Konceptet bazë. Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit.
Formulat probabilitet të plotë, Bayes, Bernoulli. Teoremat e Laplasit.
Pyetje
- Lënda e teorisë së probabilitetit.
- Llojet e ngjarjeve.
- Përkufizimi klasik i probabilitetit.
- Përkufizimi statistikor probabilitetet.
- Përkufizimi gjeometrik probabilitetet.
- Teorema e shtimit të probabilitetit Jo ngjarje të përbashkëta.
- Teorema e shumëzimit të probabilitetit nuk është ngjarje të varura.
- Probabiliteti i kushtëzuar.
- Shumëzimi i ngjarjeve të varura.
- Shtimi i ngjarjeve të përbashkëta.
- Formula e probabilitetit total.
- Formula e Bayes.
13. Ligji i shpërndarjes binomiale, polinomiale.
- Lënda e teorisë së probabilitetit. Konceptet bazë.
Një ngjarje në teorinë e probabilitetit është çdo fakt që mund të ndodhë si rezultat i ndonjë përvoje (testi).
Për shembull: Qitësi gjuan në objektiv. Një gjuajtje është një provë, goditja e një objektivi është një ngjarje. Ngjarjet zakonisht caktohen
Një ngjarje e vetme e rastësishme është pasojë e shumë shkaqeve të rastësishme, të cilat shumë shpesh nuk mund të merren parasysh. Sidoqoftë, nëse marrim parasysh ngjarjet homogjene masive (të vëzhguara shumë herë gjatë një eksperimenti në të njëjtat kushte), atëherë ato rezultojnë të jenë subjekt i modeleve të caktuara: nëse hedhni një monedhë në të njëjtat kushte shumë herë, mund të parashikoni me një gabim të vogël se numri i dukurive stema do të jetë i barabartë me gjysmën e numrit të gjuajtjeve.
Tema e teorisë së probabilitetit është studimi i modeleve probabiliste të ngjarjeve të rastësishme homogjene masive. Metodat e teorisë së probabilitetit përdoren gjerësisht në teoritë e besueshmërisë, gjuajtjes, kontrollit automatik, etj. Teoria e probabilitetit shërben si bazë për matematikën dhe statistikat e aplikuara, e cila nga ana tjetër përdoret në planifikimin dhe organizimin e prodhimit, në analizimin proceset teknologjike etj.
Përkufizimet.
1. Nëse si rezultat i përvojës ngjarja
a) do të ndodhë gjithmonë, atëherë është një ngjarje e besueshme,
b) nuk do të ndodhë kurrë, atëherë - një ngjarje e pamundur,
c) mund të ndodhë, mund të mos ndodhë, atëherë është një ngjarje e rastësishme (e mundshme).
2. Ngjarjet quhen po aq të mundshme nëse ka arsye për të besuar se asnjë nga këto ngjarje nuk ka më shumë shanse dalin nga përvoja se të tjerët.
3. Ngjarjet dhe janë të përbashkëta (të papajtueshme), nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e përjashton (përjashton) ndodhjen e tjetrës.
4. Një grup ngjarjesh është i pajtueshëm nëse të paktën dy ngjarje nga ky grup janë të pajtueshme, përndryshe është i papajtueshëm.
5. Një grup ngjarjesh quhet i plotë nëse njëra prej tyre do të ndodhë patjetër si rezultat i përvojës.
Shembulli 1. Janë tre të shtëna në shënjestër: Le - godit (humbas) në gjuajtjen e parë - në goditjen e dytë - në goditjen e tretë. Pastaj
a) - një grup i përbashkët ngjarjesh po aq të mundshme.
b) - një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme. - një ngjarje që është e kundërta.
c) - një grup i plotë ngjarjesh.
Klasike dhe probabiliteti statistikor
Mënyrë klasike Përcaktimi i probabilitetit zbatohet për një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme po aq të mundshme.
Çdo ngjarje në këtë grup do të quhet një rast ose një rezultat elementar. Në lidhje me çdo ngjarje, rastet ndahen në të favorshme dhe të pafavorshme.
Përkufizimi 2. Probabiliteti i një ngjarjeje është sasia
ku është numri i rasteve të favorshme për ndodhjen e ngjarjes, është numri i përgjithshëm i njësoj të mundshme këtë përvojë rastet.
Shembulli 2. Dy të hedhura zare. Lëreni që ngjarja - shuma e pikave të rënë të jetë e barabartë me . Gjej .
a) Vendim i gabuar. Ekzistojnë vetëm 2 raste të mundshme: dhe - një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme. Vetëm një rast është i favorshëm, d.m.th. 
