Funksionet trigonometrike, vetitë dhe grafikët e tyre. Funksionet trigonometrike të argumentit numerik

Grafikimi i funksioneve trigonometrike në klasën e 11-të

Mësuesi i matematikës së pari kategoria e kualifikimit MAOU "Gjimnazi nr 37", Kazan

Spiridonova L.V.

• Funksionet trigonometrike argument numerik
• y=sin(x)+m Dhe y=cos(x)+m
• Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y=sin(x+t) Dhe y=cos(x+t)
• Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y=A · mëkat (x) Dhe y=A · cos(x)
• Shembuj

Funksionet trigonometrike argument numerik.

y=sin(x)

y=cos(x)

Grafiku i një funksioni y = sinx .

Grafiku i një funksioni y = sinx .

Grafiku i një funksioni y = sinx .

Grafiku i një funksioni y = sinx .

Vetitë e funksionit y = mëkat ( x ) .

të gjithë numrat realë ( R )

2. Zona e ndryshimeve (Zona e vlerave) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funksioni y = mëkat ( x) e çuditshme, sepse mëkat (-x ) = - mëkat x

• π .

sin(x+2 π ) = mëkat (x).

5. Funksioni i vazhdueshëm

Në zbritje: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Në rritje: [ - π /2; π /2 ] .

+

+

+

-

-

-

Grafiku i një funksioni y = cos x .

Grafiku i funksionit y = cos x të marra me transferim

grafiku i funksionit y = mëkat x lënë nga π /2.

Vetitë e funksionit y = co s ( x ) .

1. Fusha e përcaktimit të një funksioni është bashkësia

të gjithë numrat realë ( R )

2. Zona e ndryshimit (Zona e vlerave), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funksioni y = cos (X) madje, sepse cos(- X ) = cos (X)

• Funksioni është periodik, me periudhën kryesore 2 π .

si( X + 2 π ) = cos (X) .

5. Funksioni i vazhdueshëm

Në zbritje: [ 0 ; π ] .

6. Në rritje: [ π ; 2 π ] .

+

+

+

+

-

-

-

Ndërtimi

grafikët funksionet e formës

y = mëkat ( x ) + m

Dhe

y = cos (X) + m.

Transferimi paralel i grafikut përgjatë boshtit Oy

Grafiku i një funksioni y=f(x) + m rezulton transferim paralel grafika e funksionit y=f(x) , lart m njësi nëse m 0 ,

ose poshtë nëse m .

Konvertimi: y= mëkat ( x ) +m

Ndërrimi y= mëkat ( x ) përgjatë boshtit y lart nëse m 0

m

Konvertimi: y= cos ( x ) +m

Ndërrimi y= cos ( x ) përgjatë boshtit y lart , Nëse m 0

m

Konvertimi: y=mëkat ( x ) +m

Ndërrimi y= mëkat ( x ) përgjatë boshtit y poshtë, Nëse m 0

m

Konvertimi: y=cos ( x ) + m

Ndërrimi y= cos ( x ) përgjatë boshtit y poshtë nëse m 0

m

Ndërtimi

grafikët funksionet e formës

y = mëkat ( x + t )

Dhe

y = cos ( X +t )

Transferimi paralel i grafikut përgjatë boshtit Ox

Grafiku i një funksioni y = f(x + t) të fituara nga transferimi paralel i grafikut të funksionit y=f(x) përgjatë boshtit X në |t| njësitë e shkallës majtas, Nëse t 0

Dhe drejtë , Nëse t 0.

Konvertimi: y = mëkat (x + t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X majtas, Nëse t 0

t

Konvertimi: y= cos(x + t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X majtas, Nëse t 0

t

Konvertimi: y=sin(x+t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X drejtë, Nëse t 0

t

Konvertimi: y= cos(x + t)

ndërrim y= f(x) përgjatë boshtit X drejtë, Nëse t 0

t

0

Hartimi i grafikëve të funksioneve të formës y = A · mëkat ( x ) Dhe y = A · cos ( x ) , në një 1 dhe 0 A 1

Kompresimi dhe shtrirja përgjatë boshtit Ox

Grafiku i një funksioni y=A · f(x ) fitojmë duke shtrirë grafikun e funksionit y= f(x) me koeficient A përgjatë boshtit Ox, nëse A 1 Dhe ngjeshja në boshtin Ox me një koeficient prej 0 A .

