Matematinio modeliavimo objektų pavyzdžiai. Matematinio modelio samprata

Matematinis modeliavimas siaurąja to žodžio prasme suprantamas kaip realių fizikinių, cheminių, technologinių, biologinių, ekonominių ir kitų procesų apibūdinimas lygčių ir nelygybių pavidalu. Norint naudoti matematiniai metodai analizei ir sintezei įvairūs procesai, būtina mokėti apibūdinti šiuos procesus matematikos kalba, tai yra apibūdinti lygčių ir nelygybių sistemos forma.

Matematiniai metodai veikia kaip būdas gauti naujų žinių apie objektą. Tai taikoma ne tik sistemoms. Žvelgdamas atgal, atsigręždamas į mokslo istoriją, mokslininkas mato, kad visa mokslo dinamika gali būti laikoma nuolatinis procesas naujų, pažangesnių ir galingesnių modelių kūrimas. Prigijo mintis, kad „visos žinios yra modeliavimas“ (N. Amosovas). Esant įtakai bendroji teorija sistemos patyrė klasikinių idėjų permąstymą, perkainojimą. Matematinio modeliavimo sąvoka pradėta aiškinti taip plačiai, kad apėmė visą žinių formalizavimą ir matematizavimą. “ Matematinis modelis yra tik specialus apibūdinimo metodas, leidžiantis analizei panaudoti formalųjį loginį matematikos aparatą.(Moisejevas N.N., 1973).

Tačiau modeliai sudėtingi ir didelės sistemos- tai yra kažkas kitokio iš principo, kokybiškai. Analitinio, formalaus-loginio aparato čia nebepakanka. Šiame darbe matematinis modelis suprantamas kaip bet kokia matematinė struktūra, kuri yra didelė ir (arba) sudėtinga. dinamiška sistema ir turintis struktūrinio-funkcinio izomorfizmo savybę tiriamos sistemos (pirminės sistemos) atžvilgiu.

Tarp modeliavimo ir gavimo kiekybinis arba kokybiškus rezultatus matematiniai metodai labai skiriasi. Matematikos panaudojimas tampa įmanomas, kai paaiškėja, ką ir kokiu tikslu nustatyti, vertinti, matuoti, ką ir kaip apdoroti matematiniais metodais. Modelis netinka šiems tikslams. Matematinis modeliavimas nėra matematinio įrankio pritaikymas objektui, tai nėra sprendimas konkrečias užduotis matematinėmis priemonėmis. Tai yra darinys formalūs metodai ir pasitelkiant abstrakčią objektą, izofunkcinį tiriamam objektui, kad vėliau būtų galima taikyti matematinius kiekybinės ir kokybinės analizės metodus. Kartu matematikos kaip kalbos (metateorijos) panaudojimas modeliuojant gautoms išvadoms suteikia parodomosios galios. Modelių konstravimo veikla nepriklauso matematikai ir ją (turėtų) atlikti ne matematikai, o konkrečios žinių srities specialistai.

Norint sukurti sistemos modelį, mums reikia tų prasmingų empirinių idėjų, tų aprašomųjų mokslų, kurie yra prieš formalizuotų mokslų atsiradimą. Šie aprašai nėra įtraukti į formalizuotą mokslą kaip komponentai, o tik palengvina formalizavimo procesą ir praturtina euristines formalizavimo galimybes. Modeliui nereikia išankstinio modeliuojamo objekto aprašymo, nes jis pats yra aprašymo forma.

Modelio ir tikrovės santykis skiriasi nuo tikrovės ir matematinės formulės santykio. Formulė yra hieroglifas, tikrovės ženklas. Modelis yra pati tikrovė. Galima teigti, kad fizikas ar matematikas turi puikų dinamikos jausmą, tikri santykiai, kurios slypi už formulės, nesuvokia jos kaip hieroglifo, be to, šiuolaikinė matematika toli gražu nėra paprasta ir ne tik formulė. Ir vis dėlto mokslininkas negali mąstyti formulėmis. Modelis yra kitas reikalas. Ji turi dinamiką, ji gyvena (ne tik perkeltine, kartais tiesiogine to žodžio prasme). Tyrėjas gali mąstyti modeliais, jis gauna galimybę vaizduotės mąstymas. Modelių pasaulyje susilieja meninis ir loginis tikrovės suvokimas.

Matematinis modeliavimas neatmeta klasikinės matematikos naudojimo, be to, kaip modelio dalis matematika įgyja tokią galią ir universalumą, kuri buvo atimta klasikinėje eroje.

Jei objektą nagrinėsime kaip visumą, apibrėžtą jos išorinės savybės, galime efektyviai naudoti analizės metodai procesų, vykstančių už šios visumos ribų, aprašymai. Tačiau kai tik iškeliame užduotį viduje aprašyti didelę ir (arba) sudėtingą sistemą, aprašyti jos dalių, elementų ir posistemių sąveiką klasikinės matematikos metodais, iškart susiduriame su neįveikiamais sunkumais.

Kita vertus, bandymas apibūdinti tam tikrą sistemą procedūriniais metodais, apskritai, į ją nesiskverbiant vidinė struktūra, savo struktūra ir elementų funkcija, kaip taisyklė, neduos reikšmingo rezultato. Kiekvienas metodas turi savo vietą.

Matematikoje analitinės struktūros pirmiausia turime suprasti, o tada apibūdinti. Modeliuojant, algoritminių procesų matematikoje supratimo priemone dažnai tampa pats to, kas dar nesuvokta, aprašymo procesas.

Matematinis modeliavimas, kaip mokslinių tyrimų metodologija, apjungia įvairių mokslo šakų patirtį apie gamtą ir visuomenę, taikomąją matematiką, informatiką ir sistemos programavimas išspręsti esmines problemas. Matematinis objektų modeliavimas sudėtingas pobūdis– vienas kūrimo ciklas nuo galo iki galo pagrindiniai tyrimai konkrečių skaitinių įrenginių efektyvumo rodiklių skaičiavimų problemos. Tobulėjimo rezultatas yra matematinių modelių sistema, apibūdinanti kokybiškai nevienalyčius objekto funkcionavimo modelius ir jo, kaip visumos, kaip sudėtingos sistemos evoliuciją. skirtingos sąlygos. Skaičiavimo eksperimentai su matematiniais modeliais suteikia pradinius duomenis objekto veiklos rodikliams įvertinti. Todėl matematinis modeliavimas, kaip pagrindinių problemų mokslinio nagrinėjimo organizavimo metodika, yra būtinas kuriant šalies ekonominius sprendimus. (Visų pirma, tai taikoma modeliuojant ekonomines sistemas). Iš esmės matematinis modeliavimas yra naujų sprendimų metodas sudėtingos problemos, todėl matematinio modeliavimo tyrimai turėtų būti aktyvūs. Būtina iš anksto sukurti naujus metodus, apmokyti darbuotojus, galinčius kompetentingai taikyti šiuos metodus naujoms problemoms spręsti. praktines problemas.Matematinis modelis gali atsirasti trimis būdais:1. Tiesioginio faktinio proceso tyrimo rezultatas. Tokie modeliai vadinami fenomenologiniais.2. Dėl išskaičiavimo proceso. Naujas modelis yra specialus kažkokio bendro modelio atvejis. Tokie modeliai vadinami asimptotiniais.3. Dėl indukcijos proceso. Naujasis modelis yra elementarių modelių apibendrinimas. Tokie modeliai vadinami ansamblio modeliais. Modeliavimo procesas prasideda supaprastinto proceso modeliavimu, kuris, viena vertus, atspindi pagrindinį kokybiniai reiškiniai, kita vertus, leidžia pateikti gana paprastą matematinį aprašymą. Gilėjant tyrimams, kuriami nauji modeliai, išsamiau aprašantys reiškinį. Veiksniai, kurie šiame etape laikomi nedideliais, yra atmetami. Tačiau kituose tyrimo etapuose, modeliui tampant sudėtingesniam, jie gali būti įtraukti į svarstymą. Priklausomai nuo tyrimo tikslo, tas pats veiksnys gali būti laikomas pirminiu arba antriniu Matematinis modelis ir realus procesas nėra tapatūs vienas kitam. Paprastai matematinis modelis kuriamas šiek tiek supaprastinant ir šiek tiek idealizuojant. Jis tik apytiksliai atspindi tikrąjį tyrimo objektą, o realaus objekto tyrimo matematiniais metodais rezultatai yra apytiksliai. Tyrimo tikslumas priklauso nuo modelio ir objekto adekvatumo laipsnio bei nuo taikomų skaičiavimo matematikos metodų tikslumo. Matematinių modelių sudarymo schema yra tokia:1. Tiriamo parametro ar funkcijos identifikavimas.2. Įstatymo, kuriam taikoma ši suma, pasirinkimas.3. Pasirinkite sritį, kurioje norite ištirti šį reiškinį.

