Хавтгайн тэгшитгэл гэж юу вэ d. Хавтгайн тэгшитгэл, хавтгайн тэгшитгэлийн төрлүүд

1. Зай өгсөн бол гэсэн үгийг батлах боломжтой тэгш өнцөгт системкоординат OXYZ, дараа нь гурваар эхний зэрэгтэй дурын тэгшитгэл үл мэдэгдэх x,y,zшаардлагатай бөгөөд энэ системтэй харьцуулахад тодорхой хавтгайг хангалттай тодорхойлдог Р. Энэ тэгшитгэлийг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.

А X+ Б цагт+ C z+ D= 0 (17)

(хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл (15)-тай харьцуулж үзэх, үүнээс z = 0 үед гарах) ба хавтгайг тодорхойлно. Р, векторт перпендикуляр(A,B,C).

Вектор - онгоцны хэвийн вектор Р.

(17) тэгшитгэл нь дараах тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

2. дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл энэ цэгМ( x 0, y 0, z 0):

А( X- X 0) + B( цагт-цагт 0) + C( z-z 0) = 0.

3. Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл

,

Хаана ; ; .

4. Нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлогчоор бичнэ.

,

Хаана ( X 1 , y 1 , z 1), (X 2 , y 2 , z 2), (X 3 , y 3 , z 3) - өгөгдсөн цэгүүдийн координат.

Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцөг гэж тодорхойлогддог n 1 ба n 2. Эндээс параллель хавтгайн нөхцөл үүсдэг

Р 1 ба Р 2:

ба хоёр хавтгайн перпендикуляр байдлын нөхцөл:

А 1 А 2 + Б 1 IN 2 + C 1 ХАМТ 2 = 0 .

Жишээ 29. Цэгээр дамжуулан TO(1, -3, 2) векторуудтай параллель хавтгай зур

a =(1, 2, -3) ба b =(2,-1,-1) .

Шийдэл. M ( X, цагт, z) – хүссэн хавтгайн дурын цэг. Вектор

км = (X- 1, цагт+ 3, z- 2) энэ хавтгайд байрладаг ба векторууд АТэгээд бтүүнтэй зэрэгцээ. Тиймээс векторууд км , a ба b нь хоорондоо уялдаатай байна. Дараа нь тэдний холимог ажилтэгтэй тэнцүү:

.

Эндээс -(x –1) - (y + 3) – 5(z – 2) = 0 буюу x+ 7y + 5z + 10 = 0. Энэ бол онгоцны хүссэн тэгшитгэл юм.

Орон зай дахь шугамын янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл

Орон зайн шулуун шугамыг дараах байдлаар тодорхойлж болно.

1) давхцдаггүй ба параллель бус хоёр хавтгайн огтлолцох шугам Р 1 ба Р 2:

;

2) өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл М(X 0 , цагт 0 , z 0) вектороор тодорхойлсон чиглэлд Л = (м, н, х):

,

гэж нэрлэдэг шугамын каноник тэгшитгэл сансарт;

3) өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл М(X 1 , цагт 1 , z 1)

Тэгээд М(x 2 , y 2 , z 2):

;

4) параметрийн тэгшитгэл:

.

Жишээ 30. Каноник болон параметрийн харагдацшугамын тэгшитгэл

.

Шийдэл.Шулуун шугамыг хоёр хавтгайн огтлолцох шугам гэж тодорхойлдог. Эдгээр хавтгайн хэвийн векторууд n 1 = (3,1,-2) ба n 2 = (4,-7,-1) нь хүссэн шулуунтай перпендикуляр тул тэдгээрийн вектор бүтээгдэхүүн [n 1 , n 2 ] = Л үүнтэй параллель нь вектор [ n 1 , n 2 ] (эсвэл аль нэг коллинеар)-ыг чиглэлийн вектор болгон авч болно Л хүссэн шулуун шугам.

[n 1 , n 2 ] =
.

