Ši apibendrinta medžiaga žinoma iš mokyklos kursas matematikos. Čia mes žiūrime į trupmenas bendras vaizdas su skaičiais, laipsniais, šaknimis, logaritmais, trigonometrinėmis funkcijomis ar kitais objektais. Bus svarstomos pagrindinės trupmenų transformacijos, neatsižvelgiant į jų tipą.

Kas yra trupmena?

Yra keletas kitų apibrėžimų.

2 apibrėžimas

Horizontalus pasvirasis brūkšnys, skiriantis A ir B, vadinamas trupmeniniu pasviruoju brūkšniu arba trupmeninė juosta.

3 apibrėžimas

Išraiška, kuri atsiranda virš trupmenos linijos, vadinama skaitiklis ir po – vardiklis.

Nuo paprastųjų trupmenų iki bendrųjų trupmenų

Su trupmenomis susipažįstama 5 klasėje, kai jos ima bendrosios trupmenos. Iš apibrėžimo aišku, kad skaitiklis ir vardiklis yra natūralūs skaičiai.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, 1 5, 2 6, 12 7, 3 1, kuriuos galima parašyti kaip 1/5, 2/6, 12/7, 3/1.

Ištyrę operacijas su paprastosiomis trupmenomis, mes susiduriame su trupmenomis, kurios turi daugiau nei vieną vardiklį natūralusis skaičius, ir reiškinius su natūraliaisiais skaičiais.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, 1 + 3 5, 9 - 5 16, 2 · 7 9 · 12.

Kai mes susiduriame su trupmenomis, kur yra raidės arba pažodiniai posakiai, tada parašyta taip:

a + b c , a - b c , a · c b · d .

4 apibrėžimas

Pataisykime paprastųjų trupmenų sudėties, atimties, daugybos taisykles a c + b c = a + b c, a c - b c = a - b c, a b v d = a c b d

Norint apskaičiuoti, dažnai reikia mišrius skaičius konvertuoti į paprastas trupmenas. Kai visą dalį pažymime kaip a, tai trupmeninė dalis turi formą b / c, gauname a · c + b c formos trupmeną, kuri paaiškina tokių trupmenų atsiradimą 2 · 11 + 3 11, 5 · 2 + 1 2 ir pan.

Trupmenos linija laikoma padalijimo ženklu. Todėl įrašą galima transformuoti kitu būdu:

1: a - (2 b + 1) = 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 = 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2, kur koeficientas 4 : 2 galima pakeisti trupmena, tada gauname formos išraišką

5 - 1, 7 3 2 3 - 4 2

Skaičiavimas su racionalios trupmenos užimti ypatinga vieta matematikoje, nes skaitiklis ir vardiklis gali būti ne tik skaitines reikšmes, ir daugianariai.

3 pavyzdys

Pavyzdžiui, 1 x 2 + 1, x · y - 2 · y 2 0, 5 - 2 · x + y 3.

Racionalios išraiškos traktuojamos kaip bendrosios trupmenos.

4 pavyzdys

Pavyzdžiui, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3, 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6 x .

Šaknų, galių studijavimas racionalūs rodikliai, logaritmai, trigonometrinės funkcijos nurodo, kad jų taikymas yra tam tikrose formos dalyse:

5 pavyzdys

a n b n , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α.

Trupmenos gali būti sujungtos, tai yra, jų forma yra x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, log x + 2 log x 2 - 2 x + 1.

Trupmenų konvertavimo tipai

Daugeliui identiškų transformacijų atsižvelgiama į keletą tipų:

5 apibrėžimas

• transformacija, būdinga darbui su skaitikliu ir vardikliu;
• ženklo keitimas prieš trupmeninę išraišką;
• vedantis į bendras vardiklis ir frakcijų mažinimas;
• trupmenos vaizdavimas kaip daugianario suma.

Skaitiklio ir vardiklio išraiškų konvertavimas

Esant vienodoms išraiškoms, gaunama trupmena yra identiška pradinei.

Jei duota formos A / B trupmena, tada A ir B yra kai kurios išraiškos. Tada, pakeitę, gauname A 1 / B 1 formos dalį . Būtina įrodyti lygybės A / A 1 = B / B 1 pagrįstumą bet kuriai kintamųjų vertei, atitinkančiai ODZ.

Mes tai turime A Ir A 1 Ir B Ir B 1 yra vienodi, tada jų vertės taip pat yra vienodos. Iš to išplaukia, kad už bet kokią vertę A/B Ir A 1 / B 1šios trupmenos bus lygios.

Šis konvertavimas supaprastina darbą su trupmenomis, jei reikia konvertuoti skaitiklį ir vardiklį atskirai.

