Sekretet e shumëzimit dhe pjesëtimit të shpejtë. Sisteme ekuacionesh lineare me dy ndryshore

Sekretet shumëzim i shpejtë dhe ndarjet

1. Shumëzimi dhe pjesëtimi me 5, 50, 500 etj.

Shumëzimi me 5, 50, 500, etj. zëvendësohet nga shumëzimi me 10, 100, 1000, etj., i ndjekur nga pjesëtimi me 2 i produktit që rezulton (ose pjesëtimi me 2 dhe shumëzimi me 10, 100, 1000, etj. = 100:2, etj.)

54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270).

Për të pjesëtuar një numër me 5,50, 500, etj., duhet ta pjesëtoni këtë numër me 10,100,1000, etj dhe ta shumëzoni me 2.

10800: 50 = 10800:100*2 =216

10800: 50 = 10800*2:100 =216

2. Shumëzimi dhe pjesëtimi me 25, 250, 2500 etj.

Shumëzimi me 25, 250, 2500, etj. zëvendësohet me shumëzimin me 100, 1000, 10000, etj. dhe rezultati pjesëtohet me = 100:4)

542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200)

(nëse numri është i pjesëtueshëm me 4, atëherë shumëzimi nuk kërkon kohë; çdo student mund ta bëjë këtë).

Për të pjesëtuar një numër me 25, 25,250,2500, etj., ky numër duhet të pjesëtohet me 100,1000,10000, etj dhe të shumëzohet me 4.

31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.

3. Shumëzimi dhe pjesëtimi me 125, 1250, 12500 etj.

Shumëzimi me 125, 1250, etj. zëvendësohet nga shumëzimi me 1000, 10000, etj. dhe produkti që rezulton duhet të pjesëtohet me = 1000: 8)

72*125=72*1000:8=9000

Nëse numri pjesëtohet me 8, atëherë së pari pjesëtojeni me 8 dhe më pas shumëzoni me 1000, 10000, etj.

48*125 = 48:8*1000 = 6000

Për të pjesëtuar një numër me 125, 1250, etj., duhet ta pjesëtoni këtë numër me 1000, 10000, etj. dhe ta shumëzoni me 8.

7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.

4. Shumëzimi dhe pjesëtimi me 75, 750 etj.

Për të shumëzuar një numër me 75, 750, etj., duhet ta ndani këtë numër me 4 dhe ta shumëzoni me 300, 3000, etj. (75 = 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

Për të pjesëtuar një numër me 75,750, etj., duhet ta pjesëtoni këtë numër me 300, 3000, etj. dhe të shumëzoni me 4.

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

5. Shumëzoni me 15, 150.

Kur shumëzoni me 15, nëse numri është tek, shumëzojeni atë me 10 dhe shtoni gjysmën e produktit që rezulton:

23x15=23x(10+5)=230+115=345;

nëse numri është çift, atëherë vazhdojmë edhe më thjeshtë - shtojmë gjysmën e tij në numër dhe shumëzojmë rezultatin me 10:

18x15=(18+9)x10=27x10=270.

Kur shumëzojmë një numër me 150, ne përdorim të njëjtën teknikë dhe shumëzojmë rezultatin me 10, pasi 150 = 15x10:

24x150=((24+12)x10)x10=(36x10)x10=3600.

Në të njëjtën mënyrë, shumëzoni shpejt një numër dyshifror (veçanërisht një çift) me një numër dyshifror që përfundon me 5:

24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.

6. Shumëzimi i numrave dyshifrorë më të vegjël se 20.

Njërit prej numrave ju duhet të shtoni numrin e njësive të tjetrit, shumëzoni këtë shumë me 10 dhe shtoni në të produktin e njësive të këtyre numrave:

18x16=(18+6)x10+8x6= 240+48=288.

Duke përdorur metodën e përshkruar, mund të shumëzoni numra dyshifrorë më të vegjël se 20, si dhe numra që kanë të njëjtin numër dhjetëshe: 23x24 = (23+4)x20+4x6=27x20+12=540+12=562.

Shpjegim:

(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a* b.

7. Shumëzimi i një numri dyshifror me 101.

Ndoshta rregulli më i thjeshtë: caktoni numrin tuaj vetes. Shumëzimi është i plotë.
Shembull:

57 * 101 = 5> 5757

Shpjegim: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Në mënyrë të ngjashme, numrat treshifrorë shumëzohen me 1001, numrat katërshifrorë me 10001, etj.

8. Shumëzimi i një numri me 11.

Ju duhet të "shpërndani" shifrat e numrit që shumëzohen me 11 dhe të vendosni shumën e këtyre shifrave në hendekun që rezulton, dhe nëse kjo shumë është më shumë se 9, atëherë si me shtesa normale, njësia duhet të zhvendoset në shifrën më të rëndësishme.

Shembull:
34 * 11 = 374, meqenëse 3 + 4 = 7, ne vendosim të shtatën midis tre dhe katër
68 * 11 = 748, meqenëse 6 + 8 = 14, ne i vendosim të katërt midis shtatë (gjashtë plus një të transferuar) dhe tetë

Shpjegim:
10a+b - numër arbitrar, ku a është numri i dhjetësheve, b është numri i njësive.

Ne kemi:
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
ku kemi a qindra, a+b dhjetëra dhe b njësi. dmth rezultati përmban a*(a+1) qindra, dy dhjetëshe dhe pesë njëshe.

Kompozojmë prodhimin: 5 njësi, 5+2=7 dhjetëshe, 2+6=8 qindëshe, 6+3=9 mijë, 3+4=7 dhjetëra mijëra, 4 qindra mijë.

43625*11=479875.

Kur shumëzuesi është ndërmjet 1000 dhe 10000 (për shembull, 7543), atëherë mund të përdorni metodën e mëposhtme të shumëzimit me 11. Së pari, ndani shumëzuesin 7543 në faqe dyshifrore, pastaj gjeni prodhimin e faqes së parë (75) në të majtë me 11, siç tregohet në shumëzim një numër dyshifror me 11. Numri që rezulton (75*11=725) do të japë qindra të prodhimit, pasi qindra të shumëzuesit janë shumëzuar. Pastaj ju duhet të shumëzoni anën e dytë (43) me 11, marrim njësitë e prodhimit: 43*11=473. Së fundi, ne mbledhim produktet që rezultojnë: 825 qindra. +473=82739. Prandaj, 7543*11=82739.

Le të shohim një shembull tjetër: 8324*11.

83`24; 83 njëqind. *11=913 qeliza.

24*11=264; 913 qeliza +264=91564. Prandaj, 8324*11=91564.

9. Shumëzimi me 22, 33, ..., 99.

Për të shumëzuar një numër dyshifror 22,33, ...,99, duhet ta përfaqësoni këtë faktor si prodhim i një numri njëshifror me 11. Së pari shumëzoni me numër njëshifror, dhe më pas në 11:

15 *33= 15*3*11=45*11=495.

10. Shumëzimi i numrave dyshifrorë me 111.

Së pari, le të marrim si shumëfish një numër dyshifror, shuma e shifrave të të cilit është më e vogël se 10. Le të shpjegojmë me shembuj numerikë:

Meqenëse 111=100+10+1, atëherë 45*111=45*(100+10+1). Kur shumëzoni një numër dyshifror, shuma e shifrave të të cilit është më pak se 10, me 111, është e nevojshme të futni dyfishin e shumës së shifrave (d.m.th., numrat e përfaqësuar prej tyre) të dhjetësheve dhe njësive të tij 4+. 5=9 në mes midis shifrave. 4500+450+45=4995. Prandaj, 45*111=4995. Kur shuma e shifrave të një shumëzuesi dyshifror është më e madhe ose e barabartë me 10, për shembull 68*11, duhet të shtoni shifrat e shumëzuesit (6+8) dhe të futni 2 njësi të shumës që rezulton në në mes të numrave 6 dhe 8. Së fundi, shtoni 1100 në numrin e përbërë 6448. Prandaj, 68*111=7548.

11. Shumëzo me 37.

Kur shumëzoni një numër me 37, nëse numri i dhënë është shumëfish i 3, ai pjesëtohet me 3 dhe shumëzohet me 111.

