Дунд түвшний

Зөв гурвалжин. Бүрэн зурагтай гарын авлага (2019)

Тэгш өнцөгт гурвалжин. ЭЛСЭЛТИЙН ТҮВШИН.

Асуудлын хувьд зөв өнцөг нь огт шаардлагагүй байдаг - зүүн доод хэсэг, тиймээс та энэ хэлбэрээр тэгш өнцөгт гурвалжинг таньж сурах хэрэгтэй.

мөн үүнд

мөн үүнд

Тэгш өнцөгт гурвалжин юугаараа сайн бэ? За ... юуны түрүүнд онцгой байдаг сайхан нэрстүүний талуудын хувьд.

Зураг дээр анхаарлаа хандуулаарай!

Санаж, бүү андуураарай: хоёр хөлтэй, зөвхөн нэг гипотенуз байдаг(нэг бөгөөд цорын ганц, өвөрмөц, хамгийн урт)!

За, бид нэрсийн талаар ярилцлаа, одоо хамгийн чухал зүйл бол Пифагорын теорем юм.

Пифагорын теорем.

Энэ теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой олон асуудлыг шийдвэрлэх түлхүүр юм. Пифагор үүнийг бүрэн нотолсон эрт дээр үеэс, тэр цагаас хойш тэр түүнийг мэддэг хүмүүст маш их ашиг тусыг авчирсан. Мөн хамгийн сайн зүйл бол энэ нь энгийн зүйл юм.

Тэгэхээр, Пифагорын теорем:

"Пифагорын өмд бүх талаараа тэгш байна!" гэсэн онигоог санаж байна уу?

Эдгээрийг адилхан зурцгаая Пифагор өмдтэгээд тэднийг харцгаая.

Энэ нь ямар нэгэн шорт шиг харагдахгүй байна уу? За, аль талдаа, хаана тэнцүү вэ? Энэ онигоо яагаад, хаанаас гарсан бэ? Мөн энэ хошигнол нь Пифагорын теоремтой, эсвэл Пифагор өөрөө теоремоо томъёолсонтой яг холбоотой юм. Тэгээд тэр үүнийг дараах байдлаар томъёолжээ.

"Сум квадрат талбайнууд, хөл дээр баригдсан, тэнцүү байна дөрвөлжин талбай, гипотенуз дээр баригдсан."

Энэ нь үнэхээр арай өөр сонсогдож байна уу? Тиймээс Пифагор теоремийнхээ мэдэгдлийг зурахад яг ийм зураг гарч ирэв.

Энэ зураг дээр жижиг квадратуудын талбайн нийлбэр нь том талбайн талбайтай тэнцүү байна. Хүүхдүүд хөлний квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү гэдгийг илүү сайн санаж байхын тулд хэн нэгэн ухаантай Пифагор өмдний тухай онигоо гаргаж ирэв.

Яагаад одоо бид Пифагорын теоремыг томъёолж байна вэ?

Пифагор зовж, дөрвөлжингийн тухай ярьсан уу?

Эрт дээр үед ... алгебр байгаагүй гэдгийг та харж байна! Ямар ч шинж тэмдэг байхгүй гэх мэт. Ямар ч бичээс байсангүй. Эртний хөөрхий оюутнууд бүх зүйлийг үгээр санах нь ямар аймшигтай байсныг та төсөөлж байна уу??! Мөн бид байгаадаа баяртай байж болно энгийн үг хэллэгПифагорын теорем. Үүнийг илүү сайн санахын тулд дахин давтъя:

Энэ нь одоо хялбар байх ёстой:

За, энд байна гол теоремтэгш өнцөгт гурвалжны талаар ярилцав. Хэрэв та үүнийг хэрхэн баталж байгааг сонирхож байгаа бол дараах түвшний онолыг уншаарай, тэгээд цаашаа... харанхуй ой... тригонометр! Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн аймшигтай үгсэд.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенс.

Үнэндээ бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм. Мэдээжийн хэрэг, синус, косинус, тангенс, котангенсийн "жинхэнэ" тодорхойлолтыг нийтлэлд авч үзэх хэрэгтэй. Гэхдээ би үнэхээр хүсэхгүй байна, тийм үү? Бид баярлаж чадна: тэгш өнцөгт гурвалжны асуудлыг шийдэхийн тулд та дараах энгийн зүйлийг бөглөж болно.

