ТАНИЛЦУУЛГА

Гадаргуугийн ертөнц нь олон янз бөгөөд хязгааргүй юм. Гайхамшигтай хэлбэр, хүч чадал бүхий гадаргуу нь байгальд байдаг. Шувууны далавч, биеийг анхаарч үзээрэй, тэдгээр нь байгалиас заяасан гадаргуугийн хэлбэрүүдтэй бөгөөд тэдгээр нь бүхэлдээ аэродинамик шинж чанартай байдаг.

Нисэх онгоцны бие, далайн хөлөг онгоцууд, автомашин, дээд бүрхүүл болон газар доорх байгууламжууд- эдгээр нь янз бүрийн маш нарийн төвөгтэй үүсэх хуулиудын гадаргуугийн цогцолборууд юм. Удирдлагатай гадаргууг судалж үзэхэд тэдгээрийг технологид өргөн ашигладаг болохыг олж мэдэх боломжтой. инженерчлэл, ихэнх тохиолдолд барилга байгууламж, үйлдвэрлэлийн болон засгийн газрын зураг төсөлд ашигладаг архитектурын байгууламжууд, хурдны замууд.

Хамааралтай байдал нь шурагны гадаргуугийн эрэлт хэрэгцээтэй холбоотой юм орчин үеийн архитектуртехнологи, түүнчлэн гоо сайхан, найдвартай байдал, үйлдвэрлэх чадвар зэрэг чанаруудыг хослуулан барилгын ажилд хэрэглэгдэх мушгиа шугамтай гадаргуугийн шинэ хэлбэрийг эрэлхийлдэг.

Судалгааны объект нь нарийн төвөгтэй муруй гадаргууг үүсгэх, дизайн хийх явдал юм.

Судалгааны сэдэв нь барилга байгууламжийн архитектурт нийлмэл удирдлагатай бүрхүүл үүсэх явдал юм.

Энэхүү ажлын зорилго нь зохицуулалттай гадаргууг судлах, тэдгээрийг барилга байгууламжийн архитектурт ашиглах боломжийг судлах явдал юм.

Судалгааны явцад дараахь зорилтуудыг дэвшүүлэв.

1. Шинжилгээ хийх онолын үндэсзахирагдсан гадаргуу.

2. Барилга байгууламжийн архитектурт хэрэглэх нийлмэл шугамтай гадаргууг барих.

3. Боловсруулсан бүтцийн загвар хий.

Судалгааг явуулахад ашигласан аргууд:

Онолын хувьд:

Монографик - уран зохиолын болон бусад эх сурвалжаас авсан мэдээллийг аналитик нэгтгэх, системчлэх;

Шинжилгээ - ажлын үе шат бүрт мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх;

Синтез - мэдээлэл цуглуулах, нэгтгэх.

Праксеологи:

График - геометрийн загварчлал, график баримт бичгийн гүйцэтгэл;

Байршлын арга.

Доторлогоотой гадаргуу

Захиргааны гадаргууямар нэг хуулийн дагуу огторгуйд шулуун шугамыг хөдөлгөснөөр үүссэн гадаргуу юм. Шулуун шугаман генераторын хөдөлгөөний шинж чанар нь захирагдсан гадаргуугийн төрлийг тодорхойлдог. Ихэвчлэн генераторын хөдөлгөөний хуулийг чиглүүлэгч шугам ашиглан тодорхойлдог. IN ерөнхий тохиолдолУдирдах гадаргууг тодорхойлохын тулд гурван чиглүүлэгч шугам шаардлагатай. Шулуун шугаман генераторын хөдөлгөөний шинж чанар нь захирагдсан гадаргуугийн төрлийг тодорхойлдог.

Удирдах гадаргууг хоёр төрөлд хуваана.

1. хөгжиж буй гадаргуу;

2. хөгжөөгүй буюу ташуу гадаргуу.

ТЭРГҮҮЛЭХГҮЙ ДОТООРЛОГДСОН ГАДАРГА

Хөгжих боломжгүй гадаргуу нь ерөнхийдөө шулуун шугаман генерацийн гурван чиглүүлэгч шугамын дагуух хөдөлгөөнөөс үүсдэг бөгөөд энэ нь түүний хөдөлгөөний хуулийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Ташуу гадаргуугийн сортууд нь чиглүүлэгч хавтгайтай, тэдгээрийн тодорхой төрөл нь параллелизмын хавтгайтай (Каталон гадаргуу) захирагдсан гадаргуу юм. Хоёр чиглүүлэгч нь муруй шугамтай бол чиглүүлэгч хавтгайтай гадаргууг ташуу цилиндр гэж нэрлэдэг; ташуу коноидууд - хэрэв хөтөчүүдийн аль нэг нь шулуун шугам байвал; хоёр ташуу хавтгай, хэрэв хөтөч нь шулуун шугамыг гаталж байвал (Хавсралт А, 1-р зургийг үз). Параллелизмын хавтгайтай гадаргууг шулуун цилиндр, шулуун коноид, ташуу хавтгай гэж нэрлэдэг.

Захиргааны гадаргуугийн тухай ойлголт

Захиргааны гадаргууямар нэг хуулийн дагуу огторгуйд шулуун шугамыг хөдөлгөснөөр үүссэн гадаргуу юм. Шулуун шугаман генераторын хөдөлгөөний шинж чанар нь захирагдсан гадаргуугийн төрлийг тодорхойлдог. Ихэвчлэн генераторын хөдөлгөөний хуулийг чиглүүлэгч шугам ашиглан тодорхойлдог. Ерөнхийдөө, захирагдсан гадаргууг тодорхойлохын тулд танд хэрэгтэй гурван чиглүүлэгч шугам . Захиргааны гадаргуу дээр гурван шугамыг сонгоно а , б Тэгээд в мөн тэднийг хөтөч болгон ав. Шулуун генерацийн хөдөлгөөн гэдгийг харуулъя л өвөрмөц байдлаар тодорхойлно (Зураг 11.1).

Үүнийг хөтөч дээр авч үзье а зарим нэг цэг К түүгээр чиглүүлэгчийг огтолж буй хэд хэдэн шулуун шугамыг зур -тай . Эдгээр шулуун шугамууд нь орой дээрээ оройтой конус гадаргууг үүсгэдэг К . Хөтөч б конус гадаргуутай хэзээ нэгэн цагт огтлолцох болно Н . Баригдсан цэг Н ба хугацаа К шулуун шугамыг тодорхойлно л , хөтөчтэй огтлолцдог в цэг дээр М . Тиймээс цэг бүр TO хөтөч а цорын ганц генератор тохирох болно. Нэг цэгийг хөдөлгөж байна TO хөтөчийн дагуу а , шулуун шугамын generatrix-ийн бусад байрлалыг олж авах боломжтой, i.e. захирагдсан гадаргуугийн хүрээ барих.

Чиглүүлэгч шугамын хэлбэрээс хамааран гурван чиглүүлэгчтэй шугаман гадаргууг дараахь байдлаар хуваана.