Teorinė disciplina tampa tiksliuoju mokslu, kai ji veikia su kiekybinėmis charakteristikomis. Po kokybinio modelio aprašymo seka antroji abstrakcijos fazė – kiekybinis modelio aprašymas. Galilėjus Galilėjus taip pat sakė, kad gamtos knyga parašyta matematikos kalba. Immanuelis Kantas pareiškė, kad „kiekviename moksle yra tiek pat tiesos, kiek jame yra matematikos“. O Davidas Hilbertas parašė žodžius: „Matematika − visų tiksliųjų gamtos mokslų pagrindas“.

Matematinis modeliavimas – tai teorinis ir eksperimentinis pažintinės ir kūrybinės veiklos metodas, tai reiškinių, procesų ir sistemų (originalių objektų) tyrimo ir paaiškinimo metodas, pagrįstas naujų objektų – matematinių modelių kūrimu.

Matematinis modelis paprastai suprantamas kaip ryšių (lygčių, nelygybių, loginių sąlygų, operatorių ir kt.) rinkinys, lemiantis modeliuojamo objekto būsenų charakteristikas, o per jas išvesties reikšmes – reakcijas, priklausomai nuo pradinio objekto parametrai, įvesties įtakos , pradinis ir ribines sąlygas, taip pat laikas.

Matematinis modelis, kaip taisyklė, atsižvelgia tik į tas pradinio objekto savybes (atributus), kurios atspindi, apibrėžia ir yra įdomios tikslų ir uždavinių požiūriu. konkrečių tyrimų. Vadinasi, atsižvelgiant į modeliavimo tikslus, nagrinėjant tą patį originalų objektą skirtingais požiūriais ir viduje įvairių aspektų, pastarieji gali turėti skirtingus matematinius aprašymus ir dėl to būti pavaizduoti skirtingais matematiniais modeliais.

Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, pateikiame bendriausią, bet tuo pat metu griežtą konstruktyvus apibrėžimas matematinis modelis, suformulavo P.J. Cohenas.

Apibrėžimas 4.1. Matematinis modelis yra formali sistema, kuri yra baigtinis simbolių rinkinys ir visiškai griežtos šių simbolių veikimo taisyklės kartu su tam tikro objekto savybių aiškinimu tam tikrais ryšiais, simboliais ar konstantomis.

Kaip matyti iš aukščiau pateikto apibrėžimo, baigtinis simbolių rinkinys (abėcėlė) ir visiškai griežtos šių simbolių naudojimo taisyklės (matematinių išraiškų „gramatika“ ir „sintaksė“) lemia abstrakčių matematinių objektų (AMO) susidarymą. Tik interpretacija paverčia šį abstraktų objektą matematiniu modeliu.

Matematinis modelis – tai kiekybinis abstrakčių idėjų apie tiriamą reiškinį ar objektą formalizavimas.

Matematinius modelius galima pavaizduoti įvairiomis matematinėmis priemonėmis:

· realūs arba sudėtingi kiekiai;

· vektoriai, matricos;

· geometriniai vaizdai;

· nelygybės;

· funkcijos ir funkcionalumas;

· rinkiniai, skirtingos lygtys;

· tikimybių pasiskirstymo funkcijos, statistika ir kt.

"IN fizinis mokslas − rašė Thompsonas, − Tiriant bet kurį objektą pirmas ir esminis žingsnis – surasti skaitinio vertinimo principus ir praktiniai metodai tam tikro dydžio, būdingo šiam objektui, matavimas“.

Perėjimas iš pirmosios į antrąją abstrakcijos fazę, t.y. nuo fizinio modelio prie matematinio modelio dažnai išlaisvina modelį nuo specifinių savybių, būdingų tam tikram tiriamam reiškiniui ar objektui. Daugelis matematinių modelių, praradę fizinį ar techninį apvalkalą, įgyja universalumo, t.y. gebėjimas kiekybinis aprašymas procesai, kurie skiriasi savo fizine prigimtimi arba technine objektų paskirtimi. Tai atskleidžia vieną iš svarbiausių tyrimo dalyko matematinio įforminimo savybių, kurios dėka formuluojant ir sprendžiant taikomų problemų daugeliu atvejų nereikia kurti naujo matematinio aparato, bet galima naudoti esamą su reikiamu konkrečią situaciją tobulinimas ir interpretavimas. Taigi išspręsti galima naudoti vieną matematinį modelį didelis skaičius privačios, specifinės užduotys, ir šia prasme ji išreiškia vieną iš pagrindinių praktinių teorijos tikslų.

Žinoma, fizinio modelio kūrimas dažnai yra neatsiejamai susijęs su matematinio modelio konstravimu, ir abu šie procesai atspindi dvi vieno abstrakcijos proceso puses.

Mus supa kompleksas žmogaus sukurti techniniai objektai (techninės sistemos).. Projektuojant naują arba atnaujinant esamą techninę sistemą, sprendžiamos parametrų skaičiavimo ir procesų šioje sistemoje tyrimo problemos. Atliekant daugiamačius skaičiavimus, reali sistema pakeičiama modeliu. Plačiąja prasme modelis apibrėžiamas kaip svarbiausių objekto savybių atspindys.

4 apibrėžimas.2 . Techninio objekto matematinis modelis – tai matematinių objektų ir jų tarpusavio ryšių visuma, adekvačiai atspindinti tyrėją (inžinierių) dominančias tiriamojo objekto savybes.

Modelis gali būti pavaizduotas įvairiais būdais.

Pavyzdinės vaizdavimo formos

· invariantinis – modelio ryšių įrašymas naudojant tradicinę matematinę kalbą, nepriklausomai nuo modelio lygčių sprendimo būdo;

· analitinis – modelio įrašymas kaip rezultatas analitinis sprendimas pradinės modelio lygtys;

· algoritminis – modelio ir pasirinkto skaitinio sprendimo metodo ryšių fiksavimas algoritmo forma;

· schematinis (grafinis) – modelio vaizdavimas ant kai kurių grafine kalba(pavyzdžiui, grafų kalba, ekvivalentinės grandinės, diagramos ir kt.);

· fizinis;

· analoginis;

Matematinis modeliavimas yra labiausiai universalus aprašymas procesus.

Matematinio modeliavimo sąvoka kartais apima problemos sprendimo kompiuteryje procesą (kuris iš esmės nėra visiškai teisingas, nes problemos sprendimas kompiuteryje, be kita ko, apima algoritminio ir programinės įrangos modelio, įgyvendinančio apskaičiavimas pagal matematinį modelį).

Apibrėžimas 4.3.MM yra tiriamo objekto vaizdas, sukurtas tiriamojo galvoje naudojant tam tikras formalias (matematines) sistemas tyrimo (įvertinimo) tikslu. tam tikros savybėsšio objekto.

Leisk kam nors prieštarauti K turi mus dominančio turto C 0 .

Gauti matematinį modelį, aprašantį šis turtas būtina:

1. Nustatykite šios savybės rodiklį(tie. nustatyti tam tikroje matavimo sistemoje esančios savybės matą).

2. Nustatykite savybių sąrašą C 1 , ..., Su m, su kuriuo turtasSU 0 kuriuos sieja kai kurie santykiai (tai gali būti vidines savybes objektas ir objektą veikiančios išorinės aplinkos savybės).

3. Apibūdinkite išorinės aplinkos savybes pasirinktoje formatų sistemoje, kaip išoriniai veiksniai X 1 , ..., x n, turinčios įtakos norimam indikatoriuiY,vidines objekto savybes, pvz., z parametrus 1 , ..., z r ir neapskaitytos savybės priskiriamos neapskaitytiems veiksniams.

4. Sužinokite, jei įmanoma, reguliarius santykius tarpYir į visus veiksnius bei parametrus, į kuriuos atsižvelgta, ir sukurti matematinį aprašymą(modelis).

Tikram objektui būdingas toks funkcinis ryšys tarp jo savybių rodiklių:

Tačiau modelis rodo tik tuos pradinio objekto veiksnius ir parametrus, kurie yra būtini sprendžiant tiriamą problemą. Be to, esminių faktorių ir parametrų matavimuose beveik visada būna klaidų, atsirandančių dėl matavimo priemonių netikslumo ir tam tikrų faktorių nežinojimo. Dėl šios priežasties MM yra tik apytikslis tiriamo objekto savybių aprašymas.