гэж авч үзье Л = 3би + j + 5к. Өгөгдсөн шугамын зарим цэгийг олоход л үлддэг. Үүний тулд бид жишээлбэл, z = 0-ийг тавьдаг. Бид авдаг

.

Энэ системийг шийдсэний дараа бид олж мэднэ X = 1, цагт= - 2. Ийнхүү цэг TO(1, -2, 0) нь өгөгдсөн мөрөнд хамаарах бөгөөд түүний каноник тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

1. Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн төрлүүд

2. Сансар огторгуйн шулуун шугамын үндсэн бодлого

3. Орон зай дахь хавтгай тэгшитгэлийн төрлүүд

4. Сансар дахь хавтгай дээрх үндсэн бодлого

5. Орон зайн шулуун шугамын тэгшитгэлийн төрлүүд

6. Сансар огторгуйн шулуун шугамын үндсэн бодлого

7. Сансар огторгуйн хавтгай ба шулуун дээрх үндсэн бодлого

8. Хоёр дахь эрэмбийн муруй

9. Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуу

Энэ модульд оюутан санал болгож буй онолын материалыг судлах ёстой боловсролын элементүүд. (см. Онолын материал By дээд математик: боловсролын материалоюутны хувьд. I хэсэг. Эмхэтгэсэн: Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г. - Tolyatti: TSU, 2005 ба нэмэлт. уран зохиол)

Хүснэгт 7-д "Аналитик геометр" модулийн онолын материалыг судлах хуваарийг үзүүлэв.

Хүснэгт 7

Хэрэв танд асуулт байгаа бол боловсролын портал форум дээр асуулт асууж, эрдэм шинжилгээний зөвлөхтэйгээ холбогдоно уу.

Оюутан өөрөө бас танилцах ёстой ердийн даалгавар IPD-ийн хувилбарыг дуусгах модулийн дасгалууд (Асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлагыг үзнэ үү: сургалтын тусламжоюутнуудад зориулсан I хэсэг. Эмхэтгэсэн: Никитина М.Г., Павлова Е.С., - Тольятти: TSU, 2008.)

Хүснэгт 8-д сургалтын хуваарийг үзүүлэв практик асуудлуудмодуль "Аналитик геометр"

Хүснэгт 8

Асуух зүйл байвал боловсролын портал форум дээр эсвэл ажлын цагаар асуулт асууж, эрдэм шинжилгээний зөвлөхтэй холбогдоно уу бие даасан зөвлөгөөнүүд(бие даасан зөвлөгөөний хуваарийг танилцуулсан болно боловсролын портал).

Оюутан сонголтоо дуусгах ёстой гэрийн даалгавар(30/70 технологид суралцаж буй оюутнуудад зориулсан бие даасан гэрийн даалгаварыг үзнэ үү. I хэсэг. Эмхэтгэсэн: Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г., - Тольятти: TSU, 2005).

Хэрэгжүүлэх хуваарийг IDZ-аас 9-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Хүснэгт 9

12 дахь долоо хоногийн төгсгөлд IDD-ийг эрдэм шинжилгээний зөвлөхөд дамжуулж, боловсролын портал дээрх шалгалтанд хамрагдах боломжтой.

Асаалттай арван гурав дахь долоо хоногСургалтын үеэр оюутнууд хуваарьт заасан модулийн шалгалтанд хамрагддаг.

Та тохируулж болно янз бүрийн арга замууд(нэг цэг ба вектор, хоёр цэг ба вектор, гурван цэг гэх мэт). Үүнийг харгалзан онгоцны тэгшитгэл байж болно янз бүрийн төрөл. Түүнчлэн, тодорхой нөхцлөөр онгоцууд параллель, перпендикуляр, огтлолцох гэх мэт байж болно. Бид энэ нийтлэлд энэ талаар ярих болно. Бид онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг хэрхэн бүтээх болон бусад зүйлийг сурах болно.

Тэгшитгэлийн ердийн хэлбэр

Тэгш өнцөгт XYZ координатын системтэй R 3 орон зай байна гэж бодъё. -аас гарах α векторыг тодорхойлъё эхлэх цэг O. α векторын төгсгөлөөр бид түүнд перпендикуляр байх P хавтгайг зурна.

P дээр дурын цэгийг Q = (x, y, z) гэж тэмдэглэе. Q цэгийн радиус векторыг p үсгээр тэмдэглэе. Энэ тохиолдолд α векторын урт нь r=IαI ба Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)-тэй тэнцүү байна.

Энэ нэгж векторα вектор шиг тал руу чиглэсэн . α, β ба γ нь Ʋ вектор ба x, y, z орон зайн тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлүүдийн хооронд тус тус үүсэх өнцөг юм. Аливаа QϵП цэгийн Ʋ вектор дээрх проекц нь тогтмол утга, энэ нь p-тэй тэнцүү: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Дээрх тэгшитгэл нь p=0 үед утга учиртай болно. Цорын ганц зүйл бол энэ тохиолдолд P хавтгай нь координатын эхлэл болох О (α=0) цэгтэй огтлолцох ба О цэгээс гарсан нэгж вектор Ʋ нь чиглэлээ үл харгалзан Р-тэй перпендикуляр байх болно. Ʋ векторыг тэмдгээр нарийвчлалтайгаар тодорхойлно гэсэн үг. Өмнөх тэгшитгэл нь вектор хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн манай P хавтгайн тэгшитгэл юм. Гэхдээ координатууд нь иймэрхүү харагдах болно.

Энд P нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна. Бид огторгуй дахь хавтгайн тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрээр олсон.

Ерөнхий тэгшитгэл

Хэрэв бид координат дахь тэгшитгэлийг 0-тэй тэнцүү биш дурын тоогоор үржүүлбэл бид яг тэр хавтгайг тодорхойлох үүнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Энд A, B, C нь тэгээс нэгэн зэрэг ялгаатай тоонууд юм. Энэ тэгшитгэлийг ерөнхий хавтгай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хавтгайн тэгшитгэл. Онцгой тохиолдлууд

Тэгшитгэл дотор ерөнхий үзэлболомжтой бол өөрчилж болно нэмэлт нөхцөл. Тэдгээрийн заримыг нь харцгаая.

А коэффициентийг 0 гэж үзье. Энэ нь гэсэн үг өгсөн онгоцӨгөгдсөн тэнхлэгтэй параллель Ox. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хэлбэр өөрчлөгдөнө: Ву+Cz+D=0.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэлийн хэлбэр нь дараах нөхцөлд өөрчлөгдөнө.

• Нэгдүгээрт, хэрэв B = 0 бол тэгшитгэл нь Ax + Cz + D = 0 болж өөрчлөгдөх бөгөөд энэ нь Oy тэнхлэгтэй параллель байгааг илтгэнэ.
• Хоёрдугаарт, хэрэв C=0 бол тэгшитгэл нь Ax+By+D=0 болж хувирах бөгөөд энэ нь өгөгдсөн Oz тэнхлэгт параллелизм байгааг илтгэнэ.
• Гуравдугаарт, хэрэв D=0 бол тэгшитгэл нь Ax+By+Cz=0 шиг харагдах бөгөөд энэ нь хавтгай нь O (эх цэг) огтлолцоно гэсэн үг юм.
• Дөрөвдүгээрт, хэрэв A=B=0 бол тэгшитгэл Cz+D=0 болж өөрчлөгдөх бөгөөд энэ нь Oxy-тэй параллель нотлоно.
• Тавдугаарт, B=C=0 бол тэгшитгэл нь Ax+D=0 болж, Ойз хүрэх хавтгай параллель байна гэсэн үг.
• Зургаадугаарт, хэрэв A=C=0 бол тэгшитгэл нь Ву+D=0 хэлбэрийг авна, өөрөөр хэлбэл параллелизмыг Oxz-д мэдээлнэ.

Сегмент дэх тэгшитгэлийн төрөл

A, B, C, D тоонууд тэгээс ялгаатай тохиолдолд (0) тэгшитгэлийн хэлбэр нь дараах байдалтай байж болно.

x/a + y/b + z/c = 1,

Үүнд a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Үүний үр дүнд бид Окс тэнхлэгийг координат (a,0,0), Oy - (0,b,0), Oz - (0,0,c) цэгээр огтлох болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. ).

x/a + y/b + z/c = 1 тэгшитгэлийг харгалзан үзвэл өгөгдсөн координатын системтэй харьцуулахад онгоцны байршлыг нүдээр төсөөлөхөд хэцүү биш юм.

Хэвийн вектор координатууд

P хавтгайд n хэвийн вектор нь коэффицент болох координатуудтай ерөнхий тэгшитгэлөгөгдсөн хавтгайн, өөрөөр хэлбэл n (A, B, C).

Нормал n-ийн координатыг тодорхойлохын тулд өгөгдсөн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг мэдэхэд хангалттай.

Ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглахтай адил x/a + y/b + z/c = 1 хэлбэртэй тэгшитгэлийг сегментүүдэд ашиглахдаа өгөгдсөн хавтгайн аль ч хэвийн векторын координатыг бичиж болно: (1/a). + 1/b + 1/ Хамт).

Ердийн вектор нь янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хамгийн түгээмэл нь хавтгайнуудын перпендикуляр эсвэл параллелизмыг нотлох асуудал, хавтгай хоорондын өнцөг эсвэл хавтгай ба шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох асуудал юм.

Цэгийн координат ба нормаль векторын дагуу хавтгай тэгшитгэлийн төрөл

Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр байх тэгээс өөр n векторыг өгөгдсөн хавтгайд норм гэнэ.

Координатын орон зайд (тэгш өнцөгт координатын систем) Oxyz өгсөн:

• координаттай Mₒ цэг (xₒ,yₒ,zₒ);
• тэг вектор n=A*i+B*j+C*k.

Нормаль n цэгт перпендикуляр Mₒ цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл үүсгэх шаардлагатай.

Бид орон зайд дурын дурын цэгийг сонгоод M (x y, z) гэж тэмдэглэнэ. Дурын M (x,y,z) цэгийн радиус векторыг r=x*i+y*j+z*k, Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) цэгийн радиус векторыг - rₒ=xₒ* гэж үзье. i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM вектор n векторт перпендикуляр байвал M цэг нь өгөгдсөн хавтгайд хамаарах болно. Скаляр үржвэрийг ашиглан ортогональ байдлын нөхцлийг бичье.

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ тул онгоцны вектор тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Энэ тэгшитгэл нь өөр хэлбэртэй байж болно. Үүнийг хийхийн тулд скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд хувиргалтыг хийдэг зүүн гар талтэгшитгэл = -. Хэрэв бид үүнийг c гэж тэмдэглэвэл бид үүнийг авна дараах тэгшитгэл: - c = 0 эсвэл = c, энэ нь хавтгайд хамаарах өгөгдсөн цэгүүдийн радиус векторуудын хэвийн вектор руу хийсэн проекцуудын тогтмол байдлыг илэрхийлдэг.

Одоо та бичлэгийн координатын зургийг авах боломжтой вектор тэгшитгэлманай хавтгай = 0. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, мөн n = A*i+B*j+C*k тул бид бидэнд байгаа:

Бид хэвийн n-тэй перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлтэй болох нь харагдаж байна.

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Хоёр цэгийн координатын дагуу хавтгай тэгшитгэлийн төрөл ба хавтгайтай коллинеар вектор

M′ (x′,y′,z′) ба M″ (x″,y″,z″) дурын хоёр цэг, мөн a (a′,a″,a‴) векторыг тодорхойлъё.

