Të vërtetosh një pohim do të thotë të tregosh se ky pohim rrjedh logjikisht nga një sistem pohimesh të vërteta dhe të ndërlidhura.

Në logjikë, besohet se nëse deklarata në fjalë rrjedh logjikisht nga pohime tashmë të vërtetuara, atëherë ajo është e justifikuar dhe po aq e vërtetë sa kjo e fundit.

Kështu, baza e provës matematikore është metodë deduktive. Prova është tërësia teknikat logjike duke vërtetuar vërtetësinë e një deklarate me ndihmën e pohimeve të tjera të vërteta dhe të lidhura me to.

Një provë matematikore nuk është vetëm një grup përfundimesh, është përfundime të renditura në një rend të caktuar.

Provat bëjnë dallimin ndërmjet të drejtpërdrejtë dhe të tërthortë.

Dëshmi e drejtpërdrejtë.

1) Bazuar në disa fjali të vërteta dhe në kushtet e teoremës, ndërtohet një zinxhir konkluzionesh deduktive që çojnë në një përfundim të vërtetë.

Shembull. Le ta vërtetojmë këtë kënde vertikale janë të barabartë. Këndet 1 dhe 2 janë ngjitur, pra, 1 +2 = 180 o. Këndet 2 dhe 3 janë ngjitur, pra, 2 + 3 = 180 o. Kemi:1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2.

2) Metoda e induksionit matematik. Deklarata është e vërtetë për çdo numër natyror n, nëse: është e vërtetë për n= 1 dhe nga vlefshmëria e deklaratës për çdo natyral arbitrar n=k ndjek drejtësinë e saj për n=k+ 1. (Do të diskutohet më në detaje në kurset e larta.)

3) Induksion i plotë(shih më parë).

Dëshmi indirekte.

1) Metoda është me kontradiktë. Le të jetë e nevojshme të vërtetohet një teoremë ANË. Supozohet se përfundimi i saj është i rremë, dhe për rrjedhojë mohimi i tij e vërtetë. Duke bashkangjitur një fjali te grupi i premisave të vërteta të përdorura në procesin e provës (ndër të cilat është kushti A), ndërtoni një zinxhir konkluzionesh deduktive derisa të merret një pohim që bie ndesh me një nga premisat. Kontradikta që rezulton vërteton teoremën.

Shembull. Nëse dy drejtëza janë paralele me të njëjtën drejtëz, atëherë ato janë paralele me njëra-tjetrën.

E dhënë: X Me,në Me. Vërtetoni këtë X në.

Dëshmi. Le të jetë e drejtë X jo paralel me vijën në, d.m.th. vijat ndërpriten në një moment A. Prandaj, përmes pikës A ka dy drejtëza paralele me drejtëzën Me, e cila është e pamundur sipas aksiomës së paralelizmit.

2) Vërtetimi i bazuar në ligjin e kundërthënës: në vend të një teoreme ANË vërtetoni një teoremë të barazvlefshme me të
. Nëse është e vërtetë, atëherë teorema origjinale është gjithashtu e vërtetë.

Shembull. Nëse X 2 – numër çift, Kjo X- një numër çift.

Dëshmi. Le të supozojmë se X- një numër tek, d.m.th. X= 2k+ 1X 2 = (2k+ 1) 2 = = 4k 2 + 4k+ 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 – tek.

Pyetje sigurie

Çfarë quhet konkluzion?

Cili përfundim quhet deduktiv?

Përcaktoni induksionin jo të plotë dhe të plotë.

Përcaktoni përfundimin me analogji.

Shkruani skemat e konkluzioneve deduktive dhe provoni të vërtetën identike të formulave që qëndrojnë në themel të këtyre rregullave.

Si të kontrolloni korrektësinë e përfundimeve duke përdorur rrathët e Euler? Cilat metoda të tjera njihen për të kontrolluar korrektësinë e konkluzioneve?

Cili përfundim quhet sofistikë?

Çfarë do të thotë të provosh një deklaratë?

Cilat dëshmi dallohen sipas mënyrës së paraqitjes?

Përshkruani metodat e arsyetimit kur forma të ndryshme prova direkte dhe indirekte.

Të vërtetosh një pohim do të thotë të tregosh se ky pohim rrjedh logjikisht nga një sistem pohimesh të vërteta dhe të ndërlidhura.

Në logjikë, besohet se nëse deklarata në fjalë rrjedh logjikisht nga pohime tashmë të vërtetuara, atëherë ajo është e justifikuar dhe po aq e vërtetë sa kjo e fundit.

Kështu, baza e provës matematikore është metoda deduktive. Një provë është një grup teknikash logjike për të vërtetuar vërtetësinë e një deklarate me ndihmën e pohimeve të tjera të vërteta dhe të ngjashme.

Një provë matematikore nuk është vetëm një grup përfundimesh, është përfundime të renditura në një rend të caktuar.

Provat bëjnë dallimin ndërmjet të drejtpërdrejtë dhe të tërthortë.

Dëshmi e drejtpërdrejtë.

1) Bazuar në disa fjali të vërteta dhe në kushtet e teoremës, ndërtohet një zinxhir konkluzionesh deduktive që çojnë në një përfundim të vërtetë.

Shembull. Le të vërtetojmë se këndet vertikale janë të barabarta. Prandaj, këndet 1 dhe 2 janë ngjitur
Р 1 + Р 2 = 180 о. Këndet 2 dhe 3 janë ngjitur, prandaj, Р 2 + Р 3 = 180 о. Kemi: Ð 1 = 180 o – Ð 2 Ð 3 = 180 o – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

2

2) Metoda induksioni matematik. Deklarata është e vërtetë për çdo numër natyror n, nëse: është e vërtetë për n= 1 dhe nga vlefshmëria e deklaratës për çdo natyral arbitrar n = k ndjek drejtësinë e saj për n = k+ 1. (Do të diskutohet më në detaje në kurset e larta.)

3) Induksioni i plotë (shih më parë).

Dëshmi indirekte.

