Problemos, susijusios su vektorių sudėjimu ir atėmimu. Vektorių sudėjimas ir atėmimas

Prieš pereidami prie straipsnio temos, prisiminkime pagrindines sąvokas.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas

Vektorius– tiesus segmentas, kuriam būdinga skaitinė reikšmė ir kryptis. Vektorius žymimas mažosiomis raidėmis lotyniška raidė su rodykle viršuje. Priklausomai nuo užimtumo konkrečių taškų ribos, vektoriaus žymėjimas atrodo kaip dvi didžiosios lotyniškos raidės (žyminčios vektoriaus ribas), taip pat su rodykle viršuje.

2 apibrėžimas

Nulinis vektorius– bet kuris plokštumos taškas, žymimas nuliu su rodykle viršuje.

3 apibrėžimas

Vektoriaus ilgis– reikšmė, lygi nuliui arba didesnė už ją, kuri apibrėžia atkarpos, sudarančios vektorių, ilgį.

4 apibrėžimas

Kolineariniai vektoriai– gulėjimas ant vienos linijos arba lygiagrečių linijų. Vektoriai, kurie neatitinka šios sąlygos, vadinami nekolineariniais.

Įvestis: vektoriai a → Ir b →. Norint su jais atlikti papildymo operaciją, būtina nuo savavališkas taškas neapibrėžtas atidėjimo vektorius A B → , lygus vektoriui a →; iš gauto taško neapibrėžtas – vektorius B C →, lygus vektoriui b →. Sujungę neapibrėžtus taškus ir C, gauname atkarpą (vektorių) A C →, kuri bus pradinių duomenų suma. Kitu atveju vadinama aprašyta vektorių sudėjimo schema trikampio taisyklė.

Geometriškai vektoriaus pridėjimas atrodo taip:

Nekolineariniams vektoriams:

Kolineariniams (bendrakrypčiams arba priešingiems) vektoriams:

Remdamiesi aukščiau aprašyta schema, gauname galimybę atlikti vektorių pridėjimo operaciją didesniu nei 2 kiekiu: pridedant kiekvieną paskesnį vektorių paeiliui.

6 apibrėžimas

Įvestis: vektoriai a → , b → , c →, d → . Iš savavališko taško A plokštumoje reikia nubrėžti atkarpą (vektorių), lygią vektoriui a →; tada nuo gauto vektoriaus galo atidedamas vektorius, lygus vektoriui b →; tada tolesni vektoriai išdėstomi tuo pačiu principu. Pabaigos taškas paskutinis atidėtas vektorius bus taškas B, o gauta atkarpa (vektorius) A B →– visų pradinių duomenų suma. Taip pat vadinama aprašyta kelių vektorių pridėjimo schema daugiakampio taisyklė .

Geometriškai tai atrodo taip:

7 apibrėžimas

Atskira veiksmų schema, skirta vektorinė atimtis ne, nes iš esmės vektorinis skirtumas a → Ir b → yra vektorių suma a → Ir - b → .

Norint atlikti veiksmą, padauginus vektorių iš tam tikro skaičiaus k, reikia atsižvelgti į šias taisykles:
- jei k > 1, tai šis skaičius lems, kad vektorius bus ištemptas k kartų;
- jei 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1k kartų;
- jei k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- jei k = 1, tai vektorius lieka toks pat;
– jei vienas iš daugiklių – nulinis vektorius arba skaičius, lygus nuliui, daugybos rezultatas bus nulinis vektorius.

Pradiniai duomenys:
1) vektorius a → ir skaičius k = 2;
2) vektorius b → ir skaičius k = - 1 3 .

Geometriškai daugybos rezultatas pagal aukščiau pateiktas taisykles atrodys taip:

Aukščiau aprašytos operacijos su vektoriais turi savybių, kai kurios iš jų yra akivaizdžios, o kitos gali būti pagrįstos geometriškai.

Įvestis: vektoriai a → , b → , c → ir savavališkas realūs skaičiaiλ ir μ.

Komutatyvumo ir asociatyvumo savybės leidžia pridėti vektorius bet kokia tvarka.