6 pavyzdys

Pavyzdžiui, paimkime formos 2/18 trupmeną, kurią transformuojame į 2 2 · 3 · 3. Norėdami tai padaryti, vardiklį išskaidome į paprastus veiksnius. Trupmena x 2 + x · y x 2 + 2 · x · y + y 2 = x · x + y (x + y) 2 turi x 2 + x · y formos skaitiklį, o tai reiškia, kad reikia pakeiskite jį x · (x + y), kuris bus gautas iš skliaustų išėmus bendrą koeficientą x. Vardiklis duota trupmena x 2 + 2 x y + y 2 sutraukti naudojant sutrumpintą daugybos formulę. Tada mes nustatome, kad jis yra identiškas lygiavertė išraiška yra (x + y) 2 .

7 pavyzdys

Jei duota trupmena tipo nuodėmė 2 3 · φ - π + cos 2 3 · φ - π φ · φ 5 6, tada supaprastinimui reikia pagal formulę pakeisti skaitiklį 1, o vardiklį perkelti į formą φ 11 12 . Tada nustatome, kad 1 φ 11 12 yra lygus duotai trupmenai.

Ženklo keitimas prieš trupmeną, jos skaitiklyje, vardiklyje

Trupmenų konvertavimas taip pat yra ženklų keitimas prieš trupmeną. Pažvelkime į kai kurias taisykles:

7 apibrėžimas

• keičiant skaitiklio ženklą, gauname trupmeną, lygią duotajai, ir pažodžiui atrodo _ - A - B = A B, kur A ir B yra kai kurios išraiškos;
• keisdami ženklą prieš trupmeną ir prieš skaitiklį gauname, kad - - A B = A B ;
• pakeitę ženklą prieš trupmeną ir jos vardiklį, gauname, kad - A - B = A B.

Įrodymas

Minuso ženklas daugeliu atvejų traktuojamas kaip koeficientas su ženklu -1, o trupmeninė juosta yra padalijimas. Iš čia gauname, kad - A - B = - 1 · A: - 1 · B. Grupuodami veiksnius turime tai

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Įrodžius pirmąjį teiginį, pateisiname likusius. Mes gauname:

A B = (- 1) · (((- 1) · A) : B) = (- 1 · - 1) · A: B = = 1 · (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) · (A: - 1 · B) = ((- 1) : (- 1)) · (A: B) = = 1 · (A: B) = A: B = A B

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

8 pavyzdys

Kai reikia paversti trupmeną 3/7 į formą - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, tada panašiai daroma su formos trupmena - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x .

Transformacijos atliekamos taip:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2) + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x · 3 x

Trupmenos sumažinimas iki naujo vardiklio

Tirdami paprastąsias trupmenas, palietėme pagrindinę trupmenų savybę, leidžiančią padauginti ir padalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties natūraliojo skaičiaus. Tai matyti iš lygybės a m b m = a b ir a: m b: m = a b, kur a, b, m yra natūralieji skaičiai.

Ši lygybė galioja bet kurioms a, b, m ir visų a reikšmėms, išskyrus b ≠ 0 ir m ≠ 0. Tai yra, gauname, kad jei trupmenos A / B skaitiklis su A ir C, kurie yra kai kurios išraiškos, padauginamas arba padalytas iš išraiškos M, nelygios 0, tada gauname trupmeną, identišką pradinei. . Gauname, kad A · M B · M = A B ir A: M B: M = A B.

Tai rodo, kad transformacijos grindžiamos 2 transformacijomis: redukcija iki bendro vardiklio, redukcija.

Sumažinant iki bendro vardiklio, dauginama iš to paties skaitiklio ir vardiklio skaičiaus arba išraiškos. Tai yra, mes pereiname prie identiškos, lygios transformuotos trupmenos sprendimo.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

9 pavyzdys

Jei imsime trupmeną x + 1 0, 5 · x 3 ir padauginsime iš 2, tada gausime, kad naujasis vardiklis yra 2 · 0, 5 · x 3 = x 3, o išraiška tampa 2 · x + 1 x 3 .

10 pavyzdys

Norint sumažinti trupmeną 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x į kitą 6 x 1 + ln x 3 formos vardiklį, skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 3 x 1 3 (1 + ln x) 2. Kaip rezultatas, mes gauname trupmeną 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

Taip pat tinka ir tokia transformacija, kaip iracionalumo atsikratymas vardiklyje. Dėl to vardiklio šaknies nereikia, o tai supaprastina sprendimo procesą.

