Çfarë është një derivat?
Përkufizimi dhe kuptimi i një funksioni derivat

Shumë do të befasohen nga vendosja e papritur e këtij artikulli në kursin e autorit tim mbi derivatin e një funksioni të një ndryshoreje dhe aplikimet e saj. Në fund të fundit, siç ka qenë që nga shkolla: teksti standard para së gjithash jep përkufizimin e një derivati, gjeometrinë e tij, sensi mekanik. Më pas, studentët gjejnë derivatet e funksioneve sipas përkufizimit dhe, në fakt, vetëm atëherë ata përsosin teknikën e diferencimit duke përdorur tabelat e derivateve.

Por nga këndvështrimi im, qasja e mëposhtme është më pragmatike: para së gjithash, këshillohet të KUPTOHET MIRE kufiri i një funksioni dhe, në veçanti, sasi të pafundme. Çështja është se përkufizimi i derivatit bazohet në konceptin e limitit, e cila është konsideruar dobët në kursi shkollor. Kjo është arsyeja pse një pjesë e konsiderueshme e konsumatorëve të rinj të granitit të dijes nuk e kuptojnë vetë thelbin e derivatit. Kështu, nëse jeni të orientuar keq në llogaritja diferenciale ose një tru të mençur për për shumë vite u shpëtova me sukses nga ky bagazh, ju lutemi filloni me kufijtë e funksionit. Në të njëjtën kohë, zotëroni/kujtoni zgjidhjen e tyre.

I njëjti kuptim praktik dikton që së pari është e dobishme Mësoni të gjeni derivatet, duke përfshirë derivatet e funksioneve komplekse. Teoria është teori, por, siç thonë ata, gjithmonë dëshiron të diferencosh. Në këtë drejtim, është më mirë të studioni të listuara mësimet bazë, dhe ndoshta do të bëhet mjeshtër i diferencimit pa e kuptuar as thelbin e veprimeve të tyre.

Unë rekomandoj të filloni me materialet në këtë faqe pasi të keni lexuar artikullin. Problemet më të thjeshta me derivatet, ku, në veçanti, merret parasysh problemi i tangjentes në grafikun e një funksioni. Por ju mund të prisni. Fakti është se shumë aplikime të derivatit nuk kërkojnë ta kuptojnë atë, dhe nuk është për t'u habitur që mësimi teorik u shfaq mjaft vonë - kur më duhej të shpjegoja gjetja e intervaleve në rritje/zvogëlim dhe ekstreme funksionet. Për më tepër, ai ishte në temë për një kohë mjaft të gjatë. Funksionet dhe grafikët”, derisa më në fund vendosa ta vendos më herët.

Prandaj, të dashur çajnik, mos nxitoni të thithni thelbin e derivatit si kafshët e uritura, sepse ngopja do të jetë pa shije dhe e paplotë.

Koncepti i rritjes, zvogëlimit, maksimumit, minimumit të një funksioni

Shumë mjete mësimoreçojnë në konceptin e derivatit duke përdorur disa probleme praktike, dhe unë dola me të gjithashtu shembull interesant. Imagjinoni që jemi gati të udhëtojmë në një qytet që mund të arrihet në mënyra të ndryshme. Le të heqim menjëherë shtigjet e lakuara të dredha-dredha dhe të marrim parasysh vetëm autostradat e drejta. Sidoqoftë, drejtimet e vijës së drejtë janë gjithashtu të ndryshme: mund të shkoni në qytet përgjatë një autostrade të sheshtë. Ose përgjatë një autostrade kodrinore - lart e poshtë, lart e poshtë. Një rrugë tjetër shkon vetëm përpjetë, dhe një tjetër shkon drejt e tatëpjetë gjatë gjithë kohës. Entuziastët ekstremë do të zgjedhin një rrugë përmes një gryke me një shkëmb të pjerrët dhe një ngjitje të pjerrët.