Išvardintos operacijų savybės leidžia atlikti reikiamas vektorinių-skaitinių išraiškų transformacijas panašiai kaip ir įprastas skaitines. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

1 pavyzdys

Užduotis: supaprastinti išraišką a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Sprendimas
- naudodamiesi antrąja paskirstymo savybe, gauname: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- naudokimės asociatyvinė savybė padauginus, išraiška bus tokia: a → - 2 b → - 2 (3 a →) = a → - 2 b → - (2 3) a → = a → - 2 b → - 6 · a →
- naudodamiesi komutatyvumo savybe, sukeičiame terminus: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- tada pirmą kartą paskirstymo nuosavybė gauname: a → - 6 a → - 2 b → = (1 - 6) a → - 2 b → = - 5 a → - 2 b → Trumpas įrašas sprendimas atrodys taip: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Atsakymas: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Apibrėžimas

Vektorių pridėjimas atliekamas pagal trikampio taisyklė.

Suma du vektoriai jie vadina tokį trečiąjį vektorių, kurio pradžia sutampa su pradžia, o pabaiga – su pabaiga, jeigu vektoriaus pabaiga ir vektoriaus pradžia sutampa (1 pav.).

Dėl papildymo vektoriai Taip pat galioja lygiagretainio taisyklė.

Apibrėžimas

Lygiagretaus taisyklė- jei du nekolineariniai vektoriai ir veda į bendra pradžia, tada vektorius sutampa su lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, įstriža (2 pav.). Be to, vektoriaus pradžia sutampa su pateiktų vektorių pradžia.

Apibrėžimas

Vektorius vadinamas priešingas vektoriusį vektorių, jei jis kolinearinis vektorius, lygus jam ilgio, bet nukreiptas priešinga vektoriui kryptimi.

Vektoriaus pridėjimo operacija turi šias savybes:

Apibrėžimas

Pagal skirtumą vektoriai vadinamas vektoriumi, kad būtų įvykdyta sąlyga: (3 pav.).

Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus

Apibrėžimas

Darbas vektorius už skaičių yra vektorius, atitinkantis sąlygas:

Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus savybės:

Čia ir yra savavališki vektoriai ir yra savavališki skaičiai.

Euklido erdvė(Taip pat Euklido erdvė) – pradine prasme erdvė, kurios savybės aprašomos aksiomos Euklido geometrija. Šiuo atveju daroma prielaida, kad erdvė turi matmuo lygus 3.

Šiuolaikine prasme, bendresne prasme, tai gali reikšti vieną iš panašių ir glaudžiai susijusių objektų: baigtinių matmenų tikras vektorinė erdvė su įvestu teigiamu apibrėžtuoju skaliarinis produktas, arba metrinė erdvė, atitinkanti tokią vektorinę erdvę. Šiame straipsnyje pirmasis apibrėžimas bus laikomas atskaitos tašku.

Matmenų euklidinė erdvė taip pat dažnai žymima užrašu (jei iš konteksto aišku, kad erdvė turi euklido struktūrą).

Euklido erdvę lengviausia apibrėžti kaip pagrindinę sąvoką taškinis produktas. Euklido vektoriaus erdvė apibrėžiama kaip baigtinių matmenų vektorinė erdvė baigta lauke realūs skaičiai, kurio vektoriuose jis pateiktas tikrosios vertės funkcija turinčios šias tris savybes:

Afininė erdvė, atitinkanti tokią vektorinę erdvę, vadinama euklidine afinine erdve arba tiesiog euklidine erdve .

Euklido erdvės pavyzdys yra koordinačių erdvė, susidedanti iš visų galimų n-ok realieji skaičiai, kurių skaliarinė sandauga nustatoma pagal formulę

Pagrindas ir vektorinės koordinatės

Pagrindas (Senasis graikasβασις, pagrindas) – aibė tokių vektoriai V vektorinė erdvė, kad bet kuris šios erdvės vektorius gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas formoje linijinis derinys vektoriai iš šio rinkinio - baziniai vektoriai.

Tuo atveju, kai pagrindas yra begalinis, reikia paaiškinti „linijinio derinio“ sąvoką. Tai lemia du pagrindinius apibrėžimo tipus:

Hamelio pagrindu, kurio apibrėžime atsižvelgiama tik į baigtinius tiesinius derinius.