Matematinį modelį taip pat galima apibrėžti kaip abstrakcija tiriamas tikrasis gyvenimas esmė.

Modeliai dažniausiai skiriasi nuo originalų savo vidinių parametrų pobūdžiu. Panašumas slypi atsakymo tinkamume Y modelis ir originalus išorės veiksnių pokyčiams. Todėl bendruoju atveju matematinis modelis yra funkcija

kur - vidinius parametrus modeliai, atitinkantys originalo parametrus.

Priklausomai nuo taikomų metodų matematiniam tiriamų objektų (reiškinių, procesų) aprašymui, MM gali būti analitiniai, loginiai, grafiniai, automatiniai ir kt.

Pagrindinė matematinio modeliavimo problema yra klausimas, kaip tiksliai sudarytas MM atspindi ryšius tarp veiksnių, į kuriuos atsižvelgiama, parametrų ir rodiklio. Y vertinamas nekilnojamojo daikto turtas, t.y. Kaip tiksliai lygtis (4.2) atitinka (4.1) lygtį. Kartais (4.2) lygtis gali būti gaunama iš karto aiškia forma, pavyzdžiui, diferencialinių lygčių sistemos arba kitų aiškių matematinių ryšių forma.

Daugiau sunkių atvejų(4.2) lygties forma nežinoma ir tyrėjo užduotis visų pirma yra rasti šią lygtį. Šiuo atveju įvairūs parametrai apima visus, į kuriuos atsižvelgta, išorinius veiksnius ir tiriamo objekto parametrus, o ieškomi parametrai apima vidinius modelio parametrus, kurie veiksnius susieja su indikatoriumi. Y"labiausiai tikėtinas ryšys. Šios problemos sprendimas yra eksperimento teorija. Šios teorijos esmė yra ta, kad remiantis atrankiniais parametrų verčių matavimais ir indikatorius Y“, suraskite parametrus, kurių funkcija (4.2) tiksliausiai atspindi tikrąjį modelį (4.1).

Šiame straipsnyje mes siūlome matematinių modelių pavyzdžius. Be to, atkreipsime dėmesį į modelių kūrimo etapus ir išanalizuosime kai kurias su matematiniu modeliavimu susijusias problemas.

Kitas mūsų klausimas yra matematiniai ekonomikos modeliai, kurių apibrėžimą pažvelgsime šiek tiek vėliau. Siūlome pradėti pokalbį nuo pačios „modelio“ sąvokos, trumpai apsvarstyti jų klasifikaciją ir pereiti prie pagrindinių klausimų.

Sąvoka "modelis"

Dažnai girdime žodį „modelis“. Kas tai yra? Šis terminas turi daug apibrėžimų, čia yra tik trys iš jų:

• konkretus objektas, sukurtas gauti ir saugoti informaciją, atspindinčią kai kurias šio objekto originalo savybes ar charakteristikas ir pan. (šis konkretus objektas gali būti išreikštas skirtingos formos: mentalinis, aprašymas naudojant ženklus ir pan.);
• Modelis taip pat reiškia konkrečios situacijos, gyvenimo ar valdymo vaizdavimą;
• modelis gali būti nedidelė objekto kopija (jie sukurti daugiau išsamus tyrimas ir analizė, nes modelis atspindi struktūrą ir ryšius).

Remdamiesi viskuo, kas buvo pasakyta anksčiau, galime padaryti nedidelę išvadą: modelis leidžia išsamiai ištirti sudėtingą sistemą ar objektą.

Visi modeliai gali būti klasifikuojami pagal keletą charakteristikų:

• pagal naudojimo sritį (mokomoji, eksperimentinė, mokslinė ir techninė, žaidimų, modeliavimo);
• pagal dinamiką (statinę ir dinaminę);
• pagal žinių šakas (fizinių, cheminių, geografinių, istorinių, sociologinių, ekonominių, matematinių);
• pateikimo būdu (medžiaginė ir informacinė).

Informaciniai modeliai savo ruožtu skirstomi į simbolinius ir žodinius. Ir simbolinius – į kompiuterinius ir nekompiuterinius. Dabar pereikime prie išsamus svarstymas matematinio modelio pavyzdžiai.

Matematinis modelis

Kaip galite atspėti, matematinis modelis atspindi bet kokias objekto ar reiškinio ypatybes, naudodamas specialųjį matematiniai simboliai. Matematika reikalinga tam, kad supančio pasaulio modelius būtų galima sumodeliuoti savo specifine kalba.

Matematinio modeliavimo metodas atsirado gana seniai, prieš tūkstančius metų, kartu su šio mokslo atsiradimu. Tačiau impulsą sukurti šį modeliavimo metodą davė kompiuterių (elektroninių kompiuterių) atsiradimas.

Dabar pereikime prie klasifikavimo. Tai taip pat galima atlikti pagal kai kuriuos ženklus. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Siūlome sustoti ir atidžiau pažvelgti į naujausią klasifikaciją, nes ji atspindi bendruosius modeliavimo modelius ir kuriamų modelių tikslus.

Aprašomieji modeliai

Šiame skyriuje siūlome plačiau panagrinėti aprašomuosius matematinius modelius. Kad viskas būtų labai aišku, bus pateiktas pavyzdys.

Pradėkime nuo to, kad šį požiūrį galima pavadinti aprašomuoju. Taip yra dėl to, kad mes tiesiog atliekame skaičiavimus ir prognozes, bet niekaip negalime įtakoti įvykio baigties.

Ryškus aprašomojo matematinio modelio pavyzdys yra kometos, kuri įsiveržė į mūsų platybes, skrydžio trajektorijos, greičio, atstumo nuo Žemės apskaičiavimas. saulės sistema. Šis modelis yra aprašomasis, nes visi gauti rezultatai gali tik įspėti apie bet kokį pavojų. Deja, negalime įtakoti įvykio rezultato. Tačiau remiantis gautais skaičiavimais, galima imtis bet kokių priemonių gyvybei Žemėje išsaugoti.

Optimizavimo modeliai

Dabar šiek tiek pakalbėsime apie ekonominius ir matematinius modelius, kurių pavyzdžiai gali būti skirtingos dabartinės situacijos. Šiuo atveju kalbame apie modelius, kurie tam tikromis sąlygomis padeda rasti teisingą atsakymą. Jie tikrai turi tam tikrus parametrus. Kad būtų visiškai aišku, pažvelkime į pavyzdį iš žemės ūkio sektoriaus.

Turime klėti, bet grūdai labai greitai genda. Šiuo atveju turime pasirinkti tinkamą temperatūros režimas ir optimizuoti saugojimo procesą.

Taigi galime apibrėžti „optimizavimo modelio“ sąvoką. Matematine prasme tai lygčių sistema (tiek tiesinių, tiek netiesinių), kurių sprendimas padeda rasti optimalų sprendimą konkrečiu atveju. ekonominė padėtis. Pažiūrėjome į matematinio modelio (optimizavimo) pavyzdį, tačiau noriu pridurti: šis tipas priklauso ekstremalių problemų klasei, jos padeda apibūdinti ekonominės sistemos funkcionavimą.

Atkreipkime dėmesį į dar vieną niuansą: modeliai gali būti skirtingo pobūdžio (žr. lentelę žemiau).

Daugiakriteriniai modeliai

Dabar kviečiame šiek tiek pakalbėti apie matematinį daugiakriterinio optimizavimo modelį. Prieš tai pateikėme matematinio modelio, skirto optimizuoti procesą pagal bet kurį vieną kriterijų, pavyzdį, bet kas, jei jų yra daug?

Ryškus daugiakriterinės užduoties pavyzdys – tinkamos, sveikos ir kartu ekonomiškos mitybos organizavimas didelėms žmonių grupėms. Su tokiais uždaviniais dažnai susiduriama kariuomenėje, mokyklų valgyklose, vasaros stovyklose, ligoninėse ir pan.

Kokie kriterijai mums pateikiami atliekant šią užduotį?

1. Mityba turi būti sveika.
2. Maisto išlaidos turėtų būti minimalios.

Kaip matote, šie tikslai visiškai nesutampa. Tai reiškia, kad sprendžiant problemą reikia ieškoti optimalaus sprendimo, balanso tarp dviejų kriterijų.

Žaidimų modeliai

Kalbant apie žaidimų modelius, būtina suprasti „žaidimų teorijos“ sąvoką. Paprasčiau tariant, šie modeliai atspindi matematinius tikrų konfliktų modelius. Jūs tiesiog turite suprasti, kad, skirtingai nei tikras konfliktas, žaidimo matematinis modelis turi savo specifines taisykles.

