Хоёр хэмжээст диффузийн тэгшитгэл. Дамжуулах шугамын тэгшитгэл

ch-д. XIII, § 2, 6-д бид дулаан дамжилтын илтгэлцүүр ба диффузийн интеграл тэгшитгэлийг (56) судалсан. Үүнийг гарган авах аргаас харахад энэ тэгшитгэлийг илүү олон зүйлд ашиглах боломжтой болох нь тодорхой байна ерөнхий тохиолдолэнэ догол мөрөнд хэлэлцсэн. Бодит байдал дээр үүнээс ч илүү байгааг бид харах болно ерөнхий утга. Үнэн хэрэгтээ, бүлэгт заасан зарчмын дагуу. XIII, § 2, 3, энэ тэгшитгэлд багтсан функцуудыг зарим магадлал гэж үзэж болно. Тиймээс хэрэв зарим нь төрийн физик системнь цаг хугацаанаас хамааралтай хувьсагчаар статистикийн аргаар тодорхойлогддог, тухайлбал, ямар нэгэн броуны хөдөлгөөнд өртөж байгаа бол энэ хөдөлгөөнийг дахин интеграл тэгшитгэлээр (51) тайлбарлах болно.

Тухайн үед систем нь тухайн системээс шилжих магадлалын хооронд байх магадлал байгаа бол анхны байрлал, эцсийн байрлалын хооронд хэвтэж, дараа нь хэвтэх нь шугаман интеграл тэгшитгэлийг хангана.

Үүний гол цөм нь ерөнхийдөө тэгш хэмтэй бус байдаг.

Брауны ердийн хөдөлгөөний хувьд гадны хүч байхгүй тохиолдолд цөм нь харьцангуй тэгш хэмтэй бөгөөд Бүлэгт тодорхойлсон хэлбэртэй байна. XIII, §2, (56a). Энэ тохиолдолд (8) тэгшитгэлийн шийдлийг энд зааж өгсөн болно.

Эхлээд тэгшитгэлд (8) системийн цаг хугацааны шилжилтийг илэрхийлэх шинэ хувьсагчийг оруулъя. Дараа нь тэгшитгэл (8) дараах хэлбэртэй болно.

илэрхийлэл нь тодорхой бол систем цаг хугацааны явцад анхны x байрлалаас хоорондын зай руу шилжих магадлалтай тэнцүү. зүүн тал(9) градусаар

эхний захиалгын нөхцөл хүртэл, болон баруун талградусаар Дараа нь бид авах болно

Хэмжигдэхүүн нь дараах утгатай байна:

Функцийг магадлалын тодорхойлолтоос үзэхэд одоо хязгаарлагдмал утгууд байна гэж бодъё:

Дараа нь (10) -аас бид функцийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна

оператор хаана байна

Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг статистик физикФоккер-Планкийн дифференциал тэгшитгэл Энэ нь маш олон төрлийн хэрэглээтэй.

Хэрэв механик системНэг талаас гадны хүчний үйлчлэлээс, нөгөө талаас молекулуудын дулааны хөдөлгөөнөөс болж иодын санамсаргүй хэлбэлзэл нь ердийнх шиг тохиолддог. Брауны хөдөлгөөн, дараа нь (11) ба (12)-ын дагуу функц байна дундаж хурдгадны хүчний нөлөөн дор бөөмсөөр олж авсан. Цаашилбал, энэ тохиолдолд бүх at нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс (13) нь тархалтын коэффициент байгаа ерөнхий диффузын тэгшитгэл (6) руу ордог. (11) ба (12)-ын дагуу:

өөрөөр хэлбэл, нүүлгэн шилжүүлэлтийн дундаж квадратыг бидний аль хэдийн Бүлэгт уулзсан харьцаанд хуваасантай тэнцүү байна. XIII, § 2, (23) Эйнштейний томъёоны нэрээр.

Хэрэв гадаад хүчбайхгүй байна, өөрөөр хэлбэл (8)-д байгаа функц нь тэгш хэмтэй байвал (12)-ын дагуу функц нь тэгтэй ижил тэнцүү байх ба (13) нь энгийн диффузийн тэгшитгэл Ch-д орно. XIII, § 1 (22). Иймд (50) интеграл тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон аливаа функцийг Ч. § 2, тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах ёстой (22) Ч.