Hamelio pagrindas daugiausia naudojamas abstrakčioje algebroje (ypač tiesinėje algebroje). Schauderio pagrindu , kurio apibrėžime taip pat atsižvelgiama į begalinius tiesinius derinius, būtent į plėtrą. Šis apibrėžimas daugiausia naudojamas funkcinėje analizėje, ypač,

Hilberto erdvė

Baigtinių matmenų erdvėse abiejų tipų pagrindai sutampa. Vektorinės koordinatės linijinis derinys — vienintelio galimo koeficientai vektoriai pagrindinis pasirinktame koordinačių sistema

, lygus šiam vektoriui.

kur yra vektoriaus koordinatės.

Taškinis produktas. operacija dviem vektoriai , kurio rezultatas yra numerį [nagrinėjant vektorius dažnai vadinami skaičiais skaliarai ], nepriklausomas nuo koordinačių sistemos ir charakterizuojantis faktorių vektorių ilgius ir kampe tarp jų. Ši operacija atitinka dauginimą ilgio vektorius x įjungta ilgio projekcija y vektoriusį vektorių . Ši operacija paprastai laikoma komutacinės Ir linijinis

kiekvienam veiksniui. Taškinis produktas

du vektoriai yra lygūs juos atitinkančių koordinačių sandaugų sumai:

Vektorinis meno kūrinys Tai, pseudovektorius statmenai plokštuma sukonstruota iš dviejų veiksnių, o tai yra rezultatas dvejetainė operacija operacija dviem„vektoriaus daugyba“ baigiasi trimis dimensijomis Euklido erdvė . Kryžminis produktas neturi savybių komutacinės komutatyvumas asociatyvumas (yra antikomutacinis ) ir, skirtingai nei vektorių skaliarinė sandauga , yra vektorius. Plačiai naudojamas daugelyje inžinerijos ir fizikos programų. Pavyzdžiui, komutacinės kampinis momentas Lorenco jėga

du vektoriai yra lygūs juos atitinkančių koordinačių sandaugų sumai: matematiškai parašyta kaip vektorinė sandauga. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos modulis yra lygus jų modulių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs. naudojant galima apskaičiuoti du vektorius determinantas

matricos

Mišrus gabalas vektoriai -Mišrus produktas vektorius taškinis produktas įjungta vektoriai vektorinis produktas

Ir: Kartais tai vadinama trigubas skaliarinis produktas vektoriai, matyt, dėl to, kad rezultatas yra skaliarinis (tiksliau -).

pseudoskalarinis Geometrinė reikšmė: Modulis mišrus produktas skaitine prasme lygus tūriui gretasienis operacija dviem ., išsilavinęs mišrus darbas

per determinantą galima rasti tris vektorius

Lėktuvas erdvėje - Lėktuvas algebrinis paviršius pirmas užsakymas: in Dekarto koordinačių sistema plokštuma gali būti nurodyta lygtis

pirmas laipsnis.

Kai kurios būdingos plokštumos savybės Lėktuvas - paviršius , kuriame yra visiškai kiekvienas tiesioginis , jungiantis bet kurį iš jų;

Abi plokštumos yra lygiagrečios arba susikerta tiesia linija.

Tiesi linija yra lygiagreti plokštumai, arba kerta ją viename taške, arba yra plokštumoje.

Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios viena kitai.

Dvi plokštumos, statmenos tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios viena kitai.

Taip pat segmentas komutacinės intervalas, plokštuma, kurioje nėra kraštutinių taškų, gali būti vadinama intervalo plokštuma arba atvira plokštuma.

Bendroji plokštumos lygtis (visa).

kur ir yra konstantos, ir tuo pat metu jos nėra lygios nuliui; V vektorius forma:

kur yra taško spindulio vektorius, vektorius statmena plokštumai (normalusis vektorius). Vadovaikosinusai vektorius:

Standartinis apibrėžimas: „vektorius yra nukreiptas segmentas“. Paprastai tai yra absolvento žinių apie vektorius apimtis. Kam reikalingi „kryptiniai segmentai“?

Bet iš tikrųjų, kas yra vektoriai ir kam jie skirti?
Orų prognozė. „Šiaurės vakarų vėjas, greitis 18 metrų per sekundę. Sutikite, tiek vėjo kryptis (iš kur jis pučia), tiek modulis (ty absoliuti vertė) jo greitis.