Яагаад бүх зүйл зүгээр л буланд байдаг юм бэ? Булан хаана байна? Үүнийг ойлгохын тулд 1 - 4-р мэдэгдлийг үгээр хэрхэн бичсэнийг мэдэх хэрэгтэй. Харж, ойлгож, санаж яваарай!

1.
Үнэндээ энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна:

Өнцгийн талаар юу хэлэх вэ? Булангийн эсрэг талын хөл, өөрөөр хэлбэл эсрэг талын (өнцгийн хувьд) хөл байна уу? Мэдээжийн хэрэг байгаа! Энэ бол хөл!

Өнцгийн талаар юу хэлэх вэ? Анхааралтай хар. Аль хөл нь булангийн хажууд байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, хөл. Энэ нь өнцгийн хувьд хөл нь зэргэлдээ байна гэсэн үг юм

Одоо анхаарлаа хандуулаарай! Бидэнд юу байгааг хараарай:

Энэ нь ямар сайхан болохыг хараарай:

Одоо шүргэгч ба котангенс руу шилжье.

Би үүнийг одоо яаж үгээр бичих вэ? Хөл нь өнцөгтэй ямар холбоотой вэ? Мэдээжийн хэрэг эсрэгээрээ - булангийн эсрэг талд "худлаа". Хөл нь яах вэ? Булангийн хажууд. Тэгэхээр бидэнд юу байгаа вэ?

Тоолуур ба хуваагч хэрхэн байраа сольсныг хараарай?

Тэгээд одоо булангуудыг дахин хийж, солилцоо хийсэн:

Үргэлжлэл

Сурсан бүхнээ товчхон бичье.

Пифагорын теорем:

Тэгш өнцөгт гурвалжны тухай гол теорем бол Пифагорын теорем юм.

Пифагорын теорем

Дашрамд хэлэхэд, та хөл, гипотенуз гэж юу болохыг сайн санаж байна уу? Хэрэв тийм ч сайн биш бол зургийг хараарай - мэдлэгээ сэргээ

Та Пифагорын теоремыг аль хэдийн олон удаа ашигласан байж магадгүй, гэхдээ яагаад ийм теорем үнэн болохыг та бодож байсан уу? Би яаж үүнийг батлах вэ? Эртний Грекчүүд шиг хийцгээе. Хажуу талтай дөрвөлжин зуръя.

Хажуу талыг нь уртаар нь хэр ухаалгаар хувааж байсныг хараарай!

Одоо тэмдэглэсэн цэгүүдийг холбоно

Энд бид өөр нэг зүйлийг тэмдэглэсэн боловч та өөрөө зургийг хараад яагаад ийм байгааг бодож байна.

Том дөрвөлжингийн талбай хэд вэ? Зөв, . Жижиг талбайг яах вэ? Мэдээж, . Дөрвөн булангийн нийт талбай хэвээр байна. Бид тэднийг нэг нэгээр нь авч, гипотенузаар нь бие биендээ наасан гэж төсөөлөөд үз дээ. Юу болсон бэ? Хоёр тэгш өнцөгт. Энэ нь "тайрах" талбайн хэмжээ тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Одоо бүгдийг нь нэгтгэе.

Өөрчлүүлье:

Тиймээс бид Пифагорт зочилсон - бид түүний теоремыг эртний аргаар нотолсон.

Тэгш өнцөгт гурвалжин ба тригонометр

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дараах харилцааг хангана.

Хурц өнцгийн синус харьцаатай тэнцүү байна эсрэг талгипотенуз руу

Цочмог өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна.

Цочмог өнцгийн тангенс нь эсрэг талынх нь зэргэлдээ талын харьцаатай тэнцүү байна.

Хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаатай тэнцүү байна.

Дахин нэг удаа энэ бүгдийг таблет хэлбэрээр:

Энэ нь маш тохиромжтой!

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

I. Хоёр талдаа

II. Хөл ба гипотенузаар

III. Гипотенузаар ба хурц булан

IV. Хөл ба хурц өнцгийн дагуу

а)

б)

Анхаар! Энд хөл нь "тохиромжтой" байх нь маш чухал юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь иймэрхүү байвал:

ТЭГВЭЛ ГУРВАЛЖИНУУД ТЭНЦҮҮ БИШ, тэдгээр нь нэг ижил хурц өнцөгтэй байсан ч.

Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай гурвалжингийн аль алинд нь хөл нь зэргэлдээ, эсвэл хоёуланд нь эсрэг талд байсан.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын тэмдгүүд нь гурвалжны тэгш байдлын ердийн тэмдгүүдээс хэрхэн ялгаатай болохыг та анзаарсан уу? "Энгийн" гурвалжны тэгш байдлын хувьд тэдгээрийн гурван элемент нь тэнцүү байх ёстой гэдгийг анхаарч үзээрэй: хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг, хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал эсвэл гурван тал. Гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын хувьд зөвхөн хоёр харгалзах элемент хангалттай. Гайхалтай, тийм үү?

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй шинж тэмдгүүдийн хувьд нөхцөл байдал ойролцоогоор ижил байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг

I. Хурц өнцгийн дагуу

II. Хоёр талдаа

III. Хөл ба гипотенузаар

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медиан

Яагаад ийм байна вэ?

Тэгш өнцөгт гурвалжны оронд бүхэл тэгш өнцөгтийг авч үзье.

Диагональ зурж, цэгийг авч үзье - диагональуудын огтлолцлын цэг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ?

Тэгээд үүнээс юу гарах вэ?

Тэгэхээр ийм болсон

1. - медиан:

Энэ баримтыг санаарай! Маш их тусалдаг!

Хамгийн гайхмаар зүйл бол эсрэгээрээ байгаа явдал юм.

Гипотенуз руу татсан медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү байх нь ямар ашигтай вэ? Зургийг харцгаая

Анхааралтай хар. Бидэнд: , өөрөөр хэлбэл гурвалжны цэгээс бүх гурван орой хүртэлх зай тэнцүү болсон. Гэхдээ гурвалжинд гурвалжны гурван орой хүртэлх зай нь тэнцүү ганцхан цэг байдаг бөгөөд энэ нь ТОГЛОГЫН ТӨВ юм. Тэгээд юу болсон бэ?

За ингээд "үүнээс гадна..."-ээс эхэлцгээе.

болон харцгаая.

Гэхдээ ижил төстэй гурвалжинбүх өнцөг тэнцүү байна!

болон тухай мөн адил хэлж болно

Одоо хамтдаа зурцгаая:

Энэхүү "гурвалсан" ижил төстэй байдлаас ямар ашиг тус авч болох вэ?

За, жишээ нь - тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн хоёр томьёо.

Холбогдох талуудын харилцааг бичье.

Өндөрийг олохын тулд бид пропорцийг шийдэж, авна Эхний томъёо "Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өндөр":

Тиймээс ижил төстэй байдлыг хэрэгжүүлье: .

Одоо юу болох вэ?

Дахин бид пропорцийг шийдэж, хоёр дахь томьёог авна.

Та эдгээр хоёр томъёог маш сайн санаж, илүү тохиромжтойг нь ашиглах хэрэгтэй. Тэднийг дахин бичье

Пифагорын теорем:

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг:

• хоёр талдаа:
• хөл ба гипотенузаар: эсвэл
• хөл болон зэргэлдээ хурц өнцөг дагуу: эсвэл
• хөлний дагуу болон эсрэг талын хурц өнцөг: эсвэл
• гипотенуз ба хурц өнцгөөр: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг:

• нэг хурц өнцөг: эсвэл
• хоёр хөлийн пропорциональ байдлаас:
• хөл ба гипотенузын пропорциональ байдлаас: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенс

• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд оройгоос зурсан медиан зөв өнцөг, нь гипотенузын хагастай тэнцүү: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай:

• хөлөөрөө:

(ABC)ба түүний шинж чанаруудыг зурагт үзүүлэв. Тэгш өнцөгт гурвалжин нь баруун өнцгийн эсрэг талд байрлах гипотенузтай байдаг.

Зөвлөгөө 1: Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Зөв өнцгийг үүсгэдэг талуудыг хөл гэж нэрлэдэг. Зураг дээр талуудыг харуулав AD, DC ба BD, DC- хөл, хажуу тал АСТэгээд NE- гипотенуз.

Теорем 1. 30° өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжинд энэ өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагасыг хугална.

hC

AB- гипотенуз;

МЭТэгээд ДВ

Гурвалжин
Нэг теорем байна:
тайлбарын систем CACKLЭ

Шийдэл: 1) Аливаа тэгш өнцөгтийн диагональууд нь үнэн 2) Гурвалжин нэг хурц өнцөгтэй бол энэ гурвалжин хурц байна. Үнэн биш. Гурвалжны төрлүүд. Гурвалжны гурвалжин гурвалжин гурвалжин гурвалжныг хурц гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл 90 ° -аас бага бол 3) Хэрэв цэг дээр байрладаг бол.

