Instrukcijos

Pakeitimo metodas Išreikškite vieną kintamąjį ir pakeiskite jį kita lygtimi. Galite išreikšti bet kurį kintamąjį savo nuožiūra. Pavyzdžiui, išreikškite y iš antrosios lygties:
x-y=2 => y=x-2 Tada viską pakeiskite pirmąja lygtimi:
2x+(x-2)=10 Perkelti viską be „x“ į dešinėje pusėje ir paskaičiuoti:
2x+x=10+2
3x=12 Tada, norėdami gauti x, padalykite abi lygties puses iš 3:
x=4 Taigi, radote „x. Raskite „y. Norėdami tai padaryti, pakeiskite "x" į lygtį, iš kurios išreiškėte "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Atlikite patikrinimą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite gautas reikšmes į lygtis:
2*4+2=10
4-2=2
Nežinomieji buvo rasti teisingai!

Lygčių pridėjimo arba atėmimo būdas Nedelsdami atsikratykite bet kurio kintamojo. Mūsų atveju tai lengviau padaryti naudojant „y.
Kadangi „y“ yra „+“ ženklas, o antrajame „-“, tuomet galite atlikti sudėjimo operaciją, t.y. kairėje pusėje pridėkite jį prie kairiojo, o dešiniąją pridėkite prie dešiniojo:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertuoti:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Pakeiskite „x“ į bet kurią lygtį ir raskite „y“:
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2Pagal 1-ąjį metodą matote, kad jie buvo rasti teisingai.

Jei nėra aiškiai apibrėžtų kintamųjų, tada lygtis reikia šiek tiek transformuoti.
Pirmoje lygtyje turime „2x“, o antroje tiesiog turime „x“. Kad sudėjus x būtų sumažintas, antrą lygtį padauginkite iš 2:
x-y=2
2x-2y=4 Tada iš pirmosios lygties atimkite antrąją:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Atkreipkite dėmesį, kad jei prieš skliaustelį yra minusas, tada atidarę pakeiskite jį į priešingą:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
rasti y=2x išreikšdami iš bet kurios lygties, t.y.
x=4

Video tema

2 patarimas: kaip išspręsti dviejų kintamųjų tiesinę lygtį

Lygtis, parašytas bendra forma ax+bу+c=0, vadinamas tiesine lygtimi su dviem kintamieji. Pačioje lygtyje yra begalinis rinkinys sprendinius, todėl uždaviniuose jis visada kažkuo papildomas – kita lygtimi arba ribinėmis sąlygomis. Atsižvelgdami į užduoties sąlygas, išspręskite tiesinę lygtį su dviem kintamieji turėtų įvairiais būdais.

Jums reikės

• - tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais;
• - antroji lygtis arba papildomos sąlygos.

Instrukcijos

Jei duota sistema iš dviejų tiesines lygtis, išspręskite taip. Pasirinkite vieną iš lygčių, kurioje yra koeficientai kintamieji mažesnis ir išreikškite vieną iš kintamųjų, pavyzdžiui, x. Tada šią reikšmę, kurioje yra y, pakeiskite antrąja lygtimi. Gautoje lygtyje bus tik vienas kintamasis y, visas dalis su y perkelkite į kairę, o laisvąsias - į dešinę. Raskite y ir pakeiskite bet kurią iš pradinių lygčių, kad rastumėte x.

Yra dar vienas būdas išspręsti dviejų lygčių sistemą. Padauginkite vieną iš lygčių iš skaičiaus, kad vieno iš kintamųjų, pvz., x, koeficientas būtų vienodas abiejose lygtyse. Tada atimkite vieną iš lygčių iš kitos (jei dešinė nelygi 0, nepamirškite atimti ir dešiniąsias puses). Pamatysite, kad kintamasis x išnyko ir liko tik vienas y kintamasis. Išspręskite gautą lygtį ir rastą y reikšmę pakeiskite bet kuria iš pradinių lygčių. Rasti x.

Trečias būdas išspręsti dviejų tiesinių lygčių sistemą yra grafinis. Nubraižykite koordinačių sistemą ir nubrėžkite dvi eilutes, kurių lygtys pateiktos jūsų sistemoje. Norėdami tai padaryti, pakeiskite bet kurias dvi x reikšmes į lygtį ir raskite atitinkamą y - tai bus linijai priklausančių taškų koordinatės. Patogiausias būdas rasti sankirtą su koordinačių ašimis yra tiesiog pakeisti reikšmes x=0 ir y=0. Šių dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės bus užduotys.

