Eksperimenti i Otto von Guericke me një piston 1654. Shpikësit e mëdhenj gjermanë

Një ekuacion diferencial është një ekuacion që përfshin një funksion dhe një ose më shumë prej derivateve të tij. Në shumicën probleme praktike funksionet paraqesin sasi fizike, derivatet korrespondojnë me ritmet e ndryshimit të këtyre madhësive dhe ekuacioni përcakton marrëdhënien midis tyre.

Ky artikull diskuton metodat për zgjidhjen e disa llojeve të ekuacioneve diferenciale të zakonshme, zgjidhjet e të cilave mund të shkruhen në formën funksionet elementare, pra polinomiale, eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike, si dhe funksionet e tyre të anasjellta. Shumë nga këto ekuacione shfaqen në jeta reale, megjithëse shumica e ekuacioneve të tjera diferenciale nuk mund të zgjidhen me këto metoda, dhe për to përgjigja shkruhet në formën e funksioneve të veçanta ose seri fuqie, ose gjendet me metoda numerike.

Për të kuptuar këtë artikull, duhet të jeni të aftë në llogaritjen diferenciale dhe integrale, si dhe të keni një kuptim të caktuar të derivateve të pjesshme. Rekomandohet gjithashtu të njihni bazat algjebër lineare në zbatim për ekuacionet diferenciale, veçanërisht për ekuacionet diferenciale të rendit të dytë, megjithëse njohuritë e llogaritjes diferenciale dhe integrale janë të mjaftueshme për zgjidhjen e tyre.

Informacion paraprak

• Ekuacionet diferenciale kanë një klasifikim të gjerë. NË Ky artikull flet per e zakonshme ekuacionet diferenciale X, pra për ekuacionet që përfshijnë një funksion të një ndryshoreje dhe derivatet e saj. Ekuacionet diferenciale të zakonshme janë shumë më të lehta për t'u kuptuar dhe zgjidhur sesa ekuacionet diferenciale të pjesshme, të cilat përfshijnë funksione të disa variablave. Ky artikull nuk diskuton ekuacionet diferenciale të pjesshme, pasi metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve zakonisht përcaktohen nga forma e tyre e veçantë.
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale të zakonshme.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale të pjesshme.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\i pjesshëm y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alfa (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^ (2))) = 0)
• Rendit i një ekuacioni diferencial përcaktohet nga rendi i derivatit më të lartë të përfshirë në këtë ekuacion. I pari nga ekuacionet diferenciale të zakonshme të mësipërme është i rendit të parë, ndërsa i dyti është një ekuacion i rendit të dytë. Diplomë quhet ekuacion diferencial shkallën më të lartë, në të cilën ngrihet një nga termat e këtij ekuacioni.
  • Për shembull, ekuacioni më poshtë është i rendit të tretë dhe i shkallës së dytë.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d))x^(3))\ djathtas)^(2)+(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=0)
• Ekuacioni diferencial është ekuacioni diferencial linear në rast se funksioni dhe të gjithë derivatet e tij janë në shkallën e parë. Përndryshe ekuacioni është ekuacioni diferencial jolinear. Ekuacionet diferenciale lineare janë të jashtëzakonshme në atë që zgjidhjet e tyre mund të përdoren për të formuar kombinime lineare që do të jenë gjithashtu zgjidhje për ekuacionin e dhënë.
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale lineare.
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale jolineare. Ekuacioni i parë është jolinear për shkak të termit sinus.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta)((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\djathtas)^(2)+tx^(2)=0)
• Vendim i përbashkët ekuacioni diferencial i zakonshëm nuk është unik, ai përfshin konstantet arbitrare të integrimit. Në shumicën e rasteve, numri i konstantave arbitrare është i barabartë me rendin e ekuacionit. Në praktikë, vlerat e këtyre konstanteve përcaktohen në bazë të dhënë kushtet fillestare, domethënë sipas vlerave të funksionit dhe derivateve të tij në x = 0. (\displaystyle x=0.) Numri i kushteve fillestare që janë të nevojshme për të gjetur zgjidhje private ekuacioni diferencial, në shumicën e rasteve është gjithashtu i barabartë me rendin e ekuacionit të dhënë.
  • Për shembull, ky artikull do të shikojë zgjidhjen e ekuacionit më poshtë. Ky është një ekuacion diferencial linear i rendit të dytë. Zgjidhja e tij e përgjithshme përmban dy konstante arbitrare. Për të gjetur këto konstante është e nevojshme të njihen kushtet fillestare në x (0) (\displaystyle x(0)) Dhe x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Zakonisht kushtet fillestare përcaktohen në pikë x = 0, (\displaystyle x=0,), edhe pse kjo nuk është e nevojshme. Ky artikull do të diskutojë gjithashtu se si të gjeni zgjidhje të veçanta për kushtet e dhëna fillestare.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Hapat

Pjesa 1

Kur përdorni këtë shërbim, disa informacione mund të transferohen në YouTube.

1. Ekuacionet lineare të rendit të parë. NË këtë seksion merren parasysh metodat për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale lineare të rendit të parë në raste të përgjithshme dhe të veçanta kur disa terma janë të barabartë me zero. Le të pretendojmë se y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Dhe q (x) (\displaystyle q(x)) janë funksione x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Sipas njërës prej teoremave kryesore analiza matematikore, integrali i derivatit të një funksioni është gjithashtu një funksion. Kështu, mjafton thjesht të integrojmë ekuacionin për të gjetur zgjidhjen e tij. Duhet pasur parasysh se gjatë llogaritjes integral i pacaktuar shfaqet një konstante arbitrare.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Ne përdorim metodën ndarja e variablave. Në këtë rast, variabla të ndryshëm transferohen në anët e ndryshme ekuacionet Për shembull, ju mund të zhvendosni të gjithë anëtarët nga y (\displaystyle y) në një, dhe të gjithë anëtarët me x (\displaystyle x) në anën tjetër të ekuacionit. Anëtarët gjithashtu mund të transferohen d x (\displaystyle (\mathrm (d))x) Dhe d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), të cilat përfshihen në shprehjet e derivateve, megjithatë, duhet të mbahet mend se ky është vetëm një simbol që është i përshtatshëm kur diferencon një funksion kompleks. Diskutimi i këtyre anëtarëve, të cilët thirren diferenciale, është përtej qëllimit të këtij neni.

   • Së pari, ju duhet të zhvendosni variablat në anët e kundërta të shenjës së barabartë.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit. Pas integrimit, konstante arbitrare do të shfaqen në të dy anët, të cilat mund të transferohen në anën e djathtë të ekuacionit.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Shembulli 1.1. Në hapin e fundit kemi përdorur rregullin e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) dhe zëvendësohet e C (\displaystyle e^(C)) në C (\displaystyle C), pasi kjo është gjithashtu një konstante integrimi arbitrare.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\shfaq stil (\fillojë )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\n y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\fund (lidhur)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\stil ekrani p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme ne prezantuam faktor integrues në funksion të x (\displaystyle x) për të reduktuar anën e majtë në një derivat të përbashkët dhe për të zgjidhur kështu ekuacionin.

   • Shumëzojini të dyja anët me μ (x) (\style ekrani \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Për të reduktuar anën e majtë në derivatin e përgjithshëm, duhet të bëhen transformimet e mëposhtme:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\ mathrm (d) )\mu )((\ mathrm (d) )x)) y+\mu (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Barazia e fundit do të thotë se d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ky është një faktor integrues që është i mjaftueshëm për të zgjidhur çdo ekuacion linear të rendit të parë. Tani mund të nxjerrim formulën për zgjidhjen e këtij ekuacioni në lidhje me μ , (\displaystyle \mu,) megjithëse është e dobishme për trajnimin të bëhen të gjitha llogaritjet e ndërmjetme.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Shembulli 1.2. Ky shembull tregon se si të gjendet një zgjidhje e veçantë për një ekuacion diferencial me dhënë kushtet fillestare.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\katër y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t)+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\shfaqja e stilit (\fillimi(në linjë)(\frac (\mathrm (d) )((\ mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\fund (lidhur)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Zgjidhja e ekuacioneve lineare të rendit të parë (shënimi Intuit - kombëtar universitet i hapur).

2. Ekuacionet jolineare të rendit të parë. Ky seksion diskuton metodat për zgjidhjen e disa ekuacioneve diferenciale jolineare të rendit të parë. Megjithëse nuk ka një metodë të përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, disa prej tyre mund të zgjidhen duke përdorur metodat e mëposhtme.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Nëse funksioni f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) mund të ndahet në funksione të një ndryshoreje, një ekuacion i tillë quhet ekuacioni diferencial me variabla të ndashëm. Në këtë rast, ju mund të përdorni metodën e mësipërme:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Shembulli 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ Fillim (i linjës)\int y(\ mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\fund (lidhur)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Le të pretendojmë se g (x, y) (\shfaqja e stilit g(x,y)) Dhe h (x , y) (\shfaqja e stilit h(x,y)) janë funksione x (\displaystyle x) Dhe y. (\displaystyle y.) Pastaj ekuacioni diferencial homogjenështë një ekuacion në të cilin g (\displaystyle g) Dhe h (\displaystyle h) janë funksionet homogjene në të njëjtën shkallë. Domethënë, funksionet duhet të plotësojnë kushtin g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\shfaqja e stilit g(\alfa x,\alfa y)=\alfa ^(k)g(x,y),) Ku k (\displaystyle k) quhet shkalla e homogjenitetit. Çdo ekuacion diferencial homogjen mund të përdoret nga të përshtatshme zëvendësimet e variablave (v = y / x (\displaystyle v=y/x) ose v = x / y (\displaystyle v=x/y)) konvertohet në një ekuacion të ndashëm.

