Pošljite svoje dobro delo v bazo znanja je preprosto. Uporabite spodnji obrazec

Študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki bazo znanja uporabljajo pri študiju in delu, vam bodo zelo hvaležni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Ministrstvo za izobraževanje in znanost

Republika Kazahstan

EKSTU poimenovan po. D. Serikbajeva

Tečajna naloga

disciplina: Fizika

na temo: "Harmonične vibracijemetodarotacijski vektor amplitude, ozmetodavektordiagrami»

Izpolnil: študent skupine 14-GRK-1

Seri??anov?.E

Preveril: Nurkenova B.D.

Ust-Kamenogorsk - 2014

• Nihajni krog
• Harmonične vibracije
• Prisilne vibracije
• Resonanca
• Samonihanja
• Opredelitev vibracij.
• Grafična metoda dodajanja nihanj. Vektorski diagram
• Metoda vektorja rotacijske amplitude.
• Seštevanje je recipročno pravokotne vibracije
• Seštevanje vibracij iste smeri in iste frekvence.
• Različne oblike trajektorije vsote nihanj. Lissajousove figure
• Bibliografija

Nihajni krog

Nihanja imenujemo gibanja ali procese, za katere je značilna določena ponovljivost v času. Nihajni procesi so zelo razširjeni v naravi in ​​tehniki, na primer nihanje urnega nihala, izmenično elektrika itd. Med nihanjem nihala se koordinata njegovega masnega središča spreminja v primeru izmenični tok napetost in tok v vezju nihata. Fizikalna narava nihanja je lahko različna, zato ločimo mehanske, elektromagnetne in druge tresljaje. Vendar pa različne nihajne procese opisujejo iste karakteristike in enake enačbe. To pomeni smotrnost enotnega pristopa k preučevanju nihanj različnih fizikalnih narav. Na primer, enoten pristop k študiju mehanskih in elektromagnetne vibracije je uporabil angleški fizik D.W Rayleigh (1842-1919), in A.G. Stoletov, ruski eksperimentalni inženir P.N. Lebedev (1866-1912). Velik prispevek k razvoju teorije nihanj so prispevali: L.I. Mandelstam (1879-1944) in njegovi učenci.

Nihanja se imenujejo prost(oz lasten), če so izdelani na stroške izvirnika popolna energija s posledično odsotnostjo zunanjih vplivov na nihajni sistem (sistem, ki niha). Najenostavnejša vrsta nihanj je harmonične vibracije- nihanja, pri katerih se nihajoča veličina v času spreminja po zakonu sinusa (kosinusa). Upoštevanje harmoničnih vibracij je pomembno iz dveh razlogov:

Vibracije, ki jih najdemo v naravi in ​​tehnologiji, imajo pogosto značaj, ki je blizu harmoničnim;

Različno periodični procesi(procese, ki se ponavljajo v rednih intervalih) lahko predstavimo kot superpozicijo harmoničnih nihanj.

Harmonične vibracije

vektorska amplituda vibracijske resonance

Harmonična nihanja vrednosti s opisujemo z enačbo, kot je

s =A cos (0 t +), (1)

Kje

a) A - največja vrednost nihajoče vrednosti, imenovane amplituda vibracij,

b) 0 - krožna (ciklična) frekvenca,

-začetna faza nihanja v času t=0,

c) (0 t +) - faza nihanja v času t.

Faza nihanja določa vrednosti nihajne količine v ta trenutekčas. Ker se kosinus spreminja od 1 do -1, ima lahko s vrednosti od +A do -A.

Določena stanja sistema, ki izvaja harmonična nihanja, se ponovijo po določenem času T, imenovanem obdobje nihanja, za katero faza nihanja prejme prirastek enak 2, tj.

0(t+T)+ =(0t+)+2,

kje

T=2/0 (2)

Magnituda, obratno obdobje obotavljanje,

=1/T (3)

t.j. imenujemo število popolnih nihanj, izvedenih na časovno enoto frekvenca vibracij. Če primerjamo (2) in (3), dobimo

0=2 .

Frekvenčna enota - hertz(Hz): 1 Hz - frekvenca periodičnega procesa, pri kateri se 1 cikel procesa zaključi v 1 sekundi.

Zapišimo prvi in ​​drugi časovni odvod harmonično nihajoče količine s:

(4)

(5)

torej imamo harmonična nihanja z enako ciklično frekvenco. Amplitudi količin (5) in (4) sta enaki in . Faza količine (4) se od faze količine (1) razlikuje po /2, faza količine (5) pa se od faze količine (1) razlikuje za . Zato v časih, ko s =0, pridobi najvišje vrednosti; kdaj s doseže največjo negativno vrednost, potem dobi največjo pozitivno vrednost .

Iz izraza (5) sledi diferencialna enačba harmoničnih nihanj

(6)

kjer je s =A cos (0 t +). Rešitev te enačbe je izraz (1).

Harmonična nihanja so predstavljena grafično metoda vektorja rotacijske amplitude, oz metoda vektorskega diagrama.

Da bi to naredili, se iz poljubne točke O, izbrane na osi x pod kotom, ki je enak začetni fazi nihanja, nariše vektor A, katerega modul je enak amplitudi A zadevnega nihanja.

Če ta vektor zavrtimo z kotna hitrost 0, ki je enaka ciklični frekvenci nihanj, se bo projekcija konca vektorja premikala vzdolž osi x in vzela vrednosti od -A do +A, nihajna vrednost pa se bo s časom spreminjala po zakonu s = A cos (0 t +). torej harmonično nihanje lahko predstavimo s projekcijo na neko poljubno izbrano os vektorja amplitude A, ki je narisana iz poljubna točka osi pod kotom, ki je enak začetni fazi, in se vrti s kotno hitrostjo 0 okoli te točke.

Prisilne vibracije

Nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanje periodične sile, imenujemo prisilna.

Zunanja sila opravlja pozitivno delo in zagotavlja pretok energije v nihajni sistem. Ne dopušča, da bi vibracije izumrle, kljub delovanju sil trenja.

Periodična zunanja sila se lahko s časom spreminja glede na raznih zakonov. Posebej zanimiv je primer, ko se zunanja sila spreminja harmonični zakon s frekvenco u, vpliva na nihajni sistem, ki je sposoben izvajati lastna nihanja pri določeni frekvenci u0.

Če se prosta nihanja pojavljajo pri frekvenci u0, ki je določena s parametri sistema, se enakomerna prisilna nihanja vedno pojavljajo pri frekvenci u zunanja sila.

Potem ko zunanja sila začne delovati na nihajni sistem, je potrebno nekaj časa Dt za vzpostavitev prisilnih nihanj. Čas vzpostavitve je po velikosti enak času dušenja f prostih nihanj v oscilacijskem sistemu.

V začetnem trenutku se v oscilacijskem sistemu vzbujata oba procesa - prisilna nihanja na frekvenci u in prosta nihanja na lastni frekvenci u0. Toda proste vibracije so dušene zaradi neizogibne prisotnosti tornih sil. Zato po določenem času ostanejo v nihajnem sistemu le stacionarna nihanja na frekvenci zunanje gonilne sile.

Vzemimo za primer prisilna nihanja telesa na vzmeti (slika 1). Na prosti konec vzmeti deluje zunanja sila. Prisili prosti (levo na sliki 1) konec vzmeti, da se premika po zakonu

y = ym cos yt.

kjer je ym amplituda nihanj, u je krožna frekvenca.

Ta zakon gibanja je mogoče doseči z mehanizmom ojnice, ki ni prikazan na sliki 1.

Slika 1. Prisilne vibracije bremena na vzmeti. Prosti konec vzmeti se giblje po zakonu y = ym cos yt. l je dolžina nedeformirane vzmeti, k je togost vzmeti.

Če se levi konec vzmeti premakne za razdaljo y, desni konec pa za razdaljo x od prvotnega položaja, ko vzmet ni bila deformirana, je raztezek vzmeti Dl enak:

Dl = x - y = x - ym cos yt.

Newtonov drugi zakon za telo z maso m:

ma = -k(x - y) = -kx + kym cos yt.

V tej enačbi je sila, ki deluje na telo, predstavljena z dvema členoma. Prvi izraz na desni strani je elastična sila, ki teži k vrnitvi telesa v ravnotežni položaj (x = 0). Drugi izraz je zunanji periodični učinek na telo. Ta izraz se imenuje gonilna sila.

Amplituda prisilnih nihanj xm in začetna faza in sta odvisni od razmerja frekvenc u0 in u ter od amplitude ym zunanje sile.

Pri zelo nizkih frekvencah, ko<< щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Resonanca

Če se frekvenca u zunanje sile približa lastni frekvenci u0, a močno povečanje amplitude prisilnih nihanj. Ta pojav imenujemo resonanca. Odvisnost amplitude xm prisilnih nihanj od frekvence u pogonske sile imenujemo resonančna karakteristika ali resonančna krivulja (slika 2).

Pri resonanci je lahko amplituda xm nihanja bremena mnogokrat večja od amplitude ym nihanja prostega (levega) konca vzmeti, ki ga povzroča zunanji vpliv. V odsotnosti trenja bi morala amplituda prisilnih nihanj med resonanco neomejeno naraščati. V realnih pogojih je amplituda prisilnih nihanj v ustaljenem stanju določena s pogojem: delo zunanje sile v obdobju nihanja mora biti enako izgubi mehanske energije v istem času zaradi trenja. Čim manjše je trenje (tj. čim višji je faktor kakovosti Q nihajnega sistema), tem večja je amplituda prisilnih nihanj pri resonanci.

V oscilacijskih sistemih z ne zelo visokim faktorjem kakovosti (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.

Pojav resonance lahko povzroči uničenje mostov, zgradb in drugih struktur, če lastne frekvence njihovih nihanj občasno sovpadajo s frekvenco delujoča sila, ki je nastala na primer zaradi vrtenja neuravnoteženega motorja.

Slika 2.

Resonančne krivulje pri različnih stopnjah dušenja: 1 - nihajni sistem brez trenja; pri resonanci amplituda xm prisilnih nihanj neomejeno narašča; 2, 3, 4 - realne resonančne krivulje za oscilacijske sisteme z različnimi faktorji kakovosti: Q2 > Q3 > Q4. Pri nizkih frekvencah (u<< щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> u0) xm > 0.

Prisilna nihanja so nedušena nihanja. Neizogibne izgube energije zaradi trenja se kompenzirajo z dovajanjem energije iz zunanji vir občasno delujoča sila. Obstajajo sistemi, v katerih neudušena nihanja nastanejo ne zaradi občasnih zunanjih vplivov, temveč kot posledica sposobnosti takih sistemov, da uravnavajo dobavo energije iz stalnega vira. Takšni sistemi se imenujejo samooscilacijski in procesni ne dušena nihanja v takšnih sistemih - samonihanja. V samonihajnem sistemu lahko ločimo tri značilne elemente - nihajni sistem, vir energije in povratno napravo med nihajnim sistemom in virom. Kot nihajni sistem lahko uporabimo vsak mehanski sistem, ki je sposoben izvajati svoja dušena nihanja (na primer nihalo stenske ure).

Vir energije je lahko deformacijska energija vzmeti ali potencialna energija bremena v gravitacijskem polju. Povratna naprava je mehanizem, s katerim samonihajni sistem uravnava pretok energije iz vira. Slika 3 prikazuje interakcijski diagram različne elemente samonihajni sistem.

Slika 3. Funkcionalni diagram samonihajni sistem

Samonihanja

Primer mehanskega samonihajnega sistema je urni mehanizem s hodom sidra (slika 4). Tekalno kolo s poševnimi zobmi je togo pritrjeno na zobati boben, skozi katerega je vržena veriga z utežjo. Na zgornjem koncu nihala je sidro (sidro) z dvema ploščama trdi material, ukrivljen vzdolž krožnega loka s središčem na osi nihala. Pri ročnih urah utež nadomešča vzmet, nihalo pa balanser – ročno kolo, povezano s spiralno vzmetjo. Balanser izvaja torzijsko nihanje okoli svoje osi. Vibracijski sistem V uri je nihalo ali balanser. Vir energije je dvignjena utež ali navita vzmet. Naprava, ki se uporablja za zagotavljanje povratne informacije, je sidro, ki omogoča, da tekalno kolo zavrti en zob v enem polciklu. Povratne informacije izvede z interakcijo sidra s tekalnim kolesom. Z vsakim nihajem nihala zob tekalnega kolesa potisne vilice sidra v smeri gibanja nihala in nanj prenese določen del energije, ki kompenzira izgube energije zaradi trenja. Tako se potencialna energija uteži (ali zvite vzmeti) postopoma, v ločenih delih, prenaša na nihalo.

Mehanski samonihajni sistemi so zelo razširjeni v življenju okoli nas in v tehnologiji. Samonihanja se pojavljajo v parnih strojih in notranje zgorevanje, električni zvonci, strune za lok glasbila zračni stebri v ceveh pihal, glasilke pri govorjenju ali petju itd.

Slika 4. Urni mehanizem z nihalom.

Zaznavanje nihanja

Nihanja so gibanja ali procesi, ki se v enakih časovnih presledkih v celoti ali skoraj v celoti ponavljajo. Nihanja, ki jih opisuje enačba

,

kjer je x premik nihajoče vrednosti od ravnotežnega položaja; w - ciklična frekvenca, ki določa število nihanj, izvedenih v 2 p sekundah; t - čas se imenuje harmonik.

Grafična metoda dodajanja nihanj. Vektorski diagram

Metoda vektorja rotacijske amplitude je sestavljena iz predstavitve harmoničnega nihanja z uporabo vektorja, katerega dolžina je enaka amplitudi nihanja in katerega smer tvori kot z osjo x, ki je enak začetni fazi nihanja, se imenuje rotacijska amplituda vektorska metoda.

Priročno je dodati harmonična nihanja iste smeri in frekvence, ki prikazujejo nihanja v obliki vektorjev na ravnini - grafično.

1). Izberimo neko usmerjeno premico – os, po kateri bomo narisali nihajočo vrednost x.

2). Iz določene točke O, vzete na osi, narišemo usmerjen segment - vektor dolžine A, ki tvori določen kot z osjo.

3). Z vrtenjem vektorja A okoli točke O s kotno hitrostjo u 0 dobimo, da bo projekcija konca vektorja na os izvajala harmonična nihanja z amplitudo, ki je enaka dolžini vektorja, s krožno frekvenco, ki je enaka kotni hitrost vrtenja vektorja in z začetno fazo, enaka kotu, ki ga tvori vektor z osjo v začetnem trenutku: projekcija konca vektorja se bo premikala vzdolž osi x, pri čemer bo imela vrednosti od - A do + A, koordinata te projekcije pa se bo spremenila čas po zakonu

Diagram, dobljen s to metodo predstavljanja vibracij, se imenuje vektorski diagram.

Seštevanje medsebojno pravokotnih vibracij.

Razmislite o dveh medsebojno pravokotnih vektorske količine x in y, ki se skozi čas spreminjata z enako frekvenco u po harmoničnem zakonu:

(1)

Kjer sta e x in e y enotska vektorja koordinatne osi x in y, A in B - amplitude vibracij. Vrednosti x in y sta lahko na primer premika materialna točka(delci) iz ravnotežnega položaja.

V primeru nihajočega delca lahko količini x in y predstavimo kot:

, (2)

Določajo koordinate delca na ravnini xy.

Izrazi (2) predstavljajo dano v parametrična oblika enačba trajektorije, po kateri se bo delec gibal. Vrsta trajektorije je odvisna od fazne razlike med obema nihajema.

Z izključitvijo parametra t iz enačb (2) dobimo enačbo trajektorije v v običajni obliki. Iz prve enačbe: (3). Oziroma

(4)

Po formuli za kosinus vsote:

, Potem

Transformirajmo to enačbo

(5)

Dobili smo enačbo elipse, katere osi sta zasukani glede na koordinatni osi x in y. Usmerjenost elipse in njene pol-osi sta precej odvisni na kompleksen način na amplitudi A in B ter fazni razliki b.

Adicija je nihanje iste smeri in enake frekvence.

Razmislite o seštevanju dveh harmoničnih nihanj x 1 in x 2 iste smeri in enake frekvence:

, (1)

Obe nihanji lahko predstavimo z vektorjema A 1 in A 2. S pomočjo pravil seštevanja vektorjev lahko poiščemo nastali vektor A, ki je vsota dveh vektorjev A 1 in A 2.

Vektor A predstavlja posledično nihanje, saj slika kaže, da je projekcija tega vektorja na os x enaka vsoti projekcij dodanih vektorjev:

Vektor A se vrti z enako kotno hitrostjo u 0 kot vektorja A 1 in A 2, zato je vsota x 1 in x 2 harmonično nihanje s frekvenco (u 0, amplituda A in začetna faza b. Z uporabo kosinusnega izreka dobimo najdi to

(2)

(3)

Nadomestitev dodajanja funkcij z dodajanjem vektorjev, kar je možno pri Predstavitvi harmoničnih nihanj z vektorji, močno poenostavi izračune.

Različne oblike trajektorije vsote nihanj. Lissajousove figure.

Fazna razlika b je nič.

S fazno razliko, enako nič, je enačba (5) poenostavljena na naslednji način:

Od tod:

- enačba premice.

Nastalo gibanje je harmonično nihanje vzdolž te premice s frekvenco u in amplitudo, ki je enaka (slika 1 a).

Fazna razlika b je enaka ±р.

Ko je fazna razlika b enaka ±р, ima enačba (5) obliko

- nastalo gibanje je harmonično nihanje vzdolž premice

(slika 1 b)

Slika 1

Fazna razlika je

Primeri se razlikujejo po smeri gibanja vzdolž elipse ali kroga.

Ko je fazna razlika enaka, se enačba (5) spremeni v enačbo elipse, reducirane na koordinatne osi:

Polose elipse so enake pripadajočim amplitudam nihanja. Če sta amplitudi A in B enaki, se elipsa spremeni v krog.

Enakomerno gibanje po krogu s polmerom R s kotno hitrostjo u lahko predstavimo kot vsoto dveh medsebojno pravokotnih nihanj:

,

(znak plus v izrazu za y ustreza gibanju v nasprotni smeri urinega kazalca, znak minus gibanju v smeri urinega kazalca).

Pri različnih frekvencah medsebojno pravokotnih nihanj bodo trajektorije nastalega gibanja dobile obliko kompleksnih krivulj, imenovanih Lissajousove figure.

Lissajousova številka za frekvenčno razmerje 1:2 in fazno razliko p/2

Lissajousova številka za frekvenčno razmerje 3:4 in fazno razliko p/2

Bibliografija

Gevorkjan R.G. Tečaj fizike. -M, 1979, -656 str.

I. V. Saveljev. No splošna fizika. -M. 1990

J.Orir. Fizika zvezek 1, - M. 1981

Trofimova T.I. Tečaj fizike, -M. 2006, -560 str.

Objavljeno na Allbest.ru

Podobni dokumenti

Grafična podoba nihanja v obliki vektorjev in v kompleksna oblika. Konstrukcija nastalega vektorja po pravilih seštevanja vektorjev. Utripi in periodični zakon spremembe v amplitudi vibracij. Enačba in konstrukcija najpreprostejših Lissajousovih likov.

predstavitev, dodana 18.04.2013


Metoda vektorskega diagrama. Predstavitev harmoničnih nihanj v kompleksni obliki; dodajanje harmoničnih vibracij; utripi. Seštevanje medsebojno pravokotnih nihanj: enačba trajektorije nastalega nihanja; enačba elipse; Lissajousove figure.

predstavitev, dodana 24.09.2013


Seštevanje medsebojno pravokotnih mehanskih harmoničnih nihanj. Diferencialna enačba prosta dušena nihanja in njihova rešitev; samonihanja. Diferencialna enačba prisilnih nihanj. Amplituda in faza nihanj; resonanca.

predstavitev, dodana 28.06.2013


Preučevanje koncepta oscilacijskih procesov. Razvrstitev vibracij glede na njihovo fizično naravo in naravo interakcije z okolju. Določanje amplitude in začetne faze nastalega nihanja. Seštevanje enako usmerjenih nihanj.

test, dodan 24.03.2013


Koncept in fizična lastnost vrednosti vibracij, njihovo določanje periodična vrednost. Parametri frekvence, faze in amplitude prostih in prisilnih nihanj. Harmonični oscilator in sestava diferencialne enačbe harmoničnih nihanj.

predstavitev, dodano 29.09.2013


Definicije in klasifikacija vibracij. Metode za opisovanje harmoničnih nihanj. Kinematične in dinamične značilnosti. Določanje parametrov harmoničnih nihanj na podlagi začetnih pogojev upora. Energija in dodajanje harmoničnih vibracij.

predstavitev, dodana 02.09.2017


Vektorski diagram enofrekvenčnih nihanj, ki se pojavljajo vzdolž ene ravne črte. Grafično iskanje amplitude nihanj, ki nastanejo, ko seštejemo dve istosmerni nihanji. Seštevanje dveh harmoničnih vibracij iste smeri.

predmetno delo, dodano 15.11.2012


Resonanca kot pojav močnega povečanja amplitude prisilnih nihanj, njene fizična osnova. Prisilne vibracije. Destruktivna vloga resonance in njena pozitivne vrednosti. Merilnik frekvence: koncept, splošna oblika,funkcije. Resonanca in človeško stanje.

predstavitev, dodana 27.10.2013


Enoten pristop preučevanju vibracij različnih fizikalnih narav. Značilnosti harmoničnih nihanj. Koncept nihajne dobe, med katero se faza nihanja poveča. Mehanske harmonične vibracije. Fizikalna in matematična nihala.

predstavitev, dodana 28.06.2013


Nihanje je eden najpogostejših procesov v naravi in ​​tehniki. Graf dušenih nihanj. Matematična in vzmetna nihala. Resonanca kot močno povečanje amplitude vibracij. Izpeljava formule za izračun periode vzmetnega nihala.

Vektorski diagram je način grafičnega podajanja nihajno gibanje kot vektor.

Nihajoča vrednost ξ (katere koli fizične narave) je narisana vzdolž vodoravne osi. Vektor, narisan iz točke 0, je po velikosti enak amplitudi nihanja A in je usmerjen pod kotom α, ki je enak začetni fazi nihanja na os ξ. Če ta vektor zavrtimo s kotno hitrostjo ω, ki je enaka ciklični frekvenci nihanj, potem projekcija tega vektorja na os ξ da vrednost nihajne količine v poljubnem trenutku.

Seštevanje nihanj enake frekvence in iste smeri

Naj se seštejeta dve oscilaciji: Gradimo vektorske diagrame in dodajamo vektorje:

Po kosinusnem izreku

Ker to

Očitno je (glej diagram), da je začetna faza nastalega nihanja določena z razmerjem:

Seštevanje nihanj bližnjih frekvenc

p Z drugimi besedami, seštejeta se dve nihanji s skoraj enakima frekvencama, tj.

Iz trigonometrije:

Če uporabimo naš primer, dobimo:

Graf nastale vibracije je graf utripov, tj. skoraj harmonična nihanja frekvence ω, katerih amplituda se počasi spreminja s frekvenco Δω.

Amplituda zaradi prisotnosti znaka modula (amplituda je vedno> 0), frekvenca, s katero se spreminja amplituda, ni enaka Δω / 2, ampak dvakrat večja - Δω.

Seštevanje medsebojno pravokotnih vibracij

Telo naj niha na medsebojno pravokotnih vzmeteh enake togosti. Po kateri poti se bo to telo gibalo?

To so enačbe trajektorije v parametrična oblika. Da bi dobili eksplicitno povezavo med koordinatama x in y, je treba iz enačb izključiti parameter t.

Iz prve enačbe: ,

Od drugega

Po zamenjavi

Znebimo se korena:

- to je enačba elipse

H
posebni primeri:

27. Dušena nihanja. Prisilne vibracije. Resonanca.

Dušenje prostih vibracij

Zaradi upora prosta nihanja vedno prej ali slej zamrejo. Razmislimo o procesu dušenja vibracij. Predpostavimo, da je sila upora sorazmerna s hitrostjo telesa. (proporcionalni koeficient je zaradi priročnosti označen z 2 mg, kar bo razkrito kasneje). Upoštevali bomo primer, ko je v času nihanja njegovo slabljenje majhno. Potem lahko domnevamo, da bo slabljenje rahlo vplivalo na frekvenco, vendar bo vplivalo na amplitudo nihanj. Potem lahko enačbo dušenih nihanj predstavimo kot Tukaj A(t) predstavlja neko padajočo funkcijo, ki jo je treba določiti. Izhajali bomo iz zakona o ohranitvi in ​​transformaciji energije. Sprememba energije nihanja je enaka povprečni uporni sili v času dela, tj. Delimo obe strani enačbe z dt. Na desni bomo imeli dx/dt, tj. hitrost je v, na levi pa dobiš odvod energije glede na čas. Zato ob upoštevanju Toda povprečna kinetična energija enaka polovici celotne energije. Zato lahko to zapišemo Delimo obe strani z E in pomnožimo z dt. To razumemo Integrirajmo obe strani dobljene enačbe: Po potenciranju dobimo Integracijsko konstanto C dobimo iz začetnih pogojev. Naj bo pri t = 0 E = E0, potem je E0 = C. Posledično Toda E ~A^2. Zato se amplituda dušenih nihanj zmanjšuje po eksponentnem zakonu:

IN Tako se zaradi upora amplituda nihanj zmanjša in na splošno izgledajo, kot je prikazano na sl. 4.2. Koeficient se imenuje koeficient slabljenja. Vendar pa ne označuje v celoti slabljenja. Običajno je dušenje nihanj označeno z zmanjšanjem dušenja. Slednji kaže, za kolikokrat se zmanjša amplituda nihanj v času, ki je enak periodi nihanj. To pomeni, da se zmanjšanje dušenja določi na naslednji način: Logaritem dekrementa dušenja se imenuje logaritemski dekrement; očitno je enak

Prisilne vibracije

Če je nihajni sistem izpostavljen zunanji periodični sili, nastanejo tako imenovana prisilna nihanja, ki imajo nedušen značaj. Prisiljena nihanja je treba razlikovati od lastnih nihanj. V primeru samonihanja v sistemu se predpostavlja poseben mehanizem, ki v času z lastnimi nihanji »dovaja« sistemu majhne porcije energije iz določenega energijskega rezervoarja. Tako se naravna nihanja ohranijo in ne zamrejo. V primeru samonihanja se zdi, da se sistem potiska sam. Primer samonihajnega sistema je ura. Ura je opremljena z zaskočnim mehanizmom, s pomočjo katerega nihalo sprejema majhne sunke (iz stisnjene vzmeti) v taktu z lastnimi tresljaji. V primeru prisilnih nihanj sistem potiska zunanja sila. Spodaj se bomo osredotočili na ta primer ob predpostavki, da je upor v sistemu majhen in ga je mogoče zanemariti. Kot model prisilnega nihanja bomo imeli v mislih isto telo, obešeno na vzmeti, na katerega deluje zunanja periodična sila (npr. sila elektromagnetne narave). Brez upoštevanja upora ima enačba gibanja takega telesa v projekciji na os x obliko: kjer je w* ciklična frekvenca, B je amplituda zunanje sile. Znano je, da nihanja obstajajo. Zato bomo določeno rešitev enačbe iskali v obliki sinusne funkcije V enačbo nadomestimo funkcijo, ki jo dvakrat diferenciramo glede na čas . Zamenjava vodi v relacijo

Enačba postane identiteta, če so izpolnjeni trije pogoji: . Potem in enačbo prisilnih nihanj lahko predstavimo v obliki Pojavijo se s frekvenco, ki sovpada s frekvenco zunanje sile, njihova amplituda pa ni nastavljena poljubno, kot pri prostih nihanjih, ampak se vzpostavi sama od sebe. Ta ugotovljena vrednost je odvisna od razmerja lastne frekvence nihanj sistema in frekvence zunanje sile po formuli

N in fig. Slika 4.3 prikazuje graf odvisnosti amplitude prisilnih nihanj od frekvence zunanje sile. Vidimo, da se amplituda nihanj močno poveča, ko se frekvenca zunanje sile približa frekvenci lastnih nihanj. Pojav močnega povečanja amplitude prisilnih nihanj, ko naravna frekvenca in frekvenca zunanje sile sovpadata, se imenuje resonanca.

Pri resonanci mora biti amplituda nihanj neskončno velika. V resnici je med resonanco amplituda prisilnih nihanj vedno končna. To je razloženo z dejstvom, da pri resonanci in blizu nje naša predpostavka o zanemarljivem uporu postane napačna. Tudi če je upor v sistemu majhen, je v resonanci pomemben. Zaradi njegove prisotnosti je amplituda nihanj v resonanci končna vrednost. Tako ima dejanski graf odvisnosti amplitude nihanja od frekvence obliko, prikazano na sl. 4.4. Večji kot je upor v sistemu, manjša je največja amplituda na resonančni točki.

Praviloma resonanca v mehanski sistemi– nezaželen pojav, njegov pa se poskušajo izogniti: mehanske strukture, ki so podvržene nihanjem in tresljajem, poskušajo oblikovati tako, da je naravna frekvenca nihanj daleč od možnih vrednosti frekvenc zunanjih vplivov. Toda v številnih napravah se resonanca uporablja kot pozitiven pojav. Na primer, resonanca elektromagnetnih nihanj se pogosto uporablja v radijskih komunikacijah, resonanca g-žarkov pa se uporablja v natančnih instrumentih.

Stanje termodinamičnega sistema. Procesi

Termodinamična stanja in termodinamični procesi

Kadar je poleg zakonov mehanike potrebna uporaba zakonov termodinamike, sistem imenujemo termodinamični sistem. Potreba po uporabi tega koncepta se pojavi, če je število elementov sistema (na primer število molekul plina) zelo veliko in je gibanje njegovih posameznih elementov mikroskopsko v primerjavi z gibanjem samega sistema ali njegovim makroskopskim gibanjem. komponente. V tem primeru termodinamika opisuje makroskopska gibanja (spremembe makroskopskih stanj) termodinamični sistem.

Parametre, ki opisujejo tako gibanje (spremembe) termodinamičnega sistema, običajno delimo na zunanje in notranje. Ta delitev je zelo pogojna in odvisna od specifične naloge. Tako ima na primer plin v balonu z elastično lupino kot zunanji parameter zračni tlak okolice, za plin v posodi s togo lupino pa je zunanji parameter prostornina, ki jo omejuje ta lupina. V termodinamičnem sistemu se lahko prostornina in tlak spreminjata neodvisno drug od drugega. Za teoretični opis njihovih sprememb je potrebno uvesti vsaj še en parameter - temperaturo.

V večini termodinamičnih tri naloge parametri zadoščajo za opis stanja termodinamičnega sistema. V tem primeru so spremembe v sistemu opisane s pomočjo treh termodinamičnih koordinat, povezanih z ustreznimi termodinamičnimi parametri.

Ravnotežno stanje- stanje termodinamičnega ravnovesja - je stanje termodinamičnega sistema, v katerem ni tokov (energije, snovi, gibalne količine itd.), makroskopski parametri sistema pa so ustaljeni in se s časom ne spreminjajo.

Klasična termodinamika navaja, da izoliran termodinamični sistem (prepuščen samemu sebi) teži k stanju termodinamičnega ravnovesja in ko je enkrat doseženo, ne more spontano izstopiti iz njega. To izjavo pogosto imenujem ničelni zakon termodinamike.

Sistemi v stanju termodinamičnega ravnotežja imajo naslednje lastnosti mi:

Če sta dva termodinamična sistema, ki imata toplotni stik, v stanju termodinamičnega ravnovesja, potem je celoten termodinamični sistem v stanju termodinamičnega ravnovesja.

Če je kateri koli termodinamični sistem v termodinamičnem ravnovesju z dvema drugima sistemoma, potem sta ta dva sistema v termodinamičnem ravnovesju drug z drugim.

Razmislimo o termodinamičnih sistemih, ki so v stanju termodinamičnega ravnovesja. Z opisom sistemov v neravnotežnem stanju, torej v stanju, kjer potekajo makroskopski tokovi, se ukvarja neravnovesna termodinamika. Prehod iz enega termodinamičnega stanja v drugega se imenuje termodinamični proces. Spodaj bodo obravnavani samo kvazistatični procesi ali, kar je enako, kvaziravnotežni procesi. Mejni primer kvaziravnotežnega procesa je ravnotežni proces, ki poteka neskončno počasi in je sestavljen iz neprekinjenih zaporednih stanj termodinamičnega ravnovesja. V resnici do takega procesa ne more priti, če pa se makroskopske spremembe v sistemu dogajajo dovolj počasi (v časovnih intervalih, ki bistveno presegajo čas vzpostavitve termodinamičnega ravnovesja), postane realni proces mogoče približati kvazistatičnemu (kvazi-statičnemu). ravnovesje). Ta približek omogoča izvedbo izračunov z dovolj visoko natančnostjo za velik razred praktičnih problemov. Ravnotežni proces je reverzibilen, to je tak, pri katerem naj bi vrnitev na vrednosti parametrov stanja, ki so se zgodili v prejšnji točki, pripeljala termodinamični sistem v prejšnje stanje brez sprememb v telesih, ki obdajajo sistem.

Praktična uporaba kvaziravnotežnih procesov v kateri koli tehnični napravi je neučinkovita. Tako uporaba kvaziravnotežnega procesa v toplotnem stroju, ki na primer poteka pri skoraj konstantni temperaturi (glej opis Carnotovega cikla v tretjem poglavju), neizogibno vodi do dejstva, da bo tak stroj deloval zelo počasi (v meji - neskončno počasi) in imajo zelo majhno moč. Zato se v praksi kvaziravnotežni procesi v tehničnih napravah ne uporabljajo. Kljub temu, ker napovedi ravnotežne termodinamike za realne sisteme z dovolj visoko natančnostjo sovpadajo z eksperimentalno pridobljenimi podatki za takšne sisteme, se pogosto uporablja za izračun termodinamičnih procesov v različnih tehničnih napravah.

Če se med termodinamičnim procesom sistem vrne v prvotno stanje, potem se tak proces imenuje krožni ali ciklični. Krožni procesi so tako kot vsi drugi termodinamični procesi lahko ravnotežni (in zato reverzibilni) ali neravnovesni (ireverzibilni). Pri reverzibilnem krožnem procesu po tem, ko se termodinamični sistem vrne v prvotno stanje, v okoliških telesih ne nastanejo termodinamične motnje in njihova stanja ostanejo v ravnovesju. V tem primeru se zunanji parametri sistema po cikličnem procesu vrnejo na prvotne vrednosti. V ireverzibilnem krožnem procesu po njegovem zaključku okoliška telesa preidejo v neravnovesna stanja in spremenijo se zunanji parametri termodinamičnega sistema.

Prisilne vibracije. Resonanca.

Doslej smo obravnavali naravna nihanja, nihanja, ki nastanejo brez zunanjih vplivov. Zunanji vpliv je bil potreben le za to, da bi sistem spravil iz ravnovesja, nato pa je bil prepuščen samemu sebi. Diferencialna enačba lastnih nihanj ne vsebuje sledi zunanjega vpliva na sistem: ta vpliv se odraža le v začetnih pogojih.

Vzpostavitev nihanj.

Zelo pogosto pa se je treba soočiti z nihanji, ki nastanejo ob stalno prisotnem zunanjem vplivu. Posebej pomemben in hkrati precej enostaven za študij je primer, ko je zunanja sila periodična. Skupna lastnost prisilnih nihanj, ki nastanejo pod vplivom periodične zunanje sile, je, da nekaj časa po nastopu zunanje sile sistem popolnoma »pozabi« na svoje začetno stanje, nihanja postanejo stacionarne narave in niso odvisna od začetnih pogojev. Začetni pogoji pojavijo šele v obdobju vzpostavljanja nihanj, ki ga običajno imenujemo prehodni proces.

Sinusoidni učinek.

Najprej razmislimo o najpreprostejšem primeru prisilnih nihanj oscilatorja pod vplivom zunanje sile, ki se spreminja po sinusnem zakonu.

to zunanji vpliv lahko izvedete v sistemu različne poti. Na primer, lahko vzamete nihalo v obliki krogle na dolgi palici in dolgo vzmet z nizko togostjo in jo pritrdite na palico nihala blizu točke obešanja, kot je prikazano na sl. 178. Drugi konec vodoravno nameščene vzmeti je treba premikati po zakonu B s pomočjo ročičnega mehanizma, ki ga poganja električni motor. Gonilna sila, ki deluje na nihalo iz vzmeti, bo praktično sinusna, če je obseg gibanja levega konca vzmeti B veliko večji od amplitude nihanja droga nihala na mestu, kjer je vzmet pritrjena.

Enačba gibanja.

U Enačbo gibanja za ta in druge podobne sisteme, v katerih poleg obnovitvene in uporne sile na oscilator deluje tudi gonilna zunanja sila, ki se s časom spreminja sinusno, lahko zapišemo v obliki Tukaj leva stran v skladu z drugim Newtonovim zakonom je produkt mase in pospeška. Prvi člen na desni strani predstavlja obnovitveno silo, ki je sorazmerna z odmikom od ravnotežnega položaja. Za breme, obešeno na vzmet, je to elastična sila, v vseh drugih primerih, ko je fizična narava V nasprotnem primeru se ta sila imenuje kvazielastična. Drugi člen je sila trenja, sorazmerno s hitrostjo, na primer sila zračnega upora ali sila trenja v osi. Amplitudo in frekvenco pogonske sile, ki ziba sistem, bomo obravnavali kot konstantni. Razdelimo obe strani enačbe z maso in uvedimo oznako V odsotnosti pogonske sile desni del enačba izniči in se, kot bi pričakovali, reducira na enačbo lastnega dušenega nihanja. Izkušnje kažejo, da se v vseh sistemih pod vplivom sinusne zunanje sile sčasoma vzpostavijo nihanja, ki se prav tako pojavljajo po sinusnem zakonu z. frekvenca pogonske sile co in c stalna amplituda a, vendar z določenim faznim zamikom glede na pogonsko silo. Takšna nihanja se imenujejo stacionarna prisilna nihanja. Najprej razmislimo o stacionarnih prisilnih nihanjih in zaradi enostavnosti zanemarimo trenje. V tem primeru enačba ne bo imela člena, ki vsebuje hitrost. Poskusimo poiskati rešitev, ki ustreza ustaljenim prisilnim nihanjem, v obliki. Izračunajmo drugi odvod in ga nadomestimo skupaj v enačbi veljaven kadarkoli, morata biti koeficienta na levi in ​​desni strani enaka. Iz tega pogoja najdemo amplitudo nihanj. Preučimo odvisnost amplitude a od frekvence c pogonske sile. Graf te odvisnosti je prikazan na sl. 179. Če tukaj nadomestimo vrednosti, vidimo, da konstantna sila v času preprosto premakne oscilator v nov ravnotežni položaj, premaknjen s starega. Iz tega sledi, da ko pride do premika, fazna razmerja. Ker frekvenca narašča z gonilno silo kolesa v ustaljenem stanju. 179. graf odvisnosti se pojavljajo v fazi z gonilno silo, njihova amplituda pa sprva počasi narašča, z vse hitrejšim približevanjem pa se amplituda nihanj veča za nedoločen čas pri vrednostih, ki presegajo frekvenco lastnih nihanj , formula daje za a negativen pomen(Slika 179). Iz formule je razvidno, da ko se nihanja pojavljajo v protifazi z gonilno silo: ko sila deluje v eno smer, se oscilator premakne v nasprotno smer. Z neomejenim povečanjem frekvence pogonske sile se amplituda nihanj nagiba k ničli.

Primerno je, da je amplituda nihanj v vseh primerih pozitivna, kar je enostavno doseči z uvedbo faznega zamika med pogonsko. Tukaj je a še vedno podana s formulo, fazni zamik pa je enak nič pri. Grafi pogonske sile glede na frekvenco so prikazani na sl. 180.

Resonanca.

Odvisnost amplitude prisilnih nihanj od frekvence pogonske sile je nemonotona. Močno povečanje amplitude prisilnih nihanj, ko se frekvenca pogonske sile približa lastni frekvenci co0 oscilatorja, se imenuje resonanca. Formula daje izraz za amplitudo prisilnih nihanj brez upoštevanja trenja. S tem zanemarjanjem se amplituda nihanj obrne v neskončnost z natančnim sovpadanjem frekvenc. V resnici amplituda nihanj seveda ne more iti v neskončnost. To pomeni, da je pri opisovanju prisilnih nihanj v bližini resonance upoštevanje trenja bistveno potrebno. Ob upoštevanju trenja se izkaže, da je amplituda prisilnih nihanj pri resonanci končna. Večje kot je trenje v sistemu, manjše bo. Daleč od resonance lahko formulo uporabimo za iskanje amplitude nihanj tudi v prisotnosti trenja, če ni premočno. Poleg tega ima ta formula, dobljena brez upoštevanja trenja fizični pomen le ko je še trenje. Dejstvo je, da je sam koncept stacionarnih prisilnih nihanj uporaben samo za sisteme, v katerih obstaja trenje.

Če trenja sploh ne bi bilo, bi se proces vzpostavljanja nihanj nadaljeval v nedogled. V resnici to pomeni, da bo izraz za amplitudo prisilnih nihanj, dobljen brez upoštevanja trenja, pravilno opisal nihanja v sistemu šele po zadostnem velika vrzelčas po začetku pogonske sile. Besede "dovolj dolgo časovno obdobje" tukaj pomenijo, da se je že končal prehodni proces, katerega trajanje sovpada z značilnim časom upadanja lastnih nihanj v sistemu. Pri nizkem trenju se prisilna nihanja v ustaljenem stanju pojavljajo v fazi z gonilno silo pri co in v protifazi pri, kot v odsotnosti trenja. Vendar pa se v bližini resonance faza ne spreminja nenadoma, ampak neprekinjeno, in z natančnim sovpadanjem frekvenc premik zaostaja v fazi za gonilno silo za (četrtino obdobja). Hitrost se spreminja v fazi z pogonsko silo, kar zagotavlja največ ugodni pogoji za prenos energije iz vira zunanje pogonske sile na oscilator.

Kakšen fizikalni pomen ima vsak člen v enačbi, ki opisuje prisilna nihanja oscilatorja?

Kaj so prisilna nihanja v ustaljenem stanju?

Pod kakšnimi pogoji lahko uporabimo formulo za amplitudo stacionarnih prisilnih nihanj, dobljeno brez upoštevanja trenja?

Kaj je resonanca? Navedite znane primere manifestacije in uporabe pojava resonance.

Opišite fazni premik med pogonsko silo in mešanjem pri različna razmerja med frekvenco v pogonski sili in lastno frekvenco oscilatorja.

Kaj določa trajanje procesa vzpostavljanja prisilnih nihanj? Navedite razloge za svoj odgovor.

Vektorski diagrami.

Veljavnost zgornjih trditev lahko preverite, če dobite rešitev enačbe, ki opisuje stacionarno prisilno nihanje ob prisotnosti trenja. Ker se stabilna nihanja pojavljajo s frekvenco gonilne sile c in določenim faznim zamikom, je treba rešitev enačbe, ki ustreza takšnim nihanjem, iskati v obliki. V tem primeru se bosta očitno spreminjala tudi hitrost in pospešek čas v skladu s harmoničnim zakonom Amplituda a stacionarnih prisilnih nihanj in faz premika se prikladno določi z uporabo vektorskih diagramov. Izkoristimo dejstvo, da lahko trenutno vrednost katere koli količine, ki se spreminja po harmoničnem zakonu, predstavimo kot projekcijo vektorja na neko vnaprej izbrano smer, sam vektor pa se enakomerno vrti v ravnini s frekvenco co, in njegova konstantna dolžina je enaka vrednosti amplitude te nihajoče količine. V skladu s tem vsakemu členu enačbe pripišemo vektor, ki se vrti s kotno hitrostjo, katerega dolžina je enaka vrednosti amplitude tega člena, saj je projekcija vsote več vektorjev enaka vsoti projekcije teh vektorjev enačba pomeni, da je vsota vektorjev, povezanih s členi na levi strani, enaka vektorju, povezanemu s količino na desni strani. Za sestavo teh vektorjev zapišemo trenutne vrednosti vseh členov na levi strani enačbe, pri čemer upoštevamo razmerja iz formul je jasno, da je vektor dolžine, povezan s količino, pred kotom vektor, povezan s količino. Vektor dolžine, preslikan v člen, je pred vektorjem dolžine. ti vektorji so usmerjeni v nasprotni smeri.

Relativni položaj teh vektorjev za poljuben trenutek časa je prikazan na sl. 181. Celoten sistem vektorjev se vrti kot celota s kotno hitrostjo c v nasprotni smeri urnega kazalca okoli točke. Trenutne vrednosti vseh količin dobimo s projiciranjem ustreznih vektorjev na vnaprej izbrano smer. Vektor, povezan z desno stranjo enačbe, je enaka vsoti vektorji, prikazani na sl. 181. Ta dodatek je prikazan na sl. 182. Z uporabo Pitagorovega izreka dobimo amplitudo prisilnih nihanj v ustaljenem stanju, kot je razvidno iz vektorskega diagrama na sl. 182 je negativno, ker vektor dolžine zaostaja za vektorjem. Zato se torej ustaljena prisilna nihanja pojavljajo po harmoničnem zakonu, kjer so določena s formulami.

Resonančne krivulje.

Amplituda vzpostavljenih prisilnih nihanj je sorazmerna z amplitudo pogonske sile. Preučimo odvisnost amplitude nihanja od frekvence pogonske sile. Pri nizkem dušenju je ta odvisnost zelo ostra. Če potem kot co teži k frekvenci prostih nihanj, amplituda prisilnih nihanj a teži k neskončnosti, kar sovpada s predhodno dobljenim rezultatom. Ob prisotnosti dušenja amplituda nihanj pri resonanci ne gre več v neskončnost, čeprav znatno presega amplitudo nihanj pod vplivom zunanje sile enake velikosti, vendar s frekvenco daleč od resonančne. Resonančne krivulje pri različne pomene Konstanta dušenja y je prikazana na sl. 183.

Če želite najti mejno resonančno frekvenco, morate ugotoviti, pri kateri ima radikalni izraz v formuli minimum. Enačenje izpeljanke tega izraza glede na nič ali njeno dopolnjevanje z polni kvadrat, smo prepričani, da se največja amplituda prisilnih nihanj pojavi, ko je resonančna frekvenca manjša od frekvence prostih nihanj sistema. Pri majhnem y je resonančna frekvenca skoraj enaka. Ker frekvenca pogonske sile teži k neskončnosti pri, amplituda a, kot lahko vidimo, teži k ničli pod delovanjem stalne zunanje sile. To je statični odmik oscilatorja iz ravnotežnega položaja pod vplivom stalna sila.Največja amplituda. Amplitudo prisilnih nihanj pri resonanci najdemo tako, da v izraz nadomestimo frekvenco iz. Manjša kot je konstanta dušenja, večja je amplituda nihanj pri resonanci. Pri proučevanju prisilnih nihanj v bližini resonance ne moremo zanemariti trenja, ne glede na to, kako majhno je: samo ob upoštevanju dušenja je amplituda pri resonanci končna. Zanimivo je primerjati vrednost s statičnim premikom pod vpliv sile. Če sestavimo razmerje, dobimo pri nizkem dušenju in ob upoštevanju, da obstaja življenjska doba naravnih dušenih nihanj za isti sistem v odsotnosti zunanjih sil, ugotovimo, da obstaja število izvedenih nihanj. dušeni oscilator med življenjsko dobo nihanj. Tako so resonančne lastnosti sistema označene z istim parametrom kot njegova lastna dušena nihanja. Formula omogoča analizo spremembe faznega premika med zunanja sila in premik, pri prisilne vibracije. Ko je vrednost d blizu nič. To pomeni, da se pri nizkih frekvencah premik oscilatorja pojavi v fazi z zunanjo silo. Ko se gonilka počasi vrti na sl. 178 se nihalo giblje v času z desnim koncem ojnice. Če stremi k ničli s strani negativnih vrednosti, je fazni zamik enak in se oscilator premika v protifazi z gonilno silo. Pri resonanci, kot je razvidno iz tega, premik fazno zaostaja za zunanjo silo. Druga od formul kaže, da se v tem primeru zunanja sila spreminja v fazi s hitrostjo in vedno deluje v smeri gibanja. Da bi tako moralo biti, je jasno iz intuitivnih razmislekov o resonanci hitrosti. Iz formule je razvidno, da je amplituda nihanja hitrosti med ustaljenim prisilnim nihanjem enaka. S pomočjo dobimo je odvisnost amplitude hitrosti od frekvence zunanje sile prikazana na sl. 184. Resonančna krivulja za hitrost, čeprav je podobna resonančni krivulji za premik, se od nje v nekaterih pogledih razlikuje. Tako oscilator pod delovanjem konstantne sile doživi statični premik iz ravnotežnega položaja in njegova hitrost po koncu prehodnega procesa je enaka nič. Iz formule je razvidno, da amplituda hitrosti pri izgine. Hitrostna resonanca se pojavi, ko frekvenca zunanje sile natančno sovpada s frekvenco prostih nihanj.

Vektorski diagram. Dodajanje vibracij.

Rešitev številnih problemov v teoriji oscilacij postane veliko lažja in bolj nazorna, če nihanja grafično predstavimo z metodo vektorski diagrami. Izberimo neko os X. Od točke 0 na osi narišemo vektor dolžine , ki na začetku z osjo tvori kot (slika 2.14.1). Če ta vektor vrtimo s kotno hitrostjo, potem je projekcija konca vektorja na os X se bo sčasoma spremenilo z zakonom

.

Posledično bo projekcija konca vektorja na os izvajala harmonično nihanje z amplitudo, ki je enaka dolžini vektorja, s krožno frekvenco, ki je enaka kotni hitrosti vrtenja vektorja, in z začetno fazo, ki je enaka na kot, ki ga vektor tvori z osjo v začetnem trenutku. kotiček, ki ga tvori vektor z osjo v danem trenutku določa fazo nihanja v tem trenutku - .

Iz navedenega sledi, da lahko harmonično nihanje predstavimo z vektorjem, katerega dolžina je enaka amplitudi nihanja, njegova smer pa tvori kot z določeno osjo, enak fazi nihanja. To je bistvo metode vektorskega diagrama.

Seštevanje nihanj iste smeri.

Razmislite o seštevanju dveh harmoničnih nihanj, katerih smeri sta vzporedni:

. (2.14.1)

Posledični odmik X bo vsota in . To bo nihanje z amplitudo.

Uporabimo metodo vektorskega diagrama (slika 2.14.2). Na sliki in - faze nastalega oziroma dodanega nihanja. Preprosto je videti, kaj lahko najdemo z dodajanjem vektorjev in . Če pa so frekvence dodanih nihanj različne, potem se nastala amplituda spreminja v velikosti skozi čas in vektor se vrti s spremenljivo hitrostjo, tj. vibracija ne bo harmonična, ampak bo predstavljala nek kompleks oscilacijski proces. Da bi bilo nastalo nihanje harmonično, morajo biti frekvence dodanih nihanj enake

in nastalo nihanje se pojavi z enako frekvenco

.

Iz konstrukcije je razvidno, da

Analizirajmo izraz (2.14.2) za amplitudo nastalega nihanja. če fazna razlika dodanih nihanj je nič(nihanja so v fazi), amplituda je enaka vsoti amplitud dodanih nihanj, tj. ima največ možna vrednost . če fazna razlika je(nihanja so v protifazi), potem nastala amplituda je enaka razliki amplitude, tj. ima najmanjšo možno vrednost .

Seštevanje medsebojno pravokotnih vibracij.

Naj delec izvede dve harmonični nihanji z enako frekvenco: eno vzdolž smeri, ki jo označimo X, drugi - v pravokotna smer l. V tem primeru se bo delec gibal vzdolž določene splošni primer, ukrivljena trajektorija, katerih oblika je odvisna od razlike v fazah nihanj.

Začetek štetja časa izberimo tako, da bo začetna faza enega nihanja enaka nič:

. (2.14.3)

Za pridobitev enačbe trajektorije delcev je treba iz (2.14.3) izključiti t. Iz prve enačbe, a. pomeni, . Prepišimo drugo enačbo

oz

.

Če prenesemo prvi člen z desne strani enačbe na levo, kvadriramo dobljeno enačbo in izvedemo transformacije, dobimo

. (2.14.4)

Ta enačba je enačba elipse, katere osi so zasukane glede na osi X in l pod nekim kotom. Toda v nekaterih posebnih primerih so doseženi preprostejši rezultati.

1. Fazna razlika je nič. Potem iz (2.14.4) dobimo

ali . (2.14.5)

To je enačba ravne črte (slika 2.14.3). Tako delec niha vzdolž te premice s frekvenco in amplitudo, ki sta enaki.

Lahko se zgodi, da je oscilator udeležen v dveh enako usmerjenih nihanjih z različnimi amplitudami, frekvencami in začetnimi fazami. Razmislimo o seštevanju takih nihanj.

Seštevanje nihanj z enakimi frekvencami

Za poenostavitev si najprej oglejmo primer, ko sta frekvenci dodanih nihanj enaki. Splošne rešitve dodanih harmoničnih nihanj imajo obliko:

Kje x 1, x 2- spremenljivke, ki opisujejo nihanja, A 1, A 2- njihove amplitude in , - začetnih fazah. Posledično nihanje

enostaven za uporabo vektorski diagram. Ta metoda uporablja analogijo med vrtenjem in oscilacijskim procesom.

Vzemimo splošno rešitev (1.23) za harmonično nihanje. Izberimo os 0x. Od točke 0 narišimo vektor dolžine A ki se tvori z osjo 0x kotiček Če ta vektor vrtimo s kotno hitrostjo, se bo projekcija konca tega vektorja premaknila vzdolž osi 0x od +A prej –A, velikost projekcije pa se bo spremenila v skladu z zakonom

Tako je projekcija konca vektorja na os 0x bo izvajal harmonična nihanja z amplitudo, ki je enaka dolžini vektorja, s krožno frekvenco, ki je enaka kotni hitrosti vrtenja vektorja, in z začetno fazo, ki je enaka kotu, ki ga tvori vektor z osjo v začetnem trenutku. časa (slika 1.12).

riž. 1.12. Vektorski diagram za splošna rešitev (1.23)

Uporabimo zdaj to tehniko za seštevanje nihanj (1.34). Predstavimo obe oscilaciji z vektorji A 1 in A 2 Vzemimo njihovo vektorsko vsoto (slika 1.13)

riž. 1.13. Vektorski diagram za seštevanje enako usmerjenih nihanj iste frekvence

Vektorska projekcija A 1 na os 0x enaka vsoti projekcij ustreznih vektorjev

Torej vektor A predstavlja nastalo nihanje. Ta vektor se vrti z enako kotno hitrostjo, tako da bo posledično gibanje harmonično nihanje s frekvenco , amplituda A in začetno fazo a. Po kosinusnem izreku:

Še posebej, če so faze dodanih nihanj enake ali se razlikujejo za količino, ki je večkratnik (tj. ), potem je amplituda nastalega nihanja enaka vsoti amplitud

Če so dodana nihanja v protifazi (tj. ), to

Utripi

V tem razdelku bomo obravnavali primer seštevanja enako usmerjenih harmoničnih nihanj z različnimi frekvencami. Na praksi posebno zanimanje predstavlja primer, ko se dodana nihanja malo razlikujejo po frekvenci. Kot bomo videli, kot rezultat seštevanja teh nihanj dobimo nihanja s periodično spreminjajočo se amplitudo, imenovana utripi.

Zaradi poenostavitve obravnavamo primer, ko sta amplitudi dodanih nihanj enaki A, začetne faze obeh nihanj pa so nič. Frekvenci dodanih nihanj sta enaki oziroma . Torej,

Te izraze dodajamo in upoštevamo znana formula trigonometrija:

Če potem v argumentu drugega kosinusa zanemarimo frekvenčni premik:

Poleg tega se množitelj v oklepaju spreminja počasi v primerjavi z . Zato nastalo nihanje x mogoče videti kot modulirano harmonično nihanje s frekvenco w, katere efektivna amplituda se s časom spreminja po zakonu (1.40) (slika 1.14):

Naj poudarimo, da v strogem smislu takšno nihanje ni harmonično, in še enkrat spomnimo, da je po definiciji nihanje harmonično, če se pojavi po zakonu , vsi trije njegovi parametri pa so v času strogo konstantni.

riž. 1.14. Utripi pri dodajanju nihanj z bližnjimi frekvencami

Frekvenca pulziranja amplitude (imenuje se frekvenca utripa) je enaka razliki med frekvencama dodanih nihanj. Utripno obdobje je