Por cilatdo qofshin preferencat tuaja, këshillohet të njihni zonën ose të paktën ta lokalizoni atë harta topografike. Po sikur një informacion i tillë mungon? Në fund të fundit, ju mund të zgjidhni, për shembull, një rrugë të qetë, por si rezultat të pengoheni në një shpat skish me finlandezë të gëzuar. Nuk është fakt që një navigator apo edhe një imazh satelitor do të sigurojë të dhëna të besueshme. Prandaj, do të ishte mirë të zyrtarizonim lehtësimin e shtegut duke përdorur matematikën.

Le të shohim disa rrugë (pamje anësore):

Për çdo rast, ju kujtoj një fakt elementar: udhëtimi ndodh nga e majta në të djathtë. Për thjeshtësi, supozojmë se funksioni të vazhdueshme në zonën në shqyrtim.

Cilat janë veçoritë e të këtij orari?

Në intervale funksionin rritet, domethënë çdo vlerë tjetër të saj më shumë e mëparshme. Përafërsisht, orari është i hapur nga poshtë lart(i ngjitemi kodrës). Dhe në interval funksioni zvogëlohet– secili vlerën tjetër më pak e mëparshme, dhe orari ynë është aktiv nga lart poshtë(ne zbresim shpatin).

Le t'i kushtojmë vëmendje gjithashtu pika njëjës. Në pikën që arrijmë maksimale dmth ekziston një seksion i tillë i shtegut ku vlera do të jetë më e madhja (më e larta). Në të njëjtën pikë arrihet minimale, Dhe ekziston lagjen e saj në të cilën vlera është më e vogla (më e ulëta).

Ne do të shikojmë terminologjinë dhe përkufizimet më strikte në klasë. rreth ekstremit të funksionit, por tani për tani le të studiojmë një veçori tjetër të rëndësishme: në intervale funksioni rritet, por rritet Me me shpejtësi të ndryshme . Dhe gjëja e parë që ju tërheq vëmendjen është se grafiku ngrihet lart gjatë intervalit shumë më cool, se sa në intervalin . A është e mundur të matet pjerrësia e një rruge duke përdorur mjete matematikore?

Shkalla e ndryshimit të funksionit

Ideja është kjo: le të marrim pak vlerë (lexo "delta x"), të cilin do ta quajmë rritje argumenti, dhe le të fillojmë ta "provojmë" në pika të ndryshme në rrugën tonë:

1) Le të shohim pikën më të majtë: duke kaluar distancën, ne ngjitemi shpatin në një lartësi ( vijë e gjelbër). Sasia quhet rritja e funksionit, dhe në në këtë rast kjo rritje është pozitive (ndryshimi në vlera përgjatë boshtit është më i madh se zero). Le të krijojmë një raport që do të jetë një masë e pjerrësisë së rrugës sonë. Natyrisht, ky është një numër shumë specifik, dhe meqenëse të dy rritjet janë pozitive, atëherë .

Kujdes! Emërtimet janë NJË simbol, d.m.th., nuk mund ta "shqyesh" "deltën" nga "X" dhe t'i konsiderosh këto shkronja veç e veç. Natyrisht, komenti ka të bëjë edhe me simbolin e rritjes së funksionit.

Le të eksplorojmë natyrën e thyesës që rezulton në mënyrë më kuptimplote. Le të jemi fillimisht në një lartësi prej 20 metrash (në pikën e zezë të majtë). Pasi të kemi kaluar distancën prej metrash (vija e majtë e kuqe), do të gjejmë veten në një lartësi prej 60 metrash. Atëherë rritja e funksionit do të jetë metra (vija e gjelbër) dhe: . Kështu, në çdo metër këtë pjesë të rrugës lartësia rritet mesatarisht me 4 metra... harruat pajisjet tuaja të ngjitjes? =) Me fjalë të tjera, marrëdhënia e ndërtuar karakterizon normën mesatare të ndryshimit (në këtë rast, rritje) të funksionit.

Shënim : vlerat numerike Shembulli në shqyrtim korrespondon me përmasat e vizatimit vetëm afërsisht.