Эсвэл өөр оруулгад,

Пифагорын теоремын дагуу

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн томьёо юу вэ?

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр

Гипотенуз руу зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг асуудлын тайлбар дахь өгөгдлөөс хамааран нэг аргаар олж болно.

Эсвэл өөр оруулгад,

Энд BK ба KC нь хөлний гипотенуз дээрх проекц (өндөр нь гипотенузыг хуваах сегментүүд) юм.

Гипотенуз хүртэлх өндрийг тэгш өнцөгт гурвалжны талбайгаар олж болно. Хэрэв бид гурвалжны талбайг олохын тулд томъёог хэрэглэвэл

(талын үржвэрийн тал ба энэ тал руу татсан өндөр) гипотенуз ба гипотенуз руу татсан өндрийг бид олж авна.

Эндээс бид өндрийг гурвалжны талбайн хоёр дахин, гипотенузын урттай харьцуулсан харьцаагаар олж болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь хөлний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү тул:

Өөрөөр хэлбэл, гипотенуз руу татсан өндрийн урт нь хөлний бүтээгдэхүүний гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна. Хэрэв бид хөлний уртыг a ба b, гипотенузын уртыг c гэж тэмдэглэвэл томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь ийм байна хагастай тэнцүүГипотенуз, өндрийн уртыг хөл ба тойргийн радиусаар илэрхийлж болно.

Гипотенуз руу татсан өндөр нь өөр хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг үүсгэдэг тул түүний уртыг тэгш өнцөгт гурвалжин дахь харьцаагаар олж болно.

ABK тэгш өнцөгт гурвалжингаас

ACK тэгш өнцөгт гурвалжингаас

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн уртыг хөлний уртаар илэрхийлж болно. Учир нь

Пифагорын теоремын дагуу

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болговол:

Та тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хөлтэй нь холбох өөр томъёог авч болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн томьёо юу вэ?

Зөв гурвалжин. Дундаж түвшин.

Та хүч чадлаа сорьж, Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд хэр бэлэн байгаагаа мэдмээр байна уу?

Тэгш өнцөгт гурвалжны тухай гол теорем бол Пифагорын теорем юм.

Пифагорын теорем

Дашрамд хэлэхэд, та хөл, гипотенуз гэж юу болохыг сайн санаж байна уу? Хэрэв тийм ч сайн биш бол зургийг хараарай - мэдлэгээ сэргээ

Та Пифагорын теоремыг аль хэдийн олон удаа ашигласан байж магадгүй, гэхдээ яагаад ийм теорем үнэн болохыг та бодож байсан уу? Би яаж үүнийг батлах вэ? Эртний Грекчүүд шиг хийцгээе. Хажуу талтай дөрвөлжин зуръя.

Хажуу талыг нь уртаар нь хэр ухаалгаар хувааж байсныг хараарай!

Одоо тэмдэглэсэн цэгүүдийг холбоно

Энд бид өөр нэг зүйлийг тэмдэглэсэн боловч та өөрөө зургийг хараад яагаад ийм байгааг бодож байна.

Том дөрвөлжингийн талбай хэд вэ? Зөв, . Жижиг талбайг яах вэ? Мэдээж, . Дөрвөн булангийн нийт талбай хэвээр байна. Бид тэднийг нэг нэгээр нь авч, гипотенузаар нь бие биендээ наасан гэж төсөөлөөд үз дээ. Юу болсон бэ? Хоёр тэгш өнцөгт. Энэ нь "тайрах" талбайн хэмжээ тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Одоо бүгдийг нь нэгтгэе.

Тиймээс бид Пифагорт зочилсон - бид түүний теоремыг эртний аргаар нотолсон.

Тэгш өнцөгт гурвалжин ба тригонометр

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дараах харилцааг хангана.

Хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна

Цочмог өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна.

Цочмог өнцгийн тангенс нь эсрэг талынх нь зэргэлдээ талын харьцаатай тэнцүү байна.

Хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаатай тэнцүү байна.