   • Shembulli 1.4. Përshkrimi i mësipërm i homogjenitetit mund të duket i paqartë. Le ta shohim këtë koncept me një shembull.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Për të filluar, duhet të theksohet se ky ekuacion është jolinear në lidhje me y. (\displaystyle y.) Këtë e shohim edhe në në këtë rast Ju nuk mund të ndani variabla. Në të njëjtën kohë, ky ekuacion diferencial është homogjen, pasi si numëruesi ashtu edhe emëruesi janë homogjenë me fuqi 3. Prandaj, ne mund të bëjmë një ndryshim të ndryshoreve v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\ mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Si rezultat, ne kemi ekuacionin për v (\displaystyle v) me variabla të ndashëm.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Kjo Ekuacioni diferencial i Bernulit- një lloj i veçantë ekuacioni jolinear i shkallës së parë, zgjidhja e të cilit mund të shkruhet duke përdorur funksione elementare.

   • Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me (1 − n) y − n (\stil ekrani (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Ne përdorim rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks në anën e majtë dhe e transformojmë ekuacionin në ekuacioni linear relativisht y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) të cilat mund të zgjidhen duke përdorur metodat e mësipërme.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y^(1-n)) ((\ mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Kjo ekuacioni në diferencialet totale. Është e nevojshme për të gjetur të ashtuquajturat funksioni potencial φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), që plotëson kushtin d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Për të përmbushur këtë kusht, është e nevojshme të keni derivat total. Derivati ​​total merr parasysh varësinë nga variablat e tjerë. Për të llogaritur derivatin total φ (\displaystyle \varphi) Nga x , (\displaystyle x,) supozojmë se y (\displaystyle y) mund të varet edhe nga x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\ x e pjesshme))+(\frac (\ e pjesshme \varphi )(\ e pjesshme y))(\frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x)))
   • Krahasimi i termave na jep M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\x pjesshme))) Dhe N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ky është një rezultat tipik për ekuacionet në disa ndryshore, në të cilat derivatet e përziera të funksioneve të lëmuara janë të barabarta me njëri-tjetrin. Ndonjëherë ky rast quhet Teorema e Clairaut. Në këtë rast, ekuacioni diferencial është një ekuacion total diferencial nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\pjesshëm N)(\partial x)))
   • Metoda për zgjidhjen e ekuacioneve në diferencialet totale është e ngjashme me gjetjen e funksioneve potenciale në prani të disa derivateve, të cilat do t'i diskutojmë shkurtimisht. Së pari le të integrohemi M (\displaystyle M) Nga x. (\displaystyle x.) Sepse M (\displaystyle M)është një funksion dhe x (\displaystyle x), Dhe y , (\displaystyle y,) pas integrimit marrim një funksion jo të plotë φ , (\displaystyle \varphi,) caktuar si φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultati gjithashtu varet nga y (\displaystyle y) konstante integrimi.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Pas kësaj, për të marrë c (y) (\displaystyle c(y)) mund të marrim derivatin e pjesshëm të funksionit që rezulton në lidhje me y , (\displaystyle y,) barazojnë rezultatin N (x , y) (\style ekrani N(x,y)) dhe të integrohen. Ju gjithashtu mund të integroheni fillimisht N (\displaystyle N), dhe më pas merrni derivatin e pjesshëm në lidhje me x (\displaystyle x), i cili do t'ju lejojë të gjeni një funksion arbitrar d(x). (\displaystyle d(x).) Të dyja metodat janë të përshtatshme dhe zakonisht funksioni më i thjeshtë zgjidhet për integrim.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ i pjesshëm (\ tilde (\varphi )))(\ i pjesshëm y))+(\frac ((\ mathrm (d) )c) ((\ mathrm (d) )y)))
   • Shembulli 1.5. Ju mund të merrni derivate të pjesshme dhe të shihni se ekuacioni më poshtë është një ekuacion total diferencial.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\stil ekrani 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\fillim(linjëzuar)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\ mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\ pjesshme y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\ mathrm (d) )c)((\ mathrm (d) )y))\fund (rreshtuar)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\stil ekrani x^(3)+xy^(2)=C)
   • Nëse ekuacioni diferencial nuk është një ekuacion diferencial total, në disa raste mund të gjeni një faktor integrues që ju lejon ta shndërroni atë në një ekuacion total diferencial. Megjithatë, ekuacione të tilla përdoren rrallë në praktikë, dhe megjithëse faktori integrues ekziston, ndodh ta gjesh jo i lehtë, prandaj këto ekuacione nuk janë marrë parasysh në këtë artikull.

Pjesa 2

1. Ekuacione diferenciale lineare homogjene me koeficientë konstante. Këto ekuacione përdoren gjerësisht në praktikë, kështu që zgjidhja e tyre ka rëndësi parësore. Në këtë rast nuk po flasim për funksionet homogjene, por që ka një 0 në anën e djathtë të ekuacionit heterogjene ekuacionet diferenciale. Më poshtë a (\displaystyle a) Dhe b (\displaystyle b) janë konstante.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+a(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+nga=0)
   

   Ekuacioni karakteristik. Ky ekuacion diferencial është i jashtëzakonshëm në atë që mund të zgjidhet shumë lehtë nëse i kushtoni vëmendje karakteristikave që duhet të kenë zgjidhjet e tij. Nga ekuacioni është e qartë se y (\displaystyle y) dhe derivatet e tij janë në përpjesëtim me njëri-tjetrin. Nga shembujt e mëparshëm, të cilët u diskutuan në seksionin mbi ekuacionet e rendit të parë, ne e dimë se vetëm një funksion eksponencial e ka këtë veti. Prandaj, është e mundur të parashtrohet ansatz(një supozim i arsimuar) se cila do të jetë zgjidhja e këtij ekuacioni.

   • Zgjidhja do të ketë formën e një funksioni eksponencial e r x , (\displaystyle e^(rx),) Ku r (\displaystyle r)është një konstante vlera e së cilës duhet gjetur. Zëvendësoni këtë funksion në ekuacion dhe merrni shprehjen e mëposhtme
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Ky ekuacion tregon se prodhimi i një funksioni eksponencial dhe i një polinomi duhet të jetë i barabartë me zero. Dihet se eksponenti nuk mund të jetë i barabartë me zero për asnjë vlerë të shkallës. Nga kjo arrijmë në përfundimin se polinomi është i barabartë me zero. Kështu, ne e kemi reduktuar problemin e zgjidhjes së një ekuacioni diferencial në problemin shumë më të thjeshtë të zgjidhjes së një ekuacioni algjebrik, i cili quhet ekuacioni karakteristik për një ekuacion të caktuar diferencial.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Kemi dy rrënjë. Meqenëse ky ekuacion diferencial është linear, zgjidhja e tij e përgjithshme është një kombinim linear i zgjidhjeve të pjesshme. Meqenëse ky është një ekuacion i rendit të dytë, ne e dimë se është vërtetë zgjidhje të përgjithshme, dhe nuk ka të tjera. Një justifikim më rigoroz për këtë qëndron në teoremat mbi ekzistencën dhe veçantinë e një zgjidhjeje, të cilat mund të gjenden në tekstet shkollore.
   • Një mënyrë e dobishme për të kontrolluar nëse dy zgjidhje janë linearisht të pavarura është llogaritja Wronskiana. Vronskian W (\displaystyle W)është përcaktor i një matrice, kolonat e së cilës përmbajnë funksione dhe derivatet e tyre të njëpasnjëshme. Teorema lineare e algjebrës thotë se funksionet e përfshira në Wronskian janë linearisht të varur nëse Wronskian është i barabartë me zero. Në këtë seksion mund të kontrollojmë nëse dy zgjidhje janë linearisht të pavarura - për ta bërë këtë duhet të sigurohemi që Wronskian nuk është zero. Wronskian është i rëndësishëm kur zgjidhen ekuacionet diferenciale johomogjene me koeficientë konstante me metodën e parametrave të ndryshëm.
     • W = | y 1 y 2 y 1 "y 2 " | (\displaystyle W=(\fillimi(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\fund(vmatrix)))
   • Për sa i përket algjebrës lineare, bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të një ekuacioni diferencial të caktuar formon një hapësirë ​​vektoriale dimensioni i së cilës është i barabartë me rendin e ekuacionit diferencial. Në këtë hapësirë ​​mund të zgjidhni një bazë i pavarur në mënyrë lineare vendime nga njëri-tjetri. Kjo është e mundur për faktin se funksioni y (x) (\displaystyle y(x)) e vlefshme operator linear. Derivat është operator linear, meqënëse e shndërron hapësirën e funksioneve të diferencueshme në hapësirën e të gjitha funksioneve. Ekuacionet quhen homogjene në ato raste kur, për disa operator linear L (\displaystyle L) duhet të gjejmë një zgjidhje për ekuacionin L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Tani le të vazhdojmë të shqyrtojmë disa shembuj specifikë. Rastin e rrënjëve të shumëfishta të ekuacionit karakteristik do ta shqyrtojmë pak më vonë, në seksionin për zvogëlimin e rendit.

   Nëse rrënjët r ± (\displaystyle r_(\pm )) janë të ndryshme numra realë, ekuacioni diferencial ka zgjidhje tjetër

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dy rrënjë komplekse. Nga teorema themelore e algjebrës rezulton se zgjidhjet e ekuacioneve polinomiale me koeficientë realë kanë rrënjë që janë reale ose formojnë çifte të konjuguara. Prandaj, nëse një numër kompleks r = α + i β (\displaystyle r=\alfa +i\beta)është rrënja e ekuacionit karakteristik, atëherë r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alfa -i\beta)është edhe rrënja e këtij ekuacioni. Kështu, ne mund ta shkruajmë zgjidhjen në formë c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alfa +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x) megjithatë, është një numër kompleks dhe nuk është i dëshirueshëm për zgjidhjen e problemeve praktike.