2) Tani le të kalojmë të njëjtën distancë nga pika e zezë më e djathtë. Këtu rritja është më graduale, kështu që rritja (vija e kuqërremtë) është relativisht e vogël, dhe raporti në krahasim me rastin e mëparshëm do të jetë shumë modest. Duke folur relativisht, metra dhe norma e rritjes së funksionitështë . Kjo është, këtu për çdo metër të shtegut ka mesatarisht gjysmë metër ngritje.

3) Aventurë e vogël në shpatin e malit. Le të shohim pikën e zezë të sipërme të vendosur në boshtin e ordinatave. Le të supozojmë se kjo është shenja 50 metra. Ne e kapërcejmë përsëri distancën, si rezultat i së cilës gjendemi më poshtë - në nivelin 30 metra. Meqenëse lëvizja kryhet nga lart poshtë(në drejtimin "kundër" të boshtit), pastaj fundi rritja e funksionit (lartësia) do të jetë negative: metra (segment kafe në vizatim). Dhe në këtë rast ne tashmë po flasim shkalla e uljes Karakteristikat: , pra për çdo metër rrugë të këtij seksioni lartësia zvogëlohet mesatarisht me 2 metra. Kujdesuni për rrobat tuaja në pikën e pestë.

Tani le të pyesim veten: cila është vlera më e mirë e "standardit të matjes" për t'u përdorur? Është plotësisht e kuptueshme, 10 metra është shumë e ashpër. Një duzinë e mirë humoqesh mund të përshtaten lehtësisht mbi to. Pavarësisht nga gunga, mund të ketë një grykë të thellë poshtë, dhe pas disa metrash ka anën tjetër të saj me një ngritje të mëtejshme të pjerrët. Kështu, me një dhjetë metër nuk do të marrim një përshkrim të kuptueshëm të seksioneve të tilla të shtegut përmes raportit .

Nga diskutimi i mësipërm del përfundimi i mëposhtëm: si më pak vlerë , aq më saktë përshkruajmë topografinë e rrugës. Për më tepër, faktet e mëposhtme janë të vërteta:

– Për këdo pika ngritëse ju mund të zgjidhni një vlerë (edhe nëse është shumë e vogël) që përshtatet brenda kufijve të një rritjeje të veçantë. Kjo do të thotë që rritja përkatëse e lartësisë do të garantohet të jetë pozitive dhe pabarazia do të tregojë saktë rritjen e funksionit në çdo pikë të këtyre intervaleve.

- Po kështu, për çdo pika e pjerrësisë ka një vlerë që do të përshtatet plotësisht në këtë pjerrësi. Rrjedhimisht, rritja përkatëse në lartësi është qartësisht negative dhe pabarazia do të tregojë saktë uljen e funksionit në çdo pikë të intervalit të caktuar.

– Një rast veçanërisht interesant është kur shpejtësia e ndryshimit të funksionit është zero: . Së pari, rritja e lartësisë zero () është një shenjë e një shtegu të qetë. Dhe së dyti, ka situata të tjera interesante, shembuj të të cilave i shihni në figurë. Imagjinoni që fati na ka çuar në majë të një kodre me shqiponja fluturuese ose në fund të një përroske me bretkosa kërcitëse. Nëse bëni një hap të vogël në çdo drejtim, ndryshimi në lartësi do të jetë i papërfillshëm dhe mund të themi se shkalla e ndryshimit të funksionit është në fakt zero. Kjo është pikërisht fotografia e vërejtur në pika.

Kështu vijmë te mundësi e mahnitshme karakterizojnë në mënyrë ideale me saktësi shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni. Në fund të fundit analiza matematikore ju lejon të drejtoni rritjen e argumentit në zero: d.m.th., bëni atë pafundësisht i vogël.

Si rezultat, lind një pyetje tjetër logjike: a është e mundur të gjesh për rrugën dhe orarin e saj një funksion tjetër, e cila do të na njoftonte për të gjitha seksionet e sheshta, ngjitjet, zbritjet, majat, luginat, si dhe shkallën e rritjes/uljes në secilën pikë të rrugës?

