n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Шугаман дифференциал

Шугаман дифференциал систем тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг шугаман,үл мэдэгдэх функц болон тэдгээрийн деривативын хувьд шугаман бол. систем n-1-р эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Системийн коэффициентүүд нь const.

Энэ системийг бичихэд тохиромжтой матриц хэлбэр: ,

Энд нэг аргументаас хамаарах үл мэдэгдэх функцүүдийн баганын вектор байна.

Эдгээр функцүүдийн деривативын баганын вектор.

Чөлөөт гишүүдийн баганын вектор.

Коэффицент матриц.

Теорем 1:Хэрэв бүх матрицын коэффициентууд Атодорхой интервал дээр үргэлжилдэг ба , дараа нь м бүрийн зарим хөршид. TS&E-ийн нөхцөл хангагдсан. Иймээс ийм цэг бүрээр нэг интеграл муруй дамждаг.

Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд системийн баруун гар тал нь аргументуудын багцын хувьд тасралтгүй бөгөөд тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд нь (А матрицын коэффициентүүдтэй тэнцүү) хаалттай интервал дахь тасралтгүй байдлын улмаас хязгаарлагдмал байдаг.

SLD-ийг шийдвэрлэх аргууд

1. Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэг тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Жишээ:Тэгшитгэлийн системийг шийд: (1)

Шийдэл:оруулахгүй zЭдгээр тэгшитгэлээс. Эхний тэгшитгэлээс бид . Хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, хялбаршуулсаны дараа бид дараахь зүйлийг авна. .

Энэ тэгшитгэлийн систем (1) Хоёр дахь эрэмбийн нэг тэгшитгэл болгон бууруулсан. Энэ тэгшитгэлээс олсны дараа y, олдох ёстой z, тэгш байдлыг ашиглан.

2. Үл мэдэгдэхийг арилгах замаар тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ ихэвчлэн илүү тэгшитгэлийг олж авдаг өндөр захиалга, тиймээс олон тохиолдолд олох замаар системийг шийдэх нь илүү тохиромжтой байдаг нэгдсэн хослолууд.

Үргэлжлэл 27б

Жишээ:Системийг шийднэ үү

Шийдэл:

Шийдье энэ системЭйлерийн арга. Шинж чанарыг олох тодорхойлогчийг бичье

тэгшитгэл: , (систем нь нэгэн төрлийн учир өчүүхэн бус шийдэлтэй байхын тулд энэ тодорхойлогч байх шаардлагатай. тэгтэй тэнцүү). Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг олж, түүний үндсийг олно.

Ерөнхий шийдэл нь: ;

- хувийн вектор.

Бид шийдлийг бичнэ: ;

- хувийн вектор.

Бид шийдлийг бичнэ: ;

Бид ерөнхий шийдлийг олж авдаг: .

Шалгацгаая:

-ийг олъё, мөн үүнийг энэ системийн эхний тэгшитгэлд орлуулна, өөрөөр хэлбэл. .

Бид авах:

- жинхэнэ тэгш байдал.

Шугаман дифференциал. n-р эрэмбийн тэгшитгэл. тухай теорем ерөнхий шийдвэрнэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл n-р дараалал.

n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг хэлбэрийн тэгшитгэл: (1)

Хэрэв энэ тэгшитгэл нь коэффициенттэй бол түүнийг хувааж үзвэл бид тэгшитгэлд хүрнэ. (2) .

Ихэвчлэн ийм төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг (2). Үүнийг ur-i гэж бодъё (2) бүх магадлал, түүнчлэн f(x)тодорхой интервалд тасралтгүй (а, б).Дараа нь TS&E-ийн дагуу тэгшитгэл (2) Байгаа цорын ганц шийдвэр, эхний нөхцлүүдийг хангасан: , , …, хамт. Энд - интервалаас дурын цэг (а, б),мөн бүх зүйл - ямар ч өгсөн тоо. Тэгшитгэл (2) TC&E-г хангасан , тиймээс байхгүй тусгай шийдлүүд.

Тодорхойлолт: тусгайцэгүүд нь =0 байх цэгүүд юм.

Шугаман тэгшитгэлийн шинж чанарууд:

1. Бие даасан хувьсагчийн аливаа өөрчлөлтөд шугаман тэгшитгэл хэвээр байна.
2. Хүссэн функцийн шугаман өөрчлөлтөд шугаман тэгшитгэл хэвээр үлдэнэ.