27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

Nëse numri i dhënë nuk është shumëfish i 3, atëherë produktit i zbritet 37 ose prodhimit i shtohet 37.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

12. Katror çdo numër dyshifror.

Nëse mësoni përmendësh katrorët e të gjithë numrave nga 1 në 25, atëherë është e lehtë të gjesh katrorin e çdo numri dyshifror më të madh se 25.

Për të gjetur katrorin e çdo numri dyshifror, duhet të shumëzoni ndryshimin midis këtij numri dhe 25 me 100 dhe në produktin që rezulton shtoni katrorin e plotësimit të numrit të dhënë në 50 ose katrorin e tepricës së tij. 50.

Le të shohim një shembull:

372=12*100+132=1200+169=1369

(M–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 .

13. Shumëzimi i numrave afër 100.

Kur rritni (zvogëloni) një nga faktorët me disa njësi, shumëzoni numrin e plotë që rezulton dhe njësitë e shtuara (të zbritura) me një faktor tjetër dhe zbritni produktin e dytë nga produkti i parë (shtoni produktet që rezultojnë)

98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

Kjo teknikë e paraqitjes së një prej faktorëve si ndryshim ju lejon të shumëzoni lehtësisht me 9, 99, 999.

Për ta bërë këtë, thjesht shumëzojeni numrin me 1000) dhe zbritni numrin që është shumëzuar nga numri i plotë që rezulton: 154x9=154x10-154==1386.

Por është edhe më e lehtë t'i njohësh fëmijët me rregullin - "për të shumëzuar një numër me 9 (99, 999), mjafton të zbresësh nga ky numër numrin e dhjetërave të tij (qindra, mijëra), të rritur me një dhe në diferenca që rezulton shto shtimin e shifrës së njësive të saj në 10 (plotësohet numri i formuar nga dy (tre) shifrat e fundit të këtij numri):

154x9=(154-16)x10+(10-4)=138x10+6=1380+6=1386

14. Shumëzimi i numrave dyshifrorë, njësitë e të cilëve mblidhen deri në 10.

Le të jepen dy numra dyshifrorë, shuma e të cilit është 10:

M=10m + n, K=10a + 10 – n. Le të kompozojmë veprën e tyre.

M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).

Le të shohim disa shembuj:

17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

15 . Duke shumëzuar me një numër të shkruar vetëm me nëntë.

Për të gjetur prodhimin e një numri të shkruar vetëm në nëntë nga një numër që ka të njëjtin numër shifrash, duhet të zbritni një nga faktori dhe të shtoni një numër tjetër në numrin që rezulton, të gjitha shifrat e të cilit plotësojnë shifrat e numri i specifikuar që rezulton në 9.

137 * 999= 136 863;

Prania e një metode të tillë shihet nga metoda e mëposhtme e zgjidhjes së shembujve të dhënë: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72,

46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.

16. Katrorja e një numri që mbaron me 5.

Shumëzoni numrin e dhjetësheve me numrin tjetër të dhjetësheve dhe shtoni 25.

15*15 = 225 = 10*20+ 25 (ose 1*2 dhe shto 25 djathtas)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 dhe shto 25 djathtas)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 dhe shto 25 djathtas)

(100-96) - veprimi i parë
Ndani 320 me atë që ndodhi në kllapa - hapi i dytë
shumëzo me pesë - me veprimin e tretë
plus 350 - nga veprimi i katërt

1 350+320=670:4=167.5=837.5

Detyra të ngjashme:

1. Plotësoni vendet bosh: 18t 4t = kg
6280g = kg g
48 ts = kg
26302 kg = t kg
7350 kg = kg kg
35 kg = g
2. Krahaso 18t 78kg 1t 878kg
22t 63kg 2t 263kg
380000g 38 kg
5 kg 320 g 532 g
3 kg 490 g 349 g
3. Përfundoni regjistrimin:
1/4 e një ton është kg
1/5 e kilogramit është g
1/10 e kuintalit është kg
4. Shprehni me masa më të vogla:
86ts =
3t =
25 kg =
2t 3t =
5. Zgjidheni problemin.
Secila prej tre makinave mbante 28 kuintalë grurë, dhe e katërta - 16 kuintalë. Të katër automjetet mbanin tonelata drithë.
6. Zgjidh problemin.
Dyqani solli 3 ton shalqi. Ditën e parë shitën 900 kg, ditën e dytë dyfishin e të parës dhe ditën e tretë pjesën tjetër. Sa kilogramë shalqi u shitën ditën e tretë?
Zgjidhja:
7. Zgjidheni problemin. Sa kilogramë miell ka në dy thasë, nëse njëra përmban 1/4 kuintal dhe tjetra 1/4 kuintal?
Përgjigje:
8. Zgjidheni problemin 1/2 kg ëmbëlsirat kushtojnë 28 rubla. Sa kushton 1 kg ëmbëlsirë?
Përgjigje:
9.* Zgjidhe problemin.
Gena ka 900 rubla. Dhe Valentini ka 9 herë më pak. Sa rubla duhet t'i japë Gena Valentinit që ata të kenë shuma të barabarta parash?
Përgjigje:
10. Zgjidheni problemin (me gojë):
72 kg kastraveca u ndanë në mënyrë të barabartë në 8 kosha. Ne kemi shitur tre nga këto shporta. Sa kilogramë kastraveca kanë mbetur?
Përgjigje:

1. Plotësoni vendet bosh:
3t 005 kg = kg
3t 5 c = kg
19 kg = g
39ts = kg
5830 kg = kg kg
46500 kg = t kg
2. Krahasoni
14t 260kg 14260kg
7670c 76t 7c
73000g 73kg
260000g 26 kg
345t 34500ts
3. Përfundoni regjistrimin:
1/4 pjesë e një kuintali është kg
1/5 e ton është kuintal
1/10 e kilogramit është g
4. Shprehni në masa më të mëdha:
73ts =
640 kg =
2830 g =
3200 kg =
5. Zgjidheni problemin.
Secili nga tre blerësit bleu 18 kg karrota, dhe i katërti - 46 kg. Të katër blenë 1/2 e karotave
6. Zgjidheni problemin. Nga tre pjesëmarrës u mblodhën 2 ton karota. Nga parcela e parë u mblodhën 500 kg, nga e dyta - 2 herë më shumë se nga e para, dhe nga e treta - pjesa tjetër e karotave. Sa kilogramë karota u mblodhën nga parcela e tretë?
Zgjidhja:
Përgjigje:
7. Krahasoni
1/4 kg 1/2 kg
1/2c 1/10c
1/10 ton 1/2 ts
8. Zgjidheni problemin.
Një balenë blu femër humbet 30 tonë peshë ndërsa ushqen një viç. Kjo përbën 1/4 e masës së saj totale. Përcaktoni masën e nënës së balenës blu.
Përgjigje:
9. Llogaritni dhe shkruani përgjigjen:
816:6
x5
+490
:2
_________
100:2
x7
-250
:100
________
10.* Riorganizoni shifrat në numrin 810 në mënyrë që ai të ulet me 630.
Përgjigju.

Opsioni nr 3329663

Kur plotësoni detyrat 1-23, përgjigja është një numër, i cili korrespondon me numrin e përgjigjes së saktë, ose një numër, një sekuencë shkronjash ose numrash. Përgjigja duhet të shkruhet pa hapësira ose ndonjë karakter shtesë.

Nëse opsioni jepet nga mësuesi, mund t'i vendosni përgjigjet e detyrave në pjesën C ose t'i ngarkoni në sistem në një nga formatet grafike. Mësuesi do të shohë rezultatet e përfundimit të detyrave në Pjesën B dhe do të jetë në gjendje të vlerësojë përgjigjet e ngarkuara në Pjesën C. Pikët e caktuara nga mësuesi do të shfaqen në statistikat tuaja.

Versioni për printim dhe kopjim në MS Word

1. katrore atë,

2. shtoni 1.

E para prej tyre sheshon numrin në ekran, e dyta e rrit atë me 1. Shkruani renditjen e komandave në një program që konverton numrin 2 në numrin 36 dhe përmban jo më shumë se 4 komanda. Futni vetëm numrat e komandave. (Për shembull, programi 2122 - Ky program

shtoni 1

katrore atë

shtoni 1

shtoni 1.