Çfarë është një derivat? Përkufizimi i derivatit.
Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe diferencialit

Ju lutemi lexoni me kujdes dhe jo shumë shpejt - materiali është i thjeshtë dhe i arritshëm për të gjithë! Është në rregull nëse në disa vende diçka nuk duket shumë e qartë, gjithmonë mund t'i ktheheni artikullit më vonë. Do të them më shumë, është e dobishme të studiohet teoria disa herë në mënyrë që të kuptohen plotësisht të gjitha pikat (këshillat janë veçanërisht të rëndësishme për studentët "teknik" që kanë matematikë e lartë luan një rol të rëndësishëm në procesin arsimor).

Natyrisht, në vetë përkufizimin e derivatit në një pikë e zëvendësojmë atë me:

Në çfarë kemi ardhur? Dhe arritëm në përfundimin se për funksionin sipas ligjit vihet në përputhje funksion tjetër, e cila quhet funksioni derivator(ose thjesht derivat).

Derivati karakterizon shkalla e ndryshimit funksionet Si? Ideja shkon si një fije e kuqe që në fillim të artikullit. Le të shqyrtojmë një pikë fusha e përkufizimit funksionet Le të jetë funksioni i diferencueshëm në një pikë të caktuar. Pastaj:

1) Nëse , atëherë funksioni rritet në pikën . Dhe padyshim që ka intervali(madje edhe shumë i vogël), që përmban një pikë në të cilën funksioni rritet dhe grafiku i tij shkon "nga poshtë lart".

2) Nëse , atëherë funksioni zvogëlohet në pikën . Dhe ekziston një interval që përmban një pikë në të cilën funksioni zvogëlohet (grafi shkon "nga lart poshtë").

3) Nëse , atëherë pafundësisht afër pranë një pike funksioni ruan shpejtësinë konstante. Kjo ndodh, siç u përmend, me një funksion të vazhdueshëm dhe në pikat kritike të funksionit, në veçanti në pikë minimale dhe maksimale.

Pak semantikë. Çfarë është në në një kuptim të gjerë a do të thotë folja "diferencoj"? Të dallosh do të thotë të nxjerrësh në pah një veçori. Duke diferencuar një funksion, ne "izolojmë" shkallën e ndryshimit të tij në formën e një derivati të funksionit. Nga rruga, çfarë nënkuptohet me fjalën "derivativ"? Funksioni ndodhi nga funksioni.

Termat interpretohen me shumë sukses nga kuptimi mekanik i derivatit :
Le të shqyrtojmë ligjin e ndryshimit të koordinatave të një trupi, në varësi të kohës, dhe funksionin e shpejtësisë së lëvizjes së një trupi të caktuar. Funksioni karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të koordinatave të trupit, prandaj është derivati i parë i funksionit në lidhje me kohën: . Nëse koncepti i "lëvizjes së trupit" nuk do të ekzistonte në natyrë, atëherë nuk do të kishte derivatore koncepti i "shpejtësisë së trupit".

Nxitimi i një trupi është shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë, pra: . Nëse konceptet fillestare të "lëvizjes së trupit" dhe "shpejtësisë së trupit" nuk do të ekzistonin në natyrë, atëherë nuk do të ekzistonin derivatore koncepti i "përshpejtimit të trupit".

Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero në jetë ne përdorim nivelin e detit;

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur lëvizni përpara një distancë të caktuar. Në të vërtetë, në seksione të ndryshme të rrugës, duke ecur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të biem nga sasi të ndryshme metra në raport me nivelin e detit (përgjatë boshtit të ordinatave).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Domethënë, ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër!

Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e një funksioni, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart. Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika fundore

doli të jetë më e ulët se ajo fillestare, do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk po ngjitemi, por po zbresim.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Tani le të shohim majën e një kodre. Nëse e merrni fillimin e seksionit gjysmë kilometër përpara majës, dhe fundin gjysmë kilometër pas tij, mund të shihni se lartësia është pothuajse e njëjtë.