Mažinančios frakcijos

Pagrindinė savybė yra transformacija, tai yra jos tiesioginis sumažinimas. Kai sumažiname, gauname supaprastintą trupmeną. Pažiūrėkime į pavyzdį:

11 pavyzdys

Arba formos x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x trupmena, kur sumažinimas atliekamas naudojant x 3, x 3, 2 x 2 + 1 + 3 arba x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 formos išraiška. Tada gauname trupmeną x 2 3 + 1 3 x

Sumažinti trupmeną paprasta, kai bendri veiksniai iš karto aiškiai matosi. Praktikoje tai pasitaiko nedažnai, todėl pirmiausia reikia atlikti kai kurias tokio tipo posakių transformacijas. Būna atvejų, kai reikia rasti bendrą veiksnį.

Jei turite formos x 2 2 3 · (1 - cos 2 x) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 trupmeną, tuomet turite naudoti trigonometrines formules ir laipsnių savybes, kad trupmeną galėtumėte transformuoti į formą x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 . Tai leis jį sumažinti x 1 3 · sin 2 x.

Trupmenos atvaizdavimas kaip suma

Kai skaitiklis turi algebrinę išraiškų sumą, pvz A 1 , A 2 , … , A n, o vardiklis žymimas B, tada ši trupmena gali būti pavaizduota kaip A1/B, A2/B, …, A n/B.

8 apibrėžimas

Norėdami tai padaryti, pataisykime A 1 + A 2 +. . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Ši transformacija iš esmės skiriasi nuo trupmenų pridėjimo tie patys rodikliai. Pažiūrėkime į pavyzdį.

12 pavyzdys

Duota formos sin x - 3 x + 1 + 1 x 2 trupmena, kurią pavaizduojame kaip algebrinė suma trupmenomis Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite, kad nuodėmė x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 arba sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 arba nuodėmė x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Bet kuri trupmena, turinti formą A / B, bet kokiu būdu vaizduojama kaip trupmenų suma. Skaitiklio išraišką A galima sumažinti arba padidinti bet kokiu skaičiumi ar išraiška A 0, todėl bus galima pereiti prie A + A 0 B - A 0 B.

Trupmenos išskaidymas į paprasčiausią formą yra ypatingas atvejis, kai trupmeną galima paversti suma. Dažniausiai jis naudojamas, kai sudėtingi skaičiavimai integracijai.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.

Komutacinė sudėjimo savybė: terminų pertvarkymas nekeičia sumos vertės. Bet kokiems skaičiams a ir b lygybė yra teisinga

Sudėties jungtinė savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Komutacinė daugybos savybė: perstačius veiksnius sandaugos vertė nekeičiama. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Kombinacinė daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos.

Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Paskirstymo ypatybė: norėdami padauginti skaičių iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Iš komutacinės ir kombinacinės sudėties savybių išplaukia: bet kokia suma galite pertvarkyti terminus bet kokiu būdu ir savavališkai sujungti juos į grupes.

1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23+13,5+4,27.

Norėdami tai padaryti, patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Iš daugybos komutacinių ir kombinacinių savybių išplaukia: bet kuriame sandaugoje galite bet kokiu būdu pertvarkyti veiksnius ir savavališkai sujungti juos į grupes.

2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8·0,25·64·0,5.

Sujungę pirmąjį faktorių su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gauname:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Paskirstymo savybė taip pat teisinga, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.

Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė yra teisinga

a(b+c+d)=ab+ac+skelbimas.

Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant prie minuend priešingą atimties skaičių:

Tai leidžia pateikti skaitinę išraišką tipas a-b laikyti skaičių a ir -b suma, skaitine išraiška formos a+b-c-d laikyti skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. Nagrinėjamos veiksmų savybės galioja ir tokioms sumoms.

3 pavyzdys Raskime reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėjimo savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36·().

Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos skirstomąją savybę, gauname:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Tapatybės

Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.

Apibrėžimas. Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Raskime reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmes, kai x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmės yra lygios.

Dabar panagrinėkime išraiškas 2x+y ir 2xy. Kai x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3(x+y)=x+3y, teisinga bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.

Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines operacijų su skaičiais savybes:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identiškos išraiškų transformacijos

Vienos išraiškos pakeitimas kita identiškai lygiaverte išraiška vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę kada duotomis vertybėmis x, y, z, reikia atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, kai x=2.3, y=0.8, z=0.2 gauname:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Šį rezultatą galima gauti atlikus tik du veiksmus, jei naudojate išraišką x(y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiška išraiška x(y-z).

Identiškos išraiškų transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurie tapatybės transformacijos Jau turėjau atlikti, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimą ir skliaustų išplėtimą. Prisiminkime šių transformacijų atlikimo taisykles:

vadovauti panašius terminus, reikia susumuoti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;

jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą;

Jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

1 pavyzdys Panašius terminus pateiksime suma 5x+2x-3x.

Naudokime panašių terminų mažinimo taisyklę:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ši konversija pagrįsta paskirstymo nuosavybė daugyba.

2 pavyzdys Atverkime 2a+(b-3c) išraiškos skliaustus.

