Эмхэтгэх, шийдвэрлэх аргачлал хэрэглээний асуудлуудердийн онол дифференциал тэгшитгэл
Асуудлын нөхцлийн дагуу (механик, физик, химийн эсвэл техникийн) дифференциал тэгшитгэл гаргах нь хувьсах хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн өсөлтийн хоорондох математик хамаарлыг тодорхойлоход оршино.
Хэд хэдэн тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийг өсөлтийг харгалзахгүйгээр олж авдаг - тэдгээрийг урьдчилан авч үзсэний улмаас. Жишээлбэл, хурдыг илэрхийлэлээр илэрхийлэхдээ бид ∆s ба ∆t-ийн өсөлтийг оруулдаггүй, гэхдээ тэдгээр нь бодитойгоор тооцогдоно.
.
Хэзээ нэгэн цагт хурдатгал тхамаарлаар илэрхийлсэн:
.
Дифференциал тэгшитгэл зохиохдоо өсөлтийг нэн даруй харгалзах дифференциалаар солино. Аливаа үйл явцыг судлах нь дараахь зүйлийг агуулдаг.
1) түүний бие даасан мөчүүдийг тодорхойлох;
2) байгуулах нийтлэг хуультүүний ахиц дэвшил.
Процессын салангид мөчийг (энгийн процесс гэж нэрлэдэг) холболтын тэгшитгэлээр илэрхийлдэг хувьсагчтэдгээрийн дифференциал эсвэл дериватив бүхий процесс - дифференциал тэгшитгэл; хууль ерөнхий ахиц дэвшилпроцессыг процессын хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийг холбосон тэгшитгэлээр илэрхийлдэг боловч эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн дифференциалгүйгээр.
Дифференциал тэгшитгэл зохиох цогц дүрэм байдаггүй. Ихэнх тохиолдолд энгийн дифференциал тэгшитгэлийн онолыг ашиглан техникийн асуудлыг шийдвэрлэх арга техник нь дараах байдалтай байна.
1. Асуудлын нөхцөл байдалд нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийж, мөн чанарыг нь тайлбарласан зураг зурах.
2. Харж байгаа процессын дифференциал тэгшитгэлийг зохиох.
3. Эмхэтгэсэн дифференциал тэгшитгэлийн интеграл, энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойлох.
4. Өгөгдсөн анхны нөхцөл дээр үндэслэн асуудлыг шийдвэрлэх тодорхой шийдлийг тодорхойлох.
5. Шаардлагатай тохиолдолд туслах уурыг тодорхойлох
метр (жишээлбэл, пропорциональ коэффициент гэх мэт),
Энэ зорилгоор асуудлын нэмэлт нөхцлийг ашиглах.
6. авч үзэж буй үйл явцын ерөнхий хуулийн гарал үүсэл, тоо
эрэлхийлсэн агуу байдлын агуу тодорхойлолт.
7. Хариултанд дүн шинжилгээ хийх, асуудлын анхны байрлалыг шалгах.
Эдгээр зөвлөмжүүдийн зарим нь шинж чанараас хамаарна
даалгавар дутуу байж магадгүй.
Эмхэтгэсэн шиг алгебрийн тэгшитгэлДифференциал тэгшитгэлийг ашиглан хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхдээ дасгалын явцад олж авсан ур чадвараас ихээхэн хамаардаг. Гэсэн хэдий ч энд хэвээр байна илүү их хэмжээгээровсгоо ухаан, судалж буй процессуудын мөн чанарыг гүнзгий ойлгохыг шаарддаг.
Дараахь асуудлуудыг шийдвэрлэх үйл явцыг авч үзье.
Даалгавар 3.1.
20 минутын турш зуухнаас гаргаж авсан талхны температур. 100 0-ээс 60 0 хүртэл буурдаг (Зураг 3.1). Агаарын температур 25 0 хэм байна. Хөргөж эхэлснээс хойш хэдий хугацааны дараа талхны температур 30 0 хүртэл буурах вэ?