1) Metoda është me kontradiktë. Le të jetë e nevojshme të vërtetohet një teoremë A Þ NË. Supozohet se përfundimi i saj është i rremë, dhe për këtë arsye mohimi i tij është i vërtetë. Duke i bashkangjitur një fjali një grupi premisash të vërteta të përdorura në procesin e provës (ndër të cilat ekziston një kusht A), ndërtoni një zinxhir konkluzionesh deduktive derisa të merret një pohim që bie ndesh me një nga premisat. Kontradikta që rezulton vërteton teoremën.

Shembull. Nëse dy drejtëza janë paralele me të njëjtën drejtëz, atëherë ato janë paralele me njëra-tjetrën.

E dhënë: Xúú Me, nëúú Me. Vërtetoni këtë Xúú në.

Dëshmi. Le të jetë e drejtë X jo paralel me vijën në, d.m.th. vijat ndërpriten në një moment A. Prandaj, përmes pikës A ka dy drejtëza paralele me drejtëzën Me, e cila është e pamundur sipas aksiomës së paralelizmit.

2) Vërtetimi i bazuar në ligjin e kundërthënës: në vend të një teoreme A Þ NË provoni një teoremë të barazvlefshme me të. Nëse është e vërtetë, atëherë teorema origjinale është gjithashtu e vërtetë.

Shembull. Nëse X 2 është një numër çift, atëherë X- një numër çift.

Dëshmi. Le të supozojmë se X- një numër tek, d.m.th. X = 2k+ 1 Þ X 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 – tek.

Pyetje sigurie

1. Çfarë quhet konkluzion?

2. Cili përfundim quhet deduktiv?

3. Përcaktoni induksionin jo të plotë dhe të plotë.

4. Përcaktoni përfundimin me analogji.

5. Shkruani skemat e konkluzioneve deduktive dhe provoni të vërtetën identike të formulave që qëndrojnë në themel të këtyre rregullave.

6. Si të kontrolloni korrektësinë e përfundimeve duke përdorur rrathët e Euler-it? Cilat metoda të tjera njihen për të kontrolluar korrektësinë e konkluzioneve?

7. Cili përfundim quhet sofizëm?

8. Çfarë do të thotë të vërtetosh një pohim?

9. Cilat dëshmi dallohen me metodën e kryerjes?

10. Përshkruani metodat e arsyetimit në forma të ndryshme të provave direkte dhe indirekte.

Le të japim një shembull të përdorimit të induksionit jo të plotë në punën me parashkollorët: duke përdorur lojën " Qese e mrekullueshme” me forma gjeometrike tredimensionale, i lehim fëmijës detyrën: “Nxirre figurën dhe emërtoje”. Pas disa përpjekjeve, fëmija bën një supozim:

Topi. Topi. Topi. Të gjithë topat janë ndoshta këtu.

Detyra 14

Ofroni arsyetime të mëtejshme për të verifikuar vërtetësinë (ose falsitetin) e deklaratës së marrë.

Është e pamundur të mbivlerësohet rëndësia e provave në jetën tonë dhe veçanërisht në shkencë. Të gjithë përdorin prova, por jo gjithmonë mendojnë se çfarë do të thotë "provë*". Aftësitë praktike të provës dhe idetë intuitive për të janë të mjaftueshme për shumë qëllime të përditshme, por jo për ato shkencore.

Të vërtetosh një pohim do të thotë të tregosh se ky pohim logjik rrjedh logjikisht nga një sistem pohimesh të vërteta dhe të ndërlidhura.

Prova është operacion logjik vërtetimi i së vërtetës së një deklarate me ndihmën e pohimeve të tjera të vërteta dhe të lidhura me to.

Prova identifikon tre elementet strukturore:

1) deklarata që duhet provuar;

2) sistemi deklarata të vërteta, me ndihmën e së cilës vërtetohet e vërteta e asaj që vërtetohet;

3) lidhja logjike ndërmjet paragrafëve. 1 dhe 2.

Metoda kryesore e vërtetimit matematik është përfundimi deduktiv.

Sipas formës së tij provë- ky është një përfundim deduktiv ose një zinxhir konkluzionesh deduktive që çojnë nga premisat e vërteta në një deklaratë të provuar.

Në një vërtetim matematikor, renditja e përfundimeve është e rëndësishme. Sipas mënyrës së administrimit dallojnë prova direkte dhe indirekte. Provat e drejtpërdrejta përfshijnë induksionin e plotë, i cili u diskutua në paragrafin 1.6.

Induksion i plotë- një metodë prove në të cilën vërtetësia e një deklarate rrjedh nga e vërteta e saj në të gjitha rastet e veçanta.

Induksion i plotë përdoret shpesh në lojëra me parashkollorët si: "Thuaj me një fjalë".

Një shembull i një vërtetimi të drejtpërdrejtë të pohimit "Shuma e këndeve në çdo katërkëndësh është 360°":

“Merrni parasysh një katërkëndësh arbitrar. Duke vizatuar një diagonale në të, marrim 2 trekëndësha. Shuma e këndeve të katërkëndëshit do të jetë e barabartë me shumën e këndeve të dy trekëndëshave që rezultojnë. Meqenëse shuma e këndeve në çdo trekëndësh është 180°, atëherë duke i shtuar 180° dhe 180°, marrim shumën e këndeve në dy trekëndësha, do të jetë 360°. Prandaj, shuma e këndeve në çdo katërkëndësh është 360”, që është ajo që duhej vërtetuar.”

Nga prova e mësipërme mund të nxirren përfundimet e mëposhtme:

1. Nëse figura është katërkëndësh, atëherë mund të vizatoni një diagonale në të, e cila do ta ndajë katërkëndëshin në 2 trekëndësha. Kjo shifër është një katërkëndësh. Prandaj, mund të ndahet në 2 trekëndësha duke ndërtuar një diagonale.

2. Në çdo trekëndësh, shuma e këndeve është ISO." Këto figura janë trekëndësha. Prandaj, shuma e këndeve të secilit prej tyre është 180°.

