Lygčių sistemos su parametru. Tipiškų problemų sprendimas

1. Sistemos tiesines lygtis su parametru

Tiesinių lygčių su parametru sistemos sprendžiamos tais pačiais pagrindiniais metodais kaip ir įprastinės sistemos lygtys: pakeitimo metodas, lygčių pridėjimo būdas ir grafinis metodas. Grafinės interpretacijos išmanymas tiesinės sistemos leidžia lengvai atsakyti į klausimą apie šaknų skaičių ir jų egzistavimą.

1 pavyzdys.

Raskite visas parametro a reikšmes, kurių lygčių sistema neturi sprendinių.

(x + (a 2–3)y = a,
(x + y = 2.

Sprendimas.

Pažiūrėkime keletą būdų, kaip išspręsti šią užduotį.

1 būdas. Mes naudojame savybę: sistema neturi sprendinių, jei koeficientų santykis prieš x yra lygus koeficientų santykiui prieš y, bet ne lygus santykiui nemokami nariai(a/a 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Tada mes turime:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 arba sistema

(ir 2–3 = 1,
(a ≠ 2.

Iš pirmosios lygties a 2 = 4, todėl, atsižvelgiant į sąlygą, kad a ≠ 2, gauname atsakymą.

Atsakymas: a = -2.

2 metodas. Išsprendžiame pakeitimo metodu.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Po atėmimo pirmoje lygtyje bendras daugiklis y iš skliaustų gauname:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Sistema neturi sprendinių, jei pirmoji lygtis neturi sprendinių, tai yra

(ir 2–4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Akivaizdu, kad a = ±2, bet atsižvelgiant į antrąją sąlygą, atsakymas gaunamas tik su minusu.

Atsakymas: a = -2.

2 pavyzdys.

Raskite visas parametro a reikšmes, kurias turi lygčių sistema begalinis rinkinys sprendimus.

(8x + ay = 2,
(kirvis + 2y = 1.

Sprendimas.

Pagal savybę, jei x ir y koeficientų santykis yra vienodas ir lygus laisvųjų sistemos narių santykiui, tai jis turi begalinį sprendinių skaičių (t.y. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Todėl 8/a = a/2 = 2/1. Išspręsdami kiekvieną iš gautų lygčių, mes nustatome, kad a = 4 yra atsakymas šiame pavyzdyje.

Atsakymas: a = 4.

2. Sistemos racionalios lygtys su parametru

3 pavyzdys.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Sprendimas.

Padauginkime pirmąją sistemos lygtį iš 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Iš pirmosios atėmus antrą lygtį, gauname 5|x| = 4 – a. Ši lygtis turės vienintelis sprendimas jei a = 4. Kitais atvejais ši lygtis turės du sprendinius (a< 4) или ни одного (при а > 4).

Atsakymas: a = 4.

4 pavyzdys.

Raskite visas parametro a reikšmes, kurioms lygčių sistema turi unikalų sprendimą.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Sprendimas.

Šią sistemą išspręsime grafiniu metodu. Taigi antrosios sistemos lygties grafikas yra parabolė, pakelta išilgai Oy ašies aukštyn vienu vieneto segmentu. Pirmoji lygtis nurodo tiesių, lygiagrečių tiesei y = -x, rinkinį (1 pav.). Iš paveikslo aiškiai matyti, kad sistema turi sprendimą, jei tiesė y = -x + a yra parabolės liestinė taške su koordinatėmis (-0,5, 1,25). Pakeitę šias koordinates tiesės lygtimi vietoj x ir y, randame parametro a reikšmę:

1,25 = 0,5 + a;

Atsakymas: a = 0,75.

5 pavyzdys.

Naudodami pakeitimo metodą, išsiaiškinkite, kokia parametro a reikšme sistema turi unikalų sprendimą.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Sprendimas.

Iš pirmosios lygties išreiškiame y ir pakeičiame ją antrąja:

(y = kirvis – a – 1,
(ax + (a + 2) (ax – a – 1) = 2.