Дахин нэг удаа энэ бүгдийг таблет хэлбэрээр:

Та нэг маш тохиромжтой зүйлийг анзаарсан уу? Тэмдгийг анхааралтай ажигла.

Энэ нь маш тохиромжтой!

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

II. Хөл ба гипотенузаар

III. Гипотенуз ба хурц өнцгөөр

IV. Хөл ба хурц өнцгийн дагуу

Анхаар! Энд хөл нь "тохиромжтой" байх нь маш чухал юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь иймэрхүү байвал:

ТЭГВЭЛ ГУРВАЛЖИНУУД ТЭНЦҮҮ БИШ, тэдгээр нь нэг ижил хурц өнцөгтэй байсан ч.

Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай Хоёр гурвалжинд хөл нь зэргэлдээ, эсвэл хоёуланд нь эсрэг талд байсан.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын тэмдгүүд нь гурвалжны тэгш байдлын ердийн тэмдгүүдээс хэрхэн ялгаатай болохыг та анзаарсан уу? "Гурвалжин" сэдвийг үзээд "ердийн" гурвалжнуудын тэгш байдлыг хангахын тулд тэдгээрийн гурван элемент нь тэнцүү байх ёстойг анхаарна уу: хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг, хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал, эсвэл гурван талууд. Гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын хувьд зөвхөн хоёр харгалзах элемент хангалттай. Гайхалтай, тийм үү?

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй шинж тэмдгүүдийн хувьд нөхцөл байдал ойролцоогоор ижил байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг

III. Хөл ба гипотенузаар

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медиан

Тэгш өнцөгт гурвалжны оронд бүхэл тэгш өнцөгтийг авч үзье.

Диагональ зурж, диагональ огтлолцох цэгийг авч үзье. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ?

Диагональуудын огтлолцлын цэгийг хагасаар хуваасан диагональууд тэнцүү байна.

Тэгээд үүнээс юу гарах вэ?

Тэгэхээр ийм болсон

Энэ баримтыг санаарай! Маш их тусалдаг!

Хамгийн гайхмаар зүйл бол эсрэгээрээ байгаа явдал юм.

Гипотенуз руу татсан медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү байх нь ямар ашигтай вэ? Зургийг харцгаая

Анхааралтай хар. Бидэнд: , өөрөөр хэлбэл гурвалжны цэгээс бүх гурван орой хүртэлх зай тэнцүү болсон. Гэхдээ гурвалжинд гурвалжны гурван орой хүртэлх зай нь тэнцүү ганцхан цэг байдаг бөгөөд энэ нь ТОГЛОГЫН ТӨВ юм. Тэгээд юу болсон бэ?

Үүнийг "үүнээс гадна" эхлүүлье. "

Гэхдээ ижил төстэй гурвалжнууд бүгд ижил өнцөгтэй байдаг!

болон тухай мөн адил хэлж болно

Одоо хамтдаа зурцгаая:

Тэд ижил хурц өнцөгтэй!

Энэхүү "гурвалсан" ижил төстэй байдлаас ямар ашиг тус авч болох вэ?

За, жишээ нь - Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн хоёр томьёо.

Холбогдох талуудын харилцааг бичье.

Өндөрийг олохын тулд бид пропорцийг шийдэж, авна Эхний томьёо "Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өндөр":

Хоёрдахь яаж авах вэ?

Одоо гурвалжин ба ижил төстэй байдлыг авч үзье.

Тиймээс ижил төстэй байдлыг хэрэгжүүлье: .

Одоо юу болох вэ?

Дахин бид пропорцийг шийдэж, хоёр дахь томьёог авна "Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өндөр":

Та эдгээр хоёр томъёог маш сайн санаж, илүү тохиромжтойг нь ашиглах хэрэгтэй. Тэднийг дахин бичье

За, одоо энэ мэдлэгээ бусадтай хослуулан хэрэглэж, тэгш өнцөгт гурвалжинтай аливаа асуудлыг шийдэх болно!

Сэтгэгдэл

Хэрэв эх хуудсанд dofollow холбоос байгаа бол зөвшөөрөлгүйгээр материалыг тараахыг зөвшөөрнө.

Нууцлалын бодлого

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог. Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно. Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно янз бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн шинж чанар гипотенуз хүртэл буурсан

Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой. Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Зурвас илгээсэнд баярлалаа!

Таны сэтгэгдлийг хүлээн авсан бөгөөд зохицуулсны дараа энэ хуудсанд нийтлэх болно.