гурван хөтөчтэй ташуу цилиндр– бүх гурван тэргүүлэх муруй шугам;

конус– хоёр чиглүүлэгч муруй шугам, гурав дахь нь шулуун;

нэг хуудас гиперболоид– бүх чиглүүлэгч шугамууд шулуун байна.

Захиргааны гадаргуу дээр цэг байгуулахын тулд та туслах шугамыг ашиглах ёстой бөгөөд энэ нь шулуун generatrix эсвэл дурын муруй шугам байж болно.

Дээрхээс гадна ерөнхий аргаГурван чиглүүлэгчийн тусламжтайгаар шугаман гадаргууг үүсгэхийн тулд нэмэлт хязгаарлалт хийх замаар шулуун шугамын хөдөлгөөний хуулийг тодорхойлдог бусад аргууд байдаг.

Нэг буюу хэд хэдэн чиглүүлэгчийн дагуу шулуун шугаман үүсгэгчийг хөдөлгөснөөр үүссэн гадаргуу нь захирамжтай гадаргуу юм. Сансарт гурван муруй шугам авъя л.

Шулуун шугамыг ямар ч байрлалд гурван муруйг огтлолцох байдлаар хөдөлгө л 1 л 2 , л 3 ,дараа нь тэдний хөдөлгөөний үед тэд захирагдсан гадаргууг дүрсэлдэг (Зураг 53).

Хөтөч дээр сонгоно уу л 1цэг А.Түүгээр дамжуулан бид гарын авлагыг огтолж буй тоо томшгүй олон шулуун шугаман генератрицуудыг зурж болно л 3.Энэ нь орой дээрээ байгаа конус гадаргууг тодорхойлно А.Хэзээ нэгэн цагт генераторууд шугамыг давах болно л 2 -энэ бол гол зүйл IN,конус гадаргуу нь шугамтай огтлолцох үед л 2.Удирдагчийн төрлөөс хамааран янз бүрийн гадаргууг олж авдаг.

Нэг хөтөчтэй гадаргуу:

1. Конус хэлбэртэй - шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүссэн л(үүсгэх) зарим муруй шугамын дагуу ммөн байх тогтмол цэг С(Зураг 54).

2. Цилиндр гадаргуу нь шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүсдэг л(генератор) зарим муруй дагуу Т өөртэйгөө параллель буюу тогтмол чиглэлтэй S∆(t,1|| S)(Зураг 55).

3. Их биеийн гадаргуу нь шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүсдэг би,орон зайн чиглүүлэгч муруй руу бүх байрлалаараа шүргэгч Т , буцах ирмэгийг ∆ гэж нэрлэдэг (т,л) (Зураг 56).

4. Олон талт гадаргуу нь огтлолцсон хавтгайн хэсгүүдээс (тасалгаа) үүссэн гадаргуу юм.

Хэрэв хөтөч бол Т эвдэрсэн шугам, бүх үүсэх лнэг цэг дээр огтлолцох, ийм гадаргууг пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 57); хэрэв бүх генераторууд зэрэгцээ байвал гадаргууг призматик гэж нэрлэдэг (Зураг 58).

Хавтгай олон өнцөгтүүдээс бүрдсэн олон талт гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийг полиэдрон гэнэ. Онгоцны хэсгүүдийг нүүр гэж нэрлэдэг ба тэдгээрийн огтлолцлын шугамыг ирмэг гэж нэрлэдэг. Ирмэгүүдийн огтлолцох цэгүүдийг орой гэж нэрлэдэг.

(м), үүсэх ирмэг ба нүүрний огтлолцлын нийтлэг цэгийг пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 59).

Хаалттай олон өнцөгт хөтөч бүхий гадаргуу (м)(суурь) ба харилцан зэрэгцээ хавирга - призм (Зураг 60).

Хэрэв призмийн ирмэгүүд нь сууринд перпендикуляр байвал фасетыг проекцын призм гэж нэрлэдэг (Зураг 61).

Өөрийгөө шалгах асуултууд.

1. Муруй шугамыг хэрхэн ангилдаг вэ?

2. Муруйн аль цэгийг шинж чанар гэж үзэх вэ?

3. Гадаргууг тодорхойлох үндсэн аргуудыг заана уу.

4. Гадаргуугийн хүрээ гэж юу вэ?

5. Гадаргуугийн тодорхойлогчийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

6. Гадаргууг хэрхэн ангилдаг вэ?

7. Хэрхэн конус хэлбэрийн ба цилиндр гадаргуу?

8. Пирамид ба призмт гадаргуу хэрхэн үүсдэг вэ?

Лекц 8. Гадаргуу.

Хоёр чиглүүлэгчтэй дүрэмтэй гадаргуу (Каталон гадаргуу)

Эдгээр гадаргуугийн хувьд бүх генераторууд нь тогтмол хавтгайтай параллель байдаг бөгөөд үүнийг параллелизмын хавтгай гэж нэрлэдэг.

1. Цилиндр ( l, m, n; P 2), (l// P 2) -шулуун шугамын хөдөлгөөнөөс үүссэн гадаргуу лхоёр муруй чиглүүлэгчийн дагуу мТэгээд n;бүх генераторууд параллелизмын хавтгайтай параллель байна P 2(Зураг 62).

2. Коноид - хоёр чиглүүлэгчийн дагуух шулуун, нөгөө нь муруй шугамын дагуух шулуун шугамын хөдөлгөөнөөс үүссэн гадаргуу (Зураг 63). Бүх генераторууд тодорхой хавтгайд параллель байна P 1; )

4. Ташуу хавтгай ( гиперболын параболоид-hypar) - хоёр чиглүүлэгчийн дагуу шулуун шугамын хөдөлгөөнөөс үүссэн гадаргуу - огтлолцсон шулуун шугам; генераторууд зарим хавтгайд параллель байна ( P 1) (Зураг 64).

∆(m, n, П 1 , л) (м ● n; l // P 1)

Эргэлтийн гадаргуу.

Тогтмол шулуун тэнхлэгийн эргэн тойронд генераторыг эргүүлэх замаар үүссэн гадаргуу нь эргэлтийн гадаргуу юм. Генератор нь ямар ч төрлийн байж болно. Эргэлтийн үед генераторын цэг бүр тойрог дагуу хөдөлдөг бөгөөд энэ нь эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд (гадаргуугийн тэнхлэг) байрладаг бөгөөд энэ тэнхлэг дээр төвтэй байдаг.

Генератриксийн бүх цэгүүд хөдөлж буй тойргийг параллель гэж нэрлэдэг; хамгийн том параллель нь экватор, хамгийн жижиг нь хүзүү гэж нэрлэгддэг (Зураг 65).

Хэрэв гадаргуугийн тэнхлэг нь босоо байвал бүх параллельууд нь хэвтээ проекц дээр гажуудалгүйгээр эсвэл эсрэгээр тусна. Эргэлтийн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онгоцууд нь меридиан гэж нэрлэгддэг шугамын дагуу гадаргууг огтолдог.