Konvertimi: y = një mëkat ( x ), a 1

le të a=1.5

Konvertimi: y =a · cos ( x ), a 1

le të a=1.5

Konvertimi: y = një mëkat ( x ) , 0

le të a=0.5

Konvertimi: y = një cos ( x ), 0

le të a=0.5



mëkat (

y

x

y=sin(x) → y=sin(x- π )

x

mëkat (

y





y

mëkat (

x

y

x

- 1

y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3

x

x

x

y

y

mëkat

y

mëkat

mëkat

mëkat

y

x

y

x

- 1

y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2

y

x

- 1

y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1







y

y

 

 

 

y

cos

y

cos x+2

x

cos x+2

cos x

y

x

- 1

y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2

y

x

- 1

y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →

Nëse ndërtojmë një rreth njësi me qendër në origjinë dhe vendosim një vlerë arbitrare për argumentin x 0 dhe numëroni nga boshti kau qoshe x 0, atëherë ky kënd në rrethin njësi i përgjigjet një pike të caktuar A(Fig. 1) dhe projeksioni i tij në bosht Oh do të ketë një pikë M. Gjatësia e seksionit OM e barabartë me vlerë absolute pika abshise A. Kjo vlerë argument x 0 vlera e funksionit e përcaktuar y=cos x 0 si pika abshise A. Prandaj, pika NË(x 0 ;në 0) i përket grafikut të funksionit në=cos X(Fig. 2). Nëse pika Aështë në të djathtë të boshtit Oh, Sinusi aktual do të jetë pozitiv, por nëse në të majtë do të jetë negativ. Por gjithsesi, pikë A nuk mund të largohet nga rrethi. Prandaj, kosinusi shtrihet në intervalin nga –1 në 1:

–1 = koz x = 1.

Rrotullim shtesë në çdo kënd, shumëfish i 2 fq, pika e kthimit A në të njëjtin vend. Prandaj funksioni y = cos xfq:

si( x+ 2fq) = cos x.

Nëse marrim dy vlera të argumentit, të barabarta në vlerë absolute, por të kundërta në shenjë, x Dhe - x, gjeni pikat përkatëse në rreth Një x Dhe A -x. Siç mund të shihet në Fig. 3 projeksioni i tyre në bosht Ohështë e njëjta pikë M. Kjo është arsyeja pse

cos(- x) = cos ( x),

ato. kosinus - madje funksion, f(–x) = f(x).

Kjo do të thotë se ne mund të eksplorojmë vetitë e funksionit y=cos X në segment , dhe më pas merrni parasysh barazinë dhe periodicitetin e tij.

Në X= 0 pikë A shtrihet në bosht Oh, abshisa e saj është 1, dhe për këtë arsye cos 0 = 1. Me rritjen X pika A lëviz rreth rrethit lart dhe majtas, projeksioni i tij, natyrisht, është vetëm në të majtë, dhe në x = fq/2 kosinusi bëhet i barabartë me 0. Pika A në këtë moment ngrihet në lartësia maksimale, dhe më pas vazhdon të lëvizë majtas, por tashmë duke zbritur. Abshisa e saj vazhdon të zvogëlohet derisa të arrijë vlera më e ulët, e barabartë me –1 në X= fq. Kështu, në interval funksioni në=cos X zvogëlohet në mënyrë monotonike nga 1 në –1 (Fig. 4, 5).

Nga pariteti i kosinusit rezulton se në intervalin [- fq, 0] funksioni rritet në mënyrë monotonike nga –1 në 1, duke marrë një vlerë zero në x =–fq/2. Nëse merrni disa periudha, ju merrni një kurbë të valëzuar (Fig. 6).

Pra funksioni y=cos x merr vlera zero në pika X= fq/2 + kp, Ku k - ndonjë numër i plotë. Maksimumet e barabarta me 1 arrihen në pikë X= 2kp, d.m.th. në hapat e 2 fq, dhe minimume të barabarta me –1 në pikë X= fq + 2kp.

Funksioni y = sin x.

Në këndin e rrethit të njësisë x 0 korrespondon me një pikë A(Fig. 7), dhe projeksioni i tij në bosht Oh do të ketë një pikë N.Z vlera e funksionit y 0 = mëkat x 0 përkufizohet si ordinata e një pike A. Pika NË(këndi x 0 ,në 0) i përket grafikut të funksionit y= mëkat x(Fig. 8). Është e qartë se funksioni y = mëkat x periodike, periudha e saj është 2 fq:

mëkat ( x+ 2fq) = mëkat ( x).