Jei uždavinio sąlygose yra tik viena tiesinė lygtis, tada jums buvo pateiktos papildomos sąlygos, per kurias galite rasti sprendimą. Atidžiai perskaitykite problemą, kad sužinotumėte šias sąlygas. Jeigu kintamieji x ir y nurodo atstumą, greitį, svorį – drąsiai nustatykite ribą x≥0 ir y≥0. Visai gali būti, kad x arba y slepia obuolių skaičių ir pan. – tada reikšmės gali būti tik . Jei x yra sūnaus amžius, aišku, kad jis negali būti vyresnis už savo tėvą, todėl nurodykite tai problemos sąlygose.

Šaltiniai:

• kaip išspręsti lygtį su vienu kintamuoju

Savaime lygtis su trimis nežinomas turi daug sprendinių, todėl dažniausiai jis papildomas dar dviem lygtimis arba sąlygomis. Priklausomai nuo to, kokie yra pradiniai duomenys, labai priklausys sprendimo eiga.

Jums reikės

• - trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais.

Instrukcijos

Jei dvi iš trijų sistemų turi tik du iš trijų nežinomųjų, pabandykite išreikšti kai kuriuos kintamuosius kitais ir pakeisti juos į lygtis su trimis nežinomas. Jūsų tikslas šiuo atveju yra paversti jį normaliu lygtis su nepažįstamu asmeniu. Jei tai yra , tolesnis sprendimas yra gana paprastas - pakeiskite rastą reikšmę kitomis lygtimis ir suraskite visus kitus nežinomus.

Kai kurias lygčių sistemas iš vienos lygties galima atimti kita. Pažiūrėkite, ar galima padauginti vieną iš arba kintamąjį, kad du nežinomieji būtų atšaukti vienu metu. Jei yra tokia galimybė, pasinaudokite ja, greičiausiai, tolesnis sprendimas nebus sunkus. Atminkite, kad dauginant iš skaičiaus, turite dauginti ir kairę, ir dešinę pusę. Taip pat, atimdami lygtis, turite atsiminti, kad reikia atimti ir dešinę pusę.

Jei ankstesni metodai nepadėjo, naudokite bendru būdu bet kokių lygčių su trimis sprendiniai nežinomas. Norėdami tai padaryti, perrašykite lygtis į formą a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Dabar sukurkite x (A) koeficientų matricą, nežinomųjų (X) ir laisvųjų kintamųjų (B) matricą. Atkreipkite dėmesį, kad padauginę koeficientų matricą iš nežinomųjų matricos, gausite matricą, matricą nemokami nariai, tai yra, A*X=B.

Raskite matricą A prie laipsnio (-1) pirmiausia radę , atkreipkite dėmesį, kad ji neturėtų būti lygus nuliui. Po to gautą matricą padauginkite iš matricos B, todėl gausite norimą matricą X, nurodydami visas reikšmes.

Taip pat galite rasti trijų lygčių sistemos sprendimą naudodami Cramerio metodą. Norėdami tai padaryti, raskite sistemos matricą atitinkantį trečiosios eilės determinantą ∆. Tada iš eilės raskite dar tris determinantus ∆1, ∆2 ir ∆3, pakeisdami laisvųjų terminų reikšmes vietoj atitinkamų stulpelių reikšmių. Dabar raskite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Šaltiniai:

• lygčių su trimis nežinomaisiais sprendiniai

Lygčių sistemos sprendimas yra sudėtingas ir įdomus. Kaip sudėtingesnė sistema, tuo įdomiau ją išspręsti. Dažniausiai matematikoje vidurinę mokyklą yra lygčių sistemų su dviem nežinomaisiais, bet aukštoji matematika kintamųjų gali būti ir daugiau. Sistemas galima išspręsti keliais būdais.

Instrukcijos

Dažniausias lygčių sistemos sprendimo būdas yra pakaitalai. Norėdami tai padaryti, turite išreikšti vieną kintamąjį kitu ir pakeisti jį antruoju lygtis sistemas, todėl pirmauja lygtisį vieną kintamąjį. Pavyzdžiui, pateikiamos šios lygtys: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Iš antrosios išraiškos patogu išreikšti vieną iš kintamųjų, visa kita perkeliant į dešinę išraiškos pusę, nepamirštant pakeisti koeficiento ženklo: x = 3-y.