Хэрэв гадны хүчнүүд тэгтэй тэнцүү биш бол бид олж чадна суурин шийдэлболон Фоккер-Планк тэгшитгэл, хангалттай дамжуулан тогтоосон төлөвт харгалзах том цоорхойанхны төлөвөөс үл хамааран хугацаа. Энэ тохиолдолд систем хоорондын зай эсвэл харьцангуй тоо байх магадлал бий ижил системүүд, энэ интервалд байрладаг, хэрэв дотор байвал эхлэх мөчтэднийг тараасан

Тархалтын тэгшитгэл нь дулаан эсвэл концентраци гэх мэт зарим бодисын өргөтгөсөн биед цаг хугацааны явцад тархалтыг (тархыг) тодорхойлдог. Нэг хэмжээст тохиолдолд бие нь тэнхлэгийн дагуу сунгасан харагдаж байна x.

Асаалттай будаа. 19.2тэнхлэгийн дагуу тархалтын жишээг харуулж байна xтемператур гэх мэт параметр Т. Цаг мөч бүрт гэдгийг энгийн туршлагаас сайн мэддэг ттемператур Тбиеийн янз бүрийн хэсэгт xөөр өөр утгатай, өөрөөр хэлбэл тухайн нутаг дэвсгэр, цаг хугацаанаас хамаарч өөрчлөгддөг. Өөрөөр хэлбэл, энэ параметрийн утга өөрчлөгдөх хууль байх ёстой Тфункц болгон ( x, т). Температурын хувьд энэ хуулийг ихэвчлэн тархалтын тэгшитгэлээр өгдөг.

Хэрэв хувьсагчийн параметрийг (ерөнхий тохиолдолд) гэж тодорхойлсон бол y, параметрийн өөрчлөлтийг хянаж байх хугацааг гэж тэмдэглэнэ т, мөн параметрийн өөрчлөлт гарах тэнхлэг зэрэг x, тэгвэл диффузийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

ба ихэвчлэн нөхцлүүд - хувьсах утгуудаар нэмэгддэг yирмэг ба хил дээр: зүүн ирмэг дээр x= 0, баруун ирмэг дээр x = Л, хил дээр - анхны нөхцөл (т = 0):

y(x, 0) = е 1 (x),
y(0, т) = е 2 (т),
y(Л, т) = е 3 (т),
Хаана е 1 (x), е 2 (т) Мөн е 3 (т) - заасан функцууд.

Асаалттай будаа. 19.3Хил ба анхны нөхцөлийг тодорхойлсон талбайн бүдүүвч зургийг үзүүлэв. Функцүүд е 1 (x), е 2 (т), е 3 (т) ба диффузийн тэгшитгэл нь өөрөө функцийн зан төлөвийг урьдчилан тодорхойлдог y(x, т) энэ талбайн дотор, хэний бүрэн үзэмжихэвчлэн тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Хэрэв та диаграм дээр тэнхлэгийг нэмж хийвэл y(см. будаа. 19.4), дараа нь функцүүдийн төрлийг өөрөө зураг дээр нүдээр харуулах боломжтой. Зураг нь диаграммын буланд заасан функцүүдийн утгууд давхцах ёстойг тодорхой харуулж байна.

Коэффицент α дулаан дамжилтын илтгэлцүүр гэсэн утгатай; е(x, т) дулааны эх үүсвэр ба угаалтуурын ажиллагааг тодорхойлсон функцийн утгатай.

Хэмжээ yТемпературын тархалтыг тодорхойлсон , энэ нь хоёр хувьсагчийн функц юм - биеийн цар хүрээ xба цаг хугацаа т: y(x, т). Графикийн хувьд функцийг гадаргуугаар илэрхийлдэг (харна уу будаа. 19.5) эсвэл изолинуудын багц (харна уу. будаа. 19.6), түүний төрлийг ихэвчлэн тодорхойлох шаардлагатай.

Хэрэв бид дериватив илэрхийлэлүүдийг салангид аналогиар сольсон бол ялгааны хэлбэрээр тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

эсвэл үл мэдэгдэхийг мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнээр илэрхийлэх:

Үүний үр дүнд тоон дээр хэрэгжсэн тооцооллын томъёог гаргаж авдаг компьютер. Энэ томъёоны ачаар та параметрийн утгыг тооцоолж болно yямар ч үед ( x, т).