Për dy vlera argumentesh, X Dhe - , projeksionet e pikave të tyre përkatëse Një x Dhe A -x për aks Oh të vendosura në mënyrë simetrike në raport me pikën RRETH. Kjo është arsyeja pse

mëkat (- x) = – mëkat ( x),

ato. sinusi është një funksion tek, f(- x) = –f( x) (Fig. 9).

Nëse pika A rrotullohen në lidhje me një pikë RRETH në një kënd fq/2 në të kundërt të akrepave të orës (me fjalë të tjera, nëse këndi X rritet me fq/2), atëherë ordinata e saj në pozicionin e ri do të jetë e barabartë me abshisën në atë të vjetër. Që do të thotë

mëkat ( x+ fq/2) = koz x.

Përndryshe, sinusi është një kosinus "vonë". fq/2, pasi çdo vlerë kosinusi do të "përsëritet" në sinus kur argumenti rritet me fq/2. Dhe për të ndërtuar një grafik sinus, mjafton të zhvendosni grafikun kosinus fq/2 në të djathtë (Fig. 10). Jashtëzakonisht pronë e rëndësishme sinusi shprehet me barazi

Kuptimi gjeometrik i barazisë mund të shihet nga Fig. 11. Këtu X - kjo është gjysmë harku AB, një mëkat X - gjysma e kordës përkatëse. Është e qartë se sa pikët afrohen A Dhe NË gjatësia e kordës po i afrohet gjithnjë e më shumë gjatësisë së harkut. Nga e njëjta figurë është e lehtë të nxirret pabarazia

|mëkat x| x|, e vërtetë për çdo X.

Matematikanët e quajnë formulën (*) kufi i shquar. Prej tij, në veçanti, rrjedh se mëkati X» X në të vogla X.

Funksionet në= tg x, y=ctg X. Dy funksionet e tjera trigonometrike, tangjentja dhe kotangjentja, përkufizohen më lehtë si raportet e sinusit dhe kosinusit tashmë të njohur për ne:

Ashtu si sinusi dhe kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë funksione periodike, por periodat e tyre janë të barabarta fq, d.m.th. ato janë sa gjysma e madhësisë së sinusit dhe kosinusit. Arsyeja për këtë është e qartë: nëse sinusi dhe kosinusi ndryshojnë shenjat, atëherë raporti i tyre nuk do të ndryshojë.

Meqenëse emëruesi i tangjentës përmban një kosinus, tangjenta nuk përcaktohet në ato pika ku kosinusi është 0 - kur X= fq/2 +kp. Në të gjitha pikat e tjera rritet në mënyrë monotone. Direkt X= fq/2 + kp për tangjente janë asimptota vertikale. Në pika kp tangjente dhe shpat janë 0 dhe 1, përkatësisht (Fig. 12).

Kotangjenti nuk është i përcaktuar aty ku sinusi është 0 (kur x = kp). Në pika të tjera zvogëlohet në mënyrë monotonike, dhe vijat e drejta x = kp – e tij asimptota vertikale. Në pika x = p/2 +kp kotangjentja bëhet 0, dhe pjerrësia në këto pika është e barabartë me –1 (Fig. 13).

Barazia dhe periodiciteti.

Një funksion thirret edhe nëse f(–x) = f(x). Funksionet kosinus dhe sekant janë çift, dhe funksionet sinus, tangjente, kotangjente dhe kosekante janë tek:

Vetitë e barazisë rrjedhin nga simetria e pikave P një dhe R-a (Fig. 14) në lidhje me boshtin X. Me një simetri të tillë, ordinata e pikës ndryshon shenjën (( X;në) shkon tek ( X; –u)). Të gjitha funksionet - periodik, sinus, kosinus, sekant dhe kosekant kanë një periudhë prej 2 fq, dhe tangjente dhe kotangjente - fq:

Periodiciteti i sinusit dhe kosinusit rrjedh nga fakti se të gjitha pikat P a+2 kp, Ku k= 0, ±1, ±2,…, përkojnë, dhe periodiciteti i tangjentës dhe kotangjentës është për shkak të faktit se pikat P a+ kp në mënyrë alternative bien në dy pika diametralisht të kundërta të rrethit, duke dhënë të njëjtën pikë në boshtin tangjent.