Def:Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол (2) тавих f(x)=0, дараа нь бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна. (3) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлхарьцангуй үгүй нэгэн төрлийн тэгшитгэл (2).

Анхааралтай танилцуулъя шугаман дифференциалоператор: (4). Энэ операторыг ашиглан та үүнийг дахин бичиж болно богино хэлбэртэгшитгэл (2) Тэгээд (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Оператор (4) дараах байдалтай байна энгийн шинж чанарууд:

Эдгээр хоёр шинж чанараас дүгнэлт гаргаж болно: .

Чиг үүрэг у=у(х)нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл юм (2), Хэрэв L(y(x))=f(x), Дараа нь f(x)тэгшитгэлийн шийд гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр тэгшитгэлийн шийдэл (3) функц гэж нэрлэдэг у(х), Хэрэв L(y(x))=0харгалзан үзсэн интервалууд дээр.

Санаж үз нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл: , L(y)=f(x).

Бид ямар нэгэн байдлаар тодорхой шийдлийг олсон гэж бодъё, тэгвэл .

Үл мэдэгдэх шинэ функцийг танилцуулъя zтомъёоны дагуу: , тодорхой шийдэл хаана байна.

Үүнийг тэгшитгэлд орлуулъя: , хаалтыг нээж: .

Үр дүнгийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Анхны тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл учраас , тэгвэл .

Тиймээс бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авлаа z. Энэхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь шугаман хослол юм: , функцүүд нь - байна үндсэн системнэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүд. Орлуулах zорлуулах томъёонд бид дараахь зүйлийг авна. (*) функцийн хувьд y– анхны тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх функц. Анхны тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд (*) хэсэгт агуулагдах болно.

Ийнхүү нэгэн төрлийн бус шугамын ерөнхий шийдэл. тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн зарим тодорхой шийдийн нийлбэрээр илэрхийлнэ.

(нөгөө талд үргэлжилсэн)

30. Дифференциалын шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. тэгшитгэл

Теорем:Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. баруун хэсэгтэгш өнцөгт хэлбэрээр тасралтгүй мөн хязгаарлагдмал, мөн түүнчлэн Липшицийн нөхцөлийг хангана: , N=const, тэгвэл эхний нөхцлүүдийг хангасан, сегмент дээр тодорхойлогдсон өвөрмөц шийдэл байна. , Хаана.

Нотолгоо:

Бүрэн хэмжээгээр нь авч үзье метрийн орон зай ХАМТ,цэгүүд нь интервал дээр тодорхойлогдсон y(x) бүх боломжит тасралтгүй функцууд юм , графикууд нь тэгш өнцөгт дотор байрлах ба зай нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. . Энэ орон зайг ихэвчлэн математик шинжилгээнд ашигладаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг орон зай жигд нэгдэл , учир нь энэ орон зайн хэмжигдэхүүн дэх нэгдэл нь жигд байна.

Дифференциалыг сольж үзье. өгөгдөлтэй тэгшитгэл анхны нөхцөлэквивалент интеграл тэгшитгэлд: мөн операторыг анхаарч үзээрэй A(y), энэ тэгшитгэлийн баруун талтай тэнцүү: . Энэ оператор тус бүртэй таарч байна тасралтгүй функц

Липшицийн тэгш бус байдлыг ашиглан бид зай гэж бичиж болно. Одоо аль нэгийг нь сонгоцгооё дараах тэгш бус байдал: .

Ийм байдлаар сонгох хэрэгтэй. Тиймээс бид үүнийг харуулсан.

Агшилтын зураглалын зарчмын дагуу өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь нэг цэг буюу ижил функцтэй байдаг.

n--р захиалга

Теорем. Хэрэв y 0- нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл L[y]=0, y 1- харгалзах нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл L[y] = f(x), дараа нь нийлбэр y 0 +y 1нь энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийг дараах теоремоор тодорхойлно.

Теорем. Хэрэв Ю- тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл L[y] = f(x)-тай тасралтгүй коэффициентүүд, - харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл L[y] = 0, дараа нь энэ нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор тодорхойлно

Сэтгэгдэл. Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичихийн тулд энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох шаардлагатай.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл n

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье n-тогтмол коэффициент бүхий 1-р дараалал

Хаана a 1, a 2, …, a n - бодит тоо. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бичье

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор тодорхойлно

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y 0Бид тодорхой шийдлийг олж чадна Ю-аар олж болно тодорхойгүй коэффициентүүддараах энгийн тохиолдолд:

IN ерөнхий тохиолдолДурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг.