Та захын дор юу нуугдаж байгааг олж мэдээд Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх онцгой материалыг хүлээн авахыг хүсч байна уу? Имэйлээ үлдээнэ үү

Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд

Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье (ABC)болон түүний шинж чанаруудыг зурагт үзүүлэв. Тэгш өнцөгт гурвалжин нь баруун өнцгийн эсрэг талд байрлах гипотенузтай байдаг. Зөв өнцгийг үүсгэдэг талуудыг хөл гэж нэрлэдэг. Зураг дээр талуудыг харуулав AD, DC ба BD, DC- хөл, хажуу тал АСТэгээд NE- гипотенуз.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг:

Теорем 1. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөл нь өөр гурвалжны гипотенуз ба хөлтэй төстэй бол ийм гурвалжнууд конгруент байна.

Теорем 2. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хөл нь өөр гурвалжны хоёр хөлтэй тэнцүү бол ийм гурвалжнууд хоорондоо тохирно.

Теорем 3. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хурц өнцөг нь өөр гурвалжны гипотенуз ба хурц өнцөгтэй төстэй бол ийм гурвалжнууд конгруент байна.

Теорем 4. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл ба зэргэлдээ (эсрэг) хурц өнцөг нь өөр гурвалжны хөл ба зэргэлдээ (эсрэг) хурц өнцөгтэй тэнцүү бол ийм гурвалжнууд конгруент байна.

30° өнцгийн эсрэг талын хөлийн шинж чанарууд:

Теорем 1.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өндөр

30 ° өнцгөөр тэгш өнцөгт гурвалжинд энэ өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагасыг хугална.

Теорем 2. Тэгш өнцөгт гурвалжинд хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү бол түүний эсрэг талын өнцөг нь 30° байна.

Хэрэв өндрийг баруун өнцгийн оройноос гипотенуз руу татсан бол ийм гурвалжинг гарч буй гурвалжинтай төстэй, өөр хоорондоо төстэй хоёр жижиг гурвалжинд хуваагдана. Үүнээс дараах дүгнэлтүүд гарч байна.

1. Өндөр нь гипотенузын хоёр сегментийн геометрийн дундаж (пропорциональ дундаж) юм.
2. Гурвалжны хөл бүр нь гипотенуз ба зэргэлдээ сегментүүдтэй пропорциональ дундаж юм.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд хөл нь өндрийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Ортоцентр нь гурвалжны өндрийн огтлолцох цэг юм. Энэ нь зургийн зөв өнцгийн оройтой давхцдаг.

hC- гурвалжны зөв өнцгөөс гарч буй өндөр;

AB- гипотенуз;

МЭТэгээд ДВ- гипотенузыг өндрөөр нь хуваах үед үүссэн сегментүүд.

"Геометр" хичээлийн талаархи мэдээллийг үзэх рүү буцах

Гурвалжин- Энэ геометрийн дүрс, нэг шулуун дээр байхгүй гурван цэг (орой) ба эдгээр цэгүүдийг холбосон гурван сегментээс бүрдэнэ. Тэгш өнцөгт гурвалжин нь нэг өнцөг нь 90° (зөв өнцөг)-тэй гурвалжин юм.
Нэг теорем байна:тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр 90° байна.
тайлбарын систем CACKLЭ

Түлхүүр үгс:гурвалжин, зөв ​​өнцөг, хөл, гипотенуз, Пифагорын теорем, тойрог

гурвалжин гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгтхэрэв энэ нь зөв өнцөгтэй бол.
Тэгш өнцөгт гурвалжин нь хоёр бие биенээсээ бүрддэг перпендикуляр талууд, дуудсан хөл; түүний гурав дахь тал гэж нэрлэдэг гипотенуз.

• Перпендикуляр ба ташуу шинж чанарын дагуу гипотенуз нь хөл тус бүрээс урт байдаг (гэхдээ тэдгээрийн нийлбэрээс бага).
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хурц өнцгийн нийлбэр нь тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр өндөр нь түүний хөлтэй давхцдаг. Тиймээс дөрвийн нэг нь гайхалтай оноогурвалжны зөв өнцгийн оройнуудыг цохино.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны тойрог нь гипотенузын дунд байрладаг.
• Тэгш өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэл зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны медиан нь энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Дурын тэгш өнцөгтийг авч үзье ABC гурвалжинба түүний зөв өнцгийн С оройноос CD = hc өндрийг зур.

Энэ нь өгөгдсөн гурвалжинг ACD ба BCD гэсэн хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваах болно; Эдгээр гурвалжин тус бүр нь ABC гурвалжинтай нийтлэг хурц өнцөгтэй тул ABC гурвалжинтай төстэй.

ABC, ACD, BCD гурвалжин гурвалжин бүгд ижил төстэй.

Гурвалжны ижил төстэй байдлаас дараахь хамаарлыг тодорхойлно.

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Пифагорын теоремтэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоох Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг.

Геометрийн томъёолол.Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз дээр баригдсан талбайн талбай нь хөл дээр баригдсан квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Алгебрийн томъёолол.Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл, гурвалжны гипотенузын уртыг c, хөлний уртыг a, b-ээр тэмдэглэнэ.
a2 + b2 = c2

Пифагорын теоремыг эргүүл.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр

Гурав тутамд эерэг тоонууд a, b, c, ийм байна
a2 + b2 = c2,
А ба b хөлтэй, гипотенуз в бүхий тэгш өнцөгт гурвалжин бий.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг:

• хөл ба гипотенузын дагуу;
• хоёр хөл дээр;
• хөл ба хурц өнцгийн дагуу;
• гипотенуз ба хурц өнцгийн дагуу.

Мөн үзнэ үү:
Гурвалжны талбай, Хоёр талт гурвалжин, Тэгш талт гурвалжин

Геометр. 8 Анги. Туршилт 4. Сонголт 1 .

МЭ : CD = CD : Б.Д. Тиймээс CD2 = AD ∙ Б.Д. Тэд хэлэхдээ:

МЭ : AC = AC : AB. Тиймээс AC2 = AB байна ∙ А.Д. Тэд хэлэхдээ:

Б.Д : BC = BC : AB. Тиймээс BC2 = AB байна ∙ Б.Д.

Асуудлыг шийдвэрлэх:

1.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Гипотенуз руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь гипотенузыг 9 ба 36-р сегментүүдэд хуваана.

Энэ өндрийн уртыг тодорхойл.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл 30 байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ?

Энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус 17 бол зөв өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэлх зайг ол.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Хариултуудыг шалгана уу!

G8.04.1. Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь пропорциональ сегментүүд

Геометр. 8 Анги. Туршилт 4. Сонголт 1 .

Δ ABC-д ∠ACV = 90° байна. АС ба ВС хөл, АВ гипотенуз.

CD нь гипотенуз руу татсан гурвалжны өндөр юм.

Гипотенуз руу АС хөлний проекц,

BC хөлний гипотенуз руу чиглэсэн BD проекц.

Өндөр CD нь ABC гурвалжинг түүнтэй төстэй (болон өөр хоорондоо) хоёр гурвалжинд хуваадаг: Δ ADC ба Δ CDB.

Ижил төстэй Δ ADC ба Δ CDB-ийн талуудын пропорциональ байдлаас үзэхэд дараах байдалтай байна.

МЭ : CD = CD : Б.Д.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн шинж чанар гипотенуз хүртэл буурсан.

Тиймээс CD2 = AD ∙ Б.Д. Тэд хэлэхдээ: гипотенуз руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр,дундаж байна пропорциональ утгагипотенуз руу хөлний проекцуудын хооронд.

Δ ADC ба Δ ACB-ийн ижил төстэй байдлаас үзэхэд дараах байдалтай байна.

МЭ : AC = AC : AB. Тиймээс AC2 = AB байна ∙ А.Д. Тэд хэлэхдээ: хөл тус бүр нь бүх гипотенуз ба энэ хөлний гипотенуз дээрх проекцын хоорондох дундаж пропорциональ утга юм.

Үүний нэгэн адил, Δ CDB ба Δ ACB-ийн ижил төстэй байдлаас дараах байдалтай байна.

Б.Д : BC = BC : AB. Тиймээс BC2 = AB байна ∙ Б.Д.

Асуудлыг шийдвэрлэх:

1. Гипотенузыг 25 см ба 81 см хэрчмүүдэд хуваасан тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз руу татсан өндрийг ол.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Гипотенуз руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь гипотенузыг 9 ба 36-р хэрчмүүдэд хуваана. Энэ өндрийн уртыг тодорхойл.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Гипотенуз руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр 22, нэг хөлийн проекц 16. Нөгөө хөлийн проекцийг ол.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл 18, гипотенуз руу хийсэн проекц нь 12. Гипотенузыг ол.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Гипотенуз 32-той тэнцүү. Гипотенуз дээрх проекц нь 2-той тэнцүү талыг ол.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 45. Гипотенуз дээрх проекц нь 9 бол талыг ол.

8. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл 30. Энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус 17 бол зөв өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэлх зайг ол.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 41, аль нэг хөлийн проекц 16. Тэгш өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэл татсан өндрийн уртыг ол.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Гипотенуз дээрх хөлийн проекцын зөрүү 15, баруун өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэлх зай 4. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг ол.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Зөв гурвалжин- энэ бол нэг өнцөг нь шулуун, өөрөөр хэлбэл 90 градустай тэнцүү гурвалжин юм.

• Зөв өнцгийн эсрэг талын талыг гипотенуз гэж нэрлэдэг (зураг дээр вэсвэл AB)
• Зөв өнцөгтэй зэргэлдээх талыг хөл гэж нэрлэдэг. Тэгш өнцөгт гурвалжин бүр хоёр хөлтэй (зураг дээр эдгээрийг тэмдэглэсэн болно аба b эсвэл AC ба BC)

Тэгш өнцөгт гурвалжны томьёо ба шинж чанарууд

(дээрх зургийг харна уу)

а, б- тэгш өнцөгт гурвалжны хөл

в- гипотенуз

α, β - гурвалжны хурц өнцөг

С- дөрвөлжин

h- баруун өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэл буулгасан өндөр

м а аэсрэг булангаас ( α )

м б- хажуу тийш зурсан медиан бэсрэг булангаас ( β )

м в- хажуу тийш зурсан медиан вэсрэг булангаас ( γ )

IN зөв гурвалжин аль нэг хөл нь гипотенузаас бага байна(Формула 1 ба 2). Энэ өмчнь Пифагорын теоремын үр дагавар юм.

Аливаа хурц өнцгийн косинуснэгээс бага (Формула 3 ба 4). Энэ өмч нь өмнөхөөсөө дагалддаг. Аль нэг хөл нь гипотенузаас бага байдаг тул хөл ба гипотенузын харьцаа үргэлж нэгээс бага байдаг.

Гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү (Пифагорын теорем). (Формула 5). Энэ өмчийг асуудлыг шийдвэрлэхэд байнга ашигладаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайхөлний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү (Формула 6)

Квадрат медиануудын нийлбэрхөл нь гипотенузын дундажийн таван квадрат ба гипотенузын таван квадратыг дөрөвт хуваасантай тэнцүү байна (Формула 7). Дээрхээс гадна байдаг Өөр 5 томъёо, тиймээс та мөн медианы шинж чанарыг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарласан "Тэгш өнцөгт гурвалжны медиан" хичээлийг уншихыг зөвлөж байна.

ӨндөрТэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг гипотенузаар хуваасан үржвэртэй тэнцүү байна (Формула 8)

Хөлний квадратууд нь гипотенуз руу буулгасан өндрийн квадраттай урвуу пропорциональ байна (Формула 9). Энэ ижил төстэй байдал нь Пифагорын теоремын үр дагаврын нэг юм.

Гипотенузын уртхүрээлэгдсэн тойргийн диаметртэй (хоёр радиус) тэнцүү (Формула 10). Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь тойргийн диаметр юм. Энэ өмчийг ихэвчлэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Бичсэн радиусВ зөв гурвалжин тойрогЭнэ гурвалжны хөлүүдийн нийлбэрийг гипотенузын уртыг хассан илэрхийлэлийн хагасыг олж болно. Эсвэл хөлний үржвэрийг бүх талын нийлбэрт хуваасан (периметр) өгөгдсөн гурвалжин. (Формула 11)
Өнцгийн синус эсрэг талын харьцаа энэ өнцөг хөл нь гипотенуз хүртэл(синусын тодорхойлолтоор). (Формула 12). Энэ өмчийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Хажуугийн хэмжээг мэдсэнээр та тэдгээрийн үүсэх өнцгийг олох боломжтой.

Тэгш өнцөгт гурвалжны А (α, альфа) өнцгийн косинус нь тэнцүү байна хандлага зэргэлдэээнэ өнцөг хөл нь гипотенуз хүртэл(синусын тодорхойлолтоор). (Формула 13)