   • Në vend të kësaj mund të përdorni formula e Euler-it e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), i cili ju lejon të shkruani zgjidhjen në formën e funksioneve trigonometrike:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alfa x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Tani mundeni në vend të një konstante c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) shkruani c 1 (\displaystyle c_(1)), dhe shprehja i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) zëvendësohet nga c 2 . (\displaystyle c_(2).) Pas kësaj marrim zgjidhjen e mëposhtme:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alfa x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • Ekziston një mënyrë tjetër për të shkruar zgjidhjen në aspektin e amplitudës dhe fazës, e cila është më e përshtatshme për problemet e fizikës.
   • Shembulli 2.1. Le të gjejmë një zgjidhje për ekuacionin diferencial të dhënë më poshtë me kushtet fillestare të dhëna. Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni zgjidhjen që rezulton, si dhe derivati ​​i tij, dhe t'i zëvendësojmë ato në kushtet fillestare, të cilat do të na lejojnë të përcaktojmë konstante arbitrare.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\ mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\katër x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\djathtas))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\fille(linjëzuar)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\djathtas)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\djathtas)\fund (lidhur)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\djathtas))
   
   Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të n-të me koeficientë konstante (regjistruar nga Intuit - National Open University).

2. Rendi në rënie. Reduktimi i rendit është një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale kur dihet një zgjidhje e pavarur lineare. Kjo metodë konsiston në uljen e rendit të ekuacionit me një, gjë që ju lejon të zgjidhni ekuacionin duke përdorur metodat e përshkruara në seksionin e mëparshëm. Le të dihet zgjidhja. Ideja kryesore e reduktimit të porosisë është gjetja e një zgjidhjeje në formën e mëposhtme, ku është e nevojshme të përcaktohet funksioni v (x) (\displaystyle v(x)), duke e zëvendësuar atë në ekuacionin diferencial dhe duke gjetur v(x). (\displaystyle v(x).) Le të shohim se si mund të përdoret reduktimi i rendit për të zgjidhur një ekuacion diferencial me koeficientë konstante dhe rrënjë të shumta.

   
   

   Rrënjë të shumta ekuacion diferencial homogjen me koeficientë konstante. Kujtoni se një ekuacion i rendit të dytë duhet të ketë dy zgjidhje linearisht të pavarura. Nëse ekuacioni karakteristik ka rrënjë të shumta, shumë zgjidhje Jo formon një hapësirë ​​pasi këto zgjidhje janë të varura në mënyrë lineare. Në këtë rast, është e nevojshme të përdoret reduktimi i rendit për të gjetur një zgjidhje të dytë lineare të pavarur.

   • Ekuacioni karakteristik le të ketë rrënjë të shumta r (\displaystyle r). Le të supozojmë se zgjidhja e dytë mund të shkruhet në formë y (x) = e r x v (x) (\stil ekrani y(x)=e^(rx)v(x)), dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin diferencial. Në këtë rast, shumica e termave, me përjashtim të termit me derivatin e dytë të funksionit v , (\displaystyle v,) do të reduktohet.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Shembulli 2.2. Le të jepet ekuacioni i mëposhtëm i cili ka shumë rrënjë r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Gjatë zëvendësimit, shumica e termave zvogëlohen.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+8( \frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\fillimi(linjëzuar)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\fund (lidhur)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\stili i ekranit (\fillimi(në linjë )v""e^(-4x)&-(\anulo (8v"e^(-4x)))+(\anulo (16ve^(-4x)))\\&+(\anulo (8v"e ^(-4x)))-(\anulo (32ve^(-4x)))+(\anulo (16ve^(-4x)))=0\fund (në linjë)))
   • Ngjashëm me ansatz-in tonë për një ekuacion diferencial me koeficientë konstante, në këtë rast vetëm derivati ​​i dytë mund të jetë i barabartë me zero. Ne integrojmë dy herë dhe marrim shprehjen e dëshiruar për v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Pastaj zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial me koeficientë konstante në rastin kur ekuacioni karakteristik ka rrënjë të shumta mund të shkruhet në formën e mëposhtme. Për lehtësi, mund ta mbani mend atë për të marrë pavarësia lineare thjesht shumëzojeni termin e dytë me x (\displaystyle x). Ky grup zgjidhjesh është linearisht i pavarur, dhe kështu ne kemi gjetur të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^( 2)))+p(x)(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Zvogëlimi i porosisë është i zbatueshëm nëse zgjidhja dihet y 1 (x) (\style ekrani y_(1)(x)), e cila mund të gjendet ose të jepet në deklaratën e problemit.

   • Ne po kërkojmë një zgjidhje në formë y (x) = v (x) y 1 (x) (\style ekrani y(x)=v(x)y_(1)(x)) dhe zëvendësojeni atë në këtë ekuacion:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Sepse y 1 (\displaystyle y_(1))është një zgjidhje për një ekuacion diferencial, të gjithë termat me v (\displaystyle v) janë duke u reduktuar. Në fund mbetet ekuacioni linear i rendit të parë. Për ta parë këtë më qartë, le të bëjmë një ndryshim të variablave w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp⁡ (∫ (2 y 1 '(x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\djathtas)(\ mathrm (d) )x\djathtas))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\ mathrm (d) )x)
   • Nëse integralet mund të llogariten, ne marrim zgjidhjen e përgjithshme si një kombinim i funksioneve elementare. Përndryshe, zgjidhja mund të lihet në formë integrale.

3. Ekuacioni Cauchy-Euler. Ekuacioni Cauchy-Euler është një shembull i një ekuacioni diferencial të rendit të dytë me variablat koeficientët, i cili ka zgjidhje të sakta. Ky ekuacion përdoret në praktikë, për shembull, për të zgjidhur ekuacionin Laplace në koordinata sferike.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+nga=0)
   

   Ekuacioni karakteristik. Siç mund ta shihni, në këtë ekuacion diferencial, çdo term përmban një faktor fuqie, shkalla e të cilit është e barabartë me rendin e derivatit përkatës.

   • Kështu, mund të përpiqeni të kërkoni një zgjidhje në formë y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) ku është e nevojshme të përcaktohet n (\displaystyle n), ashtu siç po kërkonim një zgjidhje në formën e një funksioni eksponencial për një ekuacion diferencial linear me koeficientë konstante. Pas diferencimit dhe zëvendësimit marrim
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Për të përdorur ekuacionin karakteristik, duhet të supozojmë se x ≠ 0 (\stil ekrani x\neq 0). Pika x = 0 (\displaystyle x=0) thirrur pikë e rregullt njëjës ekuacioni diferencial. Pika të tilla janë të rëndësishme kur zgjidhen ekuacionet diferenciale duke përdorur seritë e fuqisë. Ky ekuacion ka dy rrënjë, të cilat mund të jenë të ndryshme dhe reale, të shumëfishta ose komplekse.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b ))) (2)))

   Dy rrënjë të vërteta të ndryshme. Nëse rrënjët n ± (\displaystyle n_(\pm )) janë reale dhe të ndryshme, atëherë zgjidhja e ekuacionit diferencial ka formën e mëposhtme:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dy rrënjë komplekse. Nëse ekuacioni karakteristik ka rrënjë n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alfa \pm \beta i), zgjidhja është një funksion kompleks.

   • Për të kthyer zgjidhjen në funksion real, le të bëjmë një ndryshim të variablave x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) kjo eshte t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) dhe përdorni formulën e Euler-it. Veprime të ngjashme janë kryer më parë gjatë përcaktimit të konstantave arbitrare.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alfa t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Atëherë zgjidhja e përgjithshme mund të shkruhet si
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alfa )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Rrënjë të shumta. Për të marrë një zgjidhje të dytë linearisht të pavarur, është e nevojshme të zvogëlohet përsëri porosia.

   • Duhen mjaft llogaritje, por parimi mbetet i njëjtë: ne zëvendësojmë y = v (x) y 1 (\stil ekrani y=v(x)y_(1)) në një ekuacion zgjidhja e parë e të cilit është y 1 (\displaystyle y_(1)). Pas reduktimeve, merret ekuacioni i mëposhtëm:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Ky është një ekuacion linear i rendit të parë në lidhje me v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Zgjidhja e tij është v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\n x.) Kështu, zgjidhja mund të shkruhet në formën e mëposhtme. Kjo është mjaft e lehtë për t'u mbajtur mend - për të marrë zgjidhjen e dytë linearisht të pavarur thjesht kërkon një term shtesë me ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\style ekrani y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Ekuacione diferenciale lineare johomogjene me koeficientë konstante. Ekuacionet johomogjene kanë formën L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Ku f (x) (\displaystyle f(x))- të ashtuquajturat anëtar i lirë. Sipas teorisë së ekuacioneve diferenciale, zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është një mbivendosje zgjidhje private y p (x) (\style ekrani y_(p)(x)) Dhe zgjidhje shtesë y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Megjithatë, në këtë rast, një zgjidhje e veçantë nuk nënkupton një zgjidhje të dhënë nga kushtet fillestare, por më tepër një zgjidhje që përcaktohet nga prania e heterogjenitetit (një term i lirë). Një zgjidhje shtesë është zgjidhja e përkatëses ekuacioni homogjen, në të cilën f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Zgjidhja e përgjithshme është një mbivendosje e këtyre dy zgjidhjeve, pasi L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\ stili i shfaqjes L=L+L=f(x)), dhe që nga ajo kohë L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) një mbivendosje e tillë është me të vërtetë një zgjidhje e përgjithshme.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2))+a (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+nga=f(x))
   

   Metoda koeficientët e pasigurt. Metoda e koeficientëve të pacaktuar përdoret në rastet kur termi i ndërprerjes është një kombinim i funksioneve eksponenciale, trigonometrike, hiperbolike ose të fuqisë. Vetëm këto funksione garantohen të kenë një numër të kufizuar derivatesh linearisht të pavarur. Në këtë seksion do të gjejmë një zgjidhje të veçantë të ekuacionit.

