Pradžia
Esė Praeikime pro šalį! Tomas ir
šimto metų istorija
trumpai ir paprastai.
Remiantis Puankarės hipoteze, trimatis rutulys yra vienintelis trimatis objektas, kurio paviršius gali būti ištrauktas į vieną tašką tam tikra hipotetine „hipervirvele“.
Taip........
Poincaré spėjimas, kuris nebėra hipotezė, yra TOPOLOGIJOS pamatų „pamatas“.
Topologija, žodis yra gana pažįstamas (iš karto pasirodo asociatyvios serijos „Grafai“ ir „Tinklai“)
paprastesnis - matematikos skyrius,
tiria tęstinumo fenomeną, ypač erdvės savybės, kurios išlieka nepakitusios esant nuolatinėms deformacijoms (susijungimas, orientuotumas). Paprasčiau tariant, tai yra mūsų supančio pasaulio reiškiniai, kurių nesugalvojame išmatuoti ar padalinti, kad
bendras atvejis
jie visi yra tęstiniai.
Skirtingai nuo geometrijos, topologija neatsižvelgia į metrines objektų savybes.
Na, štai ir vėl – begalybė, jokių matavimų – jokio mokslo,
ir tęstinumas pasirinktame objekte (srityje), o pats objektas – tai pritaikymo ir taikomojo mokslo vieta.
Apskritai tai yra filosofija – (tiria bendrąsias esmines tikrovės charakteristikas ir pamatinius principus).
Vizualiai – puikus pavyzdys:
Spurgos ir puodelio tęstinumo homotopinis lygiavertiškumas -
į Puankarę - Remiantis Puankarės hipoteze, trimatis rutulys yra vienintelis trimatis objektas, kurio paviršius gali būti ištrauktas į vieną tašką tam tikra hipotetine „hipervirvele“.
trimatė sfera
yra keturmačio rutulio paviršius.
iš kur jis atsirado?
Čia yra trumpas paaiškinimas, prieinamas visiems (taip pat ir man)
Apskritai matematikai Visatą laiko kažkokiu trimačiu „daugiagaliu“, kitaip tariant, kažkokiu sudėtingu, išlenktu, paprastai tariant, objektu, kuris aplink kiekvieną savo tašką turi tris matmenis (tai yra, iš jo galite judėti tiksliai trimis). abipusiai statmenos kryptys X).
Tačiau galimos ir baigtinio tūrio lenktos Visatos, pavyzdžiui, Puankarės spėjime minima trimatė sfera. Geriausias būdas suprasti, kas tai yra, yra analogija su vienmačiu rutuliu – apskritimu ir dvimačiu rutuliu – trimačio rutulio paviršiumi. Trimatė sfera yra keturmačio rutulio paviršius.
Dvimatę sferą (iki deformacijos) galite gauti paėmę įprastą apskritimą ir suklijuodami visus jo ribinius taškus į vieną, tarsi „sutraukdami“ ribinį apskritimą į tašką. (Tai galima padaryti praktiškai audinio apskritimui, kurio perimetru prisiūta elastinė juosta - priveržkite elastinę juostelę ir gausite "maišelį" - deformuotą dvimatę sferą. Taip piniginės buvo gaminamos anksčiau - prisiminkite filmus apie viduramžius).
Panašiai paimkite trimatį rutulį ir klijuokite, „sutraukite“ visus ribinio rutulio taškus į vieną. Jūs gausite, tiksliai iki deformacijos, trimatę sferą.
Įsivaizduokite save ir senovės žmonių vietoje, kurie tikriausiai buvo tikri, kad Žemė plokščia ir atrodė kaip blynas su kraštais, arba buvo begalinė plokštuma. Bet tada paaiškėjo, kad jei visą laiką eini viena kryptimi, sugrįši į pradinį tašką atvirkštinė pusė– t.y. keliaujant po pasaulį.
Dabar, jei Visata yra trimatė sfera, tada judame kartu šviesos spindulys- visą laiką tiesia linija - grįšite į pradinį tašką ir iš priešingos pusės.