Меридиан нь онгоцонд байрладаг хавтгайтай зэрэгцээпроекцийг гол гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ проекцын хавтгайд гадаргуугийн тоймоор тусгана.

Шулуун шугамыг эргүүлэх замаар үүссэн гадаргуу - зураг. 66, a, b, c.

1. Эргэлтийн цилиндр: generatrix ба тэнхлэг - зэрэгцээ шулуун шугамууд ∆ ( i, l|| i).

2. Эргэлтийн конус: generatrix ба тэнхлэг - нэг цэг дээр огтлолцдог Сшулуун шугамууд ∆ ( i, l∩ i).

3. Хувьслын нэг хуудас гиперболоид: generatrix ба тэнхлэг – хазайсан шулуун шугамууд ∆ ( би, л ● би).

Тойрог эргүүлэх замаар үүссэн гадаргуу (Зураг 67 a, b):

1. Нэг диаметрийг тойруулан эргүүлснээр бөмбөрцөг үүсдэг.

2. Тойрог тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр торус үүсдэг би,Тойргийн хавтгайд хэвтэж байгаа боловч төвийг нь өнгөрөөгүй.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг нь (үүсгэх) тойрогтой огтлолцдоггүй бол нээлттэй торны гадаргууг олж авдаг бол энэ нь хаалттай буюу өөрөө огтлолцдог торус юм.

Дугуй нумын эргэлтээс үүссэн гадаргуу (Зураг 68 a, b):

1. Гүдгэр торус.

2. Энэхэр торус.

Хоёрдугаар эрэмбийн муруйг эргүүлэх замаар үүссэн гадаргуу (Зураг 69, a, b, c, d):

1. Хувьсгалын эллипсоид.

2. Хувьсгалын параболоид

3. Хувьсгалын гиперболоид нь нэг хуудас - гиперболыг төсөөлж буй тэнхлэгийнхээ эргэн тойронд эргүүлснээр үүсдэг:

4. Хувьсгалын хоёр хуудас гиперболоид - бодит тэнхлэгийн эргэн тойронд гиперболыг эргүүлснээр үүсдэг.

Захиалсанямар нэг хуулийн дагуу орон зайд шулуун шугамыг (генератор) хөдөлгөснөөр үүссэн гадаргуу юм. Удирдах шугамын төрөл ба генераторын хөдөлгөөний шинж чанараас хамааран дараахь төрлийн шугаман гадаргууг олж авна. байрлуулж болох ба ашиглах боломжгүй.

A. Боловсруулж болох дүрэмтэй гадаргуу(их бие, цилиндр, конус хэлбэртэй).

1. Их бие- буцах ирмэг m бүхий гадаргуу нь шулуун шугаман generatrix ℓ хөдөлгөөнөөр үүссэн бөгөөд бүх байрлалд тодорхой орон зайн муруй m хүрч - буцах ирмэг, (Зураг 45). Тодорхойлогч Ø ( л~m).

2. Цилиндр гадаргуу.Буцах ирмэг нь хязгааргүй хүртэл арилдаг. Гадаргуу нь зарим n муруйн дагуу баригдсан S чиглэлтэй ℓ шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүсдэг (Зураг 46). Гадаргууг тодорхойлогч: ∑(S~n).

3. Конус хэлбэрийн гадаргуу.Оройн ирмэг нь S цэг хүртэл доройтсон. Гадаргуу нь S цэгийг дайран өнгөрч буй ℓ шулуун шугамыг зарим n муруйн дагуу хөдөлгөснөөр үүссэн бөгөөд хоёр хөндийтэй байж болно (Зураг 47). Гадаргуугийн тодорхойлогч Δ(S~n).

Б. Боловсроогүй захирагдсан гадаргуу(цилиндроид, коноид, ташуу хавтгай).

Энэ төрлийн гадаргуу нь хоёр чиглүүлэгчийн дагуу хөдөлж, тодорхой параллелизмын хавтгайд параллель хэвээр байгаа шулуун шугамыг ℓ хөдөлгөснөөр үүсдэг бөгөөд үүнийг ихэвчлэн P 1 эсвэл P 2 проекцын хавтгайнуудын нэг гэж үздэг.

1. Цилиндрℓ шулуун шугамыг хоёр чиглүүлэгчийн дагуу хөдөлгөж, параллелизмын тодорхой хавтгайд параллель хэвээр үлдэх замаар үүсдэг (Зураг 48a, b). Σ (~a, ~b) ба Δ гадаргуугийн тодорхойлогч нь P 1-д перпендикуляр байна.

2. Коноидшулуун шугаман generatrix ℓ-ийг муруй ба шулуун гэсэн хоёр чиглүүлэгчийн дагуу хөдөлгөснөөр үүсдэг бол ℓ нь параллелизмын тодорхой хавтгайд параллель хэвээр байна. Түүний тодорхойлогч нь Ø(b~a,∑) (Зураг 49).

Хэрэв шулуун шугаман generatrix n нь параллелизмын хавтгайд перпендикуляр байвал коноид шууд гэж нэрлэдэг, хэрэв муруйн чиглүүлэгч m нь цилиндр хэлбэрийн мушгиа бол коноид мушгиа геликоид гэж нэрлэдэг.

3. Ташуу хавтгай(гипербол параболоид) нь ℓ шугамыг хоёр хазайсан шугамын дагуу хөдөлгөж, параллелизмын зарим хавтгайд параллель хэвээр үлдэх замаар олж авна. Гадаргуугийн тодорхойлогч

Р(a b, ∑), (Зураг 50).

Гиперболын параболоидын хөндлөн огтлолд гипербол, парабол, шулуун шугамыг авч болно (Зураг 51).

B. Дүрэмтэй мушгиа гадаргуу - геликоид.Нэг чиглүүлэгч нь мушгиа шугам, нөгөө нь шулуун шугам (мушгиа шугамын тэнхлэг) байх гадаргууг удирдах мушгиа гадаргуу гэнэ. Гадаргуугийн тодорхойлогч нь мушгиа ба түүний тэнхлэг юм: Ø (ί, m, ℓ).

Хеликоидыг шулуун гэж нэрлэдэг, хэрэв generatrix нь мушгиагийн ί тэнхлэгт перпендикуляр ℓ шулуун шугам бөгөөд энэ тэнхлэг ί шулуун чиглүүлэгчийн үүргийг гүйцэтгэнэ (Зураг 52).