Одоо бид одоо байгаа M′ ба M″ цэгүүд, түүнчлэн координат (x,y,z) бүхий дурын М цэгүүдээр зэрэгцэн өнгөрөх өгөгдсөн хавтгайд тэгшитгэл үүсгэж болно. өгөгдсөн векторА.

Энэ тохиолдолд M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ба M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) векторууд вектортой давхцах ёстой. a=(a′,a″,a‴), энэ нь (M′M, M″M, a)=0 гэсэн үг.

Тиймээс бидний орон зай дахь хавтгай тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.

Гурван цэгийг огтолж буй хавтгайн тэгшитгэлийн төрөл

Нэг шулуунд хамаарахгүй (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) гэсэн гурван цэг байна гэж бодъё. Өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай. Геометрийн онол нь ийм төрлийн хавтгай үнэхээр байдаг гэж үздэг ч энэ нь цорын ганц бөгөөд өвөрмөц юм. Энэ хавтгай (x′,y′,z′) цэгийг огтолж байгаа тул тэгшитгэлийн хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

Энд A, B, C нь нэгэн зэрэг тэгээс ялгаатай байна. Мөн өгөгдсөн хавтгай нь (x″,y″,z″) ба (x‴,y‴,z‴) хоёр цэгийг огтолж байна. Үүнтэй холбогдуулан дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

Одоо бид зохиож болно нэгэн төрлийн системүл мэдэгдэх u, v, w:

Д манай тохиолдол x,yэсвэл z цухуйсан дурын цэг(1) тэгшитгэлийг хангадаг. Өгөгдсөн тэгшитгэл (1) ба тэгшитгэлийн систем (2) ба (3) дээрх зурагт заасан тэгшитгэлийн систем нь ач холбогдолгүй N (A,B,C) вектороор хангагдсан байна. Ийм учраас энэ системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бидний олж авсан тэгшитгэл (1) нь хавтгайн тэгшитгэл юм. Энэ нь яг 3 цэгээр дамждаг бөгөөд үүнийг шалгахад хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд бид тодорхойлогчоо эхний эгнээнд байгаа элементүүд рүү өргөжүүлэх хэрэгтэй. Тодорхойлогчийн одоо байгаа шинж чанаруудаас харахад манай онгоц анх өгөгдсөн гурван цэгийг (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) нэгэн зэрэг огтолж байна. . Энэ нь бидэнд өгсөн даалгавраа шийдсэн гэсэн үг.

Онгоц хоорондын хоёр талт өнцөг

Хоёр өнцөгт өнцөг нь орон зайг илэрхийлдэг геометрийн дүрс, нэг шулуун шугамаас гарах хоёр хагас хавтгайгаас үүссэн. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь эдгээр хагас хавтгайгаар хязгаарлагддаг орон зайн хэсэг юм.

Дараах тэгшитгэлтэй хоёр хавтгай байна гэж бодъё.

N=(A,B,C) ба N¹=(A¹,B¹,C¹) векторууд нь дараах байдлаар перпендикуляр байдгийг бид мэднэ. өгсөн онгоцууд. Үүнтэй холбогдуулан N ба N¹ векторуудын хоорондох φ өнцөг нь эдгээр хавтгайн хооронд байрлах өнцөгтэй (хоёр талт) тэнцүү байна. Скаляр бүтээгдэхүүнхэлбэртэй байна:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

яг учир нь

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π гэдгийг тооцоход хангалттай.