3. Nëse një katërkëndësh përbëhet nga dy trekëndësha, atëherë shuma e këndeve të tij është e barabartë me shumën e këndeve të këtyre trekëndëshave. Ky katërkëndësh përbëhet nga dy trekëndësha me një shumë të këndeve 180°. 180o+180o=360°. Prandaj, shuma e këndeve në këtë katërkëndësh është 360°.

Të gjitha konkluzionet e mësipërme bëhen sipas rregullit të konkluzionit, prandaj, ato janë deduktive.

Një shembull i provave indirekte është prova me kontradiktë. NË në këtë rast lejohet se përfundimi është i rremë, prandaj mohimi i tij është i vërtetë. Duke e bashkangjitur këtë fjali me një sërë premisash të vërteta, ata kryejnë arsyetimin derisa të kenë një kontradiktë.

Le të japim një shembull të një vërtetimi me kontradiktë të teoremës: “Nëse dy drejtëza A Dhe b paralel me rreshtin e tretë c, atëherë ato janë paralele me njëri-tjetrin”:

“Le të supozojmë se vijat e drejta A Dhe b nuk janë paralele, atëherë do të kryqëzohen në një pikë A që nuk i përket drejtëzës c. Pastaj gjejmë se përmes pikës A mund të vizatojmë dy drejtëza a dhe b, paralele me c. Kjo bie ndesh me aksiomën e paralelizmit: “Përmes një pike

8. Bëni rregulla përcaktim i qartë përmes dallimit në gjini dhe specie.

9. Cili përkufizim quhet:

Kontekstual;

Tensionuese?

10. Çfarë është një deklaratë dhe çfarë është një formë shprehëse?

11. Kur janë të vërteta dhe kur janë të gabuara fjalitë e llojeve “A dhe B”, “A ose B”, “Jo A”?

12. Listoni kuantifikuesit e përgjithshëm dhe sasiorët e ekzistencës. Si të përcaktohet vlera e së vërtetës së fjalive me kuantifikues të ndryshëm?

13. Kur ekziston raporti i pasojës ndërmjet fjalive dhe kur ka raporti i barazvlefshmërisë? Si janë caktuar ato?

14. Çfarë është përfundimi? Cili përfundim quhet deduktiv?

15. Shkruani rregullat e përfundimit, rregullin e mohimit, rregullin e silogjizmit duke përdorur simbole.

16. Cilat konkluzione quhen induksion jo të plotë, dhe cilat përfundime sipas analogjisë?

17. Çfarë do të thotë të vërtetosh një pohim?

18. Çfarë është një provë matematikore?

19. Përcaktoni induksionin e plotë.

20. Çfarë janë sofistikat?

Koncepti i heuristikës në matematikë

1.1. Koncepti i provës në matematikë

Teoria e provës zhvillohet në logjikë dhe përfshin tre komponentët strukturorë: teza (ajo që supozohet të provohet), argumente (një grup faktesh, koncepte të pranuara përgjithësisht, ligje, etj. të shkencës përkatëse) dhe demonstrimi (procedura për zhvillimin e vetë provës; një zinxhir vijues konkluzionesh, kur Konkluzioni i n-të bëhet një nga premisat n+ përfundimi i parë). Theksohen rregullat e provës dhe tregohen gabimet e mundshme logjike.

Prova matematikore ka shumë të përbashkëta me parimet që janë vendosur logjika formale. Për më tepër, rregullat matematikore arsyetimi dhe veprimet padyshim shërbyen si një nga themelet në zhvillimin e procedurës së provës në logjikë. Në veçanti, studiuesit e historisë së formimit të logjikës formale besojnë se në një kohë, kur Aristoteli ndërmori hapat e parë për të krijuar ligje dhe rregulla logjike, ai u kthye në matematikë dhe në praktikën e veprimtarisë juridike. Në këto burime ai gjeti materiale për ndërtimin logjik të teorisë së tij të planifikuar.

Në shekullin e 20-të koncepti i provës ka humbur kuptimin e tij të rreptë, gjë që ndodhi në lidhje me zbulimin paradokse logjike, e fshehur në teorinë e bashkësive dhe veçanërisht në lidhje me rezultatet që sjellin teoremat e K. Gödel-it mbi paplotësinë e formalizimit. Serebryanikov O.F. Parimet heuristike dhe të menduarit logjik. M.: 1979. - f. 111

Para së gjithash, kjo ndikoi në vetë matematikën, në lidhje me të cilën besohej se termi "provë" nuk ka përcaktim i saktë. Por nëse një mendim i tillë (i cili ekziston edhe sot) ndikon në vetë matematikën, atëherë ata arrijnë në përfundimin se prova duhet pranuar jo në atë logjiko-matematikore, por në atë. sens psikologjik. Për më tepër, një pikëpamje e ngjashme gjendet edhe tek vetë Aristoteli, i cili besonte se të provosh do të thotë të zbatosh arsyetim që do të na bindte deri në atë masë sa që, duke e përdorur atë, të bindim të tjerët për drejtësinë e diçkaje. Hije e caktuar qasje psikologjike gjetur në A.E. Yesenin-Volpina. Ai kundërshton ashpër pranimin e së vërtetës pa prova, duke e lidhur këtë me një akt besimi dhe më tej shkruan: “Dëshmia e një gjykimi është një pritje e ndershme që e bën këtë gjykim të pamohueshëm”. Yesenin raporton se përkufizimi i tij ende ka nevojë për sqarim. Në të njëjtën kohë, a nuk tregon vetë karakterizimi i provave si "pritje e ndershme" një apel për një vlerësim moral dhe psikologjik?

Në të njëjtën kohë, zbulimi i paradokseve teorike të grupeve dhe shfaqja e teoremave të Gödel-it kontribuan në zhvillimin e teorisë së provës matematikore të ndërmarrë nga intuitistët, veçanërisht të drejtimit konstruktivist, dhe D. Hilbert.