Шийдэл:
Ньютоны хуулийн дагуу биеийн хөргөлтийн хурд нь биеийн температур ба температурын зөрүүтэй пропорциональ байна. орчин. Энэ бол жигд бус үйл явц юм. Процессын явцад температурын зөрүү өөрчлөгдөхийн хэрээр биеийн хөргөлтийн хурд ч өөрчлөгддөг. Талхыг хөргөх дифференциал тэгшитгэл нь:
энд T нь талхны температур;
t – орчны агаарын температур (бидний тохиолдолд 25 0);
k – пропорциональ байдлын коэффициент;
Талх хөргөх хурд.
Хөргөх цаг болъё.
Дараа нь хувьсагчдыг салгаснаар бид дараахь зүйлийг авна.
эсвэл энэ асуудлын нөхцөл байдлын хувьд:
Үүнээс үзэхэд
нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
Сүүлийн тэгш байдлын хоёр талыг хүчирхэгжүүлснээр бид дараах байдалтай байна:
тэгээд эцэст нь
Анхны нөхцөл дээр үндэслэн бид дурын тогтмол C-ийг тодорхойлно: min, T = 100 o.
эсвэл C=75.
Энэ нэмэлт нөхцөл дээр үндэслэн утгыг тодорхойлно: min, T = 60 o.
Бид авах:
Тэгээд 
.
Тиймээс бидний асуудлын нөхцөлд талхыг хөргөх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
. (2)
(2) тэгшитгэлээс бид талхны температурт T = 30 o шаардлагатай хугацааг хялбархан тодорхойлно.
Эсвэл.
Эцэст нь бид олдог:
мин.
Тиймээс 1 цаг 11 минутын дараа. Талхыг 30 хэм хүртэл хөргөнө.
Асуудал 3.2. Дулааны гол шугам хоолой (диаметр 20 см) нь 10 см зузаантай тусгаарлагчаар хамгаалагдсан; дулаан дамжилтын илтгэлцүүр k=1.00017. Хоолойн температур 160o; гадна бүрхүүлийн температур 30 ° (Зураг 8). Тусгаарлагч доторх температурын хуваарилалт, түүнчлэн нэгээс ялгарах дулааны хэмжээг ол шугаман тоолуурхоолой.
Шийдэл. Хэрэв бие нь хөдөлгөөнгүй дулааны төлөвт байгаа бөгөөд цэг бүрийн температур T нь зөвхөн нэг координат х-ийн функц юм бол Фурьегийн дулаан дамжилтын хуулийн дагуу секундэд ялгарах дулааны хэмжээ.
Ихэнхдээ зүгээр л дурддаг дифференциал тэгшитгэлоюутнуудад таагүй мэдрэмж төрүүлдэг. Яагаад ийм зүйл болж байна вэ? Ихэнх тохиолдолд, материалын үндсийг судлах явцад мэдлэгийн цоорхой үүсч, улмаар дифурын цаашдын судалгаа нь зүгээр л эрүү шүүлт болж хувирдаг. Юу хийх, яаж шийдэх, хаанаас эхлэх нь тодорхойгүй байна уу?
Гэсэн хэдий ч бид дифур нь санагдсан шиг тийм ч хэцүү биш гэдгийг харуулахыг хичээх болно.
Дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн ойлголтууд
Сургуулиас бид үл мэдэгдэх х-г олох хамгийн энгийн тэгшитгэлийг мэддэг. Үнэндээ дифференциал тэгшитгэлзөвхөн тэднээс арай өөр - хувьсагчийн оронд X Та тэдгээрийн дотор функцийг олох хэрэгтэй у(х) , энэ нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргах болно.
Д дифференциал тэгшитгэласар том байна ашигласан утга. Энэ бол бидний эргэн тойрон дахь ертөнцтэй ямар ч холбоогүй хийсвэр математик биш юм. Дифференциал тэгшитгэлийг олон бодитыг тодорхойлоход ашигладаг байгалийн үйл явц. Жишээлбэл, утасны чичиргээ, хөдөлгөөн гармоник осциллятор, механикийн асуудалд дифференциал тэгшитгэлийг ашиглан биеийн хурд ба хурдатгалыг олдог. Мөн Д.Убиологи, хими, эдийн засаг болон бусад олон шинжлэх ухаанд өргөн хэрэглэгддэг.