Karakteristikat kryesore të funksioneve trigonometrike mund të përmblidhen në një tabelë:

Formulat e reduktimit.

Sipas këtyre formulave, vlera e funksionit trigonometrik të argumentit a, ku fq/2 a p , mund të reduktohet në vlerën e funksionit të argumentit a , ku 0 a p /2, ose i njëjtë ose plotësues me të.

Argumenti b	-a	+a	fq-a	fq+a	+a	+a	2fq-a
mëkat b	cos a	cos a	mëkat a	– mëkat a	-cos a	-cos a	– mëkat a
cos b	mëkat a	– mëkat a	-cos a	-cos a	– mëkat a	mëkat a	cos a

Prandaj, në tabelat e funksioneve trigonometrike, vlerat jepen vetëm për këndet akute, dhe mjafton të kufizojmë veten, për shembull, në sinus dhe tangjentë. Tabela tregon vetëm formulat më të përdorura për sinusin dhe kosinusin. Nga këto është e lehtë të përftohen formula për tangjenten dhe kotangjenten. Kur hedh një funksion nga një argument i formës kp/2 ± a, ku k– një numër i plotë, në një funksion të argumentit a:

1) emri i funksionit ruhet nëse k madje, dhe ndryshon në "plotësues" nëse k tek;

2) shenja në anën e djathtë përkon me shenjën e funksionit të reduktueshëm në pikë kp/2 ± a nëse këndi a është akut.

Për shembull, kur hedh ctg(a - fq/2) sigurohemi që një - fq/2 në 0 a p /2 shtrihet në kuadrantin e katërt, ku kotangjenti është negativ dhe, sipas rregullit 1, ne ndryshojmë emrin e funksionit: ctg (a - fq/2) = –tg a .

Formulat e shtimit.

Formula për kënde të shumta.

Këto formula rrjedhin drejtpërdrejt nga formulat shtesë:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

mëkat 3a = 3 mëkat a – 4 mëkat 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

Formula për cos 3a u përdor nga François Viète gjatë zgjidhjes ekuacion kub. Ishte i pari që gjeti shprehje për cos n a dhe mëkati n a, të cilat më vonë u përftuan në një mënyrë më të thjeshtë nga formula e Moivre.

Nëse zëvendësoni a me një /2 në formulat e argumentit të dyfishtë, ato mund të konvertohen në formula gjysmë këndi:

Formulat universale të zëvendësimit.

Duke përdorur këto formula, një shprehje që përfshin funksione të ndryshme trigonometrike të të njëjtit argument mund të rishkruhet si shprehje racionale nga një funksion tg (a /2), kjo mund të jetë e dobishme kur zgjidhen disa ekuacione:

Formulat për shndërrimin e shumave në produkte dhe produkteve në shuma.

Para ardhjes së kompjuterëve, këto formula u përdorën për të thjeshtuar llogaritjet. Llogaritjet janë bërë duke përdorur tabelat logaritmike, dhe më vonë - rregulli i rrëshqitjes, sepse logaritmet janë më të përshtatshmet për shumëzimin e numrave, kështu që të gjitha shprehjet origjinale u sollën në një formë të përshtatshme për logaritmizim, d.m.th. për punët, për shembull:

2 mëkat a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);

2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);

2 mëkat a cos b= mëkat ( a–b) + mëkat ( a+b).

Formulat për funksionet tangjente dhe kotangjente mund të merren nga sa më sipër.

Formulat e reduktimit të shkallës.

Nga formulat e shumëfishtë të argumenteve rrjedhin formulat e mëposhtme:

Duke përdorur këto formula ekuacionet trigonometrike mund të reduktohet në ekuacione të shkallëve më të ulëta. Në të njëjtën mënyrë, ne mund të nxjerrim formulat e reduktimit për më shumë shkallë të lartë sinus dhe kosinus.

Çdo funksion trigonometrik në secilën pikë të domenit të tij të përkufizimit është i vazhdueshëm dhe pafundësisht i diferencueshëm. Për më tepër, derivatet e funksioneve trigonometrike janë funksione trigonometrike, dhe kur integrohen, fitohen edhe funksionet trigonometrike ose logaritmet e tyre. Integralet e kombinimeve racionale të funksioneve trigonometrike janë gjithmonë funksione elementare.