Ndonjëherë besohet se një provë matematikore është universale në natyrë dhe përfaqëson opsion ideal prova shkencore. Megjithatë, nuk është metoda e vetme, ka mënyra të tjera të procedurave dhe operacioneve të bazuara në dëshmi. E vetmja gjë që është e vërtetë është se një provë matematikore ka shumë ngjashmëri me provën formale-logjike të zbatuar në shkencat natyrore, dhe se një provë matematikore ka një specifikë të caktuar, si dhe një grup teknikash dhe operacionesh. Do të ndalemi me kaq, duke lënë jashtë veçoritë e përbashkëta që e bëjnë të ngjashme me format e tjera të provës, pra pa zhvilluar algoritmin, rregullat, gabimet etj. në të gjitha hapat (edhe ato kryesore). procesi i provës.

Një provë matematikore është një arsyetim, detyra e të cilit është të vërtetojë të vërtetën (natyrisht, në një kuptim matematikor, domethënë si të deduktueshëm) të çdo deklarate.

Grupi i rregullave të përdorura në provë u formua së bashku me ardhjen e ndërtimet aksiomatike teoria matematikore. Kjo u kuptua më qartë dhe plotësisht në gjeometrinë e Euklidit. "Parimet" e tij u bënë një lloj standardi model i organizimit aksiomatik njohuri matematikore Dhe për një kohë të gjatë mbeti i tillë për matematikanët.

Deklaratat e paraqitura në formën e një sekuence të caktuar duhet të garantojnë një përfundim, i cili, në përputhje me rregullat e funksionimit logjik, konsiderohet i provuar. Duhet theksuar se një arsyetim i caktuar është një provë vetëm në lidhje me një sistem të caktuar aksiomatik.

Gjatë karakterizimit të një prove matematikore, dallohen dy tipare kryesore. Para së gjithash, prova matematikore përjashton çdo referencë për provat empirike. E gjithë procedura për të justifikuar vërtetësinë e një përfundimi kryhet brenda kornizës së aksiomatikës së pranuar. Akademiku A.D. Alexandrov thekson në këtë drejtim. Ju mund të matni këndet e një trekëndëshi mijëra herë dhe të siguroheni që ato janë të barabarta me 2d Serebryanikov O.F. Parimet heuristike dhe të menduarit logjik. M.: 1979. - f. 48-49. . Por ju nuk mund të provoni asgjë me matematikë. Ju mund t'ia vërtetoni atë nëse e nxirrni deklaratën e mësipërme nga aksiomat. Këtu matematika është afër metodave të skolasticizmit, i cili gjithashtu hedh poshtë në thelb argumentimin e bazuar në fakte të dhëna eksperimentalisht.

Për shembull, kur u zbulua pamatshmëria e segmenteve, kur provoni këtë teoremë, përdorni eksperiment fizik, meqenëse, së pari, vetë koncepti i "papërputhshmërisë" është i lirë kuptimi fizik, dhe, së dyti, matematikanët nuk mundën, kur kishin të bënin me abstraksionin, të sillnin në ndihmë zgjerime materialisht konkrete, të matshme me metoda ndijore-vizuale. Papërputhshmëria, në veçanti, e anëve dhe diagonaleve të një katrori vërtetohet bazuar në vetinë e numrave të plotë duke përdorur teoremën e Pitagorës mbi barazinë e katrorit të hipotenuzës (përkatësisht, diagonales) me shumën e katrorëve të këmbëve. (dy anë trekëndësh kënddrejtë). Ose kur Lobachevsky kërkoi konfirmim për gjeometrinë e tij, duke iu drejtuar rezultateve të vëzhgimeve astronomike, ky konfirmim u krye prej tij me anë të një natyre thjesht spekulative. Interpretimet e gjeometrisë jo-Euklidiane të kryera nga Cayley-Klein dhe Beltrami gjithashtu u shfaqën në mënyrë tipike matematikore dhe jo objekte fizike Lakatos I. Prova dhe përgënjeshtrime. M., 1967. - f. 84. .

Tipari i dytë i provës matematikore është abstraktiteti më i lartë i tij, në të cilin ai ndryshon nga procedurat e provës në shkencat e tjera. Dhe përsëri, si në rastin e konceptit të një objekti matematikor, po flasim për jo vetëm për shkallën e abstraksionit, por për natyrën e tij. Çështja është se nivel të lartë prova arrin në abstraksion edhe në një sërë shkencash të tjera, për shembull, në fizikë, kozmologji dhe, natyrisht, në filozofi, pasi tema e kësaj të fundit janë problemet përfundimtare të qenies dhe të menduarit. Matematika dallohet nga fakti se këtu funksionojnë variablat, kuptimi i të cilave është në abstragim nga çdo veti specifike. Kujtojmë se, sipas përkufizimit, variablat janë shenja që në vetvete nuk kanë kuptim dhe e marrin këtë të fundit vetëm kur zëvendësohen me emra. artikuj të caktuar(ndryshore individuale) ose kur tregohen veti dhe marrëdhënie specifike (ndryshore kallëzuese), ose, së fundi, në rastet e zëvendësimit të një ndryshoreje me një pohim kuptimplotë (ndryshore propozicionale).

Kjo veçori përcakton natyrën e abstraksionit ekstrem të shenjave të përdorura në vërtetimin matematikor, si dhe pohimeve, të cilat, për shkak të përfshirjes së variablave në strukturën e tyre, kthehen në funksione pohimesh.

Kështu, mund të nxirren përfundimet e mëposhtme.

Një provë matematikore është një argument që synon të vërtetojë vërtetësinë e një deklarate.

Gjatë karakterizimit të një prove matematikore, dallohen dy tipare kryesore. Para së gjithash, prova matematikore përjashton çdo referencë për provat empirike. Tipari i dytë i provës matematikore është abstraktiteti më i lartë i tij, në të cilin ai ndryshon nga procedurat e provës në shkencat e tjera.