Ky program konverton numrin 1 në numrin 6.

Përgjigje:

1. shtoni 1,

2. shumëzo me 5.

E para prej tyre rrit numrin në ekran me 1, e dyta e shumëzon atë.

Për shembull, programi 121 specifikon sekuencën e mëposhtme të komandave:

shtoni 1

shumëzo me 5

shtoni 1

Ky program konverton, për shembull, numrin 7 në numrin 41.

Shkruani në përgjigjen tuaj një program që përmban jo më shumë se pesë komanda dhe konverton numrin 2 në numrin 280.

Përgjigje:

Hyrja e algoritmit është një numër natyror N. Algoritmi ndërton një numër të ri prej tij R në mënyrën e mëposhtme.

1. Ndërtimi i një shënimi binar për një numër N.

2. Dy shifra të tjera i shtohen kësaj hyrjeje në të djathtë sipas rregullit të mëposhtëm:

a) shtohen të gjitha shifrat e shënimit binar, dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit të shumës me 2 shtohet në fund të numrit (në të djathtë). Për shembull, hyrja 10000 konvertohet në hyrjen 100001;

b) të njëjtat veprime kryhen në këtë hyrje - pjesa e mbetur e pjesëtimit të shumës së shifrave me 2 shtohet djathtas.

Rekordi i marrë në këtë mënyrë (përmban dy shifra më shumë se në rekordin e numrit origjinal N) është paraqitja binar e numrit të dëshiruar R.

Shkruani numrin më të vogël N, për të cilin rezultati i algoritmit është më i madh se 97. Në përgjigje, shkruani këtë numër në sistemi dhjetor Duke llogaritur.

Përgjigje:

Makina merr hyrjen numër pesëshifror. Bazuar në këtë numër, një numër i ri ndërtohet sipas rregullave të mëposhtme.

1. Shifrat e para, të treta dhe të pesta, si dhe shifra e dytë dhe e katërt, shtohen veçmas.

2. Dy numrat që rezultojnë shkruhen njëri pas tjetrit në mënyrë jo-zvogëluese pa ndarës.

Shembull. Numri origjinal: 63,179 Shumat: 6 + 1 + 9 = 16; 3 + 7 = 10. Rezultati: 1016.

Specifikoni numrin më të vogël kur përpunohet nga makina për të prodhuar rezultatin 621.

Përgjigje:

1. Shifra e parë dhe e dytë, si dhe shifra e dytë dhe e tretë, shumëzohen veçmas.

2. Dy numrat që rezultojnë shkruhen njëri pas tjetrit në rend jo rritje pa ndarës.

Shembull. Numri origjinal: 179. Produktet: 1*7 = 7; 7*9 = 63. Rezultati: 637. Përcaktoni numrin më të vogël, kur përpunohet, makina prodhon rezultatin 205.

Përgjigje:

Makina merr një numër katërshifror si hyrje. Bazuar në këtë numër, një numër i ri ndërtohet sipas rregullave të mëposhtme:

1. Shumëzohen shifrat e para dhe të dyta, si dhe të tretë dhe të katërt të numrit origjinal.

Shembull. Numri origjinal: 2466. Produktet: 2 × 4 = 8; 6 × 6 = 36.

Rezultati: 368.

Specifikoni numrin më të vogël, si rezultat i të cilit makina do të prodhojë numrin 124.

Përgjigje:

Një fjalë formohet nga shkronjat e alfabetit rus. Dihet se fjala është formuar sipas rregullave të mëposhtme:

a) nuk ka shkronja të përsëritura në fjalë;

b) të gjitha shkronjat e fjalës janë përpara ose prapa sipas rendit alfabetik, përveç ndoshta të parës.

Cila nga fjalët e mëposhtme i plotëson të gjitha kushtet e listuara?

Përgjigje:

Performuesi Accord-4 ka dy ekipe, të cilave u caktohen numrat:

1. zbres 1

2. shumëzo me 4

Duke ekzekutuar të parën prej tyre, Accord-4 zbret 1 nga numri në ekran, dhe duke ekzekutuar të dytin, e shumëzon këtë numër me 4. Shkruani rendin e komandave në një program që përmban jo më shumë se pesë komanda dhe konverton numrin 5 në numrin 62. Nëse ka më shumë se një program të tillë, atëherë shkruani ndonjë prej tyre.

Në përgjigjen tuaj, tregoni vetëm numrat e komandës. Po, për programin

shumëzo me 4

ju duhet të shkruani: 211. Ky program konverton, për shembull, numrin 7 në numrin 26.

Përgjigje:

Performuesi i Llogaritësit ka dy ekipe, të cilave u caktohen numrat:

1. zbres 1

2. pjesëtojeni me 3

Kur kryen të parën prej tyre, Llogaritësi zbret 1 nga numri në ekran, dhe kur kryen të dytin, e ndan atë me 3 (nëse ndarja është e pamundur, Llogaritësi fiket).

Shkruani rendin e komandave në program për marrjen e numrit 1 nga numri 37, që përmban jo më shumë se 5 komanda, duke treguar vetëm numrat e komandave.

(Për shembull, programi 21121 është një program

pjesëtojeni me 3

pjesëtojeni me 3

Ky program, për shembull, konverton numrin 60 në numrin 5.)

Përgjigje:

Masha harroi fjalëkalimin për të nisur kompjuterin, por kujtoi algoritmin për marrjen e tij nga vargu i udhëzimeve "KBMAM9KBK": nëse të gjitha sekuencat e karaktereve "MAM" zëvendësohen me "RP", "KBK" me "1212", dhe më pas tre karakteret e fundit hiqen nga vargu që rezulton, atëherë sekuenca që rezulton do të jetë fjalëkalimi. Përcaktoni një fjalëkalim:

Përgjigje:

Anya ftoi shoqen e saj Natasha për ta vizituar, por nuk i tha kodin për bllokimin dixhital të hyrjes së saj, por ia dërgoi mesazhin e radhës: "Në sekuencën 4, 1, 9, 3, 7, 5, nga të gjithë numrat që janë më të mëdhenj se 4, zbritni 3 dhe më pas hiqni të gjithë numrat tek nga sekuenca që rezulton." Pas përfundimit të hapave të treguar në mesazh, Natasha mori kodin e mëposhtëm për bllokimin dixhital:

4) 4, 1, 6, 3, 4, 2

Përgjigje:

Lyuba harroi fjalëkalimin për të nisur kompjuterin, por kujtoi algoritmin për marrjen e tij nga karakteret "QWER3QWER1" në vijën e udhëzimeve. Nëse të gjitha sekuencat e karaktereve "QWER" zëvendësohen me "QQ" dhe kombinimet e karaktereve "3Q" hiqen nga vargu që rezulton, atëherë sekuenca që rezulton do të jetë fjalëkalimi:

Përgjigje:

Performuesi ThreeFive ka dy ekipe, të cilave u caktohen numrat:

1. shtoni 3,

2. shumëzo me 5.

Duke plotësuar të parin prej tyre, ThreeFive i shton 3 numrit në ekran dhe duke plotësuar të dytin e shumëzon këtë numër me 5.

Shkruani rendin e komandave në një program që përmban jo më shumë se 5 komanda dhe konverton numrin 1 në numrin 515.

Në përgjigjen tuaj, tregoni vetëm numrat e komandës, mos vendosni hapësira midis numrave.

Po, për programin

shumëzo me 5

shtoni 3

shtoni 3

ju duhet të shkruani: 211. Ky program konverton, për shembull, numrin 4 në numrin 26.

Përgjigje:

Performuesi Kvadrator ka dy ekipe, të cilave u caktohen numrat:

1. shtoni 1,

2. katror atë.

E para nga këto komanda e rrit numrin në ekran me 1, e dyta - e sheshon atë. Programi për performuesin Quadrator është një sekuencë e numrave komandues.

Për shembull, 21211 është një program

katrore atë

shtoni 1

katrore atë

shtoni 1

shtoni 1

Ky program konverton numrin 2 në numrin 27.

