Në mënyrë që një rrafsh i vetëm të tërhiqet nëpër çdo tre pikë në hapësirë, është e nevojshme që këto pika të mos shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.

Konsideroni pikat M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) në përgjithësi Sistemi kartezian koordinatat

Në mënyrë që një pikë arbitrare M(x, y, z) të shtrihet në të njëjtin rrafsh me pikat M 1, M 2, M 3, është e nevojshme që vektorët të jenë koplanarë.

(
) = 0

Kështu,

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika:

Ekuacioni i një rrafshi të dhënë dy pika dhe një vektor kolinear me rrafshin.

Le të jepen pikat M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) dhe vektori
.

Le të krijojmë një ekuacion për një plan që kalon nëpër këto pika M 1 dhe M 2 dhe pikë arbitrare M(x, y, z) paralel me vektorin .

Vektorët
dhe vektor
duhet të jetë koplanar, d.m.th.

(
) = 0

Ekuacioni i planit:

Ekuacioni i një rrafshi duke përdorur një pikë dhe dy vektorë,

kolinear me aeroplanin.

Le të jepen dy vektorë
Dhe
, plane kolineare. Pastaj për një pikë arbitrare M(x, y, z) që i përket rrafshit, vektorët
duhet të jetë koplanar.

Ekuacioni i planit:

Ekuacioni i një rrafshi për pikë dhe vektori normal .

Teorema. Nëse në hapësirë ​​është dhënë një pikë M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), pastaj ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pikën M 0 pingul me vektorin normal (A, B, C) ka formën:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dëshmi. Për një pikë arbitrare M(x, y, z) që i përket rrafshit, ne hartojmë një vektor. Sepse vektor është vektori normal, atëherë ai është pingul me rrafshin, dhe, për rrjedhojë, pingul me vektorin
. Pastaj produkti skalar

= 0

Kështu, marrim ekuacionin e aeroplanit

Teorema është vërtetuar.

Ekuacioni i një rrafshi në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm Ax + Bi + Cz + D = 0 i ndajmë të dyja anët me (-D)

,

duke zëvendësuar
, marrim ekuacionin e rrafshit në segmente:

Numrat a, b, c janë pikat e kryqëzimit të rrafshit me boshtet x, y, z, përkatësisht.

Ekuacioni i një rrafshi në formë vektori.

Ku

- vektori i rrezes së pikës aktuale M(x, y, z),

Një vektor njësi që ka drejtimin e një pingule të rënë në një plan nga origjina.

,  dhe  janë këndet e formuara nga ky vektor me boshtet x, y, z.

p është gjatësia e kësaj pingule.

Në koordinata, ky ekuacion duket si ky:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distanca nga një pikë në një aeroplan.

Distanca nga një pikë arbitrare M 0 (x 0, y 0, z 0) në rrafshin Ax+By+Cz+D=0 është:

Shembull. Gjeni ekuacionin e rrafshit, duke ditur se pika P(4; -3; 12) është baza e pingulit të rënë nga origjina në këtë rrafsh.

Pra A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, ne përdorim formulën:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon nga dy pika P(2; 0; -1) dhe

Q(1; -1; 3) pingul me rrafshin 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektori normal në rrafshin 3x + 2y – z + 5 = 0
paralel me rrafshin e dëshiruar.

Ne marrim:

Shembull. Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikat A(2, -1, 4) dhe

B(3, 2, -1) pingul me rrafshin X + në + 2z – 3 = 0.

Ekuacioni i kërkuar i rrafshit ka formën: A x+B y+C z+ D = 0, vektor normal për këtë plan (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) i përket aeroplanit. Rrafshi që na është dhënë, pingul me atë të dëshiruar, ka një vektor normal (1, 1, 2). Sepse Pikat A dhe B u përkasin të dy rrafsheve, dhe planet janë reciprokisht pingul, atëherë

Pra, vektori normal (11, -7, -2). Sepse pika A i përket rrafshit të dëshiruar, atëherë koordinatat e saj duhet të plotësojnë ekuacionin e këtij rrafshi, d.m.th. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Në total, marrim ekuacionin e aeroplanit: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e rrafshit, duke ditur se pika P(4, -3, 12) është baza e pingulit të rënë nga origjina në këtë rrafsh.

Gjetja e koordinatave të vektorit normal
= (4, -3, 12). Ekuacioni i kërkuar i rrafshit ka formën: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Për të gjetur koeficientin D, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës P në ekuacionin:

16 + 9 + 144 + D = 0

Në total, marrim ekuacionin e kërkuar: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Shembull. Janë dhënë koordinatat e kulmeve të piramidës: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Gjeni gjatësinë e skajit A 1 A 2.