Antrąją lygtį sumažinkime iki formos kx = b, kuri turės unikalų sprendinį k ≠ 0. Turime:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Kvadratinį trinarį a 2 + 3a + 2 pavaizduojame kaip skliaustų sandaugą

(a + 2) (a + 1), o kairėje iš skliaustų išimame x:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).

Akivaizdu, kad 2 + 3a neturėtų egzistuoti lygus nuliui, Štai kodėl,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, o tai reiškia a ≠ 0 ir ≠ -3.

Atsakymas: a ≠ 0; ≠ -3.

6 pavyzdys.

Naudodami grafinio sprendimo metodą, nustatykite, kokia parametro verte sistema turi unikalų sprendimą.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Sprendimas.

Remdamiesi sąlyga, sudarome apskritimą, kurio centras yra pradžioje ir spindulys 3 vieneto segmentas, kaip tik tai nurodo pirmoji sistemos lygtis

x 2 + y 2 = 9. Antroji sistemos lygtis (y = |x| + a) yra trūkinė linija. Naudojant 2 paveikslas mes svarstome viską galimi atvejai jo vieta apskritimo atžvilgiu. Nesunku pastebėti, kad a = 3.

Atsakymas: a = 3.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygčių sistemas?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Tegul tiesė nurodoma kanoninėmis lygtimis

:
,

o plokštuma – pagal bendrąją lygtį

:.

1. Kampas tarp tiesės ir plokštumos lygus kampui tarp krypties vektoriaus
tiesioginis ir normalusis vektorius
plokštuma ir apskaičiuojamas pagal formulę

. (3.1)

2. Lygiagretumo tarp tiesės ir plokštumos sąlyga turi formą

Jis atitinka vektoriaus ortogonalumo sąlygą Ir

3. Tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga turi formą

.

Jis prilygsta vektorių kolineariškumo sąlygai Ir
.

4. Sąlyga priklausyti linijai lėktuvas parašyta formoje

(3.2)

Kur
taško koordinates
priklausantis linijai.

3.2. Tipiškų problemų sprendimas

3.1 užduotis. Rasti aštrus kampas tarp tiesios linijos
ir lėktuvas.

Sprendimas. Tiesės krypties vektorius yra lygus
. Normalusis plokštumos vektorius yra
. Pagal formulę (3.1)

,.

Atsakymas:

3.2 problema. Kokia verte tiesiai :
lygiagrečiai plokštumai :?

Sprendimas. Pagal problemos sąlygas tiesioji linija apibrėžiamas kaip dviejų plokštumų susikirtimo linija. Pirmosios plokštumos normalusis vektorius lygus
, antrosios plokštumos normalusis vektorius yra lygus
. Tiesės krypties vektorius yra lygus
(žr. (2.6) formulę):

.

Tiesės lygiagretumo sąlyga ir lėktuvai tai tiesės krypties vektoriaus ortogonalumo sąlyga
o plokštumos normalusis vektorius
, t.y.
. Padauginus gauname

.

Taigi plokštumos lygtis bus tokia
.

Atsakymas:

3.3 problema. Kokiomis vertybėmis Ir
tiesiai
guli lėktuve?

Sprendimas. Tiesi linija bus lygiagreti plokštumai, jei jos krypties vektorius
bus statmenas normaliajam plokštumos vektoriui
, t.y.
. Parašykime šią sąlygą:

Tiesė priklausys plokštumai, jei taško koordinatės
, per kurią eina tiesė, tenkina plokštumos lygtį:
. Iš čia mes tai gauname

Spręsdami uždavinį naudojome (3.2) formulę.

Atsakymas:

3.4 problema. Raskite tiesės susikirtimo tašką :
ir lėktuvai :

Sprendimas. Parašykime tiesės lygtis parametrine forma

Išraiškų pakeitimas
į plokštumos lygtį , gauname

Dabar reikia pakeisti parametro reikšmę
V parametrines lygtis tiesioginis . Surandame.