Дифференциал тэгшитгэл (Д.У) нь y(x) функцийн дериватив, функц өөрөө, бие даасан хувьсагч болон янз бүрийн хослол дахь бусад параметрүүдийг агуулсан тэгшитгэл юм.
Дифференциал тэгшитгэлийн олон төрөл байдаг: энгийн дифференциал тэгшитгэл, шугаман ба шугаман бус, нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус, нэгдүгээр ба дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл гэх мэт.
Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргах функц юм. Алсын удирдлагын ерөнхий болон тусгай шийдэл байдаг.
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргах ерөнхий шийдэл юм. Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл нь хангасан шийдэл юм нэмэлт нөхцөл, анх тодорхойлсон.
Дифференциал тэгшитгэлийн дарааллыг тодорхойлно хамгийн дээд тушаалтүүнд багтсан дериватив.
Энгийн дифференциал тэгшитгэл
Энгийн дифференциал тэгшитгэлнь нэг бие даасан хувьсагч агуулсан тэгшитгэл юм.
Эхний эрэмбийн хамгийн энгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь иймэрхүү байна:
Энэ тэгшитгэлийг зүгээр л баруун талыг нь нэгтгэх замаар шийдэж болно.
Ийм тэгшитгэлийн жишээ:
Салгаж болох тэгшитгэлүүд
IN ерөнхий үзэлЭнэ төрлийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
Энд нэг жишээ байна:
Ийм тэгшитгэлийг шийдэхдээ хувьсагчдыг салгаж, дараах хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.
Үүний дараа хоёр хэсгийг нэгтгэж, шийдлийг олж авах хэрэгтэй.
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
Ийм тэгшитгэлүүд дараах байдалтай байна.
Энд p(x) ба q(x) нь бие даасан хувьсагчийн зарим функцууд бөгөөд y=y(x) нь хүссэн функц юм. Ийм тэгшитгэлийн жишээ энд байна:
Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг эсвэл хүссэн функцийг y(x)=u(x)v(x) гэсэн хоёр функцийн үржвэр болгон илэрхийлдэг.
Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тодорхой бэлтгэл хийх шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийг "нэг харцаар" авахад нэлээд хэцүү байх болно.
Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ
Тиймээс бид алсын удирдлагын хамгийн энгийн төрлүүдийг авч үзсэн. Одоо тэдгээрийн аль нэгнийх нь шийдлийг харцгаая. Үүнийг салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл гэж үзье.
Эхлээд деривативыг илүү танил хэлбэрээр дахин бичье.
Дараа нь бид хувьсагчдыг хуваана, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн нэг хэсэгт бид бүх "би", нөгөө хэсэгт "X" -ийг цуглуулдаг.
Одоо хоёр хэсгийг нэгтгэх хэвээр байна:
Бид нэгтгэж, авдаг нийтлэг шийдвэрЭнэ тэгшитгэлийн:
Мэдээжийн хэрэг дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх нь нэг төрлийн урлаг юм. Та тэгшитгэл нь ямар төрөлд хамаарахыг ойлгох чадвартай байх ёстой бөгөөд зөвхөн ялгах, нэгтгэх чадварыг дурдахгүйгээр аль нэг хэлбэрт хүргэхийн тулд ямар өөрчлөлт хийх шаардлагатайг олж мэдэх хэрэгтэй. Мөн DE-ийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та дадлага хийх хэрэгтэй (бүх зүйл шиг). Хэрэв танд байгаа бол Энэ мөчДифференциал тэгшитгэл хэрхэн шийдэгдэж байгааг олж мэдэх цаг байхгүй, эсвэл Кошигийн асуудал хоолойд тань яс шиг наалдсан, эсвэл та мэдэхгүй байна, манай зохиогчидтой холбоо бариарай. Богино хугацаанд бид танд бэлэн болон нарийвчилсан шийдэл, дэлгэрэнгүй мэдээллийг та өөрт тохирсон хүссэн үедээ ойлгох боломжтой. Энэ хооронд бид "Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ" сэдвээр видео үзэхийг санал болгож байна.
Дифференциаларгументтай холбоотой тэгшитгэл гэж нэрлэдэг X, шаардлагатай функц цагтба түүний деривативууд цагт’ , у” , ...,y (n) янз бүрийн захиалгатай. Ерөнхийдөө дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
F (x, y, y’ , у” , ...,y (n) ) = 0 .