Dabar pateiksime minimalią informaciją iš žaidimų teorijos, kuri padės suprasti, kas yra žaidimo modelis. Taigi, modelyje būtinai yra vakarėlių (dvi ar daugiau), kurie paprastai vadinami žaidėjais.

Visi modeliai turi tam tikras savybes.

Žaidimo modelis gali būti suporuotas arba keli. Jei turime du dalykus, tada konfliktas yra suporuotas, jei yra daugiau, jis yra daugialypis. Taip pat galite išskirti antagonistinį žaidimą, jis taip pat vadinamas nulinės sumos žaidimu. Tai modelis, kuriame vieno iš dalyvių pelnas yra lygus kito praradimui.

Modeliavimo modeliai

IN šį skyrių atkreipsime dėmesį į simuliacinius matematinius modelius. Užduočių pavyzdžiai:

• mikroorganizmų populiacijos dinamikos modelis;
• molekulinio judėjimo modelis ir pan.

Šiuo atveju kalbame apie modelius, kurie kuo artimesni realiems procesams. Autorius iš esmės, jie imituoja tam tikrą pasireiškimą gamtoje. Pavyzdžiui, pirmuoju atveju galime imituoti skruzdžių skaičiaus dinamiką vienoje kolonijoje. Tuo pačiu metu galite stebėti kiekvieno asmens likimą. Šiuo atveju retai naudojamas matematinis aprašymas, dažniau pateikiamos sąlygos:

• po penkių dienų patelė deda kiaušinėlius;
• po dvidešimties dienų skruzdė miršta ir pan.

Taip naudojamas apibūdinti didelė sistema. Matematinė išvada – tai gautų statistinių duomenų apdorojimas.

Reikalavimai

Labai svarbu žinoti, ką daryti ši rūšis modeliams taikomi tam tikri reikalavimai, įskaitant nurodytus toliau esančioje lentelėje.

Modeliavimo etapai

Iš viso į matematinis modeliavimasĮprasta skirti keturis etapus.

1. Modelio dalis jungiančių dėsnių formulavimas.
2. Matematinių problemų tyrimas.
3. Praktinių ir teorinių rezultatų sutapimo nustatymas.
4. Modelio analizė ir modernizavimas.

Ekonominis ir matematinis modelis

Šiame skyriuje trumpai pabrėšime šią problemą. Užduočių pavyzdžiai:

• didžiausią gamybos pelną užtikrinančios mėsos gaminių gamybos gamybos programos suformavimas;
• organizacijos pelno maksimizavimas apskaičiuojant optimalų baldų gamykloje pagamintų stalų ir kėdžių kiekį ir pan.

Rodomas ekonominis ir matematinis modelis ekonominė abstrakcija, kuris išreiškiamas naudojant matematinius terminus ir ženklai.

Kompiuterinis matematinis modelis

Kompiuterinio matematinio modelio pavyzdžiai:

• hidraulinės problemos naudojant struktūrines schemas, diagramas, lenteles ir kt.;
• mechanikos problemos kietas ir pan.

Kompiuterinis modelis yra objekto ar sistemos vaizdas, pateikiamas tokia forma:

• stalai;
• blokinės schemos;
• diagramos;
• grafika ir pan.

Tuo pačiu metu šis modelis atspindi sistemos struktūrą ir ryšius.

Ekonominio ir matematinio modelio konstravimas

Jau kalbėjome apie tai, kas yra ekonominis-matematinis modelis. Šiuo metu bus svarstomas problemos sprendimo pavyzdys. Turime išanalizuoti gamybos programą, kad galėtume nustatyti rezervą pelnui didinti keičiant asortimentą.

Mes nenagrinėsime problemos iki galo, o tik sukursime ekonominį ir matematinį modelį. Mūsų užduoties kriterijus – pelno maksimizavimas. Tada funkcija turi tokią formą: А=р1*х1+р2*х2..., linkusi į maksimumą. Šiame modelyje p yra vieneto pelnas, o x yra pagamintų vienetų skaičius. Toliau, remiantis sukonstruotu modeliu, reikia atlikti skaičiavimus ir apibendrinti.

Paprasto matematinio modelio kūrimo pavyzdys

Užduotis.Žvejas grįžo su tokiu laimikiu:

• 8 žuvys – šiaurinių jūrų gyventojai;
• 20 % laimikio sudaro pietinių jūrų gyventojai;
• Iš vietinės upės nerasta nei vienos žuvies.

Kiek žuvies jis nusipirko parduotuvėje?

Taigi, šios problemos matematinio modelio sudarymo pavyzdys atrodo taip. Mes skiriame bendras kiekisžvejoti už x. Atsižvelgiant į šią sąlygą, 0,2 karto didesnis už gyvenančių žuvų skaičių pietinės platumos. Dabar sujungiame visą turimą informaciją ir gauname matematinį uždavinio modelį: x=0,2x+8. Išsprendžiame lygtį ir gauname atsakymą pagrindinis klausimas: Jis parduotuvėje nusipirko 10 žuvų.

Praktinių uždavinių sprendimas matematiniais metodais nuosekliai vykdomas formuluojant uždavinį (sukuriant matematinį modelį), pasirenkant gauto matematinio modelio tyrimo metodą, analizuojant gautą matematinį rezultatą. Matematinė formuluotė problemos dažniausiai vaizduojamos geometrinių vaizdų, funkcijų, lygčių sistemų ir kt. Objekto (reiškinio) aprašymas gali būti vaizduojamas naudojant ištisines arba diskrečiąsias, deterministines arba stochastines ir kitas matematines formas.

Matematinio modeliavimo teorija užtikrina srauto modelių identifikavimą įvairūs reiškiniai supantį pasaulį ar sistemų ir įrenginių veikimą, matematinį jų aprašymą ir modeliavimą, neatliekant pilno masto bandymų. Šiuo atveju naudojamos matematikos nuostatos ir dėsniai, apibūdinantys imituojamus reiškinius, sistemas ar įrenginius tam tikru jų idealizacijos lygmeniu.

Matematinis modelis (MM) yra formalizuotas sistemos (arba operacijos) aprašymas abstrakti kalba, pavyzdžiui, matematinių ryšių rinkinio arba algoritminės diagramos pavidalu, t. y. matematinis aprašymas, kuriame pateikiamas sistemų arba įrenginių veikimo modeliavimas pakankamai artimu jų realiam elgesiui, gautam atliekant visapusišką sistemų testavimą. arba prietaisai. Bet kuris MM aprašo realų objektą, reiškinį ar procesą tam tikru laipsniu priartindamas prie tikrovės. MM tipas priklauso ir nuo realaus objekto pobūdžio, ir nuo tyrimo tikslų.

Matematinis modeliavimas socialinių, ekonominių, biologinių ir fiziniai reiškiniai, objektai, sistemos ir įvairūs įrenginiai yra viena iš svarbiausių gamtos pažinimo ir labiausiai projektavimo priemonių įvairios sistemos ir prietaisai. Yra žinomi modeliavimo efektyvaus panaudojimo pavyzdžiai kuriant branduolines technologijas, aviacijos ir kosmoso sistemas, prognozuojant atmosferos ir vandenyno reiškinius, orus ir kt.

Tačiau tokios rimtos modeliavimo sritys dažnai reikalauja superkompiuterių ir ilgų didelių mokslininkų komandų darbo, kad paruoštų duomenis modeliavimui ir jo derinimui. Tačiau šiuo atveju matematinis modeliavimas sudėtingos sistemos ir prietaisai ne tik sutaupo pinigų tyrimams ir bandymams, bet ir gali pašalinti ekologines nelaimes – pavyzdžiui, tai leidžia atsisakyti branduolinių ir termobranduolinių ginklų bandymų, o jų matematinis modeliavimas arba aviacijos ir kosmoso sistemų bandymai prieš jų realius skrydžius.

Tuo tarpu matematinis modeliavimas paprastesnių uždavinių sprendimo lygmeniu, pavyzdžiui, iš mechanikos, elektrotechnikos, elektronikos, radiotechnikos ir daugelio kitų mokslo ir technologijų sričių, tapo prieinamas šiuolaikiniuose asmeniniuose kompiuteriuose. O naudojant apibendrintus modelius, tampa įmanoma imituoti gana sudėtingas sistemas, pavyzdžiui, telekomunikacijų sistemas ir tinklus, radarą ar radijo navigacijos sistemas.