NË jeta reale Matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël, domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është i barabartë me zero! Por shumë afër saj. Kjo do të thotë që ju mund të ndani me të.

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse keni dalë me më të madhin numrat e mundshëm, mjafton ta shumëzosh me dy dhe do të marrësh edhe më shumë. Dhe pafundësia ende për më tepërçfarë do të ndodhë. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se pafundësi nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni mjaft numër i rregullt, Për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe caktohet se sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Njëlloj me derivatin: derivat funksion konstant(konstante) është e barabartë me zero:

meqenëse rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për cilindo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit së bashku anët e ndryshme nga lart, në mënyrë që lartësia në skajet të jetë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston gjithashtu një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, midis negative dhe vlerat pozitive patjetër duhet të ketë. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë:. Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

NË pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë- kjo është kur eksponenti:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati është i barabartë me:

Derivati i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksion kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim:.

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet në funksioni i fuqisë me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

(2)

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

(në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provën do ta mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Unifikuar të Shtetit). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni.

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Ne shohim se sa më pak, aq vlerë më të afërt marrëdhënie me

a) Merrni parasysh funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitevogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinitimale mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra marrim rregulli tjetër:derivati i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni është një konstante - është e pafundme dhjetore, pra një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le ta shohim menjëherë funksioni i anasjelltë. Cili funksion është anasjelltas i funksioni eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? sigurisht.

Derivati i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

Gjeni derivatin e funksionit.
Cili është derivati i funksionit?

Përgjigjet: Ekspozuesi dhe logaritmi natyror- funksionet janë unike të thjeshta për sa i përket derivateve. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pas le t'i kalojmë rregullat diferencimi.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo është e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Diferenciali i matematikanëve është i njëjti rritje i një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja differentia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - disa numër konstant(konstante), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

në një pikë;
në një pikë;
në një pikë;
në pikën.

Zgjidhjet:

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të hyjmë veçori e re dhe gjeni shtimin e tij:

Derivat:

Shembuj:

Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta sjellim funksionin tonë në një bazë të re:

Për këtë ne do të përdorim rregull i thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

A funksionoi?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati merret shumë thjesht:

Derivatet e eksponencialit dhe funksionet logaritmike pothuajse kurrë nuk paraqiten në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të ishte keq t'i njihje.

Derivat i një funksioni kompleks.

cfare ka ndodhur" funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt rend i kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Çfarë ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Karakteristikë e rëndësishme funksionet komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjalë të tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembull origjinal duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati i shumës:

Derivati i produktit:

Derivati i herësit:

Derivati i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për të suksesshme dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, për pranim në kolegj me një buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Nëse ndiqni përkufizimin, atëherë derivati i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit Δ y tek rritja e argumentit Δ x:

Gjithçka duket se është e qartë. Por provoni të përdorni këtë formulë për të llogaritur, të themi, derivatin e funksionit f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x mëkat x. Nëse bëni gjithçka sipas definicionit, atëherë pas nja dy faqesh llogaritje thjesht do të bini në gjumë. Prandaj, ka mënyra më të thjeshta dhe më efektive.

Për të filluar, vërejmë se nga e gjithë shumëllojshmëria e funksioneve mund të dallojmë të ashtuquajturat funksione elementare. Është relative shprehje të thjeshta, derivatet e të cilave prej kohësh janë llogaritur dhe renditur në tabelë. Funksione të tilla janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend - së bashku me derivatet e tyre.

Derivatet e funksioneve elementare

Funksionet elementare janë të gjitha ato të listuara më poshtë. Derivatet e këtyre funksioneve duhet të njihen përmendësh. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë t'i mësosh përmendësh - kjo është arsyeja pse ato janë elementare.