   • Le të krahasojmë termat në f (x) (\displaystyle f(x)) me terma në pa i kushtuar vëmendje faktorëve të vazhdueshëm. Janë tre raste të mundshme.
     • Nuk ka dy anëtarë të njëjtë. Në këtë rast, një zgjidhje e veçantë y p (\displaystyle y_(p)) do të jetë një kombinim linear i termave nga y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) përmban anëtar x n (\displaystyle x^(n)) dhe anëtar nga y c , (\displaystyle y_(c),) Ku n (\displaystyle n) është zero ose një numër i plotë pozitiv, dhe ky term korrespondon me një rrënjë të veçantë të ekuacionit karakteristik. Në këtë rast y p (\displaystyle y_(p)) do të përbëhet nga një kombinim i funksionit x n + 1 h (x) , (\stil ekrani x^(n+1)h(x),) derivatet e tij linearisht të pavarura, si dhe terma të tjerë f (x) (\displaystyle f(x)) dhe derivatet e tyre linearisht të pavarura.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) përmban anëtar h (x) , (\displaystyle h(x),) që është një vepër x n (\displaystyle x^(n)) dhe anëtar nga y c , (\displaystyle y_(c),) Ku n (\displaystyle n) është e barabartë me 0 ose një numër i plotë pozitiv, dhe ky term korrespondon me të shumëfishta rrënja e ekuacionit karakteristik. Në këtë rast y p (\displaystyle y_(p))është një kombinim linear i funksionit x n + s h (x) (\style ekrani x^(n+s)h(x))(ku s (\displaystyle s)- shumësia e rrënjës) dhe derivatet e saj linearisht të pavarura, si dhe anëtarët e tjerë të funksionit f (x) (\displaystyle f(x)) dhe derivatet e tij linearisht të pavarura.
   • Le ta shkruajmë y p (\displaystyle y_(p)) si një kombinim linear i termave të renditur më sipër. Falë këtyre koeficientëve në një kombinim linear këtë metodë quhet “metoda e koeficientëve të papërcaktuar”. Kur përfshihet në y c (\displaystyle y_(c)) anëtarët mund të hiqen për shkak të pranisë së konstanteve arbitrare në y c . (\displaystyle y_(c).) Pas kësaj ne zëvendësojmë y p (\displaystyle y_(p)) në ekuacion dhe barazoni terma të ngjashëm.
   • Ne përcaktojmë koeficientët. Në këtë fazë fitohet sistemi ekuacionet algjebrike, të cilat zakonisht mund të zgjidhen pa asnjë problem. Zgjidhja e këtij sistemi na lejon të marrim y p (\displaystyle y_(p)) dhe në këtë mënyrë zgjidhni ekuacionin.
   • Shembulli 2.3. Le të shqyrtojmë një ekuacion diferencial johomogjen, termi i lirë i të cilit përmban një numër të kufizuar derivatesh linearisht të pavarur. Një zgjidhje e veçantë për një ekuacion të tillë mund të gjendet me metodën e koeficientëve të pacaktuar.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\fille(linjëzuar)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end (lidhur)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\shfaqja (\fillimi(rastet)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fund (rastet)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metoda e Lagranzhit. Metoda e Lagranzhit, ose metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare, është një më shumë metodë e përgjithshme zgjidhja e ekuacioneve diferenciale johomogjene, veçanërisht në rastet kur termi i lirë nuk përmban një numër të kufizuar derivatesh linearisht të pavarur. Për shembull, kur anëtarë të lirë tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) ose x − n (\displaystyle x^(-n)) për të gjetur një zgjidhje të veçantë është e nevojshme të përdoret metoda e Lagranzhit. Metoda e Lagranzhit mund të përdoret edhe për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale me koeficientë të ndryshueshëm, megjithëse në këtë rast, me përjashtim të ekuacionit Cauchy-Euler, përdoret më rrallë sepse zgjidhje shtesë zakonisht nuk shprehet përmes funksionet elementare.

   • Le të supozojmë se zgjidhja ka formën e mëposhtme. Derivati ​​i tij është dhënë në rreshtin e dytë.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\stil ekrani y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Meqenëse zgjidhja e propozuar përmban dy sasi të panjohura, është e nevojshme të imponohen shtesë gjendje. Le të zgjedhim këtë kusht shtesë në formën e mëposhtme:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\stil ekrani y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\stil ekrani y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Tani mund të marrim ekuacionin e dytë. Pas zëvendësimit dhe rishpërndarjes së anëtarëve, ju mund të gruponi së bashku anëtarët me v 1 (\displaystyle v_(1)) dhe anëtarët me v 2 (\displaystyle v_(2)). Këto terma reduktohen sepse y 1 (\displaystyle y_(1)) Dhe y 2 (\displaystyle y_(2)) janë zgjidhje të ekuacionit homogjen përkatës. Si rezultat marrim sistemin e mëposhtëm ekuacionet
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\stil ekrani (\fillimi(në linjë)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\fund (lidhur)))
   • Ky sistem mund të shndërrohet në një ekuacion matricë të formës A x = b, (\displaystyle A(\mathbf (x))=(\mathbf (b))) zgjidhja e të cilit është x = A − 1 b. (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Për matricën 2 × 2 (\stil ekrani 2\herë 2) matricë e anasjelltë gjendet duke pjestuar me përcaktorin, duke rirregulluar elementet diagonale dhe duke ndryshuar shenjën e elementeve jo diagonale. Në fakt, përcaktori i kësaj matrice është një Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\style display (\fille(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\fille(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ fund(pmatrix))(\fillimi(pmatrix)0\\f(x)\fund(pmatrix)))
   • Shprehje për v 1 (\displaystyle v_(1)) Dhe v 2 (\displaystyle v_(2)) janë dhënë më poshtë. Ashtu si në metodën e reduktimit të rendit, në këtë rast, gjatë integrimit, shfaqet një konstante arbitrare, e cila përfshin një zgjidhje shtesë në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\ mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\ mathrm (d) )x)
   
   Leksion nga National Open University Intuit me titull “Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të n-të me koeficientë konstante”.

Përdorimi praktik

Ekuacionet diferenciale vendosin një marrëdhënie midis një funksioni dhe një ose më shumë prej derivateve të tij. Për shkak se marrëdhëniet e tilla janë jashtëzakonisht të zakonshme, ekuacionet diferenciale kanë gjetur zbatim të gjerë në një sërë fushash, dhe meqenëse jetojmë në katër dimensione, këto ekuacione janë shpesh ekuacione diferenciale në private derivatet. Ky seksion mbulon disa nga ekuacionet më të rëndësishme të këtij lloji.