Үнэ цэнэ гэж нэрлэе y(x, т) тооцооны зангилаа. Дараа нь схемийн дагуу тооцоолол нь биеийн хэсгүүд болон цаг хугацааны интервалуудаас бүрдсэн талбайн зангилааны тор шиг харагдаж байна (Зураг 1-ийг үз). будаа. 19.7). Нэг зангилааг тооцоолох томъёо нь гурван зангилааны төлөвөөс хамаарна (зүүн y(x – Δ x, т – Δ т), зөв y(x + Δ x, т – Δ т), өөрийн y(x, т – Δ т)) өмнөх ( т – Δ т) цагийг зааж, гурвалжин хээтэй төстэй. Тооцоолол эхлэхээс өмнө бүх зангилааны төлөвүүд т= 0. Томъёог бүх зангилаанд дараалан хэрэглэснээр дараагийн цаг хугацааны бүх зангилааны температурыг тодорхойлж болно ( т + Δ т). Хамгийн зүүн ба баруун талын зангилаанаас бусад тохиолдолд тэдгээрийн төлөвийг тооцоолох боломжгүй, гэхдээ энэ нь хилийн нөхцлөөр тодорхойлогддог.

Хэрэв процедурыг давтан хийвэл биеийн нэг цэгээс хөдөлнө xнөгөө рүү, дараа нь нэг үе давхаргаас нөгөө рүү, дараа нь энэ томъёог ашиглан биеийн аль ч хэсэгт температурын утгыг хүссэн үедээ тооцоолж болно. Тиймээс тооцоолол нь бүхэл бүтэн талбайг хамардаг (L x T)(см. будаа. 19.7). Үл мэдэгдэх утгыг дараалан тодорхойлох энэ тохиолдолдзагвар нь тодорхой илэрхийллийн хэлбэртэй байж магадгүй - томьёонд үл мэдэгдэх цорын ганц зүйл нь өмнө нь тооцоолсон утгуудаар илэрхийлэгддэг.

Хэзээ гэдгийг анхаарна уу том үнэ цэнэдериватив ба алхамуудын том утгууд, тооцоолол нь буруу шийдлийг өгч болно. Шийдэл нь буруу эсвэл бүр тогтворгүй (чанарын хувьд буруу) болж хувирч магадгүй (лекц 10-ыг үзнэ үү. " Тоон аргуудинтеграци дифференциал тэгшитгэл. Эйлерийн арга").

Диффузын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед гурвалжин хэлбэрийн тогтвортой байдлын нөхцөл: Δ x/Δ т > α (дэлгэрэнгүйг үзнэ үү будаа. 19.12).

Загвар хийхдээ бусад ялгааны томьёо (загвар) ашиглах боломжтой (үзнэ үү. будаа. 19.8). Загвар сонгохдоо загвар нь тодорхой байгаа эсэх, ямар нарийвчлалтай, ямар алхамаар тооцооллын тогтвортой байдлыг хангаж байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Тиймээс, жишээлбэл, тэгш өнцөгт хэлбэртэй загвар нь далд хэлбэрээр байдаг: нэгд тооцоолох томъёонэгэн зэрэг хоёр үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг агуулна. Тиймээс ийм хэв маягийг ашиглахдаа системийг шийдэх хэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлхэмжээ (L T).

Практикт тогтвортой байдал, дараа нь нарийвчлал нь янз бүрийн загвар ашиглан шийдлийг олж авах замаар хүрдэг өөр өөр утгатайалхам. Хэрэв хүссэн хувьсагчийн утгыг алхам алхмаар тооцно hмөн алхамтай h/2, ижил индекстэй зангилаанууд дээр 1-5% -иас ихгүй ялгаатай байвал тооцоолсон утгыг асуудлын ойролцоо шийдэл болгон авна. Үгүй бол алхамыг хоёр дахин багасгаж, үнэлгээний процедурыг давтан хийнэ. (Дэлгэрэнгүй мэдээллийг "Бид компьютер дээр тооцоолж чадах уу?" лекцээс үзнэ үү.)

Диффузын тэгшитгэлийн шинж чанаруудыг тусгасан болно будаа. 19.9Биеийн аль ч хэсэгт жигд бус байдал үүсэх үед дулаан солилцооны үйл явцын улмаас дулааны хөрш зэргэлдээ хэсгүүдэд урсдаг. Хөрш зэргэлдээх бүс нутгийн температурыг тэнцүүлж, дундажаар хэмждэг. Үйл явцын хурд нь дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн утгаас хамаарна.

Хэрэв бид асуудал зогсонги байх нөхцөлийг хүлээн зөвшөөрвөл, өөрөөр хэлбэл бүх түр зуурын үйл явц дуусах хугацаатай болтол процессууд маш удаан үргэлжилдэг (цаг хугацааны дериватив нь 0-тэй тэнцүү) бол диффузийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна (тохиолдлын хувьд) хоёр хэмжээст орон зайн - тэнхлэг xТэгээд z) эх үүсвэр, угаалтуургүй:

∂ 2 y/∂x 2 + ∂ 2 y/∂z 2 = 0.