Atsakymas:

Naudinga formulė. Jei tiesiai
kertasi su plokštuma
, tada susikirtimo taškas
atitinka parametro reikšmę

. (3.3)

3.5 problema. Raskite plokštumos lygtį , einantis per liniją :
statmenai plokštumai :

R sprendimas. Lėktuvas turi du krypties vektorius
Ir
ir eina per tašką
(3.1 pav.). Pagal (1.9) formulę jos lygtis turės formą

,

Galiausiai:
.

Atsakymas:
.

3.6 problema. Tetraedro viršūnių koordinatės yra žinomos:



Raskite lygtį ir jos aukščio ilgį
.

R

:
.

Aukštis galima rasti naudojant (1.5) formulę, kuri nustato atstumą nuo taško
iki slenksčio
:.

(Atminkite tai
yra koeficientai bendrojoje plokštumos lygtyje ir jie yra lygūs
,
,
,
.)

Atsakymas:
:
;
.

3.7 problema. Duotos tiesios linijos :
Ir :
. Raskite plokštumos lygtį einanti per tiesia linija lygiagrečiai linijai

Sprendimas. Vektoriai
Ir
yra plokštumos krypties vektoriai (3.3 pav.). Taškas
priklauso lėktuvui . Uždavinį išsprendžiame naudodami formulę (1.9):

,

Galiausiai:.

Atsakymas:.

3.8 problema. Parašykite plokštumos, einančios per tiesę, lygtį :
ir laikotarpis
.

Sprendimas. Tiesiai eina per tašką
o jo krypties vektorius yra
. Savavališkas taškas
priklausys norimai plokštumai , jei vektoriai

Ir koplanarinis:
(3.4 pav.), t.y.

.

Tai yra plokštumos lygtis . Pakeičiame koordinates:

,

Galiausiai:.

Atsakymas:.

Naudinga formulė. Plokštumos, einančios per tiesę, lygtis :
ir laikotarpis
, negulinti ant šios linijos, turi formą

(3.4)

3.9 problema.Įrodyk tai tiesiai

:
:

guli toje pačioje plokštumoje ir rask šios plokštumos lygtį.

R sprendimas. Pirmoji eilutė eina per tašką
ir jo krypties vektorius
.
Antroji tiesi linija eina per tašką
o jo krypties vektorius yra
,Ir koplanarinis:
. Akivaizdu, kad linijos yra toje pačioje plokštumoje, jei vektoriai

.

(3.5 pav.), t.y. Pakeiskime:

.

nurodytos koordinatės Ir Tai reiškia, kad tiesiai Ir gulėti toje pačioje plokštumoje. Vektoriai

ne kolinearinis. Todėl šios linijos susikerta. Raskime plokštumos lygtį Ir , kuriame yra eilutės . Akivaizdu
oi koks savavališkas taškas
,,priklausys plokštumai, jei vektoriai
koplanarinis:

.

(3.6 pav.), t.y.

,

Galiausiai:
.

Atsakymas:
.

Tai yra norimos plokštumos lygtis. Pakeičiame koordinates ir apskaičiuojame determinantą išplėsdami per pirmosios eilutės elementus. Mes gauname Naudingos formulės.

:
:

Du tiesiai

. (3.5)

gulėti toje pačioje plokštumoje, jei

. (3.6)

Jei linijos susikerta, tada šios plokštumos lygtis bus tokia komentuoti.
Tiesės susikerta (t. y. guli ne vienoje plokštumoje) tada ir tik tada

o lygybė (3.5) yra nesąžininga.
Z 3.10 uždavinys.

:
:
.

R

.

(3.7 pav.), t.y.

,

Galiausiai:.

Atsakymas:.

Naudinga formulė. Pakeitę nurodytas koordinates, randame plokštumos lygtį ,
)

:
:
,

Plokštumos, einančios per dvi lygiagrečias tieses, lygtis (

. (3.7)

Jei linijos susikerta, tada šios plokštumos lygtis bus tokia atrodo kaip

1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 uždaviniuose galite lengvai nurodyti du norimų plokštumų krypties vektorius. Todėl šių problemų sprendimas yra panašus į 1.2 uždavinio sprendimą. Jei šie krypties vektoriai nėra aiškiai nurodyti sprendimo metu, susiraskite juos patys. Pagalvokite, ką bendro turi formulės (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7). 3.11 uždavinys.
Raskite projekcijos koordinates
taškų :.