• Rritja dhe kalbja eksponenciale. Prishja radioaktive. Interesi i përbërë. Shpejtësia e reaksioneve kimike. Përqendrimi i barnave në gjak. Rritje e pakufizuar e popullsisë. Ligji i Njuton-Richmanit. NË botën reale Ka shumë sisteme në të cilat shkalla e rritjes ose e kalbjes në çdo kohë të caktuar është proporcionale me sasinë në ky moment kohë ose mund të përafrohet mirë nga modeli. Kjo për shkak se zgjidhja e këtij ekuacioni diferencial, funksioni eksponencial, është një nga më funksione të rëndësishme në matematikë dhe shkenca të tjera. Në më shumë rast i përgjithshëm me rritjen e kontrolluar të popullsisë, sistemi mund të përfshijë anëtarë shtesë që kufizojnë rritjen. Në ekuacionin e mëposhtëm, konstante k (\displaystyle k) mund të jetë më i madh ose më i vogël se zero.
  • d y d x = k x (\shfaqje stili (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=kx)
• Dridhjet harmonike. Si në mekanikën klasike ashtu edhe në atë kuantike, oshilatori harmonik është një nga më të rëndësishmit sistemet fizike për shkak të thjeshtësisë dhe aplikimit të gjerë për përafrimin e më shumë sisteme komplekse, të tilla si një lavjerrës i thjeshtë. NË mekanika klasike dridhjet harmonike përshkruhen nga një ekuacion që lidh pozicionin pikë materiale me nxitimin e tij nëpërmjet ligjit të Hukut. Në këtë rast, mund të merren parasysh edhe forcat amortizuese dhe lëvizëse. Në shprehjen e mëposhtme x ˙ (\style ekrani (\pika (x)))- derivati ​​kohor i x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta)- parametri që përshkruan forcën e amortizimit, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frekuenca këndore e sistemit, F (t) (\displaystyle F(t))- varur nga koha forca lëvizëse. Oscilator harmonikështë i pranishëm edhe në qarqet osciluese elektromagnetike, ku mund të zbatohet me saktësi më të madhe se në sistemet mekanike.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\stil ekrani (\ddot (x))+2\beta (\pika (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• ekuacioni i Besselit. Ekuacioni diferencial i Besselit përdoret në shumë fusha të fizikës, duke përfshirë zgjidhjen ekuacioni i valës, ekuacionet e Laplace dhe ekuacionet e Shrodingerit, veçanërisht në prani të një cilindrike ose simetri sferike. Ky ekuacion diferencial i rendit të dytë me koeficientë të ndryshueshëm nuk është një ekuacion Cauchy-Euler, kështu që zgjidhjet e tij nuk mund të shkruhen si funksione elementare. Zgjidhjet e ekuacionit të Besselit janë funksionet Bessel, të cilat janë studiuar mirë për shkak të zbatimit të tyre në shumë fusha. Në shprehjen e mëposhtme α (\displaystyle \alfa)- një konstante që korrespondon në rregull Funksionet Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alfa ^(2)) y=0)
• ekuacionet e Maksuellit. Së bashku me forcën e Lorencit, ekuacionet e Maxwell-it përbëjnë bazën elektrodinamika klasike. Këto janë katër ekuacionet diferenciale të pjesshme për elektrike E (r , t) (\style ekrani (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) dhe magnetike B (r , t) (\style ekrani (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) fusha. Në shprehjet e mëposhtme ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- dendësia e ngarkesës, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- dendësia e rrymës dhe ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Dhe μ 0 (\style ekrani \mu _(0))- konstante elektrike dhe magnetike, përkatësisht.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\fillimi(në linjë)\nabla (\mathbf (E))&=(\frac (\rho)(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B))&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\ t pjesshme))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\ t pjesshme))\fund (rreshtuar)))
• ekuacioni i Shrodingerit. Në mekanikën kuantike, ekuacioni i Shrodingerit është ekuacioni themelor i lëvizjes, i cili përshkruan lëvizjen e grimcave në përputhje me një ndryshim në funksionin e valës. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) me kohë. Ekuacioni i lëvizjes përshkruhet nga sjellja Hamiltonian H^(\displaystyle (\kapelë (H))) - operatori, i cili përshkruan energjinë e sistemit. Një nga gjerësisht shembuj të famshëm Ekuacioni i Shrodingerit në fizikë është një ekuacion për një grimcë të vetme jo-relativiste që vepron mbi të nga një potencial V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Shumë sisteme përshkruhen nga ekuacioni i Schrödinger-it të varur nga koha, dhe në anën e majtë të ekuacionit është E Ψ , (\displaystyle E\Psi,) Ku E (\displaystyle E)- energjia e grimcave. Në shprehjet e mëposhtme ℏ (\displaystyle \hbar)- Konstanta e reduktuar e Plankut.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=(\hat (H))\Psi)
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\majtas(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r)),t)\djathtas)\Psi)
• Ekuacioni i valës. Fizika dhe teknologjia nuk mund të imagjinohen pa valë, ato janë të pranishme në të gjitha llojet e sistemeve. Në përgjithësi, valët përshkruhen nga ekuacioni i mëposhtëm, në të cilin u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))është funksioni i dëshiruar, dhe c (\displaystyle c)- konstante e përcaktuar eksperimentalisht. d'Alembert ishte i pari që zbuloi se për rastin njëdimensional zgjidhja e ekuacionit të valës është ndonjë funksion me argument x − c t (\displaystyle x-ct), i cili përshkruan një valë të formës arbitrare që përhapet në të djathtë. Zgjidhja e përgjithshme për rastin njëdimensional është një kombinim linear i këtij funksioni me një funksion të dytë me argument x + c t (\displaystyle x+ct), i cili përshkruan një valë që përhapet në të majtë. Kjo zgjidhje është paraqitur në rreshtin e dytë.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Ekuacionet Navier-Stokes. Ekuacionet Navier-Stokes përshkruajnë lëvizjen e lëngjeve. Meqenëse lëngjet janë të pranishme pothuajse në çdo fushë të shkencës dhe teknologjisë, këto ekuacione janë jashtëzakonisht të rëndësishme për parashikimin e motit, projektimin e avionëve, studimin rrymat oqeanike dhe zgjidhjen e shumë problemeve të tjera të aplikuara. Ekuacionet Navier-Stokes janë ekuacione diferenciale të pjesshme jolineare dhe në shumicën e rasteve janë shumë të vështira për t'u zgjidhur sepse jolineariteti çon në turbulenca, dhe për të marrë një zgjidhje të qëndrueshme me metoda numerike kërkohet ndarje në qeliza shumë të vogla, gjë që kërkon fuqi të konsiderueshme llogaritëse. Për qëllime praktike në hidrodinamikë, metoda të tilla si mesatarja e kohës përdoren për të modeluar rrjedhat turbulente. Detyra komplekse janë pyetje edhe më themelore, të tilla si ekzistenca dhe unike e zgjidhjeve për ekuacionet diferenciale jolineare të pjesshme, dhe prova e ekzistencës dhe unike e një zgjidhjeje për ekuacionet Navier-Stokes në tre dimensione është ndër problemet matematikore mijëvjeçarit. Më poshtë janë ekuacioni i rrjedhës së lëngut të pakompresueshëm dhe ekuacioni i vazhdimësisë.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\ t pjesshme))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Shumë ekuacione diferenciale thjesht nuk mund të zgjidhen duke përdorur metodat e mësipërme, veçanërisht ato të përmendura në pjesën e fundit. Kjo vlen për rastet kur ekuacioni përmban koeficientë të ndryshueshëm dhe nuk është një ekuacion Cauchy-Euler, ose kur ekuacioni është jolinear, përveç në disa raste shumë të rralla. Megjithatë, metodat e mësipërme mund të zgjidhin shumë ekuacione diferenciale të rëndësishme që hasen shpesh në fusha të ndryshme shkencat.
• Ndryshe nga diferencimi, i cili ju lejon të gjeni derivatin e çdo funksioni, integrali i shumë shprehjeve nuk mund të shprehet në funksione elementare. Pra, mos humbni kohë duke u përpjekur të llogaritni një integral aty ku është e pamundur. Shikoni tabelën e integraleve. Nëse zgjidhja e një ekuacioni diferencial nuk mund të shprehet në terma të funksioneve elementare, ajo ndonjëherë mund të përfaqësohet në formë integrale, dhe në këtë rast nuk ka rëndësi nëse ky integral mund të llogaritet në mënyrë analitike.

Paralajmërimet

• Pamja e jashtme ekuacioni diferencial mund të jetë mashtrues. Për shembull, më poshtë janë dy ekuacione diferenciale të rendit të parë. Ekuacioni i parë mund të zgjidhet lehtësisht duke përdorur metodat e përshkruara në këtë artikull. Në pamje të parë, një ndryshim i vogël y (\displaystyle y) në y 2 (\displaystyle y^(2)) në ekuacionin e dytë e bën atë jolinear dhe bëhet shumë i vështirë për t'u zgjidhur.
  • d y d x = x 2 + y (\stili i shfaqjes (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

eksperimente me vakum

Në vitin 1657, ai shpiku një barometër uji, me të cilin në vitin 1660 parashikoi një stuhi që afrohej 2 orë para shfaqjes së saj, duke hyrë kështu në histori si një nga meteorologët e parë.

Pompe ajri

Guericke, siç dihet, në fillim nuk e konsideroi të mundur të pomponte ajrin drejtpërdrejt dhe donte të krijonte një hapësirë ​​boshe në një fuçi të mbyllur hermetikisht duke hequr ujin që e mbushte. Për këtë qëllim, ai vendosi një pompë në fund të tytës, duke menduar se vetëm me këtë rregullim të pajisjes uji do të ndiqte pistonin e pompës për shkak të gravitetit të tij. Nga kjo shohim se në fillim Guericke nuk kishte ende një koncept të caktuar për presionin atmosferik dhe elasticitetin e ajrit në përgjithësi. Kur kjo tentativë e parë dështoi, meqenëse ajri i jashtëm fërshëlleu në zbrazëtinë e krijuar përmes të çarave dhe poreve të fuçisë, Guericke u përpoq ta vendoste fuçinë e tij në një tjetër, gjithashtu të mbushur me ujë, duke synuar në këtë mënyrë të mbronte zbrazëtinë nga ajri që nxitonte në atë nga jashtë. Por edhe këtë herë eksperimenti rezultoi i pasuksesshëm, sepse uji nga fuçia e jashtme, nën ndikimin e presionit atmosferik, kalonte përmes poreve në atë të brendshme dhe mbushte zbrazëtinë. Pastaj, më në fund, Guericke vendosi të aplikonte një pompë për të pompuar drejtpërdrejt ajrin nga një enë sferike bakri, duke iu përmbajtur ende supozimit të tij të rremë se ajri, ashtu si uji, mund të ndiqte pistonin e pompës vetëm për shkak të gravitetit të tij, kështu që tani pompa u vidhos. në fund të enës dhe ndodhet vertikalisht. Rezultati i pompimit ishte krejtësisht i papritur dhe i trembi të gjithë të pranishmit: topi i bakrit nuk mund t'i rezistonte presionit të jashtëm dhe u thërrmua dhe u rrafshua me një përplasje. Kjo e detyroi Guericken të përgatiste tanke me formë më të fortë dhe më të rregullt për eksperimentet e ardhshme. Vendndodhja e papërshtatshme e pompës së shpejti e detyroi Guericken të ndërtonte një trekëmbësh të veçantë për të gjithë pajisjen dhe të bashkonte një levë në piston; në këtë mënyrë u ndërtua pompa e parë e ajrit, e quajtur nga autori Antlia pneumatica. Sigurisht, pajisja ishte ende shumë larg nga perfektja dhe kërkonte të paktën tre persona për të manipuluar pistonin dhe çezmat, të zhytura në ujë, për të izoluar më mirë boshllëkun që rezulton nga ajri i jashtëm.