Matematinio modeliavimo tikslas – matematiniais metodais analizuoti realius procesus (gamtoje ar technologijoje). Savo ruožtu tam reikia formalizuoti tiriamą MM procesą. Modelis gali būti matematinė išraiška, kuriame yra kintamųjų, kurių elgesys yra panašus į realios sistemos elgesį. Modelis gali apimti atsitiktinumo elementus, kuriuose atsižvelgiama į tikimybes galimus veiksmus du arba daugiau„žaidėjai“, kaip, pavyzdžiui, žaidimų teorijoje; arba gali būti tikrieji tarpusavyje sujungtų operacinės sistemos dalių kintamieji.

Matematinis modeliavimas, skirtas sistemų charakteristikoms tirti, gali būti skirstomas į analitinį, imitacinį ir kombinuotą. Savo ruožtu MM skirstomi į modeliavimo ir analitinius.

ĮVADAS

Šiuolaikinio mokslo neįmanoma įsivaizduoti be plačiai paplitusio matematinio modeliavimo. Šios metodikos esmė – originalų objektą pakeisti jo „vaizdu“ – matematiniu modeliu – ir toliau tirti modelį naudojant kompiuteriuose įdiegtus skaičiavimo loginius algoritmus. Šis „trečiasis“ pažinimo, konstravimo ir projektavimo metodas sujungia daugybę teorijos ir eksperimento privalumų. Darbas ne su pačiu objektu (reiškiniu, procesu), o su jo modeliu leidžia neskausmingai, palyginti greitai ir be didelių išlaidų ištirti jo savybes ir elgesį įsivaizduojamas situacijas(teorijos privalumai). Tuo pačiu metu kompiuteriniai (kompiuteriniai, modeliavimo, modeliavimo) eksperimentai su objektų modeliais leidžia, pasikliaujant šiuolaikinių skaičiavimo metodai ir informatikos techninės priemonės, pakankamai išsamiai ir giliai tyrinėjami objektai, neprieinami grynai teoriniams požiūriams (eksperimento privalumai). Nenuostabu, kad matematinio modeliavimo metodika sparčiai tobulėja, apimanti visas naujas sritis – nuo ​​plėtros. technines sistemas ir jų valdymas sudėtingų ekonominių ir socialinių procesų analizei.

Nuo pat pradžių buvo naudojami matematinio modeliavimo elementai tikslieji mokslai, ir neatsitiktinai kai kurie skaičiavimo metodai pavadinti tokių mokslo šviesuolių kaip Niutonas ir Eileris, o žodis „algoritmas“ kilęs iš viduramžių arabų mokslininko Al-Khorezmi vardo. Antrasis šios metodikos „gimimas“ įvyko XX amžiaus 40-ųjų pabaigoje ir 50-ųjų pradžioje ir įvyko dėl mažiausiai dviejų priežasčių. Pirmasis iš jų – kompiuterių atsiradimas, nors ir kuklus pagal šių dienų standartus, vis dėlto išgelbėjęs mokslininkus nuo didžiulio įprasto skaičiavimo darbo. Antroji – precedento neturinti socialinė tvarka – SSRS ir JAV nacionalinių programų įgyvendinimas sukurti branduolinį raketų skydą, kurio nepavyko įgyvendinti tradiciniais metodais. Matematinis modeliavimas susidorojo su šia užduotimi: branduoliniai sprogimai ir raketų bei palydovų skrydžiai anksčiau buvo „vykdomi“ kompiuterio žarnyne naudojant matematinius modelius ir tik tada pritaikyti praktiškai. Ši sėkmė didžiąja dalimi lėmė tolimesnius metodologijos pasiekimus, kurių nepanaudojus išsivysčiusiose šalyse dabar rimtai nesvarstomas nė vienas didelio masto technologinis, aplinkosauginis ar ekonominis projektas (tas pats pasakytina ir apie kai kuriuos socialinius-politinius projektus).

Dabar matematinis modeliavimas iš esmės žengia į trečią vietą svarbus etapas jos vystymasis, „įsiliejimas“ į vadinamosios informacinės visuomenės struktūras. Įspūdinga informacijos apdorojimo, perdavimo ir saugojimo priemonių pažanga atitinka pasaulines sudėtingumo ir abipusio įvairių sferų skverbimosi tendencijas. žmogaus veikla. Neturint informacijos „resursų“ neįmanoma net pagalvoti apie vis didesnių ir įvairesnių pasaulio bendruomenei kylančių problemų sprendimą. Tačiau pati informacija dažnai yra mažai vertinga analizei ir prognozavimui, sprendimų priėmimui ir jų įgyvendinimo stebėjimui. Mums reikia patikimų būdų, kaip informaciją „žaliavas“ perdirbti į gatavą „produktą“, tai yra, į tikslias žinias. Matematinio modeliavimo metodikos istorija įtikinama: ji gali ir turi būti intelektualinė šerdis informacinės technologijos, visas visuomenės informatizacijos procesas.

Studijavo technines, aplinkosaugines, ekonomines ir kitas sistemas šiuolaikinis mokslas, nebegalima atlikti įprastinių tyrimų (reikiamo išsamumo ir tikslumo). teoriniai metodai. Tiesioginis viso masto eksperimentavimas su jais yra ilgas, brangus ir dažnai pavojingas arba tiesiog neįmanomas, nes daugelis šių sistemų egzistuoja „vienoje kopijoje“. Klaidų ir klaidingų skaičiavimų kaina jas tvarkant yra nepriimtinai didelė. Todėl matematinis (plačiau – informacinis) modeliavimas yra neišvengiama mokslo ir technologijų pažangos sudedamoji dalis.

Žvelgiant į problemą plačiau, prisiminkime, kad modeliavimas yra beveik visų rūšių įvairių „specialybių“ žmonių – mokslininkų ir verslininkų, politikų ir karinių vadovų – kūrybinėje veikloje. Tikslių žinių įtraukimas į šias sritis padeda apriboti intuityvų spekuliacinį „modeliavimą“ ir išplečia taikymo sritį racionalūs metodai. Žinoma, matematinis modeliavimas yra vaisingas tik tada, kai atliekamas gerai žinomas profesinius reikalavimus: aiškus pagrindinių sąvokų ir prielaidų suformulavimas, a posteriori naudojamų modelių tinkamumo analizė, garantuotas skaičiavimo algoritmų tikslumas ir kt. Jei kalbėsime apie modeliavimo sistemas, kuriose dalyvauja „žmogiškasis faktorius“, t. tada prie šių reikalavimų reikia pridėti tvarkingą skirtumą tarp matematinių ir kasdienių terminų (kurie skamba taip pat, bet turi skirtinga prasmė), kruopštus paruošto matematinio aparato taikymas reiškiniams ir procesams tirti (pageidautinas kelias „nuo problemos prie metodo“, o ne atvirkščiai) ir daugelis kitų.

Sprendžiant informacinės visuomenės problemas pasikliauti vien kompiuterių ir kitų informatikos priemonių galia būtų naivu. Nuolatinis matematinio modeliavimo triados tobulinimas ir diegimas šiuolaikinėse informacinio modeliavimo sistemose yra metodologinė būtinybė. Tik jo įgyvendinimas leidžia gauti mums reikalingų aukštųjų technologijų, konkurencingų ir įvairių materialinių ir intelektualinių produktų.

Mano pasirinkta tema yra aktuali šiuolaikinė matematika ir jo taikymai. Šiuolaikinėje mokslinis požiūris Tiriant gamtos, techninius ir socialinius-ekonominius objektus, didėja juose vykstančių procesų matematinio modeliavimo svarba. Išsamus objektų ir sistemų elgsenos tyrimas tokiais režimais ir sąlygomis yra neįmanomas arba sunkus, todėl reikia naudoti matematinio modeliavimo metodus.

Šio tikslo kursinis darbas tai išmokti naudoti matematinio modeliavimo metodus tiriant įvairius natūralius socialinius procesus.

Tikslui pasiekti iškeltos užduotys:

n Naršyti teoriniai klausimai matematinis modeliavimas, modelių klasifikavimas.

PAGRINDINĖS MATEMATINIO MODELIAVIMO SĄVOKOS

Modeliavimas- metodas moksliniai tyrimai reiškiniai, procesai, objektai, prietaisai ar sistemos (paprastai – tyrimo objektai), pagrįsti modelių konstravimu ir tyrimu, siekiant gauti naujų žinių, pagerinti tyrimo objektų charakteristikas ar juos valdyti.