Pra, derivatet e funksioneve elementare:

Emri	Funksioni	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (po, zero!)
Fuqia me eksponent racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = mëkat x	cos x
Kosinusi	f(x) = cos x	−mëkat x(minus sinus)
Tangjente	f(x) = tg x	1/ko 2 x
Kotangjente	f(x) = ctg x	− 1/mëkat 2 x
Logaritmi natyror	f(x) = log x	1/x
Logaritmi arbitrar	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Funksioni eksponencial	f(x) = e x	e x(asgjë nuk ka ndryshuar)

Nëse një funksion elementar shumëzohet me një konstante arbitrare, atëherë derivati i funksionit të ri gjithashtu llogaritet lehtësisht:

(C · f)’ = C · f ’.

Në përgjithësi, konstantet mund të hiqen nga shenja e derivatit. Për shembull:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natyrisht, funksionet elementare mund t'i shtohen njëri-tjetrit, të shumëzohen, të ndahen - dhe shumë më tepër. Në këtë mënyrë do të shfaqen funksione të reja, jo më veçanërisht elementare, por edhe të diferencueshme në lidhje me rregulla të caktuara. Këto rregulla diskutohen më poshtë.

Derivati i shumës dhe diferencës

Le të jepen funksionet f(x) Dhe g(x), derivatet e të cilave janë të njohura për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Pra, derivati i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj dallimi f − g mund të rishkruhet si shumë f+ (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati i shumës.

f(x) = x 2 + mëkat x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksioni f(x) është shuma e dy funksioneve elementare, pra:

f ’(x) = (x 2 + mëkat x)’ = (x 2)’ + (mëkat x)’ = 2x+ cos x;

Ne arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për funksionin g(x). Vetëm ka tashmë tre terma (nga pikëpamja e algjebrës):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Përgjigje:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat i produktit

Matematika është një shkencë logjike, kështu që shumë njerëz besojnë se nëse derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve, atëherë derivati i produktit grevë">i barabartë me produktin e derivateve. Por vidhosni! Derivati i një produkti llogaritet duke përdorur një formulë krejtësisht të ndryshme. Domethënë:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula është e thjeshtë, por shpesh harrohet. Dhe jo vetëm nxënësit e shkollës, por edhe studentët. Rezultati është problemet e zgjidhura gabimisht.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksioni f(x) është produkt i dy funksioneve elementare, kështu që gjithçka është e thjeshtë:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (ko x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-mëkat x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x)

Funksioni g(x) faktori i parë është pak më i komplikuar, por skema e përgjithshme kjo nuk ndryshon. Natyrisht, faktori i parë i funksionit g(x) është një polinom dhe derivati i tij është derivati i shumës. Ne kemi:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Përgjigje:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ju lutemi vini re se në hapin e fundit derivati faktorizohet. Formalisht, kjo nuk ka nevojë të bëhet, por shumica e derivateve nuk llogariten më vete, por për të ekzaminuar funksionin. Kjo do të thotë që më tej derivati do të barazohet me zero, do të përcaktohen shenjat e tij etj. Për një rast të tillë, është më mirë të kemi një shprehje të faktorizuar.

Nëse ka dy funksione f(x) Dhe g(x), dhe g(x) ≠ 0 në grupin që na intereson, mund të përcaktojmë një funksion të ri h(x) = f(x)/g(x). Për një funksion të tillë mund të gjeni edhe derivatin:

Jo i dobët, apo jo? Nga erdhi minusi? Pse g 2? Dhe kështu! Kjo është një nga më formula komplekse- Nuk mund ta kuptosh pa një shishe. Prandaj, është më mirë ta studioni atë në shembuj specifikë.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve:

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese përmbajnë funksione elementare, kështu që gjithçka që na nevojitet është formula për derivatin e herësit:

Sipas traditës, le të faktorizojmë numëruesin - kjo do ta thjeshtojë shumë përgjigjen:

Një funksion kompleks nuk është domosdoshmërisht një formulë gjysmë kilometër e gjatë. Për shembull, mjafton të marrësh funksionin f(x) = mëkat x dhe zëvendësoni variablin x, të themi, në x 2 + ln x. Do të funksionojë f(x) = mëkat ( x 2 + ln x) - ky është një funksion kompleks. Ai gjithashtu ka një derivat, por nuk do të jetë e mundur ta gjesh atë duke përdorur rregullat e diskutuara më sipër.

