Matematikos uždaviniai rasti jų pritaikymą daugelyje mokslų. Tai ne tik fizika, chemija, technologijos ir ekonomika, bet ir medicina, ekologija ir kitos disciplinos. Vienas iš svarbios sąvokos, kurią reikia įvaldyti norint rasti svarbių dilemų sprendimus, yra funkcijos išvestinė. Jo fizinę prasmę nėra taip sunku paaiškinti, kaip gali atrodyti tiems, kurie nėra susipažinę su klausimo esme. Pakanka tik rasti tinkamus to pavyzdžius tikras gyvenimas ir įprastos kasdienės situacijos. Tiesą sakant, bet kuris vairuotojas kiekvieną dieną susidoroja su panašia užduotimi, kai žiūri į spidometrą, nustatydamas savo automobilio greitį konkrečiu fiksuoto laiko momentu. Juk būtent šiame parametre slypi darinio fizinės reikšmės esmė.
Kaip rasti greitį
Kiekvienas penktos klasės mokinys gali nesunkiai nustatyti žmogaus greitį kelyje, žinodamas nuvažiuotą atstumą ir kelionės laiką. Norėdami tai padaryti, seka pirmasis duotomis vertybėmis padalinti iš antrojo. Tačiau ne kiekvienas jaunas matematikas tai žino šiuo metu randa funkcijos ir jos argumento prieaugių santykį. Iš tiesų, jei įsivaizduosite judėjimą grafiko pavidalu, nubrėždami kelią išilgai ordinačių ašies ir laiką išilgai abscisės, tai bus būtent taip.
Tačiau pėsčiojo ar bet kurio kito objekto greitis, kurį nustatome didelėje tako atkarpoje, laikydami judėjimą vienodu, gali keistis. Fizikoje žinoma daug judėjimo formų. Tai galima padaryti ne tik su nuolatinis pagreitis, bet savavališkai sulėtinti ir didinti. Reikėtų pažymėti, kad į šiuo atveju judėjimą apibūdinanti linija nebebus tiesi. Grafiškai jis gali turėti sudėtingiausias konfigūracijas. Bet bet kuriam grafiko taškui visada galime nubrėžti liestinę, pavaizduotą tiesinė funkcija.
Norint patikslinti poslinkio pokyčio parametrą priklausomai nuo laiko, reikia sutrumpinti išmatuojamus segmentus. Kai jie tampa be galo maži, apskaičiuotas greitis bus momentinis. Ši patirtis padeda mums apibrėžti išvestinę. Iš tokio samprotavimo logiškai išplaukia ir jo fizinė prasmė.
Geometrijos požiūriu
Yra žinoma, kad kuo didesnis kūno greitis, tuo statesnis yra poslinkio priklausomybės nuo laiko grafikas, taigi ir grafiko liestinės polinkio kampas tam tikrame taške. Tokių pokyčių indikatorius gali būti kampo tarp abscisių ašies ir liestinės linijos liestinė. Būtent tai lemia išvestinės vertės vertę ir apskaičiuojama pagal priešingo ilgio santykį su gretima koja V stačiakampis trikampis, kurią sudaro statmenas, nukritęs iš tam tikro taško į abscisių ašį.
Tai yra geometrine prasme pirmasis vedinys. Fizinė atsiskleidžia tuo, kad priešingos pusės reikšmė mūsų atveju reiškia nuvažiuotą atstumą, o gretimos pusės – laiką. Šiuo atveju jų santykis yra greitis. Dar kartą darome tokią išvadą momentinis greitis, nustatoma, kai abu intervalai yra be galo maži, ir yra nukreipimo į jį esmė fizinę reikšmę. Antroji išvestinė šiame pavyzdyje bus kūno pagreitis, kuris savo ruožtu parodo greičio kitimo laipsnį.
Išvestinių radimo pavyzdžiai fizikoje
Išvestinė yra bet kurios funkcijos kitimo greičio rodiklis, net kai nekalbame apie judėjimą tiesiogine prasmežodžius. Norėdami tai aiškiai parodyti, pateikiame keletą konkrečių pavyzdžių. Tarkime, srovės stiprumas, priklausomai nuo laiko, keičiasi pagal kitas įstatymas: aš= 0,4t 2 . Reikia rasti greičio, kuriuo šis parametras keičiasi, reikšmę 8-osios proceso sekundės pabaigoje. Atkreipkite dėmesį, kad pati norima reikšmė, kaip galima spręsti iš lygties, nuolat didėja.
Norint išspręsti, reikia rasti pirmąjį vedinį, kurio fizikinė reikšmė buvo aptarta anksčiau. Čia dI/ dt = 0,8 t. Toliau jį rasime adresu t=8 , mes nustatome, kad dabartinių pokyčių greitis yra lygus 6,4 A/ c. Čia laikoma, kad srovės stiprumas matuojamas amperais, o laikas atitinkamai sekundėmis.
Viskas keičiasi
Matoma mus supantį pasaulį, susidedantis iš materijos, nuolat keičiasi, būdamas joje tekantis judėjime įvairūs procesai. Norėdami juos apibūdinti, galite naudoti daugiausia skirtingi parametrai. Jei juos vienija priklausomybė, tada jie užrašomi matematiškai funkcijos forma, kuri aiškiai parodo jų pokyčius. O ten, kur yra judėjimas (kad ir kokia forma jis būtų išreikštas), egzistuoja ir išvestinė, kurios fizinę prasmę svarstome šiuo metu.
Apie tai sekantis pavyzdys. Tarkime, kūno temperatūra kinta pagal įstatymą T=0,2 t 2 . Jo įkaitimo greitį turėtumėte rasti 10 sekundės pabaigoje. Problema išspręsta panašiai kaip aprašyta ankstesnėje byloje. Tai yra, mes randame išvestinę ir pakeičiame reikšmę t= 10 , gauname T= 0,4 t= 4. Tai reiškia, kad galutinis atsakymas yra 4 laipsniai per sekundę, tai yra, šildymo procesas ir temperatūros pokytis, matuojamas laipsniais, vyksta būtent tokiu greičiu.
Praktinių problemų sprendimas
Žinoma, realiame gyvenime viskas yra daug sudėtingiau nei gyvenime teorinės problemos. Praktikoje dydžių reikšmė dažniausiai nustatoma eksperimento metu. Šiuo atveju naudojami prietaisai, kurie matavimų metu pateikia rodmenis su tam tikra paklaida. Todėl skaičiuodami turite atsižvelgti į apytiksles parametrų reikšmes ir imtis nepatogių skaičių apvalinimo bei kitų supaprastinimų. Atsižvelgdami į tai, vėl pereikime prie fizinės išvestinės reikšmės problemų, atsižvelgdami į tai, kad tai tik keletas matematinis modelis gamtoje vykstantys sudėtingi procesai.
Vulkano išsiveržimas
Įsivaizduokime, kad išsiveržia ugnikalnis. Kiek jis gali būti pavojingas? Norint išsiaiškinti šią problemą, reikia atsižvelgti į daugelį veiksnių. Į vieną iš jų pasistengsime atsižvelgti.
Iš „ugnies pabaisos“ žiočių akmenys metami vertikaliai aukštyn, turint pradinį greitį nuo tada, kai jie išeina, reikia apskaičiuoti, kokį maksimalų aukštį jie gali pasiekti.
Norėdami rasti norimą reikšmę, sudarysime aukščio H, išmatuoto metrais, priklausomybės nuo kitų verčių lygtį. Tai apima pradinį greitį ir laiką. Pagreičio reikšmę laikome žinoma ir maždaug lygia 10 m/s 2 .
Dalinė išvestinė
Dabar panagrinėkime funkcijos išvestinės fizikinę reikšmę kiek kitu kampu, nes pačioje lygtyje gali būti ne vienas, o keli kintamieji. Pavyzdžiui, in ankstesnė užduotis iš ugnikalnio kraterio išmestų akmenų pakilimo aukščio priklausomybę lėmė ne tik laiko charakteristikų pasikeitimas, bet ir vertė pradinis greitis. Pastaroji buvo laikoma pastovia, pastovia verte. Tačiau kitose problemose su visiškai skirtingomis sąlygomis viskas gali būti kitaip. Jei kiekiai, nuo kurių priklauso sudėtinga funkcija, keli, skaičiavimai atliekami pagal toliau pateiktas formules.
Fizinė dažno vedinio reikšmė turėtų būti nustatyta kaip įprastu atveju. Tai yra funkcijos kitimo greitis tam tikrame taške, kai didėja kintamojo parametras. Jis apskaičiuojamas taip, kad visi kiti komponentai būtų imami kaip konstantos, tik vienas laikomas kintamuoju. Tada viskas vyksta pagal įprastas taisykles.
Išvestinės fizinės reikšmės supratimas, sprendimo pavyzdžiai painūs ir sudėtingos problemos, atsakymą į kurį galima rasti tokių žinių nesunku duoti. Jei turime funkciją, kuri nusako kuro sąnaudas priklausomai nuo automobilio greičio, galime paskaičiuoti, prie kokių pastarojo parametrų benzino sąnaudos bus mažiausios.
Medicinoje galima numatyti, kaip žmogus reaguos. žmogaus kūnas dėl gydytojo paskirto vaisto. Vaisto vartojimas veikia įvairius fiziologinius rodiklius. Tai apima pakeitimus kraujospūdis, pulsas, kūno temperatūra ir daug daugiau. Visi jie priklauso nuo vartojamos dozės vaistas. Šie skaičiavimai padeda numatyti gydymo eigą tiek esant palankioms apraiškoms, tiek esant nepageidaujamiems įvykiams, galintiems mirtinai paveikti paciento kūno pokyčius.
Be jokios abejonės, svarbu suprasti fizinę darinio reikšmę techniniais klausimais, ypač elektrotechnikos, elektronikos, projektavimo ir statybos srityse.
Stabdymo kelias
Panagrinėkime kitą problemą. Judėjimas su pastovus greitis, automobilis, artėdamas prie tilto, buvo priverstas stabdyti likus 10 sekundžių iki įvažiavimo, nes vairuotojas pastebėjo kelio ženklas, draudžiantis judėti didesniu nei 36 km/h greičiu. Ar vairuotojas pažeidė taisykles, jei jo stabdymo kelią galima apibūdinti formule S = 26t - t 2?
Apskaičiavę pirmąją išvestinę, randame greičio formulę, gauname v = 28 - 2t. Toliau pakeičiame nurodyta išraiška reikšmė t=10.
Kadangi ši reikšmė buvo išreikšta sekundėmis, greitis pasirodo 8 m/s, o tai reiškia 28,8 km/h. Tai leidžia suprasti, kad vairuotojas pradėjo laiku stabdyti ir nepažeidė Kelių eismo taisyklių, taigi ir ženkle nurodyto greičio.
Tai įrodo fizinės išvestinės reikšmės svarbą. Šios problemos sprendimo pavyzdys parodo šios sąvokos panaudojimo platumą įvairiose gyvenimo srityse. Įskaitant kasdienes situacijas.
Išvestinė ekonomikoje
Iki XIX amžiaus ekonomistai daugiausia operavo su vidurkiais, nesvarbu, ar tai būtų darbo našumas, ar pagamintos produkcijos kaina. Tačiau tam tikru momentu ribinės vertės tapo reikalingesnės norint efektyviai prognozuoti šią sritį. Tai gali būti ribinis naudingumas, pajamos arba išlaidos. To supratimas davė impulsą sukurti visiškai naują įrankį ekonominiai tyrimai, kuris egzistuoja ir vystėsi daugiau nei šimtą metų.
Norint atlikti tokius skaičiavimus, kur dominuoja tokios sąvokos kaip minimumas ir maksimumas, tiesiog būtina suprasti išvestinės geometrinę ir fizinę reikšmę. Tarp kūrėjų teorinis pagrindasŠios disciplinos apima tokius žymius anglų ir austrų ekonomistus kaip W. S. Jevons, K. Menger ir kt. Žinoma, ekonominiuose skaičiavimuose ne visada patogu naudoti ribines vertes. Ir, pavyzdžiui, ketvirtinės ataskaitos nebūtinai atitinka esamą schemą, bet vis tiek tokios teorijos taikymas daugeliu atvejų yra naudingas ir efektyvus.
Avogadro dėsnis: at pastovus slėgis ir temperatūra, vienoduose dujų tūriuose yra tiek pat molekulių.
Izoterminis procesas
6.Suformuluokite pagrindines Avogadro dėsnio pasekmes. Kokios sąlygos laikomos normaliomis ir koks yra molinis dujų tūris tokiomis sąlygomis?
Avogadro dėsnio pasekmė: vienas molis bet kokių dujų tomis pačiomis sąlygomis užima tą patį tūrį. Visų pirma, kai normaliomis sąlygomis, t.y. esant 0 ° C (273 K) ir 101,3 kPa, 1 molio dujų tūris yra 22,4 litro. Šis tūris vadinamas moliniu dujų tūriu Vm.
7.Kas apibūdina santykinį vienų dujų tankį, palyginti su kitomis dujomis? Kaip apskaičiuojamas dujų tankis ir kokia jo fizikinė reikšmė?
Masės santykis vienodos apimties dvi dujos identiškomis sąlygomis vadinamas vienų dujų tankiu kitų atžvilgiu, t.y.
8. Suformuluokite Boyle-Mariotte ir Gay-Lussac dėsnius ir užrašykite jų matematines išraiškas.
Boyle-Mariotte dėsnis atspindi ryšį tarp slėgio p ir tam tikro dujų kiekio V tūrio esant pastoviai temperatūrai: esant pastoviai temperatūrai, tam tikros dujų masės sukuriamas slėgis yra atvirkščiai proporcingas dujų tūriui: pV = const. Kitaip tariant, kai dujos pereina iš būsenos su parametrais p 1 ir V 1 į būseną su parametrais p 2 ir V 2 (esant T, n = const), įvykdoma ši sąlyga: p 1 V 1 = p 2 V 2 .
Šis santykis naudojamas skaičiuojant.
Gay-Lussac dėsnis susieja dujų tūrį V su jų temperatūra T (esant p = const): esant pastoviam slėgiui, dujų tūris kinta tiesiogiai proporcingai absoliučiai temperatūrai:
P 
Skaičiuojant dažniausiai naudojamas santykis
9.Suformuluokite kombinuotą dujų įstatymas ir užrašykite jo matematinę išraišką. Kokiuose skaičiavimuose jis naudojamas?
Remiantis Boyle-Mariotte, Gay-Lussac ir Avogadro principais, sujungtos dujos pašalinamos:
= konst. Skaičiavimams naudojamas toks santykis: . Fizinė dėsnio prasmė yra tokia: bet kurio parametro p, V, T pokytis pereinant iš būsenos 1 į būseną 2 lemia kitų parametrų pasikeitimą, tačiau ryšys 
- vertė yra pastovi. Galima pastebėti, kad esant T = const (T 1 = T 2) gauname Boyle-Mariotte dėsnį (p 1 V 1 = p 2 V 2), o esant p = const (p 1 = p 2) - gėjų. -Lussac-Charles įstatymas 
, ty šie dėsniai yra ypatingas kombinuoto dujų įstatymo atvejis. Kombinuota vertė naudojama dujų parametrams apskaičiuoti pereinant iš vienos būsenos į kitą ir dažniausiai viena iš šių būsenų atitinka standartines sąlygas. Laikoma, kad standartinės sąlygos yra 101325 Pa (1 atm) slėgis ir 273,15 K (0 °C) temperatūra. Skaičiavimams paprastai naudojamos apytikslės vertės: 1 10 s Pa ir 273 K.
10.Parašykite Clayperon-Mendelejevo lygtį. Kokia yra universalios dujų konstantos fizinė reikšmė? Kokias vertybes jis gali turėti ir nuo ko priklauso jo vertė?
Kombinuotas dujų įstatymas galioja bet kokiam dujų kiekiui. Už idealios dujos kiekio 1 molinis santykis 
žymimas R. Šis dydis yra pagrindinė fizikinė konstanta ir vadinama universalia (molialine) dujų konstanta. 1 moliui dujų pV m = RT, o n molių pV = nRT. Atsižvelgiant į n, gauta lygtis įgauna formą
pV = 
RT.
Paskutinė lygtis žinoma kaip Mendelejevo-Clapeyrono lygtis ir dažniausiai naudojama skaičiavimams. Jis nustato ryšį tarp slėgio, tūrio, temperatūros ir medžiagos kiekio. Mendelejevo-Klapeirono lygtis galioja idealioms dujoms, tačiau leidžia apskaičiuoti tikrų dujų parametrus fizinėmis sąlygomis, artėjančiomis prie normalių, o tiksliau esant ne per aukštam slėgiui ir ne per žemai temperatūrai.
R=8,32*Pa*m3/mol*K
Funkcijos išvestinė yra smegenys diferencialinis skaičiavimas Niutonas ir Leibnicas – turi labai apibrėžtą fizinę prasmę, jei pažvelgsite į tai giliau.