Modelis- materialus objektas arba vaizdas (protinis ar sąlyginis: hipotezė, idėja, abstrakcija, vaizdas, aprašymas, diagrama, formulė, brėžinys, planas, žemėlapis, algoritmo schema, pastabos ir kt.), kuriame supaprastintai atvaizduojamos svarbiausios objekto savybės. studijuoti.

Bet koks modelis visada yra paprastesnis už realų objektą ir parodo tik dalį svarbiausių jo savybių, pagrindinių elementų ir jungčių. Dėl šios priežasties vienam tyrimo objektui yra daug skirtingų modelių. Modelio tipas priklauso nuo pasirinkto modeliavimo tikslo.

Sąvoka „modelis“ pagrįsta Lotyniškas žodis modulis – matas, imtis. Modelis yra tikrojo tyrimo objekto pakaitalas. Modelis visada yra paprastesnis nei tiriamas objektas. Tiriant sudėtingus reiškinius, procesus, objektus, neįmanoma atsižvelgti į visų elementų ir ryšių, lemiančių jų savybes, visumą.

Tačiau nereikėtų atsižvelgti į visus sukurto modelio elementus ir ryšius. Reikia tik išskirti būdingiausius, dominuojančius komponentus, kurie didžiąja dalimi lemia pagrindines tyrimo objekto savybes. Dėl to tyrimo objektas pakeičiamas tam tikru supaprastintu panašumu, tačiau būdingomis, pagrindinėmis savybėmis, panašiomis į tiriamojo objekto savybes. Naujas objektas (arba abstrakcija), atsirandantis dėl pakeitimo, paprastai vadinamas tiriamojo objekto modeliu.

Norėdami sudaryti matematinius modelius, galite naudoti bet kurį matematiniai įrankiai- diferencialinis ir integralinis skaičiavimas, regresinė analizė, tikimybių teorija, matematinė statistika ir kt.. Matematinis modelis – tai formulių, lygčių, nelygybių, loginių sąlygų ir kt. Matematiniame modeliavime naudojami matematiniai ryšiai lemia tiriamo objekto būsenos keitimo procesą priklausomai nuo jo parametrų, įvesties signalų, pradinių sąlygų ir laiko. Iš esmės visa matematika skirta formuoti matematinius modelius.

APIE didelę reikšmę Matematika visiems kitiems mokslams (įskaitant modeliavimą) sako tokį faktą. Puikus anglų fizikas I. Niutonas (1643-1727) XVII amžiaus viduryje susipažino su Rene Descartes ir Pierre Gassendi darbais. Šiuose darbuose buvo teigiama, kad visa pasaulio sandara gali būti apibūdinta matematinėmis formulėmis. Šių darbų įtakoje I. Niutonas pradėjo intensyviai studijuoti matematiką. Jo indėlis į fiziką ir matematiką yra plačiai žinomas.

Matematinis modeliavimas – tai tyrimo objekto tyrimo metodas, pagrįstas jo matematinio modelio sukūrimu ir panaudojimu naujoms žinioms gauti, tiriamo objekto tobulinimui ar objekto valdymui.

Matematiniam modeliavimui būdinga tai, kad objekto funkcionavimo procesai rašomi matematinių ryšių forma (algebrinis, integralas), o rašomi loginių sąlygų forma.

Diferencialinės lygtys yra viena iš pagrindinių matematinių modelių konstravimo priemonių, plačiausiai naudojama sprendžiant matematinius uždavinius. Tiriant fiziniai procesai Sprendžiant įvairius taikomuosius uždavinius, kaip taisyklė, tiesiogiai neįmanoma rasti dėsnių, siejančių tiriamus reiškinius apibūdinančius dydžius. Paprastai lengviau nustatyti ryšius tarp tų pačių dydžių ir jų išvestinių ar skirtumų. Tokio pobūdžio ryšiai vadinami diferencialinėmis lygtimis. Diferencialinių lygčių sudarymo galimybes ir taisykles lemia mokslo srities, su kuria siejamas tiriamos problemos pobūdis, dėsnių žinojimas. Taigi, pavyzdžiui, Niutono dėsniai gali būti naudojami mechanikoje, greičių teorijoje cheminės reakcijos– masinio veikimo dėsnis ir kt. Tačiau praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai nežinomi dėsniai, leidžiantys sudaryti diferencialinę lygtį. Tada jie naudojasi įvairiomis supaprastinančiomis prielaidomis dėl proceso eigos su nedideliais parametrų-kintamųjų pakeitimais. KAM diferencialines lygtisšiuo atveju veda prie perėjimo prie ribos. Matematinio modelio atitikties klausimas ir tikras reiškinys sprendžiama remiantis rezultatų analize, eksperimentais ir palyginimu su gautos diferencialinės lygties sprendinio elgsena

Techninio objekto matematinis modelis – tai matematinių objektų ir jų tarpusavio ryšių visuma, adekvačiai atspindinti tyrėją (inžinierių) dominančias tiriamojo objekto savybes.

Modelis gali būti pavaizduotas įvairiais būdais.

Modelių pristatymo formos:

invariantinis – modelio ryšių įrašymas naudojant tradicinę matematinę kalbą, nepriklausomai nuo modelio lygčių sprendimo būdo;

analitinis - modelio įrašymas į modelio pradinių lygčių analitinio sprendimo rezultato formą;

algoritminis – modelio ir pasirinkto skaitinio sprendimo metodo ryšių fiksavimas algoritmo forma.

schematinis (grafinis) - modelio atvaizdavimas tam tikra grafine kalba (pavyzdžiui, grafų kalba, ekvivalentinės grandinės, diagramos ir kt.);

fizinis

analoginis

Universaliausias yra matematinis procesų aprašymas – matematinis modeliavimas.

Į matematinio modeliavimo sąvoką įeina ir problemos sprendimo kompiuteryje procesas.

Apibendrintas matematinis modelis

Matematinis modelis apibūdina ryšį tarp pradinių duomenų ir norimų dydžių.

Apibendrinto matematinio modelio elementai yra (1 pav.): įvesties duomenų (kintamųjų) rinkinys X,Y;

X yra kintamųjų kintamųjų rinkinys; Y – nepriklausomi kintamieji (konstantos);

matematinis operatorius L, kuris apibrėžia operacijas su šiais duomenimis; turėdami omenyje pilną matematinių operacijų sistemą, apibūdinančią skaitinius arba loginius ryšius tarp įvesties ir išvesties duomenų (kintamųjų) rinkinių;

išvesties duomenų (kintamųjų) rinkinys G(X,Y); yra kriterinių funkcijų rinkinys, įskaitant (jei reikia) tikslinę funkciją.

Matematinis modelis yra matematinis projektuojamo objekto analogas. Jo tinkamumo objektui laipsnį lemia projektavimo problemos sprendimų formulavimas ir teisingumas.

Įvairių parametrų (kintamųjų) rinkinys X sudaro kintamų parametrų erdvę Rx (paieškos erdvę), kuri yra metrika, kurios matmuo n, lygus skaičiui kintamieji parametrai.

Nepriklausomų kintamųjų Y forma metrinė erdvėįvesties duomenys Ry. Tuo atveju, kai kiekvienas erdvės Ry komponentas yra nurodytas diapazonu galimas vertes, nepriklausomų kintamųjų rinkinys susietas su tam tikra ribota erdvės Ry poerdve.

Nepriklausomų kintamųjų Y aibė lemia objekto veikimo aplinką, t.y. išorinės sąlygos, kuriame veiks projektuojamas objektas

Tai gali būti:

• - techninius parametrus objektai, kurie projektavimo metu nekeičiami;
• - fiziniai aplinkos, su kuria sąveikauja dizaino objektas, trikdžiai;
• - taktiniai parametrai, kuriuos projektavimo objektas turi pasiekti.

Nagrinėjamo apibendrinto modelio išvesties duomenys sudaro kriterijų rodiklių RG metrinę erdvę.

Matematinio modelio panaudojimo kompiuterinio projektavimo sistemoje schema parodyta 2 pav.

Reikalavimai matematiniam modeliui

Pagrindiniai reikalavimai matematiniams modeliams yra adekvatumo, universalumo ir efektyvumo reikalavimai.

Tinkamumas. Modelis laikomas tinkamu, jei jis atspindi nurodytos savybės priimtinu tikslumu. Tikslumas apibrėžiamas kaip modelio ir objekto išvesties parametrų verčių sutapimo laipsnis.