Gjeni këndin midis skajeve A 1 A 2 dhe A 1 A 4.

Gjeni këndin midis skajit A 1 A 4 dhe faqes A 1 A 2 A 3.

Së pari gjejmë vektorin normal të fytyrës A 1 A 2 A 3 si prodhim i kryqëzuar i vektorëve
Dhe
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Le të gjejmë këndin ndërmjet vektorit normal dhe vektorit
.

-4 – 4 = -8.

Këndi i dëshiruar  ndërmjet vektorit dhe rrafshit do të jetë i barabartë me  = 90 0 - .

Gjeni sipërfaqen e fytyrës A 1 A 2 A 3.

Gjeni vëllimin e piramidës.

Gjeni ekuacionin e rrafshit A 1 A 2 A 3.

Le të përdorim formulën për ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kur përdorni versionin e kompjuterit " Kursi i lartë i matematikës” ju mund të ekzekutoni një program që do të zgjidhë shembullin e mësipërm për çdo koordinatë të kulmeve të piramidës.

Për të nisur programin, klikoni dy herë në ikonën:

Në dritaren e programit që hapet, vendosni koordinatat e kulmeve të piramidës dhe shtypni Enter. Në këtë mënyrë, të gjitha pikat e vendimit mund të merren një nga një.

Shënim: Për të ekzekutuar programin, programi Maple ( Waterloo Maple Inc.) i çdo versioni, duke filluar me MapleV Release 4, duhet të instalohet në kompjuterin tuaj.

Në këtë mësim do të shikojmë se si të përdorim përcaktorin për të krijuar ekuacioni i planit. Nëse nuk e dini se çfarë është një përcaktues, shkoni te pjesa e parë e mësimit - "Matricat dhe përcaktuesit". Përndryshe, rrezikoni të mos kuptoni asgjë në materialin e sotëm.

Ekuacioni i një rrafshi që përdor tre pika

Pse na duhet fare një ekuacion i rrafshët? Është e thjeshtë: duke e ditur atë, ne mund të llogarisim lehtësisht këndet, distancat dhe gërmadhat e tjera në problemin C2. Në përgjithësi, nuk mund të bëni pa këtë ekuacion. Prandaj, ne formulojmë problemin:

Detyrë. Tre pika janë dhënë në hapësirë ​​që nuk shtrihen në të njëjtën linjë. Koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Duhet të krijoni një ekuacion për aeroplanin që kalon nëpër këto tre pika. Për më tepër, ekuacioni duhet të duket si ky:

Ax + By + Cz + D = 0

ku numrat A, B, C dhe D janë koeficientët që, në fakt, duhet të gjenden.

Epo, si të merret ekuacioni i një rrafshi nëse dihen vetëm koordinatat e pikave? Mënyra më e lehtë është të zëvendësoni koordinatat në ekuacionin Ax + By + Cz + D = 0. Ju merrni një sistem prej tre ekuacionesh që mund të zgjidhen lehtësisht.

Shumë studentë e shohin këtë zgjidhje jashtëzakonisht të lodhshme dhe jo të besueshme. Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë të vitit të kaluar tregoi se gjasat për të bërë një gabim llogaritës janë vërtet të larta.

Prandaj, mësuesit më të avancuar filluan të kërkonin zgjidhje më të thjeshta dhe më elegante. Dhe ata e gjetën atë! Vërtetë, pritja e marrë më tepër i referohet matematikë e lartë. Personalisht, më është dashur të gërmoj në të gjithë Lista federale tekstet shkollore për t'u siguruar që ne kemi të drejtë ta përdorim këtë teknikë pa asnjë justifikim apo provë.

Ekuacioni i një rrafshi përmes një përcaktori

Mjaft me tekstet e këngës, le t'i drejtohemi punës. Për të filluar, një teoremë rreth asaj se si përcaktuesi i një matrice dhe ekuacioni i planit janë të lidhura.

Teorema. Le të jepen koordinatat e tri pikave nëpër të cilat duhet të vizatohet rrafshi: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Atëherë ekuacioni i këtij rrafshi mund të shkruhet përmes përcaktorit:

Si shembull, le të përpiqemi të gjejmë një palë planesh që ndodhin në të vërtetë në problemet C2. Shikoni sa shpejt llogaritet gjithçka:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Ne hartojmë një përcaktor dhe e barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Siç mund ta shihni, gjatë llogaritjes së numrit d, "krehja" pak ekuacionin në mënyrë që variablat x, y dhe z hynë në sekuencë e saktë. Kjo është ajo! Ekuacioni i aeroplanit është gati!