Sprendimas.į lėktuvą Tiesės parametrinių lygčių radimas
statmenai plokštumai , einantis per tašką . Kaip orientacinis vektorius tiesioginis lėktuvas galite pasirinkti įprastą vektorių
, t.y. įdėti (3.8 pav.). Parametrinės tiesės lygtys

bus (žr. (2.2) formulę):
Naudodami (3.3) formulę randame parametro reikšmę
, kurioje tiesė kerta plokštumą. Mes gauname

Atsakymas:

. Pakeiskime šią reikšmę į parametrines tiesės lygtis ir apskaičiuokime taško koordinates3.12. Užduotis
, simetriškas taškas
lėktuvo atžvilgiu :.

Sprendimas. Panaudokime ankstesnės problemos sprendimo rezultatą. Taškas
– taškinė projekcija
į lėktuvą. Taško koordinatės

(3.9 pav.). Vadinasi,

Atsakymas:

3.13 uždavinys. Raskite projekcijos koordinates
Raskite projekcijos koordinates
tiesiogiai :
.

Sprendimas. Raskime plokštumos lygtį , statmena linijai ir einantis per tašką
. Kaip įprastas vektorius lėktuvas galite pasirinkti orientacinį vektorių . Kaip orientacinis vektorius galite pasirinkti įprastą vektorių
(3.10 pav.). Tada plokštumos lygtis

:

Parametrinės tiesės lygtys atrodo kaip

Toliau sprendžiame panašiai kaip 3.11 uždavinys. Taško koordinatės
randame naudodami (3.3) formulę. Mes gauname
,

Atsakymas:

3.14 uždavinys. Raskite taško koordinates
, simetriškas taškas
santykinai tiesus

:

Sprendimas. Naudokime 3.13 uždavinio rezultatą. Taškas
taško projekcija
tiesiogiai .

Taško koordinatės
galima rasti naudojant ryšius:

(3.11 pav.). Vadinasi,

Atsakymas:

3.15 uždavinys. Raskite atstumą tarp lygiagrečių linijų

.

Sprendimas. Turime apskaičiuoti statmens ilgį , nukrito iš taško
, per kurią eina tiesi linija , tiesus . Norėdami tai padaryti, sukonstruosime lygiagretainį su kraštinėmis
Ir (3.12 pav.). Čia
- taškas, per kurį eina linija , A
tiesių krypties vektorius (kadangi tiesės lygiagrečios, tada). Kvadratas lygiagretainis apskaičiuojamas naudojant vektorių kryžminę sandaugą
Ir
:

Atstumas gauname padalijus lygiagretainio plotą pagal jo šono ilgį
:

Atsakymas:

Naudinga formulė. Jei pateiktos dvi lygiagrečios tiesės

;

,

tada atstumas tarp jų apskaičiuojamas pagal formulę

,

Kur
Ir
taškai, per kuriuos eina linijos Ir atitinkamai,
jų krypties vektorius.

3.16 uždavinys. Raskite atstumą tarp susikertančių linijų:

R sprendimas. Tiesiai eina per tašką
ir jo krypties vektorius
. Tiesiai eina per tašką
ir jo krypties vektorius
. Yra žinoma, kad jei tiesės susikerta, tada yra dvi lygiagrečios plokštumos Ir tokia, kad ji būtų tiesi guli plokštumoje , ir tiesi linija
lėktuve . Vadovo vektoriai Ir bus šių plokštumų krypties vektoriai.

Pastatykime gretasienį, kurio kraštinės yra vektoriai
(3.13 pav.). Raskime jo tūrį. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame mišrų produktą

Taigi, tūris

Dabar susiraskime sritį pagrindu gretasienis (žr. 3.15 uždavinio sprendimą):

,

Atstumas tarp susikertančių tiesių bus lygios

Atsakymas:

Naudinga formulė. Duotos dvi susikertančios linijos

,

tada atstumas tarp jų apskaičiuojamas pagal formulę

Čia
Ir
– taškai, per kuriuos eina tiesės Ir atitinkamai, Ir yra jų krypties vektoriai.