Atidarykite skliaustus: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Gautą reikšmę y pakeičiame į išraišką: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Pirmoje išraiškoje visi terminai yra 2, galite dėti 2 iš skliaustų paskirstymo nuosavybė daugyba: 2*(2x-y-3)=0. Dabar abi išraiškos dalis galima sumažinti šiuo skaičiumi, o tada išreikšti y, nes jos modulio koeficientas yra lygus vienetui: -y = 3-2x arba y = 2x-3.

Kaip ir pirmuoju atveju, mes pakeičiame ši išraiška antrajame lygtis ir gauname: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Pakeiskite gautą reikšmę į išraišką: y=2x-3;y=4-3=1.

Matome, kad y koeficientas yra vienodas, bet skiriasi ženklu, todėl, sudėjus šias lygtis, visiškai atsikratysime y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 pakeiskite x reikšmę į bet kurią iš dviejų sistemos lygčių ir gaukite y=1.

Video tema

Bikvadratinis lygtis atstovauja lygtis ketvirtasis laipsnis, bendras vaizdas kuri pavaizduota išraiška ax^4 + bx^2 + c = 0. Jo sprendimas pagrįstas nežinomųjų pakeitimo metodo naudojimu. IN šiuo atveju x^2 pakeičiamas kitu kintamuoju. Taigi rezultatas yra įprastas kvadratas lygtis, kurią reikia išspręsti.

Instrukcijos

Išspręskite kvadratinį lygtis, atsirandantis dėl pakeitimo. Norėdami tai padaryti, pirmiausia apskaičiuokite vertę pagal formulę: D = b^2? 4ac. Šiuo atveju kintamieji a, b, c yra mūsų lygties koeficientai.

Raskite šaknis bikvadratinė lygtis. Norėdami tai padaryti, paimkite gautų sprendimų kvadratinę šaknį. Jei buvo vienas sprendimas, tada bus du - teigiamas ir neigiama vertė kvadratinė šaknis. Jei būtų du sprendiniai, bikvadratinė lygtis turės keturias šaknis.

Video tema

Vienas iš klasikiniai metodai tiesinių lygčių sistemų sprendimas yra Gauso metodas. Tai slypi nuosekli atskirtis kintamieji, kai naudojama lygčių sistema paprastos transformacijos yra išverstas į pakopinę sistemą, iš kurios paeiliui randami visi kintamieji, pradedant nuo paskutinio.

Instrukcijos

Pirma, įveskite lygčių sistemą į tokią formą, kai visi nežinomieji yra griežtai išdėstyti. tam tikra tvarka. Pavyzdžiui, visi nežinomi X bus rodomi pirmiausia kiekvienoje eilutėje, visi Y bus po X, visi Z bus po Y ir pan. Dešinėje kiekvienos lygties pusėje neturėtų būti nežinomųjų. Protiškai nustatykite koeficientus prieš kiekvieną nežinomą, taip pat koeficientus kiekvienos lygties dešinėje.

Paliko atsakymą Svečias

Su vienu kauliukai situacija nepadoriai paprasta. Priminsiu, kad tikimybė randama pagal formulę P=m/n
P
=
m
n
, kur n
n
- visų vienodai galimų skaičius elementarius rezultatus eksperimentuoti su kauliuko ar kauliuko metimu, ir m
m
- įvykiui palankių rezultatų skaičius.

1 pavyzdys: kauliukas metamas vieną kartą. Kokia tikimybė, kad taip atsitiko lyginis skaičius akinius?

Kadangi kauliukas yra kubas (taip pat sakoma, kad įprastas kauliukas, t. y. subalansuotas kauliukas, kad jis vienoda tikimybe nusileistų į visas puses), kubas turi 6 puses (taškų skaičius nuo 1 iki 6, paprastai nurodomas taškais), tada Ir bendras skaičius problemos rezultatai n=6
n
=
6
. Vieninteliai įvykiui palankūs rezultatai yra tie, kai atsiranda pusė su 2, 4 arba 6 taškais (tik lyginiai skaičiai), tokių pusių yra m=3
m
=
3
. Tada reikiamoji tikimybė yra P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

2 pavyzdys. Metamas kauliukas. Raskite bent 5 taškų ridenimo tikimybę.

Mes mąstome taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje. Bendras vienodai galimų baigčių skaičius metant kauliuką n=6
n
=
6
, o sąlyga „išmesti bent 5 taškai“, tai yra „išmesti 5 arba 6 taškai“ tenkinama 2 rezultatais, m=2
m
=
2
. Reikalinga tikimybė P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Net nematau prasmės pateikti daugiau pavyzdžių, pereikime prie dviejų kauliukų, kur viskas tampa įdomiau ir sudėtingiau.