Хэрэв шулуун шугам нь t тэнхлэгт перпендикуляр биш бол геликоидыг ташуу эсвэл налуу гэж нэрлэдэг - Архимед шураг(Зураг 53). Хеликоид нь хаалттай эсвэл нээлттэй байж болно.Мушгианы ί тэнхлэгийг гатлах үед шулуун шугам ℓ үүсдэг хаалттай helicoid, хэрэв ℓ нь ί тэнхлэгтэй огтлолцохгүй бол a нээлттэй геликоид.Налуу геликоидын гадаргуу үүсэх явцад генераторууд нь тодорхой эргэлтийн конусын гадаргуугийн генераторуудтай параллель байрладаг бөгөөд ί тэнхлэг нь мушгиа ί тэнхлэгтэй давхцдаг бөгөөд генераторууд нь геликоидын генераторуудтай адил мушгиа ί тэнхлэгт налуу. Энэ конус хөтөч гэж нэрлэдэг.Эндээс налуу геликоидын тодорхойлогч нь чиглүүлэгчээс бүрдэнэ: мушгиа m(m 1, м 2, мушгиа тэнхлэг). ί (ί 1, ί 2) ба generatrix ℓ(ℓ 1, ℓ 2) нь мушгиа тэнхлэгт α өнцөгт байрладаг. Генераторуудын хүрээг ℓ байрлуулж, ℓ генераторуудын урд талын проекцуудын бүлгийг зурснаар P 2 дээр бид налуу геликоидын тоймыг олж авна. Хеликоидын тэнхлэгт перпендикуляр Σ (Σ 2) хавтгайгаар геликоидын зүсэлт (хэвийн хэсэг) нь Архимедийн спираль бөгөөд тусгай бүтэц шаарддаг (53-р зургийг үз).

Хавтгай ба шулуун шугамтай гадаргуугийн огтлолцол.

Хавтгай ямар ч гадаргууг огтлох үед хавтгай дүрсийг олж авдаг бөгөөд үүнийг огтлол гэж нэрлэдэг. Хэрэв огтлох хавтгай нь проекцын хавтгай бол хэсэг барих нь тийм ч хэцүү биш юм. Таслах хавтгайн проекцуудын нэг нь шулуун шугам болж доройтож байгаа тул проекцын хавтгайн хамтын шинж чанарт үндэслэн энэхүү төсөөлөлд хавтгайн бүх цэгүүд, түүний дотор огтлолцол орно. Тиймээс ажил нь хэсгийн өөр төсөөллийг бий болгох явдал юм. Хавтгай ба огтлолцох гадаргуу хоёуланд нь хамаарах нийтлэг цэгүүдийг тодорхойлсон. Дараа нь эдгээр цэгүүдийн тухайн зурагт хамаарах байдлыг үндэслэн тэдгээрийн дутуу төсөөллийг байгуулна.

Онгоц нь олон өнцөгтийг огтлолцох үед олон өнцөгт (хаалттай олон шугамаар хязгаарлагддаг) үүснэ. Түүний талууд ба оройнуудын тоо нь зүсэх хавтгайгаар огтлолцсон олон өнцөгтийн нүүр ба ирмэгүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Полиэдроны хэсгийг барих ажлыг хоёр аргаар хийж болно.

Хэсгийн олон өнцөгтийн оройг олох - захын арга. Энэ тохиолдолд барилга нь хавтгай (зүсэх хавтгай) -тай шулуун шугамын (ирмэг) огтлолцох цэгийг хэд хэдэн удаа олох асуудлыг шийдэхэд хүргэдэг. Эхний байрлалын асуудал

Хэсгийн олон өнцөгтийн талыг олох - ирмэгийн арга. Энэ тохиолдолд асуудлыг хэд хэдэн удаа шийддэг - хоёр онгоцны огтлолцлын шугамыг олох (нүүр ба зүсэх онгоц) - хоёр дахь байрлалын асуудал.

Онгоц муруй гадаргууг огтлолцох үед зүсэлт нь хавтгай муруй шугамтай болно. Өмнө дурьдсанчлан, хэрчсэн хавтгайг шулуун шугамаар төлөвлөж байгаа бол хоёр дахь нь тусдаа цэгээс барьж болно (Зураг 54).

Уулзвар муруйны цэгүүдийн дунд проекцын хавтгайтай холбоотой эсвэл муруй дээр тусгай байр эзэлдэг цэгүүд байдаг. Ийм цэгүүдийг лавлах цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд хэсэг байгуулахдаа эхлээд эдгээр цэгүүдийг тодорхойлно. Хяналтын цэгүүд нь туйлын цэгүүд, тойм цэгүүд болон харагдах байдлыг өөрчлөх цэгүүдийг агуулдаг.

Хэт их цэгүүд- энэ нь хэсгийн хамгийн өндөр ба хамгийн доод цэг, P 2 проекцын хавтгайтай хамгийн ойр, хамгийн хол, P 3-тай харьцуулахад хамгийн зүүн ба баруун тал юм.

Очерковыхпроекц нь гадаргуугийн контур дээр байрлах цэгүүд гэж нэрлэгддэг.

Харагдах байдлыг өөрчлөх цэгүүдуулзварын шугамын төсөөллийг харагдах ба үл үзэгдэх хэсгүүдэд хуваах. Харагдах байдлын өөрчлөлтийн цэгүүдийг үргэлж тойм зургийн цэгүүдээс сонгодог. Ихэнхдээ нэг цэг нь туйлын цэг, тойм цэг, үзэгдэх орчны өөрчлөлтийн цэг болдог.

Муруй шугам барихдаа лавлах цэгүүдийг тодорхойлсны дараа түүний мөн чанарыг илүү нарийвчлалтай тодорхойлохын тулд хэд хэдэн санамсаргүй цэгүүдийг тодорхойлно.

Санамсаргүй оноо- Эдгээр нь дур зоргоороо авсан оноо юм. Ихэнхдээ хэсгийн төрлийг урьдчилан мэддэг. Хамгийн түгээмэл гадаргуу дээр ямар хэсгүүдийг олж авахыг авч үзье.

Конус- таван төрлийн өөр өөр хэсгүүдийг олж авсан гадаргуу:

Хэрэв огтлох хавтгай нь конусын оройгоор дамжин өнгөрвөл хөндлөн огтлолын үр дүнд гурвалжин (бүх шугамууд шулуун байна). Хэрэв огтлох хавтгай нь оройгоор дамжин өнгөрөхгүй бол хэсэг нь муруй шугам үүсгэдэг.

Хэрэв огтлох хавтгай нь суурийн шууд бус өнцгөөр байрладаг бөгөөд ямар ч генератортой параллель биш бол тухайн хэсэгт эллипс (м) авна.

Хэрэв огтлох хавтгай нь конусын аль нэг үүсгэгчтэй параллель байвал хэсэг нь парабол (n) үүсгэдэг.

Хэрэв огтлох хавтгай нь хоёр генератортой параллель байвал хэсэг нь гипербол (k) үүсгэдэг.

Хэрэв огтлох хавтгай нь суурьтай параллель ба шулуун конустэнхлэгт перпендикуляр, хөндлөн огтлолын тойрог (e) -ийг олж авсан бөгөөд тойргийн радиусыг тэнхлэгээс тойм хүртэл хэмждэг (Зураг 55).