Дифференциал тэгшитгэлийн дарааллыг түүний деривативын хамгийн дээд дарааллаар тодорхойлно.
Дифференциал тэгшитгэлийн жишээ бол хүчийг тодорхойлдог Ньютоны хоёр дахь хууль юм Фбиеийн массын бүтээгдэхүүн юм мхүчний нөлөөн дор олж авсан хурдатгалд a: F = ma.
Хурдатгал бол хурдны анхны дериватив гэдгийг харгалзан үзвэл v,Ньютоны хоёрдугаар хуулийг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрээр бичье.
Эсвэл хурдатгал нь замын хоёр дахь дериватив учраас СЭнэ хуулийг хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Хэрэв ажиллаж буй хүчний өвөрмөц шинж чанар нь мэдэгдэж байгаа бол (2) тэгшитгэлийг шийдвэрлэснээр бид хөдөлгөөний төрлийг тодорхойлох болно, өөрөөр хэлбэл, бид хэрхэн яаж хийхийг олох болно. Энэ тохиолдолдзам нь цаг хугацаанаас хамаарна: S = f(t).
Шийдвэрээрдифференциал тэгшитгэлийн функц нь энэ тэгшитгэлийг адилтгал болгон хувиргадаг функц юм.
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийд: цагт’ - x = 0(3)
Дахин бичье анхны тэгшитгэлзэрэг:
(4)
Тэгшитгэл (4)-д хувьсагчдыг салгах ажлыг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь хүссэн функц ба түүний дифференциалыг тэгшитгэлийн нэг хэсэгт, аргумент ба түүний дифференциалыг нөгөө хэсэгт байрлуулахаас бүрдэнэ.
Үүний шийдлийг олж авахын тулд тэгшитгэлийн (4) дифференциалаас салах шаардлагатай тул бид түүний зүүн ба баруун талыг нэгтгэнэ.
(5)
Тодорхой бус интегралыг олоход дурын тогтмолууд гарч ирдэг ХАМТ 1 Тэгээд ХАМТ 2 . Тэдгээрийг нэг тогтмол болгон нэгтгэх хэрэгтэй ХАМТ. Эцэст нь:
Формула (6) нь дифференциал тэгшитгэлийн дараалалтай адил олон тооны уламжлалыг агуулсан дифференциал тэгшитгэлийн (3) ерөнхий шийдэл юм.
(6) функц нь (3) тэгшитгэлд орлуулснаар сүүлчийнх нь ижил төстэй байдал болж хувирдаг тул (6) нь үнэхээр тэгшитгэлийн шийдэл гэдгийг батлахад хялбар байдаг.
Дурын тогтмол ХАМТАнхны дифференциал тэгшитгэлийн хамт зарим нэмэлт мэдээлэл өгөгдсөн эсэхийг тодорхойлж болно - тэдгээрийг дууддаг анхны нөхцөл.
Жишээ нь: хэзээ x = 0у = 1. Энэхүү анхны нөхцөл нь үүнийг ерөнхий шийдэлд (6) орлуулах үед тогтмолыг олох боломжийг олгодог ХАМТ:
1 = 0+ CC = 1.
Дараа нь өгөгдсөн анхны нөхцөлийн ерөнхий шийдээс (6) бид дурын тогтмолыг агуулаагүй (3) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олж авна.
2. Дифференциал тэгшитгэлийг ашиглах үед асуудлыг шийдвэрлэх үе шатууд
Дифференциал тэгшитгэл нь зөвхөн математик эсвэл физикийн асуудлыг шийдэх боломжийг олгодог математикийн төхөөрөмж бөгөөд олон төрлийн үйл явцыг (эмнэлгийн-биологи, эдийн засаг, нийгэм гэх мэт) тоон хэлбэрээр дүрслэх боломжийг олгодог. Харгалзан үзэж буй олон янзын үзэгдлүүдийг үл харгалзан дифференциал тэгшитгэлийн аппаратыг ашиглах нь тодорхой ерөнхий логик дарааллаар явагдах ёстой.