Ялгаатай хэлбэрээр тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

(Y i + 1, j– 2 · Y i , j + Y i – 1, j)/Δ x 2 + (Y i , j– 1 – 2 · Y i , j + Y i , j+ 1)/Δ z 2 = 0.

Хэрэв бид Δ-г авбал x = Δ z, тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0.

Тэгшитгэлийг тооцоолох загвар нь далд хэлбэртэй бөгөөд загалмай хэлбэртэй гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг (сүлжээний зангилааны температурын утгыг тооцоолохын тулд та зүүн, баруун, дээгүүр, доор байгаа хөршүүдийн температурыг мэдэх хэрэгтэй. ). Хэрвээ байшингийн хана нь 2 метрээс 2 метр хэмжээтэй, алхам нь Δ байна x = Δ z= 20 мм, дараа нь тооцооллын нийт температурын горимханыг 10,000 системээр шийдэх хэрэгтэй болно шугаман тэгшитгэл 10,000 үл мэдэгдэх зүйлтэй Y i , j :

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j+ 1 = 0, хувьд би= 1÷100 ба j= 1÷100,

Үүнд 400 ширхэг хилийн нөхцөлийг хавсаргах ёстой:
Ю 0, j = е 1 (j);
Ю 101, j = е 2 (j);
Y i , 0 = е 3 (би);
Y i , 101 = е 4 (би).

Тэгшитгэлийн шийдлийг доор үзүүлэв будаа. 19.6.

Биофизик дэх идэвхгүй тээвэрлэлт - ионуудын тархалтыг тодорхойлохын тулд электродиффузын онолыг ашигладаг бөгөөд үүний дагуу идэвхгүй тээвэрлэлтийн үед мембранаар дамжих ионуудын нийт урсгалыг 2 хүчин зүйлээр тодорхойлдог: тэдгээрийн тархалтын жигд бус байдал (концентрацийн градиент) ба нөлөөлөл. цахилгаан орон (цахилгаан градиент). Шингэрүүлсэн уусмалын ионы урсгалын нягтыг Нернст-Планкийн тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Үүнд: F - бодисын урсгал, u - ион, молекулын хөдөлгөөн, R - бүх нийтийн хийн тогтмол (8.314 Дж/моль*К), T - K 0 хуваарийн температур, dC/dx - концентрацийн градиент, С - концентраци. мэнгэ, З- ионы цэнэгийн утга, F - Фарадейгийн тоо (96500 С/моль), d φ /dx - боломжит градиент.

Градиентуудын өмнө байгаа хасах тэмдэг нь концентрацийн градиент нь бодисыг өндөр концентрацитай газраас бага концентрацитай газар руу шилжүүлэхэд хүргэдэг болохыг харуулж байна; ба боломжит градиент нь эерэг цэнэгийг өндөр потенциалтай газраас бага газар руу шилжүүлэхэд хүргэдэг.

Цэнэггүй бөөмсийн тархалтыг тодорхойлохын тулд Фикийн тэгшитгэлийг ашиглана:

Энэ хэлбэрээр Фикийн тэгшитгэл нь тээвэрлэлтэд саад болох хуваалт (мембран) байхгүй тохиолдолд нэгж талбайгаар цэнэглэгдээгүй хэсгүүдийн урсгалыг тодорхойлно.

D D - тархалтын коэффициент, - концентрацийн градиент

Эсийн мембраны хувьд: dx = L - мембраны зузаан, dC = C i - C e, энд C i ба C e нь эсийн доторх болон гаднах бөөмсийн концентраци юм. K коэффициент (хуваалтын коэффициент) нь эсийн хувьд Фикийн тэгшитгэлд нэмэгдэх бөгөөд энэ нь орчин ба мембран хоорондын бөөмийн концентрацийн харьцаа, эцэст нь дамжуулах хурдыг тодорхойлдог. Үүнийг харгалзан эсийн мембраны Фикийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

DK / L = P - үр дүнтэй нэвчилтийн коэффициент гэж нэрлэгддэг, дараа нь Ф = - P (ХАМТ д - Ci)

6. Механизм идэвхтэй тээвэрлэлт K+ ион баНа+ мембранаар дамжин. Ажлын үндсэн үе шатуудК, На- АТФаза. Эсрэг градиент дамжуулалтын эрчим хүчний хэрэглээ (томьёо).

