficientu 0 A .