2.1. Дифференциал тэгшитгэл зохиох.Энэ үе шат нь хамгийн хэцүү, хариуцлагатай үе юм. Энд судалж буй үйл явцын явцад нөлөөлж буй бүх хүчин зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд магадгүй зарим таамаглал дэвшүүлж, анхны нөхцлийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд судлаач баттай туршилтын баримтууд эсвэл логик үндэслэлд үндэслэсэн байх ёстой. Жишээлбэл, зүрхний математик загварыг бий болгохдоо тэдгээрийн практик ашиг тус (зүрх судасны өвчний оношлогоог сайжруулах, эмчилгээний үр нөлөөг нэмэгдүүлэх шинэ мэдээлэл олж авах) нь физиологийн өгөгдөл, эмнэлзүйн тооцооллын бүрэн бүтэн байдал, зөв эсэхээс хамаарна. дадлага хийх.
2.2. Тэгшитгэлийн шийдэл.Энэ үе шат нь зөвхөн математикийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг тул эхнийхээс илүү хялбар гэж үзэж болно. Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олж авах боломжгүй бол аналитик хэлбэр, тэгвэл орчин үеийн компьютерийн технологийг ашиглан тооцоолол хийх замаар шийдэж болно.
2.3. Үр дүнг үнэлэх, дүн шинжилгээ хийх.Дифференциал тэгшитгэлийн (эсвэл тэгшитгэлийн систем) шийдлийг олж авсны дараа олж авсан үр дүнгийн онолын болон практик ач холбогдлыг үнэлэх шаардлагатай - жишээлбэл, физиологийн процессын явцад шинэ хэв маяг бий болсон эсэх; Сонгосон хүчин зүйлсийн нөлөөлөл, тухайлбал, эмгэг судлалын хөгжлийн түвшин, шинж чанар гэх мэтийг тоон байдлаар тодорхойлсон уу?
Үүнээс гадна олж авсан үр дүнг одоо байгаа баримттай харьцуулах хэрэгтэй. Хэрэв физиологийн үйл явцын математик тайлбараас гэнэтийн, урьд өмнө үл мэдэгдэх мэдээлэл гарч ирвэл энэ нь дараахь зүйлийг илэрхийлж болно: 1) шинэ үзэгдэл бодитоор тогтоогдсон бөгөөд дараа нь туршилтын судалгаагаар баталж болно; 2) дифференциал тэгшитгэлийг боловсруулах үе шатанд шаардлагатай бүх хүчин зүйлийг харгалзан үзээгүй эсвэл хэт бүдүүлэг таамаглал дэвшүүлсэнтэй холбоотойгоор олж авсан үр дүн гарсан.
Дифференциал тэгшитгэлийг ашиглан физик эсвэл механикийн асуудлыг шийдвэрлэх нь 1-р зүйлд заасны дагуу дараах үе шатуудад хуваагдана.
а) дифференциал тэгшитгэл зохиох;
б) энэ тэгшитгэлийн шийдэл;
в) олж авсан уусмалыг судлах.
1. Өгөгдсөн үзэгдэлд өөрчлөгдөж буй хэмжигдэхүүнүүдийг тогтоож, тэдгээрийг холбох физикийн хуулиудыг тодорхойлох.
2. Бие даасан хувьсагч болон бидний олохыг хүсч буй энэ хувьсагчийн функцийг сонгоно уу.
3. Бодлогын нөхцөлийг үндэслэн эхний буюу хилийн нөхцлүүдийг тодорхойлно.
4. Асуудлын тайлбарт гарч буй бүх хэмжигдэхүүнийг илэрхийл
бие даасан хувьсагч, хүссэн функц болон түүний уламжлалаар дамжуулан.
5. Асуудлын нөхцөлийг үндэслэн ба физик хуультэр хэнд захирагддаг энэ үзэгдэл, дифференциал тэгшитгэл үүсгэнэ.
6. Ерөнхий шийдлийг олох эсвэл ерөнхий интегралдифференциал тэгшитгэл.
7. Анхны буюу хилийн нөхцлүүдийг ашиглан тодорхой шийдлийг ол.
8. Үүссэн шийдлийг судал.