Na ба K ионууд нь биеийн ус-электролитийн солилцоог тодорхойлдог. Ихэвчлэн амьд амьтны эсүүдэд эдгээр ионуудын концентраци нь эсийн доторх (i) ба гадна (e) тэгш бус байдаг. K-ийн концентраци нь эсийн дотор, Na-ийн концентраци нь гадна талд их байдаг. Эсийн мембран нь хоёр ионыг адилхан нэвчүүлдэг. Тиймээс тэгш бус байдлыг хадгалахын тулд ATP-ийн гидролизийн үед ялгардаг энергийн улмаас Na, K - ATPase эсвэл Na-K насос ашиглан эсрэг градиент дамжуулалтыг гүйцэтгэдэг.

ATP + H2O = ADP + Ph n + ∆G, Ph n нь органик бус фосфат юм.

ATPase-ийн ажлын үндсэн үе шатууд:

1) 3 Na ионуудын нэгдэл, эсийн доторх ферментийн фосфоржилт.

2) Translocation No1 – Na ионыг холбох төвийг гадагш шилжүүлэх.

3) 3 Na ионыг салгаж, 2 К ионоор солино.

4) Фосфорын хүчлийн үлдэгдлийг арилгах.

5) Translocation No2 – К ионыг холбох төвийг эс рүү шилжүүлэх.

6) 2 К ионыг салгаж, 3 Na ион нэмж, дараа нь ферментийг фосфоржуулна.

2 К ионыг эсэд шилжүүлж, 3 Na ионыг гадагшлуулах нь эцэстээ цитоплазмаас мембраны гадаргуу руу нэг нэмэлт эерэг цэнэгийг шилжүүлэхэд хүргэдэг. Тиймээс эсийн доторх агууламж нь (-), эсийн гаднах агууламж (+) тэмдэгтэй байдаг. Ерөнхийдөө Na + ба K + -ийг идэвхтэй тээвэрлэхэд ATP-ийн гидролизийн үед ялгардаг энергийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Энд эхний нэр томъёо нь хоёр К ионыг эсрэг градиент шилжүүлэх энергийг, хоёр дахь нь гурван Na ионыг эсрэг градиент шилжүүлэх энергийг, гурав дахь нь дээр үүсэх цахилгаан талбайн хүчийг даван туулах энергийг тодорхойлдог. идэвхтэй тээвэрлэлтийн улмаас мембран.

Теоремд дасахын тулд түүнийг хэрхэн хэрэглэх жишээг харцгаая. Дулааны хуваарилалт руу дахин эргэж орцгооё, металлаар хэлье. Маш энгийн тохиолдлыг авч үзье: бүх дулааныг бие махбодид урьдчилж өгсөн бөгөөд одоо бие нь хөргөж байна. Дулааны эх үүсвэр байхгүй тул дулааны хэмжээ хадгалагдана. Хэзээ нэгэн цагт тодорхой эзлэхүүн дотор хэр их дулаан байх ёстой вэ? Энэ нь эзлэхүүний гадаргууг орхих яг хэмжээгээр буурах ёстой. Хэрэв энэ хэмжээ нь жижиг шоо бол (3.17) томъёог дагаж бид бичиж болно

Гэхдээ энэ нь куб доторх дулааны алдагдлын хурдтай тэнцүү байх ёстой. Хэрэв нэгж эзэлхүүн дэх дулааны хэмжээ бол дулааны хангамж бүхэлдээ шоо хэлбэртэй байх ба алдагдлын хэмжээ нь тэнцүү байна.

(3.20)

(3.19) (3.20)-тай харьцуулбал бид үүнийг харж байна

(3.21)

Энэ тэгшитгэлийн хэлбэрийг анхааралтай ажигла; Энэ хэлбэрийг физикт ихэвчлэн олдог. Энэ нь хадгалалтын хуулийг, энэ тохиолдолд дулааныг хадгалах хуулийг илэрхийлдэг. (3.13) тэгшитгэлд ижил байна физик баримтөөрөөр илэрхийлсэн. Хамгаалалтын тэгшитгэлийн интеграл хэлбэр байсан бөгөөд энд дифференциал хэлбэр байна.

Бид (3.21) томъёог (3.13)-ыг хязгааргүй жижиг шоонд хэрэглэх замаар олж авсан. Та өөр замаар явж болно. Гадаргуугаар хязгаарлагдсан их хэмжээний эзэлхүүний хувьд Гауссын хуульд ингэж заасан байдаг

(3.22)

(3.21) -ийг ашиглан баруун талын интегралыг хэлбэрт шилжүүлж, дараа нь (3.13) томъёог авна.