Цилиндр- гурван төрлийн хавтгай дүрсийг олж авсан хөндлөн огтлолын гадаргуу.

Хэрэв огтлох хавтгай нь суурьтай параллель, тэнхлэгт перпендикуляр байвал тойргийн радиус нь суурийн радиустай давхцаж байгаа хэсэгт тойрог гарна;

Хэрэв огтлох хавтгай нь тэнхлэгтэй параллель байвал зүсэлт нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болно.

Хэрэв огтлох хавтгай нь суурийн өнцөгт байрладаг бөгөөд бүх үүсгэх шугамыг огтолж байвал зүсэлтэнд эллипсийг авна (Зураг 56).

Бөмбөрцөг- огтлох хавтгайг хэрхэн байрлуулсанаас үл хамааран хөндлөн огтлолын дагуу тойрог үргэлж гарч ирдэг гадаргуу. Тойргийн радиусыг дараах байдлаар тодорхойлно: перпендикулярыг бөмбөрцгийн төвөөс огтлох хавтгай руу буулгаж, тойргийн радиусыг перпендикуляр хавтгайтай огтлолцох цэгээс бөмбөрцгийн тойм хүртэл хэмжинэ. (Зураг 57) (2), (2)-ийн хувьд радиусыг тэнхлэгийн бөмбөрцөгүүдээс эссэ рүү авав.

Хэрэв огтлох хавтгай нь ерөнхий бол ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хувиргахад тохиромжтой нарийн төвөгтэй зурагингэснээр огтлох хавтгай нь проекц болж, дараа нь дээр дурдсан схемийн дагуу уусмалыг үргэлжлүүлнэ (Зураг 58).

Гадаргуу нь шулуун шугамтай огтлолцох үед шугамын орох ба гарах цэг гэж нэрлэгддэг хоёр огтлолцлын цэгийг тодорхойлох шаардлагатай.

Асуудлыг дараахь схемийн дагуу шийдвэрлэнэ.

Шулуун шугамын проекцуудын аль нэгийг проекцын хавтгайд байрлуулсны дараа гадаргуугийн хэсгийг проекцын хавтгайгаар барих асуудлыг шийднэ. Хэсгийг барьсны дараа шулуун шугамын проекц бүхий хэсгийн нийтлэг цэгүүдийг олно.

Уулзвар цэгүүдийн дутуу төсөөллийг холбооны шугамыг ашиглан шулуун шугамд хамааруулах үндсэн дээр байгуулна.

Харагдах байдлыг тодорхойлсон (харагдах байдлыг тодорхойлохгүйгээр асуудал шийдэгдээгүй гэж үзнэ) (Зураг 59).

Шулуун шугамыг гадаргуутай огтлолцох асуудлыг шийдэхдээ нарийн төвөгтэй зургийг хувиргах аргууд, ялангуяа хавтгайг солих аргыг өргөн ашиглаж болно (Зураг 60).

Хоёр гадаргуугийн харилцан огтлолцол.

Хоёр гадаргуу хоорондоо огтлолцох үед нэг буюу хоёр хаалттай орон зайн шугам (шилжилтийн шугам) үүсдэг бөгөөд тэдгээр нь огтлолцох гадаргуу бүрт нэгэн зэрэг хамаарна. Эдгээр шугамыг бие даасан цэгүүдийг ашиглан байгуулдаг. Оруулах тохиолдолд нэг мөрийг олж авдаг, i.e. хоёр гадаргуу огтлолцолд хэсэгчлэн оролцох үед. Нэвтрэх тохиолдолд хоёр мөрийг олж авдаг, i.e. наад зах нь нэг гадаргуугийн огтлолцолд бүрэн оролцох үед.

Хэрэв огтлолцолд хоёр полиэдраг оролцвол огтлолцлын шугам нь хэд хэдэн шулуун сегментээс бүрдэх тасархай шугам болж хувирна. Хэрэв олон өнцөгт ба муруй гадаргуу огтлолцсон бол огтлолцлын шугам нь эвдэрсэн муруй болно. Хэрэв хоёр муруй гадаргуу огтлолцвол үр дүн нь гөлгөр муруй шугам болно. Уулзвар шугамын цэгүүдийг тодорхойлох дараалал байдаг. Юуны өмнө лавлах цэгүүдийг тодорхойлно. Үүнд: хэт туйлшрал, тойм (гадаргуу бүрийн тойм тус бүр дээр тодорхойлогддог), үзэгдэх орчны өөрчлөлтийн цэгүүд (тоймуудын дундаас сонгосон). Хэрэв огтлолцолд олон өнцөгт оролцож байгаа бол түүний ирмэгийн өөр гадаргуутай огтлолцох цэгүүд нь лавлах цэгүүдэд хамаарна.

Лавлах цэгүүдийг олсны дараа санамсаргүй оноо. Хэрэв уулзварт муруй гадаргуу оролцож байвал ийм цэгүүд хэрэгтэй, учир нь ядаж нэг гадаргуу нь муруй байвал үр дүн нь муруй шугам болно. Санамсаргүй оноо авах тусам муруй шугамыг илүү нарийвчлалтай байгуулна.

Хоёр гадаргуугийн харилцан огтлолцолтой холбоотой асуудлуудыг хүндрэлийн гурван бүлэгт хуваадаг:

Эхний хүндрэлийн бүлэг– хоёр гадаргуу нь гацаж байна. Энэ тохиолдолд нийтлэг элементийн хоёр төсөөллийг (жишээ нь, огтлолцлын шугам) анхны цогцолбор зурагт заасан байдаг - тэдгээр нь проекцын гадаргуугийн үндсэн (муухай) төсөөлөлтэй давхцдаг. Та зүгээр л тэдгээрийг тодорхойлох хэрэгтэй. Заримдаа гурав дахь дутуу төсөөллийг бий болгох шаардлагатай болдог. Энэ тохиолдолд огтлолцох шугамын өгөгдсөн проекцуудын аль нэгийг цэгүүдэд хувааж, өгөгдсөн шугамын хоёр дахь проекц дээр заасан цэгүүдийн проекцууд, дараа нь холболтыг ашиглан цэгүүдийн хоёр проекцоос гурав дахь проекцийг байгуулна. шугамууд (Зураг 61).