Shkruani një program që konverton numrin 2 në numrin 102 dhe nuk përmban më shumë se 6 komanda. Nëse ka më shumë se një program të tillë, atëherë shkruani ndonjë prej tyre.

Përgjigje:

Makina merr një numër treshifror si hyrje. Bazuar në këtë numër, një numër i ri ndërtohet sipas rregullave të mëposhtme.

1. Shtohen shifrat e para dhe të dyta, si dhe shifra e dytë dhe e tretë e numrit origjinal.

2. Dy numrat që rezultojnë shkruhen njëri pas tjetrit në rend zbritës (pa ndarës).

Shembull. Numri origjinal: 348. Shumat: 3 + 4 = 7; 4 + 8 = 12. Rezultati: 127. Përcaktoni numrin më të vogël, si rezultat i të cilit makina do të prodhojë numrin 1412.

Përgjigje:

Makina merr një numër oktal katërshifror si hyrje. Bazuar në këtë numër, një numër i ri ndërtohet sipas rregullave të mëposhtme.

1. Shtohen shifrat e para dhe të dyta, si dhe të tretë dhe të katërt.

2. Dy numrat që rezultojnë në sistemin e numrave oktal shkruhen njëri pas tjetrit në rend rritës (pa ndarës).

Shembull. Numri origjinal: 4531. Shumat: 4+5 = 9; 3+1 = 4. Rezultati: 49. Përcaktoni se cili nga numrat e mëposhtëm mund të jetë rezultat i makinës.

Përgjigje:

Ne disa sistemi i informacionit informacioni është i koduar në fjalë binare gjashtë-bit. Gjatë transmetimit të të dhënave, shtrembërimi i tyre është i mundur, prandaj, një shifër e shtatë (kontroll) shtohet në fund të secilës fjalë, në mënyrë që shuma e shifrave të fjalës së re, përfshirë atë të kontrollit, të jetë e barabartë. Për shembull, 0 do të shtohet në të djathtë të fjalës 110011 dhe 1 do të shtohet në të djathtë të fjalës 101100.

Pas marrjes së fjalës, ajo përpunohet. Në këtë rast, kontrollohet shuma e shifrave të saj, përfshirë atë të kontrollit. Nëse është tek, do të thotë se ka pasur një dështim gjatë transmetimit të kësaj fjale, dhe automatikisht zëvendësohet me fjalën e rezervuar 0000000. Nëse është çift, do të thotë se nuk ka pasur dështim ose ka pasur më shumë se një dështim. Në këtë rast fjalë e pranuar nuk ndryshon.

Mesazh origjinal

1100101 0001001 0011000

u miratua si

1100111 0001100 0011000

Si do të duket mesazhi i marrë pas përpunimit?

1) 0000000 0001100 0011000

2) 0000000 0000000 0011000

3) 1100111 0000000 0011000

4) 1100111 0001100 0000000

Përgjigje:

Llogaritësi i interpretuesit1 ka dy ekipe, të cilave u caktohen numra:

1. shtoni 1,

2. shumëzo me 5.

Duke kryer të parën prej tyre, Calculator1 i shton 1 numrit në ekran dhe duke kryer të dytin, e shumëzon atë me 5.

Programi për këtë ekzekutues është një sekuencë e numrave të komandave. Për shembull, programi 121 specifikon sekuencën e mëposhtme të komandave:

shtoni 1,

shumëzo 5,

shtoni 1,

Ky program konverton, për shembull, numrin 7 në numrin 41. Shkruani në përgjigjen tuaj një program që nuk përmban më shumë se gjashtë komanda dhe konverton numrin 1 në numrin 77.

Përgjigje:

Ekzekutuesi CALCULATOR ka vetëm dy komanda, të cilave u caktohen numra:

2. shumëzo me 2

Me ekzekutimin e komandës numër 1, LLOGARITësi zbret nga numri në ekranin 1, dhe duke ekzekutuar

komanda numër 2, shumëzon numrin në ekran me 2. Shkruaj një program që përmban

më shumë se 4 ekipe, që nga numri 3 merr numrin 16. Tregoni vetëm numrat e ekipeve.

Për shembull, programi 21211 është një program:

shumëzo me 2

shumëzo me 2

e cila e kthen numrin 1 në 0.

Përgjigje:

Vasya harroi fjalëkalimin për Windows XP, por kujtoi algoritmin për marrjen e tij nga vargu i udhëzimeve "B265C42GC4": nëse të gjitha sekuencat e karaktereve "C4" zëvendësohen me "F16", dhe më pas fshini gjithçka nga vargu që rezulton numra treshifrorë, atëherë sekuenca që rezulton do të jetë fjalëkalimi. Përcaktoni një fjalëkalim:

Përgjigje:

Performuesi TwoFive ka dy ekipe, të cilave u caktohen numrat:

1. zbres 2

2. pjesëtojeni me 5

Duke kryer të parën prej tyre, TwoFive zbret 2 nga numri në ekran dhe duke kryer të dytin, e ndan këtë numër me 5 (nëse ndarja është plotësisht e pamundur, TwoFive fiket).

Shkruani rendin e komandave në një program që përmban jo më shumë se 5 komanda dhe konverton numrin 152 në numrin 2.

Në përgjigjen tuaj, tregoni vetëm numrat e komandës, mos vendosni hapësira midis numrave. Po, për programin

pjesëtojeni me 5

ju duhet të shkruani 211. Ky program konverton, për shembull, numrin 55 në numrin 7.

Përgjigje:

Në disa sisteme informacioni, informacioni është i koduar në fjalë binare gjashtë-bit. Gjatë transmetimit të të dhënave, shtrembërimi i tyre është i mundur, prandaj, një shifër e shtatë (kontroll) shtohet në fund të secilës fjalë, në mënyrë që shuma e shifrave të fjalës së re, përfshirë atë të kontrollit, të jetë e barabartë. Për shembull, 0 do të shtohet në të djathtë të fjalës 110011, dhe 1 do t'i shtohet fjalës 101100. Pas marrjes së fjalës, ajo përpunohet. Në këtë rast, kontrollohet shuma e shifrave të saj, përfshirë atë të kontrollit. Nëse është tek, do të thotë se ka pasur një dështim gjatë transmetimit të kësaj fjale, dhe automatikisht zëvendësohet me fjalën e rezervuar 0000000. Nëse është çift, do të thotë se nuk ka pasur dështim ose ka pasur më shumë se një dështim. Në këtë rast, fjala e pranuar nuk ndryshohet. Mesazhi origjinal 1100101 0001001 1111000 është marrë si 1100111 0001100 1111000. Si do të duket mesazhi i marrë pas përpunimit?

1) 0000000 0001100 1111000

2) 0000000 0000000 1111000

3) 1100101 0000000 1111000

4) 1100111 0001100 0000000

Përgjigje:

Mitya ftoi mikun e tij Vasya për ta vizituar, por nuk i tha kodin për bllokimin dixhital të hyrjes së tij, por dërgoi mesazhin e mëposhtëm: "Në sekuencën 4, 1, 8, 2, 6, ndani të gjithë numrat më të mëdhenj se 3 me 2, dhe më pas hiqni ato nga sekuenca që rezulton të gjithë numrat çift." Pas përfundimit të hapave të treguar në mesazh, Vasya mori kodin e mëposhtëm për bllokimin dixhital:

Përgjigje:

Arkëtari harroi fjalëkalimin e kasafortës, por iu kujtua algoritmi për marrjen e tij nga vargu "AYY1YABC55": nëse hiqni në mënyrë të njëpasnjëshme vargun e karaktereve "YY" dhe "ABC" nga vargu dhe më pas ndërroni karakteret A dhe Y , atëherë sekuenca që rezulton do të jetë fjalëkalimi. Përcaktoni një fjalëkalim.

Për të shkruar një numër racional m/n si thyesë dhjetore, duhet të pjesëtoni numëruesin me emëruesin. Në këtë rast, herësi shkruhet si i fundëm ose i pafund dhjetore.

Shkruaje këtë numër si thyesë dhjetore.

Zgjidhje. Ndani numëruesin e secilës thyesë në një kolonë me emëruesin e saj: A) ndani 6 me 25; b) ndani 2 me 3; V) ndani 1 me 2 dhe më pas shtoni fraksionin që rezulton në një - pjesën e plotë të këtij numri të përzier.