Arsyetimi vektorial i gjeometrisë Euklidiane - Aksiomatika e Weyl-it

Problemi 1: Vërtetoni se diagonalet e një rombi janë pingule reciproke. Vërtetim: Le të jetë ABCD rombi i dhënë (Fig. 3). Le të prezantojmë shënimet =, =. Nga përkufizimi i rombit rrjedh ==, ==. Sipas përcaktimit të shumës dhe ndryshimit të vektorëve =+;=-. Konsideroni *=+)(-)=-...

Mundësitë kërkimi arsimor në vizatime dinamike

Përdorimi efektiv Kërkimi arsimor në mësimdhënien e matematikës presupozon njohjen e strukturës së tyre dhe qëllimit të përbërësve kryesorë të tij. Për ta bërë këtë, le t'i drejtohemi një analize të këndvështrimeve të psikologëve, mësuesve, matematikanëve dhe metodologëve ...

Problemet maksimale dhe minimale në gjeometri

Historia e formimit të konceptit të "algoritmit". Algoritme të famshme në historinë e matematikës

Matematika dhe bota moderne

Deri në fillim të shekullit të 17-të. matematika është kryesisht shkenca e numrave, sasitë skalare dhe relativisht e thjeshtë forma gjeometrike; sasitë që studion (gjatësitë, sipërfaqet, vëllimet etj.) konsiderohen konstante...

matematika e pabarazisë së ekuacionit Koncepti “ekuacion” u referohet koncepteve më të rëndësishme matematikore të përgjithshme. Ekzistojnë interpretime të ndryshme të konceptit "ekuacion". DHE UNË. Vilenkin et al drejton logjikisht - përkufizimi matematik ekuacionet...

Arritjet shkencore Pitagora

Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Ata të gjithë përdorin vetitë e zonës, vërtetimi i së cilës është më kompleks se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës. Vërtetimi përmes komplementimit...

Përcaktorët dhe zbatimi i tyre në algjebër dhe gjeometri

Vetia nr. 1: Përcaktori nuk ndryshon gjatë transportimit të matricave (rreshtave dhe kolonave). Vërtetim: Def. Matrica Aji quhet matrica e transpozuar Aij = det A = det AT det A = det AT Le të zgjedhim ndonjë term nga shuma e përcaktorit...

Marrëdhënie ekuivalente

I. Marrëdhëniet ndërmjet objekteve gjeometrike Shumë të njohura matematika shkollore konceptet janë, në thelb, emra marrëdhëniet binare, dhe teoremat kryesore që lidhen me to shprehin vetitë e këtyre marrëdhënieve. Shembulli 3.1...

Shumëkëndësha dhe shumëkëndësha të barabartë dhe të barabartë

Le të supozojmë se disa poliedra ndahen disi në poliedra përbërëse; skajet e këtyre poliedrave ndodhen në poliedrin origjinal përgjatë segmenteve, mbledhjen e të cilave do ta quajmë skelet i dekompozimit...

Një detyrë është një situatë problematike me një qëllim të përcaktuar qartë që duhet të arrihet; në më shumë në kuptimin e ngushtë detyrë quhet edhe vetë ky qëllim, i dhënë brenda kornizës situatë problematike dmth çfarë duhet bërë...

1. Metodat e vërtetimit matematik

2. Provat direkte dhe indirekte. Vërtetim me kontradiktë.

3. Përfundimet kryesore

Metodat e vërtetimit matematik

NË jetën e përditshme Shpesh, kur flasin për prova, ata thjesht nënkuptojnë kontrollimin e deklaratës së bërë. Në matematikë, verifikimi dhe vërtetimi janë gjëra të ndryshme, megjithëse janë të lidhura. Le të, për shembull, dëshironi të vërtetoni se nëse një katërkëndësh ka tre kënde të drejta, atëherë ai është një drejtkëndësh.

Nëse marrim ndonjë katërkëndësh, tre këndet e të cilit janë të drejta, dhe duke matur të katërtin, bindemi se ai është vërtet i drejtë, atëherë ky kontroll do ta bëjë këtë pohim më të besueshëm, por ende të pa provuar.

Për të vërtetuar këtë pohim, merrni parasysh një katërkëndësh arbitrar në të cilin tre kënde janë të drejta. Meqenëse në çdo katërkëndësh konveks shuma e këndeve është 360⁰, atëherë në këtë është 360⁰. Shuma e tre këndeve të drejta është 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), dhe për këtë arsye i katërti ka një vlerë prej 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Nëse të gjithë këndet e një katërkëndëshi janë kënde të drejta, atëherë ai është një drejtkëndësh Prandaj, ky katërkëndësh do të jetë një drejtkëndësh. Q.E.D.

Vini re se thelbi i provës është ndërtimi i një sekuence pohimesh të vërteta (teorema, aksioma, përkufizime), nga të cilat rrjedh logjikisht pohimi që do të vërtetohet.

fare të provosh një pohim do të thotë të tregosh se ky pohim rrjedh logjikisht nga një sistem pohimesh të vërteta dhe të ndërlidhura.

Në logjikë, besohet se nëse deklarata në fjalë rrjedh logjikisht nga pohime tashmë të vërtetuara, atëherë ajo është e justifikuar dhe po aq e vërtetë sa kjo e fundit.

Kështu, baza e provës matematikore është përfundimi deduktiv. Dhe vetë prova është një zinxhir konkluzionesh dhe përfundimi i secilit prej tyre (përveç të fundit) është një premisë në një nga përfundimet pasuese.

Për shembull, në provën e mësipërme mund të dallohen përfundimet e mëposhtme:

1. Në çdo katërkëndësh konveks, shuma e këndeve është 360⁰; këtë shifër – katërkëndësh konveks, pra, shuma e këndeve në të është 360⁰.

