Гиперболын функцууд нь механик, цахилгаан инженерчлэл болон бусад техникийн салбаруудад байдаг. Олон томъёолол гиперболын функцуудхязгаарлагдмал шинж чанараас бусад нь тригонометрийн функцүүдийн томъёотой төстэй.
| № | Чиг үүрэг | Нэр | Дериватив  |
| 1. |  | гиперболын синус |  |
| 2. |  | гипербол косинус |  |
| 3. |  | гиперболын тангенс |  |
| 4. |  | гипербол котангенс |  |
Гипербол функцүүдийн томъёо
1. 
.
Баталгаа. Шаардлагатай ялгааг авч үзье
. .
Баталгаа. Ажлыг харцгаая
.
Ажлыг харцгаая 
.
Хоёр бүтээгдэхүүнийг нэмээд ижил төстэй бүтээгдэхүүнийг өгье:
Эхлэл ба төгсгөлийг холбосноор бид нотлох тэгш байдлыг олж авна: .
Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанаруудтай төстэй гипербол функцүүдийн өөр олон шинж чанарууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь ижил төстэй байдлаар батлагдсан байдаг.
Гипербол функцийн деривативуудын томъёог баталъя.
1. Гиперболын синусыг авч үзье 
.
Деривативыг олохдоо бид дериватив тэмдгээс тогтмолыг авдаг. Дараа нь бид хоёр функцийн ялгааны деривативын шинж чанарыг ашиглана. Деривативын хүснэгтийг ашиглан функцийн деривативыг ол. 
. Бид функцийн деривативыг дериватив гэж хайдаг нарийн төвөгтэй функц 
.
Тиймээс дериватив 
.
Эхлэл ба төгсгөлийг холбосноор бид нотлох тэгш байдлыг олж авна. 
.
2. Гипербол косинусыг авч үзье .
Бид өмнөх алгоритмыг бүрэн ашигладаг бөгөөд зөвхөн хоёр функцийн ялгаварын деривативын шинж чанарын оронд эдгээр хоёр функцийн нийлбэрийн деривативын шинж чанарыг ашигладаг. 
.
Эхлэл ба төгсгөлийг холбосноор бид нотлох тэгш байдлыг олж авна. 
.
3. Гиперболын тангенсыг авч үзье .
Бутархайн деривативыг олох дүрмийг ашиглан деривативыг олно.
4. Гипербол котангентын дериватив
нийлмэл функцийн дериватив хэлбэрээр олж болно 
.
Эхлэл ба төгсгөлийг холбосноор бид нотлох тэгш байдлыг олж авна. 
.
Функцийн дифференциал
Функцийг зөвшөөр 
– цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол аргументийн өсөлттэй тохирох цэг дээрх энэ функцийн өсөлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
-аас хамааралгүй тодорхой тоо бөгөөд энэ нь аргументийн функц бөгөөд энэ нь төгсгөлгүй бага юм. 
.
Тиймээс функцийн өсөлт нь хязгааргүй хоёр гишүүний нийлбэр юм 
Тэгээд 
. Хоёр дахь хугацаа гэдгийг харуулсан 
хязгааргүй юм жижиг функцгэхээсээ илүү өндөр дараалал (8.1-ийг үзнэ үү). Тиймээс эхний нэр томъёо 
нь функцийн өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг юм . Тайлбар 8.1. Функцийн өсөлтийн өөр томьёог (8.1.1) авсан , тухайлбал: . (8.1.1)
Тодорхойлолт 8.3.Дифференциалфункцууд цэг дээр түүний өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг гэж нэрлэгддэг, бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнадериватив 
Энэ үед аргументын дурын өсөлтөөр , мөн тэмдэглэгдсэн байна (эсвэл 
):
(8.4)
Функцийн дифференциал бас дууддаг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал.
Бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь -ээс хамааралгүй дурын тоо юм. Ихэнхдээ энэ тоог хувьсагчийн өсөлт гэж авдаг, өөрөөр хэлбэл. 
. Энэ нь функцийн дифференциалыг олох дүрэмд (8.4) нийцэж байна
Функцийг авч үзье 
мөн түүний дифференциалыг ол.
Учир нь дериватив 
. Тиймээс бид авсан: 
ба дифференциал функцууд томъёог ашиглан олж болно
. (8.4.1)
Тайлбар 8.7.(8.4.1) томъёоноос дараахь зүйлийг гаргана. 
Тиймээс тэмдэглэгээг зөвхөн деривативын тэмдэглэгээ гэж ойлгож болохгүй 
, гэхдээ мөн хамааралтай ба бие даасан хувьсагчдын дифференциалуудын харьцаагаар.