Thyesat e zakonshme të pareduktueshme, emëruesit e të cilave nuk përmbajnë të tjerë faktorët kryesorë, përveç 2 Dhe 5 , shkruhen si thyesë dhjetore përfundimtare.

NË shembulli 1 kur A) emëruesi 25=5·5; kur V) emëruesi është 2, kështu që marrim dhjetoret përfundimtare të 0.24 dhe 1.5. Kur b) emëruesi është 3, kështu që rezultati nuk mund të shkruhet si dhjetore e fundme.

A është e mundur të konvertohet pjesa e mëposhtme në thyesë dhjetore pa pjesëtim të gjatë? thyesë e zakonshme, emëruesi i të cilit nuk përmban pjesëtues të tjerë përveç 2 dhe 5? Le ta kuptojmë! Cila thyesë quhet dhjetore dhe shkruhet pa shtyllë thyese? Përgjigje: thyesë me emërues 10; 100; 1000, etj. Dhe secili prej këtyre numrave është një produkt të barabartë numër dyshësh dhe pesëshësh. Në fakt: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 etj.

Rrjedhimisht, emëruesi i një fraksioni të zakonshëm të pakalueshëm do të duhet të përfaqësohet si prodhim i "dy" dhe "pesë", dhe më pas shumëzohet me 2 dhe (ose) 5 në mënyrë që "dy" dhe "pesë" të bëhen të barabarta. Atëherë emëruesi i thyesës do të jetë i barabartë me 10 ose 100 ose 1000, etj. Për të siguruar që vlera e thyesës të mos ndryshojë, ne shumëzojmë numëruesin e thyesës me të njëjtin numër me të cilin kemi shumëzuar emëruesin.

Shprehni thyesat e mëposhtme të zakonshme si dhjetore:

Zgjidhje. Secila nga këto fraksione është e pakalueshme. Le të zgjerojmë emëruesin e çdo thyese në faktorët kryesorë.

20=2·2·5. Përfundim: një “A” mungon.

8=2·2·2. Përfundim: mungojnë tre "A".

25=5·5. Përfundim: mungojnë dy "dy".

Koment. Në praktikë, ata shpesh nuk përdorin faktorizimin e emëruesit, por thjesht shtrojnë pyetjen: me sa duhet të shumëzohet emëruesi në mënyrë që rezultati të jetë një me zero (10 ose 100 ose 1000, etj.). Dhe pastaj numëruesi shumëzohet me të njëjtin numër.

Pra, në rast A)(shembulli 2) nga numri 20 mund të merrni 100 duke shumëzuar me 5, prandaj, duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 5.

Kur b)(shembulli 2) nga numri 8 nuk do të fitohet numri 100, por numri 1000 do të fitohet duke shumëzuar me 125. Edhe numëruesi (3) edhe emëruesi (8) i thyesës shumëzohen me 125.

Kur V)(shembulli 2) nga 25 ju merrni 100 nëse shumëzoni me 4. Kjo do të thotë që numëruesi 8 duhet të shumëzohet me 4.

periodike si dhjetore. Bashkësia e shifrave të përsëritura quhet perioda e kësaj thyese. Për shkurtësi, periudha e një thyese shkruhet një herë, e mbyllur në kllapa.

Kur b)(shembulli 1) ka vetëm një shifër që përsëritet dhe është e barabartë me 6. Prandaj, rezultati ynë 0.66... ​​do të shkruhet kështu: 0,(6) . Ata lexojnë: pikë zero, gjashtë në periudhë.

Nëse ka një ose më shumë shifra që nuk përsëriten midis pikës dhjetore dhe pikës së parë, atëherë një thyesë e tillë periodike quhet thyesë periodike e përzier.

Një thyesë e përbashkët e pakalueshme, emëruesi i së cilës është së bashku me të tjerët shumëzuesi përmban shumëzues 2 ose 5 , bëhet të përziera fraksion periodik.

Shkruani numrat si thyesë dhjetore:

Çdo numër racional mund të shkruhet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme.

Shkruajeni si të pafund fraksion periodik numrat:

Zgjidhje.

Të dashur miq!

Të dashur miq! Së shpejti do të përballeni (ose tashmë jeni përballur) me nevojën për të vendosur për qind probleme. Ata fillojnë të zgjidhin probleme të tilla në klasën e 5-të dhe mbarojnë... por nuk mbarojnë zgjidhjen e problemeve që përfshijnë përqindje! Këto detyra gjenden si në teste ashtu edhe në provime: si ato të transfertave ashtu edhe Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit. Çfarë duhet bërë? Ne duhet të mësojmë të zgjidhim probleme të tilla. Libri im "Si të zgjidhim problemet e përqindjes" do t'ju ndihmojë me këtë.

Shtimi i numrave.

• a+b=c, ku a dhe b janë terma, c është shuma.
• Per te gjetur term i panjohur, ju duhet të zbritni termin e njohur nga shuma.

Duke zbritur numrat.

• a-b=c, ku a është minuend, b është subtrahend, c është diferenca.
• Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.
• Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.

Shumëzimi i numrave.

• a·b=c, ku a dhe b janë faktorë, c është prodhimi.
• Per te gjetur shumëzues i panjohur, ju duhet ta ndani produktin me një faktor të njohur.

Ndarja e numrave.

• a:b=c, ku a është dividenti, b është pjesëtuesi, c është herësi.
• Për të gjetur dividendin e panjohur, duhet të shumëzoni pjesëtuesin me herësin.
• Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.

Ligjet e shtimit.

• a+b=b+a(komutativ: rirregullimi i termave nuk e ndryshon shumën).
• (a+b)+c=a+(b+c)(kombinative: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy termave, mund të shtoni shumën e të dytit dhe të tretë në numrin e parë).

Tabela shtesë.

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Ligjet e shumëzimit.

• a·b=b·a(komutativ: rirregullimi i faktorëve nuk e ndryshon produktin).
• (a b) c=a (b c)(kombinative: për të shumëzuar prodhimin e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni numrin e parë me prodhimin e të dytit dhe të tretë).
• (a+b)c=ac+bc(ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen: për të shumëzuar shumën e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni çdo term me këtë numër dhe të shtoni rezultatet që rezultojnë).
• (a-b) c=a c-b c(ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me zbritjen: për të shumëzuar diferencën e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni minuendin dhe të zbrisni me këtë numër veçmas dhe të zbrisni të dytin nga rezultati i parë).

Tabela e shumëzimit.

2·1=2; 3·1=3; 4·1=4; 5·1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8; 9·1=9.

2·2=4; 3·2=6; 4·2=8; 5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 8·2=16; 9·2=18.

2·3=6; 3·3=9; 4·3=12; 5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 8·3=24; 9·3=27.

2·4=8; 3·4=12; 4·4=16; 5·4=20; 6·4=24; 7·4=28; 8·4=32; 9·4=36.

2·5=10; 3·5=15; 4·5=20; 5·5=25; 6·5=30; 7·5=35; 8·5=40; 9·5=45.

2·6=12; 3·6=18; 4·6=24; 5·6=30; 6·6=36; 7·6=42; 8·6=48; 9·6=54.

2·7=14; 3·7=21; 4·7=28; 5·7=35; 6·7=42; 7·7=49; 8·7=56; 9·7=63.

2·8=16; 3·8=24; 4·8=32; 5·8=40; 6·8=48; 7·8=56; 8·8=64; 9·8=72.

2·9=18; 3·9=27; 4·9=36; 5·9=45; 6·9=54; 7·9=63; 8·9=72; 9·9=81.

2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.

Pjesëtuesit dhe shumëfishat.

• Ndarëse numri natyror A emërtoni numrin natyror tek i cili A ndahet pa mbetje. (Numrat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 janë pjesëtues të numrit 24, pasi numri 24 është i pjesëtueshëm me secilin prej tyre pa mbetje) 1 është pjesëtuesi i çdo numri natyror. Pjesëtuesi më i madhçdo numër është vetë numri.
• Shumëfisha numri natyror bështë një numër natyror që pjesëtohet me b. (Numrat 24, 48, 72,... janë shumëfish të numrit 24, pasi pjesëtohen me 24 pa mbetje). Shumëfishi më i vogël i çdo numri është vetë numri.