Paraqitja e funksioneve trigonometrike në formën e serive të fuqisë dhe produkteve të pafundme.

Të gjitha funksionet trigonometrike mund të zgjerohen në seri fuqie. Në këtë rast, funksionet mëkat x bcos x janë paraqitur në rreshta. konvergjente për të gjitha vlerat x:

Këto seri mund të përdoren për të marrë shprehje të përafërta për mëkatin x dhe cos x në vlera të vogla x:

në | x| p/2;

në 0 x| fq

(B n – numrat Bernoulli).

funksionet e mëkatit x dhe cos x mund të përfaqësohet në formën e produkteve të pafundme:

Sistemi trigonometrik 1, koz x, mëkat x, cos 2 x, mëkati 2 x,¼,ko nx, mëkat nx, ¼, formon në segmentin [- fq, fq] sistem ortogonal funksione, gjë që bën të mundur paraqitjen e funksioneve në formën e serive trigonometrike.

përkufizohen si vazhdimësi analitike të funksioneve përkatëse trigonometrike të argumentit real në plan kompleks. Po, mëkat z dhe cos z mund të përkufizohet duke përdorur seritë për mëkat x dhe cos x, nëse në vend të kësaj x vënë z:

Këto seri konvergojnë në të gjithë rrafshin, kështu që mëkat z dhe cos z- funksione të tëra.

Tangjentja dhe kotangjentja përcaktohen nga formula:

funksionet tg z dhe ctg z– funksionet meromorfike. tg polet z dhe sek z– e thjeshtë (rendi 1) dhe e vendosur në pika z = p/2 + pn, polet ctg z dhe cosec z– gjithashtu e thjeshtë dhe e vendosur në pika z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Të gjitha formulat që janë të vlefshme për funksionet trigonometrike të një argumenti real janë gjithashtu të vlefshme për një argument kompleks. Në veçanti,

mëkat (- z) = –mëkat z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg(- z) = –ctg z,

ato. barazia çift dhe tek janë ruajtur. Ruhen edhe formulat

mëkat ( z + 2fq) = mëkat z, (z + 2fq) = cos z, (z + fq) = tg z, (z + fq) = ctg z,

ato. periodiciteti ruhet gjithashtu, dhe periudhat janë të njëjta si për funksionet e një argumenti real.

Funksionet trigonometrike mund të shprehen në terma të një funksioni eksponencial të një argumenti thjesht imagjinar:

Mbrapa, e iz shprehur në terma të cos z dhe mëkati z sipas formulës:

e iz=cos z + i mëkat z

Këto formula quhen formulat e Euler-it. Leonhard Euler i zhvilloi ato në 1743.

Funksionet trigonometrike mund të shprehen edhe në terma të funksionet hiperbolike:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

ku sh, ch dhe th - sinus hiperbolik, kosinus dhe tangjente.

Funksionet trigonometrike të argumentit kompleks z = x + iy, Ku x Dhe y – numra realë, mund të shprehet përmes funksioneve trigonometrike dhe hiperbolike të argumenteve reale, për shembull:

mëkat ( x + iy) = mëkat x ch y + i cos x sh y;

si( x + iy) = cos x ch y + i mëkat x sh y.

Sinusi dhe kosinusi i një argumenti kompleks mund të marrë vlerat reale, që tejkalon 1 në vlerë absolute. Për shembull:

Nëse një kënd i panjohur hyn në një ekuacion si argument i funksioneve trigonometrike, atëherë ekuacioni quhet trigonometrik. Ekuacione të tilla janë aq të zakonshme sa metodat e tyre zgjidhjet janë shumë të detajuara dhe të zhvilluara me kujdes. ME me ndihme teknika të ndryshme dhe formulat reduktojnë ekuacionet trigonometrike në ekuacione të formës f(x)=a, Ku f– ndonjë nga funksionet më të thjeshta trigonometrike: sinus, kosinus, tangjent ose kotangjent. Më pas shprehni argumentin x këtë funksion nëpërmjet vlerës së tij të njohur A.

Meqenëse funksionet trigonometrike janë periodike, të njëjtat A nga diapazoni i vlerave ka pafundësisht shumë vlera të argumentit, dhe zgjidhjet e ekuacionit nuk mund të shkruhen si një funksion i vetëm i A. Prandaj, në fushën e përcaktimit të secilit prej funksioneve kryesore trigonometrike, zgjidhet një seksion në të cilin merr të gjitha vlerat e tij, secili vetëm një herë, dhe funksioni i kundërt me të gjendet në këtë seksion. Funksione të tilla shënohen me shtimin e harkut të prefiksit (harkut) në emrin e funksionit origjinal dhe quhen trigonometrikë të anasjelltë. funksionet ose thjesht funksionet e harkut.

Funksionet trigonometrike të anasjellta.

Për mëkatin X, cos X, tg X dhe ctg X mund të përcaktohet funksionet e anasjellta. Ato shënohen në përputhje me rrethanat me arcsin X(lexo "arcsine" x"), arcos x, arctan x dhe arcctg x. Sipas përkufizimit, arcsin X ekziston një numër i tillë y,Çfarë

mëkat në = X.

Në mënyrë të ngjashme për funksionet e tjera trigonometrike të anasjellta. Por ky përkufizim vuan nga disa pasaktësi.

Nëse pasqyron mëkatin X, cos X, tg X dhe ctg X në lidhje me përgjysmuesin e kuadratit të parë dhe të tretë rrafshi koordinativ, atëherë funksionet, për shkak të periodicitetit të tyre, bëhen të paqarta: i njëjti sinus (kosinus, tangjent, kotangjent) korrespondon me numër i pafund qoshet

Për të hequr qafe paqartësinë, një pjesë e kurbës me gjerësi prej fq, në këtë rast është e nevojshme që të mbahet një korrespondencë një-për-një ndërmjet argumentit dhe vlerës së funksionit. Përzgjidhen zonat afër origjinës së koordinatave. Për sinus në Si një "interval një me një" marrim segmentin [- fq/2, fq/2], në të cilin sinusi rritet në mënyrë monotonike nga –1 në 1, për kosinusin – segmenti, për tangjentën dhe kotangjentin, përkatësisht intervalet (– fq/2, fq/2) dhe (0, fq). Çdo kurbë në interval pasqyrohet në lidhje me përgjysmuesin dhe tani mund të përcaktohen funksionet trigonometrike të anasjellta. Për shembull, le të jepet vlera e argumentit x 0, e tillë që 0 Ј x 0 Ј 1. Pastaj vlera e funksionit y 0 = harksin x 0 do të ketë vetëm një kuptim në 0 , e tille qe - fq/2 Ј në 0 Ј fq/2 dhe x 0 = mëkat y 0 .

Kështu, arksina është një funksion i arksinës A, të përcaktuara në intervalin [–1, 1] dhe të barabartë për secilën A në një vlerë të tillë një, - fq/2 a p /2 që mëkat a = A.Është shumë i përshtatshëm për ta paraqitur atë duke përdorur një rreth njësi (Fig. 15). Kur | a| 1 në një rreth ka dy pika me ordinatë a, simetrike rreth boshtit u. Njëri prej tyre korrespondon me këndin a= harksin A, dhe tjetra është këndi p - a. ME duke marrë parasysh periodicitetin e sinusit, zgjidhjen ekuacionet e mëkatit x= A shkruhet si më poshtë:

x =(–1)n harku a + 2p n,

Ku n= 0, ±1, ±2,...

Ekuacione të tjera të thjeshta trigonometrike mund të zgjidhen në të njëjtën mënyrë:

cos x = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

Ku n= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);

tg X = a;

x= arctan a + fq n,

Ku n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17);

ctg X= A;

X= arcctg a + fq n,

Ku n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

Karakteristikat themelore të funksioneve trigonometrike të anasjellta:

harku X(Fig. 19): fusha e përkufizimit – segmenti [–1, 1]; diapazoni - [- fq/2, fq/2], funksion në rritje monotonike;

harqe X(Fig. 20): fusha e përkufizimit – segmenti [–1, 1]; varg vlerash – ; funksion monotonik në rënie;

arctg X(Fig. 21): fusha e përkufizimit - të gjithë numrat realë; diapazoni i vlerave - intervali (- fq/2, fq/2); funksion në rritje monotonike; drejt në= –fq/2 dhe y = p /2 - asimptota horizontale;

arcctg X(Fig. 22): fusha e përkufizimit - të gjithë numrat realë; diapazoni i vlerave - intervali (0, fq); funksion monotonik në rënie; drejt y= 0 dhe y = p– asimptota horizontale.