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Ne zëvendësojmë menjëherë koordinatat e pikave në përcaktorin:

Zgjerojmë përsëri përcaktorin:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Pra, ekuacioni i aeroplanit është marrë përsëri! Përsëri, në hapin e fundit na u desh të ndryshonim shenjat në të për të marrë një formulë më "të bukur". Nuk është aspak e nevojshme ta bëni këtë në këtë zgjidhje, por megjithatë rekomandohet - të thjeshtoni zgjidhjen e mëtejshme të problemit.

Siç mund ta shihni, kompozimi i ekuacionit të një aeroplani tani është shumë më i lehtë. Ne i zëvendësojmë pikat në matricë, llogarisim përcaktorin - dhe kjo është ajo, ekuacioni është gati.

Kjo mund të përfundojë mësimin. Megjithatë, shumë studentë harrojnë vazhdimisht atë që është brenda përcaktorit. Për shembull, cila rresht përmban x 2 ose x 3, dhe cila rresht përmban vetëm x. Për ta hequr këtë nga rruga, le të shohim se nga vjen secili numër.

Nga vjen formula me përcaktorin?

Pra, le të kuptojmë se nga vjen një ekuacion kaq i ashpër me një përcaktues. Kjo do t'ju ndihmojë ta mbani mend atë dhe ta zbatoni me sukses.

Të gjithë rrafshet që paraqiten në problemin C2 përcaktohen nga tre pika. Këto pika shënohen gjithmonë në vizatim, ose madje tregohen drejtpërdrejt në tekstin e problemit. Në çdo rast, për të krijuar një ekuacion do të duhet të shkruajmë koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Le të shqyrtojmë një pikë tjetër në aeroplanin tonë me koordinata arbitrare:

T = (x, y, z)

Merrni çdo pikë nga tre të parat (për shembull, pika M) dhe vizatoni vektorë prej saj në secilën nga tre pikat e mbetura. Ne marrim tre vektorë:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Tani le të kompozojmë nga këta vektorë matricë katrore dhe barazoni përcaktorin e tij me zero. Koordinatat e vektorëve do të bëhen rreshta të matricës - dhe do të marrim vetë përcaktuesin që tregohet në teoremë:

Kjo formulë do të thotë se vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorët MN, MK dhe MT, e barabartë me zero. Prandaj, të tre vektorët shtrihen në të njëjtin plan. Në veçanti, një pikë arbitrare T = (x, y, z) është pikërisht ajo që ne po kërkonim.

Zëvendësimi i pikave dhe vijave të një përcaktori

Ka disa kualifikues veti të jashtëzakonshme, të cilat thjeshtohen më tej zgjidhja e problemit C2. Për shembull, për ne nuk ka rëndësi se nga cila pikë i tërheqim vektorët. Prandaj, përcaktuesit e mëposhtëm japin të njëjtin ekuacion të rrafshët si ai i mësipërm:

Ju gjithashtu mund të ndërroni rreshtat e përcaktorit. Ekuacioni do të mbetet i pandryshuar. Për shembull, shumë njerëzve u pëlqen të shkruajnë një rresht me koordinatat e pikës T = (x; y; z) në krye. Ju lutemi, nëse është e përshtatshme për ju:

Disa njerëz janë të hutuar nga fakti se njëra prej rreshtave përmban variabla x, y dhe z, të cilat nuk zhduken kur zëvendësojnë pikat. Por ato nuk duhet të zhduken! Duke zëvendësuar numrat në përcaktor, duhet të merrni këtë ndërtim:

Më pas përcaktori zgjerohet sipas diagramit të dhënë në fillim të mësimit dhe marrim ekuacioni standard aeroplan:

Ax + By + Cz + D = 0

Hidhini një sy një shembulli. Është i fundit në mësimin e sotëm. Do të ndërroj qëllimisht linjat për t'u siguruar që përgjigja do të japë të njëjtin ekuacion të aeroplanit.

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Pra, ne konsiderojmë 4 pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Së pari, le të krijojmë një përcaktues standard dhe ta barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kjo është ajo, ne morëm përgjigjen: x + y + z − 2 = 0.

