Шулуун шугам. Шугамын тэгшитгэл

Хоёр оноо өгье М(X 1 ,У 1) ба Н(X 2,y 2). Эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олъё.

Учир нь энэ шугам цэгээр дамжин өнгөрдөг М, дараа нь (1.13) томъёоны дагуу түүний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

У – Ю 1 = К(X–x 1),

Хаана К– үл мэдэгдэх өнцгийн коэффициент.

Энэ коэффициентийн утгыг хүссэн шулуун шугам нь тухайн цэгээр дамжин өнгөрөх нөхцлөөр тодорхойлно Н, энэ нь түүний координатууд (1.13) тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг юм.

Ю 2 – Ю 1 = К(X 2 – X 1),

Эндээс та энэ шугамын налууг олох боломжтой:

,

Эсвэл хөрвүүлсний дараа

(1.14)

Формула (1.14) тодорхойлно Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл М(X 1, Ю 1) ба Н(X 2, Ю 2).

Оноо байх үед онцгой тохиолдолд М(А, 0), Н(0, Б), А ¹ 0, Б¹ 0, координатын тэнхлэгүүд дээр байрладаг, тэгшитгэл (1.14) илүү энгийн хэлбэртэй болно

Тэгшитгэл (1.15)дуудсан Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, Энд АТэгээд Бтэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдсан сегментүүдийг тэмдэглэнэ (Зураг 1.6).

Зураг 1.6

Жишээ 1.10. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич М(1, 2) ба Б(3, –1).

. (1.14) дагуу хүссэн шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

2(Ю – 2) = -3(X – 1).

Бүх гишүүдийг шилжүүлж байна зүүн тал, бид эцэст нь шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна

3X + 2Ю – 7 = 0.

Жишээ 1.11. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич М(2, 1) ба шугамын огтлолцлын цэг X+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Бид эдгээр тэгшитгэлийг хамтад нь шийдэж, шугамуудын огтлолцох цэгийн координатыг олох болно

Хэрэв бид эдгээр тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмбэл 2 болно X+ 1 = 0, хаанаас . Олсон утгыг дурын тэгшитгэлд орлуулж ординатын утгыг олно У:

Одоо (2, 1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичье.

эсвэл .

Тиймээс эсвэл –5( Ю – 1) = X – 2.

Эцэст нь бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авдаг X + 5Ю – 7 = 0.

Жишээ 1.12. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол М(2.1) ба Н(2,3).

Томъёо (1.14) ашиглан бид тэгшитгэлийг олж авна

Хоёр дахь хуваагчаас хойш энэ нь ямар ч утгагүй юм тэгтэй тэнцүү. Асуудлын нөхцлөөс харахад хоёр цэгийн абсцисса ижил утгатай байна. Энэ нь хүссэн шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг юм Өөба түүний тэгшитгэл нь: x = 2.

Сэтгэгдэл . Хэрэв (1.14) томъёог ашиглан шугамын тэгшитгэлийг бичихдээ хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоологчийг тэгтэй тэнцүүлэх замаар хүссэн тэгшитгэлийг олж авч болно.

Хавтгай дээрх шугамыг тодорхойлох өөр аргуудыг авч үзье.

1. Өгөгдсөн шулуунд тэг биш вектор перпендикуляр байя Л, ба цэг М 0(X 0, Ю 0) энэ мөрөнд байрладаг (Зураг 1.7).

Зураг 1.7

гэж тэмдэглэе М(X, Ю) дурын цэгшулуун шугам дээр Л. Векторууд ба Ортогональ. Эдгээр векторуудын ортогональ байдлын нөхцлийг ашиглан бид эсвэл А(X – X 0) + Б(Ю – Ю 0) = 0.

Бид цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олж авлаа М 0 нь векторт перпендикуляр байна. Энэ векторыг нэрлэдэг Ердийн вектор шулуун шугам руу Л. Үүссэн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно

Өө + Ву + ХАМТ= 0, хаана ХАМТ = –(АX 0 + By 0), (1.16),

Хаана АТэгээд IN– хэвийн векторын координатууд.

Бид шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр олж авдаг.

2. Хавтгай дээрх шулуун шугамыг дараах байдлаар тодорхойлж болно: өгөгдсөн шулуунтай тэг биш вектор параллель байг. Лба хугацаа М 0(X 0, Ю 0) энэ мөрөнд байрладаг. Дахин дур зоргоороо нэг зүйлийг авч үзье М(X, y) шулуун шугам дээр (Зураг 1.8).

Зураг 1.8

Векторууд ба collinear.

Эдгээр векторуудын коллинеар байх нөхцөлийг бичье: , хаана Т – дурын тоо, параметр гэж нэрлэдэг. Энэ тэгш байдлыг координатаар бичье.

Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг Параметрийн тэгшитгэл Шууд. Эдгээр тэгшитгэлээс параметрийг хасъя Т:

Эдгээр тэгшитгэлийг өөр хэлбэрээр бичиж болно

. (1.18)

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ Каноник тэгшитгэлшууд. Векторыг нэрлэдэг Чиглэлийн вектор шулуун байна .

Сэтгэгдэл . Шугамын хэвийн вектор нь if гэдгийг харахад хялбар байдаг Л, тэгвэл түүний чиглэлийн вектор нь оноос хойш вектор байж болно, өөрөөр хэлбэл.

Жишээ 1.13. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич М 0(1, 1) 3-р мөрөнд параллель байна X + 2У– 8 = 0.

Шийдэл . Вектор нь өгөгдсөн болон хүссэн шугамын хэвийн вектор юм. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглая М 0 с өгөгдсөн векторхэвийн 3( X –1) + 2(У– 1) = 0 эсвэл 3 X + 2у– 5 = 0. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг олж авлаа.

K(x 0 ; y 0) цэгийг дайрч y = kx + a шулуунтай параллель шулууныг дараах томъёогоор олно.

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Энд k нь шугамын налуу юм.

Альтернатив томъёо:
M 1 (x 1 ; y 1) цэгийг дайрч, Ax+By+C=0 шулуунтай параллель шулууныг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Жишээ №2. 2x + 5y = 0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бичээд координатын тэнхлэгүүдийн хамт талбай нь 5 хэмжээтэй гурвалжин үүсгэ.
Шийдэл . Шугамууд зэрэгцээ байгаа тул хүссэн шугамын тэгшитгэл нь 2x + 5y + C = 0. Талбай зөв гурвалжин, энд a ба b нь түүний хөл юм. Хүссэн шугамын огтлолцох цэгүүдийг координатын тэнхлэгүүдтэй олъё.
;
.
Тэгэхээр A(-C/2,0), B(0,-C/5). Үүнийг талбайн томъёонд орлъё: . Бид 2х + 5у + 10 = 0 ба 2х + 5у - 10 = 0 гэсэн хоёр шийдлийг авдаг.

Жишээ №3. (-2; 5) цэгийг дайрч 5x-7y-4=0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энэ шулуун шугамыг y = 5/7 x – 4/7 (энд a = 5/7) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно. Хүссэн шугамын тэгшитгэл нь y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) эсвэл 5x-7y+45=0 .

Жишээ № 4. 3-р жишээг (A=5, B=-7) (2) томъёогоор шийдсэний дараа бид 5(x+2)-7(y-5)=0-г олно.

Жишээ №5. 7х+10=0 шулуунтай параллель (-2;5) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энд A=7, B=0. Томъёо (2) нь 7(x+2)=0, өөрөөр хэлбэл. x+2=0. Формула (1) нь хамаарахгүй, учир нь өгөгдсөн тэгшитгэл y-тэй харьцуулахад шийдвэрлэх боломжгүй (энэ шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна).

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгайн хоёр зөрж буй шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

IN гурван хэмжээст орон зайгурван сонголт байна харьцангуй байрлалхоёр шулуун шугам:

• шугамууд огтлолцдог;

• шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Шулуун шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: in Декарт системкоординат шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Ерөнхий тэгшитгэлшууд.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрээрямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна

анхны нөхцөл.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декарт хэлээр тэгш өнцөгт систембүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй координат вектор (A, B)

шулуун шугамд перпендикуляр, тэгшитгэлээр өгөгдсөн

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу шууд.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Геометрийн утгакоэффициентүүд нь а коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Хэвийн тэгшитгэлшууд.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.

r- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Бичих шаардлагатай янз бүрийн төрөлтэгшитгэл

энэ шулуун шугам.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, Тэр хурц өнцөгэдгээр мөрүүдийн хооронд

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шулуун шугамууд перпендикуляр байна,

Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Дамжуулж буй шугамын тэгшитгэл энэ цэгэнэ шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь дамжин өнгөрөх шугамын тэгшитгэл юм өгсөн оноо M 0 перпендикуляр

шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.