Jei linijos susikerta, tada šios plokštumos lygtis bus tokia Trumpai apibūdinkime kitą 3.16 uždavinio sprendimo būdą. Pirmiausia randame plokštumos lygtį (padarykite tai patys). Taip ir bus

.

Atstumas lygus atstumui nuo taško
į lėktuvą . Dabar viskas išplaukia iš formulės (1.5).

Tikslai: parodyti grafinių lygčių su parametrais sprendimo metodų panaudojimą ir nustatyti kiekvieno iš jų naudojimo patogumą ir efektyvumą.

edukacinis- plėsti studentų žinias apie grafikų naudojimą sprendžiant lygtis su parametrais;

besivystantis- ugdyti novatorišką mąstymą per gebėjimą rasti racionalius sprendimus, mokyti pereiti nuo vieno metodo prie kito, ugdyti visų argumentacijos etapų stebėjimo kultūrą sprendžiant lygtis;

edukacinis - ugdyti kantrybę, užsispyrimą siekiant užsibrėžtų tikslų ir gebėjimą dirbti komandoje.

mokyti:

1. Naudoti koordinačių-parametrinį metodą lygtims su parametrais spręsti, mokėti atskirti nuo grafinio metodo.

2. Daryk teisingas pasirinkimas lygties sprendimo metodas, pagrįstas tam tikros problemos sąlygomis.

3. Organizuoti darbą grupėse.

1. Įvadas į pamoką, organizacinis etapas(1 priedo 1, 2, 3 skaidrės).

2. Teorinės medžiagos kartojimas.

Mokytojas. Ką reiškia lygtį išspręsti naudojant parametrą?

Siūlomas atsakymas. Lygties sprendimas parametru reiškia atitikimo nustatymą, kurio pagalba kiekvienai parametro reikšmei nurodoma atitinkamos lygties šaknų aibė.

Mokytojas. Priklausomai nuo to, kokiam vaidmeniui parametras priskiriamas uždavinyje (nelygus ar lygus kintamajam), atitinkamai galima išskirti dvi pagrindines grafines technikas: pirmoji yra grafinio vaizdo konstravimas koordinačių plokštuma(x; y), antrasis – ant (x; a).

Schematiškai pirmojo metodo struktūra yra tokia. Plokštumoje (x; y) funkcija y=f(x; a) apibrėžia kreivių šeimą, priklausomai nuo parametro a. Akivaizdu, kad kiekviena šeima f turi tam tikros savybės, bet pagrindinis dalykas yra perėjimas iš vienos šeimos kreivės į kitą.

Kalbant apie antrąjį metodą, jis pagrįstas visų koordinačių-parametrinės plokštumos taškų rinkiniu, kurių kiekvieno koordinačių x ir parametro a reikšmės atitinka problemos sąlygose nurodytą ryšį. Jei nurodyta taškų aibė randama, tai kiekviena galiojanti parametro a=const reikšmė gali būti susieta su šios aibės koordinačių taškais, kurie suteikia norimą uždavinio reikšmę. Šiandienos pamoką skirsime šiam metodui.

Dėl tolimesnės komunikacijos paprastumo pirmąjį metodą pavadinsime grafiniu, o antrąjį – koordinačių-parametrinį, o jų panaudojimą demonstruosime pavyzdžiais.

3. Pagrindinė dalis.

a) Studentams siūloma užduotis, kuri išsprendžiama kiekvienu iš siūlomų metodų. Sprendimai pateikiami skaidrėse (1 priedo 4 ir 5) ir yra išsamiai aptariami.

Nr. 1. Kuriose parametro a reikšmėse lygtis turi daugiau nei dvi šaknis.