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье n-хувьсах коэффициент бүхий-р дараалал

Хэрэв энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олоход хэцүү, гэхдээ харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж болно. дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.

Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг үзье

ерөнхий шийдэлтэй

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

Хаана y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x)нь ерөнхий шийдэлд багтсан нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд ба C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- үл мэдэгдэх функцууд. Эдгээр функцийг олохын тулд тэдгээрийг зарим нөхцөл байдалд оруулъя.

Деривативыг олцгооё

Бид хоёр дахь хаалтанд байгаа нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байхыг шаарддаг, өөрөөр хэлбэл

Хоёрдахь деривативыг олъё

мөн бид үүнийг шаардах болно

Үүнтэй төстэй үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид олж авна

Энэ тохиолдолд функцууд байгаа тул хоёр дахь хаалтанд байгаа нийлбэр алга болохыг шаардаж болохгүй C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)аль хэдийн захирагддаг n-1нөхцөл, гэхдээ та анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг хангах шаардлагатай хэвээр байна.

Дифференциал тэгшитгэлn--р захиалга.

Хэрэв тэгшитгэл нь хамгийн өндөр деривативын хувьд шийдэгдэх боломжтой бол энэ нь (1) хэлбэртэй байна. n-р эрэмбийн тэгшитгэлийг n-р эрэмбийн тэгшитгэлийн систем болгон төлөөлж болно.

(3)

n-р эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд (1)~(2)~(3)-аас хойш системийн оршихуй ба цорын ганц байдлын тухай теоремын нөхцлүүд хангагдана.

Захиалга багасгах хамгийн энгийн тохиолдлууд.

Тэгшитгэл нь шаардлагатай функц болон дараалал хүртэлх уламжлалыг агуулаагүй болно к -1 багтсан , тэр бол

Энэ тохиолдолд захиалгыг багасгаж болно
солих. Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг илэрхийлбэл y-ийн шийдийг k нугалах интегралчлах функцээр тодорхойлж болно х.

Жишээ.
.

Үл мэдэгдэх хувьсагч агуулаагүй тэгшитгэл

(5)

Энэ тохиолдолд орлуулах замаар дарааллыг нэгээр бууруулж болно.

Жишээ.
.

Тэгшитгэлийн зүүн тал

(6)

нь зарим дифференциал илэрхийллийн дериватив ( n -1)-р захиалга .
. Хэрэв
- Тиймээс сүүлийн тэгшитгэлийн шийдэл байна. Бид (6) тэгшитгэлийн эхний интегралыг олж, шийдэж буй тэгшитгэлийн зэрэглэлийг нэгээр бууруулсан.

Сэтгэгдэл.Заримдаа (6)-ын зүүн тал нь (n-1)-р дарааллын дифференциал тэгшитгэлийн дериватив болдог.
Тиймээс энд шаардлагагүй шийдлүүд гарч ирж магадгүй юм (урвуу тэг хүртэл) эсвэл хэрэв бид шийдлээ алдаж магадгүй тасалдсан функц.

Жишээ.

Тэгшитгэл

(7)

харьцангуй нэгэн төрлийн ба түүний деривативууд .

Эсвэл индикатор хаана байна
нэгэн төрлийн байх нөхцлөөр тодорхойлогддог.

Энэ тэгшитгэлийн дарааллыг дараах байдлаар сольж нэгээр бууруулж болно.

Хэрэв бид эдгээр хамаарлыг (7) -д орлуулж, функцийн нэгэн төрлийн байдлыг харгалзан үзвэл Ф , тэгвэл эцэст нь бид: .

Жишээ.
.

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл,

дарааллыг багасгах боломжийг олгодог.

Орлуулах
.

Хэрэв тэгшитгэл (8)-ийг хамгийн өндөр деривативтай холбож шийдэж чадвал тэгшитгэлийг авна.
хувьсагч дээр хоёр дахин интегралчилсан x.

Та параметрийг оруулж, тэгшитгэлийг (8) параметрийн дүрслэлээр сольж болно.
. Дифференциалын хувьд хамаарлыг ашиглах:
, бид авна: болон

II .
(9)

Параметрийн дүрслэлийг ашиглацгаая:

III.
. (10)

Та солих замаар захиалгыг бууруулж болно:
.