Ихэнх тохиолдолд нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн бүтэц нь "жижиг дэх үйл явцын шугаман байдал" гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлыг илэрхийлдэг функцүүдийн дифференциал байдал дээр суурилдаг. Дүрмээр бол тодорхой үйл явцад оролцож буй бүх хэмжигдэхүүнүүд богино хугацаанд өөрчлөгддөг гэж бид үзэж болно тогтмол хурд. Энэ нь хэмжигдэхүүнүүд, тухайлбал үйл явцад оролцож буй хэмжигдэхүүнүүд болон тэдгээрийн өсөлтүүдийн хоорондын хамаарлыг бий болгохын тулд жигд тохиолддог үзэгдлийг тодорхойлсон физикийн хуулиудыг ашиглах боломжийг олгодог. Хэмжигдэхүүн нь богино хугацаанд, ерөнхийдөө жигд бус байдлаар өөрчлөгддөг тул үүссэн тэгш байдал нь зөвхөн ойролцоо юм. Гэхдээ бид үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг хувааж, тэглэх хандлагатай байгаа хязгаарт очвол бид яг ижил тэнцүү болно. Энэ нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг t цагийг агуулдаг физик хэмжигдэхүүнүүдба тэдгээрийн деривативууд, өөрөөр хэлбэл энэ үзэгдлийг дүрсэлсэн дифференциал тэгшитгэл юм. Өсөлтийг дифференциалаар, функцүүдийн өсөлтийг харгалзах дифференциалаар сольж дифференциал хэлбэрийн ижил тэгшитгэлийг олж авч болно.
Тиймээс дифференциал тэгшитгэл зохиохдоо бид үйл явцын нэг төрлийн "агшин зуурын зургийг" авдаг
өгөгдсөн агшинд, мөн эдгээр агшин зуурын агшин зуурын зургуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед бид үйл явцын явцыг сэргээдэг. Тиймээс, шийдлийн үндэс бие махбодийн асуудалдифференциал тэгшитгэлийг ашиглан худал ерөнхий санаашугаманчлал - аргументыг өөрчлөх жижиг интервал дээр функцийг солих шугаман функцууд. Хэдийгээр процессууд байдаг (жишээлбэл, Брауны хөдөлгөөн), тухайн үед зарим хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурд байхгүй тул шугаманчлал боломжгүй байдаг тул ихэнх тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийн арга нь өөгүй ажилладаг.
Жишээ 1. Усаар дүүргэсэн цилиндр хэлбэрийн савны ёроолд 5 талбайтай жижиг нүх гаргаж, H өндөр, суурийн радиус R (Зураг 2). Усны гуравны нэг нь урсаж байвал ямар хугацаанд бүх ус нүхээр урсах вэ?
Шийдэл. Хэрэв усны урсгал жигд явагдсан бол асуудлыг шийдэхэд ямар ч бэрхшээл гарахгүй - бүх ус 3 секундын дотор урсах болно. Гэвч ажиглалтаас харахад эхлээд ус хурдан урсаж, савны усны түвшин буурах тусам түүний урсгалын хурд буурдаг. Иймээс гадагш урсах хурд v ба нүхний дээрх шингэний баганын өндөр h хоорондын хамаарлыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Италийн физикч Торричеллигийн хийсэн туршилтууд нь v хурдыг ойролцоогоор томъёогоор илэрхийлдэг бөгөөд энд g нь хурдатгал юм. Чөлөөт уналтба k нь шингэний зуурамтгай чанар ба нүхний хэлбэрээс хамаарах "хэмжээгүй" коэффициент (жишээлбэл, дугуй нүхний хувьд усны хувьд).
Тодорхой хугацааны туршид урсах үйл явцын "хормын хувилбар"-ыг авч үзье. өндрийн өсөлт” (энэ нь мэдээж сөрөг). Дараа нь савнаас урсаж буй шингэний эзэлхүүн нь өндөр ба суурийн талбай бүхий цилиндрийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
Энэ шингэн нь цилиндр хэлбэртэй урсгал хэлбэрээр цутгаж, үндсэн талбай S. Түүний өндөр нь тодорхой хугацаанд савнаас урсаж буй шингэний туулсан замтай тэнцүү байна. Энэ хугацааны эхэнд гадагшлах урсгалын хурд Торричеллигийн хуультай тэнцүү байсан ба эцэст нь .