Çfarë duhet të bëj? Në raste të tilla, zëvendësimi i një ndryshoreje dhe formule për derivatin e një funksioni kompleks ndihmon:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nëse x zëvendësohet nga t(x).

Si rregull, situata me të kuptuarit e kësaj formule është edhe më e trishtuar sesa me derivatin e herësit. Prandaj, është gjithashtu më mirë të shpjegohet me shembuj specifikë, me përshkrim i detajuarçdo hap.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = mëkat ( x 2 + ln x)

Vini re se nëse në funksion f(x) në vend të shprehjes 2 x+ 3 do të jetë e lehtë x, atëherë do të funksionojë funksioni elementar f(x) = e x. Prandaj, ne bëjmë një zëvendësim: le 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ne kërkojmë derivatin e një funksioni kompleks duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dhe tani - vëmendje! Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt: t = 2x+ 3. Ne marrim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tani le të shohim funksionin g(x). Është e qartë se ajo duhet të zëvendësohet x 2 + ln x = t. Ne kemi:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (mëkat t)’ · t’ = cos t · t ’

Zëvendësimi i kundërt: t = x 2 + ln x. Pastaj:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = kosto ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Kjo është ajo! Siç shihet nga shprehja e fundit, i gjithë problemi është reduktuar në llogaritjen e shumës derivative.

Përgjigje:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) si ( x 2 + ln x).

Shumë shpesh në mësimet e mia, në vend të termit "derivativ", përdor fjalën "prim". Për shembull, një kryetar nga shuma e barabartë me shumën goditjet. A është kjo më e qartë? Epo, kjo është mirë.

Kështu, llogaritja e derivatit zbret në heqjen e të njëjtave goditje sipas rregullave të diskutuara më sipër. Si shembulli i fundit Le të kthehemi te fuqia derivatore me një eksponent racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Pak njerëz e dinë këtë në rol n mund të performojë mirë numër thyesor. Për shembull, rrënja është x 0.5. Po sikur të ketë diçka të zbukuruar nën rrënjë? Përsëri, rezultati do të jetë një funksion kompleks - atyre u pëlqen t'u japin ndërtime të tilla testet dhe provimet.

Detyrë. Gjeni derivatin e funksionit:

Së pari, le të rishkruajmë rrënjën si një fuqi me një eksponent racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tani bëjmë një zëvendësim: le x 2 + 8x − 7 = t. Derivatin e gjejmë duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt: t = x 2 + 8x− 7. Kemi:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Më në fund, kthehemi te rrënjët:

Derivat i një funksioni të një ndryshoreje.

Hyrje.

Reale zhvillimet metodologjike të destinuara për studentët e Fakultetit të Inxhinierisë Industriale dhe Ndërtimore. Ato janë përpiluar në lidhje me programin e lëndës së matematikës në seksionin “Njehsimi diferencial i funksioneve të një ndryshoreje”.

Zhvillimet paraqesin një udhëzues të vetëm metodologjik, duke përfshirë: informacion të shkurtër teorik; Probleme dhe ushtrime “standarde” me zgjidhje dhe shpjegime të hollësishme për këto zgjidhje; opsionet e testimit.

Në fund të çdo paragrafi ka ushtrime shtesë. Kjo strukturë zhvillimesh i bën ato të përshtatshme për zotërim të pavarur të seksionit me ndihmën minimale të mësuesit.

§1. Përkufizimi i derivatit.

Kuptimi mekanik dhe gjeometrik

derivatore.

Koncepti i derivatit është një nga më koncepte të rëndësishme analiza matematikore u ngrit në shekullin e 17-të. Formimi i konceptit të derivatit lidhet historikisht me dy probleme: problemin e shpejtësisë së lëvizjes së alternuar dhe problemin e tangjentes në një kurbë.

Këto detyra, përkundër tyre përmbajtje të ndryshme, të çojë në të njëjtin veprim matematikor që duhet të kryhet në funksion Ky operacion është marrë në matematikë emër i veçantë. Quhet operacioni i diferencimit të një funksioni. Rezultati i veprimit të diferencimit quhet derivat.