Tani le të riorganizojmë disa rreshta në përcaktor dhe të shohim se çfarë ndodh. Për shembull, le të shkruajmë një rresht me variablat x, y, z jo në fund, por në krye:

Ne zgjerojmë përsëri përcaktuesin që rezulton:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ne morëm saktësisht të njëjtin ekuacion të planit: x + y + z − 2 = 0. Kjo do të thotë se në të vërtetë nuk varet nga rendi i rreshtave. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.

Pra, jemi të bindur se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga sekuenca e vijave. Mund të bëjmë llogaritje të ngjashme dhe të vërtetojmë se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga pika, koordinatat e së cilës i zbresim nga pikat e tjera.

Në problemin e konsideruar më sipër, ne përdorëm pikën B 1 = (1, 0, 1), por ishte mjaft e mundur të merrej C = (1, 1, 0) ose D 1 = (0, 1, 1). Në përgjithësi, çdo pikë me koordinata të njohura që shtrihet në planin e dëshiruar.

Supozoni se duhet të gjejmë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën vijë. Duke treguar vektorët e rrezes së tyre me dhe vektorin e rrezes aktuale me , ne mund të marrim lehtësisht ekuacionin e kërkuar në forma vektoriale. Në fakt, vektorët duhet të jenë koplanarë (të gjithë shtrihen në rrafshin e dëshiruar). Prandaj, produkt me pika vektoriale nga këta vektorë duhet të jetë i barabartë me zero:

Ky është ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna, në formë vektori.

Duke kaluar te koordinatat, marrim ekuacionin në koordinata:

Nëse tre pika të dhëna shtrihen në të njëjtën vijë, atëherë vektorët do të ishin kolinearë. Prandaj, elementët përkatës të të dyve rreshtat e fundit i përcaktorit në ekuacionin (18) do të ishte proporcional dhe përcaktori do të ishte identikisht i barabartë me zero. Rrjedhimisht, ekuacioni (18) do të bëhej identik për çdo vlerë të x, y dhe z. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se nëpër secilën pikë të hapësirës kalon një rrafsh në të cilin shtrihen tre pikat e dhëna.

Vërejtje 1. E njëjta problem mund të zgjidhet pa përdorur vektorë.

Duke shënuar koordinatat e tre pikave të dhëna, përkatësisht, do të shkruajmë ekuacionin e çdo rrafshi që kalon në pikën e parë:

Për të marrë ekuacionin e planit të dëshiruar, është e nevojshme të kërkohet që ekuacioni (17) të plotësohet nga koordinatat e dy pikave të tjera:

Nga ekuacionet (19), është e nevojshme të përcaktohet raporti i dy koeficientëve me të tretin dhe të futen vlerat e gjetura në ekuacionin (17).

Shembulli 1. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika.

Ekuacioni i rrafshit që kalon në të parën nga këto pika do të jetë:

Kushtet që avioni (17) të kalojë nëpër dy pika të tjera dhe pikën e parë janë:

Duke shtuar ekuacionin e dytë me të parin, gjejmë:

Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë, marrim:

Duke zëvendësuar në ekuacionin (17) në vend të A, B, C, përkatësisht, 1, 5, -4 (numrat proporcionalë me ta), marrim:

Shembulli 2. Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikat (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ekuacioni i çdo rrafshi që kalon nëpër pikën (0, 0, 0) do të jetë]

Kushtet për kalimin e këtij plani nëpër pikat (1, 1, 1) dhe (2, 2, 2) janë:

Duke e zvogëluar ekuacionin e dytë me 2, shohim se për të përcaktuar dy të panjohura, ekziston një ekuacion me

Nga këtu marrim. Tani duke zëvendësuar vlerën e aeroplanit në ekuacion, gjejmë:

Ky është ekuacioni i planit të dëshiruar; varet nga arbitrariteti

sasitë B, C (domethënë, nga relacioni d.m.th. ka një numër të pafund planesh që kalojnë nëpër tre pika të dhëna (tre pika të dhëna shtrihen në të njëjtën drejtëz).

Vërejtje 2. Problemi i tërheqjes së një plani nëpër tri pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz zgjidhet lehtësisht në pamje e përgjithshme, nëse përdorim përcaktorë. Në të vërtetë, meqenëse në ekuacionet (17) dhe (19) koeficientët A, B, C nuk mund të jenë njëkohësisht të barabartë me zero, atëherë, duke i konsideruar këto ekuacione si sistem homogjen me tre të panjohura A, B, C, shkruani të nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme ekzistenca e një zgjidhjeje për këtë sistem përveç zeros (Pjesa 1, Kapitulli VI, § 6):

Duke e zgjeruar këtë përcaktues në elementët e rreshtit të parë, marrim një ekuacion të shkallës së parë në lidhje me koordinatat aktuale, të cilat do të plotësohen, në veçanti, nga koordinatat e tre pikave të dhëna.