Studimi i efektit të nxehtësisë në ajër

Guericke studioi gjithashtu efektin e nxehtësisë në ajër, dhe megjithëse ai nuk bëri ndonjë përmirësim të dukshëm në hartimin e termometrit të tij të ajrit në krahasim me instrumentet e njohura në atë kohë (të cilat në kohën e tij në Itali quheshin caloris mensor), megjithatë mund të themi me siguri se ai ishte meteorologu i parë në kohë. Pa prekur çështjen e diskutueshme dhe në thelb të parëndësishme të shpikjes së termometrit, që më së shpeshti i atribuohet Galileos, por edhe Drebbelit dhe mjekut Sanctorius, vërejmë vetëm se forma e tij origjinale ishte jashtëzakonisht e papërsosur: së pari, sepse leximet e Në pajisje nuk u ndikua vetëm temperatura, por edhe presioni atmosferik, dhe së dyti, për shkak të mungesës së një njësie (shkallë) specifike për krahasimin e efekteve termike.

Termometri Guericke. Ilustrim nga libri Experimenta Nova Magdeburgica i Otto von Guericke.

Termometri (ajri) i asaj kohe përbëhej nga një rezervuar me një tub të zhytur me skajin e hapur në një enë me ujë; niveli i ujit të ngritur në tub ndryshonte, natyrisht, në varësi të temperaturës së ajrit në rezervuar dhe presionit të jashtëm atmosferik. Është e çuditshme që Guericke, të cilit ky ndikim i fundit duhet t'i ishte njohur mirë, nuk i kushtoi vëmendje të paktën në termometrin e tij. Vetë pajisja, e destinuar ekskluzivisht për vëzhgimin e ndryshimeve në temperaturën e ajrit të jashtëm dhe për këtë arsye e vendosur si një barometër në murin e jashtëm të shtëpisë, përbëhej nga një tub sifon (metal) i mbushur afërsisht gjysmën me alkool; njëri skaj i tubit komunikonte me një top të madh që përmbante ajër, tjetri ishte i hapur dhe përmbante një notues, nga i cili një fije kalonte nëpër një bllok; Në fund të fillit, një figurë druri lëkundet lirshëm në ajër, duke treguar me dorën e saj një peshore me 7 ndarje. Të gjitha detajet e pajisjes, përveç topit në të cilin ishte shfaqur mbishkrimi Perpetuum mobile, figurave dhe peshoreve, ishin gjithashtu të mbuluara me dërrasa. Pika ekstreme në peshore u shënuan me fjalët: magnus frigus dhe magnus calor. Vija e mesme kishte kuptim të veçantë, si të thuash, klimatike: duhej të korrespondonte me temperaturën e ajrit në të cilën shfaqen ngricat e para të natës së vjeshtës në Magdeburg.

Nga këtu mund të konkludojmë se megjithëse përpjekjet e para për të shënuar 0° në shkallën e termometrit i përkisnin Akademisë Firentine (Del Cimento), e famshme në historinë e fizikës eksperimentale, Guericke gjithashtu kuptoi se sa e rëndësishme dhe e nevojshme është të kesh të paktën një në shkallën termometrike pikë konstante, dhe, siç e shohim, ai u përpoq të bënte një hap të ri përpara në këtë drejtim, duke zgjedhur të rregullonte termometrin e tij një vijë arbitrare që korrespondon me ngricat e para të vjeshtës.

Studimi i energjisë elektrike

Gdhendje nga viti 1750 që tregon një pajisje për gjenerimin e elektricitetit statik.

Tani le të kalojmë në një fushë tjetër të fizikës, në të cilën edhe emri Guericke gëzon famë të merituar. Bëhet fjalë për energjinë elektrike, e cila në atë kohë, e quajtur si të thuash, jetë nga kërkimet eksperimentale të Hilbertit, përfaqësonte në formën e disa fakteve fragmentare vetëm një embrion të parëndësishëm dhe jo interesant të asaj force madhështore që ishte e destinuar të fitonte. vëmendjen e gjithë botës së qytetëruar dhe ngatërroj Toka rrjetin e udhërrëfyesve të tyre.

Otto von Guericke nganjëherë quhet vetëm një shpikës i zgjuar i instrumenteve fizike, duke u përpjekur të bëhet i famshëm në mesin e bashkëkohësve të tij për eksperimentet e tij madhështore dhe duke u kujdesur pak për përparimin e shkencës. Por Ferdinand Rosenberger (1845-1899) në "Historinë e Fizikës" me të drejtë vëren se një qortim i tillë është pa asnjë bazë, pasi Guericke nuk kishte qëllimin ekskluziv të befasonte publikun. Ai udhëhiqej gjithmonë nga interesa thjesht shkencore dhe nga eksperimentet e tij nxirrte jo ide fantastike, por përfundime të vërteta shkencore. Prova më e mirë për këtë është e tij studime eksperimentale dukuritë e elektricitetit statik, për të cilin në atë kohë - po e përsërisim - pakkush ishte i interesuar.

Duke dashur të përsëriste dhe testonte eksperimentet e Hilbertit, Guericke shpiku një pajisje për marrjen e gjendjes elektrike, e cila, megjithëse nuk mund të quhet makinë elektrike në kuptimin e vërtetë të fjalës, sepse i mungonte një kondensator për mbledhjen e energjisë elektrike të zhvilluar nga fërkimi, megjithatë shërbeu. si një prototip për të gjithë të rregulluar më vonë zbulimet elektrike. Kjo, para së gjithash, duhet të përfshijë zbulimin e zmbrapsjes elektrike, e cila ishte e panjohur për Gilbert.

Për të zhvilluar gjendjen elektrike, Guericke përgatiti një top mjaft të madh squfuri, i cili, përmes një boshti të filetuar, u vendos në rrotullim dhe thjesht fërkohej me një dorë të thatë. Duke elektrizuar këtë top, Guericke vuri re se trupat e tërhequr nga topi zmbrapsen pas prekjes; pastaj vuri re gjithashtu se një copë pushi që noton lirshëm në ajër, e tërhequr dhe më pas e shtyrë nga topi, tërhiqet nga trupa të tjerë. Guericke vërtetoi gjithashtu se gjendja elektrike transmetohet përmes një filli (liri); por në të njëjtën kohë, duke mos ditur asgjë për izoluesit, ai e mori gjatësinë e fillit në vetëm një kubit dhe mund ta jepte vetëm rregullimi vertikal. Ai ishte i pari që vëzhgoi një shkëlqim elektrik në errësirë ​​në topin e tij të squfurit, por nuk mori një shkëndijë; ai dëgjoi gjithashtu një zhurmë të dobët kërcitëse "në topin e squfurit" kur e afroi pranë veshit, por nuk dinte se çfarë t'ia atribuonte.

Studimi i magnetizmit

Në fushën e magnetizmit, Guericke bëri gjithashtu disa vëzhgime të reja. Ai zbuloi se shufrat vertikale prej hekuri në shufrat e dritares magnetizoheshin, duke përfaqësuar polet e veriut në krye dhe polet e jugut në fund, dhe tregoi se ishte e mundur të magnetizonte pak një shirit hekuri duke e vendosur atë në drejtim të meridianit. dhe duke e goditur me çekiç.

Kërkime në astronomi

Struktura e Universit sipas Otto von Guericke

Studioi gjithashtu astronomi. Ai ishte një mbështetës i sistemit heliocentrik. Ai zhvilloi sistemin e tij kozmologjik, i cili ndryshonte nga sistemi i Kopernikut me supozimin e pranisë së hapësirës së pafundme në të cilën shpërndahen yjet fikse. Besohej se hapësira e jashtme ishte bosh, por midis trupat qiellorë forcat me rreze të gjatë veprojnë për të rregulluar lëvizjen e tyre.

E mbyllim kavanozin e qelqit me një buzë të lëmuar me një pjatë të hollë qelqi dhe fillojmë të nxjerrim ajrin nga kavanoza (Fig. 276). Pllaka e qelqit do të shtypet fort kundër kavanozit nga presioni i jashtëm dhe, nëse pompimi vazhdon, do të shtypet nga diferenca e presionit midis pjesës së jashtme dhe të brendshme të kavanozit.

Oriz. 276. Presioni i tepërt i jashtëm mbi presionin e brendshëm shtyn përmes një pllake xhami

Një nga eksperimentet e para të kryera për të vërtetuar ekzistencën e presionit të ajrit ishte eksperimenti i famshëm me "hemisferat e Magdeburgut", i kryer nga fizikani gjerman Otto von Guericke në 1654 (në Magdeburg). Ai nxori ajrin nga dy hemisfera bakri të palosur së bashku dhe presioni i ajrit të jashtëm i shtypi hemisferat aq fort sa dy grupe kuajsh nuk mund t'i ndanin ato (Fig. 277). Natyrisht, roli i parzmores së dytë mund të luhej nga një shtyllë e fortë në të cilën do të ngjitej njëra nga hemisferat. Në Fig. 278 tregon një modifikim të eksperimentit të Guericke me një ngarkesë të pezulluar.

Oriz. 277. Gdhendje nga libri i Guericke “New Magdeburg Experiments”. Grisja e hemisferave nga karrocat e kuajve

Oriz. 278. Gdhendje nga libri i Guericke “New Magdeburg Experiments”. Hemisfera grisëse me peshë të pezulluar

Në mjekësi, ndonjëherë përdoren kupa pneumatike, të përbëra nga një filxhan me një tullumbace gome (Fig. 279). Shtrydhni balonën me dorë, largoni ajrin prej tij dhe aplikojeni filxhanin në lëkurë. Nëse tani e lëshoni tullumbacen, atëherë për shkak të elasticitetit të saj ai do të pranojë përsëri formë sferike, vëllimi i brendshëm i kanaçes do të rritet dhe presioni i ajrit që mbetet në kanaçe do të ulet. Kavanoza do të shtypet fort në lëkurë nga presioni i ajrit të jashtëm. Lëkura nën kavanoz bëhet shumë e kuqe; ajo lë një mavijosje. Gjaku që ka presion atmosferik në trup rrjedh në një vend me më pak presion. Ky fluks lokal i gjakut është qëllimi i filxhanit. Në këtë rast, ajri i tretur në gjak, duke u zgjeruar me uljen e presionit, çajnë enët e vogla të gjakut, duke formuar një mavijosje. Nëse shtypni lëkurën në skajin e kavanozit dhe lejoni hyrjen në ajrin e jashtëm, presioni nga brenda dhe jashtë do të jetë i barabartë dhe kavanoza do të bjerë vetë.