Хоёрдахь бэрхшээлийн бүлэг– нэг гадаргуу нь проекц, нөгөө нь ерөнхий байрлалтай байна. Нийтлэг элементийн нэг төсөөллийг анхны зураг дээр заасан байдаг - энэ нь проекцын гадаргуугийн үндсэн (муухай) төсөөлөлтэй давхцдаг. Үүнийг тодорхойлох шаардлагатай. Ерөнхий элементийн хоёр дахь төсөөллийг түүний ерөнхий гадаргууд хамаарах нөхцлөөр тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд огтлолцлын шугамын одоо байгаа проекцийг цэгүүдэд (лавлагаа ба санамсаргүй) хуваах шаардлагатай бөгөөд дараа нь эдгээр цэгүүдийн дутуу төсөөллийг ерөнхий гадаргууд хамаарах нөхцлөөр байгуулах шаардлагатай. Хэрэв конус нь ерөнхий байрлал дахь гадаргуу (Зураг 62а), призм нь проекц гадаргуу юм бол огтлолцлын шугамын урд талын проекц нь . урд талын проекцПризмийг цэгүүдэд хувааж, тэдгээрийн дундуур параллель зурдаг. Дараа нь параллель радиусыг (тэнхлэгээс тойм хүртэл) хэмжиж, энэ радиусын тойргийг өөр проекц дээр зурж, дараа нь холбооны шугамыг ашиглан огтлолцлын шугамын цэгүүдийн дутуу төсөөллийг олно. Бүх цэгүүд олдвол тэдгээрийг гөлгөр муруйгаар холбодог.

Хэрэв ерөнхий дүрс нь бөмбөрцөг байвал асуудлыг мөн адил шийднэ (Зураг 62б).

Гурав дахь бүлгийн нарийн төвөгтэй байдал– огтлолцсон гадаргуу хоёулаа ерөнхий байрлалд байна. Энэ тохиолдолд анхны нийлмэл зураг дээрх гадаргуугийн огтлолцлын шугамын проекцуудын аль нь ч тодорхойлогдоогүй болно. Ийм асуудлыг зуучлагчдыг нэвтрүүлэх замаар шийддэг бөгөөд энэ нь асуудал бүрийн шийдлийг өгөгдсөн гадаргуутай зуучлагчийн уулзвараас олж авсан хоёр шугамын огтлолцол хүртэл бууруулдаг.

Энэ төрлийн асуудлыг шийдэх хоёр арга байдаг: туслах зүсэх онгоц ба бөмбөрцөг хэлбэрийн арга.

Туслах зүсэх онгоцны арга хоёр гадаргуугийн хөндлөн огтлолын үр дүнд энгийн байвал хэрэглэнэ график бүтэцшугам (тойрог эсвэл шулуун шугам). Таслах онгоц шаардлагатай хувийн байдал, ихэнх тохиолдолд түвшний хавтгай зуучлагчаар сонгогддог. Асуудлыг шийдэх энэ аргыг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ:

Бөмбөрцгийн P ба пирамидын Q огтлолцлын шугамыг байгуул (Зураг 63).

a) Зургийн дүн шинжилгээ нь энэ нь гурав дахь бүлгийн нарийн төвөгтэй асуудал болохыг харуулж байна (пирамид ба хагас бөмбөрцөг нь ерөнхий байрлалын дүрс). Асуудлыг зуучлагчдын тусламжтайгаар шийддэг. Бид түвшний хэвтээ хавтгайг зуучлагч болгон сонгодог. Тэд P-ийг параллель дагуу, Q гурвалжингаар - графикийн энгийн шугамаар огтлолцоно.

b) m огтлолцох шугам дээрх жишиг цэгүүдийг тодорхойлно. Бид пирамидын ирмэгүүдийн хагас бөмбөрцөгтэй огтлолцох цэгүүдийг олдог: M 1, F 1 ба E 1. М=SBP цэгийг ( 1) – хагас бөмбөрцгийн гол меридианы P хавтгайг ашиглан олно. AS ба SC ирмэг ба бөмбөрцгийн P хагасын огтлолцлын үр дүнд E ба F цэгүүдийг олж авна. , цэгүүдийг ( 2) хавтгай - хагас бөмбөрцгийн хавтгай экваторыг ашиглан олно. M, E, F цэгүүд нь туйлын цэгүүд, түүнчлэн P 2 дээрх ноорог цэгүүд, E ба F цэгүүд нь P 1 дээрх ноорог цэгүүд бөгөөд P 1 дээр харагдах байдлыг өөрчлөх цэгүүд юм.

c) Санамсаргүй цэгүүдийг ( 2) ба Г(Г 2) түвшний хавтгай ашиглан тодорхойлно; P=n(n 2 ,n 1) - хагас бөмбөрцгийн параллель Q= л(л 2 ,л 1) - DTS гурвалжин; nL=1 ба 2 цэгүүд. Үүний нэгэн адил Г(Г 2) хавтгайг ашиглан 3 ба 4-р цэгүүдийг олно.

d) Харагдах байдлыг харгалзан m шугамын олсон цэгүүдийг холбоно.

e) P ба Q хоёрын харилцан харагдах байдлыг тодорхойлно.

Туслах бөмбөрцгийн арга Хувьсгалын гадаргуугийн нэг шинж чанарт тулгуурладаг: хэрэв төв бөмбөрцөг гадаргуунь эргэлтийн гадаргуугийн тэнхлэг дээр байрладаг (энэ тохиолдолд бөмбөрцөг ба хувьсгалын гадаргууг коаксиаль гэж нэрлэдэг), дараа нь огтлолцох үед тойрог үүснэ. Түүнээс гадна эдгээр тойргийн хавтгай нь эргэлтийн гадаргуугийн тэнхлэгт перпендикуляр байрладаг (Зураг 64a, b).

Энэхүү өмчийн ачаар бөмбөрцөг гадаргууг огтлолцсон тэнхлэгүүдтэй хоёр эргэлтийн биетүүдийн гадаргуугийн хоорондох огтлолцлын цэгийг тодорхойлоход туслах гадаргуу болгон ашигладаг. Бөмбөрцгийг зуучлагчаар авах аргыг нэрлэдэг туслах төвлөрсөн бөмбөрцгийн арга. Энэ нь зөвхөн гурван нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л хамаарна:

Хоёр гадаргуу нь эргэлтийн гадаргуу байх ёстой.

Хоёр гадаргуу нь нийтлэг тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байх ёстой (жишээ нь тэд коаксиаль байх ёстой).

Огтлолцож буй гадаргуугийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд нь шулуун шугам байх ёстой бөгөөд эдгээр тэнхлэгүүд нь огтлолцох ёстой.

Практик жишээ ашиглан энэ аргын хэрэглээг авч үзье.

Жишээ:

Цилиндр ба конусын гадаргуугийн хооронд тэнхлэгүүд нь өнцгөөр огтлолцдог огтлолцлын шугамыг барина (Зураг 65). Хоёр биеийн P(P 1) тэгш хэмийн нийтлэг хавтгай нь P 2 хавтгайтай параллель байна.