Үнэн хэрэгтээ огтлолцсон хоёр хавтгай нь φ 1 ба φ 2 гэсэн хоёр өнцөг (диэдр) үүсгэдэг. Тэдний нийлбэр нь π (φ 1 + φ 2 = π) -тэй тэнцүү байна. Тэдний косинусын хувьд үнэмлэхүй утгууд нь тэнцүү боловч тэмдгээр ялгаатай, өөрөөр хэлбэл cos φ 1 = -cos φ 2. Хэрэв (0) тэгшитгэлд бид A, B, C тоог -A, -B ба -C тоогоор сольсон бол бидний олж авсан тэгшитгэл нь ижил хавтгай, цорын ганц, φ өнцгийг тодорхойлно. cos тэгшитгэлφ=NN 1 /|N||N 1 | π-φ-ээр солигдоно.

Перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэл

90 градусын өнцөгтэй хавтгайг перпендикуляр гэж нэрлэдэг. Дээр дурдсан материалыг ашиглан бид нөгөө хавтгайд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг олж болно. Ax+By+Cz+D=0 ба A¹x+B¹y+C¹z+D=0 гэсэн хоёр хавтгай байна гэж бодъё. Хэрэв cosφ=0 байвал тэдгээр нь перпендикуляр байх болно гэж хэлж болно. Энэ нь NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 гэсэн үг.

Зэрэгцээ хавтгай тэгшитгэл

Нийтлэг цэг агуулаагүй хоёр хавтгайг параллель гэж нэрлэдэг.

Нөхцөл (тэдгээрийн тэгшитгэл нь өмнөх догол мөртэй ижил байна) тэдгээрт перпендикуляр N ба N¹ векторууд нь коллинеар байх явдал юм. Энэ нь тэд биелэгдсэн гэсэн үг юм дараах нөхцөлүүдпропорциональ байдал:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Хэрэв пропорциональ нөхцөлийг сунгавал - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

Энэ нь эдгээр онгоцууд давхцаж байгааг харуулж байна. Энэ нь Ax+By+Cz+D=0 ба A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 тэгшитгэлүүд нэг хавтгайг дүрсэлсэн гэсэн үг.

Нэг цэгээс онгоц хүртэлх зай

(0) тэгшитгэлээр өгөгдсөн P хавтгай байна гэж бодъё. (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ координаттай цэгээс түүнд хүрэх зайг олох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та P хавтгайн тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.

(ρ,v)=р (р≥0).

IN энэ тохиолдолдρ (x,y,z) нь P дээр байрлах Q цэгийн радиус вектор, p нь түүнээс гарсан перпендикуляр P-ийн урт юм. тэг цэг, v нь а чиглэлд байрласан нэгж вектор юм.

P-д хамаарах Q = (x, y, z) зарим цэгийн ρ-ρº радиус векторын ялгаа, түүнчлэн өгөгдсөн цэгийн радиус вектор Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) ийм вектор, үнэмлэхүй үнэ цэнэ v дээрх проекц нь Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)-аас P хүртэлх зайг олох шаардлагатай d зайтай тэнцүү:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, гэхдээ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Тэгэхээр энэ нь болж байна

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Тиймээс бид олох болно үнэмлэхүй үнэ цэнэүүссэн илэрхийлэл, өөрөөр хэлбэл хүссэн d.

Параметрийн хэлийг ашигласнаар бид тодорхой зүйлийг олж авна:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Хэрэв тогтоосон цэг Q 0 нь координатын гарал үүслийн нэгэн адил P хавтгайн нөгөө талд байрладаг тул ρ-ρ 0 ба v векторын хооронд байрлана.

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Хэрэв Q 0 цэг нь координатын гарал үүслийн хамт P-ийн нэг талд байрладаг бол үүссэн өнцөг нь хурц байна, өөрөөр хэлбэл:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Үүний үр дүнд эхний тохиолдолд (ρ 0 ,v)>р, хоёр дахь тохиолдолд (ρ 0 ,v) болох нь харагдаж байна.<р.

Шүргэдэг хавтгай ба түүний тэгшитгэл

Мº хүрэх цэг дээрх гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь гадаргуугийн энэ цэгээр дамжуулан татсан муруйтай бүх боломжит шүргэгчийг агуулсан хавтгай юм.