Хэрэв тэгшитгэл (10) нь хамгийн өндөр деривативын хувьд шийдэгдэх боломжтой бол
, дараа нь зөв ба үржүүл зүүн талдээр
. Бид дараахыг олж авна: Энэ нь салгах боломжтой хувьсагчтай тэгшитгэл юм:
.

(10) тэгшитгэлийг түүний параметрт дүрслэлээр сольж болно: . Дифференциалын шинж чанарыг ашиглая:.

Жишээ.
.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлn--р захиалга.

Тодорхойлолт. Шугаман дифференциал тэгшитгэл n --р захиалга хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг:
. (1)

Боломжгүй бол төлөө тасралтгүй
, дараа нь аль ч хөрш анхны утгуудгэх мэт: хаана интервалд хамаарах бол эдгээр анхны утгуудын ойролцоо нөхцөл хангагдсан байна оршихуй ба өвөрмөц байдлын теоремууд. (1) тэгшитгэлийн шугаман ба нэгэн төрлийн байдал ямар ч хувиргалтанд хадгалагдана
, Хаана нь дурын ntimes дифференциалагдах функц юм. Түүнээс гадна
. Үл мэдэгдэх функцийг шугаман болон нэгэн төрлийн байдлаар хувиргах үед шугаман ба нэгэн төрлийн байдал хадгалагдана.

Шугаман дифференциал операторыг танилцуулъя: , тэгвэл (1)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.
. Вронски тодорхойлогч
харагдах болно:

, Хаана - (1) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд.

Теорем 1. Хэрэв шугаман бие даасан функцүүд
нь тасралтгүй шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (1) шийдэл юм
коэффициентүүд
, дараа нь Вронски тодорхойлогч
сегментийн аль ч цэг дээр алга болдоггүй
.

Теорем 2. Үргэлжилсэн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (1) ерөнхий шийдэл
коэффициентүүд
шийдлүүдийн шугаман хослол байх болно , тэр бол
(2), хаана
сегмент дээр шугаман хамааралгүй
хувийн шийдлүүд (1).

(шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системтэй адил батлагдсан)

Үр дагавар.Хамгийн их тоо нь шугаман байна бие даасан шийдвэрүүд(1) нь түүний дараалалтай тэнцүү байна.

(1) тэгшитгэлийн нэг чухал бус шийдлийг мэдэх -
, та орлуулалт хийж болно
тэгшитгэлийн дарааллыг буулгаж, шугаман ба нэг төрлийн бус байдлыг хадгална. Ихэвчлэн энэ орлуулалт нь хоёр хуваагддаг. Энэ нь шугаман нэгэн төрлийн дүрслэл тул (1)-ийн шугаман болон нэгэн төрлийн байдлыг хадгалдаг бөгөөд энэ нь (1)-ийг хэлбэрт оруулах ёстой гэсэн үг юм. Шийдвэр
-ийн ачаар
шийдэлтэй тохирч байна
, Тиймээс
. Сэлгээ хийсэн
, бид дараалалтай тэгшитгэлийг олж авна
.

Лемма. (3)

(3) ба (4) хэлбэрийн хоёр тэгшитгэл нь Q i ба P i нь шийдлүүдийн нийтлэг суурь системтэй тасралтгүй функцууд бөгөөд давхцдаг, өөрөөр хэлбэл. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Лемм дээр үндэслэн бид y 1 y 2 …y n шийдлийн үндсэн систем нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (3) бүрэн тодорхойлдог гэж дүгнэж болно.

y 1 y 2 …y n шийдлийн үндсэн системтэй (3) тэгшитгэлийн хэлбэрийг олъё. Аливаа шийдэл y(x) (3) тэгшитгэл нь шийдлийн үндсэн системээс шугаман хамааралтай ба W=0 гэсэн үг. Сүүлийн баганад Wronski тодорхойлогч W-ийг өргөжүүлье.

Тэгшитгэл (5) нь үндсэн шийдлүүдийн өгөгдсөн системтэй, хүссэн шугаман дифференциал тэгшитгэл юм. Бид (5)-ыг W-д хувааж болно, учир нь тэгтэй тэнцүү биш  x. Дараа нь:

(*)

Тодорхойлогчийн ялгах дүрмийн дагуу тодорхойлогчийн дериватив нь i=1,2...n тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тус бүрийн i-р эгнээ нь i-ийн деривативтай тэнцүү байна. анхны тодорхойлогчийн th эгнээ. Энэ нийлбэрт сүүлчийнхээс бусад бүх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна (учир нь тэдгээр нь хоёр ижил шугамтай), сүүлчийнх нь (*) тэнцүү байна. Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.

, Дараа нь:
(6)

(7)

Тодорхойлолт. Томъёо (6) ба (7) гэж нэрлэдэг Остроградский-Лиувиллийн томъёо.

Хоёрдахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг нэгтгэхийн тулд бид (7) ашигладаг. (8) тэгшитгэлийн y 1 шийдлүүдийн аль нэгийг бидэнд мэдэгдье.

(7)-д зааснаар аливаа шийдэл (8) нь дараах хамаарлыг хангасан байх ёстой.

(9)

Интегралчлах хүчин зүйлийн аргыг ашиглая.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд

тогтмол коэффициентүүд.

Хэрэв шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлд бүх коэффициент тогтмол байвал

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

дараа нь тодорхой шийдлүүдийг (1) дараах хэлбэрээр тодорхойлж болно: y=e kx, энд k нь тогтмол байна.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Тодорхойлолт. (3) - шинж чанарын тэгшитгэл.

Уусмалын төрлийг (1) шинж чанарын тэгшитгэлийн (3) язгуураар тодорхойлно.

1). Бүх үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой юм , Дараа нь:

2). Хэрэв бүх коэффициентүүд бодит бол үндэс нь нарийн төвөгтэй коньюгат байж болно .

k 1 =+i k 2 =-i

Дараа нь шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Теоремын дагуу: хэрэв бодит коэффициент бүхий оператор нь нийлмэл коньюгат шийдлүүдтэй бол тэдгээрийн бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь мөн шийдэл болно. Дараа нь:

Жишээ.

Шийдлийг хэлбэрээр танилцуулъя
, тэгвэл шинж чанарын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, бид хоёр шийдлийг олж авдаг:

Дараа нь шаардлагатай функц нь:

3). Олон үндэс байдаг: к би олон талтай  би . Энэ тохиолдолд янз бүрийн шийдлүүдийн тоо
бага байх тул алга болсон шугаман бие даасан шийдлүүдийг өөр хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. Жишээлбэл:

Нотолгоо:

k i =0 гэж бодъё, хэрэв бид үүнийг (3) -д орлуулбал бид дараахыг авна.

- тодорхой шийдэл (3).

k i 0 гэж орлуулъя
(6)

(6)-г (1) орлуулснаар бид z-ийн хувьд тогтмол коэффициент (7) бүхий n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авна.

Үндэс (3) нь шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуураас (7) k i нэр томъёогоор ялгаатай.

(8)

Хэрэв k=k i бол энэ k нь p=0 үндэстэй тэгшитгэлийн (7) шийдэлд тохирно, өөрөөр хэлбэл. z= хэлбэрийн шийдлүүдэд тохирно
, тэгвэл y= нь (1) тэгшитгэлийн шийдэл болно. Мөн ерөнхий шийдэл нь дараах байдалтай байна.

k i-ийн шийдэл



Эйлерийн тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Маягтын тэгшитгэл:

a i нь тогтмол коэффициентүүд, гэж нэрлэдэг Эйлерийн тэгшитгэл.

x=e t-г орлуулснаар Эйлерийн тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл болгон бууруулна.

Та шийдлүүдийг y=x k хэлбэрээр хайж болно, тэгвэл тэдгээр нь дараах хэлбэртэй байна.

Шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл.

Хэрэв 0 (x)0 байвал (1) тэгшитгэлийг энэ коэффициентээр хуваавал бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Хэрэв i ба f нь b дээр тасралтгүй байвал (2) нь харгалзах анхны нөхцлийг хангасан өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хэрэв бид (2)-ын хамгийн өндөр деривативуудыг тодорхой илэрхийлбэл баруун тал нь оршихуй ба өвөрмөц байдлын теоремыг хангасан тэгшитгэлийг олж авна. L оператор нь шугаман учир (2)-ын хувьд дараахь зүйлийг хангана гэсэн үг.

1).
- шийдэл (2), хэрэв - нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл (2), ба - харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл.

2). Хэрэв - шийдэл
, Тэр
тэгшитгэлийн шийдэл
.

2-р шинж чанар нь superposition зарчим бөгөөд энэ нь хэзээ хүчинтэй байна
, хэрэв цуврал
- нэгдэж, хүлээн зөвшөөрдөг м-олон нэр томъёогоор ялгах.

3) Операторын тэгшитгэлийг өгье
, энд L нь коэффициент бүхий оператор юм , Бүгд - бодит. U болон V функцууд нь бас бодит юм. Дараа нь, хэрэв энэ тэгшитгэл нь шийдэлтэй бол
, тэгвэл ижил тэгшитгэлийн шийдэл нь төсөөлөл ба бодит хэсгүүд байх болно.
Тэгээд
. Түүнээс гадна тэдгээр нь тус бүр нь шийдэлд нийцдэг.

Теорем. Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлn- тухай
сегмент дээр [а, б] бол бүх коэффициент
ба баруун тал
- тасралтгүй функцуудыг харгалзах ерөнхий шийдлийн нийлбэрээр илэрхийлж болно нэгэн төрлийн систем
ба нэг төрлийн бус байдлын тодорхой шийдэл -
.

Тэдгээр. шийдэл
.

Хэрэв нэг төрлийн бус системийн тодорхой шийдлүүдийг сонгох боломжгүй бол та энэ аргыг ашиглаж болно. тогтмол хэлбэлзэл . Бид дараах хэлбэрээр шийдлийг хайх болно.

(3)

Хаана
нэгэн төрлийн системийн шийдэл,
- үл мэдэгдэх функцууд.

Нийт үл мэдэгдэх функцууд
- n. Тэд анхны тэгшитгэлийг (2) хангах ёстой.

y(x) илэрхийллийг (2) тэгшитгэлд орлуулснаар бид зөвхөн нэг үл мэдэгдэх функцийг тодорхойлох нөхцөлийг олж авна. Үлдсэн (n-1)-худаг функцийг тодорхойлохын тулд өөр (n-1)-гэхдээ нэмэлт нөхцөл шаардлагатай. (2) - y(x) шийдэл нь ижил хэлбэртэй байхаар тэдгээрийг сонгоцгооё
тогтмол байсан.

,

учир нь
тэгвэл тогтмол шиг аашилна
, юу гэсэн үг вэ гэхээр
.

Тэр. бид (1) тэгшитгэлээс гадна (n-1)-гэхдээ нөхцөлийг авна. Хэрэв бид деривативын илэрхийлэлийг (1) тэгшитгэлд орлуулж, олж авсан бүх нөхцөл, y i нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн шийдэл гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараах нөхцөлийг олж авна.
.

Систем рүү шилжье:

(3)

(3) системийн тодорхойлогч нь (W) Вронскийн тодорхойлогч, мөн учир нь y i нь нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд юм W0 дээр.

Жишээ. Нэг төрлийн бус тэгшитгэл

, харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл

Бид хэлбэрээр шийдэл хайж байнаy= д kx . Онцлогийн тэгшитгэлк 2 +1=0, өөрөөр хэлбэл.к 1,2 =  би

y= д ix = cos x + би нүгэл x, нийтлэг шийдвэр -

Тогтмол өөрчлөлтийн аргыг ашиглая:

Нөхцөл
:

, энэ нь бичихтэй тэнцэнэ:

Эндээс:

Шууд интегралаар шийдэгдсэн тэгшитгэлүүд

Дараах дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
.
Бид n удаа нэгтгэдэг.
;
;
гэх мэт. Та мөн томъёог ашиглаж болно:
.
см. Шууд шийдэж болох дифференциал тэгшитгэл нэгтгэх > > >

y хамааралтай хувьсагчийг тодорхой агуулаагүй тэгшитгэлүүд

Орлуулалт нь тэгшитгэлийн дарааллыг нэгээр бууруулдаг. -аас авсан функц энд байна.
см. Тодорхой хэлбэрээр функц агуулаагүй дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл > > >

Бие даасан x хувьсагчийг тодорхой агуулаагүй тэгшитгэлүүд

.
-ийн функц гэж бид үзэж байна. Дараа нь
.
Бусад деривативуудын хувьд мөн адил. Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн дараалал нэгээр багасна.
см. Тодорхой хувьсагч агуулаагүй дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл > > >

y, y′, y′′, ...-ын хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид орлуулалтыг хийнэ
,
функц хаана байна. Дараа нь
.
Бид дериватив гэх мэтчилэн хувиргадаг. Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн дараалал нэгээр багасна.
см. Функц ба түүний деривативын хувьд нэгэн төрлийн өндөр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлүүд > > >

Дээд зэрэглэлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Ингээд авч үзье n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл:
(1) ,
бие даасан хувьсагчийн функцууд хаана байна. Энэ тэгшитгэлийн шугаман бие даасан n шийд байна. Дараа нь (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
(2) ,
дурын тогтмолууд хаана байна. Функцүүд өөрсдөө шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг.
Үндсэн шийдлийн систем n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь энэ тэгшитгэлийн n шугаман бие даасан шийд юм.