2. Nëse dihet shuma e të gjithë këndeve të një katërkëndëshi dhe shuma e tre prej tyre, atëherë me zbritje mund të gjesh vlerën e të katërtit; shuma e të gjitha këndeve të një katërkëndëshi të caktuar është 360⁰, shuma e tre është 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), atëherë vlera e të katërtit është 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Nëse të gjithë këndet në një katërkëndësh janë të drejtë, atëherë ky katërkëndësh është drejtkëndësh; Në një katërkëndësh të caktuar, të gjitha këndet janë kënde të drejta, prandaj është një drejtkëndësh.

Të gjitha konkluzionet e mësipërme bëhen sipas rregullit të përfundimit dhe, për rrjedhojë, janë deduktive.

Prova më e thjeshtë përbëhet nga një përfundim i vetëm. Kjo, për shembull, është prova e pohimit se 6< 8.

Pra, duke folur për strukturën e një prove matematikore, duhet të kuptojmë se ajo, para së gjithash, përfshin pohimin që vërtetohet dhe sistemin e pohimeve të vërteta me ndihmën e të cilave kryhet vërtetimi.

Duhet të theksohet gjithashtu se një provë matematikore nuk është vetëm një grup përfundimesh, por janë përfundime të renditura në një rend të caktuar.

Sipas mënyrës së administrimit (formës) dallojnë direkte dhe indirekte provë. Prova e konsideruar më parë ishte e drejtpërdrejtë - në të, bazuar në disa fjali të vërteta dhe duke marrë parasysh kushtet e teoremës, u ndërtua një zinxhir konkluzionesh deduktive që çuan në një përfundim të vërtetë.

Një shembull i provave indirekte janë provat nga kontradikta . Thelbi i saj është si më poshtë. Le të jetë e nevojshme të vërtetohet një teoremë

A ⇒ B. Kur provohet me kontradiktë, supozohet se përfundimi i teoremës (B) është i rremë, dhe, për rrjedhojë, mohimi i tij është i vërtetë. Duke i bashkangjitur fjalinë "jo B" grupit të premisave të vërteta të përdorura në procesin e provës (ndër të cilat është kushti A), ata ndërtojnë një zinxhir përfundimesh deduktive derisa të merret një pohim që kundërshton një nga premisat dhe, në veçanti, kushti A. Si vendoset vetëm një kontradiktë e tillë, procesi i vërtetimit përfundon dhe thuhet se kontradikta që rezulton vërteton vërtetësinë e teoremës.

Problemi 1. Vërtetoni se nëse a + 3 > 10, atëherë a ≠ 7. Metoda me kundërthënie.

Problemi 2. Vërtetoni se nëse x² është numër çift, atëherë x është çift. Metoda e kundërt.

Problema 3. Janë dhënë katër numra natyrorë të njëpasnjëshëm. A është e vërtetë që prodhimi i numrave mesatarë të kësaj sekuence më shumë punë ato ekstreme me 2? Metoda e induksionit jo të plotë.

Induksion i plotë- kjo është një metodë provimi në të cilën vërtetësia e një deklarate rrjedh nga e vërteta e saj në të gjitha rastet e veçanta.

Problemi 4. Vërtetoni se çdo komponent numri natyror, më i madh se 4 por më i vogël se 20, mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë.

Problemi 5. A është e vërtetë që nëse numri natyror n nuk është shumëfish i 3-it, atëherë vlera e shprehjes n² + 2 është shumëfish i 3-së? Metoda e induksionit të plotë.

Gjetjet kryesore

Në këtë pikë u njohëm me konceptet: përfundimi, premisa dhe përfundimi, konkluzionet deduktive (të sakta), induksioni jo i plotë, analogjia, provë e drejtpërdrejtë, vërtetim indirekt, induksion i plotë.

Ne kemi zbuluar se induksioni dhe analogjia jo e plotë janë të lidhura ngushtë me deduksionin: përfundimet e marra duke përdorur induksionin dhe analogjinë jo të plotë ose duhet të vërtetohen ose të kundërshtohen. Nga ana tjetër, zbritja nuk lind më hapësirë ​​boshe, por është rezultat i një studimi paraprak induktiv të materialit.

Arsyetimi deduktiv ju lejon të merrni të vërteta të reja nga njohuritë ekzistuese, dhe për më tepër, me ndihmën e arsyetimit, pa përdorur përvojën, intuitën, etj.

Zbuluam se një provë matematikore është një zinxhir konkluzionesh deduktive të kryera sipas rregulla të caktuara. Ne u njohëm me më të thjeshtat prej tyre: rregullin e përfundimit, rregullin e mohimit, rregullin e silogjizmit. Mësuam se mund të kontrolloni saktësinë e përfundimeve duke përdorur rrathët e Euler.

PROBLEMI TEKSTIT DHE PROCESI I ZGJIDHJES SË TIJ

Leksioni 11. Problem me fjalë dhe procesi i zgjidhjes së tij

1. Struktura e problemit me fjalë

2. Metoda dhe metoda për zgjidhjen e problemave me fjalë

3. Fazat e zgjidhjes së problemit dhe metodat e zbatimit të tyre

Përveç koncepte të ndryshme, propozime, dëshmi në ndonjë kurs matematike ka detyra. Në mësimdhënien e matematikës nxënës të shkollave të vogla mbizotërojnë ato që quhen aritmetike, tekstuale, komplote. Këto detyra janë formuluar në gjuhën natyrore (ato quhen teksti): zakonisht përshkruajnë anën sasiore të disa dukurive ose ngjarjeve (prandaj edhe quhen shpesh aritmetike ose komplot); ato përfaqësojnë probleme të gjetjes së asaj që kërkohet dhe zbresin në llogaritjen e vlerës së panjohur të një sasie të caktuar (prandaj ato nganjëherë quhen informatikë).

Në këtë manual do të përdorim termin “probleme me fjalë”, pasi më së shpeshti përdoret në metodologjinë e mësimdhënies së matematikës për nxënësit e shkollave fillore.

Zgjidhja e problemave me fjalë kur arsimi fillor i kushtohet vëmendje e madhe. Kjo për faktin se detyra të tilla shpesh nuk janë vetëm një mjet për të formuar shumë konceptet matematikore, por më e rëndësishmja - një mjet për zhvillimin e aftësive për të ndërtuar modele matematikore fenomene reale, si dhe një mjet për zhvillimin e të menduarit të fëmijëve.