Энэ төрлийн гадаргуугийн тэгшитгэлийн F(x,y,z)=0 үед Mº(xº,yº,zº) шүргэгч цэг дээрх шүргэгч хавтгайн тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Хэрэв та гадаргууг тодорхой хэлбэрээр z=f (x,y) зааж өгвөл шүргэгч хавтгайг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Хоёр онгоцны огтлолцол

Координатын системд (тэгш өнцөгт) Oxyz байрладаг, огтлолцдог, давхцдаггүй П′ ба П″ хоёр хавтгай өгөгдсөн. Тэгш өнцөгт координатын системд байрлах аливаа хавтгай нь ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул P′ ба P″ нь A′x+B′y+C′z+D′=0 ба A″x тэгшитгэлээр өгөгдсөн гэж үзнэ. +B″y+ С″z+D″=0. Энэ тохиолдолд бидэнд P′ хавтгайн хэвийн n′ (A′,B′,C′) ба P″ хавтгайн хэвийн n″ (A″,B″,C″) байна. Манай онгоцууд зэрэгцээ биш, давхцдаггүй тул эдгээр векторууд нь коллинеар биш юм. Математикийн хэлээр бид энэ нөхцлийг дараах байдлаар бичиж болно: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′ ба P″-ийн огтлолцол дээр байрлах шулуун шугамыг a үсгээр тэмдэглэе, энэ тохиолдолд a = P′ ∩ P″ байна.

a нь P′ ба P″ (нийтлэг) хавтгайн бүх цэгүүдийн багцаас бүрдэх шулуун шугам юм. Энэ нь а шулуунд хамаарах аливаа цэгийн координатууд A′x+B′y+C′z+D′=0 ба A″x+B″y+C″z+D″=0 тэгшитгэлүүдийг нэгэн зэрэг хангах ёстой гэсэн үг юм. . Энэ нь цэгийн координатууд нь дараах тэгшитгэлийн системийн хэсэгчилсэн шийдэл болно гэсэн үг юм.

Үүний үр дүнд энэхүү тэгшитгэлийн системийн (ерөнхий) шийдэл нь шугамын цэг бүрийн координатыг тодорхойлж, P′ ба P″-ийн огтлолцлын цэг болж, шулуун шугамыг тодорхойлох болно. орон зай дахь Oxyz (тэгш өнцөгт) координатын системд a.

Хавтгайн тэгшитгэл, хавтгайн тэгшитгэлийн төрлүүд.

Сансар огторгуй дахь огтлолын хавтгайд бид геометрийн үүднээс онгоцыг судалсан. Энэ нийтлэлд бид хавтгайг алгебрийн үүднээс авч үзэх болно, өөрөөр хэлбэл бид хавтгайн тэгшитгэлийг ашиглан хавтгайг дүрслэх болно.

Эхлээд "Онгоцны тэгшитгэл гэж юу вэ" гэсэн асуултыг харцгаая. Үүний дараа бид тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно Оксизгурван хэмжээст хавтгай.

Хуудасны навигаци.

• Хавтгайн тэгшитгэл - тодорхойлолт.
• Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.
• Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.
• Ердийн хавтгай тэгшитгэл.

Хавтгайн тэгшитгэл - тодорхойлолт.

Тэгш өнцөгт координатын системийг гурван хэмжээст орон зайд тогтооё Оксизмөн онгоц өгсөн.

Хавтгай нь бусад геометрийн дүрсүүдийн нэгэн адил цэгүүдээс тогтдог. Тэгш өнцөгт координатын системд ОксизЦэг бүр нь дараалсан гурвалсан тоотой тохирч байна - цэгийн координат. Хавтгайн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийг ашиглан хавтгай дээрх цэг бүрийн координатуудын хооронд хамаарлыг тогтоож болно.

