Tikimybėįvykis vadinamas skaičių santykiu elementarius rezultatus, palankus šį įvykį, į visų vienodai galimų patirties, kurioje gali atsirasti šis įvykis, baigčių skaičių. Įvykio A tikimybė žymima P(A) (čia P yra pirmoji raidė prancūziškas žodis tikimybė – tikimybė). Pagal apibrėžimą
(1.2.1)
kur yra elementarių rezultatų, palankių įvykiui A, skaičius; - visų vienodai galimų elementarių eksperimento baigčių skaičius, formavimas pilna grupėįvykius.
Šis tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu. Tai kilo ant pradinis etapas tikimybių teorijos kūrimas.

Įvykio tikimybė turi šias savybes:
1. Tikimybė patikimas įvykis lygus vienam. Patikimą įvykį pažymėkime raide . Todėl tam tikram įvykiui
(1.2.2)
2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Neįmanomą įvykį pažymėkime raide . Todėl neįmanomam įvykiui
(1.2.3)
3. Tikimybė atsitiktinis įvykis yra išreikštas teigiamas skaičius, mažiau nei vienas. Kadangi atsitiktinio įvykio nelygybės , arba , yra patenkinti, tada
(1.2.4)
4. Bet kurio įvykio tikimybė tenkina nelygybes
(1.2.5)
Tai išplaukia iš santykių (1.2.2) – (1.2.4).

1 pavyzdys. Urnoje yra 10 vienodo dydžio ir svorio kamuoliukų, iš kurių 4 raudoni ir 6 mėlyni. Iš urnos ištraukiamas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys bus mėlynas?

Sprendimas. Įvykį „ištrauktas rutulys pasirodė mėlynas“ žymime raide A. Šis testas turi 10 vienodai galimų elementarių rezultatų, iš kurių 6 palankūs įvykiui A. Pagal (1.2.1) formulę gauname

2 pavyzdys. Visi natūralūs skaičiai nuo 1 iki 30 užrašomi ant identiškų kortelių ir dedami į urną. Kruopščiai sumaišius kortas, viena kortelė išimama iš urnos. Kokia tikimybė, kad paimtoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis?

Sprendimas. Pažymėkime A įvykį „paimtoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis“. Šiame teste yra 30 vienodai galimų elementarių baigčių, iš kurių įvykiui A palankios 6 baigtys (skaičiai 5, 10, 15, 20, 25, 30). Vadinasi,

3 pavyzdys. Mesti du kauliukai ir apskaičiuojamas bendras taškų skaičius. viršutiniai veidai. Raskite įvykio B tikimybę, kad kauliukų viršutinės pusės turėtų iš viso 9 taškus.

Sprendimas.Šiame teste yra tik 6 2 = 36 vienodai galimi pagrindiniai rezultatai. B įvykiui palankios 4 baigtys: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), todėl

4 pavyzdys. Pasirinkta atsitiktinai natūralusis skaičius, neviršijant 10. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?

Sprendimas.Įvykį „pasirinktas skaičius pirminis“ pažymėkime raide C. IN šiuo atveju n = 10, m = 4 ( pirminiai skaičiai 2, 3, 5, 7). Todėl reikiama tikimybė

5 pavyzdys. Metamos dvi simetriškos monetos. Kokia tikimybė, kad abiejų monetų viršutinėse pusėse yra skaičiai?

Sprendimas. D raide pažymėkime įvykį „kiekvienos monetos viršuje yra skaičius“. Šiame teste yra 4 vienodai galimos elementarios baigtys: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Žymėjimas (G, C) reiškia, kad pirmoji moneta turi herbą, antroji – skaičių). D įvykiui palankus vienas elementarus rezultatas (C, C). Kadangi m = 1, n = 4, tada

6 pavyzdys. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas dviženklis skaičius turi tuos pačius skaitmenis?

Sprendimas. Dviženkliai skaičiai yra skaičiai nuo 10 iki 99; Iš viso yra 90 tokių skaičių, 9 skaičiai turi vienodus skaitmenis (tai skaičiai 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kadangi šiuo atveju m = 9, n = 90, tada
,
kur A yra „skaičius su vienodais skaitmenimis“ įvykis.

7 pavyzdys. Iš žodžio raidžių diferencialas Viena raidė parenkama atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad ši raidė bus: a) balsė, b) priebalsė, c) raidė h?

Sprendimas. Žodis diferencialas turi 12 raidžių, iš kurių 5 balsės ir 7 priebalsiai. Laiškai hšiame žodyje nėra. Pažymime įvykius: A - „balsio raidė“, B - „priebalsio raidė“, C - „raidė h". Palankių elementarių baigčių skaičius: - įvykiui A, - įvykiui B, - įvykiui C. Kadangi n = 12, tada
, Ir.

8 pavyzdys. Mesti du kauliukai ir pažymimas taškų skaičius kiekvieno kauliuko viršuje. Raskite tikimybę, kad gaus abu kauliukus tas pats numeris taškų.

Sprendimas.Šį įvykį pažymėkime raide A. Įvykį A palankiai vertina 6 elementarios baigtys: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Bendras vienodai galimų elementarių baigčių, kurios sudaro visą įvykių grupę, skaičius, šiuo atveju n=6 2 =36. Tai reiškia, kad reikiama tikimybė

9 pavyzdys. Knygoje 300 puslapių. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai atidarytas puslapis turės serijos numerį, kuris dalijasi iš 5?

Sprendimas. Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad visi vienodai galimi elementarūs rezultatai, sudarantys visą įvykių grupę, bus n = 300. Iš jų m = 60 palankūs nurodyto įvykio įvykimui. Iš tiesų, skaičius, kuris yra 5 kartotinis, turi formą 5k, kur k yra natūralusis skaičius ir iš kur . Vadinasi,
, kur A – „puslapio“ įvykio eilės numeris yra 5 kartotinis.

10 pavyzdys. Mesti du kauliukus ir apskaičiuojama taškų suma, esanti viršutinėse pusėse. Kas labiau tikėtina – gauti 7 ar 8?

Sprendimas. Pažymėkime įvykius: A – „Išmeta 7 taškai“, B – „Išmeta 8 taškai“. Įvykiui A palankios 6 pagrindinės baigtys: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), o įvykis B yra palankesnis. pagal 5 baigtis: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Visi vienodai galimi elementari rezultatai yra n = 6 2 = 36. Taigi, Ir .

Taigi, P(A)>P(B), ty gauti iš viso 7 taškus yra labiau tikėtinas įvykis nei gauti iš viso 8 taškus.

Užduotys

1. Atsitiktinai parenkamas natūralusis skaičius, neviršijantis 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra 3 kartotinis?
2. Urnoje a raudona ir b mėlyni rutuliai, vienodo dydžio ir svorio. Kokia tikimybė, kad iš šios urnos atsitiktinai ištrauktas rutulys bus mėlynas?
3. Atsitiktinai parenkamas skaičius, ne didesnis kaip 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra 30 daliklis?
4. Urnoje A mėlyna ir b raudoni rutuliai, vienodo dydžio ir svorio. Iš šios urnos paimamas vienas rutulys ir atidėtas. Šis kamuolys pasirodė raudonas. Po to iš urnos ištraukiamas kitas rutulys. Raskite tikimybę, kad antrasis rutulys taip pat yra raudonas.
5. Atsitiktinai parenkamas nacionalinis skaičius, ne didesnis kaip 50. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?
6. Mesti trys kauliukai ir apskaičiuojama taškų suma ant viršutinių veidelių. Kas didesnė tikimybė – surinkti 9 ar 10 balų?
7. Metami trys kauliukai ir apskaičiuojama išmesta taškų suma. Kas didesnė tikimybė – iš viso surinkti 11 (įvykis A) ar 12 taškų (įvykis B)?