Ju gjithashtu mund ta verifikoni këtë të fundit drejtpërdrejt duke zëvendësuar koordinatat e cilësdo prej këtyre pikave në vend të . Në anën e majtë marrim një përcaktor në të cilin ose elementet e rreshtit të parë janë zero ose ka dy rreshta identikë. Kështu, ekuacioni i ndërtuar paraqet një rrafsh që kalon nëpër tre pikat e dhëna.

Ekuacioni i një aeroplani. Si të shkruhet një ekuacion i një rrafshi?
Pozicioni i ndërsjellë aeroplanët. Detyrat

Gjeometria hapësinore nuk është shumë më e ndërlikuar se gjeometria "e sheshtë", dhe fluturimet tona në hapësirë ​​fillojnë me këtë artikull. Për të zotëruar temën, duhet të keni një kuptim të mirë të vektorët, përveç kësaj, këshillohet të njiheni me gjeometrinë e aeroplanit - do të ketë shumë ngjashmëri, shumë analogji, kështu që informacioni do të tretet shumë më mirë. Në një seri mësimesh të mia, bota 2D hapet me një artikull Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan. Por tani Batman ka lënë ekranin e sheshtë të televizorit dhe po niset nga Kozmodromi Baikonur.

Le të fillojmë me vizatimet dhe simbolet. Skematikisht, rrafshi mund të vizatohet në formën e një paralelogrami, i cili krijon përshtypjen e hapësirës:

Aeroplani është i pafund, por ne kemi mundësinë të përshkruajmë vetëm një pjesë të tij. Në praktikë, përveç paralelogramit, vizatohet edhe një ovale apo edhe një re. Nuk më intereson arsye teknikeështë më e përshtatshme të përshkruhet avioni pikërisht në këtë mënyrë dhe pikërisht në këtë pozicion. Avionë të vërtetë në të cilët do të shqyrtojmë shembuj praktik, mund të pozicionohet në çdo mënyrë - merrni me mend vizatimin në duar dhe rrotullojeni në hapësirë, duke i dhënë aeroplanit çdo prirje, çdo kënd.

Emërtimet: avionët zakonisht shënohen me shkronja të vogla greke, me sa duket për të mos i ngatërruar me vijë e drejtë në një aeroplan ose me vijë e drejtë në hapësirë. Jam mësuar të përdor shkronjën. Në vizatim është shkronja "sigma", dhe aspak një vrimë. Megjithëse, avioni i vrimës është sigurisht mjaft qesharak.

Në disa raste, është e përshtatshme të përdoren të njëjtat simbole për të përcaktuar aeroplanët. shkronjat greke me nënshkrime, për shembull, .

Është e qartë se avioni përcaktohet në mënyrë unike nga tre pika të ndryshme që nuk shtrihen në të njëjtën linjë. Prandaj, përcaktimet me tre shkronja të avionëve janë mjaft të njohura - nga pikat që u përkasin, për shembull, etj. Shpesh shkronjat janë të mbyllura kllapa: , për të mos ngatërruar rrafshin me një figurë tjetër gjeometrike.

Për lexuesit me përvojë do të jap menyja e aksesit të shpejtë:

• Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe dy vektorë?
• Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe një vektor normal?

dhe ne nuk do të lëngojmë pritjet e gjata:

Ekuacioni i planit të përgjithshëm

Ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit ka formën , ku koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Një sërë llogaritjesh teorike dhe probleme praktike të vlefshme si për bazën e zakonshme ortonormale ashtu edhe për baza afine hapësirë ​​(nëse vaji është vaj, kthehuni në mësim Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve). Për thjeshtësi, ne do të supozojmë se të gjitha ngjarjet ndodhin në një bazë ortonormale dhe një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian.

Tani le të praktikojmë pak imagjinatën tonë hapësinore. Është në rregull nëse e juaja është e keqe, tani do ta zhvillojmë pak. Edhe të luash me nerva kërkon stërvitje.

Në shumë rast i përgjithshëm, kur numrat nuk janë zero, rrafshi pret të tre boshtet koordinative. Për shembull, si kjo:

E përsëris edhe një herë se avioni vazhdon pafundësisht në të gjitha drejtimet dhe ne kemi mundësinë të përshkruajmë vetëm një pjesë të tij.