Ka të ndryshme qasjet metodologjike për t'i mësuar fëmijët të zgjidhin probleme me fjalë. Por pavarësisht se çfarë metode mësimdhënieje zgjedh mësuesi, ai duhet të dijë se si funksionojnë probleme të tilla dhe të jetë në gjendje t'i zgjidhë ato metoda të ndryshme dhe mënyrat.

Struktura e problemit me fjalë

Siç u përmend më lart, çdo detyrë teksti është një përshkrim i një dukurie (situata, procesi). Nga ky këndvështrim, një problem teksti është një model verbal i një dukurie (situata, procesi). Dhe, si në çdo model, problemi i tekstit nuk përshkruan të gjithë fenomenin në tërësi, por vetëm disa nga aspektet e tij, kryesisht karakteristikat e tij sasiore. Merrni, për shembull, problemin e mëposhtëm: “Makina u largua nga pika A me një shpejtësi prej 60 km/h. Pas 2 orësh, një makinë e dytë doli pas tij me shpejtësi 90 km/h. Në cilën distancë nga A do të kalojë makina e dytë të parën?

Problemi përshkruan lëvizjen e dy makinave. Siç e dini, çdo lëvizje karakterizohet nga tre sasi: distanca e përshkuar, shpejtësia dhe koha e lëvizjes. Në këtë problem dihen shpejtësitë e veturës së parë dhe të dytë (60 km/h dhe 90 km/h), dihet se kanë kaluar të njëjtën distancë nga pika A deri në vendin e takimit, karakteristikat sasiore të së cilës duhet të jenë gjetur. Përveç kësaj, dihet se makina e parë ishte në rrugë 2 orë më shumë se e dyta.

Për ta përmbledhur, mund të themi se problemi me fjalë është një përshkrim i gjuha natyrore ndonjë dukuri (situatë, proces) me kërkesën për të dhënë një karakteristikë sasiore të çdo komponenti të këtij fenomeni, për të vërtetuar praninë ose mungesën e ndonjë marrëdhënieje midis përbërësve ose për të përcaktuar llojin e kësaj marrëdhënieje.

Le të shqyrtojmë një problem tjetër nga kursi fillestar Matematikanë: “Nga 1 kg 200 gr lesh u thur një triko, kapele dhe shall. Shamia kërkonte 100 g më shumë lesh se kapela dhe 400 g më pak se triko. Sa lesh keni përdorur për çdo artikull?

Problemi ka të bëjë me shpenzimin e leshit për një triko, kapele dhe shall. Lidhur me këto objekte ka disa deklaratat Dhe kërkesat.

Deklarata:

1. Një triko, një kapele dhe një shall janë thurur nga 1200 g leshi.

2. Shpenzuam 100 g më shumë për shall sesa për kapelë.

3. Shpenzuam 400 g më pak për shall sesa për pulovër.

Kërkesat:

1. Sa lesh keni përdorur për pulovrën?

2. Sa lesh keni përdorur në kapelë?

3. Sa lesh keni përdorur për shallin?

Deklaratat e problemit quhen kushtet(ose gjendje, si në shkollën fillore). Një problem zakonisht nuk përmban një kusht, por disa kushte elementare. Ato përfaqësojnë karakteristikat sasiore ose cilësore të objekteve të detyrës dhe marrëdhëniet ndërmjet tyre. Mund të ketë disa kërkesa në një detyrë. Ato mund të formulohen si në pyetje ashtu edhe formë pohuese. Kushtet dhe kërkesat janë të ndërlidhura.

Një sistem kushtesh dhe kërkesash të ndërlidhura quhet një model shprehës i një detyre.

Kështu, për të kuptuar se cila është struktura e një detyre, është e nevojshme të identifikohen kushtet dhe kërkesat e saj, duke hedhur poshtë gjithçka të panevojshme, dytësore, që nuk ndikon në strukturën e saj. Me fjalë të tjera, është e nevojshme të ndërtohet një model shprehës i problemit.

Për të marrë këtë model, duhet të zgjeroni tekstin e detyrës (kjo mund të bëhet me shkrim ose me gojë), pasi teksti i detyrës, si rregull, jepet në një formë të shkurtuar, të palosur. Për ta bërë këtë, mund ta riformuloni problemin, të ndërtoni një model grafik të tij, të prezantoni një shënim, etj.

Përveç kësaj, izolimi i kushteve problematike mund të bëhet me thellësi të ndryshme. Thellësia e analizës së kushteve dhe kërkesave të një problemi varet kryesisht nga fakti nëse jemi të njohur me llojin e problemeve të cilave i përket kjo e dhënë dhe nëse dimë t'i zgjidhim probleme të tilla.

Shembulli 1. Formuloni kushtet dhe kërkesat e detyrës:

Dy vajza vrapuan njëkohësisht drejt njëra-tjetrës përgjatë një piste sportive, gjatësia e së cilës është 420 m Kur u takuan, e para vrapoi 60 m më shumë se e dyta. Sa shpejt vraponte secila vajzë nëse takoheshin pas 30 sekondash?

Problemi ka të bëjë me lëvizjen e dy vajzave drejt njëra-tjetrës. Siç e dini, lëvizja karakterizohet nga tre sasi: distanca, shpejtësia dhe koha.

Kushtet e problemit:

1. Dy vajza vrapojnë drejt njëra-tjetrës.

2. Ata filluan të lëviznin në të njëjtën kohë.

3. Distanca që ata vrapuan është 420 m.

4. Një vajzë vrapoi 60 m më shumë se tjetra.

5. Vajzat u takuan pas 30 sekondash.

6. Shpejtësia e një vajze është më e madhe se shpejtësia e lëvizjes.
një tjetër.

Kërkesat e detyrës:

1. Sa shpejt vrapoi vajza e parë?

2. Sa shpejt vrapoi vajza e 2-të?

Në lidhje me kushtet dhe kërkesat, ekzistojnë:

A) detyra të caktuara - në to kushtet e dhëna aq sa
të nevojshme dhe të mjaftueshme për të përmbushur kërkesat;

b) detyra të papërcaktuara - në to kushtet nuk janë të mjaftueshme për të marrë një përgjigje;

V) detyra të ripërcaktuara - ato përmbajnë kushte të panevojshme.