Du kauliukai

Kada mes kalbame apie Problemoms, susijusioms su 2 kauliukų metimu, labai patogu naudoti taškų lentelę. Horizontaliai nubraižykime taškų, kurie krito ant pirmojo kauliuko, skaičių, o vertikaliai – ant antrojo kauliuko kritusių taškų skaičių. Gaukime kažką panašaus (aš dažniausiai tai darau programoje „Excel“, galite atsisiųsti failą žemiau):

2 kauliukų ridenimo taškų lentelė
Klausiate, kas yra lentelės langeliuose? Ir tai priklauso nuo to, kokią problemą spręsime. Bus užduotis apie taškų sumą - ten rašysime sumą, apie skirtumą - rašysime skirtumą ir pan. Pradėkime?

3 pavyzdys: vienu metu metami 2 kauliukai. Raskite tikimybę, kad bendra suma bus mažesnė nei 5 taškai.

Pirmiausia pažvelkime į bendrą eksperimento rezultatų skaičių. kai metėme vieną kauliuką, viskas buvo akivaizdu, 6 pusės - 6 rezultatai. Čia jau yra du kauliukai, todėl rezultatai gali būti pavaizduoti kaip sutvarkytos (x,y) formos skaičių poros.
x
,
y
, kur x
x
- kiek taškų buvo išmesta ant pirmo kauliuko (nuo 1 iki 6), y
y
- kiek taškų buvo išmesta ant antrojo kauliuko (nuo 1 iki 6). Akivaizdu, kad tokių skaičių porų bus n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(ir juos atitinka lygiai 36 langeliai rezultatų lentelėje).

Dabar laikas užpildyti lentelę. Kiekviename langelyje įvedame ant pirmo ir antrojo kauliukų išmestų taškų sumą ir gauname tokį vaizdą:

taškų sumos lentelė metant 2 kauliukus
Dabar ši lentelė padės mums rasti įvykiui palankių rezultatų skaičių „iš viso pasirodys mažiau nei 5 taškai“. Norėdami tai padaryti, suskaičiuojame langelių skaičių, kurių suma yra mažesnė nei 5 (ty 2, 3 arba 4). Aiškumo dėlei nuspalvinkime šias ląsteles, bus m=6
m
=
6
:

lentelė bendrų taškų mažiau nei 5 metant 2 kauliukus
Tada tikimybė yra tokia: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

4 pavyzdys. Mesti du kauliukai. Raskite tikimybę, kad taškų skaičiaus sandauga dalijasi iš 3.

Sudarome ant pirmojo ir antrojo kauliukų išmestų taškų produktų lentelę. Iš karto paryškiname tuos skaičius, kurie yra 3 kartotiniai:

Taškų sandaugos metant 2 kauliukus lentelė
Belieka tik užsirašyti, kad bendras baigčių skaičius yra n=36
n
=
36
(žr. ankstesnį pavyzdį, motyvai yra tokie patys), o palankių rezultatų skaičius (tamsesnių langelių skaičius aukščiau esančioje lentelėje) m=20
m
=
20
. Tada įvykio tikimybė bus lygi P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Kaip matote, tokio tipo problemas, tinkamai pasiruošus (pažvelkime į dar keletą problemų), galima greitai ir paprastai išspręsti. Dėl įvairovės atlikime dar vieną užduotį su kita lentele (visas lenteles galima atsisiųsti puslapio apačioje).

5 pavyzdys: kauliukas metamas du kartus. Raskite tikimybę, kad pirmojo ir antrojo kauliukų taškų skaičiaus skirtumas bus nuo 2 iki 5.

Užsirašykime balų skirtumų lentelę, pažymime joje esančius langelius, kuriuose skirtumo reikšmė bus nuo 2 iki 5:

taškų skirtumo metant 2 kauliukus lentelė
Taigi bendras vienodai galimų elementarių baigčių skaičius yra n=36
n
=
36
, o palankių rezultatų skaičius (nuspalvintų langelių skaičius aukščiau esančioje lentelėje) m=10
m
=
10
. Tada įvykio tikimybė bus lygi P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Taigi, tuo atveju, kai kalbame apie 2 kauliukų metimą ir paprastas įvykis, reikia sukurti lentelę, joje pasirinkti reikiamus langelius ir padalyti jų skaičių iš 36, tokia tikimybė bus. Be taškų sumos, sandaugos ir skirtumo uždavinių, taip pat kyla problemų dėl skirtumo modulio, mažiausio ir didžiausio ištrauktų taškų skaičiaus (tinkamas lenteles rasite Excel faile).