Одоо өөр хэргийг авч үзье. Материйн блокт жижиг нүх байдаг, дотор нь байдаг гэж төсөөлөөд үз дээ химийн урвал, дулаан үүсгэдэг. Үүнийг бас төсөөлж болно бага эсэргүүцэлБлок дотор түүнийг халаах утаснууд байдаг цахилгаан цочрол. Дулаан бараг нэг цэг дээр үүсдэг гэж үзье, а нь секундэд тухайн цэгт үүссэн энергийг илэрхийлнэ. Үлдсэн хэсэгт дулааныг хадгалж, үүнээс гадна дулааны үүсэлт маш эрт эхлэх тул одоо температур хаана ч өөрчлөгдөхгүй. Асуулт нь: дулааны урсгалын вектор ямар харагддаг вэ? өөр өөр цэгүүдметалл уу? Цэг бүрээр хэр их дулаан урсдаг вэ?

Хэрэв бид ердийн бүрэлдэхүүн хэсгийг хаалттай гадаргуу дээр нэгтгэвэл, хүрээлэн буй эх сурвалж, энэ нь үргэлж үр дүнтэй байх болно. Нэг цэгийн эх үүсвэрээс үүссэн бүх дулаан нь гадаргуугаар дамжин урсах ёстой, учир нь урсгалыг тогтмол гэж үздэг. Бидний өмнө хэцүү даалгавардурын гадаргуу дээр интеграл хийсний дараа үргэлж өгөх вектор талбарыг олох. Гэхдээ бид гадаргууг сонгох замаар энэ талбарыг харьцангуй амархан олох боломжтой тусгай төрөл. Эх үүсвэр дээр төвтэй радиустай бөмбөрцөг авч, дулааны урсгал нь радиаль байна гэж үзье (Зураг 3.6). Зөн совин нь материйн блок том бөгөөд бид түүний хил хязгаарт ойртохгүй бол түүнийг радиусын дагуу чиглүүлэх ёстой гэж хэлдэг; Үүнээс гадна бөмбөрцгийн бүх цэгүүдийн утга ижил байх ёстой. Бидний тооцоололд хариулт авахын тулд бид тодорхой хэмжээний таамаглал (ихэвчлэн үүнийг "бие махбодийн зөн совин" гэж нэрлэдэг) нэмэх шаардлагатай байгааг та харж байна.

Зураг 3.6. Нэг цэгийн эх үүсвэрийн ойролцоох бүсэд дулааны урсгал нь гадагшаа чиглэгддэг.

Радиаль ба бөмбөрцөг тэгш хэмтэй үед хэвийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь яг тэнцүү бөгөөд тогтмол байдаг тул гадаргуугийн талбай дээрх хэвийн бүрэлдэхүүн хэсгийн интегралыг маш энгийнээр тооцдог. Үүнийг нэгтгэсэн талбай нь тэнцүү байна. Дараа нь бид авна

, (3.23)

үнэмлэхүй утга хаана байна. Энэ интеграл нь эх үүсвэрийн дулаан үүсгэх хурдтай тэнцүү байх ёстой. Энэ нь харагдаж байна

энд урьдын адил радиаль чиглэлийн нэгж векторыг илэрхийлнэ. Энэ үр дүн нь эх үүсвэрээс зайны квадраттай пропорциональ бөгөөд урвуу байдлаар өөрчлөгддөг болохыг харуулж байна.

Сая олж авсан үр дүн нь цэгийн дулааны эх үүсвэрийн ойролцоох дулааны урсгалд хамаарна. Одоо дулааны урсгалын хувьд хүчинтэй тэгшитгэлийг олохыг хичээцгээе ерөнхий үзэл(дулааны хэмжээг хадгалах цорын ганц нөхцөлийг дагаж мөрдөх). Бид зөвхөн ямар ч эх үүсвэр эсвэл дулаан шингээгчээс гадна газар юу болж байгааг сонирхох болно.

Дулаан тархалтын дифференциал тэгшитгэлийг бүлэгт авсан. 2. (2.44) тэгшитгэлийн дагуу

(Энэ харьцаа нь ойролцоо боловч метал гэх мэт зарим бодисын хувьд энэ нь сайн хадгалагддаг гэдгийг санаарай.) Энэ нь мэдээжийн хэрэг, зөвхөн биеийн дулаан үүсэх, шингээх чадваргүй хэсгүүдэд л хамаарна. Дээрхээс бид дулааны хэмжээ хадгалагдах үед хангагдах өөр нэг хамаарлыг (3.21) гаргаж авсан. Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг (3.25) -тай нэгтгэвэл бид болно

хэрэв - утга тогтмол байна. Нэгж эзэлхүүн дэх дулааны хэмжээ, a нь Лаплациан, өөрөөр хэлбэл оператор гэдгийг танд сануулъя.