Shenjat e pjesëtueshmërisë numrat natyrorë.

• Numrat që përdoren gjatë numërimit të objekteve (1, 2, 3, 4,...) quhen numra natyrorë. Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me shkronjë N.
• Numrat 0, 2, 4, 6, 8 thirrur madje në numra. Numrat që përfundojnë me shifra çift quhen çift.
• Numrat 1, 3, 5, 7, 9 thirrur i çuditshëm në numra. Numrat që përfundojnë me shifra tek quhen numra tek.
• Test për pjesëtueshmërinë me numrin 2 . Të gjithë numrat natyrorë që mbarojnë me një shifër çift janë të pjesëtueshëm me 2.
• Test për pjesëtueshmërinë me numrin 5 . Të gjithë numrat natyrorë që mbarojnë me 0 ose 5 janë të pjesëtueshëm me 5.
• Testi i pjesëtueshmërisë për numrin 10 . Të gjithë numrat natyrorë që mbarojnë me 0 pjesëtohen me 10.
• Test për pjesëtueshmërinë me numrin 3 . Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë vetë numri pjesëtohet me 3.
• Testi i pjesëtueshmërisë për numrin 9 . Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 9, atëherë vetë numri pjesëtohet me 9.
• Test për pjesëtueshmërinë me numrin 4 . Nëse një numër përbëhet nga dy shifrat e fundit i një numri të caktuar pjesëtohet me 4, atëherë vetë numri i dhënë pjesëtohet me 4.
• Testi i pjesëtueshmërisë për numrin 11. Nëse diferenca midis shumës së shifrave në vendet tek dhe shumës së shifrave në vendet çift është e pjesëtueshme me 11, atëherë vetë numri pjesëtohet me 11.

• Një numër i thjeshtë është një numër që ka vetëm dy pjesëtues: një dhe vetë numrin.
• Një numër që ka më shumë se dy pjesëtues quhet i përbërë.
• Numri 1 nuk është as numër i thjeshtë dhe as numër i përbërë.
• Shkrimi i një numri të përbërë vetëm si produkt numrat e thjeshtë quhet faktorizimi i një numri të përbërë në faktorë të thjeshtë. Çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i faktorëve kryesorë.

• Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave natyrorë të dhënë është numri natyror më i madh me të cilin pjesëtohet secili prej këtyre numrave.
• Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave të dhënë e barabartë me produktin Faktorët kryesorë të zakonshëm në zgjerimet e këtyre numrave. Shembull. GCD(24, 42)=2·3=6, meqenëse 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, faktorët kryesorë të tyre të zakonshëm janë 2 dhe 3.
• Nëse numrat natyrorë kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - një, atëherë këta numra quhen relativisht të thjeshtë.

• Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave natyrorë të dhënë është numri natyror më i vogël që është shumëfish i secilit prej numrave të dhënë. Shembull. LCM(24, 42)=168. Pikërisht kjo numër i vogël, e cila është e pjestueshme me 24 dhe 42.
• Për të gjetur LCM-në e disa numrave natyrorë të dhënë, ju duhet: 1) të zbërtheni secilin nga numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë; 2) shkruani zbërthimin e numrit më të madh dhe shumëzojeni atë me faktorët që mungojnë nga zbërthimi i numrave të tjerë.
• Shumëfishi më i vogël i dy numrave relativisht të thjeshtë është i barabartë me prodhimin e këtyre numrave.

b- emëruesi i thyesës tregon në sa pjesë të barabarta është ndarë;

a-numëruesi i thyesës tregon sa pjesë të tilla janë marrë. Shiriti i thyesës nënkupton shenjën e ndarjes.

Ndonjëherë, në vend të një vije thyesore horizontale, vendoset një vijë e zhdrejtë dhe një thyesë e zakonshme shkruhet kështu: a/b.

• U thyesa e duhur numëruesi është më i vogël se emëruesi.
• U thyesë e papërshtatshme numëruesi është më i madh se emëruesi ose i barabartë me emëruesin.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, ju merrni një thyesë të barabartë.

Pjesëtimi i numëruesit dhe i emëruesit të një thyese me pjesëtuesin e tyre të përbashkët të ndryshëm nga një quhet reduktim i thyesës.

• Një numër i përbërë nga një pjesë e plotë dhe një pjesë thyesore quhet numër i përzier.
• Për të paraqitur një thyesë të gabuar si një numër të përzier, duhet të pjesëtoni numëruesin e thyesës me emëruesin, atëherë herësi i pjesshëm do të jetë pjesë e tërë numër i përzier, pjesa e mbetur është numëruesi i pjesës thyesore dhe emëruesi mbetet i njëjtë.
• Për të paraqitur një numër të përzier si një thyesë jo të duhur, duhet të shumëzoni pjesën e plotë të numrit të përzier me emëruesin, të shtoni numëruesin e pjesës thyesore në rezultatin që rezulton dhe ta shkruani atë në numëruesin e thyesës së papërshtatshme, duke e lënë emëruesin. e njëjta.

• Ray Oh me pikën e fillimit në pikë RRETH, në të cilat tregohen prerje e vetme te dhe drejtimin, thirri rreze koordinative.
• Numri që korrespondon me pikën rreze koordinative, thirri koordinoj këtë pikë. Për shembull , A(3). Lexoni: pika A me koordinatën 3.

• Emëruesi më i ulët i përbashkët ( NCD) të dhëna thyesat e pareduktueshmeështë shumëfishi më i vogël i përbashkët ( NOC) emëruesit e këtyre thyesave.
• Për të reduktuar thyesat në më të voglat emërues i përbashkët, ju duhet të: 1) gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të këtyre thyesave, ai do të jetë emëruesi më i vogël i përbashkët. 2) gjeni një faktor shtesë për çdo thyesë duke pjesëtuar emëruesin e ri me emëruesin e secilës thyesë. 3) shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me faktorin e saj shtesë.

• Nga dy thyesa me emërues të njëjtë ai me numërues më të madh është më i madh dhe ai me numërues më të vogël është më i vogël.
• Nga dy thyesa me numërues të njëjtë, ajo me emërues më të vogël është më e madhe dhe ajo me emërues më të madh është më e vogël.
• Të krahasojë thyesat me numërues të ndryshëm dhe emërues të ndryshëm, duhet t'i reduktoni thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe më pas t'i krahasoni thyesat me emërues të njëjtë.

Veprimet në thyesat e zakonshme.

• Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.
• Nëse duhet të shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, fillimisht zvogëloni thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe më pas shtoni thyesat me emërues të njëjtë.
• Për të zbritur thyesat me emërues të ngjashëm, zbritni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë, duke e lënë emëruesin të njëjtë.
• Nëse keni nevojë të zbrisni thyesat me emërues të ndryshëm, atëherë ato fillimisht sillen në një emërues të përbashkët, dhe më pas zbriten thyesat me emërues të njëjtë.
• Gjatë kryerjes së veprimeve të mbledhjes ose zbritjes numra të përzier këto veprime kryhen veçmas për pjesë të tëra dhe për pjesët e pjesshme, dhe më pas rezultati shkruhet si një numër i përzier.

• Prodhimi i dy thyesave të zakonshme është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është i barabartë me prodhimin e numëruesve, dhe emëruesi është i barabartë me prodhimin e emëruesve të këtyre thyesave.
• Për të shumëzuar një thyesë të përbashkët me një numër natyror, duhet të shumëzoni numëruesin e thyesës me këtë numër, por të lini emëruesin të njëjtë.
• Dy numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me një quhen numra reciprokë.
• Kur shumëzohen numrat e përzier, ata fillimisht shndërrohen në thyesa të pahijshme.
• Për të gjetur një pjesë të një numri, duhet të shumëzoni numrin me atë thyesë.