Хавтгай тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын системд Оксизгурван хэмжээст орон зайд гурван хувьсагчтай тэгшитгэл юм x, yТэгээд z, энэ нь өгөгдсөн хавтгайн аль ч цэгийн координатаар хангагдсан ба өгөгдсөн хавтгайгаас гадна байрлах цэгүүдийн координатаар хангагддаггүй.

Тиймээс, хавтгайн аль ч цэгийн координатыг орлуулах үед хавтгайн тэгшитгэл нь ижил утгатай болно. Хэрэв та энэ хавтгайд ороогүй цэгийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулах юм бол энэ нь буруу тэгшитгэл болж хувирна.

Онгоцны тэгшитгэл ямар хэлбэртэй болохыг олж мэдэх л үлдлээ. Энэ асуултын хариултыг энэ зүйлийн дараагийн догол мөрөнд оруулсан болно. Цаашид хавтгай тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар бичиж болно гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Янз бүрийн төрлийн хавтгай тэгшитгэлүүд байгаа нь шийдэгдэж буй асуудлын онцлогтой холбоотой юм.

Хуудасны дээд талд

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.

Хавтгай тэгшитгэлийн хэлбэрийг өгдөг теоремын томъёоллыг танилцуулъя.

Теорем.

хэлбэрийн аливаа тэгшитгэл, хаана А, Б, CТэгээд Д– зарим бодит тоо, ба А, INТэгээд Cтэгтэй тэнцүү биш, тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгайг тодорхойлно Оксизгурван хэмжээст орон зайд, мөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай бүр Оксизгурван хэмжээст орон зайд хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгч болно.

тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ерөнхий хавтгай тэгшитгэлсансарт. Хэрэв та дугаар хавсаргахгүй бол А, IN, ХАМТТэгээд Дтодорхой утгууд, дараа нь хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг хавтгай тэгшитгэл ерөнхий хэлбэрээр.

Тэгээс өөр бодит тоо байх хэлбэрийн тэгшитгэл нь ижил тэгшитгэлийг тодорхойлох болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь тэнцүү ба тэнцүү байна. Жишээлбэл, хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлүүд мөн гурван хэмжээст орон зайн ижил цэгүүдийн координатаар хангагдсан тул ижил хавтгайг зааж өгнө.

Өгөгдсөн теоремын утгыг бага зэрэг тайлбарлая. Тэгш өнцөгт координатын системд Оксизхавтгай бүр нь түүний ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, тэгшитгэл бүр нь гурван хэмжээст орон зайн өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгайтай тохирч байна. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай ба түүний ерөнхий тэгшитгэл нь салшгүй юм.

Хэрэв бүх коэффициент А, IN, ХАМТТэгээд Дерөнхий тэгшитгэлд хавтгайнууд тэг биш байвал үүнийг дуудна бүрэн. Үгүй бол онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг дуудна бүрэн бус.

Бүрэн бус тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель, координатын тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрөх, координатын хавтгайд параллель, координатын хавтгайд перпендикуляр, координатын хавтгайтай давхцах, түүнчлэн координатын эхийг дайран өнгөрөх онгоцуудыг зааж өгдөг.

Жишээлбэл, онгоц х тэнхлэгтэй параллель ба координатын хавтгайд перпендикуляр байна Ойз, тэгшитгэл z = 0координатын хавтгайг тодорхойлно Окси, ерөнхий хавтгай тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна эхийг дайран өнгөрөх хавтгайтай тохирч байна.

Коэффициентийг мөн анхаарна уу А, БТэгээд Cерөнхий тэгшитгэлд хавтгайнууд нь хавтгайн хэвийн векторын координатыг илэрхийлдэг.

Дараах догол мөрөнд авч үзэх хавтгайн бүх тэгшитгэлийг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлээс олж авч, мөн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл болгон бууруулж болно. Тиймээс тэд хавтгайн тэгшитгэлийн тухай ярихдаа өөрөөр заагаагүй бол хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг хэлнэ.

Хуудасны дээд талд