Visose užduotyse B6 įjungta tikimybių teorija, kurie pateikiami Atidaryti užduočių banką, reikia susirasti tikimybė bet koks įvykis.

Reikia žinoti tik vieną formulę, kuris naudojamas skaičiuojant tikimybė:

Šioje formulėje p - įvykio tikimybė,

k- mus „tenkinančių“ įvykių skaičius kalba tikimybių teorija jie vadinami palankių rezultatų.

n- visų skaičius galimi įvykiai, arba visų galimų rezultatų skaičius.

Akivaizdu, kad visų galimų įvykių skaičius yra didesnis nei palankių rezultatų, taigi tikimybė yra reikšmė, mažesnė arba lygi 1.

Jeigu tikimybėįvykis lygus 1, tai reiškia, kad šį įvykį tikrai įvyks. Toks įvykis vadinamas patikimas. Pavyzdžiui, tai, kad po sekmadienio bus pirmadienis, deja, patikimas įvykis ir jo tikimybė yra 1.

Didžiausi sunkumai sprendžiant uždavinius kyla būtent ieškant skaičių k ir n.

Žinoma, kaip ir sprendžiant bet kokias problemas, sprendžiant problemas toliau tikimybių teorija Turite atidžiai perskaityti sąlygą, kad teisingai suprastumėte, kas duota ir ką reikia rasti.

Pažvelkime į keletą problemų sprendimo pavyzdžių iš Atidarykite banką užduotys .

1 pavyzdys. IN atsitiktinis eksperimentas metami du kauliukai. Raskite tikimybę, kad iš viso bus 8 taškai. Rezultatą suapvalinkite iki artimiausio šimtosios dalies.

Tegul pirmasis kauliukas meta vieną tašką, tada antrasis kauliukas gali išmesti 6 skirtingus variantus. Taigi, kadangi pirmasis kauliukas turi 6 skirtingus paviršius, bendras skirtingų variantų skaičius yra 6x6=36.

Bet nesame viskuo patenkinti. Pagal uždavinio sąlygas ištrauktų taškų suma turi būti lygi 8. Sukurkime palankių rezultatų lentelę:

Matome, kad mums tinkamų rezultatų skaičius yra 5.

Taigi tikimybė, kad iš viso atsiras 8 taškai, yra 5/36=0,13(8).

Dar kartą perskaitome problemos klausimą: rezultatas turi būti suapvalintas iki šimtųjų dalių.

Prisiminkime apvalinimo taisyklė.

Turime suapvalinti iki artimiausios šimtosios. Jei kitoje vietoje po šimtųjų (ty tūkstantųjų) yra skaičius, kuris yra didesnis arba lygus 5, tada prie šimtosiose esančio skaičiaus pridedame 1, jei šis skaičius yra mažesnis nei 5; tada skaičius šimtojoje vietoje paliekamas nepakitęs.

Mūsų atveju tūkstantinėje vietoje esantis skaičius yra 8, todėl šimtojoje vietoje esantį skaičių 3 padidiname 1.

Taigi, p=5/36 ≈0,14

Atsakymas: 0,14

2 pavyzdys. Gimnastikos čempionate dalyvauja 20 sportininkų: 8 iš Rusijos, 7 iš JAV, likusieji iš Kinijos. Gimnastų pasirodymo tvarka nustatoma burtų keliu. Raskite tikimybę, kad pirmasis rungtyniaujantis sportininkas yra iš Kinijos.

Šioje užduotyje galimų baigčių skaičius yra 20 – tiek visų sportininkų.

Raskime palankių rezultatų skaičių. Tai lygu moterų sportininkių iš Kinijos skaičiui.

Taigi,

Atsakymas: 0,25

3 pavyzdys: iš 1000 parduotų sodo siurblių vidutiniškai 5 nutekėjo. Raskite tikimybę, kad vienas atsitiktinai valdymui parinktas siurblys nenutekės.

Šioje užduotyje n=1000.

Mus domina netekantys siurbliai. Jų skaičius 1000-5=995. Tie.

Kita populiari tikimybių teorijos problema (kartu su monetų metimo problema) yra kauliukų mėtymo problema.