Le të shqyrtojmë ekuacionet më të thjeshta të aeroplanëve:

Si ta kuptojmë këtë ekuacion? Mendoni për këtë: "Z" është GJITHMONË e barabartë me zero, për çdo vlerë të "X" dhe "Y". Ky ekuacion është "vendas" plan koordinativ. Në të vërtetë, zyrtarisht ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë: , nga ku mund të shihni qartë se nuk na intereson se çfarë vlerash marrin "x" dhe "y", është e rëndësishme që "z" të jetë e barabartë me zero.

Po kështu:
– ekuacioni i rrafshit koordinativ;
– ekuacioni i rrafshit koordinativ.

Le ta ndërlikojmë pak problemin, të shqyrtojmë një aeroplan (këtu dhe më tej në paragrafin supozojmë se shanset numerike nuk janë të barabarta me zero). E rishkruajmë barazimin në formën: . Si duhet ta kuptojmë? "X" GJITHMONË, për çdo vlerë të "Y" dhe "Z", është e barabartë me një numër të caktuar. Ky plan është paralel me rrafshin koordinativ. Për shembull, një aeroplan është paralel me një plan dhe kalon nëpër një pikë.

Po kështu:
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me rrafshin koordinativ;
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me rrafshin koordinativ.

Le të shtojmë anëtarë: . Ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë: , domethënë, "zet" mund të jetë çdo gjë. Çfarë do të thotë? "X" dhe "Y" lidhen me relacionin, i cili vizaton një vijë të caktuar të drejtë në aeroplan (do ta zbuloni ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh?). Meqenëse "z" mund të jetë çdo gjë, kjo vijë e drejtë "përsëritet" në çdo lartësi. Kështu, ekuacioni përcakton një plan paralel me boshtin koordinativ

Po kështu:
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me boshtin koordinativ;
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me boshtin koordinativ.

Nëse anëtarë të lirë zero, atëherë aeroplanët do të kalojnë drejtpërdrejt nëpër boshtet përkatëse. Për shembull, "proporcionaliteti i drejtpërdrejtë" klasik: . Vizatoni një vijë të drejtë në rrafsh dhe shumëzojeni mendërisht lart e poshtë (pasi "Z" është çdo). Përfundim: aeroplan, dhënë nga ekuacioni, kalon nëpër boshtin koordinativ.

Përfundojmë rishikimin: ekuacionin e aeroplanit kalon përmes origjinës. Epo, këtu është mjaft e qartë se pika e plotëson këtë ekuacion.

Dhe së fundi, rasti i treguar në vizatim: - avioni është mik me të gjithë boshtet koordinative, ndërsa gjithmonë “pret” trekëndëshin, i cili mund të gjendet në cilindo nga tetë oktantët.

Pabarazitë lineare në hapësirë

Për të kuptuar informacionin duhet të studioni mirë pabarazitë lineare në rrafsh, sepse shumë gjëra do të jenë të ngjashme. Paragrafi do të jetë i një natyre përmbledhëse të shkurtër me disa shembuj, pasi materiali është mjaft i rrallë në praktikë.

Nëse ekuacioni përcakton një plan, atëherë pabarazitë
pyesni gjysmë hapësirash. Nëse pabarazia nuk është strikte (dy të fundit në listë), atëherë zgjidhja e mosbarazimit, përveç gjysmëhapësirës, ​​përfshin edhe vetë rrafshin.

Shembulli 5

Gjeni vektorin normal njësi të rrafshit .

Zgjidhje: Një vektor njësi është një vektor gjatësia e të cilit është një. Le të shënojmë vektor i dhënë përmes . Është absolutisht e qartë se vektorët janë kolinear:

Së pari, heqim vektorin normal nga ekuacioni i rrafshit: .

Si të gjeni vektor njësi? Për të gjetur vektorin e njësisë, ju duhet çdo pjesëtoni koordinatat e vektorit me gjatësinë e vektorit.

Le të rishkruajmë vektorin normal në formë dhe të gjejmë gjatësinë e tij:

Sipas sa më sipër:

Përgjigju:

Verifikimi: çfarë kërkohej të verifikohej.