Ингээд авч үзье n-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл:
.
Энэ тэгшитгэлийн тодорхой (ямар ч) шийдэл байг. Дараа нь ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
,
нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл хаана байна (1).

Тогтмол коэффициенттэй ба тэдгээрт буурдаг шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл

Эдгээр нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
(3) .
Энд бодит тоонууд байна. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг n шугаман бие даасан шийдлийг олох хэрэгтэй. Дараа нь ерөнхий шийдлийг (2) томъёогоор тодорхойлно.
(2) .

Бид хэлбэрээр шийдлийг хайж байна. Бид авдаг шинж чанарын тэгшитгэл:
(4) .

Хэрэв энэ тэгшитгэл байгаа бол янз бүрийн үндэс, дараа нь шийдлийн үндсэн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Хэрэв боломжтой бол цогц үндэс
,
тэгээд нийлмэл нийлмэл үндэс бас бий. Эдгээр хоёр үндэс нь үндсэн системд оруулдаг шийдлүүд болон -тай тохирч байна нэгдсэн шийдлүүдМөн .

Олон үндэсүржвэрүүд нь шугаман бие даасан шийдлүүдэд тохирно: .

Олон тоо нарийн төвөгтэй үндэс олон талт байдал ба тэдгээрийн нарийн төвөгтэй коньюгат утгууд нь шугаман бие даасан шийдлүүдтэй тохирч байна.
.

Тусгай нэг төрлийн бус хэсэгтэй шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл

Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье
,
s зэрэгтэй олон гишүүнт хаана байна 1 болон с 2 ; - байнгын.

Эхлээд бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна (3). Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл (4) үндэс агуулаагүй, дараа нь бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
,
Хаана
;
;
s - s-ийн хамгийн том нь 1 болон с 2 .

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл (4) үндэстэйолон талт байдал, дараа нь бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
.

Үүний дараа бид ерөнхий шийдлийг олж авна:
.

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл

Энд гурван боломжит шийдэл байна.

1) Бернулли арга.
Нэгдүгээрт, бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ямар ч тэгээс өөр шийдийг олно
.
Дараа нь бид орлуулалт хийдэг
,
Энд x хувьсагчийн функц байна. Бид зөвхөн x-тэй холбоотой u-ийн деривативуудыг агуулсан u-ийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авдаг. Орлуулалтыг хийснээр бид n тэгшитгэлийг олж авна - 1 --р захиалга.

2) Арга шугаман орлуулалт .
Сэлгээ хийцгээе
,
нэг үндэс хаана байна шинж чанарын тэгшитгэл(4). Үүний үр дүнд бид тогтмол дарааллын коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг олж авдаг. Энэ орлуулалтыг тууштай хэрэглэснээр бид олж авна анхны тэгшитгэлнэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл рүү.

3) Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.
Энэ аргын хувьд бид эхлээд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (3) шийддэг. Түүний шийдэл нь дараах байдалтай байна.
(2) .
Цаашлаад бид тогтмолууд нь x хувьсагчийн функцууд гэж таамаглаж байна. Дараа нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
,
Үл мэдэгдэх функцүүд хаана байна. Анхны тэгшитгэлийг орлуулж, зарим хязгаарлалт тогтоосноор бид функцийн төрлийг олох тэгшитгэлийг олж авна.

Эйлерийн тэгшитгэл

Энэ нь орлуулах замаар тогтмол коэффициент бүхий шугаман тэгшитгэл болгон бууруулна.
.
Гэхдээ Эйлерийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд ийм орлуулалт хийх шаардлагагүй. Та нэн даруй хэлбэрээр нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг хайж болно
.
Үүний үр дүнд бид хувьсагчийн оронд орлуулах шаардлагатай тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлтэй ижил дүрмийг олж авдаг.

Лавлагаа:
V.V. Степанов, Мэдээж дифференциал тэгшитгэл, "LKI", 2015 он.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Асуудлын цуглуулга дээр дээд математик, "Лан", 2003 он.