Хэрэв энэ нь маш жижиг бол энэ нь бас маш бага тул хурдны илэрхийлэл бараг ижил байна. Тиймээс тодорхой хугацааны туршид шингэний туулсан замыг томъёогоор илэрхийлнэ
Хаана. Энэ нь тодорхой хугацааны туршид асгарсан шингэний эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно гэсэн үг юм
Бид тодорхой хугацааны туршид савнаас асгасан шингэний эзэлхүүний хоёр илэрхийлэлийг олж авлаа
(1) тэгшитгэлийн сул тал нь бид a-ийн илэрхийллийг мэдэхгүй байна. Энэ дутагдлыг арилгахын тулд бид (1) тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж, оноос хойш хязгаарт шилжинэ, бид дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.
Физикчид ихэвчлэн илүү товч ярьдаг. Тэд "хязгааргүй бага хугацаанд" үйл явцыг судалж, энэ хугацаанд савнаас гарах шингэний урсгалын хурд өөрчлөгддөггүй гэж үздэг. Тиймээс (1) ойролцоо тэгшитгэлийн оронд тэд яг тэгшитгэлийг олж авдаг
үүнээс өөр юу ч биш дифференциал хэлбэртэгшитгэл (2).
Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид хувьсагчдыг салгаж, үр дүнгийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэх үүднээс бутархайг А-аар тэмдэглэнэ
Бид A ба С хоёр тогтмолыг агуулсан t ба хоёрын хоорондын хамаарлыг олж авлаа. Тогтмол А нь нүхний хэмжээ, хэлбэр, шингэний зуурамтгай чанар болон бусад зэргээс хамаарна.
физик үзүүлэлтүүд ба тогтмол С нь асуудлыг шийдвэрлэх явцад үүссэн. Тэдний үнэ цэнэ нь бидэнд мэдэгддэггүй, гэхдээ тэдгээрийг хараахан ашиглаагүй байгаа асуудлын нөхцөлийг харгалзан үзэж болно.
Эхлээд C-ийн утгыг олъё. Үүний тулд бид ашигладаг анхны нөхцөл. Асуудлын нөхцлийн дагуу гадагшлах урсгалын эхэнд савыг дүүргэсэн, өөрөөр хэлбэл шингэний баганын өндөр нь . Өөрөөр хэлбэл, бидэнд байгаа үед: . Томъёо (3) -д утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авдаг бөгөөд ингэснээр тэгш байдлыг (3) хэлбэрээр дахин бичиж болно.
А-ийн утгыг олохын тулд эхний минутанд нийт шингэний гуравны нэг нь урсаж байсныг санаарай. Энэ нь шингэний түвшин -ээр буурсантай тохирч байна. Өөрөөр хэлбэл, бидэнд байгаа үед: . Эндээс бид үүнийг олж мэднэ
Одоо савыг хоослох цагийг олоход хялбар боллоо: бид t-ийн утгыг олох хэрэгтэй.
Хүлээн авсан үнэ цэнийн хугацаа илүү их үнэ цэнэ, шингэн нь жигд урсдаг гэсэн таамаглалаар олж авсан.
Мэдээжийн хэрэг, энэ шийдэл нь төгс нарийвчлалтай биш юм - бид жишээ нь, үзэгдлийг үл тоомсорлосон
хялгасан чанар (мөн нүхний диаметр бага бол тэдгээр нь чухал ач холбогдолтой), шингэн эргэлтүүд, гэж нэрлэгддэг хилийн давхарга(хурдны утгууд тэгээс u руу шилждэг нүхний хананы ойролцоох шингэний давхарга) болон бусад олон хүчин зүйлүүд. Гэхдээ энэ нь шингэний жигд урсгалын таамаглал дээр үндэслэсэн шийдлээс илүү нарийвчлалтай хэвээр байна.