NË shkollën fillore Detyrat e nënpërcaktuara konsiderohen si detyra me të dhëna të munguara, dhe detyrat e mbipërcaktuara konsiderohen si detyra me të dhëna të tepërta.

Për shembull, detyra "Afër shtëpisë kishte 5 pemë mollë, 2 pemë qershie dhe 3 pemë thupër. Sa pemë frutore u rritën pranë shtëpisë? është anashkaluar sepse përmban një kusht shtesë.

Problemi "Në fillim u nxorrën 12 karrige nga salla, pastaj 5 të tjera sa karrige mbetën në sallë?" është i nënpërcaktuar - kushtet e tij nuk janë të mjaftueshme për t'iu përgjigjur pyetjes së shtruar.

Le të sqarojmë tani kuptimin e termit "zgjidhje problemi". Kështu ndodhi që ky term i referohet koncepte të ndryshme:

1) zgjidhja e problemit është rezultati, d.m.th. përgjigje ndaj kërkesës
detyrat;

2) zgjidhja e një problemi është procesi i gjetjes së këtij rezultati, dhe ky proces konsiderohet në dy mënyra: dhe si një metodë për të gjetur rezultatin (për shembull, ata flasin për zgjidhjen e një problemi mënyrë aritmetike) dhe si një sekuencë e atyre veprimeve që kryen vendimmarrësi, duke përdorur një ose një metodë tjetër (d.m.th. në këtë rast nën
zgjidhja e një problemi kuptohet si të gjitha aktivitetet e personit që zgjidh problemin).

Ushtrime

1. Në detyrat e mëposhtme, theksoni kushtet dhe kërkesat:

a) Dy autobusë u nisën njëkohësisht nga qyteti në fshat, distanca deri në të cilën është 72 km. Autobusi i parë mbërriti në fshat 15 minuta më herët se i dyti. Me çfarë shpejtësie udhëtonte secili autobus nëse shpejtësia e njërit prej tyre ishte 4 km/h më e madhe se shpejtësia e tjetrit?

b) Shuma e dy numrave është 199. Gjeni këta numra nëse njëri prej tyre është 61 më shumë se tjetri.

2. Formuloni problemat nga ushtrimi 1 në atë mënyrë që fjalia që përmban kërkesën të mos përmbajë kushte.

3. Në problemat nga ushtrimi 1 formë urdhërore Zëvendësoni kërkesat me një pyetëse, pyetëse me një urdhërore.

4. Zgjidh problemat nga ushtrimi I.

5. Janë dhënë kushtet e detyrës: “Mblodhëm 42 kg tranguj dhe 5/7 e të gjithë kastravecave u turshi.”

Nga lista e mëposhtme, zgjidhni kërkesat për këtë gjendje dhe zgjidhni problemin që rezulton:

a) Sa kilogramë kastraveca kanë mbetur pa kripë?

b) Sa kilogramë domate kanë mbetur pa kripë?

c) Cila është më e madhe - masa e trangujve që janë kripur apo masa e trangujve që kanë mbetur pa kripë?

6. Formuloni kërkesat e mundshme për kushtet e problemit:

a) Blemë 12 m pëlhurë dhe përdorëm një të tretën e pëlhurës në një fustan.

b) Një këmbësor u largua nga fshati dhe 2 orë më vonë një çiklist u largua pas tij. Shpejtësia e një çiklist është 10 km/h, dhe shpejtësia e një këmbësori është 5 km/h.

7. Cilat të dhëna nevojiten për t'iu përgjigjur kërkesës së mëposhtme?
detyrat:

a) Cila pjesë e mësimit është përdorur për zgjidhjen e problemit?

b) Sa fustane u bënë nga pëlhura e blerë?

c) Gjeni perimetrin e drejtkëndëshit.

8. Nxënësit iu dha një detyrë: “Çiklisti eci për 2 orë me
disa shpejtësi. Pasi ai udhëton 60 km me të njëjtën
shpejtësia, rruga e tij do të jetë 48 km. Sa shpejt po shkonte?
çiklist?" Ai e zgjidhi kështu:

1)60-48= 12 (km)

2) 12:2 = 6 (km/h)

Përgjigje: 6 km/h është shpejtësia e çiklistit.

A jeni dakord me këtë zgjidhje për këtë problem?

9. A mund t'i përgjigjeni kërkesës së problemit të mëposhtëm:

a) Për 3 m pëlhurë ata paguan 60,000 rubla. Herën e dytë blemë 6 m pëlhurë. Sa para keni paguar për pëlhurën që keni blerë herën e dytë?

b) Dy motoçiklistë po lëvizin drejt njëri-tjetrit. Shpejtësia e njërës është 62 km/h, kurse e tjetrës është 54 km/h. Për sa orë do të takohen motoçiklistët?

Nëse është e pamundur t'i përgjigjeni kërkesës së problemit, plotësoni gjendjen e tij dhe zgjidhni problemin.

10. A ka ndonjë detyrat e mëposhtme me të dhëna shtesë:

a) Vëllimi i dhomës është 72 m³. Lartësia e dhomës është 3 m Gjeni sipërfaqen e dyshemesë së dhomës nëse gjatësia e saj është 6 m.

5) Një ngastër prej 300 hektarësh është ndarë për mbjellje pyjore. Du6 u mbollën në 7/10 të parcelës dhe pisha në 3/10 të parcelës. Sa hektarë janë të zënë nga lisi dhe pisha?

Nëse problemi përmban të dhëna të panevojshme, atëherë eliminoni atë dhe zgjidhni problemin.