Neturintys krypties kiekiai vadinami skaliariniais. Mišios, darbas, elektros krūvis niekur nenukreipta. Jie apibūdinami tik skaitinė reikšmė- „kiek kilogramų“ arba „kiek džaulių“.

Fiziniai kiekiai, kurie turi ne tik absoliuti vertė, bet ir kryptis, vadinami vektoriumi.

Greitis, jėga, pagreitis – vektoriai. Jiems svarbu „kiek“, o „kur“ – svarbu. Pavyzdžiui, pagreitis laisvasis kritimas nukreiptas į Žemės paviršių, o jo dydis yra 9,8 m/s 2. Impulsas, įtampa elektrinis laukas, magnetinio lauko indukcija taip pat yra vektoriniai dydžiai.

Prisiminkite, kad fiziniai dydžiai žymimi lotyniškomis arba graikiškomis raidėmis. Virš raidės esanti rodyklė rodo, kad dydis yra vektorius:

Štai dar vienas pavyzdys.
Automobilis juda iš A į B. Galutinis rezultatas- jo judėjimas iš taško A į tašką B, tai yra judėjimas pagal vektorių.

Dabar aišku, kodėl vektorius yra nukreiptas segmentas. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus galas yra ten, kur yra rodyklė. Vektoriaus ilgis vadinamas šio segmento ilgiu. Nurodoma: arba

Iki šiol dirbome su skaliariniai dydžiai, pagal aritmetikos ir elementariosios algebros taisykles. Vektoriai yra nauja koncepcija. Tai kita klasė matematiniai objektai. Jie turi savo taisykles.

Kažkada mes net nieko nežinojome apie skaičius. Pažintis su jais prasidėjo m jaunesniųjų klasių. Paaiškėjo, kad skaičius galima lyginti vienas su kitu, sudėti, atimti, dauginti ir dalyti. Sužinojome, kad yra skaičius vienas ir skaičius nulis.
Dabar mes susipažinome su vektoriais.

Sąvokos „daugiau“ ir „mažiau“ vektoriams neegzistuoja - juk jų kryptys gali būti skirtingos. Galima palyginti tik vektorių ilgius.

Tačiau egzistuoja vektorių lygybės samprata.
Lygus vadinami vienodo ilgio ir vienodos krypties vektoriai. Tai reiškia, kad vektorius gali būti perkeltas lygiagrečiai sau į bet kurį plokštumos tašką.
Vienišas yra vektorius, kurio ilgis yra 1. Nulis yra vektorius, kurio ilgis lygus nuliui, tai yra, jo pradžia sutampa su pabaiga.

Patogiausia dirbti su vektoriais stačiakampė sistema koordinatės – ta pati, kurioje braižome funkcijų grafikus. Kiekvienas koordinačių sistemos taškas atitinka du skaičius – jo x ir y koordinates, abscisę ir ordinatę.
Vektorius taip pat nurodomas dviem koordinatėmis:

Čia vektoriaus koordinatės rašomos skliausteliuose – x ir y.
Jie randami paprastai: vektoriaus pabaigos koordinatė atėmus jo pradžios koordinatę.

Jei nurodytos vektoriaus koordinatės, jo ilgis randamas pagal formulę

Vektorių papildymas

Yra du vektorių pridėjimo būdai.

1. Lygiagretaus taisyklė. Norėdami pridėti vektorius ir , dedame abiejų ištakas tame pačiame taške. Statome iki lygiagretainio ir iš to paties taško nubrėžiame lygiagretainio įstrižainę. Tai bus vektorių ir .

Prisimenate pasaką apie gulbę, vėžius ir lydekas? Jie labai stengėsi, bet niekada nepajudino vežimėlio. Juk vektorinė jėgų suma, kurią jie taikė vežimėliui, buvo lygi nuliui.

2. Antrasis vektorių pridėjimo būdas yra trikampio taisyklė. Paimkime tuos pačius vektorius ir . Antrojo pradžią pridėsime prie pirmojo vektoriaus pabaigos. Dabar sujungkime pirmojo pradžią ir antrojo pabaigą. Tai vektorių ir suma.

Naudodami tą pačią taisyklę, galite pridėti kelis vektorius. Mes juos išdėstome vieną po kito, o tada sujungiame pirmojo pradžią su paskutinio pabaiga.