Pra, derivati i funksionit y=f(x) në pikën x0 është kufiri (nëse ekziston) i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit.
në
.

Derivati zakonisht shënohet si më poshtë:
.

Kështu, sipas përkufizimit

Simbolet përdoren gjithashtu për të treguar derivatet
.

Kuptimi mekanik i derivatit.

Nëse s=s(t) është ligji i lëvizjes drejtvizore të një pike materiale, atëherë
është shpejtësia e kësaj pike në kohën t.

Kuptimi gjeometrik i derivatit.

Nëse funksioni y=f(x) ka një derivat në pikë , Kjo shpat tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë
barazohet
.

Shembull.

Gjeni derivatin e funksionit
në pikën =2:

1) Le t'i japim një pikë =2 rritje
. Vini re se.

2) Gjeni shtimin e funksionit në pikë =2:

3) Le të krijojmë raportin e rritjes së funksionit me rritjen e argumentit:

Le të gjejmë kufirin e raportit në
:

Kështu,
.

§ 2. Derivatet e disave

funksionet më të thjeshta.

Nxënësi duhet të mësojë si të llogaritë derivatet e funksioneve specifike: y=x,y= dhe ne pergjithesi= .

Të gjejmë derivatin e funksionit y=x.

ato. (x)′=1.

Le të gjejmë derivatin e funksionit

Derivat

Le
Pastaj

Është e lehtë të vërehet një model në shprehjet për derivatet e një funksioni fuqie
me n=1,2,3.

Prandaj,

. (1)

Kjo formulë është e vlefshme për çdo n real.

Në veçanti, duke përdorur formulën (1), kemi:

;

Shembull.

Gjeni derivatin e funksionit

Ky funksion është një rast i veçantë i një funksioni të formës

në
.

Duke përdorur formulën (1), kemi

Derivatet e funksioneve y=sin x dhe y=cos x.

Le të y=sinx.

Pjesëtojmë me ∆x, marrim

Duke kaluar në kufirin në ∆x→0, kemi

Le të y=cosx.

Duke kaluar në kufirin në ∆x→0, marrim

;
. (2)

§3. Rregullat themelore të diferencimit.

Le të shqyrtojmë rregullat e diferencimit.

Teorema1 . Nëse funksionet u=u(x) dhe v=v(x) janë të diferencueshëm në një pikëx të caktuar, atëherë në këtë pikë shuma e tyre është gjithashtu e diferencueshme, dhe derivati i shumës është i barabartë me shumën e derivateve të termave : (u+v)"=u"+v".(3)

Vërtetim: shqyrtoni funksionin y=f(x)=u(x)+v(x).

Rritja ∆x e argumentit x korrespondon me inkrementet ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) të funksioneve u dhe v. Atëherë funksioni y do të rritet

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Prandaj,

Pra, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Nëse funksionet u=u(x) dhe v=v(x) janë të diferencueshëm në një pikëx të caktuar, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë, në këtë rast, derivati i produktit gjendet me formulën e mëposhtme: uv)"=u"v+uv". (4)

Vërtetim: Le të jetë y=uv, ku u dhe v janë disa funksione të diferencueshme të x. Le t'i japim x një rritje prej ∆x, atëherë u do të marrë një rritje prej ∆u, v do të marrë një rritje prej ∆v, dhe y do të marrë një rritje prej ∆y;

Kemi y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ose

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Prandaj, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Nga këtu

Duke kaluar në kufirin në ∆x→0 dhe duke marrë parasysh që u dhe v nuk varen nga ∆x, do të kemi

Teorema 3. Derivati i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një fraksion, emëruesi i së cilës është i barabartë me katrorin e pjesëtuesit, dhe numëruesi është diferenca midis produktit të derivatit të dividentit dhe pjesëtuesit dhe produktit të dividenti dhe derivati i pjesëtuesit, d.m.th.

Nëse
Se
(5)