Naudojant taisyklę skliausteliams, prieš kuriuos rašomas pliuso ženklas:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Atlikta transformacija yra pagrįsta asociatyvinė savybė papildymas.

3 pavyzdys Atverkime išraiškos a-(4b-c) skliaustus.

Naudokime taisyklę skliausteliams, prieš kuriuos rašomas minuso ženklas:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Atlikta transformacija remiasi daugybos paskirstymo savybe ir kombinacine sudėties savybe. Parodykime. Įsivaizduokime ši išraiška antrasis terminas -(4b-c) produkto pavidalu (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Taikydami nurodytas veiksmų savybes, gauname:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Trupmenos

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Vidurinėje mokykloje trupmenos nėra daug nepatogumų. Kol kas. Kol nesusidursite su galiomis su racionaliais rodikliais ir logaritmais. O ten... Paspaudžiate ir spaudžiate skaičiuotuvą ir rodomas visas kai kurių skaičių ekranas. Galvoti reikia kaip trečioje klasėje.

Pagaliau išsiaiškinkime trupmenas! Na, kiek galima juose susipainioti!? Be to, viskas paprasta ir logiška. Taigi, kokios yra trupmenų rūšys?

Trupmenų rūšys. Transformacijos.

Yra trupmenos trijų tipų.

1. Paprastosios trupmenos , Pavyzdžiui:

Kartais vietoj horizontalios linijos dedamas pasvirasis brūkšnys: 1/2, 3/4, 19/5, gerai ir pan. Čia mes dažnai vartosime šią rašybą. Skambinama aukščiausiu numeriu skaitiklis, apatinis - vardiklis. Jei nuolat painiojate šiuos pavadinimus (taip atsitinka...), pasakykite sau frazę: " Zzzzz prisimink! Zzzzz vardiklis – žiūrėk zzzzz oh!" Žiūrėkite, viskas bus zzzz prisiminta.)

Brūkšnys, horizontalus arba pasviręs, reiškia padalinys nuo viršutinio skaičiaus (skaitiklio) iki apatinio (vardiklio). Tai viskas! Vietoj brūkšnio visiškai įmanoma įdėti padalijimo ženklą - du taškus.

Kai įmanomas visiškas padalijimas, tai reikia padaryti. Taigi, vietoj trupmenos „32/8“ daug maloniau rašyti skaičių „4“. Tie. 32 tiesiog padalintas iš 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Aš net nekalbu apie trupmeną „4/1“. Kuris taip pat yra tik „4“. Ir jei jis nėra visiškai dalinamas, paliekame jį kaip trupmeną. Kartais reikia atlikti priešingą operaciją. Paverskite sveiką skaičių į trupmeną. Bet apie tai vėliau.

2. Dešimtainės , Pavyzdžiui:

Būtent šioje formoje turėsite užsirašyti atsakymus į užduotis „B“.

3. Mišrūs skaičiai , Pavyzdžiui:

Mišrūs skaičiai vidurinėje mokykloje praktiškai nenaudojami. Norint su jais dirbti, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Bet jūs tikrai turite sugebėti tai padaryti! Priešingu atveju jūs susidursite su tokiu numeriu ir sustingsite... tuščia vieta. Bet mes prisiminsime šią procedūrą! Šiek tiek žemiau.

Pats universaliausias bendrosios trupmenos. Pradėkime nuo jų. Beje, jei trupmenoje yra visokių logaritmų, sinusų ir kitokių raidžių, tai nieko nekeičia. Ta prasme, kad viskas veiksmai su trupmenomis nesiskiria nuo veiksmų su paprastosiomis trupmenomis!

Pagrindinė trupmenos savybė.

Taigi, eime! Visų pirma, aš jus nustebinsiu. Visą trupmenų transformacijų įvairovę suteikia viena nuosavybė! Taip ir vadinasi pagrindinė trupmenos savybė. Prisiminkite: Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami (padalinami) iš to paties skaičiaus, trupmena nesikeičia. Tie:

Aišku, kad galima toliau rašyti, kol pamėlyna. Neleiskite sinusams ir logaritmams jūsų suklaidinti, mes su jais nagrinėsime toliau. Svarbiausia suprasti, kad visos šios įvairios išraiškos yra ta pati trupmena . 2/3.

Ar mums to reikia, visos šios transformacijos? Taip! Dabar pamatysite patys. Pirmiausia naudokime pagrindinę trupmenos savybę redukuojančios frakcijos. Atrodytų, elementarus dalykas. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus ir viskas! Neįmanoma suklysti! Bet... žmogus yra kurianti būtybė. Galite suklysti bet kur! Ypač jei reikia sumažinti ne trupmeną kaip 5/10, o trupmeninę išraišką su visokiomis raidėmis.