Fizikani, inxhinieri dhe filozofi gjerman Otto von Guericke lindi në Magdeburg më 20 nëntor 1602. Pas mbarimit të shkollës së qytetit, ai vazhdoi studimet në universitetet e Leipzig, Helmstadt, Jena dhe Leiden.

Larg nga të qenit një shkencëtar kolltuk, Guericke ishte i interesuar gjatë gjithë jetës së tij shkencat natyrore. Për të testuar postulatin e Aristotelit - natyra nuk toleron hapësira boshe - ai shpiku një pompë ajri, me ndihmën e së cilës kreu eksperimentin e tij të famshëm me hemisferat e Magdeburgut në 1654. Për të kryer eksperimentin, u bënë dy hemisfera bakri me diametër 14 inç (35,6 cm), njëra prej të cilave ishte e pajisur me një tub për pompimin e ajrit. Këto hemisfera u bashkuan dhe midis tyre u vendos një unazë lëkure e njomur me dyll të shkrirë. Pastaj, duke përdorur një pompë, ajri u pompua nga zgavra e formuar midis hemisferave. Çdo hemisferë kishte unaza hekuri, të cilat u mblodhën në dy ekipe kuajsh. Në 1654, në Regensburg, von Guericke demonstroi eksperimentin në Reichstag në prani të perandorit Ferdinand III. Pas pompimit të ajrit nga sfera, 16 kuaj, 8 në secilën anë, nuk ishin në gjendje t'i ndanin hemisferat, por kur ajri u fut në hemisfera, ata u shpërbënë pa përpjekje. Nuk dihet nëse kuajt nga të dyja anët janë përdorur për argëtim më të madh apo nga injoranca e vetë fizikanit, sepse ishte e mundur të zëvendësohej gjysma e kuajve me një montim fiks, pa humbur forcën e ndikimit në hemisferat. Në 1656 Guericke përsëriti eksperimentin në Magdeburg, dhe në 1663 në Berlin me 24 kuaj. Sipas llogaritjeve të mëvonshme, për të kapërcyer përpjekjen ishte e nevojshme të mbroheshin 13 kuaj të fortë dramë në secilën anë.

Vizatim nga Gaspard Schott "Hemisferat e Magdeburgut".

Përvoja me hemisferat e Magdeburgut vërtetoi praninë e presionit atmosferik dhe ende mësohet në kurse fizika e përgjithshme Botëror. Hemisferat origjinale dhe pompa mbahen brenda Muzeu Gjerman në Mynih. Duke zhvilluar këtë temë, në 1660 Guericke ndërtoi barometrin e parë të ujit dhe e përdori atë për vëzhgime meteorologjike, shpiku një higrometër, projektoi një termometër ajri dhe një matës presioni.

Gama e interesave të Guericke, megjithatë, nuk ishte e kufizuar në këtë seksion të fizikës. Në 1660, ai krijoi një nga makinat e para elektrostatike - një top squfuri me madhësinë e një topi të mesëm, të montuar në një bosht hekuri. Duke e rrotulluar topin dhe duke e fërkuar me pëllëmbët e tij, Guericke mori energji elektrike. Duke përdorur këtë pajisje ai studioi dukuritë elektrike: zbuloi zmbrapsjen elektrostatike, shkëlqimin elektrik (një top squfuri i elektrizuar që shkëlqeu në errësirë).

Të shumta eksperimente fizike Edhe gjatë jetës së tij, ata sollën njohjen e shkencëtarit dhe pseudonimin respektues të gjermanit Galileo. Ndërsa studionte astronominë, ai shprehu mendimin se kometat mund të kthehen. Guericke gjithashtu përcaktoi elasticitetin dhe peshën e ajrit, aftësinë e tij për të mbështetur djegien dhe frymëmarrjen dhe për të përcjellë zërin. Provoi praninë e avullit të ujit në ajër. Në 1666, ai ishte i pari ndër shkencëtarët që iu dha titulli i fisnikërisë dhe u bë i njohur si Otto von Guericke. Shkencëtari vdiq në Hamburg më 11 maj 1686.

Përvoja me hemisferat e Magdeburgut u bëri aq përshtypje bashkëkohësve të tij, sa Dukat e Brunswick-Wolfenbüttel përdorën imazhin e tij në talerët përkujtimorë të vitit 1702 si një alegori. Duke qeverisur së bashku që nga viti 1685, dy vëllezërit dukë u grindën. Anton Ulrich u bë xheloz për gruan e tij Elisabeth Juliana nga Holstein-Norburg për Rudolf Augustus, gjë që çoi në ndarjen e tyre. Në mars 1702, Anton Ulrich u hoq nga pushteti dhe iku në Sakse-Gotha. Me këtë rast, u lëshua i ashtuquajturi "luftpumpenthaler" - një taler me një pompë ajri. Pjesa e përparme e saj përshkruan dy kuaj që copëtojnë kot hemisferat e Magdeburgut. Hemisferat e ndërlidhura janë një simbol i bashkimit të pandashëm të dy sundimtarëve Brunswick. Në anën e pasme - pa asnjë përpjekje, të dy hemisferat ndahen, sepse dora e një gruaje hapi valvulën mbi to dhe ajri hyri brenda. Gdhendësi ilustroi grindjen e pallatit duke përdorur pajisje fizike. Pas vdekjes së Rudolf August në 1704, Anton Ulrich u kthye në sundim.

Brunswick-Wolfenbüttel. Rudolf August dhe Anton Ulrich, 1685-1704. Luftpumpenthaler 1702, Goslar. Për nder të bashkimit vëllazëror. 29,36 g anasjelltas: dy kuaj grisin kot hemisferat e Magdeburgut me shkurtesën RAV, pas tyre është një simbol i dëlirësisë, një njëbrirësh dhe një shqiponjë me rrufe në putrat e saj, mbishkrimi QVOD VI NON POTVIT (të cilin nuk mund ta detyronin) . Ana e pasme: në piedestal ka dy hemisfera të hapura dhe një dorë gruaje që hap valvulën, sipër është një fjongo me tekstin DISIECTVM EST ARTE MINISTRA (shpërndarë artificialisht).

Brunswick-Wolfenbüttel. Rudolf August dhe Anton Ulrich, 1685-1704. Luftpumpenthaler 1702, Goslar. Për nder të bashkimit vëllazëror. Ana e përparme: dy kuaj copëtojnë kot hemisferat e Magdeburgut me shkurtesën RAV, pas tyre një njëbrirësh dhe rrufe që gjuan nga një re, mbishkrimi NON VI (jo me dhunë). Ana e pasme: në një piedestal ka dy hemisfera të hapura dhe dora e një gruaje që hap një valvul, sipër është një fjongo me tekstin SED ARTE (por në art).

Për 375 vjetorin e lindjes së Otto von Guericke, një monedhë përkujtimore me vlerë nominale 10 marka u pre në RDGJ.

RDGJ. 10 marka, 1977. 375 vjetori i lindjes së Otto von Guericke. Ag 500; 31 mm; 17. Qarkullimi: 49 434 copë.

RDGJ. 10 marka, 1977. 375 vjetori i lindjes së Otto von Guericke. Me mbishkrimin "Test". Ag 500; 31 mm; 17. Qarkullimi: 6000 copë.

Në 250-vjetorin e vdekjes së Otto von Guericke në Rajhun e Tretë, u shtyp një medalje përkujtimore dhe u lëshua një pullë postare.

Medalje bronzi, 1936. 250 vjetori i vdekjes së Otto von Guericke. 97 mm. Gdhendësi: Rudolf Bosselt (1874-1938). Ana e përparme: busti i Guericke; mbrapa: stema e Magdeburgut dhe mbishkrimi “Ehrengabe der Stadt Magdeburg” (dhuratë nderi e qytetit të Magdeburgut).

Rajhu i Tretë. Pullë poste, 1936. 250 vjetori i vdekjes së Otto von Guericke.

RDGJ dhe Gjermania Perëndimore lëshuan gjithashtu pulla postare kushtuar Otto von Guericke dhe shpikjes së tij.

RDGJ. Pullë postare, 1969. Përvoja me hemisferat e Magdeburgut.

RDGJ. Pullë postare, 1977. 375 vjetori i lindjes së Otto von Guericke.

Gjermania. Pullë postare, 2002. 400 vjetori i lindjes së Otto von Guericke.

Otto von Guericke(Gjermanisht: Otto von Guericke) - fizikan, inxhinier, filozof, diplomat dhe burgomaster gjerman i Magdeburgut. Në një përpjekje për të provuar ekzistencën e një vakumi, Guericke shpiku pompën e ajrit (1650). Në një seri eksperimentesh ai vërtetoi ekzistencën e presionit të ajrit.

Guericke gjithashtu përcaktoi elasticitetin dhe peshën e ajrit, aftësinë e tij për të mbështetur djegien dhe frymëmarrjen dhe për të përcjellë zërin. Vërtetë praninë e avullit të ujit në ajër. Në vitin 1660, Guericke ndërtoi barometrin e parë të ujit në botë dhe e përdori atë për të parashikuar motin. Ndërsa studionte astronominë, ai shprehu mendimin se kometat mund të kthehen.