Sprendimas. I metodas (koordinačių parametras):

Jei pakeisite x=0 in pradinė lygtis, tada gauname 6=6, o tai reiškia, kad x=0 yra bet kurios a lygties sprendimas. Tegu dabar x, tada galime parašyti a= . Išsiaiškinkime reiškinių 2x+3 ir 2x-3 ženklus.

Ryžiai. 1

Ryžiai. 2

a=

Plokštumoje sukonstruosime aibę taškų (x;a), kurių koordinatės tenkina ryšį.

Jei a = 0, tada lygtis turi begalinį sprendinių skaičių intervale , o kitoms a reikšmėms lygties sprendinių skaičius neviršija dviejų.

Atsakymas: a=0

Sprendimas. II metodas (grafinis):

Nubraižykime funkcijas y= ir y=ax+6 ir raskite jų susikirtimo taškų skaičių priklausomai nuo parametro a.

Ryžiai. 3

Taigi, jei a = 0, tada x. Jeigu a , tada lygtis turi du sprendinius, bet a yra vienas sprendimas duota lygtis. Tai reiškia, kad lygtis turi daugiau nei dvi šaknis, kai a = 0.

Atsakymas: a=0.

Mokytojas: Kuris metodas jums patinka šiuo atveju?

Siūlomas atsakymas. Grafika. Tam reikia mažiau skaičiavimų, nors sunku apskaičiuoti parametrą linijos ribinėse vietose.

b) Savarankiškas darbas grupėse.

Klasė suskirstyta į grupes, kurių dalis grafiškai sprendžia toliau pateiktą uždavinį, o dalis – koordinačių-parametrinių. Pasibaigus laikui, sprendimai tikrinami naudojant multimedijos plokštę (1 priedo skaidrės Nr. 6, Nr. 7).

Nr. 2. Raskite visas parametro a reikšmes, kurioms taikoma lygtis turi unikalų sprendimą.

Sprendimas. I metodas (grafinis):

Nubraižykime funkcijas y= ir y=

Ryžiai. 4

A(-4; 0), B(-2; 0) šių taškų koordinatės tenkina lygtį.

Ryžiai. 5

Atsakymas: a=-8; a=-4.

Sprendimas. II metodas (koordinatė-parametrinis).

Naudodamiesi absoliučios vertės apibrėžimu, mes transformuojame lygtį kiekvienoje iš „dalinių sričių“, į kurias yra padalintos tiesės x = -3, x = KP plokštuma, atsižvelgiant į atvejus a < -6 ir a>-6, pakeičiant jį lygiaverčiu rinkiniu.

Ryžiai. 6

Ryžiai. 7

Ryžiai. 8

Kaip ir pirmą kartą, pakeiskime lygtį rinkiniu.

Ryžiai. 9

Žemiau pavaizduota taškų (x; a) aibė - koordinatės x ir parametras a, kurios tenkina lygtį, leidžia atsakyti į sprendinio unikalumo klausimą.

Mokytojas. Kuo paskutinės problemos formuluotė skiriasi nuo ankstesnių?

Tariamas atsakymas: pradinėse problemose svarbiausia buvo rasti šaknų skaičių, o paskutinėje - pačias šaknis. Ir šiuo atveju koordinačių-parametrinis metodas gamina paruoštus sprendimus be papildomų skaičiavimų.

4. Pamokos apibendrinimas.

Mokytojas, padedamas mokinių, daro išvadas apie naują metodą ir jo panaudojimo galimybes.

1. Sprendžiant lygtis su parametrais, negalima kalbėti apie pirmenybę vienam metodui, o ne kitam.

2. Sprendimo būdo pasirinkimas priklauso nuo problemos formulavimo, t.y. kai reikia nustatyti lygties šaknų skaičių, patogiau naudoti grafinis metodas, o jei reikia rasti lygties šaknis priklausomai nuo parametro, tai koordinačių-parametrinis metodas yra efektyvesnis.

5. Namų darbai.

KP metodu išspręskite šias lygtis.

1. ¦Х + 2¦ +¦ Х – 4¦ + ¦Х – 1¦ = a.

2. ¦X + a – 1¦ = ¦X – a + 1¦.