Kaip teisingai ir greitai sumažinti trupmenas neatliekant papildomo darbo, skaitykite specialiame 555 skyriuje.

Normalus mokinys nesivargina skaitiklio ir vardiklio dalyti iš to paties skaičiaus (arba išraiškos)! Jis tiesiog perbraukia viską, kas yra tas pats aukščiau ir apačioje! Čia slypi tipiška klaida, klaida, jei norite.

Pavyzdžiui, jums reikia supaprastinti išraišką:

Čia nėra apie ką galvoti, perbraukite raidę "a" viršuje ir "2" apačioje! Mes gauname:

Viskas teisinga. Bet jūs tikrai pasidalinote visi skaitiklis ir visi vardiklis yra "a". Jei esate įpratę tiesiog perbraukti, tada paskubėdami galite išbraukti „a“ posakyje

ir vėl gauk

Kas būtų kategoriška netiesa. Nes čia visi skaitiklis ant "a" jau yra nesidalina! Šios dalies sumažinti negalima. Beje, toks sumažinimas yra, hm... rimtas iššūkis mokytojui. Tai neatleista! Ar prisimeni? Mažinant reikia padalyti visi skaitiklis ir visi vardiklis!

Sumažinus trupmenas gyvenimas tampa daug lengvesnis. Kažkur gausite trupmeną, pavyzdžiui, 375/1000. Kaip aš galiu toliau dirbti su ja dabar? Be skaičiuotuvo? Padaugink, tarkim, pridėk, kvadratu!? O jei netingi, ir atsargiai sumažink jį penkiais, dar penkiais, ir net... kol trumpinama, trumpai tariant. Gaukime 3/8! Daug gražiau, tiesa?

Pagrindinė trupmenos savybė leidžia paprastąsias trupmenas konvertuoti į dešimtaines ir atvirkščiai be skaičiuotuvo! Tai svarbu vieningam valstybiniam egzaminui, tiesa?

Kaip konvertuoti trupmenas iš vienos rūšies į kitą.

Su dešimtainėmis trupmenomis viskas paprasta. Kaip girdima, taip ir parašyta! Tarkime, 0,25. Tai yra nulis dvidešimt penkių šimtųjų dalių. Taigi rašome: 25/100. Sumažiname (skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 25), gauname įprastą trupmeną: 1/4. Visi. Taip atsitinka, ir nieko nesumažėja. Kaip 0,3. Tai trys dešimtosios, t.y. 3/10.

Ką daryti, jei sveikieji skaičiai nėra nuliai? Viskas gerai. Užrašome visą trupmeną be jokių kablelių skaitiklyje, o vardiklyje – tai, kas išgirsta. Pavyzdžiui: 3.17. Tai yra trys taškai septyniolika šimtųjų dalių. Skaitiklyje rašome 317, o vardiklyje – 100 Gauname 317/100. Niekas nesumažėja, tai reiškia viską. Tai yra atsakymas. Elementaru, Vatsonai! Iš viso to, kas pasakyta, naudinga išvada: bet kuri dešimtainė trupmena gali būti konvertuojama į paprastąją trupmeną .

Bet atvirkštinė konversija, paprastas ir dešimtainis, kai kurie žmonės negali to padaryti be skaičiuotuvo. Ir tai būtina! Kaip surašysite atsakymą į vieningą valstybinį egzaminą!? Atidžiai perskaitykite ir įvaldykite šį procesą.

Dešimtainė kas būdinga? Jos vardiklis yra Visada kainuoja 10, 100, 1000, 10 000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi tokį vardiklį, problemų nėra. Pavyzdžiui, 4/10 = 0,4. Arba 7/100 = 0,07. Arba 12/10 = 1,2. Ką daryti, jei „B“ skyriaus užduoties atsakymas buvo 1/2? Ką rašysime atsakydami? Reikalingi dešimtainiai...

Prisiminkime pagrindinė trupmenos savybė ! Matematika palankiai leidžia padauginti skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus. Bet ko, beje! Žinoma, išskyrus nulį. Taigi išnaudokime šią nuosavybę savo naudai! Iš ko galima padauginti vardiklį, t.y. 2, kad jis taptų 10, ar 100, arba 1000 (žinoma, kad mažesnis geriau...)? 5, aišku. Nedvejodami padauginkite vardiklį (tai yra mus būtina) iš 5. Bet tada skaitiklį taip pat reikia padauginti iš 5. Tai jau yra matematika reikalauja! Gauname 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Tai viskas.

Tačiau pasitaiko visokių vardiklių. Pavyzdžiui, galite susidurti su trupmena 3/16. Pabandykite ir sugalvokite, iš ko padauginti 16, kad gautumėte 100 ar 1000... Ar tai neveikia? Tada galite tiesiog padalinti 3 iš 16. Jei nėra skaičiuoklės, turėsite padalinti kampu, ant popieriaus lapo, kaip jaunesniųjų klasių mokė. Gauname 0,1875.