Dažniausiai užduotis skamba taip: metamas vienas ar keli kauliukai (dažniausiai 2, rečiau 3). Reikia rasti tikimybę, kad taškų skaičius yra 4, arba taškų suma yra 10, arba taškų skaičiaus sandauga dalijasi iš 2, arba taškų skaičiai skiriasi iš 3 ir pan.

Pagrindinis sprendimo būdas panašias užduotis- naudoti klasikinę tikimybių formulę, kurią analizuosime naudodami toliau pateiktus pavyzdžius.

Susipažinę su sprendimo būdais, galite atsisiųsti itin naudingą 2 kauliukų metimo sprendimą (su lentelėmis ir pavyzdžiais).

Vienas kauliukas

Su vienu kauliuku situacija nepadoriai paprasta. Leiskite jums priminti, kad tikimybė randama pagal formulę $P=m/n$, kur $n$ yra visų vienodai galimų elementarių eksperimento su kubo ar kauliuko metimu rezultatų skaičius, o $m$ yra skaičius tų rezultatų, kurie palankūs įvykiui.

1 pavyzdys. Kauliukas metamas vieną kartą. Kokia tikimybė, kad bus išmestas lyginis taškų skaičius?

Kadangi kauliukas yra kubas (jie taip pat sako sąžiningi kauliukai, tai yra, kubas yra subalansuotas, todėl jis patenka į visas puses su ta pačia tikimybe), kubas turi 6 puses (su taškų skaičiumi nuo 1 iki 6, paprastai nurodomi taškai), tada bendras rezultatų skaičius problema yra $n=6$. Vieninteliai įvykiui palankūs rezultatai yra tada, kai iškrenta pusė, turinti 2, 4 arba 6 taškus (tik net vienus), tokių pusių yra $m=3$. Tada norima tikimybė lygi $P=3/6=1/2=0,5$.

2 pavyzdys. Kauliukai metami. Raskite bent 5 taškų ridenimo tikimybę.

Mes mąstome taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje. Bendras vienodai galimų baigčių skaičius metant kauliuką yra $n=6$, o sąlyga „išmesti bent 5 taškai“, tai yra „išmesti 5 arba 6 taškai“ tenkinama 2 rezultatais, $m = 2 USD. Reikalinga tikimybė yra $P=2/6=1/3=0,333$.

Net nematau prasmės pateikti daugiau pavyzdžių, pereikime prie dviejų kauliukų, kur viskas tampa įdomiau ir sudėtingiau.

Du kauliukai

Kalbant apie problemas, susijusias su 2 kauliukų ridenimu, juo labai patogu naudotis taškų lentelė. Horizontaliai nubraižykime taškų, kurie krito ant pirmo kauliuko, skaičių, o vertikaliai – ant antrojo kauliuko kritusių taškų skaičių. Gaukime kažką panašaus (aš dažniausiai tai darau programoje Excel, galite atsisiųsti failą):

Klausiate, kas yra lentelės langeliuose? Ir tai priklauso nuo to, kokią problemą spręsime. Bus užduotis apie taškų sumą - ten rašysime sumą, apie skirtumą - rašysime skirtumą ir pan. Pradėkime?

3 pavyzdys. Vienu metu metami 2 kauliukai. Raskite tikimybę, kad bendra suma bus mažesnė nei 5 taškai.

Pirmiausia pažvelkime į bendrą eksperimento rezultatų skaičių. kai metėme vieną kauliuką, viskas buvo akivaizdu, 6 pusės - 6 rezultatai. Čia jau yra du kauliukai, todėl rezultatai gali būti pavaizduoti kaip $(x,y)$ formos skaičių poros, kur $x$ yra kiek taškų krito ant pirmo kauliuko (nuo 1 iki 6), $ y$ – kiek taškų krito ant antrojo kauliuko (nuo 1 iki 6). Akivaizdu, kad bendras tokių skaičių porų skaičius bus $n=6\cdot 6=36$ (ir jos atitinka tiksliai 36 langelius rezultatų lentelėje).

Dabar laikas užpildyti lentelę. Kiekviename langelyje įvedame ant pirmo ir antrojo kauliukų išmestų taškų sumą ir gauname tokį vaizdą:

Dabar ši lentelė padės mums rasti įvykiui palankių rezultatų skaičių „iš viso pasirodys mažiau nei 5 taškai“. Norėdami tai padaryti, suskaičiuojame langelių skaičių, kurių suma yra mažesnė nei 5 (ty 2, 3 arba 4). Aiškumo dėlei nuspalvinkime šiuos langelius, bus $m=6$:

Tada tikimybė lygi: $P=6/36=1/6$.