Ky është një gabim, pasi ato nuk janë njësoj të mundshme.
b) Totali i rasteve po aq të mundshme. Rastet e favorshme: prolapsi
Dobësitë e përkufizimit klasik janë:
1. - numri i rasteve është i kufizuar.
2. Rezultati i një eksperimenti shumë shpesh nuk mund të paraqitet në formën e një grupi ngjarjesh (rastesh) elementare.
3. Është e vështirë të tregohen arsyet për shqyrtimin e rasteve si të mundshme.
Le të kryhen një sërë testesh.
Përkufizimi 3. Frekuenca relative e një ngjarjeje është sasia
ku është numri i gjykimeve në të cilat u shfaqën ngjarjet dhe është numri i përgjithshëm i gjykimeve.
Vëzhgimet afatgjata kanë treguar se në përvoja të ndryshme në mjaft të mëdha
Ndryshon pak, duke u luhatur rreth një të caktuar numër konstant, që ne e quajmë probabilitet statistikor.
Probabiliteti ka vetitë e mëposhtme:
Algjebra e ngjarjeve
7.3.1 Përkufizime.
8. Shuma ose bashkimi i disa ngjarjeve është një ngjarje e përbërë nga të paktën njëra prej tyre.
9. Produkti i disa ngjarjeve është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e përbashkët e të gjitha këtyre ngjarjeve.
Nga shembulli 1. 
- të paktën një goditje me tre goditje, - një goditje me goditjen e parë dhe të dytë dhe një gabim me të tretën.
Saktësisht një goditje.
Të paktën dy goditje.
10. Dy ngjarje quhen të pavarura (të varura) nëse probabiliteti i njërës prej tyre nuk varet (varet) nga ndodhja ose mosndodhja e tjetrës.
11. Disa ngjarje quhen kolektivisht të pavarura nëse secila prej tyre dhe çdo kombinim linear i ngjarjeve të mbetura janë ngjarje të pavarura.
12. Probabiliteti i kushtëzuar 
është probabiliteti i një ngjarjeje të llogaritur nën supozimin se ngjarja ka ndodhur.
7.3.2 Teorema e shumëzimit të probabilitetit.
Probabiliteti i ndodhjes (prodhimit) të përbashkët të disa ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre nga probabilitete të kushtëzuara ngjarjet e mbetura të llogaritura nën supozimin se të gjitha ngjarjet e mëparshme kanë ndodhur
Përfundimi 1. Nëse - janë bashkërisht të pavarur, atëherë
Në të vërtetë: që nga .
Shembulli 3. Në urnë ka 5 topa të bardhë, 4 të zinj dhe 3 blu. Çdo test konsiston në tërheqjen e një topi në mënyrë të rastësishme nga një urnë. Sa është probabiliteti që në testin e parë të ketë top i bardhë, me të dytën - një top të zi, me të tretën - një top blu, nëse
a) çdo herë që topi kthehet në urnë.
- në urnë pas provës së parë të topave, 4 prej tyre janë të bardhë. . Nga këtu
b) topi nuk kthehet në urnë. Pastaj - i pavarur në agregat dhe
7.3.3 Teorema e mbledhjes së probabilitetit.
Probabiliteti që të paktën një nga ngjarjet të ndodhë është i barabartë me
Përfundimi 2. Nëse ngjarjet janë të papajtueshme në çift, atëherë
Vërtet në këtë rast
Shembulli 4. Tre të shtëna janë qëlluar në një objektiv. Probabiliteti i një goditjeje në goditjen e parë është , në të dytën - , në të tretën - . Gjeni probabilitetin e të paktën një goditjeje.
Zgjidhje. Le të ketë një goditje në goditjen e parë, në të dytën, në të tretën dhe të paktën një goditje në tre goditje. Pastaj, ku janë ato të përbashkëta të pavarura në agregat. Pastaj
Përfundimi 3. Nëse formohen ngjarje të papajtueshme në çift grupi i plotë, Kjo
Përfundimi 4. Për ngjarje të kundërta
Ndonjëherë gjatë zgjidhjes së problemeve është më e lehtë të gjesh probabilitetin e ngjarjes së kundërt. Për shembull, në shembullin 4 - një humbje me tre të shtëna. Që të pavarur në total, dhe pastaj
Siç u tha më lart, përkufizim klasik probabiliteti supozon se të gjitha rezultatet elementare janë njëlloj të mundshme. Barazia e rezultateve eksperimentale është arritur për shkak të konsideratave të simetrisë. Problemet në të cilat mund të përdoren konsideratat e simetrisë janë të rralla në praktikë. Në shumë raste është e vështirë të ofrohen arsye për të besuar se të gjitha rezultatet elementare janë njëlloj të mundshme. Në këtë drejtim, u bë e nevojshme të futet një përkufizim tjetër i probabilitetit, i quajtur statistikor. Le të paraqesim së pari konceptin e frekuencës relative.