Ir yra ir labai blogų vardiklių. Pavyzdžiui, nėra galimybės trupmenos 1/3 paversti geru dešimtainiu. Ir ant skaičiuotuvo, ir ant lapelio gauname 0,3333333... Tai reiškia, kad 1/3 yra tiksli dešimtainė trupmena neišversta. Tas pats kaip 1/7, 5/6 ir pan. Jų daug, neišverčiamų. Tai atveda mus prie kitos naudingos išvados. Ne kiekviena trupmena gali būti konvertuojama į dešimtainį skaičių !

Beje, šis naudingos informacijos savęs patikrinimui. Skiltyje „B“ savo atsakyme turite užrašyti dešimtainę trupmeną. Ir jūs gavote, pavyzdžiui, 4/3. Ši trupmena nekonvertuojama į dešimtainę dalį. Tai reiškia, kad kažkur pakeliui padarėte klaidą! Grįžkite ir patikrinkite sprendimą.

Taigi, mes išsiaiškinome paprastas ir dešimtaines trupmenas. Belieka tik susitvarkyti su mišriais skaičiais. Norint dirbti su jais, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Kaip tai padaryti? Galite pagauti šeštoką ir jo paklausti. Tačiau šeštokas ne visada bus po ranka... Turėsite tai padaryti patys. Nesunku. Trupmeninės dalies vardiklį reikia padauginti iš visos dalies ir pridėti trupmeninės dalies skaitiklį. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. O vardiklis? Vardiklis išliks toks pat. Skamba sudėtingai, bet iš tikrųjų viskas paprasta. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tarkime, kad išsigandote išvydę problemos numerį:

Ramiai, be panikos, galvojame. Visa dalis yra 1. Vienetas. Trupmeninė dalis- 3/7. Todėl trupmeninės dalies vardiklis yra 7. Šis vardiklis bus paprastosios trupmenos vardiklis. Skaičiuojame skaitiklį. 7 padaugintas iš 1 ( visa dalis) ir pridėkite 3 (trumposios dalies skaitiklį). Gauname 10. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. Tai viskas. Atrodo dar paprasčiau matematinis žymėjimas:

Ar aišku? Tada užsitikrinkite savo sėkmę! Konvertuoti į paprastas trupmenas. Turėtumėte gauti 10/7, 7/2, 23/10 ir 21/4.

Atvirkštinis veikimas- vertimas netinkama trupmena mišriame skaičiuje – retai reikalingas vidurinėje mokykloje. Na, jei taip... O jei nesate vidurinėje mokykloje, galite pažvelgti į specialų 555 skyrių. Beje, ten sužinosite ir apie netinkamąsias trupmenas.

Na, tai praktiškai viskas. Jūs prisiminėte trupmenų tipus ir supratote Kaip perkelti juos iš vienos rūšies į kitą. Klausimas išlieka: Už ką tai padaryti? Kur ir kada pritaikyti šias gilias žinias?

atsakau. Bet koks pavyzdys jums pasakys būtinus veiksmus. Jei pavyzdyje paprastosios trupmenos, dešimtainės dalys ir net mišrūs skaičiai, viską paverčiame paprastosiomis trupmenomis. Tai visada galima padaryti. Na, o jei parašyta kažkas panašaus į 0,8 + 0,3, tai mes skaičiuojame taip, be jokio vertimo. Kodėl mums reikia papildomo darbo? Mes pasirenkame patogų sprendimą mus !

Jei užduotis yra visos po kablelio trupmenos, bet hm... kažkokios blogos, eikite į paprastas ir pabandykite! Žiūrėk, viskas susitvarkys. Pavyzdžiui, skaičių 0,125 turėsite paversti kvadratu. Tai nėra taip paprasta, jei nesate įpratę naudotis skaičiuokle! Reikia ne tik padauginti skaičius stulpelyje, bet ir pagalvoti, kur dėti kablelį! Tai tikrai neveiks jūsų galvoje! O kas, jei pereitume prie paprastosios trupmenos?

0,125 = 125/1000. Sumažiname 5 (pradedant). Gauname 25/200. Dar kartą iki 5. Gauname 5/40. O, vis dar mažėja! Grįžti į 5! Gauname 1/8. Mes galime lengvai jį kvadratu (savo mintyse!) ir gauti 1/64. Viskas!

Apibendrinkime šią pamoką.

1. Yra trijų tipų trupmenos. Bendrieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai.

2. Dešimtainės ir mišrūs skaičiai Visada galima konvertuoti į paprastąsias trupmenas. Atvirkštinis perkėlimas ne visada galima

3. Trupmenų tipo pasirinkimas darbui su užduotimi priklauso nuo pačios užduoties. Priklausomai nuo užimtumo skirtingų tipų trupmenos vienoje užduotyje, patikimiausias dalykas yra pereiti prie įprastų trupmenų.

Dabar galite treniruotis. Pirmiausia konvertuokite šias dešimtaines trupmenas į įprastas trupmenas:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Turėtumėte gauti tokius atsakymus (netvarkoje!):

Užbaikime tai. Šioje pamokoje atnaujinome atmintį pagrindiniai punktai trupmenomis. Tačiau būna, kad nėra ko ypatingai atsigaivinti...) Jei kas visiškai pamiršo, ar dar neįvaldė... Tada galite eiti į specialų 555 skyrių. Ten išsamiai aprašyti visi pagrindai. Daugelis staiga viską suprasti prasideda. Ir jie greitai išsprendžia trupmenas).

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Pradinis lygis

Išraiškų konvertavimas. Išsami teorija (2019)

Išraiškų konvertavimas

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastink posakį“. Paprastai matome tokį pabaisą kaip ši:

„Tai daug paprasčiau“, – sakome, bet toks atsakymas dažniausiai nepasiteisina.

Dabar aš tave išmokysiu nieko nebijoti panašias užduotis. Be to, pamokos pabaigoje supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprastas numeris(taip, po velnių su šiais laiškais).

Tačiau prieš pradėdami šią pamoką turite mokėti tvarkyti trupmenas ir koeficientų polinomus. Todėl pirmiausia, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Ar perskaitėte? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Pagrindinės supaprastinimo operacijos

Dabar pažvelkime į pagrindinius metodus, kurie naudojami posakiams supaprastinti.

Paprasčiausias yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs to ėmėtės 7 klasėje, kai matematikoje pirmą kartą pasirodė raidės, o ne skaičiai. Panašūs yra terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį. Pavyzdžiui, sumoje panašūs terminai yra ir.

Ar prisimeni?

Panašus reiškia pridėti kelis panašius terminus ir gauti vieną terminą.

Kaip galime sujungti raides? - paklausi tu.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai. Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kam lygi išraiška? Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek jų bus? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką: .

Kad išvengtumėte painiavos, leiskite skirtingos raidės reprezentuoja skirtingus objektus. Pavyzdžiui, - yra (kaip įprasta) kėdė ir - yra stalas. Tada:

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai. Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jame yra lygus.

Taigi, panašių atsinešimo taisyklė yra tokia:

Pavyzdžiai:

Pateikite panašius:

Atsakymai:

2. (ir panašiai, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Paprastai tai yra svarbiausia dalis supaprastinant išraiškas. Pateikus panašius, dažniausiai gautą išraišką reikia faktorizuoti, tai yra pateikti kaip produktą. Tai ypač svarbu trupmenoms: norint sumažinti trupmeną, skaitiklis ir vardiklis turi būti vaizduojami kaip sandauga.

Išsamiai išnagrinėjote faktoringo išraiškų metodus temoje „“, todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote. Norėdami tai padaryti, nuspręskite keletą pavyzdžių(reikia suskaidyti faktoriais):

Sprendimai:

3. Trupmenos mažinimas.

Na, o kas gali būti maloniau nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai ir yra mažinimo grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną tipiška klaida sudarant sutartis. Nors ši tema paprasta, daugelis žmonių viską daro ne taip, to nesuprasdami sumažinti– tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis yra tas pats skaičius.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: turime supaprastinti.

Kai kurie žmonės tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai: .

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, o tai reiškia, kad jį galima sumažinti.

Bet ne: - tai yra tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra koeficientas.

Štai dar vienas pavyzdys: .

Ši išraiška yra suskaidyta faktoriais, o tai reiškia, kad galite ją sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto suskirstyti į:

Kad išvengtumėte tokių klaidų, atminkite lengvas būdas kaip nustatyti, ar išraiška yra faktorizuota:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija. Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas). Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami konsoliduoti, keletą išspręskite patys pavyzdžių:

Atsakymai:

1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:

Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų mažinimas iki bendro vardiklio.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius. Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir įprastame skaitinės trupmenos: raskite bendrą vardiklį, padauginkite kiekvieną trupmeną iš trūkstamo koeficiento ir pridėkite/atimkite skaitiklius:

Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;

· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;

· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:

Pabrėžkime bendrus veiksnius:

Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

· koeficientas vardiklius;

· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;

· vieną kartą užrašyti visus bendruosius veiksnius;

· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Taigi, eilės tvarka:

1) suskaičiuokite vardiklius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrėžtų) veiksnių:

Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji - iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui:.

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . ko išmokai?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?

Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:

Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais. Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.