4 pavyzdys. Mesti du kauliukai. Raskite tikimybę, kad taškų skaičiaus sandauga dalijasi iš 3.

Sudarome ant pirmojo ir antrojo kauliukų išmestų taškų produktų lentelę. Iš karto paryškiname tuos skaičius, kurie yra 3 kartotiniai:

Belieka tik užsirašyti, kad bendras baigčių skaičius yra $n=36$ (žr. ankstesnį pavyzdį, samprotavimas tas pats), o palankių rezultatų skaičius (nuspalvintų langelių skaičius aukščiau esančioje lentelėje) $ m = 20 $. Tada įvykio tikimybė bus lygi $P=20/36=5/9$.

Kaip matote, tokio tipo problemas, tinkamai pasiruošus (pažvelkime į dar keletą problemų), galima greitai ir paprastai išspręsti. Dėl įvairovės atlikime dar vieną užduotį su kita lentele (visas lenteles galima atsisiųsti puslapio apačioje).

5 pavyzdys. Kauliukai metami du kartus. Raskite tikimybę, kad pirmojo ir antrojo kauliukų taškų skaičiaus skirtumas bus nuo 2 iki 5.

Užsirašykime balų skirtumų lentelę, pažymime joje esančius langelius, kuriuose skirtumo reikšmė bus nuo 2 iki 5:

Taigi bendras vienodai galimų elementarių baigčių skaičius yra $n=36$, o palankių baigčių skaičius (nuspalvintų langelių skaičius aukščiau esančioje lentelėje) yra $m=10$. Tada įvykio tikimybė bus lygi $P=10/36=5/18$.

Taigi, tuo atveju, kai kalbame apie 2 kauliukų metimą ir paprastą įvykį, turite sukurti lentelę, pasirinkti joje reikiamus langelius ir padalyti jų skaičių iš 36, tai bus tikimybė. Be taškų sumos, sandaugos ir skirtumo uždavinių, taip pat yra problemų dėl skirtumo modulio, mažiausio ir didžiausio ištrauktų taškų skaičiaus (tinkamas lenteles rasite).

Kitos problemos dėl kauliukų ir kubelių

Žinoma, šis klausimas neapsiriboja dviem aukščiau aptartomis problemų, susijusių su kauliukų metimu, klasėmis (jomis paprasčiausiai dažniausiai susiduriama probleminėse knygose ir mokymo vadovuose), yra ir kitų. Norėdami įvairovės ir supratimo apie apytikslį sprendimo metodą, mes analizuosime dar tris tipiniai pavyzdžiai: 3 kauliukų metimui, sąlyginei tikimybei ir Bernulio formulei.

6 pavyzdys. Mesti 3 kauliukai. Raskite tikimybę, kad bendra suma yra 15 taškų.

Esant 3 kauliukams, lentelės sudaromos rečiau, nes reikės net 6 vienetų (o ne vieno, kaip aukščiau), jie apsieina tiesiog ieškant reikiamų kombinacijų.

Raskime bendrą eksperimento rezultatų skaičių. Rezultatai gali būti pavaizduoti kaip $(x,y,z)$ formos skaičių trejetai, kur $x$ – kiek taškų krito ant pirmo kauliuko (nuo 1 iki 6), $y$ – kiek taškų krito. ant antrojo kauliuko (nuo 1 iki 6), $z$ – kiek taškų išmeta ant trečio kauliuko (nuo 1 iki 6). Akivaizdu, kad bendras tokių skaičių trigubų skaičius bus $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Dabar išsirinkime rezultatus, kurie iš viso suteikia 15 taškų.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Gavome $ m = 3 + 6 + 1 = 10 $ rezultatus. Reikalinga tikimybė yra $P=10/216=0,046$.

7 pavyzdys. Mesti 2 kauliukai. Raskite tikimybę, kad pirmasis kauliukas meta ne daugiau kaip 4 taškus, jei bendras taškų skaičius yra lygus.

Paprasčiausias būdas išspręsti šią problemą yra vėl naudoti lentelę (viskas bus aišku), kaip ir anksčiau. Išrašome taškų sumų lentelę ir pažymime tik langelius su lygiomis reikšmėmis:

Gauname, kad pagal eksperimento sąlygas yra ne 36, o $n=18$ rezultatai (kai taškų suma lygi).