• Për të pjesëtuar një thyesë të përbashkët me një thyesë të përbashkët, duhet të shumëzoni dividentin me reciprokun e pjesëtuesit.
• Kur pjesëtohen numrat e përzier, ato fillimisht shndërrohen në thyesa të papërshtatshme.
• Për të pjesëtuar një thyesë të përbashkët me një numër natyror, duhet të shumëzoni emëruesin e thyesës me këtë numër natyror dhe ta lini numëruesin të njëjtë. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
• Për të gjetur një numër me thyesën e tij, duhet të pjesëtoni numrin që i korrespondon me këtë thyesë.

• Një thyesë dhjetore është një numër i shkruar në sistemin dhjetor dhe që ka shifra më të vogla se një. (3.25; 0.1457, etj.)
• Vendet pas presjes dhjetore në një thyesë dhjetore quhen numra dhjetore.
• Dhjetorja nuk do të ndryshojë nëse shtoni ose hiqni zerat në fund të dhjetorit.

Për të shtuar thyesa dhjetore, duhet: 1) të barazoni numrin e numrave dhjetorë në këto thyesa; 2) shkruajini ato njëra pas tjetrës në mënyrë që presja të shkruhet nën presje; 3) kryeni mbledhjen, duke mos i kushtuar vëmendje presjes dhe vendosni një presje në shumën nën presjet në thyesat e shtuara.

Për të zbritur thyesat dhjetore, ju duhet: 1) të barazoni numrin e numrave dhjetorë në minuend dhe subtrahend; 2) nënshkruani nënshtresën nën minuend në mënyrë që presja të jetë nën presje; 3) kryeni zbritjen pa i kushtuar vëmendje presjes dhe në rezultatin që rezulton vendosni një presje nën presjet e minuend-it dhe subtrahend-it.

• Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me një numër natyror, duhet ta shumëzoni atë me këtë numër, duke injoruar presjen, dhe në produktin që rezulton, ndani me presje aq shifra në të djathtë sa kishte pas presjes dhjetore në këtë thyesë.
• Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me një tjetër, duhet të kryeni shumëzimin, duke mos i kushtuar vëmendje presjeve, dhe në rezultatin që rezulton, ndani me presje aq shifra në të djathtë sa kishte pas presjes dhjetore në të dy faktorët së bashku.
• Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me 10, 100, 1000, etj., duhet të zhvendosni pikën dhjetore djathtas me 1, 2, 3, etj.
• Për të shumëzuar një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001, etj., duhet të zhvendosni pikën dhjetore majtas me 1, 2, 3, etj.

• Për të pjesëtuar një thyesë dhjetore me një numër natyror, duhet të pjesëtoni thyesën me këtë numër, pasi numrat natyrorë ndahen, dhe të vendosni presje në herës kur të përfundojë pjesëtimi i pjesës së plotë.
• Për të ndarë një thyesë dhjetore me 10, 100, 1000, etj., duhet të zhvendosni pikën dhjetore majtas me 1, 2, 3, etj.

• Për të pjesëtuar një numër me një thyesë dhjetore, duhet të zhvendosni numrat dhjetorë në dividend dhe pjesëtues djathtas aq shifra sa ka pas pikës dhjetore në pjesëtues dhe më pas pjesëtoni me numrin natyror.
• Për të pjesëtuar një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001, etj., duhet të zhvendosni pikën dhjetore djathtas me 1, 2, 3, etj. (Pjestimi i një dhjetori me 0,1, 0,01, 0,001, etj. është njësoj si të shumëzoni atë dhjetore me 10, 100, 1000, etj.)

Për të rrumbullakosur një numër në ndonjë shifër nënvizojmë shifrën e kësaj shifre dhe më pas të gjitha shifrat pas asaj të nënvizuar i zëvendësojmë me zero dhe nëse janë pas presjes dhjetore i hedhim poshtë. Nëse shifra e parë e zëvendësuar me zero ose e hedhur është 0, 1, 2, 3 ose 4, atëherë shifra e nënvizuar lihet e pandryshuar. Nëse shifra e parë e zëvendësuar me zero ose e hedhur është 5, 6, 7, 8 ose 9, atëherë shifra e nënvizuar rritet me 1.

Mesatarja aritmetike e disa numrave.

Mesatarja aritmetike e disa numrave është herësi i pjesëtimit të shumës së këtyre numrave me numrin e termave.

Gama e një numri numrash.

Dallimi midis më të mëdhenjve dhe vlerat më të ulëta i një serie të dhënash quhet diapazoni i një serie numrash.

Mënyra e serisë së numrave.

Numri që ndodh me frekuenca më e lartë ndër numrat e dhënë në një seri quhet mënyra e serisë së numrave.

• Një e qindta pjesë quhet përqindje.
• Për të shprehur përqindjet si një thyesë ose një numër natyror, ju duhet ta ndani përqindjen me 100%. (4%=0.04; 32%=0.32).
• Për të shprehur një numër si përqindje, duhet ta shumëzoni atë me 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
• Për të gjetur përqindjen e një numri, duhet të shprehni përqindjen si një thyesë e përbashkët ose dhjetore dhe të shumëzoni thyesën që rezulton me numrin e dhënë.
• Për të gjetur një numër me përqindjen e tij, duhet të shprehni përqindjen si një thyesë e zakonshme ose dhjetore dhe të pjesëtoni numrin e dhënë me këtë thyesë.
• Për të gjetur se sa përqind është numri i parë nga i dyti, duhet të pjesëtoni numrin e parë me të dytin dhe ta shumëzoni rezultatin me 100%.

• Herësi i dy numrave quhet raporti i këtyre numrave. a:b ose a/b– raporti i numrave a dhe b, dhe a është termi i mëparshëm, b është termi tjetër.
• Nëse anëtarët këtë marrëdhënie rirregulloni, atëherë relacioni që rezulton quhet inversi i relacionit të dhënë. Marrëdhëniet b/a dhe a/b janë reciproke të anasjellta.
• Raporti nuk do të ndryshojë nëse të dy termat e raportit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

• Barazia e dy raporteve quhet proporcion.
• a:b=c:d. Ky është një proporcion. Lexoni: A kjo vlen për b, Si c i referohet d. Numrat a dhe d quhen terma ekstremë të proporcionit, dhe numrat b dhe c quhen terma të mesëm të proporcionit.

• Prodhimi i termave ekstremë të një proporcioni është i barabartë me produktin e termave të mesëm të tij. Për proporcion a:b=c:d ose a/b=c/d prona kryesore është shkruar kështu: ad·d=b·c.
• Për të gjetur termin ekstrem të panjohur të një proporcioni, duhet të ndani produktin e termave të mesëm të proporcionit me termin ekstrem të njohur.
• Për të gjetur termin e mesëm të panjohur të një proporcioni, duhet të ndani produktin e termave ekstremë të proporcionit me termin e mesëm të njohur.

Lëreni vlerën y varet nga madhësia X. Nëse kur rritet X disa herë më e madhe në rritet me të njëjtën sasi, atëherë vlerat e tilla X Dhe në quhen drejtpërpjesëtimore.

Nëse dy sasi janë drejtpërdrejt proporcionale, atëherë raporti i dy vlerave të marra në mënyrë arbitrare të sasisë së parë është i barabartë me raportin e dy vlerave përkatëse të sasisë së dytë.

Raporti i gjatësisë së një segmenti në një hartë me gjatësinë e distancës përkatëse në tokë quhet shkalla e hartës.

Lëreni vlerën në varet nga madhësia X. Nëse kur rritet X disa herë më e madhe në zvogëlohet për të njëjtën sasi, atëherë vlerat e tilla X Dhe në quhen në përpjesëtim të zhdrejtë.

Nëse dy sasi janë të kundërta varësia proporcionale, atëherë raporti i dy vlerave të marra në mënyrë arbitrare të një sasie është i barabartë me raportin e anasjelltë të vlerave përkatëse të një sasie tjetër.

• Një grup është një koleksion i disa objekteve ose numrave, të përpiluar sipas disa vetitë e përgjithshme ose ligje (shumë shkronja në një faqe, shumë thyesat e duhura me emërues 5, shumë yje në qiell etj.).
• Kompletet përbëhen nga elemente dhe mund të jenë të fundme ose të pafundme. Një grup që nuk përmban një element të vetëm quhet bashkësi boshe dhe shënohet me Ø.
• Një tufë me NË quhet një nëngrup i një bashkësie A, nëse të gjithë elementët e grupit NË janë elementë të grupit A.
• Kryqëzimi i grupeve A Dhe NËështë një bashkësi elementet e të cilit i përkasin grupit A dhe shumë NË.
• Bashkimi i kompleteve A Dhe NËështë një grup, elementët e të cilit i përkasin të paktën njërës prej këtyre grupeve A Dhe NË.