Одоо дахиад нэг таамаг дэвшүүлбэл маш сонирхолтой тэгшитгэл нэн даруй гарч ирнэ. Материалын температур нь нэгж эзэлхүүн дэх дулааны агууламжтай пропорциональ байна, өөрөөр хэлбэл материал нь тодорхой дулааны багтаамжтай байна гэж үзье. Энэ таамаглал үнэн бол (мөн энэ нь ихэвчлэн тохиолддог) температурын хувьд бид бичиж болно.

Дифференциал тэгшитгэлийг (3.28) дулааны тархалтын тэгшитгэл буюу дулаан дамжуулах тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ нь ихэвчлэн хэлбэрээр бичигдсэн байдаг

тогтмол хаана байна. Энэ нь тэнцүү юм.

Диффузын тэгшитгэл нь олон зүйлд илэрдэг бие махбодийн асуудал: хийн тархалт, нейтроны диффуз болон бусад зүйлсийн тухай. Эдгээр үзэгдлүүдийн заримын физикийн талаар бид аль хэдийн боть дээр хэлэлцсэн. 4, бүлэг. 43. Одоо таны өмнө бүрэн тэгшитгэл, энэ нь тархалтыг хамгийн ерөнхий хэлбэрээр дүрсэлсэн. Хэсэг хугацааны дараа бид диффузийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зарим тохиолдолд температур хэрхэн тархдагийг харах болно. Одоо вектор талбайн тухай бусад теоремуудыг авч үзэх рүү буцъя.

Тогтмол жижиг хөндлөн огтлолтой хөндий хоолойг авч үзье, түүний хэсэг бүрт тархах бодисын концентрацийг тогтмол гэж үзэж болно. Хоолойн дагуу Ox тэнхлэгийг чиглүүлье, тэгвэл хоолой дахь бодисын концентрацийг Q(x,t) функцээр илэрхийлэх ба тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

Энд Q(x,t) нь тархах бодисын эзлэхүүний концентраци (эсвэл нягтрал), кг/м3;

f(x,t) – хольцын эх үүсвэрийн эзлэхүүний нягт, кг м -3 с -1.

Диффузын коэффициент D тогтмол байх тохиолдолд a коэффициентийг дараах илэрхийллээс тодорхойлно.

, (2.58)

энд D - тархалтын коэффициент, м 2 / с;

C – сүвэрхэг байдлын коэффициент.

, (2.59)

энд V - тархалт үүсч болох нүхний эзэлхүүн, м3;

V 0 – нийт эзэлхүүн, м 3.

Хэрэв орчин нь сүвэрхэг биш бол коэффициент C = 1, коэффициент a 2 = D байна.

Анхны нөхцлийн хувьд цаг хугацааны эхний мөчид авч үзсэн хөндий хоолойн дагуу тархах бодисын нягтын хуваарилалтыг тодорхойлно.

Хилийн нөхцөлийг дараах хэлбэрээр тодорхойлж болно.

1) Хөндий хоолойн хил дээр тархах бодисын концентрацийг тогтмол байлгадаг (ялангуяа тэгтэй тэнцүү) (1-р төрлийн хилийн нөхцөл):

2) Хоолойн хилийн хавтгай нь нэвтрэх боломжгүй (2-р төрлийн хилийн нөхцөл):

; (2.63)

. (2.64)

3) Хилийн хавтгай нь хагас нэвчилттэй бөгөөд эдгээр хавтгайгаар дамжин тархах нь конвектив дулаан дамжуулах Ньютоны хуулийн дагуу явагддаг (3-р төрлийн хилийн нөхцөл):

, (2.65)

, (2.66)

Энд φ 1 (t), φ 2 (t) нь тархах бодисын нягт юм. орчинхоолойн хоёр төгсгөлд;

α нь төгсгөлийн нэвчилтийн коэффициент юм.

Таталцлын нөлөөгөөр үүссэн бөөмийн хурд тогтмол, бөөмийн нягт нь зөвхөн z өндөр ба t хугацаанаас хамаарна гэж үзэн тунадасжилтыг харгалзан түдгэлзүүлсэн хэсгүүдийн тархалтын үйл явцын заагийн бодлогыг тогтооно. Бичнэ үү хилийн нөхцөл, нэвтэршгүй хуваалттай харгалзах.