O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarūs veiksniai, į kuriuos išplečiate išraišką raidėmis, yra analogas pagrindiniai veiksniai, į kurį išskaidote skaičius. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.

Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (prisimeni kodėl?).

Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš padaugindami šiuos vardiklius paniškai, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:

Supratai? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip: .

A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų dviguba sandauga. Dalinis sumos kvadratas yra vienas iš veiksnių, didinančių kubelių skirtumą:

Ką daryti, jei jau yra trys frakcijos?

Taip, tas pats! Pirmiausia tuo įsitikinkime maksimalus kiekis vardiklių veiksniai buvo tokie patys:

Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl pasikeičia į priešingą. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.

Išrašome visą pirmąjį vardiklį į bendrą vardiklį, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius, nuo antrojo, o tada iš trečiojo (ir taip toliau, jei yra daugiau trupmenų). Tai yra, viskas pasirodo taip:

Hmm... Aišku, ką daryti su trupmenomis. Bet kaip su dviem?

Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, turime padaryti, kad du taptų trupmena! Prisiminkime: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:

Kaip tik tai, ko tau reikia!

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaičiavimo procedūra? skaitinė išraiška? Atsiminkite, skaičiuodami šio posakio reikšmę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, leiskite man jums priminti.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!

Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Ką gi, išsiaiškinome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinės operacijos turite atlikti algebrinius veiksmus, ty veiksmus, aprašytus ankstesniame skyriuje: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai faktorinizavimui reikia naudoti I arba tiesiog skliausteliuose išdėlioti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Na, tai viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką. Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, taigi vietoj dviejų trupmenų gausime vieną. Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena. Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:

Dabar parodysiu procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudonai:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.

2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei jos dabar turi tie patys vardikliai, tada sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, manykite, kad įvaldėte temą.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIŠŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atveža panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo taikymas ir pan.
• Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, o tai nekeičia trupmenos reikšmės.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
  ;

Dešimtainiai skaičiai, pvz., 0,2; 1,05; 3.017 ir kt. kaip išgirsta, taip ir rašoma. Nulinis taškas du, gauname trupmeną. Vienas taškas penkias šimtąsias dalis, gauname trupmeną. Tritaškis septyniolika tūkstantųjų, gauname trupmeną. Skaičiai prieš dešimtainį tašką yra visa trupmenos dalis. Skaičius po kablelio yra būsimos trupmenos skaitiklis. Jei po kablelio vienženklis skaičius- vardiklis bus 10, jei dviženklis - 100, triženklis - 1000 ir kt. Kai kurias gautas frakcijas galima sumažinti. Mūsų pavyzdžiuose

Trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Tai yra priešinga ankstesnei transformacijai. Kokia yra dešimtainės trupmenos charakteristika? Jo vardiklis visada yra 10, arba 100, arba 1000, arba 10000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi šį vardiklį, nėra jokių problemų. Pavyzdžiui, arba

Jei trupmena yra, pavyzdžiui, . Tokiu atveju reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę ir vardiklį paversti į 10 arba 100, arba 1000... Mūsų pavyzdyje skaitiklį ir vardiklį padauginus iš 4, gauname trupmeną, kuri gali būti parašytas dešimtainiu skaičiumi 0,12.

Kai kurias trupmenas lengviau padalyti nei paversti vardiklį. Pavyzdžiui,

Kai kurių trupmenų negalima konvertuoti į dešimtaines!
Pavyzdžiui,

Mišrios trupmenos pavertimas netinkama trupmena

Pavyzdžiui, mišrią frakciją galima lengvai konvertuoti į netinkamą frakciją. Norėdami tai padaryti, turite padauginti visą dalį iš vardiklio (apačioje) ir pridėti ją su skaitikliu (viršuje), palikdami vardiklį (apačią). Tai yra

Konvertuojant mišri frakcijaį neteisingą, galite prisiminti, kad galite pridėti trupmenas

Netinkamos trupmenos konvertavimas į mišrią trupmeną (visos dalies paryškinimas)

Netinkama trupmena gali būti konvertuojama į mišrią trupmeną, paryškinant visą dalį. Pažiūrėkime į pavyzdį. Mes nustatome, kiek sveikųjų skaičių kartų „3“ telpa į „23“. Arba skaičiuotuvu padalykite 23 iš 3, visas skaičius iki kablelio yra norimas. Tai yra "7". Toliau nustatome būsimos trupmenos skaitiklį: gautą „7“ padauginame iš vardiklio „3“ ir atimame rezultatą iš skaitiklio „23“. Tarsi rasime priedą, kuris lieka iš skaitiklio „23“, jei pašalinsime didžiausią skaičių „3“. Vardiklį paliekame nepakeistą. Viskas padaryta, užrašykite rezultatą