Atsakymai

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 – tikimybė iš viso gauti 9 balus; p 2 = 27/216 – tikimybė iš viso gauti 10 balų; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Klausimai

1. Kaip vadinama įvykio tikimybė?
2. Kokia patikimo įvykio tikimybė?
3. Kokia yra neįmanomo įvykio tikimybė?
4. Kokios yra atsitiktinio įvykio tikimybės ribos?
5. Kokios yra bet kokio įvykio tikimybės ribos?
6. Koks tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu?

Atvežtas iki šiol atidaryti stiklainį Vieningo valstybinio egzamino uždaviniai matematikoje (mathege.ru), kurių sprendimas pagrįstas tik viena formule, kuri yra klasikinis apibrėžimas tikimybės.

Lengviausias būdas suprasti formulę yra pavyzdžiai.
1 pavyzdys. Krepšelyje yra 9 raudoni ir 3 mėlyni kamuoliukai. Kamuoliukai skiriasi tik spalva. Atsitiktinai (nežiūrėdami) išimame vieną iš jų. Kokia tikimybė, kad tokiu būdu pasirinktas rutulys bus mėlynas?

komentuoti. Tikimybių teorijos uždaviniuose atsitinka kažkas (šiuo atveju mūsų veiksmas ištraukiant kamuolį), kas gali turėti kitokį rezultatą – rezultatą. Reikėtų pažymėti, kad į rezultatą galima žiūrėti įvairiai. „Mes ištraukėme kažkokį kamuolį“ taip pat yra rezultatas. „Mes ištraukėme mėlyną rutulį“ - rezultatas. „Iš visų įmanomų kamuoliukų ištraukėme būtent šį rutulį“ – toks mažiausiai apibendrintas rezultato vaizdas vadinamas elementariu rezultatu. Tikimybės apskaičiavimo formulėje reiškiami pagrindiniai rezultatai.

Sprendimas. Dabar apskaičiuokime tikimybę pasirinkti mėlyną rutulį.
Įvykis A: „pasirinktas rutulys pasirodė mėlynas“
Bendras visų galimų rezultatų skaičius: 9+3=12 (visų kamuoliukų, kuriuos galėtume ištraukti, skaičius)
A įvykiui palankių baigčių skaičius: 3 (tokių baigčių, kurių metu įvyko A įvykis, skaičius, tai yra mėlynų kamuoliukų skaičius)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Dėl tos pačios problemos apskaičiuokime tikimybę pasirinkti raudoną rutulį.
Bendras galimų baigčių skaičius išliks toks pat, 12. Palankių baigčių skaičius: 9. Ieškoma tikimybė: 9/12=3/4=0,75

Bet kurio įvykio tikimybė visada yra nuo 0 iki 1.
Kartais į kasdieninė kalba(bet ne tikimybių teorijoje!) įvykių tikimybė įvertinama procentais. Perėjimas tarp matematikos ir pokalbio balų pasiekiamas padauginus (arba padalijus) iš 100%.
Taigi,
Be to, įvykių, kurie negali įvykti, tikimybė yra lygi nuliui – neįtikėtina. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje tai būtų tikimybė ištraukti žalią kamuolį iš krepšio. (palankių rezultatų skaičius yra 0, P(A)=0/12=0, jei apskaičiuojama pagal formulę)
1 tikimybė turi įvykių, kurie tikrai įvyks, be parinkčių. Pavyzdžiui, tikimybė, kad „pasirinktas rutulys bus raudonas arba mėlynas“, yra mūsų užduotis. (palankių rezultatų skaičius: 12, P(A) = 12/12 = 1)

Mes peržiūrėjome klasikinis pavyzdys, iliustruojantis tikimybės apibrėžimą. Visi panašias užduotis Tikimybių teorijos vieningi valstybiniai egzaminai sprendžiami naudojant šią formulę.
Vietoj raudonų ir mėlynų kamuoliukų gali būti obuolių ir kriaušių, berniukų ir mergaičių, išmoktų ir neišmoktų bilietų, bilietų, kuriuose yra ir nėra klausimų tam tikra tema (prototipai,), brokuoti ir kokybiški krepšiai ar sodo siurbliai (prototipai). ,) – principas išlieka tas pats.

Jie šiek tiek skiriasi teorijos problemos formulavimu Vieningo valstybinio egzamino tikimybė, kur reikia apskaičiuoti tikimybę, kad įvykis įvyks konkrečią dieną. ( , ) Kaip ir ankstesnėse problemose, turite nustatyti, koks yra elementarus rezultatas, ir tada taikyti tą pačią formulę.

2 pavyzdys. Konferencija trunka tris dienas. Pirmą ir antrą dieną po 15 pranešėjų, trečią dieną - 20. Kokia tikimybė, kad profesoriaus M. pranešimas kris trečią dieną, jei pranešimų eilė nustatoma burtų keliu?

Koks čia elementarus rezultatas? – Profesoriaus pranešimo priskyrimas vienam iš visų galimų serijos numeriai už spektaklį. Burtuose dalyvauja 15+15+20=50 žmonių. Taigi, profesoriaus M. ataskaita gali gauti vieną iš 50 numerių. Tai reiškia, kad yra tik 50 pagrindinių rezultatų.
Kokie yra palankūs rezultatai? – Tos, kuriose paaiškėja, kad profesorius kalbės trečią dieną. Tai yra, paskutiniai 20 skaičių.
Pagal formulę tikimybė P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Atsakymas: 0,4

Burtų traukimas čia parodo atsitiktinio susirašinėjimo tarp žmonių ir užsakytų vietų užmezgimą. 2 pavyzdyje korespondencijos nustatymas buvo svarstomas atsižvelgiant į tai, kurią iš vietų galima užimti konkretus asmuo. Tą pačią situaciją galite pažiūrėti iš kitos pusės: kuris iš žmonių su kokia tikimybe galėtų patekti į konkrečią vietą (prototipai , , , ):

3 pavyzdys. Burtai dalyvauja 5 vokiečiai, 8 prancūzai ir 3 estai. Kokia tikimybė, kad pirmasis (/antras/septintas/paskutinis – nesvarbu) bus prancūzas.

Elementarių rezultatų skaičius – visų skaičius galimi žmonės, kuri galėtų patekti burtų keliu ši vieta. 5+8+3=16 žmonių.
Palankūs rezultatai – prancūzų kalba. 8 žmonės.
Reikalinga tikimybė: 8/16=1/2=0,5
Atsakymas: 0,5

Prototipas šiek tiek skiriasi. Vis dar yra problemų dėl monetų () ir kauliukai(), šiek tiek kūrybiškesnis. Šių problemų sprendimą galima rasti prototipų puslapiuose.

Štai keli monetos ar kauliuko metimo pavyzdžiai.

4 pavyzdys. Kai mes metame monetą, kokia tikimybė nusileisti ant galvų?
Yra 2 rezultatai – galvos arba uodegos. (manoma, kad moneta niekada nenukrenta ant jos krašto) Palankus rezultatas yra uodegos, 1.
Tikimybė 1/2=0,5
Atsakymas: 0,5.