Хоолойн доторх түдгэлзүүлсэн хэсгүүдийн нягтыг тодорхойлсон Q(x,t) функцийг дараах тэгшитгэлээр тодорхойлно.

D – тархалтын коэффициент, м 2 / с;

ν – бөөмийн тунах хурд, м/с.

Томъёолсон нөхцлийн хилийн нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.

2.7 Дамжуулах шугамын тэгшитгэл

Кабелийн уртыг анхаарч үзээрэй лгүйдлийн дор. Кабель нь утаснуудын нэгжийн уртад дараах параметрүүдийг агуулна.

– идэвхтэй эсэргүүцэл R, Ом/м;

– индукц L, H/m;

– багтаамж C, F/m;

– тусгаарлагчийн дамжуулалт G, (Ом м) -1.

Хүчдэл U ба гүйдлийн I-ийг t үед дурын x цэгийн дараах тэгшитгэлээс олж болно.

1) Утасны тэгшитгэл:

Энд Q(x,t)=U(x,t) эсвэл Q(x,t)=I(x,t).

2) Индукц ба дамжуулалтын L=G=0-ийн үл тоомсорлох утгыг харгалзан телеграфын тэгшитгэл (телеграфын тэгшитгэл):

. (2.68)

3) Радио тэгшитгэл (идэвхтэй эсэргүүцэл ба дамжуулалтын бага утгын үед R = G = 0):

, (2.69)

Энд k 2 =1/(LC).

Бүх тэгшитгэлд U(x,t) хүчдэл ба гүйдэл I(x,t) хоёуланг нь гаралтын тархсан хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно.

t хугацаатай холбоотой хоёр дахь деривативыг агуулсан утас, радио тэгшитгэлийн хувьд бүх шугамын дагуу цаг хугацааны эхний мөчид хамгийн их тархсан хэмжигдэхүүн хэлбэрээр анхны нөхцөлийг зааж өгөх шаардлагатай. цаг хүртэл т. Тэдний тооцоог авч үзье.

Шугамын дагуу хүчдэл ба гүйдлийн хуваарилалтыг тодорхойл.

Хилийн нөхцөлийг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно. Кабелийн (шугам) нэг төгсгөлийн хувьд хамгийн түгээмэл зүйлийг авч үзье, жишээ нь x= л.

1) Төгсгөлд нь E, B тогтмол цахилгаан хөдөлгөгч хүч бүхий батерей байна.

2) Шугамын төгсгөл нь ω давтамжтай синусоид хүчдэлийн дор байна:

3) Шугамын төгсгөл газардсан байна:

. (2.76)

4) Утасны төгсгөл нь тусгаарлагдсан байна:

. (2.77)

5) Шугамын эхэн ба төгсгөлд R 0 ба R ом эсэргүүцэлтэй хүлээн авагчийг асаана. л ба өөрөө индукц L 0 ба L л :

; (2.78)

, (2.79)

Энд E нь зайны цахилгаан хөдөлгөгч хүч, V;

Би 0, би л– шугамын эхэн ба төгсгөлийн гүйдлийн хүч, А.

6) Шугамын эхэн ба төгсгөлд C 0 ба C багтаамжтай салгах конденсаторууд орно. л :

; (2.80)

, (2.81)

хаана У л– шугамын төгсгөл дэх хүчдэл.

1000 км урт цахилгаан дамжуулах шугам нь дамжуулагчийн төгсгөлд (x=0) 1200 В, хүлээн авах төгсгөлд (x=) 1100 В-ын потенциалтай тогтвортой байдалд байна. л=1000). Шугамын хүлээн авагчийн төгсгөл гэнэт газардсан бөгөөд 1200 В-ын потенциал эх үүсвэр дээр хэвээр байна. Тусгаарлагчийн индукц ба дамжуулалтыг үл тоомсорлож, дамжуулах шугам дахь потенциалын хилийн утгын бодлогыг томъёол.

L=G=0 тул бид телеграфын тэгшитгэлийг дараах хэлбэртэйгээр ашигладаг.

Энд 0≤х≤ 1000.

Анхны нөхцөлийг (анхны тогтворгүй хүчдэл) дараах хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлно.

,
.

Урт утсан дахь I(x,t) гүйдлийг ол л, түүний дагуу урсдаг АС, хэрэв гүйдлийн алдагдал байхгүй бол омын эсэргүүцэл ба дамжуулалтыг үл тоомсорлож болно. Утасны анхны гүйдэл (t=0 үед) тэг байх ба анхны хүчдэлийг дараах томъёогоор тодорхойлно.