Lexuesit që studiuan me kujdes paragrafin e fundit të mësimit ndoshta e vunë re këtë koordinatat e vektorit njësi janë pikërisht kosinuset e drejtimit të vektorit:

Le të bëjmë një pushim nga problemi në fjalë: kur ju jepet një vektor arbitrar jo zero, dhe sipas kushtit kërkohet të gjenden kosinuset e drejtimit të tij (shih. detyrat e fundit mësim Prodhimi me pika i vektorëve), atëherë ju, në fakt, gjeni një vektor njësi kolinear me këtë. Në fakt dy detyra në një shishe.

Nevoja për të gjetur vektorin normal të njësisë lind në disa probleme të analizës matematikore.

Ne kemi kuptuar se si të nxjerrim një vektor normal, tani le t'i përgjigjemi pyetjes së kundërt:

Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe një vektor normal?

Ky ndërtim i ngurtë i një vektori normal dhe i një pike është i njohur mirë për tabelën e shigjetës. Ju lutemi shtrini dorën përpara dhe zgjidhni mendërisht një pikë arbitrare në hapësirë, për shembull, një mace të vogël në bufe. Natyrisht, përmes këtë pikë ju mund të vizatoni një plan të vetëm pingul me dorën tuaj.

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë pingul me vektorin shprehet me formulën:

Në këtë material, ne do të shohim se si të gjejmë ekuacionin e një rrafshi nëse dimë koordinatat e tre pikave të ndryshme që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë se çfarë sistem drejtkëndor koordinatat në hapësirë ​​tredimensionale. Për të filluar, ne do të prezantojmë parimin bazë ekuacioni i dhënë dhe t'ju tregojë saktësisht se si ta përdorni për të zgjidhur probleme specifike.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Së pari, duhet të kujtojmë një aksiomë, e cila tingëllon si kjo:

Përkufizimi 1

Nëse tre pika nuk përkojnë me njëra-tjetrën dhe nuk shtrihen në të njëjtën vijë, atëherë në hapësirën tredimensionale vetëm një rrafsh kalon nëpër to.

Me fjalë të tjera, nëse kemi tre pika të ndryshme, koordinatat e të cilave nuk përputhen dhe që nuk mund të lidhen me një vijë të drejtë, atëherë mund të përcaktojmë rrafshin që kalon nëpër të.

Le të themi se kemi një sistem koordinativ drejtkëndor. Le ta shënojmë O x y z. Ai përmban tre pika M me koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), të cilat nuk mund të lidhen vijë e drejtë. Bazuar në këto kushte, ne mund të shkruajmë ekuacionin e rrafshit që na nevojitet. Ekzistojnë dy qasje për zgjidhjen e këtij problemi.

1. Qasja e parë përdor ekuacioni i përgjithshëm aeroplan. Në formën e shkronjave, shkruhet si A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Me ndihmën e tij, ju mund të përcaktoni në një sistem koordinativ drejtkëndor një plan të caktuar alfa që kalon nëpër pikën e parë të dhënë M 1 (x 1, y 1, z 1). Rezulton se vektori normal i planit α do të ketë koordinatat A, B, C.

Përkufizimi i N

Duke ditur koordinatat e vektorit normal dhe koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon rrafshi, mund të shkruajmë ekuacionin e përgjithshëm të këtij rrafshi.

Nga kjo do të vazhdojmë në të ardhmen.

Kështu, sipas kushteve të problemit, kemi koordinatat e pikës së dëshiruar (edhe tre) nëpër të cilën kalon rrafshi. Për të gjetur ekuacionin, duhet të llogaritni koordinatat e vektorit normal të tij. Le ta shënojmë n → .

Le të kujtojmë rregullin: çdo vektor jozero i një rrafshi të caktuar është pingul me vektorin normal të të njëjtit rrafsh. Atëherë kemi se n → do të jetë pingul me vektorët e përbërë nga pikat origjinale M 1 M 2 → dhe M 1 M 3 → . Atëherë mund të shënojmë n → si prodhim vektorial të formës M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Meqenëse M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dhe M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (provat e këtyre barazive janë dhënë në artikullin kushtuar llogaritjes së koordinatave të një vektori nga koordinatat e pikave), atëherë rezulton se:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Nëse llogarisim përcaktorin, do të marrim koordinatat e vektorit normal n → që na duhen. Tani mund të shkruajmë ekuacionin që na nevojitet për një aeroplan që kalon nëpër tre pikët e dhëna.

2. Qasja e dytë për gjetjen e ekuacionit që kalon përmes M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), bazohet në një koncept të tillë si koplanariteti i vektorëve.