Për këdo z = x + iy, Ku x Dhe y janë numra realë, zbatohen pabarazitë

½| e\e y–e-y| ≤|mëkat z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

nga të cilat në y® Ґ vijojnë formulat asimptotike (në mënyrë uniforme në lidhje me x)

|mëkat z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Funksionet trigonometrike u shfaqën për herë të parë në lidhje me kërkimet në astronomi dhe gjeometri. Raportet e segmenteve në një trekëndësh dhe një rreth, të cilat në thelb janë funksione trigonometrike, gjenden tashmë në shekullin III. para Krishtit e. në veprat e matematikanëve të Greqisë antike – Euklidi, Arkimedi, Apolloni i Pergës dhe të tjerë, megjithatë, këto marrëdhënie nuk ishin një objekt i pavarur studimi, kështu që ata nuk studionin funksionet trigonometrike si të tilla. Ato fillimisht u konsideruan si segmente dhe në këtë formë u përdorën nga Aristarku (fundi i 4-të - gjysma e dytë e shek. III para Krishtit), Hipparchus (shek. II p.e.s.), Menelaus (shek. I pas Krishtit) dhe Ptolemeu (shek. II pas Krishtit). zgjidhjen e trekëndëshave sferikë. Ptolemeu përpiloi tabelën e parë të kordave për kënde akute çdo 30" me një saktësi 10 -6. Kjo ishte tabela e parë e sinuseve. Si raport funksioni i mëkatit a gjendet tashmë në Aryabhata (fundi i shekullit të 5-të). Funksionet tg a dhe ctg a gjenden në al-Battani (gjysma e dytë e IX - fillimi i shekujve 10) dhe Abul-Wef (shek. X), i cili përdor gjithashtu sec a dhe cosec a. Aryabhata e dinte tashmë formulën (sin 2 a + cos 2 a) = 1, si dhe formulat për sin dhe cos të një gjysmë këndi, me ndihmën e të cilave ai ndërtoi tabela të sinuseve për këndet deri në 3°45"; bazuar në vlerat e njohura funksionet trigonometrike për argumentet më të thjeshta. Bhaskara (shekulli i 12-të) dha një metodë për ndërtimin e tabelave në terma 1 duke përdorur formula shtesë. Formulat për konvertimin e shumës dhe diferencës së funksioneve trigonometrike të argumenteve të ndryshëm në një produkt janë nxjerrë nga Regiomontanus (shekulli i 15-të) dhe J. Napier në lidhje me shpikjen e logaritmeve të këtij të fundit (1614). Regiomontanus dha një tabelë të vlerave të sinusit në terma 1". Zgjerimi i funksioneve trigonometrike në seritë e fuqisë u mor nga I. Newton (1669). formë moderne teoria e funksioneve trigonometrike u prezantua nga L. Euler (shek. XVIII). Ai zotëron përkufizimin e tyre realisht dhe argumente komplekse, simbolika e pranuar aktualisht, duke krijuar një lidhje me funksioni eksponencial dhe ortogonaliteti i sistemit të sinuseve dhe kosinuseve.

• 2. Gama e vlerave: [-1;1]
• 3. Funksioni tek.
• 7. Intervalet në të cilat funksioni është pozitiv: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
• 8. Intervalet në të cilat funksioni është negativ: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
• 9. Intervale në rritje: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
• 10. Zvogëlimi i intervaleve:
• 11. Pikët minimale: -pi/2 +2*pi*n
• 12. Funksioni minimal: -1
• 13. Pikat maksimale: pi/2 +2*pi*n
• 14. Funksioni maksimal: 1

Vetitë e kosinusit

• 1. Zona e përkufizimit: boshti i plotë i numrave
• 2. Gama e vlerave: [-1;1]
• 3. Edhe funksion.
• 4. Më e vogla periudhë pozitive: 2*pi
• 5. Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Ox: (pi/2 +pi*n; 0)
• 6. Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oy: (0;1)
• 7. Intervalet në të cilat funksioni është pozitiv: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
• 8. Intervalet në të cilat funksioni është negativ: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. Intervalet në rritje: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
• 10. Zvogëlimi i intervaleve:
• 11. Pikët minimale: pi+2*pi*n
• 12. Funksioni minimal: -1
• 13. Pikët maksimale: 2*pi*n
• 14. Funksioni maksimal: 1