Modelio tikslumas skiriasi skirtingomis objekto eksploatavimo sąlygomis. Šioms sąlygoms būdingi išoriniai parametrai. Išorinių parametrų srityje pasirinkite modelio tinkamumo sritį, kurioje paklaida yra mažesnė už nurodytą didžiausią leistiną paklaidą. Modelių adekvatumo diapazono nustatymas yra sudėtinga procedūra, reikalaujanti didelių skaičiavimo išlaidų, kurios greitai auga didėjant išorinių parametrų erdvės dydžiui. Ši apimties problema gali gerokai viršyti paties modelio parametrinio optimizavimo problemą, todėl gali būti neišspręsta naujai projektuojamiems objektams.

Universalumą daugiausia lemia išorinių ir išvesties parametrų, į kuriuos atsižvelgiama modelyje, skaičius ir sudėtis.

Modelio ekonomiškumas apibūdinamas jo įgyvendinimo skaičiavimo resursų kaina – kompiuterio laiko ir atminties sąnaudomis.

Prieštaringi reikalavimai modeliui turėti platų tinkamumo diapazoną, aukštas laipsnis universalumas ir didelis efektyvumas lemia daugelio modelių naudojimą to paties tipo objektams.

Modelių gavimo būdai

Modelių gavimas bendruoju atveju yra neformalizuota procedūra. Pagrindinius sprendimus dėl matematinių ryšių tipo pasirinkimo, naudojamų kintamųjų ir parametrų pobūdžio priima dizaineris. Tuo pačiu metu tokios operacijos kaip modelio parametrų skaitinių verčių apskaičiavimas, tinkamumo sričių nustatymas ir kitos yra algoritmizuojamos ir sprendžiamos kompiuteriu. Todėl projektuojamos sistemos elementų modeliavimą dažniausiai atlieka specifinių technikos sričių specialistai, naudodami tradicinius eksperimentinius tyrimus.

Elementų funkcinių modelių gavimo metodai skirstomi į teorinius ir eksperimentinius.

Teoriniai metodai yra pagrįsti objekte vykstančių procesų fizikinių dėsnių ištyrimu, šiuos dėsnius atitinkančio matematinio aprašymo nustatymu, prielaidų pagrindimu ir supaprastinimu, reikiamų skaičiavimų atlikimu ir rezultato pateikimu. priimta forma modelio reprezentacijos.

Eksperimentiniai metodai yra pagrįsti išorinių objekto savybių apraiškų, užfiksuotų eksploatuojant to paties tipo objektus arba atliekant tikslinius eksperimentus, panaudojimu.

Nepaisant daugelio operacijų euristinio pobūdžio, modeliavimas turi daugybę nuostatų ir metodų, kurie yra įprasti norint gauti įvairių objektų modelius. Užteks bendras charakteris turėti

makro modeliavimo technika,

matematiniai eksperimentų planavimo metodai,

formalizuotų operacijų algoritmai, skirti apskaičiuoti parametrų skaitines vertes ir nustatyti tinkamumo sritis.

Naudojant matematinius modelius

Skaičiavimo galia šiuolaikiniai kompiuteriai kartu su naudotojo aprūpinimu visais sistemos ištekliais, interaktyvaus režimo galimybe sprendžiant problemą ir analizuojant rezultatus, jie leidžia iki minimumo sumažinti laiką, reikalingą problemai išspręsti.

Sudarydamas matematinį modelį, tyrėjas privalo:

ištirti tiriamo objekto savybes;

gebėjimas atskirti pagrindines objekto savybes nuo antrinių;

įvertinti padarytas prielaidas.

Modelis apibūdina ryšį tarp pradinių duomenų ir norimų dydžių. Veiksmų, kuriuos reikia atlikti norint pereiti nuo pradinių duomenų prie norimų reikšmių, seka vadinama algoritmu.

Problemos sprendimo kompiuteryje algoritmas yra susijęs su skaitinio metodo pasirinkimu. Priklausomai nuo matematinio modelio vaizdavimo formos (algebrinis arba diferencinė forma) naudojami įvairūs skaitiniai metodai.

Ekonominio ir matematinio modeliavimo esmė – socialines-ekonomines sistemas ir procesus apibūdinti ekonominių ir matematinių modelių pavidalu.

Panagrinėkime ekonominių ir matematinių metodų klasifikavimo klausimus. Šie metodai, kaip minėta aukščiau, yra ekonomikos ir matematikos disciplinų kompleksas, kuris yra ekonomikos, matematikos ir kibernetikos lydinys.

Todėl ekonominių ir matematinių metodų klasifikacija priklauso nuo juos sudarančių mokslo disciplinų klasifikavimo. Nors visuotinai priimta šių disciplinų klasifikacija dar nesukurta, su tam tikru aproksimacijos laipsniu galima išskirti šiuos skyrius kaip ekonominių ir matematinių metodų dalį:

• * ekonominė kibernetika: ekonomikos sisteminė analizė, ekonominės informacijos teorija ir valdymo sistemų teorija;
• * matematinė statistika: šios disciplinos ekonominiai pritaikymai – atrankos metodas, dispersijos analizė, koreliacinė analizė, regresinė analizė, daugiamatė statistinė analizė, faktorinė analizė, indeksų teorija ir kt.;
• * matematinė ekonomika ir ekonometrija, nagrinėjanti tuos pačius klausimus iš kiekybinės pusės: ekonomikos augimo teorija, gamybos funkcijų teorija, tarpšakiniai balansai, nacionalinės sąskaitos, paklausos ir vartojimo analizė, regioninė ir erdvinė analizė, globalus modeliavimas ir kt.;
• * optimalių sprendimų priėmimo metodai, įskaitant ekonomikos operacijų tyrimą. Tai pati didžiausia dalis, apimanti šias disciplinas ir metodus: optimalų (matematinį) programavimą, įskaitant šakinius ir susietuosius metodus, tinklo metodai planavimas ir valdymas, programiniai planavimo ir valdymo metodai, atsargų valdymo teorija ir metodai, teorija eilėje, žaidimų teorija, sprendimų priėmimo teorija ir metodai, planavimo teorija. Optimalus (matematinis) programavimas savo ruožtu apima tiesinį programavimą, nelinijinį programavimą, dinaminį programavimą, diskrečiąjį (sveikąjį) programavimą, trupmeninį tiesinį programavimą, parametrinį programavimą, atskiriamąjį programavimą, stochastinį programavimą, geometrinį programavimą;
• * metodai ir disciplinos, būdingos atskirai tiek centralizuotai planinei ekonomikai, tiek rinkos (konkurencinei) ekonomikai. Pirmieji apima optimalaus ekonomikos funkcionavimo teoriją, optimalų planavimą, optimalios kainodaros teoriją, materialinio ir techninio aprūpinimo modelius ir t.t. Antrieji apima metodus, leidžiančius sukurti laisvos konkurencijos modelius, kapitalistinio ciklo modelius. monopolijos modeliai, orientacinio planavimo modeliai, firmos teorijos modeliai ir kt.

Daugelis centralizuotai planinei ekonomikai sukurtų metodų taip pat gali būti naudingi ekonominiam ir matematiniam modeliavimui rinkos ekonomikoje;

* ekonominių reiškinių eksperimentinio tyrimo metodai. Tai dažniausiai apima matematinius analizės ir ekonominių eksperimentų planavimo metodus, mašininio modeliavimo metodus ( modeliavimas), verslo žaidimai. Tai taip pat apima metodus ekspertų vertinimai, skirtas įvertinti reiškinius, kurių negalima tiesiogiai išmatuoti.

Dabar pereikime prie ekonominių-matematinių modelių, kitaip tariant, socialinių-ekonominių sistemų ir procesų matematinių modelių, klasifikavimo klausimų.

Šiuo metu taip pat nėra vieningos tokių modelių klasifikavimo sistemos, tačiau dažniausiai identifikuojama daugiau nei dešimt pagrindinių jų klasifikavimo charakteristikų arba klasifikavimo antraščių. Pažvelkime į kai kurias iš šių antraščių.

Pagal bendrą paskirtį ekonominiai ir matematiniai modeliai skirstomi į tyrime naudojamus teorinius ir analitinius modelius. bendrosios savybės ekonominių procesų modeliai ir modeliai bei taikomieji, naudojami sprendžiant konkrečias ekonomines analizės, prognozavimo ir valdymo problemas. Šiame vadovėlyje aptariami įvairūs taikomųjų ekonominių ir matematinių modelių tipai.

Pagal modeliuojamų objektų agregavimo laipsnį modeliai skirstomi į makroekonominius ir mikroekonominius. Nors nėra aiškaus skirtumo tarp jų, pirmasis iš jų apima modelius, atspindinčius visos ekonomikos funkcionavimą, o mikroekonominiai modeliai paprastai siejami su tokiomis ekonomikos dalimis kaip įmonės ir firmos.