Тиймээс хамгийн өндөр ба хамгийн доод цэгтойм үүсгэгчийн огтлолцол дээр M(M 1, M 2) ба N (N 1, N 2) огтлолцлын шугамыг авна. Уулзвар шугамын бусад бүх цэгүүдийг конус ба цилиндрийн тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэгээс зурсан туслах бөмбөрцөг ашиглан олно (O 1, O 2). Бөмбөрцөг хамгийн бага радиусогтлолцсон биетүүдийн аль нэгний гадаргууд сийлсэн бөмбөрцөг юм. Ийм бөмбөрцөг нь өөр биеийн гадаргуутай огтлолцох ёстой. О (O 2) тэнхлэгүүдийн огтлолцсон дүрсүүдийн аль нь хамгийн жижиг бөмбөрцөг болон огтлолцох цэгүүдэд тохирохыг тодорхойлохын тулд бид перпендикуляруудыг дүрсүүдийн тойм үүсгэгч дээр буулгана; Аль перпендикуляр нь том бол хамгийн жижиг бөмбөрцгийн радиус (R min =O 2 K 2) байх болно. Конусын гадаргууд сийлсэн O(O 2) төвөөс татсан Ф(Ф 2) бөмбөрцөг нь m(m 2,m 1) тойргийн дагуу конусын гадаргууд хүрч, цилиндрийн гадаргуутай огтлолцоно. тойрог n(n 2). Эдгээр тойрог хоёулаа K 2 K` 2 ба A 2 A` 2 шулуун хэрчмүүд хэлбэрээр P 2 дээр тусгагдсан. Баригдсан тойрог нь нэг Ф бөмбөрцөгт хамаарах тул конус ба цилиндрийн гадаргууд нийтлэг байдаг E(E 1, E 2) ба F(F 1, F 2) хоёр цэгээр огтлолцдог тул тэдгээрийн уулзварын шугам дээр байрладаг.

Дурын 1, 2, 3, 4-р цэгүүдийг доторлогоотой бөмбөрцгийн радиусаас арай том радиустай ( 2) төвтэй бөмбөрцөг ашиглан тодорхойлно. Бүх цэгүүдийг хоёр төсөөлөлд олсны дараа тэдгээрийг P 2, P 1 дээр харагдах байдлыг харгалзан гөлгөр шугамаар холбоно.

Хэрэв хоёр огтлолцсон гадаргуу нь эргэлтийн дүрс бөгөөд нийтлэг тэгш хэмийн хавтгайтай боловч эдгээр хавтгайн тэнхлэгүүд огтлолцохгүй бол энэ тохиолдолд үүнийг хэрэглэнэ. хазгай бөмбөрцөг арга. Энэ аргын хувьд хоёр гадаргуугийн огтлолцлын шугамын цэгүүдийг өөр өөр төвөөс татсан бөмбөрцөг ашиглан тодорхойлно.

Энэ аргын хэрэглээг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ:

Конус ба торусын гадаргуугийн хоорондох огтлолцлын шугамыг барина (Зураг 66).

Эхлээд бид лавлах цэгүүдийг тодорхойлно. Хоёр биеийн тэгш хэмийн нийтлэг хавтгай нь P2 хавтгайтай параллель байна. Тийм ч учраас хамгийн өндөр цэгтойм генераторуудын огтлолцол дээр M(M 1, M 2) огтлолцлын шугамыг авна. Хоёр зургийн суурь хавтгай нь P 1-тэй зэрэгцээ байна. P 1 дээр ( 2) хавтгайг тойрог хэлбэрээр зурахаас хоёр суурийн проекц хийгдсэн ба тэдгээрийн огтлолцол нь E(E 1, E 2) ба F(F 1, F 2) огтлолцлын шугамын хоёр доод цэгийг өгнө. ). Тодорхойлохын тулд дурын цэгүүд 1, 2 тойргийн тэнхлэгээр тойргийг A(A 2) төвтэй тойрог хэлбэрээр огтлолцох туслах урд талын хавтгайг зурна 2. энэ тойргийн төвөөс (A 2) B 2 B` 2 сегмент рүү перпендикуляр зурсан. Конусын тэнхлэгтэй огтлолцохдоо бөмбөрцгийн төвийг тодорхойлно O(O 2). O(O 2) төвөөс ийм радиустай туслах бөмбөрцөг Ф(Ф 2) зурсан бөгөөд энэ нь торусыг ВВ`(В 2 В` 2) тойргийн дагуу огтолно. Энэ бөмбөрцөг CC`(C 2 C` 2) тойргийн дагуу конусыг огтолж байна. Олдсон тойрог хоёулаа конус ба торусын гадаргуугийн огтлолцлын шугам дээр байрлах 1(1 2 ,1 1) ба 2(2 2 ,2 1) гэсэн хоёр цэгээр огтлолцоно.

3 ба 4-р цэгүүдийг Q(Q 2) туслах хавтгайг ашиглан ижил төстэй хийцээр олсон O`(O` 2) төвөөс ( 2) туслах бөмбөрцөг ашиглан тодорхойлно. Бүх цэгүүдийг олсны дараа хоёр төсөөлөлд тэдгээрийг P 2 ба P 1 дээр гөлгөр муруй шугамаар холбодог. Эцэст нь конус ба торус хоёрын харилцан харагдах байдлыг тодорхойлно.

IN Зарим тохиолдолд эргэлтийн гадаргууг огтлолцох замаар олж авсан муруй нь хоёр хавтгай муруй болж хуваагддаг., өөрөөр хэлбэл хоёр дахь эрэмбийн муруй руу. Уулзвар шугамыг хоёр хавтгай муруй болгон хуваах нөхцлүүдийг гурван теоремоор тодорхойлно.

Теорем 1.Хэрэв эргэлтийн хоёр гадаргуу (хоёр дахь эрэмбийн) нэг хавтгай муруй дагуу огтлолцох бол өөр хавтгай муруй дагуу огтлолцоно (Зураг 67a, b).

Теорем 2.Хэрэв эргэлтийн хоёр гадаргуу хоёр цэгт хүрвэл (Зураг 68 N ба М) тэдгээрийн огтлолцлын шугам нь хоёр хавтгай муруй болж хуваагдана. Эдгээр муруйнуудын хавтгай нь гадаргуугийн контактын цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын дагуу (Зураг 68 MN) огтлолцоно.

Теорем 3.(Г.Монгийн теорем) Хэрэв хоёр дахь эрэмбийн эргэлтийн гадаргууг хоёр дахь эрэмбийн (бөмбөрцөг) эргэлтийн гурав дахь гадаргууг тойруулан сийлсэн буюу дүрсэлсэн бол тэдгээрийн огтлолцлын үр дүнд хоёрдугаар эрэмбийн хоёр хавтгай муруй үүснэ (Зураг 1). 69).

Гадаргуугийн хөгжил.

Тэд үүнийг шүүрдэх гэж нэрлэдэг хавтгай дүрс, боловсруулах боломжтой гадаргууг хавтгайтай хослуулан олж авсан.

Хагархай, атираагүйгээр хавтгайтай зэрэгцэж болох гадаргууг боловсруулах боломжтой гэж нэрлэдэг.