Įsivaizduokite, kad einate iš taško A į tašką B, iš B į C, iš C į D, tada į E ir į F. Galutinis šių veiksmų rezultatas yra judėjimas iš A į F.

Sudėjus vektorius gauname:

Vektorinė atimtis

Vektorius nukreiptas priešais vektoriui. Vektorių ir ilgiai yra lygūs.

Dabar aišku, kas yra vektorinė atimtis. Vektorių skirtumas ir yra vektoriaus ir vektoriaus suma.

Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus

Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus k, gaunamas vektorius, kurio ilgis k kartų skiriasi nuo ilgio . Jis yra kartu su vektoriumi, jei k didesnis už nulį, ir yra nukreiptas priešingai, jei k yra mažesnis už nulį.

Taškinė vektorių sandauga

Vektorius galima dauginti ne tik iš skaičių, bet ir vienas iš kito.

Vektorių skaliarinė sandauga yra vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga.

Atkreipkite dėmesį, kad mes padauginome du vektorius, o rezultatas buvo skaliaras, tai yra skaičius. Pavyzdžiui, fizikoje mechaninis darbas lygi dviejų vektorių – jėgos ir poslinkio – skaliarinei sandaugai:

Jei vektoriai statmeni, jų taškinis produktas lygus nuliui.
Ir štai kaip skaliarinė sandauga išreiškiama per vektorių koordinates ir:

Iš skaliarinės sandaugos formulės galite rasti kampą tarp vektorių:

Ši formulė ypač patogi stereometrijoje. Pavyzdžiui, 14 uždavinyje Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikoje reikia rasti kampą tarp susikertančių tiesių arba tarp tiesės ir plokštumos. 14 uždavinys dažnai išsprendžiamas kelis kartus greičiau naudojant vektorinį metodą nei naudojant klasikinį metodą.

IN mokyklos mokymo programa matematikoje jie tiria tik vektorių skaliarinę sandaugą.
Pasirodo, kad, be skaliro, dar yra vektorinis produktas, kai padauginus du vektorius gaunamas vektorius. Kiekvienas, kuris laiko vieningą valstybinį fizikos egzaminą, žino, kas yra Lorenco jėga ir Ampero jėga. Šių jėgų nustatymo formulės apima vektorines sandaugas.

Vektoriai yra labai naudingas matematinis įrankis. Tai pamatysite pirmaisiais metais.

Skaliarinis dydis - Tai fizinis kiekis, kuri turi tik vieną požymį – skaitinę reikšmę.

Skaliarinis dydis gali būti teigiamas arba neigiamas.

Skaliarinių dydžių pavyzdžiai: temperatūra, masė, tūris, laikas, tankis. Matematiniai veiksmai su skaliariniais dydžiais yra algebrinės operacijos.

Vektoriaus kiekis yra fizinis dydis, turintis dvi charakteristikas:

1) skaitinė reikšmė, kuri visada yra teigiama (vektoriaus modulis);

Vektorių fizikinių dydžių pavyzdžiai: greitis, pagreitis, jėga.

Vektoriaus dydis žymimas lotyniška raide ir rodykle virš šios raidės. Pavyzdžiui:

Vektoriaus modulis žymimas taip:

arba - vektoriaus modulis ,

arba - vektoriaus modulis ,

arba - vektoriaus modulis ,

Paveiksle (grafiškai) vektorius pavaizduotas nukreipta tiesės atkarpa. Vektoriaus dydis yra lygus nukreiptos atkarpos ilgiui tam tikroje skalėje.

2.2. Veiksmai su vektoriais

Matematinės operacijos su vektoriniai dydžiai Tai geometriniai veiksmai.

2.2.1 Vektorių palyginimas

Lygi vektoriai. Du vektoriai yra lygūs, jei jie turi:

vienodi moduliai,

tos pačios kryptys.

Priešingi vektoriai. Du vektoriai yra priešingi, jei jie turi:

vienodi moduliai,

priešingomis kryptimis.

2.2.2 Vektoriaus pridėjimas

Geometriškai galime pridėti du vektorius, naudodami lygiagretainio ir trikampio taisyklę.

Tegu pateikiami du vektoriai Ir (žr. paveikslėlį). Raskime šių vektorių sumą +=. Kiekiai Ir yra komponentų vektoriai, vektorius yra gautas vektorius.