Pagal konkrečią paskirtį, t.y., pagal kūrimo ir naudojimo paskirtį, išskiriami balanso modeliai, išreiškiantys išteklių prieinamumo ir jų panaudojimo atitikimo reikalavimą; tendencijų modeliai, kuriuose modeliuojamos ekonominės sistemos raida atsispindi per jos pagrindinių rodiklių tendenciją (ilgalaikę tendenciją); optimizavimo modeliai, sukurti pasirinkti geriausias variantas iš tam tikro skaičiaus gamybos, platinimo ar vartojimo variantų; modeliavimo modeliai, skirti naudoti tiriamų sistemų ar procesų mašininio modeliavimo procese ir kt.

Remiantis modelyje naudojamos informacijos tipu, ekonominiai-matematiniai modeliai skirstomi į analitinius, paremtus a priori informacija ir identifikuojamus, pagrįstus a posteriori informacija.

Pagal laiko veiksnį modeliai skirstomi į statinius, kuriuose visos priklausomybės yra susietos su vienu laiko momentu, ir dinaminius, apibūdinančius besivystančias ekonomines sistemas.

Atsižvelgiant į neapibrėžtumo koeficientą, modeliai skirstomi į deterministinius, jei jų išvesties rezultatus vienareikšmiškai lemia valdymo veiksmai, ir stochastinius (tikimybinius), jei modelio įvestyje nurodant tam tikrą reikšmių rinkinį, galima gauti skirtingus rezultatus. gautas jo išvestyje priklausomai nuo atsitiktinio veiksnio veikimo.

Ekonominiai-matematiniai modeliai gali būti klasifikuojami ir pagal į modelį įtrauktų matematinių objektų charakteristikas, kitaip tariant, pagal modelyje naudojamo matematinio aparato tipą. Remiantis šia funkcija, matriciniai modeliai, linijiniai ir netiesiniai programavimo modeliai, koreliacijos-regresijos modeliai,

Pagrindinės eilių teorijos modelių matematinio modeliavimo sampratos, tinklų planavimo ir valdymo modeliai, žaidimų teorijos modeliai ir kt.

Galiausiai, pagal požiūrio į tiriamas socialines ir ekonomines sistemas tipą, išskiriami aprašomieji ir normatyviniai modeliai. Taikant aprašomąjį metodą, gaunami modeliai, skirti aprašyti ir paaiškinti faktiškai stebimus reiškinius arba numatyti šiuos reiškinius; Kaip aprašomųjų modelių pavyzdį galime paminėti anksčiau minėtus balanso ir tendencijų modelius. Taikant normatyvinį požiūrį, nesidomima, kaip sistema struktūrizuota ir vystosi. ekonominė sistema, bet kaip ji turėtų būti struktūrizuota ir kaip ji turėtų veikti tam tikrų kriterijų prasme. Visų pirma, visi optimizavimo modeliai yra normatyvinio tipo; Kitas pavyzdys – norminiai gyvenimo lygio modeliai.

Panagrinėkime kaip pavyzdį ekonominį-matematinį sąnaudų-produkcijos balanso modelį (EMM IOB). Atsižvelgiant į aukščiau pateiktas klasifikavimo antraštes, tai yra taikomasis, makroekonominis, analitinis, aprašomasis, deterministinis, balansinis, matricinis modelis; yra ir statiniai, ir dinaminiai metodai

Linijinis programavimas yra speciali optimalaus programavimo šaka. Savo ruožtu optimalus (matematinis) programavimas yra taikomosios matematikos šaka, tirianti sąlyginio optimizavimo problemas. Ekonomikoje tokios problemos kyla tada, kai praktinis įgyvendinimas optimalumo principas planuojant ir valdant.

Būtina sąlyga norint taikyti optimalų požiūrį į planavimą ir valdymą (optimalumo principas) yra gamybinių ir ekonominių situacijų, kuriose turi būti priimami planavimo ir valdymo sprendimai, lankstumas ir alternatyvumas. Būtent tokios situacijos, kaip taisyklė, sudaro kasdienę ūkio subjekto veiklą (gamybos programos parinkimas, prisirišimas prie tiekėjų, maršrutizavimas, medžiagų pjaustymas, mišinių ruošimas ir pan.).

Optimalumo principo esmė – noras pasirinkti tokį planavimo ir valdymo sprendimą X = (xi, X2 xn), kur Xy, (y = 1. i) yra jo komponentai, kurie geriausiu įmanomu būdu būtų atsižvelgta į ūkio subjekto vidines gamybinės veiklos galimybes ir išorines sąlygas.

Žodžiai „geriausias“ čia reiškia kokio nors optimalumo kriterijaus pasirinkimą, t.y. kai kurie ekonominis rodiklis, leidžianti palyginti tam tikrų planavimo ir valdymo sprendimų efektyvumą. Tradiciniai optimalumo kriterijai: „maksimalus pelnas“, „minimalūs kaštai“, „maksimalus pelningumas“ ir kt. Žodžiai „atsižvelgtų į vidines gamybinės veiklos galimybes ir išorines sąlygas“ reiškia, kad pasirenkant planavimą keliama nemažai sąlygų. ir valdymo sprendimas (elgesys), t.y. X pasirinkimas atliekamas iš tam tikro galimų (leistinų) sprendinių D srities; ši sritis dar vadinama problemos apibrėžimo sritimi. bendra užduotis optimalus (matematinis) programavimas, kitaip - optimalaus programavimo uždavinio matematinis modelis, kurio konstravimas (kūrimas) paremtas optimalumo ir nuoseklumo principais.

Vektorius X (valdymo kintamųjų rinkinys Xj, j = 1, n) vadinamas leistinu optimalaus programavimo uždavinio sprendimu arba planu, jei jis tenkina apribojimų sistemą. Ir tas planas X ( įmanomas sprendimas), kuris pateikia didžiausią arba mažiausią objektyvią funkciją f(xi, *2, ..., xn) vadinamas optimalaus programavimo uždavinio optimaliu planu (optimaliu elgesiu arba tiesiog sprendimu).

Taigi optimalaus vadovo elgesio pasirinkimas konkrečioje gamybos situacijoje yra susijęs su vykdymu nuoseklumo ir optimalumo požiūriu. ekonominis-matematinis optimalaus programavimo uždavinio modeliavimas ir sprendimas. Optimalios programavimo problemos bendriausia forma klasifikuojamos pagal šiuos kriterijus.

• 1. Pagal ryšio tarp kintamųjų pobūdį -
• a) linijinis,
• b) netiesinis.

Jei a) visi funkciniai ryšiai apribojimų sistemoje ir tikslo funkcija -- tiesinės funkcijos; netiesiškumo buvimas bent viename iš paminėtų elementų veda prie atvejo b).

• 2. Pagal kintamųjų pokyčio pobūdį --
• a) nuolatinis,
• b) diskretiškas.

A) atveju kiekvieno kontrolinio kintamojo reikšmės gali visiškai užpildyti tam tikrą sritį realūs skaičiai; b) atveju visi arba bent vienas kintamasis gali turėti tik sveikąsias reikšmes.

• 3. Atsižvelgiant į laiko veiksnį --
• a) statinis,
• b) dinamiškas.

Problemose a) modeliavimas ir sprendimų priėmimas vykdomi darant prielaidą, kad modelio elementai yra nepriklausomi nuo laiko per laikotarpį, kuriam priimamas planavimo ir valdymo sprendimas. b) atveju tokia prielaida negali būti priimta pakankamai motyvuotai ir būtina atsižvelgti į laiko veiksnį.

• 4. Remiantis turima informacija apie kintamuosius --
• a) užduotis visiško tikrumo sąlygomis (deterministinėmis),
• b) užduotis esant neišsamiai informacijai,
• c) užduotis neapibrėžtumo sąlygomis.

Problemose b) atskiri elementai yra tikimybiniai dydžiai, bet žinomi arba papildomi statistiniai tyrimai gali būti nustatyti jų platinimo dėsniai. c) atveju galime daryti prielaidą apie galimus rezultatus atsitiktiniai elementai, tačiau nėra galimybės daryti išvadų apie rezultatų tikimybę.

• 5. Pagal alternatyvų vertinimo kriterijų skaičių --
• a) paprastos, vieno kriterijaus atitinkančios užduotys,
• b) sudėtingos, daugiakriterinės užduotys.

Problemose a) ekonomiškai priimtina naudoti vieną optimalumo kriterijų arba tai galima pasiekti naudojant specialias procedūras (pvz., „svėrimo prioritetus“).