Dabar darykime prielaidą, kad mūsų Visata turi savybę būti tiesiog sujungta, t.y. savavališkas "lasso" (kilpa), permestas per Visatą BET KOMIS BŪDU, gali būti ištrauktas į tašką. (Tiksliai taip, kaip kaubojai priveržia įprastą laso, bet tik tol, kol kilpa bus suspausta iki taško).
(Taip nebūtų, jei, pavyzdžiui, palei visą Visatą būtų nupjautas begalinis tuštumos tunelis abiem kryptimis. Tada per tunelį mestos kilpos neužveržtumėte – ji stipriai apsivyniotų aplink savo kraštus. ir toliau neitų).
Taigi, darykime prielaidą (beje, labai tikėtina), kad mūsų tikroji trimatė Visata turi 1. uždarumo (be „sienų“ kraštų) savybių 2. tiesiog sujungta (bet koks laso yra traukiamas į tašką) - tada Poincaré pasiūlė, kad šiuo atveju tai būtinai turi būti trimatė sfera arba DEFORMUOTA trimatė sfera (kaip, pavyzdžiui, mūsų Žemė nėra tobula sfera, o šiek tiek suplota ties ašigaliais).
Žinoma, Puankarės teiginys tinka abstrakčiams trimačiams kolektoriams, o mūsų Visata yra tik iliustracija. (Kaip ir mūsų Žemė gali būti apytiksliai rutulio iliustracija, o matematikai nuo senovės graikų laikų įrodinėja teiginius apie idealius objektus – idealiu atveju tiesias linijas, apskritimus, rutulius – jų tikrojoje gamtoje nėra. , tai įkvėpė Platoną sukurti savo idealistinę filosofiją, kurioje yra idealių objektų pasaulis, ir tikrus objektus– kaip jų iškreipti šešėliai).
Kokia yra mūsų Visatos forma?
Perelmano įrodymas leidžia mums labai pagrįstai daryti prielaidą, kad visata yra ta pati trimatė sfera.
Pasirodo, jei Visata yra vienintelė „figūra“, kurią galima sutraukti iki taško, tada ją galima ištempti iš taško.
Kas tarnauja kaip netiesioginis teorijos patvirtinimas didysis sprogimas, kuriame teigiama: būtent iš šio taško atsirado Visata.
Pasirodo, Perelmanas kartu su Puankarė nuliūdino vadinamuosius kreacionistus – dieviškosios visatos pradžios šalininkus. Trumpai tariant: nėra kūrėjo-dievo.
Ir jie išliejo grūdus materialistų fizikų malūnui.
Man pasidarė aiškiau.
Ir gąsdinanti nežinomybės begalybė pasitraukė.
5.2.1 Elipsoidai
Užrašykime apsisukimo elipsoidą – paviršių, kuris gaunamas sukantis elipsei \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(z^2)(c^2) =1 \] aplink $z$ ašį. Atitinkama lygtis pagal (40) gaunama pakeitus $x \rightarrow \sqrt(x^2+y^2)$: \begin(equation) \frac(x^2+y^2)(a ^2) +\frac(z^2)(c^2)=1. (41) \label(ellipsd1) \end(equation) Priklausomai nuo $a,\,c$ reikšmių santykio gauname keletą skirtingo tipo paviršiai. Kai $a>c$ paviršius vadinamas suspaustu apsisukimo elipsoidu, kai $a
17 pav. Suspaustas apsisukimo elipsoidas.
18 paveikslas: Išlenktas apsisukimo elipsoidas.
Jei ištempsime $y$ koordinatę, gausime bendrojo elipsoido lygtį \begin(equation) \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)+\frac (z^2 )(c^2)=1. (42) \label(ellipsd11) \end(equation) Jei įvesime paviršiaus atkarpą plokštuma, lygiagrečia $z$ ašiai (t.y. lygtyje fiksuosime reikšmę $z=z_0$), tai elipsoidams apsisukimo gauname apskritimą (ties $ |z_0| c$ plokštuma ir elipsoidas nesikerta).