Янз бүрийн төрлийн шүүрэлтийг авч үзье:

a) Нарийвчлалтай бүтээн байгуулалтууд (нүүртэй гадаргуу, конус ба цилиндр) (Зураг 70).

b) Ойролцоогоор (хөгжих боломжтой муруй гадаргуу). Муруй гадаргууг нүүртэй гадаргуугаар солино. Сканнерын нарийвчлал нь нүүрний гадаргуугийн хэсгүүдийн хэмжээ, тиймээс тэдгээрийн тооноос хамаарна (Зураг 71). Ойролцоогоор бүтээн байгуулалтаас хүссэн гадаргууг олж авахын тулд бүтээцийг зурсан нимгэн хуудсыг нугалахад хангалттай.

в) Ойролцоогоор - нөхцөлт хөгжил (хөгждөггүй муруй гадаргуу).

Онолын хувьд хөгждөггүй гадаргуу нь бүтээн байгуулалттай байж болохгүй. Хэрэв энэ гадаргууг цилиндр, боргоцой гэх мэт энгийн хөгжиж болох гадаргуугаар сольсон тохиолдолд хөгжлийг нөхцлөөр олж авна. Сүүлийнх нь эргээд олон талт гадаргуугаар солигдож, тэдгээрийг байрлуулсан байна.

Гадаргуугийн хөгжлийг бий болгох хэд хэдэн арга байдаг:

Гурвалжингийн арга (гурвалжин).Энэ аргыг нүүрэн талт гадаргуу болон бүх удирдлагатай гадаргуугийн бүтээн байгуулалтыг бий болгоход ашигладаг. Муруй шугамтай гадаргууг бичээстэй гадаргуутай гадаргуугаар солино (Зураг 70, 71).

Ердийн хэсгийн арга(Зураг 72).

Өнхрөх арга.

Туслах цилиндр ба конусын арга(нөхцөлт ойролцоо сканнерыг бүтээхэд зориулагдсан).

Гадаргуугийн бүтээн байгуулалтыг бий болгох хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Пирамидын гадаргуугийн хөгжлийг бий болгох (Зураг 70). Пирамидын хажуу талууд нь гурвалжин байдаг тул түүний бүтээн байгуулалт нь эдгээр гурвалжны байгалийн үнэ цэнэ, суурийн байгалийн үнэ цэнийг бий болгоход чиглэгддэг. Хавирганы байгалийн хэмжээсийг хавтгай параллель хөдөлгөөний аргаар тодорхойлно. Пирамидын хөгжил нь хэд хэдэн нүүр царай, бие биендээ наалдсан суурь юм.

Жишээ 2.Таслагдсан конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийг бий болгох (Зураг 71). Бид конусын гадаргууг конус дотор бичсэн найман өнцөгт пирамидаар сольдог. Генератрисын байгалийн хэмжээг хавтгай параллель хөдөлгөөний аргаар тодорхойлно.

Энэхүү бүтээцийг анхны зураг дээр бүх генераторууд болон сегментүүдийг P 2-тэй параллель байх хамгийн гаднах генатриксийн байрлал руу шилжүүлснээр гүйцэтгэж болно. Бид конусын суурийн нумуудыг хэд хэдэн хөвчөөр сольж, пирамид (цуврал гурвалжин) үүсэхтэй адил хөгжлийг бүтээдэг. Дараа нь бид үүссэн цэгүүдийг гөлгөр муруй шугамаар холбоно.

Жишээ 3. Цэвэрлэгээ барих налуу призм(Зураг 72). Призмийн хавирганы хоорондох зайг тодорхойлохын тулд хажуугийн хавиргатай перпендикуляр P(P 2) хавтгайгаар хэвийн огтлолын байгалийн утгыг барих шаардлагатай. Хэвийн хэсгийн бодит хэмжээг проекцын хавтгай эсвэл хавтгай параллель хөдөлгөөнийг орлуулах замаар тодорхойлно. Хөгжил дээр хэвийн огтлолын дүрс нь шулуун шугам бөгөөд урт нь хэвийн хэсгийн талуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. AA`, BB`, CC`, DD` хавирганы бодит хэмжээг P 2-оос хассан, учир нь Энэ призмийн ирмэгүүд нь P 2-тай параллель байвал тэдгээрийн бодит хэмжээг P 2 дээр уншина. Хэрэв призмийн ирмэгүүд нь ерөнхий байрлалын шулуун шугамууд байвал эхлээд тэдгээрийн байгалийн хэмжээ, дараа нь хэвийн хэсгийн мөн чанарыг тодорхойлж, дээр дурдсан зөвлөмжийн дагуу бүтээн байгуулалтыг бий болгох хэрэгтэй.

Захиргааны гадаргуу

Захиргааны гадаргуу нь орон зайд шулуун шугамын хөдөлгөөнөөс үүсэх гадаргууг хэлнэ. Гератриксийн хөдөлгөөний шинж чанараас хамааран бид олж авдаг янз бүрийн төрөлзахирагдсан гадаргуу.

Зураг 1.3.37 – Дүрэмтэй нүүртэй гадаргуу

Олон талт(пирамид, призм) нь тодорхой тооны нүүрнээс үүссэн хаалттай гадаргуу юм. IN энэ тохиолдолдЭнэ гадаргуугаар хязгаарлагдсан гадаргуу болон бие хоёулаа ижил нэртэй. Олон өнцөгтийн элементүүд нь орой, ирмэг, нүүр; олон өнцөгтийн бүх ирмэгүүдийн багцыг үүнийг нэрлэдэг торон. Олон өнцөгтийн проекцийг бүтээх нь түүний торны проекцийг бүтээхэд хүргэдэг.

Олон талтуудын дунд байдаг зөволон талт. Ийм олон талтуудад бүх ирмэг, нүүр, өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Жишээлбэл, 1.3.38-р зурагт үзүүлэв ердийн олон өнцөгт, дуудсан октаэдрон.

Зураг 1.3.39 – Конус ба цилиндр гадаргуу

Конус гадаргуу шулуун шугамаар үүсгэгдсэн л м(хөтөч) ба тогтмол цэгтэй байх С(дээд) Зураг 1.3.39-ийн дагуу, А. Гадаргуугийн тодорхойлогч Q(би, м, С).

Цилиндр гадаргуушулуун шугамаар үүсгэгдсэн л(генератор) муруй шугамын дагуу хөдөлдөг м(хөтөч) ба байнгын чиглэлтэй байх сЗураг 1.3.39-ийн дагуу, б. Гадаргуугийн тодорхойлогч С(би, м, с).

Бүх шулуун шугамууд ижил чиглэлтэй тул, өөрөөр хэлбэл. бие биентэйгээ параллель нь хязгааргүй алслагдсан (зохисгүй) цэгээр огтлолцдог бол цилиндр гадаргууг гэж үзэж болно. онцгой тохиолдолконус гадаргуу.

Нарийн төвөгтэй зураг дээр конус ба цилиндр гадаргууг тодорхойлохдоо шугамыг ихэвчлэн чиглүүлэгч болгон сонгодог. мпроекцын хавтгайн аль нэгтэй гадаргуугийн огтлолцол.