Në vitin 1663, Guericke krijoi një nga makinat e para elektrike - një top rrotullues squfuri, i fërkuar me dorë dhe zbuloi fenomenin e zmbrapsjes elektrostatike të objekteve të ngarkuara njëpolare Në vitin 1672, ai zbuloi se një top i ngarkuar kërcitet dhe shkëlqen në errësirë. elektrolumineshencë).

Kështu, Otto von Guericke u bë një nga themeluesit e shkencës së energjisë elektrike. Ai ishte një person i jashtëzakonshëm me një pikëpamje të gjerë, i cili arriti sukses në shumë fusha të jetës njerëzore.

Otto von Guericke lindi në Magdeburg në 1602. Pas mbarimit të shkollës së qytetit, ai vazhdoi studimet në universitetet e Leipzig, Helmstadt, Jena dhe Leiden. Ai ishte veçanërisht i interesuar për fizikën, matematikën e aplikuar, mekanikën dhe fortifikimin.

Rinia e Guericke erdhi në fillimin e Luftës brutale Tridhjetëvjeçare, në të cilën, përveç gjermanëve, në faza të ndryshme morën pjesë edhe çekët, austriakët, danezët, suedezët dhe francezët.

Si një qendër e rëndësishme strategjike e Gjermanisë lindore, Magdeburgu ndërroi duart disa herë, dhe në 1631 u shkatërrua plotësisht. Kur suedezët pushtuan Magdeburgun, Guericke u kthye në qytet dhe mori pjesë aktive në restaurimin e ndërtesave dhe fortifikimeve të shkatërruara dhe mbikëqyri ndërtimin e një ure përtej Elbës.

Në 1635, qyteti u pushtua përsëri nga trupat e kombinuara austro-saksone, mirëmbajtja e të cilave vendosi një barrë të rëndë për banorët e qytetit. Filloi veprimtaria diplomatike e Guericke, i cili pas shumë mundimeve dhe udhëtimeve te Zgjedhësi i Saksonisë, arriti të zëvendësojë garnizonin e huaj me ata vendas.

Qyteti, në shenjë mirënjohjeje, zgjodhi Otto Guericke si një nga katër administratorët e tij në 1646. Në këshillin e qytetit, ai kreu me sukses detyrat diplomatike deri në 1659.

Si emisar, ai zhvilloi negociata të suksesshme me palët ndërluftuese në Osnabrück, Nuremberg, Vjenë, Pragë, Regensburg.

Aktiviteti i suksesshëm diplomatik i burgomaster Otto Guericke kontribuoi që Magdeburgu të merrte një sërë privilegjesh, në veçanti statusin e një qyteti hanseatik.

Guericke përfaqësoi Magdeburgun në konferencën e paqes dhe më pas në Reichstag në Regensburg. Por famë botërore ai solli eksperimente me hemisferat e Magdeburgut.

Otto Guericke ishte i martuar dhe kishte tre djem, por dy prej tyre vdiqën. Burshomisti i kushtoi çdo kohë të lirë eksperimenteve të tij fizike.

Ai përmblodhi rezultatet e eksperimenteve në esenë "Eksperimentet e reja (të ashtuquajturat) Magdeburg me hapësirën boshe, në të, ai përshkroi eksperimentet e tij të tjera, duke përfshirë ato me "forcat botërore", të cilat përfshinin fenomene elektrike.

Në 1666, Guericke u ngrit në fisnikëri dhe u bë Otto von Guericke. Zgjedhësi i Brandenburgut e emëroi atë si këshilltar të tij.

Guericke nuk ishte një shkencëtar kolltuk me profesion, por gjatë gjithë jetës së tij ai ishte i interesuar për shkencat natyrore. Ai ishte veçanërisht i intriguar nga postulati i Aristotelit se natyra urren një vakum. Për të provuar këtë deklaratë, ai shpiku një pompë ajri, me ndihmën e së cilës në 1654 ai kreu eksperimentin e tij të famshëm me hemisferat e Magdeburgut.

Për të kryer eksperimentin u bënë dy hemisfera bakri me diametër rreth 35.5 cm, njëra prej të cilave ishte e pajisur me një tub për pompimin e ajrit. Këto hemisfera u bashkuan dhe midis tyre u vendos një unazë lëkure e njomur me dyll të shkrirë.

Vendndodhja e papërshtatshme e pompës e detyroi Guericke të rregullonte një trekëmbësh të veçantë për të gjithë pajisjen dhe të bashkonte një levë në piston. Kështu, u krijua pompa e parë e ajrit në botë, e quajtur nga autori Antila Pneumatica (latinisht Antlia pneumatica).

Pastaj, duke përdorur një pompë, ajri u pompua nga zgavra e formuar midis hemisferave. Në secilën hemisferë kishte unaza hekuri, në të cilat ishin mbërthyer dy ekipe me tetë kuaj.

Kuajt, të shtyrë nga karrocierët, u përpoqën me të gjitha forcat që të paktën të lëviznin. Por të gjitha përpjekjet për të ndarë hemisferat ishin të pasuksesshme, por kur ajri u lejua brenda hemisferave, ato u shpërbënë pa përpjekje.

Eksperimenti me hemisferat e Magdeburgut vërtetoi praninë e presionit atmosferik dhe ende mësohet në kurset e përgjithshme të fizikës në mbarë botën.

Në 1654, në Regensburg, Guericke demonstroi eksperimentin në Reichstag në prani të perandorit Ferdinand III.

Çfarë force po ngjeshte hemisferat, duke kundërshtuar forcën e gjashtëmbëdhjetë kuajve? Kjo forcë ishte veprimi i ajrit atmosferik. Sa më shumë ajër të pompohej nga zgavra midis hemisferave, aq më shumë ato ngjesheshin nga jashtë nga presioni atmosferik.

Në të njëjtën kohë, Otto von Guericke doli me Eksperimentin me një fshikëz demi të lidhur fort, e cila fryhet dhe shpërthen nën zilen e një makinerie pneumatike.

Në 1657, Guericke shpiku barometrin e tij madhështor të ujit, dizajni i të cilit ishte i lidhur ngushtë me eksperimentet e tij të mëparshme pneumatike.

Barometri përbëhej nga një tub i gjatë bakri i ngjitur në murin e jashtëm të shtëpisë trekatëshe të Guericke. Fundi i poshtëm i tubit ishte i zhytur në një enë me ujë, dhe fundi i sipërm, i plotësuar nga një tub qelqi, ishte i pajisur me një rubinet dhe mund të lidhej me një pompë ajri.

Së shpejti, me ndihmën e kësaj pajisjeje, Guericke përcaktoi se presioni atmosferik po ndryshonte vazhdimisht, prandaj ai e quajti barometrin e tij Semper vivum. Më pas ai vuri re marrëdhënien midis lartësisë së ujit në tub dhe kushteve të motit. Dhe ai shpiku një pajisje për parashikimin e motit.

Për efekt më të madh gjatë demonstrimit të eksperimentit në sipërfaqen e ujit, një notues u instalua në një tub qelqi në formën e një figure njerëzore me një dorë të shtrirë, e cila tregonte një tabelë me mbishkrime që korrespondonin me kushte të ndryshme të motit. Pjesa tjetër e pajisjes ishte maskuar me panele druri.

Për të studiuar gjendjen elektrike dhe zmbrapsjen, Guericke përgatiti një top të madh squfuri, i cili, kur një bosht kalonte nëpër një vrimë, mund të rrotullohej dhe mund të fërkohej me një dorë të thatë. Duke elektrizuar këtë top, Guericke vuri re se trupat tërhiqeshin nga topi dhe pasi i preknin ata u zmbrapsën.

Burgomasti i shoqërueshëm kënaqej duke u demonstruar mysafirëve të tij një truk qesharak me një sferë të vogël, e cila, kur rrotullohej në mënyrë të barabartë, krijonte pendë drite rreth vetes, të cilat përfundimisht përfundonin në hundën e të ftuarit. Kur sfera u rrotullua, nga fërkimi filloi të shkëlqejë dhe të lëshojë shkëndija.

Otto von Guericke kreu shumë eksperimente në vakum. Ai është përgjegjës për demonstratat e njohura nën kambanën e pompës së ajrit. Para së gjithash, ky është zbehja e tingullit të ziles - një eksperiment që për herë të parë tregoi se tingulli përhapet vetëm në materie. Në të njëjtën kohë, Guericke tregoi se drita përhapet në vakum në të njëjtën mënyrë si në ajër.

Otto von Guericke filloi të rëndohej nga detyrat e drejtorit të burgut dhe gradualisht filloi të tërhiqej nga aktivitetet politike, por arriti dorëheqjen e tij vetëm në 1678. Bazuar në përvojën e tij, ai përshkroi historinë e rrethimit dhe shkatërrimit të Magdeburgut. Në 1681, kur shpërtheu një epidemi e murtajës në Magdeburg, Otto von Guericke u zhvendos në Hamburg për të jetuar me djalin e tij të vetëm, ku vdiq në 1686.

Gjeniu i Otto Guericke u njoh gjatë jetës së shkencëtarit, dhe kjo u vërtetua me dhënien e një titulli fisnik atij, i pari i komunitetit botëror të fizikantëve të asaj kohe.

Universiteti i Magdeburgut mban emrin e Otto von Guericke - qytetari dhe administratori i tij i famshëm, një shpikës i shquar, një shkencëtar i famshëm, një diplomat delikat dhe një person i mrekullueshëm. I bekuar qoftë kujtimi i tij!