1. Parašykite parametrinį elipsoido aprašymą.
5.2.2 Hiperboloidai
Parašykime hiperbolės lygtį koordinatėmis $(x,z)$ tokia forma \[ \frac(z^2)(c^2)-\frac(x^2)(a^2)=1, \] ir apsvarstykite šios kreivės sukimosi aplink $z$ ašį rezultatą. Šiuo atveju gauname vieno lapo apsisukimo hiperboloido lygtį: \[ \frac(z^2)(c^2)-\frac(x^2+y^2)(a^2)=1 , \]
19 pav. Vieno lapo apsisukimo hiperboloidas.
žr. pav. 19. Tai neapribotas paviršius, sujungtas (t. y. toks, kad iš fiksuoto taško galima pasiekti bet kurį kitą nepalikdamas paviršiaus). Jos atkarpos plokštumose $x=const, \, y=const$ yra hiperbolės, o atkarpos plokštumose $z=const$ yra apskritimai. Kitoks paviršius bus gautas, jei atsižvelgsime į hiperbolės \[ \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1, \] sukimosi aplink $z$ ašyje, atitinkamas paviršius vadinamas dviejų lakštų sukimosi hiperboloidu. Užrašykime jos lygtį: \[ \frac(x^2+y^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1. \] Tai taip pat neapribotas paviršius, tačiau jis susideda iš „dviejų dalių“, žr. 19
20 pav. Dviejų lakštų sukimosi hiperboloidas.
Jos atkarpos plokštumose $x=const, \, y=const$ yra hiperbolės, o atkarpos pagal plokštumą $z=const$ (tam $const$ reikšmėms, kurioms yra atkarpos) yra apskritimai. Ribinis hiperboloido atvejis yra apskritas kūgis- tiesių linijų poros sukimosi aplink $z$ ašį rezultatas \[ \frac(x^2)(a^2)=\frac(z^2)(c^2), \] žr. pav. \ref(konus). Šio paviršiaus lygtis gaunama taikant standartinę procedūrą, \[ \frac(x^2+y^2)(a^2)=\frac(z^2)(c^2). \]
21 pav. Apvalus kūgis.
Šio paviršiaus atkarpos plokštumomis $x=const \neq 0, \, y=const \neq 0$ yra hiperbolės, plokštumos $z=const \neq 0$ yra apskritimai. Atkarpos plokštumose $x=0$, $y=0$ yra susikertančių tiesių poros, plokštumoje $z=0$ – taškas. Žinoma, koordinačių tempimo pagalba sukimosi paviršiai gali būti transformuojami į bendresnius, apie kuriuos čia nekalbėsime.
1. Parašykite parametrinį apskrito kūgio aprašymą.
5.2.3 Paraboloidai
Jei atsižvelgsime į parabolės $x^2=2pz$ sukimosi aplink $z$ ašį rezultatą, gautume sukimosi paraboloidą \[ x^2+y^2=2pz, \], žr. 22. 
ryžių. 22: Revoliucijos paraboloidas.
Ištempę $x$ ir $y$ ašis, gauname elipsinį paraboloidą \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=2z. \] Šio paviršiaus atkarpos plokštumomis $x=const, \, y=const$ yra parabolės, plokštumos $z=const>0$ – elipsės. Jei paskutinėje lygtyje pakeisime antrojo nario ženklą, gausime hiperbolinį paraboloidą \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=2z, \ ] žr. pav. 23.
ryžių. 23: Hiperbolinis paraboloidas.
Šis paviršius naudojamas apibūdinti vadinamąjį. "balno" taškai. Jos atkarpos plokštumose $x=const, \, y=const$ yra parabolės, atkarpos plokštumose $z=const \neq 0$ yra hiperbolės, o plokštumos $z=0$ yra susikertančių tiesių pora.
1. Raskite paviršiaus \[ \frac(x^2)(16)+\frac(y^2)(12)+\frac(z^2)(4)=1 \] susikirtimo taškus su eilutė \[ \frac (x-4) (2)=\frac(y+6) (-3)=\frac(z+2) (-2). \] 2. Raskite tieses, einančias per tašką $(6,2,8)$ ir visiškai gulinčias ant paviršiaus \[ \frac(x^2)(9)+\frac(y^2)(4)-\frac( z^2)(16)=1. \] 3. Nubrėžkite tiesę per tašką $(5,1,2)$, kad ji kirstų paviršių \[ \frac(x^2)(9)+\frac(y^2)(4)-\frac (z^ 2) (1) = 1. \] tik vieną kartą. 4. Apskaičiuokite paviršiaus skersmens \[ \frac(x^2)(27)+\frac(y^2)(2)-\frac(z^2)(9)=1 \], einančio per taškas $(4 , -8/9, 8/3)$. 5. Per tašką $(2,1,-1)$ nubrėžkite šią paviršiaus stygą \[ \frac(x^2)(25)+\frac(y^2)(16)+\frac(z^2 )( 9)=1, \], kuri šiuo metu būtų padalinta per pusę. 6. Raskite linijas, einančias per pradžią ir visiškai gulinčias ant paviršiaus $y^2+3xy+2yz-zx+3x+2y=0$. 7. Sumažinkite paviršių $2x^2+10y^2-2z^2+12xy+8yz+12x+4y+8z-1=0$ iki paprasčiausios formos.
Sergejus Dužinas, fizikos ir matematikos mokslų daktaras. Mokslai, Sankt Peterburgo skyriaus vyresnysis mokslo darbuotojas Matematikos institutas RAS
Paskutiniu dideliu grynosios matematikos pasiekimu laikomas Sankt Peterburgo gyventojo Grigorijaus Perelmano 2002–2003 m. įrodymas 1904 m. išsakytas Puankarė spėjimas, kuriame teigiama: „kiekvienas sujungtas, tiesiog sujungtas, kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis sferai S^3.
Šioje frazėje yra keletas terminų, kuriuos pabandysiu paaiškinti, kad jie būtų bendrą reikšmę tapo suprantamas ne matematikams (manau, kad skaitytojas baigė vidurinę mokyklą ir kai kurie mokyklinė matematika vis dar prisimena).
Pradėkime nuo homeomorfizmo sampratos, kuri yra topologijos pagrindas. Apskritai topologija dažnai apibrėžiama kaip „guma geometrija“, t. y. kaip mokslas apie geometrinių vaizdų savybes, kurios nesikeičia sklandžiomis deformacijomis be lūžių ir klijavimo, tiksliau, jei įmanoma nustatyti „vienas su“ vienas ir abipusiai nenutrūkstamas dviejų objektų atitikimas .
Pagrindinė mintis lengviausias būdas paaiškinti klasikinis pavyzdys puodeliai ir bagelis. Pirmoji gali būti paversta antruoju nuolatinės deformacijos būdu.
Šie skaičiai aiškiai parodo, kad puodelis yra homeomorfinis spurgai, ir šis faktas galioja tiek jų paviršiams (dviejų dimensijų kolektoriams, vadinamiems toru), tiek užpildytiems kūnams (trimačiai kolektoriai su briauna).
Pateikiame likusių hipotezės formulavimo terminų interpretaciją:
- Trimatis kolektorius be krašto. Tai geometrinis objektas, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę trimačio rutulio pavidalu. 3 kolektorių pavyzdžiai apima, pirma, visą trimatę erdvę, pažymėtą R^3, taip pat bet kurią atviri rinkiniai taškai R^3, pavyzdžiui, kieto toro (spurgos) vidus. Jei laikysime uždarą kietą torą, t.y. pridėsime jo ribinius taškus (toro paviršių), tada gausime kolektorių su briauna - briaunų taškai neturi rutulio pavidalo apylinkių, o tik formos. pusrutulio.
- Prisijungta. Ryšio sąvoka čia pati paprasčiausia. Kolektorius yra sujungtas, jei jis susideda iš vienos dalies, arba, kas yra tas pats, bet kurie du jo taškai gali būti sujungti ištisine linija, kuri neišeina už jo ribų.
- Tiesiog prijungtas. Tiesiog ryšio sąvoka yra sudėtingesnė. Tai reiškia, kad bet kuri ištisinė uždara kreivė, esanti tik tam tikrame kolektorius, gali būti sklandžiai sutraukta iki taško, nepaliekant šio kolektoriaus. Pavyzdžiui, paprastas dvimatis rutulys R^3 yra tiesiog sujungiamas (guminė juosta, bet kokiu būdu uždėta ant obuolio paviršiaus, gali būti sklandžiai patraukta į vieną tašką tolygiai deformuojant, nenuplėšiant guminės juostos nuo obuolio. ). Kita vertus, ratas ir toras nėra tiesiog sujungti.
- Kompaktiškas. Kolektorius yra kompaktiškas, jei turi bet kurį jo homeomorfinį vaizdą riboti dydžiai. Pavyzdžiui, atviras intervalas tiesėje (visi atkarpos taškai, išskyrus jos galus) yra nekompaktiškas, nes jį galima nuolat pratęsti iki begalinės linijos. Bet uždara atkarpa (su galais) yra kompaktiškas kolektorius su riba: esant bet kokiai nuolatinei deformacijai, galai eina į tam tikrus konkrečius taškus, o visa atkarpa turi eiti į apribotą kreivę, jungiančią šiuos taškus.
Kolektoriaus matmenys yra laisvės laipsnių skaičius taške, kuris jame „gyvena“. Kiekvienas taškas turi kaimynystę atitinkamo matmens disko pavidalu, t. y. linijos intervalas vienmačiu atveju, apskritimas plokštumoje dviem matmenimis, rutulys trijų matmenų ir tt Iš taško Topologijos požiūriu yra tik du vienmačiai sujungti kolektorius be briaunos: linija ir apskritimas. Iš jų tik ratas yra kompaktiškas.
Erdvės, kuri nėra kolektorius, pavyzdys yra, pavyzdžiui, susikertančių linijų pora – juk dviejų tiesių susikirtimo taške bet kuri kaimynystė turi kryžiaus formą, ji neturi kaimynystės, kuri būtų pats savaime yra tiesiog intervalas (ir visi kiti taškai turi tokias apylinkes). Tokiais atvejais matematikai sako, kad turime reikalą su ypatinga įvairove, kuri turi vieną ypatingą tašką.
Dvimačiai kompaktiški kolektoriai yra gerai žinomi. Jei laikytume tik orientuojamą ( dėl vietos stokos nekalbėsiu apie neorientuojamus kolektorius, kurių pavyzdys yra garsusis Kleino butelis - paviršius, kurio negalima įterpti į erdvę be susikirtimų) kolektoriai be ribos, tada topologiniu požiūriu jie sudaro paprastą, nors ir begalinį sąrašą: ir pan. Kiekvienas toks kolektorius gaunamas iš sferos, suklijuojant keletą rankenų, kurių skaičius vadinamas paviršiaus genu.
Paveikslėlyje pavaizduoti 0, 1, 2 ir 3 genčių paviršiai. Kuo sfera išsiskiria iš visų šiame sąraše esančių paviršių? Pasirodo, tai tiesiog sujungta: sferoje bet kokia uždara kreivė gali būti sutraukta iki taško, bet ant bet kurio kito paviršiaus visada galima nurodyti kreivę, kurios negalima sutraukti į tašką išilgai paviršiaus.
Įdomu, kad trimačius kompaktiškus kolektorius be ribos galima tam tikra prasme klasifikuoti, tai yra, išdėstyti tam tikrame sąraše, nors ir ne taip paprastai, kaip dvimatis korpusas, ir turi pakankamai sudėtinga struktūra. Tačiau 3D sfera S^3 šiame sąraše išsiskiria kaip ir 2D sfera aukščiau esančiame sąraše. Tai, kad bet kuri kreivė S^3 susitraukia į tašką, įrodoma taip pat paprastai, kaip ir dvimačiu atveju. Tačiau priešingas teiginys, būtent, kad ši savybė yra unikali būtent šiai sferai, t. y. kad bet kuriame kitame trimačiame kolektorius turi nesusitraukiančias kreives, yra labai sunkus ir tiksliai sudaro Puankarės spėlionės, apie kurią mes kalbame, turinį. .
Svarbu suprasti, kad įvairovė gali egzistuoti kaip savarankiškas objektas, niekur neįdėtas. (Įsivaizduokite, kad gyvenate kaip dvimačiai tvariniai paprastos sferos paviršiuje, nežinodami apie trečiojo matmens egzistavimą.) Laimei, visi aukščiau esančiame sąraše esantys dvimačiai paviršiai gali būti sudėti įprastoje R^3 erdvėje, todėl juos lengviau įsivaizduoti. Trimačiai sferai S^3 (ir apskritai bet kokiam kompaktiškam trimačiam kolektoriui be ribos) tai nebėra, todėl reikia šiek tiek pastangų suprasti jo struktūrą.
Matyt paprasčiausias būdas Paaiškinti trimatės sferos S^3 topologinę struktūrą yra pasitelkus vieno taško sutankinimą. Būtent trimatė sfera S^3 yra įprastos trimatės (neribotos) erdvės R^3 vienataškis sutankinimas.
Pirmiausia paaiškinkime šią konstrukciją paprasti pavyzdžiai. Paimkime įprastą begalinę tiesę (vienmatį erdvės analogą) ir pridėkime prie jos vieną „be galo tolimą“ tašką, darydami prielaidą, kad judėdami tiesia linija į dešinę arba į kairę, galiausiai pasiekiame šį tašką. Topologiniu požiūriu nėra jokio skirtumo tarp begalinės linijos ir apribotos atviros linijos atkarpos (be galinių taškų). Tokį segmentą galima nuolat sulenkti lanko pavidalu, sujungti artimesni galai ir priklijuokite trūkstamą tašką į jungtį. Akivaizdu, kad gausime apskritimą – vienmatį sferos analogą.
Lygiai taip pat, jei imsiu begalinė plokštuma ir pridėti vieną tašką begalybėje, į kurį linksta visos pradinės plokštumos tiesės, einančios bet kuria kryptimi, tada gauname dvimatę (paprastąją) sferą S^2. Šią procedūrą galima stebėti naudojant stereografinę projekciją, kuri kiekvienam rutulio taškui P, išskyrus šiaurės ašigalį N, susieja tam tikrą tašką plokštumoje P.
Taigi sfera be vieno taško topologiškai yra tokia pati kaip plokštuma, o pridėjus tašką plokštuma paverčiama sfera.
Iš principo lygiai ta pati konstrukcija yra taikoma trimačiai sferai ir erdvei, tik jai įgyvendinti reikia įeiti į ketvirtą dimensiją, o tai ne taip paprasta pavaizduoti brėžinyje. Taigi apsiribosiu žodinis aprašymas vienataškis erdvės R^3 tankinimas.
Įsivaizduokime, kad į mūsų fizinę erdvę (kurią, sekdami Niutonu, laikome neribota Euklido erdve su trimis koordinatėmis x, y, z) vienas taškas „begalybėje“ pridedamas taip, kad judant tiesia linija bet kurioje kryptimi, į kurią pateksite (t. y. kiekviena erdvinė linija užsidaro į apskritimą). Tada gauname kompaktišką trimatį kolektorius, kuris pagal apibrėžimą yra sfera S^3.
Nesunku suprasti, kad sfera S^3 yra tiesiog sujungta. Tiesą sakant, bet kuri uždara šios sferos kreivė gali būti šiek tiek paslinkta, kad ji nepraeitų per pridėtą tašką. Tada įprastoje erdvėje R^3 gauname kreivę, kuri lengvai susitraukia į tašką per homotetes, t.y. nuolatinį suspaudimą visomis trimis kryptimis.
Norint suprasti veislės S^3 struktūrą, labai naudinga apsvarstyti jos padalijimą į du vientisus tori. Jei išimsime kietąjį torą iš erdvės R^3, tai liks kažkas nelabai aiškaus. Ir jei erdvė sutankinama į sferą, tai šis papildymas taip pat virsta kietu toru. Tai yra, sfera S3 yra padalinta į dvi kietas tori, turinčias bendra siena- toras
Štai kaip galite tai suprasti. Įterpkime torą į R^3, kaip įprasta, apvalios spurgos pavidalu ir nubrėžkime vertikalią liniją – šios spurgos sukimosi ašį. Per ašį nubrėžkime savavališką plokštumą, kuri kirs mūsų kietąjį torą išilgai dviejų apskritimų, parodytų paveikslėlyje žalias, o papildoma plokštumos dalis padalinta į ištisinę raudonų apskritimų šeimą. Tai apima centrinę ašį, paryškintą drąsiau, nes sferoje S^3 tiesė užsidaro į apskritimą. Sukant aplink ašį iš šio dvimačio vaizdo gaunamas trimatis vaizdas. Pilna komplektacija pasuktų apskritimų užpildys tai trimatis kūnas, homeomorfinis iki vientiso toro, bet atrodo neįprastai.
Tiesą sakant, centrinė ašis joje bus ašinis apskritimas, o likusi dalis atliks paralelių vaidmenį - apskritimus, kurie sudaro įprastą kietą torą.
Kad būtų su kuo palyginti 3 sferą, pateiksiu dar vieną kompaktiško 3 kolektoriaus pavyzdį, būtent trimatį torą. Trimatis toras gali būti sukonstruotas taip. Paimkime įprastą trimatį kubą kaip pradinę medžiagą:
Jis turi tris poras kraštų: kairėje ir dešinėje, viršuje ir apačioje, priekyje ir gale. Kiekvienoje lygiagrečių veidų poroje mes nustatome taškus, gautus vienas nuo kito perkeliant išilgai kubo krašto. Tai yra, darysime prielaidą (grynai abstrakčiai, nenaudodami fizinių deformacijų), kad, pavyzdžiui, A ir A" yra tas pats taškas, o B ir B" taip pat yra vienas taškas, bet skiriasi nuo taško A. vidaus taškai kubą laikysime kaip įprasta. Pats kubas yra kolektorius su briauna, tačiau po klijavimo kraštas užsidaro pats ir išnyksta. Tiesą sakant, kubo taškų A ir A apylinkės (jie yra kairėje ir dešinėje tamsintose pusėse) yra rutuliukų pusės, kurios, suklijavus paviršius, susilieja į visą rutulį, kuris tarnauja kaip atitinkamas trimačio toro taškas.
Norėdami pajusti 3 vamzdžių struktūrą, pagrįstą kasdienėmis idėjomis apie fizinę erdvę, turite pasirinkti tris viena kitai statmenas kryptis: pirmyn, kairėn ir aukštyn - ir mintyse skaičiuoti, kaip fantazijos istorijos, kuris judant bet kuria iš šių krypčių yra gana ilgas, bet pabaigos laikas, grįšime į pradinį tašką, bet su priešinga kryptimi. Tai taip pat yra „erdvės sutankinimas“, bet ne tas vientaškis, kuris anksčiau buvo naudojamas sferai konstruoti, o sudėtingesnis.
Ant trimačio toro yra nesutraukiami keliai; pavyzdžiui, tai paveiksle atkarpa AA" (ant toro jis reiškia uždarą kelią). Jo negalima susitraukti, nes esant bet kokiai nuolatinei deformacijai taškai A ir A" turi judėti išilgai jų paviršių, likdami griežtai vienas priešais kitą ( kitaip kreivė atsivers).
Taigi, matome, kad yra tiesiog sujungti ir ne paprasčiausiai sujungti kompaktiški 3 kolektoriai. Perelmanas įrodė, kad tiesiog sujungtas kolektorius yra būtent vienas.
Pradinė įrodymo idėja yra naudoti vadinamąjį „Ricci srautą“: paimame paprasčiausiai sujungtą kompaktišką 3 kolektorių, suteikiame jam savavališką geometriją (t. y. įvedame tam tikrą metriką su atstumais ir kampais) ir tada svarstome. jo raida palei Ricci srautą. Richardas Hamiltonas, kuris pasiūlė šią idėją 1981 m., tikėjosi, kad ši evoliucija pavers mūsų įvairovę sfera. Paaiškėjo, kad tai netiesa - trimačiu atveju Ricci srautas gali sugadinti kolektorių, tai yra, padaryti jį nekolektoriumi (kažkas su vienaskaitiniais taškais, kaip aukščiau pateiktame susikertančių linijų pavyzdyje) . Perelmanas, įveikęs neįtikėtinus techninius sunkumus, naudodamas sunkų dalinių diferencialinių lygčių aparatą, sugebėjo pataisyti Ricci srautą netoli vienetiniai taškai tokiu būdu, kad evoliucijos metu nesikeičia kolektoriaus topologija, neatsiranda ypatingų taškų, o galiausiai jis virsta apvalia sfera. Bet pagaliau turime paaiškinti, kas yra šis Ricci srautas. Hamiltono ir Perelmano naudojami srautai nurodo vidinės metrikos pokyčius abstrakčiame kolektoriuje, ir tai gana sunku paaiškinti, todėl apsiribosiu „išorinio“ Ricci srauto apibūdinimu vienmačiuose kolektoriuose, įterptuose į plokštumą.
Įsivaizduokime sklandžią uždarą kreivę Euklido plokštumoje, pasirinkite joje kryptį ir kiekviename taške apsvarstykite vienetinio ilgio liestinės vektorių. Tada, važiuojant kreive pasirinkta kryptimi, šis vektorius pasisuks su kai kuriais kampinis greitis, kuris vadinamas kreivumu. Tose vietose, kur kreivė yra statesnė, kreivumas (pagal absoliuti vertė) bus didesnis, o ten, kur lygesnis, kreivumas bus mažesnis.
Kreivumą laikysime teigiamu, jei greičio vektorius pasisuks link vidinės plokštumos dalies, padalintos mūsų kreivės į dvi dalis, ir neigiamu, jei pasisuks į išorę. Šis susitarimas nepriklauso nuo krypties, kuria važiuojama kreivė. Posūkio taškuose, kur sukimosi kryptis keičiasi, kreivumas bus lygus 0. Pavyzdžiui, apskritimo, kurio spindulys 1, pastovus teigiamas kreivumas yra 1 (jei matuojama radianais).
Dabar pamirškime liestinės vektorius ir, priešingai, prie kiekvieno kreivės taško pritvirtinkime jam statmeną vektorių, vienodo ilgio kreivumui tam tikrame taške ir nukreiptą į vidų, jei kreivumas yra teigiamas, ir į išorę, jei jis yra neigiamas. , tada kiekvienas taškas judės atitinkamo vektoriaus kryptimi greičiu, proporcingu jo ilgiui. Štai pavyzdys:
Pasirodo, bet kuri uždara kreivė plokštumoje tokios evoliucijos metu elgiasi panašiai, t.y., galiausiai virsta apskritimu. Tai yra vienmačio Puankarės spėjimo analogo, naudojant Ricci srautą, įrodymas (tačiau pats teiginys yra šiuo atveju taigi akivaizdu, tiesiog įrodinėjimo metodas iliustruoja, kas vyksta 3 dimensijoje).
Pabaigoje pažymėkime, kad Perelmano samprotavimai įrodo ne tik Puankaro spėjimą, bet ir daug bendresnį Thurston geometrizavimo spėjimą, kuris tam tikra prasme aprašoma visų paprastai kompaktiškų trimačių kolektorių sandara. Tačiau ši tema nepatenka į šio elementaraus straipsnio taikymo sritį.