8.7. Дифференциал функцийн геометрийн утга
Функцийн графикийг гарга 
шүргэгч зурсан (8.1-р зургийг үз). Цэг 
функцийн график дээр байна мөн абсциссатай - . Бид цэгийг дур зоргоороо нэмэгдүүлнэ 
функцийн тодорхойлолтын домайныг орхисонгүй .
Зураг 8.1 Функцийн графикийн дүрслэл
Цэг нь координаттай 
. Шугамын сегмент 
. Энэ цэг нь функцийн графиктай шүргэгч дээр байрладаг мөн абсциссатай - . Тэгш өнцөгтөөс 
Эндээс харахад өнцөг нь тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба функцийн графикт татсан шүргэгчийн хоорондох өнцөг юм. цэг дээр. Функцийн дифференциалын тодорхойлолтоор ба дериватив функцийн геометрийн утга цэг дээр бид үүнийг дүгнэж байна 
. Тиймээс, геометрийн утгадифференциал функц дифференциал нь функцийн графикт шүргэгчийн ординатын өсөлтийг илэрхийлдэг цэг дээр.
Тайлбар 8.8.Дурын функцийн дифференциал ба өсөлт , ерөнхийдөө бие биетэйгээ тэнцүү биш.B ерөнхий тохиолдол, функцийн өсөлт ба дифференциалын ялгаа хязгааргүй бага байна илүү өндөр дараалаларгументийн өсөлтөөс бага. Тодорхойлолт 8.1-ээс дараах зүйл гарч ирнэ 
, өөрөөр хэлбэл 
.
Зураг 8.1-д цэг нь функцийн график дээр байрладаг мөн координаттай 
. Шугамын сегмент.
Зураг 8.1-д тэгш бус байдал хангагдана 
, өөрөөр хэлбэл 
. Гэхдээ үнэн байх тохиолдол бий эсрэг тэгш бус байдал 
. Үүнийг хийхийн тулд хийдэг шугаман функцдээш чиглэсэн гүдгэр функцийн хувьд.
Гиперболын функцүүдийн талаархи лавлагаа мэдээлэл. Гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, график, шинж чанарууд. Нийлбэр, зөрүү, бүтээгдэхүүний томъёо. Дериватив, интеграл, цуваа тэлэлт. Тригонометрийн функцээр дамжуулан илэрхийлэл.
Гипербол функцүүдийн тодорхойлолт, тэдгээрийн тодорхойлолт, утгын хүрээ
sh x - гиперболын синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - гипербол косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x - гиперболын тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - гипербол котангенс
X ≠ 0 ; y< -1 или y > +1 .
Гипербол функцүүдийн графикууд
Гиперболын синусын график у = ш х
Гипербол косинусын график у = ch x
Гипербол тангенсийн график у = th x
Гипербол котангенсийн график у = cth x
Гипербол функц бүхий томьёо
Тригонометрийн функцүүдийн хамаарал
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i cot z
Энд би - төсөөллийн нэгж, i 2 = - 1
.
Эдгээр томъёог тригонометрийн функцүүдэд ашигласнаар бид гиперболын функцтэй холбоотой томъёог олж авдаг.
Паритет
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x;
cth(-x) = - cth x.
Чиг үүрэг ch(x)- бүр. Функцүүд sh(x), th(x), cth(x)- хачин.
Квадратуудын ялгаа
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Аргументуудын нийлбэр ба зөрүүний томъёо
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ч(х у) = ч х ч ы ш х ш й,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Гиперболын синус ба косинусын бүтээгдэхүүний томъёо
,
,
,
,
,
.
Гипербол функцүүдийн нийлбэр ба ялгаварын томъёо
,
,
,
,
.
Гиперболын синус ба косинусын тангенс ба котангенсийн хамаарал
,
,
,
.
Дериватив
,
sh x, ch x, th x, cth x-ийн интегралууд
,
,
.
Цуврал өргөтгөлүүд
ш х
ch x
th x
cth x
Урвуу функцууд
Нутаг дэвсгэр
- ∞ дээр< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areacosine
At 1 ≤ x< ∞
Тэгээд 0 ≤ y< ∞
дараах томъёог хэрэглэнэ.
,
.
Areacosine-ийн хоёр дахь салбар нь байрладаг 1 ≤ x< ∞
ба - ∞< y ≤ 0
:
.
Аратангенс
-д 1
< x < 1
ба - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Аракотангенс
- ∞ дээр< x < - 1
эсвэл 1
< x < ∞
ба y ≠ 0
дараах томъёог хэрэглэнэ.
,
.
Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Хариулт: Гиперболын функцууд - гэр бүл үндсэн функцууд, экспоненциалаар илэрхийлэгдэх ба тригонометрийн функцуудтай нягт холбоотой. Гиперболын функцийг 1757 онд Винчензо Риккати нэвтрүүлсэн (Opusculorum, I боть). Тэрээр тэдгээрийг нэгжийн гиперболыг авч үзсэний үндсэн дээр олж авсан.
Гиперболын функцүүдийн шинж чанарын талаархи нэмэлт судалгааг Ламберт хийсэн. Төрөл бүрийн интегралыг тооцоолохдоо гипербол функцүүд ихэвчлэн тулгардаг. -ийн зарим интеграл оновчтой функцуудмөн радикал агуулсан функцүүдээс гипербол функцийг ашиглан хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан маш энгийнээр гүйцэтгэдэг. Гиперболын функцууд нь хослол байдаг тул гиперболын синус болон косинусыг олоход хялбар байдаг 
Эдгээр функцүүдийн дериватив нь хэлбэртэй байна 
Гиперболын функцууд өгөгдсөн дараах томъёонууд: 1) гиперболын синус: 
(В гадаадын уран зохиол sinx гэж тэмдэглэсэн); 2) гипербол косинус: 
(гадаадын уран зохиолд үүнийг cosx гэж нэрлэдэг); 3) гипербол тангенс: 
(гадаадын уран зохиолд үүнийг "tanx" гэж нэрлэдэг); 4) гипербол котангенс: 
; 5) гиперболын секант ба косекант: 
Геометрийн тодорхойлолт: Харилцааны үүднээс гиперболын функцууд нь гиперболын параметрийн дүрслэлийг өгдөг. Энэ тохиолдолд t = 2S аргумент, S нь муруй шугаман гурвалжны OQR-ийн талбай, хэрэв салбар бол "+" тэмдгээр авсан. OX тэнхлэгээс дээш байрлах ба эсрэг тохиолдолд "-". Энэ тодорхойлолт нь тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолттой төстэй юм нэгж тойрог, үүнийг мөн ижил төстэй аргаар барьж болно. Тригонометрийн функцтэй холболт: Гипербол функцийг төсөөллийн аргументийн тригонометрийн функцээр илэрхийлнэ. Аналитик шинж чанарууд: Гиперболын синусба гипербол косинус бүхэлдээ аналитик шинж чанартай байдаг нарийн төвөгтэй хавтгай, хязгааргүй дэх үндсэндээ онцгой цэгийг эс тооцвол.
Дериватив хүснэгт.
Хариулт:
Деривативын хүснэгт (бидэнд голчлон хэрэгтэй): 
46) Функцийн дериватив – параметрээр тодорхойлогдсон.
Хариулт:
Хоёр хувьсагчийн x ба y t параметрээс хамаарах хамаарлыг өгөгдөж, функц урвуу утгатай байг:-ын хязгаарт хэлбэлзэж байна. 
Дараа нь бид функцүүдийн найрлагыг авч болно 
y-ийн x-ээс хамаарлыг ол: 
Параметрээр тодорхойлсон x утгаас y утгын хамаарлыг үүсмэл томъёоны дагуу функцүүдийн деривативуудаар илэрхийлж болно. урвуу функц, 
Деривативыг тооцоолохдоо бидний сонирхож буй x утгыг олж авах параметрийн утга хаана байна. Томьёог хэрэглэх нь биднийг параметрийн хамаарал гэж дахин илэрхийлсэн харилцаанд хүргэдэг болохыг анхаарна уу. 
Эдгээр харилцааны хоёр дахь нь оролцож байсан харилцаа юм параметрийн даалгавар y(x) функцууд. Дериватив нь тодорхой илэрхийлэгдээгүй хэдий ч энэ нь t параметрийн харгалзах утгыг олох замаар деривативыг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд саад болохгүй. Үүнийг үзүүлье дараах жишээ. Жишээ 4.22: x ба у хоёрын хамаарлыг параметрийн дагуу дараах томьёогоор өгье: Цэг дэх y(x) хамаарлын графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол t=1 гэж авбал утгууд гарна. t параметрийн хувьд х ба у-ийн деривативуудыг олъё: Иймд 
t=1 үед бид энэ утгыг тодорхойлсон деривативын утгыг авна; налууХүссэн тангенсийн k. Координатууд 
мэдрэгчтэй цэгүүдийг асуудлын мэдэгдэлд зааж өгсөн болно. Энэ нь шүргэгч тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна гэсэн үг: Олж авсан параметрийн хамаарал дээр үндэслэн y функцийн хоёр дахь деривативыг х хувьсагчийн хувьд олж болохыг анхаарна уу: 