5 pavyzdys. O jei mes du kartus monetą? Kokia tikimybė, kad jis iškils į galvą abu kartus?
Svarbiausia yra nustatyti, į kokius elementarius rezultatus atsižvelgsime mesdami dvi monetas. Išmetus dvi monetas gali atsirasti vienas iš šių rezultatų:
1) PP – abu kartus iškilo galvos
2) PO – pirmą kartą vadovai, antrą kartą vadovai
3) OP – pirmą kartą galva, antrą kartą – uodega
4) OO – abu kartus iškilo galvos
Kitų variantų nėra. Tai reiškia, kad yra 4 pagrindiniai rezultatai. Tik pirmasis, 1, yra palankus.
Tikimybė: 1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Kokia tikimybė, kad du monetos metimai baigsis uodega?
Elementarių baigčių skaičius yra toks pat, 4. Palankios baigtys yra antra ir trečia, 2.
Tikimybė gauti vieną uodegą: 2/4=0,5

Esant tokioms problemoms, gali būti naudinga kita formulė.
Jei per vieną monetos metimą galimi variantai turime 2 rezultatus, tada dviejų metimų rezultatai bus 2 2 = 2 2 = 4 (kaip 5 pavyzdyje), trimis metimais 2 2 2 = 2 3 = 8, keturiems: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N metimų galimi rezultatai bus 2·2·...·2=2 N .

Taigi, galite rasti tikimybę gauti 5 galvas iš 5 monetų išmetimo.
Bendras elementarių rezultatų skaičius: 2 5 =32.
Palankūs rezultatai: 1. (RRRRRR – galvos visi 5 kartus)
Tikimybė: 1/32=0,03125

Tas pats pasakytina ir apie kauliukus. Vienu metimu galimi 6 rezultatai: 6 6 = 36, trims 6 6 6 = 216 ir tt.

6 pavyzdys. Metame kauliukus. Kokia tikimybė, kad bus išmestas lyginis skaičius?

Iš viso rezultatų: 6, atsižvelgiant į pusių skaičių.
Palankus: 3 rezultatai. (2, 4, 6)
Tikimybė: 3/6=0,5

7 pavyzdys. Metame du kauliukus. Kokia tikimybė, kad iš viso bus 10? (apvalinama iki artimiausios šimtosios dalies)

Vienam mirti galimi 6 rezultatai. Tai reiškia, kad dviem, pagal aukščiau pateiktą taisyklę, 6·6=36.
Kokie rezultatai bus palankūs, kad bendras metimas būtų 10?
10 reikia išskaidyti į dviejų skaičių nuo 1 iki 6 sumą. Tai galima padaryti dviem būdais: 10=6+4 ir 10=5+5. Tai reiškia, kad kubeliams galimos šios parinktys:
(6 pirmoje ir 4 antroje)
(4 pirmoje ir 6 antroje)
(5 pirmoje ir 5 antroje)
Viso, 3 variantai. Reikalinga tikimybė: 3/36=1/12=0,08
Atsakymas: 0,08

Kiti B6 problemų tipai bus aptariami būsimame straipsnyje Kaip išspręsti.

Atsakymai į bandomasis darbas pagal tikimybių teoriją padės pirmakursiams, studijuojantiems matematines disciplinas. Užduotys apima daug teorinė medžiaga, o jų sprendimo pagrindimas bus naudingas kiekvienam mokiniui.

Užduotis 1. Kubas su visomis nudažytomis briaunomis supjaustomas į 1000 tokio pat dydžio kubelių. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinai nupieštas kubas turės:

• a) vienas nudažytas kraštas;
• b) du nuspalvinti veidai.

Skaičiavimai: Jei kubas supjaustomas kubeliais tokio pat dydžio tada visi veidai bus padalinti į 100 kvadratų. (Apytiksliai kaip nuotraukoje)
Be to, atsižvelgiant į sąlygą, kubas turi turėti vieną nuspalvintą kraštą - tai reiškia, kad kubeliai turi priklausyti išorinis paviršius bet negulėkite ant kubo kraštų (2 tamsinti paviršiai), o ne ant kampų - jie turi tris šešėlinius paviršius.
Todėl reikalingas kiekis lygus 6 veidų sandaugai ir kubelių skaičiui 8*8 dydžio kvadrate.
6*8*8=384 – kubeliai su 1 dažytu paviršiumi.
Tikimybė lygi palankių įvykių skaičiui bendram jų skaičiui P=384/1000=0,384.
b) Dviejų nuspalvintų veidų kubeliai išilgai kraštų be pačių kubo viršūnių. Viename krašte bus 8 tokie kubeliai. Iš viso kube yra 12 kraštų, todėl turi du tamsesnius paviršius
8*12=96 kubeliai.
Ir tikimybė juos ištraukti tarp visų 1000 yra lygi
P=96/1000=0,096.
Ši užduotis išspręsta ir pereiname prie kitos.

Užduotis 2. Ant vienodų kortelių užrašomos raidės A, A, A, N, N, C. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai sudėję korteles iš eilės gausime žodį ANanasas?
Skaičiavimai: Jūs visada turite samprotauti iš to, kas žinoma. Duotos 3 raidės A, 2-H ir 1 - C, iš viso yra 6 raidės Pradėkime rinktis žodžiui „ananasas“. Pirmoji raidė yra A, kurią galime pasirinkti 3 būdais iš 6, nes tarp 6 žinomų yra 3 raidės A. Todėl tikimybė, kad pirmiausia bus nubrėžta A, yra
P 1 = 3/6 = 1/2.
Antroji raidė yra H, tačiau nereikia pamiršti, kad ištraukus A, belieka rinktis iš 5 raidžių. Todėl tikimybė nubrėžti skaičių 2 H yra lygi
P 2 = 2/5.
Kitas Tikimybė ištraukti tarp 4 likusių
P 3 = 2/4.
Toliau iš tikimybės galima išskirti H
P 4 = 1/3.
Kuo arčiau pabaigos labiau tikėtina, o A jau galime išgauti su
P 5 = 1/2.
Po to lieka tik viena kortelė C, todėl tikimybė ją ištraukti yra 100 procentų arba
P 6 =1.
Tikimybė sudaryti žodį ANANASAS yra lygi tikimybių sandaugai
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Tuo pagrįstos panašios tikimybių teorijos problemos.

Užduotis 3. Pardavėjas atsitiktine tvarka parenka pavyzdžius iš produktų partijos. Tikimybė, kad atsitiktinai paimtas produktas bus aukščiausios klasės, yra 0,8. Raskite tikimybę, kad tarp 3 pasirinktų produktų bus du aukščiausios klasės gaminiai?
Skaičiavimai: Šis pavyzdys dėl Bernulio formulės taikymo.
p=0,8; q = 1-0,8 = 0,2.
Tikimybę apskaičiuojame pagal formulę

Jei to nepaaiškinsi formulių kalba, tuomet reikia sudaryti trijų įvykių kombinacijas, iš kurių du yra palankūs, o vienas ne. Tai gali būti parašyta kaip produktų suma

Abu variantai yra lygiaverčiai, tik pirmasis gali būti taikomas visose užduotyse, o antrasis – panašiose į svarstomą.

4 uždavinys. Iš penkių šaulių du pataikė į taikinį su tikimybe 0,6 ir trys su tikimybe 0,4. Kas labiau tikėtina: atsitiktinai parinktas šaulys pataiko į taikinį ar ne?
Skaičiavimai: Pagal formulę visa tikimybe Nustatome tikimybę, kad šaulys pataikys.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Tikimybė mažesnė nei P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Tikimybė nepataikyti yra

arba
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

5 uždavinys. Iš 20 į egzaminą atėjusių mokinių 10 buvo puikiai pasiruošę (žinojo visus klausimus), 7 – gerai (žinojo po 35 klausimus), 3 – prastai (10 klausimų). Programą sudaro 40 klausimų. Atsitiktinai paskambinęs studentas atsakė į tris bilieto klausimus. Kokia tikimybė, kad jis bus pasiruošęs

• a) puikus;
• b) blogai.

Skaičiavimai: Problemos esmė ta, kad mokinys atsakė į tris biliete pateiktus klausimus, tai yra į viską, kas buvo užduota, bet dabar paskaičiuosime kokia tikimybė juos gauti.
Raskime tikimybę, kad mokinys teisingai atsakė į tris klausimus. Tai bus mokinių skaičiaus ir visos grupės santykis, padaugintas iš tikimybės ištraukti bilietus, kuriuos jie žino iš visų galimų

Dabar suraskime tikimybę, kad studentas priklauso grupei, kuri yra „puikiai“ paruošta. Tai atitinka preliminarios tikimybės pirmojo nario santykį su pačia tikimybe

Tikimybė, kad studentas priklauso grupei, kuri buvo prastai pasiruošusi, yra gana maža ir lygi 0,00216.

Ši užduotis atlikta. Gerai supraskite ir atsiminkite, kaip jį apskaičiuoti, nes tai įprasta viktorinose ir testuose.

6 uždavinys. Moneta metama 5 kartus. Raskite tikimybę, kad herbas atsiras mažiau nei 3 kartus?
Skaičiavimai: tikimybė nupiešti herbą ar uodegą lygi ir lygi 0,5. Mažiau nei 3 kartus reiškia, kad herbas gali būti 0, 1 arba 2 kartus. „Arba“ operacijose visada išreiškiama tikimybe pridedant.
Tikimybes randame naudodami Bernulio formulę

Kadangi p=q=0,5, tai tikimybė yra

Tikimybė yra 0,5.

7 uždavinys. Štampuojant metalinius gnybtus gaunama vidutiniškai 90% standartinių. Raskite tikimybę, kad iš 900 terminalų mažiausiai 790 ir daugiausiai 820 terminalų bus standartiniai.

Skaičiavimai: Skaičiavimai turi būti atlikti

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausių išteklių

Kas yra tikimybė?

Kai pirmą kartą susidūriau su šiuo terminu, nebūčiau supratusi, kas tai yra. Todėl pabandysiu paaiškinti aiškiai.

Tikimybė yra tikimybė, kad įvyks mūsų norimas įvykis.

Pavyzdžiui, nusprendėte eiti į draugo namus, prisimenate įėjimą ir net grindis, ant kurių jis gyvena. Bet pamiršau buto numerį ir vietą. O dabar tu stovi ant laiptinės, o priešais tave – durys, iš kurių galima rinktis.

Kokia tikimybė (tikimybė), kad paskambinus pirmuoju durų skambučiu už jus duris atvers jūsų draugas? Yra tik butai, o draugas gyvena tik už vieno iš jų. Turėdami vienodą galimybę galime pasirinkti bet kokias duris.

Bet kokia yra ši galimybė?

Durys, dešinės durys. Tikimybė atspėti paskambinus pirmuoju durų skambučiu: . Tai yra, vieną kartą iš trijų jūs tiksliai atspėsite.

Norime kartą paskambinę sužinoti, kaip dažnai spėsime duris? Pažvelkime į visas parinktis:

1. Tu paskambinai 1-oji duris
2. Tu paskambinai 2-oji duris
3. Tu paskambinai 3 duris

Dabar pažvelkime į visas galimybes, kuriose galėtų būti draugas:

A. Už 1-oji duris
b. Už 2-oji duris
V. Už 3 duris

Palyginkime visas parinktis lentelės formoje. Varnelė žymi parinktis, kai tavo pasirinkimas sutampa su draugo vieta, kryželis – kai nesutampa.

Kaip tu viską matai Galbūt parinktys jūsų draugo buvimo vieta ir jūsų pasirinkimas, į kurias duris skambinti.

A visiems palankūs rezultatai . Tai yra, atspėsite vieną kartą paskambinę durų skambučiu, t.y. .

Tai tikimybė – palankaus rezultato (kai jūsų pasirinkimas sutampa su draugo buvimo vieta) ir galimų įvykių skaičiaus santykis.

Apibrėžimas yra formulė. Tikimybė paprastai žymima p, todėl:

Rašyti tokią formulę nėra labai patogu, todėl imsime - palankių rezultatų skaičių, o už - bendrą baigčių skaičių.

Tikimybę galima parašyti procentais, gautą rezultatą reikia padauginti iš:

Žodis „rezultatai“ tikriausiai patraukė jūsų dėmesį. Kadangi matematikai įvairius veiksmus (mūsų atveju toks veiksmas yra durų skambutis) vadina eksperimentais, tai tokių eksperimentų rezultatas dažniausiai vadinamas rezultatu.

Na, yra ir palankių, ir nepalankių rezultatų.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Tarkime, paskambinome į vieną iš durų, bet jas mums atidarė nepažįstamas žmogus. Mes neatspėjome teisingai. Kokia tikimybė, kad jei paskambinsime į vieną iš likusių durų, mūsų draugas jas mums atidarys?

Jei taip manai, vadinasi, tai klaida. Išsiaiškinkime.

Mums liko dvejos durys. Taigi turime galimų žingsnių:

1) Skambinti 1-oji duris
2) Skambinti 2-oji duris

Draugas, nepaisant viso to, neabejotinai stovi už vieno iš jų (juk jis neatsiliko nuo to, kuriam paskambinome):

a) draugas už 1-oji duris
b) draugas už 2-oji duris

Dar kartą nubraižome lentelę:

Kaip matote, yra tik galimybės, kurios yra palankios. Tai yra, tikimybė yra lygi.

Kodėl gi ne?

Situacija, kurią svarstėme, yra priklausomų įvykių pavyzdys. Pirmasis įvykis yra pirmasis durų skambutis, antrasis įvykis yra antrasis durų skambutis.

Ir jie vadinami priklausomais, nes įtakoja šiuos veiksmus. Juk jei po pirmo skambučio į durų skambutį atsilieptų draugas, kokia būtų tikimybė, kad jis atsiliko už vieno iš kitų dviejų? Teisingai,.

Bet jei yra priklausomi įvykiai, tai taip pat turi būti nepriklausomas? Teisingai, jų pasitaiko.

Vadovėlio pavyzdys – monetos metimas.

1. Vieną kartą mesti monetą. Kokia, pavyzdžiui, tikimybė gauti galvas? Teisingai – kadangi yra visi variantai (arba galvos, arba uodegos, nepaisysime tikimybės, kad moneta nusileis ant jos krašto), bet tai tinka tik mums.
2. Bet tai išėjo į galvą. Gerai, meskime dar kartą. Kokia tikimybė gauti galvas dabar? Niekas nepasikeitė, viskas taip pat. Kiek variantų? Du. Kiek mes esame patenkinti? Vienas.

Ir tegul tai iškyla bent tūkstantį kartų iš eilės. Tikimybė gauti galvas iš karto bus tokia pati. Visada yra variantų, ir palankių.

Nesunku atskirti priklausomus įvykius nuo nepriklausomų:

1. Jei eksperimentas atliekamas vieną kartą (kartą meta monetą, vieną kartą skambina durų skambučiu ir pan.), tada įvykiai visada yra nepriklausomi.
2. Jei eksperimentas atliekamas kelis kartus (kartą įmetama moneta, kelis kartus skambinama durų skambučiu), tada pirmasis įvykis visada yra nepriklausomas. Ir tada, jei keičiasi palankių ar visų baigčių skaičius, įvykiai yra priklausomi, o jei ne, jie yra nepriklausomi.

Šiek tiek pasitreniruokime nustatydami tikimybę.

1 pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė gauti galvas du kartus iš eilės?

Sprendimas:

Apsvarstykite visus galimus variantus:

1. Erelis-erelis
2. Galvos-uodegos
3. Uodegos-Galvos
4. Uodegos-uodegos

Kaip matote, yra tik galimybės. Iš jų esame tik patenkinti. Tai yra tikimybė:

Jei sąlyga tiesiog prašo rasti tikimybę, tada atsakymas turi būti pateiktas dešimtainės trupmenos forma. Jei būtų nurodyta, kad atsakymas turi būti pateikiamas procentais, tada daugintume iš.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Šokoladų dėžutėje visi šokoladai supakuoti į tą patį popierių. Tačiau iš saldumynų – su riešutais, su konjaku, su vyšniomis, su karamele ir su nuga.

Kokia tikimybė paimti vieną saldainį ir gauti saldainį su riešutais? Pateikite savo atsakymą procentais.

Sprendimas:

Kiek yra galimų rezultatų? .

Tai yra, jei paimsite vieną saldainį, jis bus vienas iš tų, kurie yra dėžutėje.

Kiek palankių rezultatų?

Nes dėžutėje yra tik šokoladukai su riešutais.

Atsakymas:

3 pavyzdys.

Balionų dėžutėje. iš kurių yra baltos ir juodos spalvos.

1. Kokia tikimybė nupiešti baltą rutulį?
2. Į dėžutę pridėjome daugiau juodų kamuoliukų. Kokia dabar tikimybė nupiešti baltą rutulį?

Sprendimas:

a) Dėžutėje yra tik kamuoliukai. Iš jų baltos spalvos.

Tikimybė yra tokia:

b) Dabar dėžėje yra daugiau kamuoliukų. O baltųjų liko tiek pat – .

Atsakymas:

Bendra tikimybė

Tarkime, dėžutėje yra raudoni ir žali rutuliai. Kokia tikimybė nupiešti raudoną rutulį? Žalias rutulys? Raudonas ar žalias rutulys?

Tikimybė nupiešti raudoną rutulį

Žalias rutulys:

Raudonas arba žalias rutulys:

Kaip matote, visų galimų įvykių suma yra lygi (). Šio punkto supratimas padės išspręsti daugybę problemų.

4 pavyzdys.

Dėžutėje yra žymekliai: žalia, raudona, mėlyna, geltona, juoda.

Kokia tikimybė nupiešti NE raudoną žymeklį?

Sprendimas:

Suskaičiuokime skaičių palankių rezultatų.

NĖRA raudonas žymeklis, tai reiškia žalią, mėlyną, geltoną arba juodą.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Jūs jau žinote, kas yra nepriklausomi renginiai.

Ką daryti, jei reikia rasti tikimybę, kad du (ar daugiau) nepriklausomi įvykiai įvyks iš eilės?

Tarkime, norime sužinoti, kokia yra tikimybė, kad vieną kartą išmetę monetą pamatysime galvas du kartus?

Mes jau svarstėme - .

O kas, jei vieną kartą mestume monetą? Kokia tikimybė pamatyti erelį du kartus iš eilės?

Iš viso galimų variantų:

1. Erelis-erelis-erelis
2. Galvos-galvos-uodegos
3. Galvos-uodegos-galvos
4. Galvos-uodegos-uodegos
5. Uodegos-galvos-galvos
6. Uodegos-galvos-uodegos
7. Uodegos-uodegos-galvos
8. Uodegos-uodegos-uodegos

Nežinau kaip jūs, bet aš kelis kartus suklydau sudarydamas šį sąrašą. Oho! Ir mums tinka vienintelis variantas (pirmas).

5 metimams galite patys sudaryti galimų rezultatų sąrašą. Tačiau matematikai nėra tokie darbštūs kaip jūs.

Todėl jie pirmiausia pastebėjo, o paskui įrodė, kad tam tikros nepriklausomų įvykių sekos tikimybė kiekvieną kartą mažėja vieno įvykio tikimybe.

Kitaip tariant,

Pažvelkime į tos pačios nelemtos monetos pavyzdį.

Tikimybė susidurti su iššūkiu? . Dabar vieną kartą apverčiame monetą.

Kokia tikimybė gauti galvas iš eilės?

Ši taisyklė veikia ne tik tada, kai mūsų prašoma rasti tikimybę, kad tas pats įvykis įvyks kelis kartus iš eilės.

Jei norėtume rasti seką TAILS-HEADS-TAILS metimams iš eilės, darytume tą patį.

Tikimybė gauti uodegas yra , galvos - .

Tikimybė gauti seką TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Tai galite patikrinti patys, padarę lentelę.

Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo taisyklė.

Taigi sustok! Naujas apibrėžimas.

Išsiaiškinkime. Paimkime savo susidėvėjusią monetą ir vieną kartą išmeskime.
Galimi variantai:

1. Erelis-erelis-erelis
2. Galvos-galvos-uodegos
3. Galvos-uodegos-galvos
4. Galvos-uodegos-uodegos
5. Uodegos-galvos-galvos
6. Uodegos-galvos-uodegos
7. Uodegos-uodegos-galvos
8. Uodegos-uodegos-uodegos

Taigi nesuderinami įvykiai yra tam tikra, duota įvykių seka. – tai nesuderinami įvykiai.

Jei norime nustatyti, kokia yra dviejų (ar daugiau) nesuderinamų įvykių tikimybė, tada pridedame šių įvykių tikimybes.

Turite suprasti, kad galvos arba uodegos yra du nepriklausomi įvykiai.

Jei norime nustatyti sekos (ar bet kurios kitos) atsiradimo tikimybę, tada naudojame tikimybių dauginimo taisyklę.
Kokia tikimybė gauti galvą pirmą kartą metant, o uodegas – antrą ir trečią metimą?

Bet jei norime sužinoti, kokia yra tikimybė gauti vieną iš kelių sekų, pavyzdžiui, kai galvutės iškyla lygiai vieną kartą, t.y. parinktys ir tada turime pridėti šių sekų tikimybes.

Visi variantai mums tinka.

Tą patį galime gauti sudėję kiekvienos sekos atsiradimo tikimybes:

Taigi, kai norime nustatyti tam tikrų nenuoseklių įvykių sekų tikimybę, pridedame tikimybes.

Yra puiki taisyklė, kuri padės nesusipainioti, kada reikia dauginti, o kada pridėti:

Grįžkime prie pavyzdžio, kai vieną kartą metėme monetą ir norėjome sužinoti tikimybę vieną kartą pamatyti galvas.
Kas turėtų nutikti?

Turėtų iškristi:
(galvos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR galvos).
Štai kaip paaiškėja:

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

5 pavyzdys.

Dėžutėje yra pieštukai. raudona, žalia, oranžinė ir geltona bei juoda. Kokia tikimybė piešti raudonus arba žalius pieštukus?

Sprendimas:

6 pavyzdys.

Jei kauliukas metamas du kartus, kokia tikimybė iš viso gauti 8?

Sprendimas.

Kaip galime gauti taškų?

(ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir).

Tikimybė gauti vieną (bet kurį) veidą yra .

Apskaičiuojame tikimybę:

Treniruotės.

Manau, dabar jūs suprantate, kada reikia skaičiuoti tikimybes, kada jas pridėti, o kada padauginti. Ar ne taip? Truputį pasitreniruokime.

Užduotys:

Paimkime kortų kaladę, kurioje yra kortos, įskaitant kastuvus, širdeles, 13 lazdų ir 13 deimantų. Nuo iki kiekvieno kostiumo tūzo.

1. Kokia tikimybė ištraukti lazdas iš eilės (pirmą ištrauktą kortą dedame atgal į kaladę ir sumaišome)?
2. Kokia tikimybė ištraukti juodą kortą (kastuvus ar lazdas)?
3. Kokia tikimybė nupiešti paveikslėlį (domkas, dama, karalius ar tūzas)?
4. Kokia tikimybė nupiešti du paveikslėlius iš eilės (iš kaladės išimame pirmą ištrauktą kortą)?
5. Kokia tikimybė, paėmus dvi kortas, surinkti kombinaciją – (domkas, dama ar karalius) ir tūzas Kortų ištraukimo seka neturi reikšmės?

Atsakymai:

Jei visas problemas sugebėjote išspręsti patys, tuomet esate puikūs! Dabar vieningo valstybinio egzamino tikimybių teorijos uždavinius sprausite kaip riešutus!

TIKIMUMU TEORIJA. VIDURIO LYGIS

Pažiūrėkime į pavyzdį. Tarkime, mesti kauliuką. Koks čia kaulas, ar žinai? Taip jie vadina kubą su skaičiais ant veido. Kiek veidų, tiek skaičių: nuo iki kiek? Į.

Taigi metame kauliuką ir norime, kad jis atsirastų arba. Ir mes tai gauname.

Tikimybių teorijoje jie sako, kas atsitiko palankus įvykis(nepainioti su klestinčiais).

Jei taip atsitiktų, įvykis taip pat būtų palankus. Iš viso gali įvykti tik du palankūs įvykiai.

Kiek yra nepalankių? Kadangi yra visi galimi įvykiai, tai reiškia, kad nepalankūs yra įvykiai (tai yra jei arba iškrenta).

Apibrėžimas:

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis. Tai reiškia, kad tikimybė parodo, kokia visų galimų įvykių dalis yra palanki.

Tikimybė žymima lotyniška raide (matyt, iš angliško žodžio probability – tikimybė).

Įprasta tikimybę matuoti procentais (žr. temą,). Norėdami tai padaryti, tikimybės reikšmę reikia padauginti iš. Kauliuko pavyzdyje tikimybė.

Ir procentais: .

Pavyzdžiai (spręskite patys):

1. Kokia tikimybė gauti galvą metant monetą? Kokia yra galvų nusileidimo tikimybė?
2. Kokia tikimybė gauti lyginį skaičių metant kauliuką? O kuris keistas?
3. Paprastų, mėlynų ir raudonų pieštukų dėžutėje. Atsitiktinai piešiame vieną pieštuką. Kokia tikimybė gauti paprastą?

Sprendimai:

1. Kiek yra variantų? Galvos ir uodegos – tik dvi. Kiek iš jų yra palankių? Tik vienas yra erelis. Taigi tikimybė

   Tas pats ir su uodegomis: .

2. Iš viso parinkčių: (kiek pusių turi kubas, tiek įvairių variantų). Palankūs: (visi tai lyginiai skaičiai:).
   Tikimybė. Žinoma, taip yra ir su nelyginiais skaičiais.
3. Iš viso: . Palanku:. Tikimybė:.

Bendra tikimybė

Visi dėžutėje esantys pieštukai yra žali. Kokia tikimybė nupiešti raudoną pieštuką? Nėra jokių šansų: tikimybė (juk palankūs įvykiai -).

Toks įvykis vadinamas neįmanomu.

Kokia tikimybė nupiešti žalią pieštuką? Palankių įvykių yra lygiai tiek pat, kiek yra visų įvykių (visi įvykiai yra palankūs). Taigi tikimybė yra lygi arba.

Toks įvykis vadinamas patikimu.

Jei dėžutėje yra žalios ir raudonos spalvos pieštukai, kokia tikimybė nupiešti žalią arba raudoną? Vėlgi. Atkreipkite dėmesį į tai: tikimybė ištraukti žalią yra lygi, o raudona - lygi.

Apibendrinant, šios tikimybės yra lygiai lygios. tai yra visų galimų įvykių tikimybių suma lygi arba.

Pavyzdys:

Pieštukų dėžutėje yra mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios - oranžinės spalvos. Kokia tikimybė nenupiešti žaliai?

Sprendimas:

Prisimename, kad visos tikimybės sumuojasi. Ir tikimybė sužaliuoti yra lygi. Tai reiškia, kad tikimybė nenupiešti žalios spalvos yra lygi.

Prisiminkite šį triuką: Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi atėmus tikimybę, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomi įvykiai ir daugybos taisyklė

Vieną kartą išverčiate monetą ir norite, kad ji iškiltų į galvą abu kartus. Kokia to tikimybė?

Peržiūrėkime visas galimas parinktis ir nustatykime, kiek jų yra:

Galvos-Galvos, Uodegos-Galvos, Galvos-Uodegos, Uodegos-Uodegos. Kokie kiti?

Iš viso parinkčių. Iš jų mums tinka tik vienas: Erelis-Erelis. Iš viso tikimybė yra lygi.

gerai. Dabar vieną kartą išmeskime monetą. Suskaičiuok pats. Ar pavyko? (atsakymas).

Galbūt pastebėjote, kad pridėjus kiekvieną paskesnį metimą tikimybė sumažėja perpus. Bendra taisyklė vadinama daugybos taisyklė:

Nepriklausomų įvykių tikimybės kinta.

Kas yra nepriklausomi renginiai? Viskas logiška: tai tie, kurie nepriklauso vienas nuo kito. Pavyzdžiui, kai mes metame monetą kelis kartus, kiekvieną kartą daromas naujas metimas, kurio rezultatas nepriklauso nuo visų ankstesnių metimų. Lygiai taip pat lengvai galime išmesti dvi skirtingas monetas vienu metu.

Daugiau pavyzdžių:

1. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė, kad tai įvyks abu kartus?
2. Moneta metama vieną kartą. Kokia tikimybė, kad jis pirmą kartą iškils galva, o paskui du kartus?
3. Žaidėjas meta du kauliukus. Kokia tikimybė, kad ant jų esančių skaičių suma bus lygi?

Atsakymai:

1. Įvykiai yra nepriklausomi, vadinasi, veikia daugybos taisyklė: .
2. Galvų tikimybė yra lygi. Uodegų tikimybė yra tokia pati. Padauginti:
3. 12 galima gauti tik išmetus du -ki: .

Nesuderinami įvykiai ir pridėjimo taisyklė

Įvykiai, kurie papildo vienas kitą iki visiškos tikimybės, vadinami nesuderinamais. Kaip rodo pavadinimas, jie negali vykti vienu metu. Pavyzdžiui, jei mes išverčiame monetą, ji gali pasirodyti galva arba uodega.

Pavyzdys.

Pieštukų dėžutėje yra mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios - oranžinės spalvos. Kokia tikimybė nupiešti žalią arba raudoną?

Sprendimas.

Tikimybė nupiešti žalią pieštuką yra lygi. Raudona -.

Iš viso palankūs įvykiai: žalia + raudona. Tai reiškia, kad tikimybė nupiešti žalią arba raudoną yra lygi.

Tą pačią tikimybę galima pavaizduoti šia forma: .

Tai yra papildymo taisyklė: nesuderinamų įvykių tikimybės sumuojasi.

Mišraus tipo problemos

Pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė, kad ritinių rezultatai skirsis?

Sprendimas.

Tai reiškia, kad jei pirmasis rezultatas yra galvos, antrasis turi būti uodegos ir atvirkščiai. Pasirodo, yra dvi nepriklausomų įvykių poros, ir šios poros yra nesuderinamos viena su kita. Kaip nesusipainioti, kur dauginti ir kur pridėti.

Tokioms situacijoms galioja paprasta taisyklė. Pabandykite apibūdinti, kas nutiks, naudodami jungtukus „IR“ arba „ARBA“. Pavyzdžiui, šiuo atveju:

Jis turėtų iškilti (galvos ir uodegos) arba (uodegos ir galvos).

Ten, kur yra jungtukas „ir“, bus daugyba, o kur „arba“ – pridėjimas:

Išbandykite patys:

1. Kokia tikimybė, kad monetą išmetus du kartus, moneta abu kartus atsidurs toje pačioje pusėje?
2. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė gauti iš viso taškų?

Sprendimai:

Kitas pavyzdys:

Vieną kartą mesti monetą. Kokia tikimybė, kad galvos atsiras bent kartą?

Sprendimas:

TIKIMUMU TEORIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis.

Nepriklausomi renginiai

Du įvykiai yra nepriklausomi, jei vieno įvykis nekeičia kito įvykimo tikimybės.

Bendra tikimybė

Visų galimų įvykių tikimybė yra lygi ().

Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi atėmus tikimybę, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Tam tikros nepriklausomų įvykių sekos tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugai

Nesuderinami įvykiai

Nesuderinami įvykiai yra tie, kurie negali įvykti vienu metu dėl eksperimento. Nemažai nesuderinamų įvykių sudaro visą įvykių grupę.

Sumuojasi nesuderinamų įvykių tikimybė.

Aprašę, kas turėtų įvykti, naudodami jungtukus „IR“ arba „ARBA“, vietoje „IR“ dedame daugybos ženklą, o vietoje „ARBA“ – pridėjimo ženklą.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio galiojimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Tikimybių teorija ir matematinė statistika

1. Tikimybių teorijos dalykas ir jo reikšmė sprendžiant ekonomines ir technines problemas. Tikimybė ir jos apibrėžimas

Ilgą laiką žmonija studijavo ir savo veiklai naudojo tik vadinamuosius deterministinius modelius. Tačiau kadangi atsitiktiniai įvykiai įsiveržia į mūsų gyvenimą be mūsų noro ir nuolat mus supa, be to, kadangi beveik visi gamtos reiškiniai yra atsitiktinio pobūdžio, būtina išmokti juos tirti ir sukurti tam skirtus tyrimo metodus.

Pagal priežastinių ryšių pasireiškimo formą gamtos ir visuomenės dėsniai skirstomi į dvi klases: deterministinius (iš anksto nulemtus) ir statistinius.

Pavyzdžiui, remiantis dangaus mechanikos dėsniais, remiantis šiuo metu žinomomis Saulės sistemos planetų padėtimis, jų padėtis bet kuriuo laiko momentu gali būti beveik vienareikšmiškai nuspėjama, įskaitant Saulės ir Mėnulio užtemimus, galima labai tiksliai numatyti. Tai yra deterministinių dėsnių pavyzdys.

Tačiau ne visus reiškinius galima tiksliai numatyti. Taigi ilgalaikiai klimato pokyčiai ir trumpalaikiai orų pokyčiai nėra sėkmingo prognozavimo objektai, t.y. daugelis dėsnių ir modelių daug mažiau telpa į deterministinę sistemą. Tokie dėsniai vadinami statistiniais dėsniais. Pagal šiuos dėsnius būsima sistemos būsena nustatoma ne vienareikšmiškai, o tik su tam tikra tikimybe.

Tikimybių teorija, kaip ir kiti matematikos mokslai, buvo atgaivinta ir plėtojama iš praktikos poreikių. Ji tiria masiniams atsitiktiniams įvykiams būdingus modelius.

Tikimybių teorija tiria masinių atsitiktinių įvykių savybes, kurios gali pasikartoti daug kartų, kai atkuriamas tam tikras sąlygų rinkinys. Pagrindinė bet kokio atsitiktinio įvykio savybė, nepaisant jo pobūdžio, yra jo įvykio matas arba tikimybė.

Mūsų stebimus įvykius (reiškinius) galima suskirstyti į tris tipus: patikimus, neįmanomus ir atsitiktinius.

Įvykis, kuris tikrai įvyks, vadinamas tikru. Įvykis, kurio mes žinome, kad neįvyks, vadinamas neįmanomu. Atsitiktinis įvykis yra įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti.

Tikimybių teorija nekelia užduoties numatyti, ar įvyks vienas įvykis, ar ne, nes neįmanoma atsižvelgti į visų priežasčių įtaką atsitiktiniam įvykiui. Kita vertus, pasirodo, kad pakankamai daug vienarūšių atsitiktinių įvykių, nepaisant jų specifinio pobūdžio, yra pavaldūs tam tikriems modeliams, būtent tikimybiniams modeliams.

Taigi, tikimybių teorijos dalykas yra masinių vienalyčių atsitiktinių įvykių tikimybinių modelių tyrimas.

Kai kurias problemas, susijusias su masiniais atsitiktiniais reiškiniais, dar XVII amžiaus pradžioje bandyta išspręsti atitinkamu matematiniu aparatu. Tyrinėdami įvairių azartinių žaidimų eigą ir rezultatus, B. Pascalis, P. Fermatas ir H. Huygensas XVII amžiaus viduryje padėjo klasikinės tikimybių teorijos pagrindus. Savo darbuose jie netiesiogiai vartojo tikimybės ir atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio sąvokas. Tik XVIII amžiaus pradžioje. J. Bernoulli suformuluoja tikimybės sampratą.

Tikimybių teorija už tolesnę sėkmę skolinga Moivre'ui, Laplasui, Gausui, Poissonui ir kitiems.

Rusų ir sovietų matematikai, tokie kaip P.L., labai prisidėjo prie tikimybių teorijos kūrimo. Čebyševas, A.A. Markovas, A.M. Lyapunovas, S.N. Bernsteinas, A.N. Kolmogorovas, A.Ya. Chinčinas, A. Prochorovas ir kt.

Ypatinga vieta tikimybių teorijos raidoje tenka Uzbekistano mokyklai, kurios žymūs atstovai yra akademikai V.I. Romanovskis, S.Kh. Sirazhdinovas, T.A. Sarymsakovas, T.A. Azlarovas, Sh.K. Farmanovas, profesorius I.S. Badalbajevas, M.U. Gafurovas, Sh.A. Chašimovas ir kiti.

Kaip jau minėta, praktikos poreikiai, prisidėję prie tikimybių teorijos atsiradimo, lėmė jos, kaip mokslo, raidą, todėl atsirado vis daugiau jos šakų ir skyrių. Matematinė statistika remiasi tikimybių teorija, kurios užduotis yra iš imties su tam tikru patikimumu atkurti bendrajai visumai būdingas charakteristikas. Nuo tikimybių teorijos buvo atskirtos tokios mokslo šakos kaip atsitiktinių procesų teorija, eilių teorija, informacijos teorija, patikimumo teorija, ekonometrinis modeliavimas ir kt.

Svarbiausios tikimybių teorijos taikymo sritys yra ekonomikos ir technikos mokslai. Šiuo metu sunku įsivaizduoti ekonominių ir techninių reiškinių tyrimą be tikimybių teorija pagrįsto modeliavimo, be koreliacinės ir regresinės analizės modelių, adekvatumo ir „jautrių“ adaptacinių modelių.

Į tikimybių teorijos metodais tiriamų problemų spektrą įtraukti eismo srautuose vykstantys įvykiai, automobilių komponentų patikimumo laipsnis, autoįvykiai keliuose, įvairios situacijos kelių projektavimo procese dėl jų neapibrėžtumo.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos yra patirtis arba eksperimentas ir įvykiai. Eksperimentu vadiname veiksmus, kurie atliekami tam tikromis sąlygomis ir aplinkybėmis. Kiekvienas konkretus eksperimento įgyvendinimas vadinamas testu.

Kiekvienas įsivaizduojamas eksperimento rezultatas vadinamas elementariu įvykiu ir žymimas. Atsitiktiniai įvykiai susideda iš tam tikro skaičiaus elementarių įvykių ir yra žymimi A, B, C, D,...

Aibė elementarių įvykių, tokių, kad

1) dėl eksperimento visada įvyksta vienas iš elementarių įvykių;

2) vieno bandymo metu įvyks tik vienas elementarus įvykis, vadinamas elementariųjų įvykių erdve ir žymimas.

Taigi bet koks atsitiktinis įvykis yra elementariųjų įvykių erdvės poaibis. Pagal elementariųjų įvykių erdvės apibrėžimą patikimas įvykis gali būti žymimas. Neįmanomas įvykis žymimas.

1 pavyzdys: mestas kauliukas. Elementariųjų įvykių erdvė, atitinkanti šį eksperimentą, turi tokią formą:

2 pavyzdys. Tegul urnoje yra 2 raudoni, 3 mėlyni ir 1 baltas, iš viso 6 rutuliukai. Eksperimentas susideda iš atsitiktinio rutuliukų piešimo iš urnos. Elementariųjų įvykių erdvė, atitinkanti šį eksperimentą, turi tokią formą:

kur elementarūs įvykiai turi šias reikšmes: - pasirodė baltas rutulys; - pasirodė raudonas rutulys; - pasirodė mėlynas rutulys. Apsvarstykite šiuos įvykius:

A - balto rutulio išvaizda;

B - raudono rutulio išvaizda;

C - mėlyno rutulio išvaizda;

D – spalvoto (nebalto) rutulio išvaizda.

Čia matome, kad kiekvienas iš šių įvykių turi vienokį ar kitokį tikimybės laipsnį: vieni – didesnę, kiti – mažiau. Akivaizdu, kad įvykio B tikimybės laipsnis yra didesnis nei įvykio A; įvykiai C - nei įvykiai B; įvykiai D - nei įvykiai C. Norint kiekybiškai palyginti įvykius tarpusavyje pagal jų galimybės laipsnį, akivaizdu, kad su kiekvienu įvykiu reikia susieti tam tikrą skaičių, kuris didesnis, tuo labiau įmanomas įvykis.

Šį skaičių žymime ir vadiname įvykio A tikimybe. Pateikiame tikimybės apibrėžimą.

Tegul elementarių įvykių erdvė yra baigtinė aibė, o jos elementai tebūnie. Darysime prielaidą, kad tai vienodai galimi elementarūs įvykiai, t.y. kiekvienas elementarus įvykis neturi didesnės tikimybės įvykti nei kiti. Kaip žinoma, kiekvienas atsitiktinis įvykis A susideda iš elementarių įvykių kaip poaibis. Šie elementarūs įvykiai vadinami palankiais A.

Įvykio A tikimybė nustatoma pagal formulę

čia m yra palankių elementarių įvykių A skaičius, n yra visų elementarių įvykių, įtrauktų į.

Jei 1 pavyzdyje A žymi įvykį, kad bus sumuštas lyginis taškų skaičius, tada

2 pavyzdyje įvykių tikimybės turi šias reikšmes:

Šios savybės išplaukia iš tikimybės apibrėžimo:

1. Patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui.

Iš tiesų, jei įvykis yra patikimas, visi elementarūs įvykiai jam palankūs. Šiuo atveju m=n ir todėl

2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.

Iš tiesų, jei įvykis neįmanomas, tai nė vienas elementarus įvykis jam nepritaria. Šiuo atveju m=0 ir todėl

3. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius nuo nulio iki vieneto.

Iš tiesų, tik dalis bendro elementarių įvykių skaičiaus yra palanki atsitiktiniam įvykiui. Šiuo atveju, todėl ir todėl

Taigi bet kokio įvykio tikimybė patenkina nelygybes

Santykinis įvykio dažnis yra bandymų, kurių metu įvykis įvyko, skaičiaus ir bendro faktiškai atliktų bandymų skaičiaus santykis.

Taigi santykinis įvykio A dažnis nustatomas pagal formulę

čia m – įvykio atvejų skaičius, n – bendras bandymų skaičius.

Palyginus tikimybės ir santykinio dažnio apibrėžimus, darome išvadą: tikimybės apibrėžimas nereikalauja, kad testai būtų iš tikrųjų atlikti; Santykinio dažnio nustatymas daro prielaidą, kad bandymai iš tikrųjų buvo atlikti.

3 pavyzdys. Iš 80 atsitiktinai atrinktų vienodų dalių buvo nustatytos 3 sugedusios. Santykinis sugedusių dalių dažnis yra

4 pavyzdys. Per metus viename iš objektų buvo atlikti 24 patikrinimai, užregistruota 19 teisės pažeidimų. Santykinis teisės pažeidimų dažnis yra

Ilgalaikiai stebėjimai parodė, kad jei eksperimentai atliekami identiškomis sąlygomis, kurių kiekviename bandymų skaičius yra gana didelis, tai santykinis dažnis kinta mažai (kuo mažiau, tuo daugiau bandymų atliekama), svyruojant apie tam tikrą konstantą. numerį. Paaiškėjo, kad šis pastovus skaičius yra įvykio tikimybė.

Taigi, jei santykinis dažnis nustatomas eksperimentiškai, gautas skaičius gali būti laikomas apytiksle tikimybės verte. Tai yra statistinis tikimybės apibrėžimas.

Pabaigoje pažvelkime į geometrinį tikimybės apibrėžimą.

Jei elementariųjų įvykių erdvė laikoma tam tikra plokštumos arba erdvės plotu, o A jos poaibiu, tai įvykio A tikimybė bus laikoma A ir, plotų arba tūrių santykiu ir bus rasta. pagal šias formules:

Klausimai dėl kartojimo ir kontrolės:

1. Į kokias klases skirstomi gamtos ir visuomenės dėsniai pagal priežastinių ryšių pasireiškimo formą?

2. Į kokius renginių tipus galima skirstyti?

3. Kas yra tikimybių teorijos dalykas?

4. Ką žinote apie tikimybių teorijos raidos istoriją?

5. Kokia tikimybių teorijos reikšmė ekonominiams ir techniniams uždaviniams?

6. Kas yra eksperimentas, testas, elementarus įvykis ir įvykis, kaip jie įvardijami?

7. Kas vadinama elementariųjų įvykių erdve?

8. Kaip nustatoma įvykio tikimybė?

9. Kokias tikimybės savybes žinai?

10. Ką žinote apie santykinį įvykio dažnumą?

11. Kokia yra statistinio tikimybės apibrėžimo esmė?

12. Koks yra geometrinis tikimybės apibrėžimas?

A. N. Kolmogorovo biografija ir darbai

Elementarioji tikimybių teorija yra ta tikimybių teorijos dalis, kurioje tenka spręsti tik baigtinio įvykių skaičiaus tikimybes. Tikimybių teorija kaip matematinė disciplina...

Vektorinė erdvė. Linijinio programavimo uždavinių sprendimas grafiškai

Dabar pažvelkime į keletą linijinio programavimo problemų ir išspręskime jas grafiškai. 1 uždavinys. max Z = 1+ - , . Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad šios problemos nelygybių sistema apibrėžtos pusplokštumos neturi bendrų taškų (2 pav.)