Nëse kemi një grup pikash M (x, y, z), atëherë në një sistem koordinativ drejtkëndor ata përcaktojnë një plan për pikat e dhëna M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) vetëm në rastin kur vektorët M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) dhe M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) do të jenë koplanare .

Në diagram do të duket kështu:

Kjo do të thotë se punë e përzier vektorët M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → do të jenë të barabartë me zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, pasi ky është kushti kryesor për bashkëplanaritetin : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dhe M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Le të shkruajmë ekuacionin që rezulton në formë koordinative:

Pasi të llogarisim përcaktorin, mund të marrim ekuacionin e planit që na nevojitet për tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Nga ekuacioni që rezulton mund të shkohet në ekuacionin e rrafshit në segmente ose në ekuacioni normal aeroplan, nëse kushtet e problemit e kërkojnë atë.

Në paragrafin vijues do të japim shembuj se si zbatohen në praktikë qasjet që kemi treguar.

Shembuj problemash për kompozimin e një ekuacioni të një rrafshi që kalon nga 3 pika

Më parë, ne kemi identifikuar dy qasje që mund të përdoren për të gjetur ekuacionin e dëshiruar. Le të shohim se si ato përdoren për të zgjidhur problemet dhe kur duhet të zgjidhni secilën prej tyre.

Shembulli 1

Janë tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë, me koordinatat M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Shkruani një ekuacion për rrafshin që kalon nëpër to.

Zgjidhje

Ne i përdorim të dyja metodat në mënyrë alternative.

1. Gjeni koordinatat e dy vektorëve që na duhen M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Tani le të llogarisim produktin e tyre vektor. Ne nuk do të përshkruajmë llogaritjet e përcaktorit:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Kemi një vektor normal të rrafshit që kalon nëpër tri pikat e kërkuara: n → = (- 5, 30, 2) . Tjetra, duhet të marrim një nga pikat, për shembull, M 1 (- 3, 2, - 1) dhe të shkruajmë ekuacionin për rrafshin me vektor n → = (- 5, 30, 2). Marrim se: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ky është ekuacioni që na nevojitet për një aeroplan që kalon nëpër tre pika.

2. Le të kemi një qasje të ndryshme. Le të shkruajmë ekuacionin për një plan me tre pika M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) në formën e mëposhtme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Këtu mund të zëvendësoni të dhënat nga deklarata e problemit. Meqenëse x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, si rezultat marrim:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Ne morëm ekuacionin që na duhej.

Përgjigje:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Por, çka nëse pikat e dhëna ende qëndrojnë në të njëjtën linjë dhe ne duhet të krijojmë një ekuacion të rrafshët për to? Këtu duhet thënë menjëherë se kjo gjendje nuk do të jetë plotësisht e saktë. Një numër i pafund aeroplanësh mund të kalojnë nëpër pika të tilla, kështu që është e pamundur të llogaritet një përgjigje e vetme. Le të shqyrtojmë një problem të tillë për të vërtetuar pasaktësinë e një formulimi të tillë të pyetjes.

Shembulli 2

Kemi një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale, në të cilin vendosen tri pika me koordinatat M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Është e nevojshme të krijohet një ekuacion i aeroplanit që kalon nëpër të.

Zgjidhje

Le të përdorim metodën e parë dhe të fillojmë duke llogaritur koordinatat e dy vektorëve M 1 M 2 → dhe M 1 M 3 →. Le të llogarisim koordinatat e tyre: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Vepra arti vektoriale do të jetë e barabartë me:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Meqenëse M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, atëherë vektorët tanë do të jenë kolinear (lexoni përsëri artikullin rreth tyre nëse keni harruar përkufizimin e këtij koncepti). Kështu, pikat fillestare M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) janë në të njëjtën linjë, dhe problemi ynë ka pafundësisht shumë opsionet përgjigje.

Nëse përdorim metodën e dytë, do të marrim:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Nga barazia që rezulton rrjedh gjithashtu se pikat e dhëna M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) janë në të njëjtën linjë.

Nëse dëshironi të gjeni të paktën një përgjigje për këtë problem nga numër i pafund opsionet e tij, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1. Shkruani ekuacionin e drejtëzës M 1 M 2, M 1 M 3 ose M 2 M 3 (nëse është e nevojshme, shikoni materialin për këtë veprim).

2. Merrni një pikë M 4 (x 4, y 4, z 4), e cila nuk shtrihet në vijën e drejtë M 1 M 2.

3. Shkruani ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tri pika të ndryshme M 1, M 2 dhe M 4 që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter