Përkufizimi 1. Boshti i numrave (vija numerike, vija e koordinatave) Ox është drejtëza në të cilën zgjidhet pika O origjina (origjina e koordinatave)(Fig.1), drejtimi

O → x

të listuara si drejtim pozitiv dhe shënohet një segment, gjatësia e të cilit merret si njësi gjatësie.

Përkufizimi 2. Një segment gjatësia e të cilit merret si njësi gjatësie quhet shkallë.

Çdo pikë në boshtin e numrave ka një koordinatë, e cila është numër real. Koordinata e pikës O është zero. Koordinata e një pike arbitrare A që shtrihet në rreze Ox është e barabartë me gjatësinë e segmentit OA.

Koordinata e një pike arbitrare A të boshtit numerik që nuk shtrihet në rreze Ox është negative dhe në vlerë absolute është e barabartë me gjatësinë e segmentit OA. Përkufizimi 3. Sistemi koordinativ drejtkëndor Kartezian Oxy në aeroplan telefononi dy reciprokisht pingul boshtet numerike Ox dhe Oy me të njëjtën shkallë Dhe fillimi i përbashkët numërimin mbrapsht në pikën O, dhe e tillë që rrotullimi nga rrezja Ox në një kënd prej 90° në rreze Oy kryhet në drejtim në të kundërt të akrepave të orës

(Fig. 2). Shënim. Sistemi koordinativ drejtkëndor Kartezian Oxy, i paraqitur në figurën 2, quhet sistemi i duhur i koordinatave , ndryshe nga sistemet e koordinatave të majta , në të cilën rrotullimi i rrezes Ox në një kënd 90° me rreze Oy kryhet në drejtim të akrepave të orës. Në këtë udhëzues ne marrim parasysh vetëm sistemet e koordinatave të djathta

, pa e specifikuar konkretisht. Nëse futim një sistem të koordinatave drejtkëndëshe karteziane Oxy në aeroplan, atëherë çdo pikë e rrafshit do të fitojë – dy koordinata të njëjtën shkallë abshissa ordinator , të cilat llogariten si më poshtë. Le të jetë A një pikë arbitrare në rrafsh. Le të hedhim pingulet nga pika A A.A. , të cilat llogariten si më poshtë. Le të jetë A një pikë arbitrare në rrafsh. Le të hedhim pingulet nga pika A 1 dhe

2 në vija të drejta Ox dhe Oy, përkatësisht (Fig. 3). Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës A Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës 1 në boshtin numerik Ox, ordinata e pikës A është koordinata e pikës

2 në boshtin numerik Oy. Emërtimi Koordinatat (abshisa dhe ordinata) e pikës Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(x;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4).) y Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës = (x; ose).

y Shënim. Pika O, e thirrur, ka koordinata O(0 ; 0) .

Përkufizimi 5. Në sistemin koordinativ kartezian drejtkëndor Oxy boshti numerik Ox quhet boshti i abshisave dhe boshti numerik Oy quhet bosht i ordinatave (Fig. 5).

Përkufizimi 6. Secila është drejtkëndëshe sistemi kartezian koordinatat e ndan rrafshin në 4 katërshe (kuadrante), numërimi i të cilave është paraqitur në figurën 5.

Përkufizimi 7. Rrafshi në të cilin është dhënë një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor quhet plan koordinativ.

Shënim. Boshti i abshisës është vendosur në plan koordinativ ekuacioni ose= 0, boshti i ordinatave jepet në planin koordinativ me ekuacion x = 0.

Deklarata 1. Distanca midis dy pikave plan koordinativ

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës 1 (x 1 ;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 1) të njëjtën shkallë Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës 2 (x 2 ;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 2)

llogaritur sipas formulës

Dëshmi . Merrni parasysh figurën 6.

Prandaj,

Q.E.D.

Ekuacioni i një rrethi në planin koordinativ

Le të shqyrtojmë në planin koordinativ Oxy (Fig. 7) një rreth me rreze R me qendër në pikën Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës 0 (x 0 ;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 0) .

Udhëzimet

Shkruani operacionet matematikore në formë teksti dhe futini ato në fushën e pyetjes së kërkimit në faqja kryesore Faqja e Google nëse nuk mund të përdorni kalkulatorin, por keni akses në internet. Ky motor kërkimi ka një kalkulator të integruar shumëfunksional, i cili është shumë më i lehtë për t'u përdorur se çdo tjetër. Nuk ka ndërfaqe me butona - të gjitha të dhënat duhet të futen në formë teksti në një fushë të vetme. Për shembull, nëse dihet koordinatat pikat ekstreme segment në një sistem koordinativ tredimensional A(51.34 17.2 13.02) dhe A(-11.82 7.46 33.5), atëherë koordinatat pika e mesit segment C ((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Duke futur (51.34-11.82)/2 në fushën e pyetjes së kërkimit, më pas (17.2+7.46)/2 dhe (13.02+33.5)/2, mund të përdorni Google për të marrë koordinatat C(19,76 12,33 23,26).

Ekuacioni standard rrethi ju lejon të zbuloni disa informacione të rëndësishme rreth kësaj figure, për shembull, koordinatat e qendrës së saj, gjatësia e rrezes. Në disa probleme, përkundrazi, parametrat e dhënë ju duhet të krijoni një ekuacion.

Udhëzimet

Përcaktoni se çfarë informacioni keni për rrethin bazuar në detyrën që ju është dhënë. Mos harroni atë qëllimi përfundimtarështë nevoja për të përcaktuar koordinatat e qendrës, si dhe diametrin. Të gjitha veprimet tuaja duhet të synojnë arritjen e këtij rezultati të veçantë.

Përdorni të dhëna për praninë e pikave të kryqëzimit me vija koordinative ose vija të tjera. Ju lutemi vini re se nëse rrethi kalon nëpër boshtin e abshisës, i dyti do të ketë koordinatën 0, dhe nëse përmes boshtit të ordinatave, atëherë i pari. Këto koordinata do t'ju lejojnë të gjeni koordinatat e qendrës së rrethit dhe gjithashtu të llogarisni rrezen.

Mos harroni për vetitë themelore të sekanteve dhe tangjenteve. Në veçanti, teorema më e dobishme është se në pikën e kontaktit rrezja dhe tangjentja formojnë një kënd të drejtë. Por ju lutemi vini re se mund t'ju kërkohet të provoni të gjitha teoremat e përdorura gjatë kursit.

Zgjidhni llojet më standarde për të mësuar të shihni menjëherë se si të përdorni të dhëna të caktuara për ekuacionin e një rrethi. Pra, përveç detyrave të përmendura tashmë me drejtpërdrejt koordinatat e dhëna dhe ato në të cilat jepet informacioni për praninë e pikave të kryqëzimit, për të përpiluar ekuacionin e një rrethi, mund të përdorni njohuri për qendrën e rrethit, gjatësinë e kordës dhe mbi të cilën shtrihet kjo kordë.

Për të zgjidhur, ndërtuar trekëndëshi dykëndësh, baza e të cilit do të jetë akord i dhënë, A anët e barabarta– rrezet. Përpiloni nga i cili mund të gjeni lehtësisht të dhënat e nevojshme. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën për gjetjen e gjatësisë së një segmenti në një plan.

Video mbi temën

Një rreth kuptohet si një figurë që përbëhet nga shumë pika në një plan të barabartë nga qendra e tij. Distanca nga qendra në pika rrethi i quajtur rreze.

Koordinatat polare

Numri thirret rrezja polare pika ose koordinata e parë polare. Distanca nuk mund të jetë negative, kështu që rrezja polare e çdo pike është . Gjithashtu shënohet koordinata e parë polare Letra greke(“ro”), por jam mësuar me versionin latin dhe do ta përdor në të ardhmen.

Numri thirret këndi polar pikë e dhënë ose koordinata e dytë polare. Këndi polar zakonisht ndryshon brenda (të ashtuquajturit vlerat e këndit kryesor). Sidoqoftë, është mjaft e pranueshme të përdoret diapazoni, dhe në disa raste ekziston nevoja e drejtpërdrejtë të merren parasysh të gjitha vlerat e këndit nga zero në "plus pafundësi". Nga rruga, unë rekomandoj që të mësoheni me masën radian të një këndi, pasi veproni me gradë in matematikë e lartë konsiderohet jo comme il faut.

Çifti thirret koordinatat polare pika Ato janë të lehta për t'u gjetur dhe vlera specifike. Tangjente kënd akut trekëndësh kënddrejtë - ka një lidhje këmbën e kundërt në këmbën ngjitur: prandaj, vetë këndi: . Sipas teoremës së Pitagorës, katrori i hipotenuzës e barabartë me shumën katrorët e këmbëve: pra, rrezja polare:

Kështu, .

Një pinguin është i mirë, por një tufë është më e mirë:


Kënde të orientuara negativisht E shënova me shigjeta për çdo rast, në rast se disa nga lexuesit nuk dinin ende për këtë orientim. Nëse dëshironi, mund të "vidhosni" 1 kthesë (rad. ose 360 ​​gradë) në secilën prej tyre dhe të jeni, meqë ra fjala, rehat. vlerat e tabelës:

Por disavantazhi i këtyre këndeve të orientuara "tradicionalisht" është se ato janë "të përdredhur" shumë larg (më shumë se 180 gradë) në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Unë parashikoj pyetjen: “pse ka mungesë dhe pse ka kënde negative? Në matematikë, më e shkurtra dhe mënyra racionale. Epo, nga pikëpamja e fizikës, drejtimi i rrotullimit shpesh ka një rëndësi thelbësore - secili prej nesh u përpoq të hapte derën duke tërhequr dorezën në drejtimin e gabuar =)

Rendi dhe teknika e ndërtimit të pikave në koordinata polare

Foto te bukura janë të bukura, por ndërtimi i tyre në sistemin e koordinatave polar është një detyrë mjaft e mundimshme. Nuk ka vështirësi me pikat këndet polare të të cilave janë , në shembullin tonë këto janë pika ; Vlerat që janë shumëfish të 45 gradë gjithashtu nuk shkaktojnë shumë probleme: . Por si të ndërtoni saktë dhe me kompetencë, të themi, një pikë?

Do t'ju duhet një copë letre me kuadrate, një laps dhe më poshtë mjete vizatimi: sundimtar, busull, raportor. NË si mjet i fundit, mund t'ia dalësh vetëm me një vizore, ose edhe... pa të fare! Lexoni dhe do të merrni një provë tjetër se ky vend është i pathyeshëm =)

Shembulli 1

Ndërtoni një pikë në sistemin e koordinatave polar.

Para së gjithash, ju duhet të zbuloni masë shkallë këndi Nëse këndi është i panjohur ose keni dyshime, atëherë është gjithmonë më mirë ta përdorni tabela ose një formulë e përgjithshme për shndërrimin e radianeve në gradë. Pra, këndi ynë është (ose).

Le të vizatojmë një sistem koordinativ polar (shih fillimin e mësimit) dhe të marrim një raportor. Pronarët e një instrumenti të rrumbullakët nuk do të kenë vështirësi të shënojnë 240 gradë, por me probabilitet të lartë Do të keni në duar një version gjysmërrethor të pajisjes. Problem mungesë e plotë raportor nëse keni një printer dhe gërshërë zgjidhet me punë dore.

Ka dy mënyra: kthejeni fletën dhe shënoni 120 gradë, ose "vidhosni" gjysmë rrotullimi dhe kontrolloni këndi i kundërt. Le të zgjedhim metodën e të rriturve dhe të bëjmë një shenjë prej 60 gradë:


Ose një raportues liliputian, ose një kafaz gjigant =) Megjithatë, për të matur një kënd, shkalla nuk është e rëndësishme.

Duke përdorur një laps, vizatoni një vijë të drejtë të hollë që kalon nëpër shtyllë dhe shenjën e bërë:


Ne kemi renditur këndin, tani rrezja polare është e radhës. Merrni një busull dhe përgjatë vijës ne vendosëm zgjidhjen e saj në 3 njësi, më shpesh kjo është, natyrisht, centimetra:

Tani vendosni me kujdes gjilpërën në shtyllë dhe lëvizje rrotulluese Bëjmë një serif të vogël (ngjyrë të kuqe). Pika e kërkuar është ndërtuar:


Mund të bëni pa busull duke aplikuar vizoren direkt në vijën e drejtë të ndërtuar dhe duke matur 3 centimetra. Por, siç do të shohim më vonë, në problemet që përfshijnë ndërtimin në një sistem koordinativ polar një situatë tipike është kur duhet të shënoni dy ose më shumë pikat me të njëjtën rreze polare, kështu që është më efikase të ngurtësohet metali. Në veçanti, në vizatimin tonë, duke e rrotulluar këmbën e busullës 180 gradë, është e lehtë të bësh një pikë të dytë dhe të ndërtosh një pikë simetrike në lidhje me shtyllën. Le ta përdorim atë për të punuar me materialin në paragrafin vijues:

Marrëdhënia ndërmjet sistemeve të koordinatave drejtkëndore dhe polare

Natyrisht le të shtojmë në sistemin e koordinatave polar, një rrjet koordinativ "të rregullt" dhe vizatoni një pikë në vizatim:

Është gjithmonë e dobishme ta mbani parasysh këtë lidhje kur vizatoni koordinatat polare. Edhe pse, dashje apo s'do, sugjeron veten pa asnjë aluzion të mëtejshëm.

Le të vendosim marrëdhënien midis koordinatave polare dhe karteziane duke përdorur një shembull pikë specifike. Le të shqyrtojmë trekëndësh kënddrejtë, në të cilën hipotenuza është e barabartë me rrezen polare: , dhe këmbët janë të barabarta me koordinatat "X" dhe "Y" të pikës në sistemin koordinativ kartezian: .

Sinusi i një këndi akut është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën:

Kosinusi i një këndi akut është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:

Në të njëjtën kohë, ne përsëritëm përkufizimet e sinusit, kosinusit (dhe tangjentes pak më të hershme) nga kurrikula e klasës së 9-të të një shkolle gjithëpërfshirëse.

Ju lutemi shtoni formula pune në librin tuaj të referencës që shprehin koordinatat karteziane të një pike përmes koordinatave të saj polare - do të na duhet të merremi me to më shumë se një herë, dhe herën tjetër tani =)

Le të gjejmë koordinatat e një pike në një sistem koordinativ drejtkëndor:

Kështu:

Formulat që rezultojnë hapin një zbrazëtirë tjetër në problemin e ndërtimit, kur mund të bëni fare pa raportues: së pari gjejmë koordinatat karteziane të pikës (natyrisht, në draft), pastaj mendërisht gjejmë vendin e dëshiruar në vizatim dhe shënoni këtë pikë. Aktiv fazën përfundimtare vizatoni një vijë të drejtë të hollë që kalon nëpër pikën e ndërtuar dhe shtyllën. Si rezultat, rezulton se këndi dyshohet se është matur me një raportues.

Është qesharake që studentët shumë të dëshpëruar mund të bëjnë edhe pa një vizore, duke përdorur në vend të kësaj skajin e drejtë të një libri shkollor, fletore ose libri i notave– në fund të fundit, prodhuesit e fletores u kujdesën për metrikën, 1 qelizë = 5 milimetra.

E gjithë kjo më kujtoi një shaka të mirënjohur në të cilën pilotët e shkathët komplotuan një kurs përgjatë një pakete Belomor =) Edhe pse, mënjanë shakatë, shakaja nuk është aq larg realitetit, mbaj mend se në një nga fluturimet e brendshme në rusisht Federata, të gjitha instrumentet e lundrimit në aeroplan dështuan, dhe ekuipazhi me sukses ulja avionin duke përdorur një gotë të rregullt me ​​ujë, e cila tregonte këndin e avionit në raport me tokën. Dhe pista ajrore - ja ku është, e dukshme nga xhami i përparmë.

Duke përdorur teoremën e Pitagorës të cituar në fillim të mësimit, është e lehtë të merret formulat e anasjellta: , pra:

Vetë këndi "phi" shprehet standardisht përmes arktangjentit - absolutisht i njëjtë si argumenti i numrit kompleks me të gjitha hallet e saj.

Këshillohet gjithashtu të vendosni grupin e dytë të formulave në bagazhin tuaj të referencës.

Pas analiza e detajuar fluturime me pika individuale, le të kalojmë në vazhdimin natyror të temës:

Ekuacioni i drejtëzës në koordinata polare

Në thelb, ekuacioni i një linje në një sistem koordinativ polar është funksioni i rrezes polare nga këndi polar (argumenti). Në këtë rast, këndi polar merret parasysh në radiane(!) Dhe vazhdimisht merr vlera nga deri në (ndonjëherë duhet të konsiderohet deri në pafundësi, ose në një numër problemesh për lehtësi nga deri në). Çdo vlerë e këndit "phi" që përfshihet në fusha e përkufizimit funksion, korrespondon me një vlerë të vetme të rrezes polare.

Funksioni polar mund të krahasohet me një lloj radari - kur një rreze drite që buron nga një pol rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe "zbulon" (vizaton) një vijë.

Një shembull standard i një kurbë polare është Spiralja e Arkimedit. Fotoja e mëposhtme e tregon atë raundi i parë- kur rrezja polare që ndjek këndin polar merr vlera nga 0 në:

Më tej, duke kaluar boshtin polar në pikën , spiralja do të vazhdojë të lëshohet, duke lëvizur pafundësisht larg polit. Por raste të ngjashme në praktikë ato janë mjaft të rralla; më shumë situatë tipike, kur në të gjitha revolucionet e mëvonshme ne "ecim përgjatë së njëjtës linjë" që u mor në diapazonin.

Në shembullin e parë hasim konceptin fusha e përkufizimit funksioni polar: meqenëse rrezja polare është jo negative, këndet negative nuk mund të merren parasysh këtu.

! Shënim : në disa raste është zakon të përdoret koordinatat polare të përgjithësuara, ku rrezja mund të jetë negative, dhe ne do ta studiojmë shkurtimisht këtë qasje pak më vonë

Përveç spirales së Arkimedit, ka shumë kthesa të tjera të njohura, por, siç thonë ata, nuk mund të ngopeni me art, kështu që zgjodha shembuj që gjenden shumë shpesh në detyra reale praktike.

Së pari, ekuacionet më të thjeshta dhe vijat më të thjeshta:

Një ekuacion i formës specifikon atë që del nga poli rreze. Në të vërtetë, mendoni për këtë, nëse vlera e këndit Gjithmonë(çfarëdo që të jetë "er") vazhdimisht, atëherë çfarë rreshti është?

Shënim : në sistemin koordinativ polar të përgjithësuar ekuacioni i dhënë përcakton një vijë të drejtë që kalon nëpër shtyllë

Një ekuacion i formës përcakton... me mend herën e parë - nëse për këdo Rrezja e këndit "phi" mbetet konstante? Në fakt ky është përkufizimi rrethi me qendër në polin e rrezes .

Për shembull,. Për qartësi, le të gjejmë ekuacionin e kësaj drejtëze në një sistem koordinativ drejtkëndor. Duke përdorur formulën e marrë në paragrafin e mëparshëm, ne bëjmë zëvendësimin:

Le të vendosim në katror të dy anët:

– ekuacioni i një rrethi me qendër në origjinën e rrezes 2, që është ajo që duhej të kontrollohej.

Që nga krijimi dhe publikimi i artikullit rreth varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të vektorëve Mora disa letra nga vizitorët e faqes, të cilët bënë një pyetje në frymën e: "ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor i thjeshtë dhe i përshtatshëm, pse na duhet një tjetër i zhdrejtë?" rast afine?. Përgjigja është e thjeshtë: matematika përpiqet të përqafojë gjithçka dhe të gjithë! Për më tepër, në një situatë të caktuar, komoditeti është i rëndësishëm - siç mund ta shihni, është shumë më fitimprurëse të punosh me një rreth në koordinata polare për shkak të thjeshtësisë ekstreme të ekuacionit.

Dhe ndonjëherë modeli matematik parashikon zbulimet shkencore. Pra, në një kohë rektori i Universitetit Kazan N.I. Lobachevsky vërtetuar rreptësisht, përmes pikë arbitrare aeroplanët mund të vizatohen pafundësisht shumë vija të drejta, paralel me këtë. Si rezultat, ai u shpif nga gjithçka botën shkencore, por... përgënjeshtroj ky fakt askush nuk mundi. Vetëm një shekull i mirë më vonë, astronomët zbuluan se drita në hapësirë ​​udhëton përgjatë trajektoreve të lakuara, ku gjeometria jo-Euklidiane e Lobachevsky, e zhvilluar zyrtarisht prej tij shumë përpara këtij zbulimi, fillon të funksionojë. Supozohet se kjo është një veti e vetë hapësirës, ​​lakimi i së cilës është i padukshëm për ne për shkak të distancave të vogla (sipas standardeve astronomike).

Le të shqyrtojmë detyrat më kuptimplote të ndërtimit:

Shembulli 2

Ndërtoni një linjë

Zgjidhje: Së pari, le të gjejmë fusha e përkufizimit. Meqenëse rrezja polare është jo negative, pabarazia duhet të jetë e qëndrueshme. Ju mund të mbani mend rregullat e shkollës për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike, por në raste të thjeshta si ky, unë rekomandoj më shpejt dhe metodë vizuale zgjidhje:

Imagjinoni një grafik kosinus. Nëse nuk është regjistruar ende në kujtesën tuaj, atëherë gjeni atë në faqe Grafikët e funksioneve elementare. Çfarë na thotë pabarazia? Ai na tregon se grafiku i kosinusit duhet të gjendet jo më e ulët boshti i abshisave. Dhe kjo ndodh në segment. Dhe, në përputhje me rrethanat, intervali nuk është i përshtatshëm.

Kështu, domeni i përkufizimit të funksionit tonë është: , domethënë, grafiku ndodhet në të djathtë të polit (në terminologjinë e sistemit kartezian - në gjysmërrafshin e djathtë).

Në koordinatat polare, shpesh ekziston një ide e paqartë se cila linjë përcakton një ekuacion të caktuar, kështu që për ta ndërtuar atë, ju duhet të gjeni pikat që i përkasin - dhe sa më shumë, aq më mirë. Zakonisht ato janë të kufizuara në një duzinë ose dy (ose edhe më pak). Mënyra më e lehtë, natyrisht, është të marrësh vlerat e këndit të tabelës. Për qartësi më të madhe, vlerat negative Unë do të "vidhos" një kthesë:

Për shkak të barazisë së kosinusit relevante vlerat pozitive nuk keni pse të numëroni përsëri:

Le të përshkruajmë një sistem koordinativ polar dhe të vizatojmë pikat e gjetura, ndërsa të njëjtat vleraËshtë i përshtatshëm për të shtyrë "er" në një kohë, duke bërë pika të çiftuara me një busull duke përdorur teknologjinë e diskutuar më sipër:

Në parim, vija është tërhequr qartë, por për të konfirmuar plotësisht supozimin, le të gjejmë ekuacionin e saj në sistemin koordinativ Kartezian. Ju mund të aplikoni formulat e nxjerra së fundmi , por unë do t'ju tregoj për një truk më dinakë. Ne i shumëzojmë artificialisht të dyja anët e ekuacionit me "er": dhe përdorim formula më kompakte të tranzicionit:

Duke theksuar katror i përsosur, e sjellim ekuacionin e drejtëzës në një formë të dallueshme:

– ekuacioni i një rrethi me qendër në pikën, rreze 2.

Meqenëse sipas kushtit ishte thjesht e nevojshme të kryhej ndërtimi dhe kjo është ajo, ne i lidhim pa probleme pikat e gjetura me një vijë:

Gati. Është në rregull nëse rezulton paksa e pabarabartë, nuk është dashur ta dini se ishte një rreth ;-)

Pse nuk i morëm parasysh vlerat e këndit jashtë intervalit? Përgjigja është e thjeshtë: nuk ka kuptim. Për shkak të periodicitetit të funksionit, ne përballemi me një vrapim të pafund përgjatë rrethit të ndërtuar.

Është e lehtë për të kryer një analizë të thjeshtë dhe për të arritur në përfundimin se një ekuacion i formës specifikon një rreth me diametër me një qendër në pikë. Në mënyrë figurative, të gjithë rrathët e tillë "ulen" në boshtin polar dhe domosdoshmërisht kalojnë nëpër shtyllë. Nëse atëherë kompani argëtuese do të migrojë në të majtë - në vazhdimin e boshtit polar (mendoni pse).

Detyrë e ngjashme për vendim i pavarur:

Shembulli 3

Ndërtoni një vijë dhe gjeni ekuacionin e saj në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Le të sistematizojmë procedurën për zgjidhjen e problemit:

Para së gjithash, ne gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit për këtë është i përshtatshëm për t'u parë sinusoid për të kuptuar menjëherë se ku sinusi është jo negativ.

Në hapin e dytë, ne llogarisim koordinatat polare të pikave duke përdorur vlerat e këndit të tabelës; Analizoni nëse është e mundur të zvogëlohet numri i llogaritjeve?

Në hapin e tretë, ne vizatojmë pikat në sistemin e koordinatave polar dhe i lidhim ato me kujdes me një vijë.

Dhe së fundi, ne gjejmë ekuacionin e drejtëzës në sistemin koordinativ kartezian.

Mostra e përafërt zgjidhje në fund të orës së mësimit.

Algoritmi i përgjithshëm dhe teknikën e ndërtimit e detajojmë në koordinata polare
dhe shpejtohen ndjeshëm në pjesën e dytë të leksionit, por para kësaj do të njihemi me një linjë tjetër të përbashkët:

Trëndafili Polar

Kjo është e drejtë, ne po flasim për një lule me petale:

Shembulli 4

Ndërtoni vija të dhëna nga ekuacionet në koordinata polare

Ekzistojnë dy mënyra për të ndërtuar një trëndafil polar. Së pari, le të ndjekim gjurmën e përthyer, duke supozuar se rrezja polare nuk mund të jetë negative:

Zgjidhje:

a) Le të gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit:

Kjo pabarazia trigonometrike Nuk është gjithashtu e vështirë të zgjidhet grafikisht: nga materialet e artikullit Shndërrimet gjeometrike të grafikëve dihet se nëse argumenti i një funksioni dyfishohet, atëherë grafiku i tij do të tkurret në boshtin e ordinatave me 2 herë. Ju lutemi gjeni grafikun e funksionit në shembullin e parë mësimin e specifikuar. Ku ndodhet ky sinusoid mbi boshtin x? Në intervale . Rrjedhimisht, pabarazia plotësohet nga segmentet përkatëse, dhe fusha e përkufizimit funksioni ynë: .

Në përgjithësi, zgjidhja e pabarazive në shqyrtim është bashkimi numër i pafund segmente, por, përsëri, na intereson vetëm një periudhë.

Ndoshta disa lexues do ta kenë më të lehtë metodë analitike Duke gjetur domenin e përkufizimit, do ta quaja me kusht "prerja e një byreku të rrumbullakët". Ne do të shkurtojmë në pjesë të barabarta dhe, para së gjithash, gjeni kufijtë e pjesës së parë. Ne arsyetojmë si më poshtë: sinusi është jo negativ, Kur argumenti i tij varion nga 0 në rad. përfshirëse. Në shembullin tonë: . Duke pjesëtuar të gjitha pjesët e pabarazisë së dyfishtë me 2, marrim intervalin e kërkuar:

Tani fillojmë të "prejmë pjesë të barabarta prej 90 gradë" në mënyrë sekuenciale në drejtim të kundërt të akrepave të orës:

– segmenti i gjetur, natyrisht, përfshihet në fushën e përkufizimit;

– intervali tjetër – nuk përfshihet;

- segmenti tjetër - i përfshirë;

– dhe së fundi, intervali – nuk përfshihet.

Ashtu si një margaritë - "dashuron, nuk do, do, nuk do" =) Me ndryshimin se këtu nuk ka pasuri. Po, është thjesht një lloj dashurie në kinezisht….

Pra, dhe vija përfaqëson një trëndafil me dy petale identike. Është mjaft e mundur të vizatoni vizatimin në mënyrë skematike, por është shumë e këshillueshme që të gjeni dhe shënoni saktë majat e petaleve. Kulmet korrespondojnë me pikat e mesit të segmenteve të fushës së përkufizimit, e cila në në këtë shembull kanë koordinata të dukshme këndore . Në të njëjtën kohë gjatesite e petaleve janë:

Këtu është rezultati natyror i një kopshtari të kujdesshëm:

Duhet të theksohet se gjatësia e petalit mund të shihet lehtësisht nga ekuacioni - pasi sinusi është i kufizuar: , atëherë vlera maksimale"Er" sigurisht nuk do të kalojë dy.

b) Le të ndërtojmë një linjë, dhënë nga ekuacioni. Natyrisht, gjatësia e petalit të këtij trëndafili është gjithashtu e barabartë me dy, por, para së gjithash, ne jemi të interesuar në fushën e përkufizimit. E aplikueshme metodë analitike"prerje": sinusi është jonegativ kur argumenti i tijështë në intervalin nga zero në "pi" përfshirëse, në në këtë rast: . Ne i ndajmë të gjitha pjesët e pabarazisë me 3 dhe marrim intervalin e parë:

Më pas, fillojmë "prerjen e byrekut në copa" me rad. (60 gradë):
– segmenti do të hyjë në domenin e përkufizimit;
– intervali – nuk do të përfshihet;
- segmenti - do të përshtatet;
– intervali – nuk do të përfshihet;
- segmenti - do të përshtatet;
– intervali – nuk do të përfshihet.

Procesi përfundon me sukses në 360 gradë.

Pra, qëllimi i përkufizimit është: .

Veprimet e kryera tërësisht ose pjesërisht janë të lehta për t'u kryer mendërisht.

Ndërtimi. Nëse në paragrafin e mëparshëm gjithçka funksionoi mirë me kënde të drejta dhe kënde prej 45 gradë, atëherë këtu do të duhet të ngatërroni pak. Le të gjejmë majat e petaleve. Gjatësia e tyre ishte e dukshme që në fillim të detyrës, gjithçka që mbetet është llogaritja e koordinatave këndore, të cilat janë të barabarta me pikat e mesit të segmenteve të domenit të përkufizimit:

Ju lutemi vini re se duhet të ketë hapësira të barabarta midis majave të petaleve, në këtë rast 120 gradë.

Këshillohet që të shënoni vizatimin në sektorë 60 gradë (të kufizuara vijat e gjelbra) dhe vizatoni drejtimet e kulmeve të petaleve (vijat gri). Shtë i përshtatshëm të shënoni vetë kulmet duke përdorur një busull - matni një distancë prej 2 njësive një herë dhe bëni tre pika në drejtimet e tërhequra prej 30, 150 dhe 270 gradë:

Gati. E kuptoj që kjo është një detyrë e mundimshme, por nëse doni të rregulloni gjithçka me mençuri, do t'ju duhet të kaloni kohë.

Le të formulojmë formulë e përgjithshme : një ekuacion i formës , është një numër natyror), përcakton një trëndafil me petale polare, gjatësia e petalit të të cilit është e barabartë me .

Për shembull, ekuacioni specifikon një katërfletë me një gjatësi petale prej 5 njësi, ekuacioni specifikon një trëndafil me 5 petale me një gjatësi petale prej 3 njësi. etj.

Një sistem i renditur i dy ose tre akseve të kryqëzuara pingul me njëri-tjetrin me një origjinë të përbashkët (origjina e koordinatave) dhe një njësi të përbashkët të gjatësisë quhet sistem koordinativ kartezian drejtkëndor .

Sistemi i përgjithshëm i koordinatave karteziane (sistemi i koordinatave afinale) mund të mos përfshijë domosdoshmërisht boshte pingul. Për nder Matematikan francez René Descartes (1596-1662) emërtoi pikërisht një sistem të tillë koordinatash në të cilin një njësi e përbashkët gjatësie matet në të gjitha boshtet dhe boshtet janë të drejta.

Sistemi i koordinatave karteziane drejtkëndëshe në një rrafsh ka dy akse dhe sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian në hapësirë - tre akse. Çdo pikë në një plan ose në hapësirë ​​përcaktohet nga një grup i renditur i koordinatave - numrave që korrespondojnë me njësinë e gjatësisë së sistemit të koordinatave.

Vini re se, siç vijon nga përkufizimi, ekziston një sistem koordinativ kartezian në një vijë të drejtë, domethënë në një dimension. Futja e koordinatave karteziane në një vijë është një nga mënyrat me të cilat çdo pikë në një drejtëzë lidhet me një numër real të mirëpërcaktuar, domethënë një koordinatë.

Metoda e koordinatave, e cila u ngrit në veprat e Rene Descartes, shënoi një ristrukturim revolucionar të të gjithë matematikës. U bë e mundur të interpretohej ekuacionet algjebrike(ose pabarazitë) në formën e imazheve gjeometrike (grafiket) dhe, anasjelltas, kërkoni një zgjidhje problemet gjeometrike duke përdorur formula analitike dhe sisteme ekuacionesh. Po, pabarazi z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy dhe ndodhet mbi këtë aeroplan nga 3 njësi.

Duke përdorur sistemin e koordinatave karteziane, anëtarësimi i një pike në një kurbë të caktuar korrespondon me faktin se numrat x të njëjtën shkallë ose plotësojnë disa ekuacione. Kështu, koordinatat e një pike në një rreth me qendër në një pikë të caktuar ( a; b) plotësoni ekuacionin (x - a)² + ( ose - b)² = R² .

Sistemi i koordinatave karteziane drejtkëndëshe në një rrafsh

Dy boshte pingul në një rrafsh me një origjinë të përbashkët dhe të njëjtën njësi shkallë karteziane sistem drejtkëndor koordinatat në aeroplan . Një prej këtyre boshteve quhet bosht kau, ose boshti x , tjetra - boshti Oy, ose boshti y . Këto boshte quhen edhe boshte koordinative. Le të shënojmë me Mx Dhe My përkatësisht projeksioni i një pike arbitrare M në bosht kau Dhe Oy. Si të merrni projeksione? Le të kalojmë nëpër pikën M kau. Kjo vijë e drejtë kryqëzon boshtin kau në pikën Mx. Le të kalojmë nëpër pikën M vijë e drejtë pingul me boshtin Oy. Kjo vijë e drejtë kryqëzon boshtin Oy në pikën My. Kjo tregohet në foton më poshtë.

x Dhe ose pikë M ne do t'i quajmë vlerat e segmenteve të drejtuara në përputhje me rrethanat OMx Dhe OMy. Vlerat e këtyre segmenteve të drejtuara llogariten në përputhje me rrethanat si x = x0 - 0 Dhe ose = ose0 - 0 . Koordinatat karteziane x Dhe ose pikë M abshissa të njëjtën shkallë ordinator . Fakti që pika M ka koordinata x Dhe ose, shënohet si më poshtë: M(x, ose) .

Boshtet e koordinatave e ndajnë rrafshin në katër kuadrant , numërimi i të cilave është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ai gjithashtu tregon renditjen e shenjave për koordinatat e pikave në varësi të vendndodhjes së tyre në një kuadrant të caktuar.

Përveç koordinatave drejtkëndore karteziane në një plan, shpesh merret parasysh edhe sistemi i koordinatave polar. Rreth metodës së kalimit nga një sistem koordinativ në tjetrin - në mësim sistemi i koordinatave polar .

Sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor në hapësirë

Koordinatat karteziane në hapësirë ​​futen në analogji të plotë me koordinatat karteziane në rrafsh.

Tre boshte reciproke pingul në hapësirë ​​( boshtet koordinative) me një fillim të përbashkët O dhe me të njëjtën njësi shkallë ato formojnë Sistemi i koordinatave drejtkëndore kartezian në hapësirë .

Njëri prej këtyre boshteve quhet bosht kau, ose boshti x , tjetra - boshti Oy, ose boshti y , boshti i tretë Oz, ose aks aplikojnë . Le Mx, My Mz- projeksionet e një pike arbitrare M hapësirë ​​në bosht kau , Oy Dhe Oz përkatësisht.

Le të kalojmë nëpër pikën M kaukau në pikën Mx. Le të kalojmë nëpër pikën M rrafshi pingul me boshtin Oy. Ky aeroplan kryqëzon boshtin Oy në pikën My. Le të kalojmë nëpër pikën M rrafshi pingul me boshtin Oz. Ky aeroplan kryqëzon boshtin Oz në pikën Mz.

karteziane koordinatat drejtkëndore x , ose Dhe z pikë M ne do t'i quajmë vlerat e segmenteve të drejtuara në përputhje me rrethanat OMx, OMy të njëjtën shkallë OMz. Vlerat e këtyre segmenteve të drejtuara llogariten në përputhje me rrethanat si x = x0 - 0 , ose = ose0 - 0 Dhe z = z0 - 0 .

Koordinatat karteziane x , ose Dhe z pikë M thirren në përputhje me rrethanat abshissa , ordinator të njëjtën shkallë aplikojnë .

Boshtet e koordinatave të marra në çifte janë të vendosura në plane koordinative xOy , yOz Dhe zOx .

Probleme rreth pikave në një sistem koordinativ kartezian

Shembulli 1.

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Gjeni koordinatat e projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e abshisave.

Zgjidhje. Siç vijon nga pjesa teorike e këtij mësimi, projeksioni i një pike mbi boshtin e abshisave ndodhet në vetë boshtin e abshisave, domethënë në boshtin kau, dhe për këtë arsye ka një abshisë të barabartë me abshisën e vetë pikës, dhe një ordinatë (koordinatë në bosht Oy, të cilin boshti x e pret në pikën 0), e barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të këtyre pikave në boshtin x:

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësx(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Shembulli 2. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Gjeni koordinatat e projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e ordinatave.

Zgjidhje. Siç del nga pjesa teorike e këtij mësimi, projeksioni i një pike në boshtin e ordinatave ndodhet në vetë boshtin e ordinatave, domethënë në boshtin Oy, dhe për këtë arsye ka një ordinatë të barabartë me ordinatën e vetë pikës, dhe një abshisë (koordinatë në bosht kau, të cilën boshti i ordinatës e pret në pikën 0), e cila është e barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të këtyre pikave në boshtin e ordinatave:

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësy(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Shembulli 3. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

kau .

kau kau kau, do të ketë të njëjtën abshisë si pikë e dhënë, dhe ordinata e barabartë me vlerë absolute ordinata e një pike të caktuar dhe shenja e kundërt e saj. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin kau :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Zgjidhini vetë problemet duke përdorur sistemin e koordinatave karteziane dhe më pas shikoni zgjidhjet

Shembulli 4. Përcaktoni se në cilat kuadrante (çerekët, vizatimi me kuadrantë - në fund të paragrafit "Sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor në një plan") mund të vendoset një pikë M(x; ose) , Nëse

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − ose = 0 ;

4) x + ose = 0 ;

5) x + ose > 0 ;

6) x + ose < 0 ;

7) x − ose > 0 ;

8) x − ose < 0 .

Shembulli 5. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin Oy .

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemet së bashku

Shembulli 6. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin Oy .

Zgjidhje. Rrotulloni 180 gradë rreth boshtit Oy segmenti i drejtimit nga boshti Oy deri në këtë pikë. Në figurën, ku tregohen kuadrantet e rrafshit, shohim se pika simetrike me atë të dhënë në lidhje me boshtin Oy, do të ketë të njëjtën ordinatë me pikën e dhënë, dhe një abshisë të barabartë në vlerë absolute me abshisën e pikës së dhënë dhe të kundërt në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Shembulli 7. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me origjinën.

Zgjidhje. Ne e rrotullojmë segmentin e drejtuar duke shkuar nga origjina në pikën e dhënë me 180 gradë rreth origjinës. Në figurë, ku tregohen kuadrantet e rrafshit, shohim se një pikë simetrike me pikën e dhënë në lidhje me origjinën e koordinatave do të ketë një abshisë dhe ordinatë të barabartë në vlerë absolute me abshisën dhe ordinatën e pikës së caktuar, por përballë në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me këto pika në lidhje me origjinën:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Shembulli 8.

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Gjeni koordinatat e projeksioneve të këtyre pikave:

1) në aeroplan Oksi ;

2) në aeroplan Oxz ;

3) në aeroplan Oyz ;

4) në boshtin e abshisë;

5) në boshtin e ordinatave;

6) në boshtin aplikativ.

1) Projektimi i një pike në një plan Oksi ndodhet në vetë këtë rrafsh, dhe për këtë arsye ka një abshisë dhe ordinatë të barabartë me abshisë dhe ordinatë të një pike të caktuar, dhe një aplikim të barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave Oksi :

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësxy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projektimi i një pike në një plan Oxz ndodhet në vetë këtë rrafsh, dhe për këtë arsye ka një abshisë dhe aplikativ të barabartë me abshisën dhe aplikimin e një pike të caktuar, dhe një ordinatë të barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave Oxz :

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Projeksioni i një pike në një plan Oyz ndodhet në vetë këtë rrafsh, dhe për këtë arsye ka një ordinatë dhe një aplikim të barabartë me ordinatën dhe aplikativin e një pike të caktuar dhe një abshisë të barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave Oyz :

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësyz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Siç del nga pjesa teorike e këtij mësimi, projeksioni i një pike në boshtin e abshisave ndodhet në vetë boshtin e abshisave, domethënë në boshtin kau, dhe për këtë arsye ka një abshisë të barabartë me abshisën e vetë pikës, dhe ordinata dhe aplikimi i projeksionit janë të barabarta me zero (pasi boshti i ordinatës dhe i zbatueshëm e kryqëzojnë abshisën në pikën 0). Ne marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e abshisë:

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësx(4;0;0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Projeksioni i një pike mbi boshtin e ordinatave ndodhet në vetë boshtin e ordinatave, domethënë në boshtin Oy, dhe për këtë arsye ka një ordinatë të barabartë me ordinatën e vetë pikës, dhe abshisa dhe aplikimi i projeksionit janë të barabarta me zero (pasi boshti i abshisës dhe i aplikantit kryqëzojnë boshtin e ordinatave në pikën 0). Ne marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e ordinatave:

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësy(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) Projeksioni i një pike në boshtin aplikativ ndodhet në vetë boshtin e aplikuar, domethënë boshtin Oz, dhe për këtë arsye ka një aplikacion të barabartë me aplikuesin e vetë pikës, dhe abshisa dhe ordinata e projeksionit janë të barabarta me zero (pasi boshtet e abshisave dhe të ordinatave ndërpresin boshtin aplikativ në pikën 0). Ne marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e aplikuar:

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikësz (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Shembulli 9. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në hapësirë

Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me:

1) aeroplan Oksi ;

2) aeroplanë Oxz ;

3) aeroplanë Oyz ;

4) sëpatat e abshisave;

5) akset e ordinatave;

6) aplikoni akset;

7) origjina e koordinatave.

1) "Lëvizni" pikën në anën tjetër të boshtit Oksi Oksi, do të ketë një abshisë dhe ordinatë të barabartë me abshisën dhe ordinata të një pike të caktuar, dhe një aplikim të barabartë në madhësi me aplikatin e një pike të caktuar, por të kundërt në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshin Oksi :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Lëvizni" pikën në anën tjetër të boshtit Oxz në të njëjtën distancë. Nga figura që shfaq hapësirën e koordinatave, shohim se një pikë simetrike me një të dhënë në lidhje me boshtin Oxz, do të ketë një abshisë dhe do të zbatohet e barabartë me abshisën dhe zbatuesin e një pike të caktuar, dhe një ordinatë të barabartë në madhësi me ordinatën e një pike të caktuar, por e kundërt në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshin Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Lëvizni" pikën në anën tjetër të boshtit Oyz në të njëjtën distancë. Nga figura që shfaq hapësirën e koordinatave, shohim se një pikë simetrike me një të dhënë në lidhje me boshtin Oyz, do të ketë një ordinate dhe një aplikat të barabartë me ordinatën dhe një aplikat të një pike të caktuar, dhe një abshisë të barabartë në vlerë me abshisën e një pike të caktuar, por në shenjë të kundërt. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshin Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Për analogji me pika simetrike në rrafshin dhe pikat në hapësirë ​​simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshet, vërejmë se në rastin e simetrisë në lidhje me ndonjë bosht të sistemit të koordinatave karteziane në hapësirë, koordinata në boshtin në lidhje me të cilin është dhënë simetria do të ruajnë shenjën e saj, dhe koordinatat në dy boshtet e tjera do të jenë të njëjta në terma absolutë e njëjta vlerë me koordinatat e një pike të caktuar, por në shenjë të kundërta.

4) Abshisa do të ruajë shenjën e saj, por ordinata dhe aplikanti do të ndryshojnë shenjat. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me boshtin e abshisës:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata do të ruajë shenjën e saj, por abshisa dhe aplikacioni do të ndryshojnë shenja. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me boshtin e ordinatave:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikacioni do të ruajë shenjën e tij, por abshisa dhe ordinata do të ndryshojnë shenja. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me boshtin e aplikuar:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Për analogji me simetrinë në rastin e pikave në një rrafsh, në rastin e simetrisë rreth origjinës së koordinatave, të gjitha koordinatat e një pike simetrike me një të dhënë do të jenë të barabarta në vlerë absolute me koordinatat e një pike të caktuar, por në shenjë të kundërt. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me origjinën.

Një sistem koordinativ drejtkëndor në një rrafsh formohet nga dy boshte koordinative reciprokisht pingul X'X dhe Y'Y. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikën O, e cila quhet origjina, zgjidhet një drejtim pozitiv në secilin aks. në drejtim të kundërt të akrepave të orës me 90°, drejtimi i tij pozitiv përkon me drejtimin pozitiv të boshtit Y'Y. Katër këndet (I, II, III, IV) të formuara nga boshtet koordinative X'X dhe Y'Y quhen kënde koordinative (shih Fig. 1).

Pozicioni i pikës A në rrafsh përcaktohet nga dy koordinata x dhe y. Koordinata x është e barabartë me gjatësinë e segmentit OB, koordinata y është e barabartë me gjatësinë e segmentit OC në njësitë e zgjedhura të matjes. Segmentet OB dhe OC përcaktohen me vija të tërhequra nga pika A paralele me boshtet Y'Y dhe X'X, respektivisht. Koordinata x quhet abshisa e pikës A, koordinata y quhet ordinata e pikës A. Shkruhet kështu: A(x, y).

Nëse pika A shtrihet në kënd koordinativ I, pastaj pika A ka një abshisë dhe ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ II, atëherë pika A ka një abshisë negative dhe një ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin e koordinatave III, atëherë pika A ka një abshisë dhe ordinatë negative. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ IV, atëherë pika A ka një abshisë pozitive dhe një ordinatë negative.

Sistemi i koordinatave drejtkëndore në hapësirë formohet nga tre akse koordinative pingule të ndërsjella OX, OY dhe OZ. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikën O, e cila quhet origjina, në secilin aks zgjidhet një drejtim pozitiv, i treguar me shigjeta dhe një njësi matëse për segmentet në akset. Njësitë matëse janë të njëjta për të gjitha akset. OX - boshti i abshisës, OY - boshti i ordinatave, OZ - boshti aplikativ. Drejtimi pozitiv i akseve zgjidhet ashtu që kur boshti OX rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës me 90°, drejtimi i tij pozitiv përkon me drejtimin pozitiv të boshtit OY, nëse ky rrotullim vërehet nga drejtimi pozitiv i boshtit OZ. Një sistem i tillë koordinativ quhet i djathtë. Nëse gishtin e madh dora e djathtë marrim drejtimin X si drejtim X, atë indeks si drejtim Y dhe atë të mesëm si drejtim Z, atëherë formohet një sistem koordinativ i djathtë. Gishtat e ngjashëm të dorës së majtë formojnë sistemin e koordinatave të majta. Është e pamundur të kombinohen sistemet e koordinatave të djathta dhe të majta në mënyrë që boshtet përkatëse të përkojnë (shih Fig. 2).

Pozicioni i pikës A në hapësirë ​​përcaktohet nga tre koordinata x, y dhe z. Koordinata x është e barabartë me gjatësinë e segmentit OB, koordinata y është gjatësia e segmentit OC, koordinata z është gjatësia e segmentit OD në njësitë e zgjedhura të matjes. Segmentet OB, OC dhe OD përcaktohen me rrafshe të tërhequra nga pika A paralelisht me rrafshet YOZ, XOZ dhe XOY, respektivisht. Koordinata x quhet abshisa e pikës A, koordinata y quhet ordinata e pikës A, koordinata z quhet zbatues i pikës A. Shkruhet kështu: A(a, b, c).

Orty

Një sistem koordinativ drejtkëndor (i çdo dimensioni) përshkruhet gjithashtu nga një grup vektorësh njësi të rreshtuar me boshtet e koordinatave. Numri i vektorëve njësi është i barabartë me dimensionin e sistemit koordinativ dhe të gjithë janë pingul me njëri-tjetrin.

Në rastin tredimensional, vektorë të tillë njësi zakonisht shënohen i j k y e x e y e z. Për më tepër, në rast sistemi i duhur koordinatat janë të vlefshme formulat e mëposhtme me prodhimin kryq të vektorëve:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Histori

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe u prezantua për herë të parë nga Rene Descartes në veprën e tij "Diskursi mbi metodën" në 1637. Prandaj, sistemi i koordinatave drejtkëndëshe quhet gjithashtu - Sistemi i koordinatave karteziane. Metoda koordinative e përshkrimit të objekteve gjeometrike hodhi themelet gjeometria analitike. Pierre Fermat gjithashtu kontribuoi në zhvillimin e metodës së koordinatave, por veprat e tij u botuan për herë të parë pas vdekjes së tij. Dekarti dhe Fermat përdorën metodën e koordinatave vetëm në aeroplan.

Metoda e koordinimit për hapësirë ​​tredimensionale u përdor për herë të parë nga Leonhard Euler në shekullin e 18-të.

Shihni gjithashtu

Lidhjet

Fondacioni Wikimedia.

• 2010.
• Sistemi i koordinatave karteziane

shkallë karteziane

Shihni se çfarë janë "koordinatat karteziane" në fjalorë të tjerë: KOORDINATA KARTEZINALE - (Sistemi i koordinatave karteziane) një sistem koordinativ në një rrafsh ose në hapësirë, zakonisht me boshte reciprokisht pingul dhe shkallë të barabarta përgjatë boshteve drejtkëndore; Me emrin R. Descartes...

Fjalori i madh enciklopedik Koordinatat karteziane - Një sistem koordinativ i përbërë nga dy boshte pingul. Pozicioni i një pike në një sistem të tillë formohet duke përdorur dy numra që përcaktojnë distancën nga qendra koordinative përgjatë secilit prej akseve.

Fjalori i madh enciklopedik Tema informative...... Udhëzues teknik i përkthyesit

Fjalori i madh enciklopedik- (Sistemi i koordinatave karteziane), një sistem koordinativ në një rrafsh ose në hapësirë, zakonisht me boshte reciproke pingule dhe shkallë të barabarta përgjatë boshteve drejtkëndore; Me emrin R. Descartes... Fjalor Enciklopedik

Fjalori i madh enciklopedik- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: angl. Koordinatat karteziane vok. kartesische Koordinaten, f…

Shihni se çfarë janë "koordinatat karteziane" në fjalorë të tjerë: Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas - Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. koordinatat karteziane; koordinatat e rrjetit vok. kartesische Koordinaten, f rus. Koordinata karteziane, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas

Shihni se çfarë janë "koordinatat karteziane" në fjalorë të tjerë:- një metodë për përcaktimin e pozicionit të pikave në një rrafsh nga distancat e tyre në dy boshte të drejtë pingul fikse. Ky koncept është parë tashmë në Arkimedi dhe Apologjia e Pergës më shumë se dy mijë vjet më parë dhe madje edhe tek egjiptianët e lashtë. Per here te pare kjo...... Enciklopedia matematikore

Shihni se çfarë janë "koordinatat karteziane" në fjalorë të tjerë:- (Sistemi i koordinatave Karteziane), një sistem koordinativ në një rrafsh ose në hapësirë, zakonisht me boshte reciproke pingule dhe shkallë të barabarta përgjatë boshteve drejtkëndëshe Emërtuar sipas R. Dekartit. Shkenca natyrore. Fjalor Enciklopedik

Shihni se çfarë janë "koordinatat karteziane" në fjalorë të tjerë:- Sistemi për pozicionimin e çdo pike që gjendet në kocka në lidhje me dy boshte që kryqëzohen në kënde të drejta. I zhvilluar nga René Descartes, ky sistem u bë baza për metoda standarde paraqitje grafike të dhëna. Vija horizontale… … fjalor në psikologji

Koordinatat- Koordinatat. Në aeroplan (majtas) dhe në hapësirë ​​(djathtas). KOORDINATA (nga latinishtja co together dhe ordinatus ordered), numra që përcaktojnë pozicionin e një pike në një drejtëz, rrafsh, sipërfaqe, në hapësirë. Koordinatat janë distanca... Fjalor Enciklopedik i Ilustruar