Vetitë e tangjentes

• 1. Zona e përkufizimit: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
• 3. Funksioni tek.
• 5. Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Ox: (pi*n; 0)
• 6. Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oy: (0;0)
• 9. Funksioni rritet në intervale (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Vetitë e kotangjentes

• 1. Domeni: (pi*n; pi +pi*n)
• 2. Gama e vlerave: boshti i plotë i numrave
• 3. Funksioni tek.
• 4. Periudha më e vogël pozitive: pi
• 5. Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Ox: (pi/2 + pi*n; 0)
• 6. Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oy: nr.
• 7. Intervalet në të cilat funksioni është pozitiv: (pi*n; pi/2 +pi*n)
• 8. Intervalet në të cilat funksioni është negativ: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
• 9. Funksioni zvogëlohet në intervale (pi*n; pi +pi*n)
• 10. Nuk ka pikë maksimale dhe minimale.

Figura më poshtë tregon disa rrathët e njësive, të cilat tregojnë shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës në katërshe të ndryshme koordinative.

1. Funksionet trigonometrike përfaqësojnë funksionet elementare, argumenti i të cilit është qoshe. Duke përdorur funksionet trigonometrike, marrëdhëniet ndërmjet brinjëve dhe qoshe të mprehta në një trekëndësh kënddrejtë. Fushat e zbatimit të funksioneve trigonometrike janë jashtëzakonisht të ndryshme. Për shembull, çdo proces periodik mund të përfaqësohet si një shumë e funksioneve trigonometrike (seri Fourier). Këto funksione shfaqen shpesh kur zgjidhen ekuacionet diferenciale dhe funksionale.

2. Funksionet trigonometrike përfshijnë 6 funksionet e mëposhtme: sinusit, kosinusi, tangjente,kotangjente, sekant Dhe kosekant. Për secilin funksionet e specifikuara ekziston një funksion trigonometrik i anasjelltë.

3. Përkufizimi gjeometrik Funksionet trigonometrike mund të futen lehtësisht duke përdorur rrethi njësi. Figura më poshtë tregon një rreth me rreze r=1. Në rreth shënohet pika M(x,y). Këndi ndërmjet vektorit të rrezes OM dhe drejtimit pozitiv të boshtit Ox është i barabartë me α.

4. Sinus këndi α është raporti i ordinatës y të pikës M(x,y) me rrezen r:
sinα=y/r.
Meqenëse r=1, atëherë sinusi është i barabartë me ordinatën e pikës M(x,y).

5. Kosinusi këndi α është raporti i abshisës x të pikës M(x,y) me rrezen r:
cosα=x/r

6. Tangjente këndi α është raporti i ordinatës y të një pike M(x,y) me abshisën x të saj:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangjente këndi α është raporti i abshisës x të një pike M(x,y) ndaj ordinatës së saj y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekant këndi α është raporti i rrezes r me abshisën x të pikës M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekant këndi α është raporti i rrezes r ndaj ordinatës y të pikës M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Në rrethin njësi, projeksionet x, y, pikat M(x,y) dhe rrezja r formojnë një trekëndësh kënddrejtë, në të cilin x,y janë këmbët, dhe r është hipotenuza. Prandaj, përkufizimet e mësipërme të funksioneve trigonometrike në shtojcën e trekëndësh kënddrejtë janë formuluar si më poshtë:
Sinus këndi α është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën.
Kosinusi këndi α është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Tangjente këndi α quhet këmbë e kundërt me atë ngjitur.
Kotangjente këndi α quhet brinja ngjitur me anën e kundërt.
Sekant këndi α është raporti i hipotenuzës me këmbën ngjitur.
Kosekant këndi α është raporti i hipotenuzës me këmbën e kundërt.

11. Grafiku i funksionit të sinusit
y=sinx, domeni i përkufizimit: x∈R, diapazoni i vlerave: −1≤sinx≤1

12. Grafiku i funksionit të kosinusit
y=cosx, domeni i përkufizimit: x∈R, diapazoni i vlerave: −1≤cosx≤1

13. Grafiku i funksionit tangjent
y=tanx, domeni: x∈R,x≠(2k+1)π/2, diapazoni: −∞

14. Grafiku i funksionit kotangjent
y=cotx, domeni: x∈R,x≠kπ, diapazoni: −∞

15. Grafiku i funksionit sekant
y=sekx, domeni: x∈R,x≠(2k+1)π/2, diapazoni: secx∈(−∞,−1]∪∪)