Эцэст нь гарсан шийдлийг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид утгыг тэгшитгэлд (4) орлуулж, олж, олж авна
Хүлээн авсан хариултаас харахад R ба H (савны хэмжээс) -ийн утга их байх тусам шингэн түүнээс удаан урсах нь тодорхой байна. Цаашилбал, том S, өөрөөр хэлбэл нүхний талбай, шингэн нь савнаас хурдан урсах болно. Хурдатгалын өсөлт g, түүнчлэн k коэффициент нь ижил чиглэлд үйлчилдэг (k их байх тусам Бернуллигийн томъёоны дагуу шингэний урсгалын хурд их байх болно).
Ийнхүү гарсан томьёо нь “туршилтанд тэнцсэн эрүүл ухаан" Хэмжээг нь шалгах шаардлагатай хэвээр байна. Бернуллигийн томъёонд k коэффициент нь хэмжээсгүй тул бид дараах байдалтай байна.
Хийсэн хяналт нь асуудлыг зөв шийдвэрлэсэн болохыг баталж байна.
Ихэнх тохиолдолд асуудлын нөхцлийн дагуу дифференциал тэгшитгэлийг зохиох нь физикийн холбогдох хууль нь тодорхой хэмжигдэхүүний утга ба түүний өөрчлөлтийн хурдыг холбодог эсвэл утгыг холбодогтой холбоотой байдаг. хэмжигдэхүүн, түүний өөрчлөлтийн хурд, өөр хоорондоо хурдатгал.
Жишээ 2. Шүхрээр шумбагч таталцлын нөлөөн дор унасан. Агаарын эсэргүүцэл нь түүний уналтын хурдтай пропорциональ байвал шүхэрчин дэлхийн гадаргуугаас дээш өндрийг өөрчлөх хуулийг олцгооё, мөн уналтын эхэн үед тэрээр H өндөрт, тайван байдалд байсан.
Шийдэл. Ньютоны хоёрдугаар хуулийн дагуу бид: . Хэрэв та чиглэлээ сонговол координатын тэнхлэгТиймээс 3-р зурагт үзүүлсний дагуу (таталцлыг дотогш чиглүүлсэн сөрөг чиглэл, мөн агаарын эсэргүүцлийн хүч нь тал руу чиглэсэн, эсрэг хурдуналт). Тиймээс тэгш байдал нь дараах хэлбэртэй байна: Хурдатгал нь хурдны дериватив учраас бид дифференциал тэгшитгэлийг олж авна, i.e.
Эхний нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна: ( эхлэх хурдуналт нь тэг).
Тэгшитгэл (5) дахь хувьсагчдыг салгаж, интеграцид оруулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хэзээнээс бид: , тэгвэл, тиймээс
Эндээс бид олж мэднэ:
Бид цаг хугацааны явцад хурдны өөрчлөлтийн хуулийг олж авсан. Одоо шүхэрчний А өндрийн өөрчлөлтийн хуулийг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэмдэглэж, дифференциал тэгшитгэлийг олж авна
Үүнээс үүдэн гарч байна
Нөхцөлөөр бид: . Эдгээр утгыг (8) гэж орлуулснаар бид үүнийг олж авна
t-ийн жижиг утгуудын хувьд бид:
Зөвхөн эхний хоёр нэр томьёог хэвээр үлдээснээр бид (7) томъёоноос олж авсан бөгөөд энэ нь уналтын эхэн үед шүхэрчин бараг жигд хөдөлж байгааг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч, онд цаашдын нөлөөагаарын эсэргүүцэл нь мэдэгдэхүйц болж, бид байна: тиймээс хандлагатай байна . Өөрөөр хэлбэл, хурдыг доош чиглүүлснээр хөдөлгөөн бараг жигд болно. Энэ хурд нь шүхэрчинд үйлчлэх таталцлын хүчтэй пропорциональ, урвуу пропорциональ байна.
агаарын эсэргүүцлийн хүчийг харуулсан k коэффициент.
Томъёогоор (9) та шүхэрчин унах хугацааг ойролцоогоор олох боломжтой дэлхийн гадаргуу. Үүнийг хийхийн тулд бид (9) томъёог ашиглан ойролцоогоор тэгшитгэлийг бичдэг гэдгийг харгалзан үзэхэд энэ нэр томъёо нь шүхэрчин тогтмол хурдтай унах хугацаатай тэнцүү болохыг анхаарна уу. эхэндээ уналт удаан байсан тул болсон.