Shumë numra.

• N– grup numrash natyrorë: 1, 2, 3, 4,…
• Z– një grup numrash të plotë: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
• P- një tufë me numrat racionalë, e përfaqësuar si thyesë m/n, Ku m- e tërë, n– natyrale (-2; 3/5; √9; √25, etj.)

• Një vijë koordinative është një vijë e drejtë në të cilën jepet një drejtim pozitiv, një pikë referimi (pika O) dhe një segment njësi.
• Çdo pikë në vijën koordinative i përgjigjet një numri të caktuar, i cili quhet koordinata e kësaj pike. Për shembull, A(5). Lexojnë: pika A me koordinatë pesë. NE 3). Ata lexojnë: pika B me koordinatë minus tre.

• Moduli i numrit a (shkruani |a|) është distanca nga origjina në pikën që i përgjigjet numri i dhënë A. Moduli i çdo numri është jo negativ. |3|=3; |-3|=3, sepse distanca nga origjina në numrin -3 dhe me numrin 3 është e barabartë me tre segmente njësi. |0|=0 .
• Sipas përcaktimit të modulit të një numri: |a|=a, Nëse a≥0 Dhe |a|=-a, Nëse A<0 .

Veprimet me numra racional.

Shuma e numrave negativë është një numër negativ. Moduli i shumës është i barabartë me shumën e moduleve të termave (-3-5=-8).

Shuma e dy numrave me shenja të ndryshme ka shenjën e një termi me vlerë absolute të madhe. Për të gjetur modulin e shumës, duhet të zbritni modulin më të vogël nga moduli më i madh (-4+6=2; -7+3=-4).

Prodhimi i dy numrave negativ është një numër pozitiv. Moduli i prodhimit është i barabartë me prodhimin e moduleve të këtyre numrave (-5·(-6)=30).

Prodhimi i dy numrave me shenja të ndryshme është një numër negativ. Moduli i prodhimit është i barabartë me prodhimin e moduleve të këtyre numrave (-3·7=-21; 4·(-7)=-28).

Herësi i dy numrave negativë është një numër pozitiv. Moduli i herësit është i barabartë me herësin e modulit të dividendit dhe pjesëtuesit (-8:(-2)=4).

Herësi i dy numrave me shenja të ndryshme është numër negativ. Moduli i herësit është i barabartë me herësin e modulit të dividendit dhe pjesëtuesit (-20:4=-5; 12:(-2)=-6).

• Për të shkruar një numër racional m/n si thyesë dhjetore, duhet të pjesëtoni numëruesin me emëruesin. Në këtë rast, herësi shkruhet ose si thyesë dhjetore e fundme ose e pafundme.
• Thyesat e zakonshme të pareduktueshme, emëruesit e të cilëve nuk përmbajnë faktorë të thjeshtë përveç 2 dhe 5, shkruhen si thyesë dhjetore përfundimtare (3/2=1,5; 1/5=0,2).
• Një thyesë dhjetore e pafundme në të cilën një ose më shumë shifra përsëriten pa ndryshim në të njëjtën sekuencë quhet periodike si dhjetore. Bashkësia e shifrave të përsëritura quhet perioda e kësaj thyese. Për shkurtim, perioda e thyesës shkruhet një herë, duke e mbyllur në kllapa: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1). Nëse ka një ose më shumë shifra që nuk përsëriten ndërmjet pikës dhjetore dhe pikës së parë, atëherë një thyesë e tillë periodike quhet thyesë periodike e përzier: 7/15 = 0,4 (6); 5/12=0,41 (6).
• Një thyesë e zakonshme e pareduktueshme, emëruesi i së cilës, së bashku me faktorët e tjerë, përmban një faktor 2 ose 5, bëhet një thyesë periodike e përzier.
• Çdo numër racional mund të shkruhet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme. Shembuj: 5=5,(0); 3/5=0,6 (0).

Një thyesë dhjetore periodike e pafundme është e barabartë me një fraksion të zakonshëm, numëruesi i së cilës është diferenca midis të gjithë numrit pas pikës dhjetore dhe numrit pas pikës dhjetore para pikës, dhe emëruesi përbëhet nga "nëntë" dhe "zero". , dhe ka po aq "nëntë" sa ka shifra në periudhë, dhe "ka aq zero sa ka shifra pas presjes dhjetore para pikës. Shembuj:

1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12

2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75

3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55

4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33

5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.

Bashkësia e numrave realë.

• Çdo thyesë dhjetore e pafundme jo periodike thirrur numër irracional. Shembuj: π ; √2 ; e etj.
• Të gjithë numrat racionalë dhe irracionalë formojnë bashkësinë e numrave realë. Bashkësia e numrave realë shënohet me shkronjë R.

Medianaja e një serie të caktuar numrash.

Për të gjetur mesataren e një serie të caktuar, duhet t'i renditni këta numra në rend rritës ose zbritës. Numri që është në mes të serisë që rezulton do të jetë mesatarja e kësaj serie numrash. Nëse numri i numrave të dhënë është çift, atëherë medianaja e serisë është e barabartë me mesataren aritmetike të dy numrave në mes të serisë të renditur në rend rritës ose zbritës.

• Shprehjet në të cilat numrat, simbolet aritmetike dhe kllapat mund të përdoren së bashku me shkronjat quhen shprehje algjebrike.
• Vlerat e shkronjave për të cilat shprehja algjebrike ka kuptim quhen vlera të vlefshme të shkronjave.
• Nëse në një shprehje algjebrike zëvendësoni shkronjat me vlerat e tyre dhe kryeni veprimet e treguara, atëherë numri që rezulton quhet vlera e shprehjes algjebrike.
• Dy shprehje thuhet se janë identike të barabarta nëse, për çdo vlerë të pranueshme të variablave, vlerat përkatëse të këtyre shprehjeve janë të barabarta.
• Një formulë është një shprehje algjebrike e shkruar si barazi dhe që shpreh marrëdhënien midis dy ose më shumë ndryshoreve. Shembull: formula e rrugës s=v t(s - distanca e përshkuar, v - shpejtësia, t - koha).

• Nëse ka një shenjë "+" para kllapave ose nuk ka fare shenjë, atëherë kur hapen kllapat, shenjat e termave algjebrikë ruhen.
• Nëse kllapat paraprihen nga shenja " — ", atëherë kur hapen kllapat, shenjat e termave algjebrikë kalojnë në shenja të kundërta.

Termat që kanë të njëjtën pjesë shkronjash quhen terma të ngjashëm. Gjetja e shumës algjebrike të termave të ngjashëm quhet reduktim i termave të ngjashëm. Për të sjellë terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin që rezulton me pjesën e shkronjës së përbashkët.

• Një barazi me një ndryshore quhet ekuacion.
• Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë të gjesh rrënjët e shumta të tij. Një ekuacion mund të ketë një, dy, disa, shumë rrënjë ose asnjë fare.
• Çdo vlerë e një ndryshoreje në të cilën një ekuacion i caktuar kthehet në një barazi të vërtetë quhet rrënjë e ekuacionit.
• Ekuacionet që kanë të njëjtat rrënjë quhen ekuacione ekuivalente.
• Çdo term i ekuacionit mund të transferohet nga një pjesë e barazisë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e termit në të kundërtën.
• Nëse të dy anët e një ekuacioni shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, ju merrni një ekuacion të barabartë me ekuacionin e dhënë.

• a-b atëherë është një numër pozitiv a>b.
• Nëse, kur krahasojmë numrat a dhe b, ndryshimi a-b – një numër negativ, Kjo a
• Nëse pabarazitë shkruhen me shenja< или >, atëherë quhen pabarazi strikte.
• Nëse pabarazitë shkruhen me shenjat ≤ ose ≥, atëherë ato quhen pabarazi jo të rrepta.

Vetitë e mosbarazimeve numerike.