Lygiagretainė taisyklė, skirta pridėti du vektorius:

1. Nubrėžkime vektorių .

2. Nubraižykime vektorių kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus pradžia ; kampas tarp vektorių lygus (žr. paveikslėlį).

3. Per vektoriaus galą .

4. Per vektoriaus galą nubrėžkite tiesę, lygiagrečią vektoriui .

Sukūrėme lygiagretainį. Šio lygiagretainio kraštinės yra komponentiniai vektoriai Ir .

5. Iš bendrojo vektoriaus pradžios taško nubrėžkite lygiagretainio įstrižainę ir vektoriaus pradžia .

6. Gauto vektoriaus modulis yra lygus lygiagretainio įstrižainės ilgiui ir nustatomas pagal formulę:

vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pradžia ir vektoriaus pradžia (vektoriaus kryptis parodyta paveiksle).

Trikampio taisyklė, skirta pridėti du vektorius:

1. Nubraižykime komponentų vektorius Ir kad vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga . Šiuo atveju kampas tarp vektorių yra lygus .

2. Gautas vektorius yra nukreiptas taip, kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus pradžia , o galas sutampa su vektoriaus pabaiga .

3. Gauto vektoriaus modulis randamas pagal formulę:

2.2.3 Vektorinė atimtis

Vektorių atėmimas yra atvirkštinis sudėjimas:

Raskite vektoriaus skirtumą ir vektorius - tai tas pats, kas rasti vektoriaus sumą ir vektorius
, priešingai nei vektorius . Skirtumo vektorių galime rasti geometriškai naudodami lygiagretainio taisyklę arba trikampio taisyklę (žr. pav.).

Lygiagretaus taisyklė.

Lygiagretainio kraštinės – vektorius ir vektorius - ; lygiagretainio įstrižainė – skirtumo vektorius
.

Trikampio taisyklė.

Skirtumo vektorius jungia vektoriaus galą ir vektoriaus pabaiga (vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga ).

2.2.4 Vektoriaus padauginimas iš skaliro

Tegu pateiktas vektorius ir skaliarinis. Raskime vektoriaus sandaugą ir skaliarinis vektorius.

Padauginę vektorių iš skaliaro, gauname naują vektorių :

Vektorinė kryptis tokia pati kaip vektoriaus kryptis adresu
.

Vektorinė kryptis priešinga vektoriaus krypčiai adresu
.

Vektorinis modulis n kartų didesnis už vektoriaus modulį , Jei
.

2.3. Taškas ir kryžminis produktas

2.3.1 Taškinis produktas

Iš dviejų vektorių Ir skaliarą galite sudaryti pagal taisyklę:

Ši išraiška vadinama vektorių skaliarine sandauga Ir
, arba
.

Vadinasi, . =
.

Pagal apibrėžimą skaliarinis produktas turi šias savybes:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Kryžminis produktas

Iš dviejų vektorių
Ir
galite sudaryti naują vektorių:

, Kur

Naujo gauto vektoriaus modulis randamas pagal formulę:

.

Ši operacija vadinama vektorių kryžmine sandauga Ir ir yra pažymėtas vienu iš simbolių
arba
.

Formulė taip pat gerai žinoma

,

Kur - kampas tarp vektorių Ir .

Vektorinė kryptis galima rasti naudojant šią techniką. Mes mintyse sujungiame išilginę žiedo ašį (dešinysis varžtas, kamščiatraukis) su statmena plokštumai, kurioje yra padauginti vektoriai (šiame pavyzdyje vektoriai Ir ). Tada pradedame sukti varžto galvutę (kamščiatraukio rankenėlę) trumpiausio sukimosi kryptimi nuo pirmojo faktoriaus iki antrojo, tai yra nuo vektoriaus. į vektorių . Propelerio korpuso judėjimo kryptis bus vektoriaus kryptis . Ši technika vadinama dešiniojo sraigto taisykla arba sraigto taisyklė (žr. paveikslėlį).

Jėgos momentas, kampinis momentas ir kt. išreiškiami vektorine sandauga. Vektorius, skirtingai nei skaliaras, apibrėžiamas trimis skaičiais. Todėl tokios operacijos kaip sudėjimas, atimtis, skaliarinės ir vektorinės sandaugos sumažinamos iki žinomų operacijų su komponentais.