Dabar iš šių ląstelių Pasirinkime tik tuos, kurie atitinka įvykį „ne daugiau kaip 4 taškai išmesti ant pirmo kauliuko“ – tai iš tikrųjų pirmosiose 4 lentelės eilutėse (paryškintos oranžine spalva) langeliai bus $m= 12 USD.

Reikalinga tikimybė $P=12/18=2/3.$

Tą pačią užduotį galima atlikti nuspręsti kitaip naudojant sąlyginės tikimybės formulę. Įveskime įvykius:
A = taškų skaičiaus suma yra lygi
B = ne daugiau kaip 4 taškai išmesti pirmuoju kauliuku
AB = Taškų suma yra lygi ir pirmuoju kauliuku buvo metama ne daugiau kaip 4 taškai
Tada norimos tikimybės formulė yra tokia: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Tikimybių paieška. Bendras baigčių skaičius yra $n=36$, įvykio A palankių baigčių skaičius (žr. lenteles aukščiau) yra $m(A)=18$, o įvykio AB – $m(AB)=12$. Gauname: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frak(1/3)(1/2)=\frak(2)(3). $$ Atsakymai buvo tie patys.

8 pavyzdys. Kauliukas metamas 4 kartus. Raskite tikimybę, kad lygiai 3 kartus atsiras lyginis taškų skaičius.

Tuo atveju, kai kauliukai meta kelis kartus, o renginys ne apie sumą, produktą ir pan. integralios charakteristikos, bet tik apie lašų skaičius tam tikro tipo, galite jį naudoti tikimybei apskaičiuoti

1.4 - 1.6 uždaviniai

Probleminė sąlyga 1.4

Nurodykite problemos „sprendimo“ klaidą: mesti du kauliukai; raskite tikimybę, kad nubrėžtų taškų suma yra 3 (įvykis A). "Sprendimas". Galimos dvi testo baigtys: ištrauktų taškų suma yra 3, ištrauktų taškų suma nėra lygi 3. Įvykį A palanki viena baigtis, bendras baigčių skaičius yra du. Todėl norima tikimybė lygi P(A) = 1/2.

1.4 problemos sprendimas

Šio „sprendimo“ klaida yra ta, kad aptariami rezultatai nėra vienodai įmanomi. Teisingas sprendimas: Bendras vienodai galimų baigčių skaičius yra lygus (kiekvienas taškų skaičius, metamas ant vieno kauliuko, gali būti derinamas su visais skaičiais, metamais ant kito kauliuko). Tarp šių rezultatų tik du rezultatai palankūs įvykiui: (1; 2) ir (2; 1). Tai reiškia, kad reikiama tikimybė

Atsakymas:

Probleminė sąlyga 1.5

Mesti du kauliukai. Raskite šių įvykių tikimybes: a) nubrėžtų taškų suma yra septyni; b) ištrauktų taškų suma yra aštuoni, o skirtumas - keturi; c) ištrauktų taškų suma yra aštuoni, jei žinoma, kad jų skirtumas yra keturi; d) susuktų taškų suma yra penki, o sandauga yra keturi.

1.5 problemos sprendimas

a) Šeši variantai ant pirmojo kauliuko, šeši ant antrojo. Iš viso variantų: (pagal prekės taisyklę). Sumos, lygios 7, pasirinkimai: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – iš viso šeši variantai. Reiškia,

b) Tik du tinkami variantai: (6.2) ir (2.6). Reiškia,

c) Yra tik du tinkami variantai: (2,6), (6,2). Bet iš viso galimi variantai 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Reiškia,.

d) Jei suma lygi 5, tinka šie variantai: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produktas yra 4 tik dviem variantams. Tada

Atsakymas: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Probleminė sąlyga 1.6

Kubas, kurio visi kraštai spalvoti, supjaustomas į tūkstantį kubelių tokio pat dydžio, kurie po to kruopščiai sumaišomi. Raskite tikimybę, kad sėkmės nubrėžtas kubas turi šias spalvotas veidelius: a) vieną; b) du; c) trys.

1.6 problemos sprendimas

Iš viso susidarė 1000 kubų. Trijų spalvų kubeliai: 8 (tai kampiniai kubeliai). Su dviem spalvotais paviršiais: 96 (nes yra 12 kubo kraštų, kurių kiekviename krašte yra 8 kubeliai). Kauliukai spalvotais krašteliais: 384 (kadangi yra 6 veideliai, o kiekviename yra 64 kubeliai). Belieka kiekvieną rastą kiekį padalyti iš 1000.

Atsakymas: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008