Frekuenca relative e ngjarjes, ose frekuenca, është raporti i numrit të eksperimenteve në të cilat ka ndodhur kjo ngjarje me numrin e të gjitha eksperimenteve të kryera. Le të tregojmë shpeshtësinë e ngjarjes A përmes W(A), Pastaj
Ku n- numri i përgjithshëm i eksperimenteve; m– numri i eksperimenteve në të cilat ka ndodhur ngjarja A.
Me një numër të vogël eksperimentesh, frekuenca e ngjarjes është kryesisht e rastësishme dhe mund të ndryshojë dukshëm nga një grup eksperimentesh në tjetrin. Për shembull, me nja dhjetë hedhje monedhash, është shumë e mundur që stema të shfaqet 2 herë (frekuenca 0,2), me dhjetë hedhje të tjera mund të marrim 8 stemë (frekuenca 0,8). Sidoqoftë, me një rritje të numrit të eksperimenteve, shpeshtësia e ngjarjes humbet gjithnjë e më shumë karakterin e saj të rastësishëm; rrethanat e rastësishme të qenësishme në çdo përvojë individuale anulohen në masë dhe frekuenca tenton të stabilizohet, duke iu afruar me luhatje të vogla një mesatare të caktuar vlerë konstante. Kjo konstante, e cila është objektive karakteristikë numerike dukuritë konsiderohen probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar.
Përkufizimi statistikor i probabilitetit: probabiliteti ngjarjet emërtojnë numrin rreth të cilit grupohen vlerat e frekuencës së një ngjarjeje të caktuar në seri të ndryshme numer i madh testet.
Vetia e stabilitetit të frekuencës, e testuar në mënyrë të përsëritur eksperimentalisht dhe e konfirmuar nga përvoja e njerëzimit, është një nga modelet më karakteristike të vërejtura në ngjarje të rastësishme. Ekziston një lidhje e thellë midis shpeshtësisë së një ngjarjeje dhe probabilitetit të saj, e cila mund të shprehet si më poshtë: kur vlerësojmë shkallën e mundësisë së një ngjarjeje, ne e lidhim këtë vlerësim me një frekuencë më të madhe ose më të vogël të ndodhjes së ngjarjeve të ngjashme në praktikë. .
Probabiliteti gjeometrik
Përkufizimi klasik i probabilitetit supozon se numri rezultatet elementare Sigurisht. Në praktikë, ka eksperimente për të cilat grupi i rezultateve të tilla është i pafund. Për të kapërcyer këtë pengesë të përkufizimit klasik të probabilitetit, që është se ai nuk është i zbatueshëm për testet me një numër të pafund rezultatesh, ato prezantojnë probabilitete gjeometrike - probabilitetet e një pike që bie në një zonë.
Le të supozojmë se në aeroplan është dhënë një rajon i kuadratueshëm G, d.m.th. zonë që ka sipërfaqe S G. Në zonë G përmban sipërfaqe g zonë S g. Për rajonin G Një pikë hidhet rastësisht. Ne do të supozojmë se pika e hedhur mund të bjerë në një pjesë të zonës G me një probabilitet proporcional me sipërfaqen e kësaj pjese dhe të pavarur nga forma dhe vendndodhja e saj. Lëreni ngjarjen A– “Pika e hedhur godet zonën g", Pastaj probabiliteti gjeometrik kjo ngjarje përcaktohet nga formula:
NË rast i përgjithshëm Koncepti i probabilitetit gjeometrik paraqitet si më poshtë. Le të shënojmë masën e sipërfaqes g(gjatësia, sipërfaqja, vëllimi) përmes mes g, dhe masa e sipërfaqes G- përmes mes G ; le gjithashtu A– ngjarja “një pikë e hedhur godet zonën g, e cila gjendet në zonë G" Mundësia për të goditur zonën g pikat e hedhura në zonë G, përcaktohet nga formula
.
Detyrë. Një katror është i gdhendur në një rreth. Një pikë hidhet në rreth në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që pika të bjerë në katror?
Zgjidhje. Le të jetë rrezja e rrethit R, atëherë sipërfaqja e rrethit është . Diagonalja e katrorit është , atëherë ana e katrorit është , dhe sipërfaqja e katrorit është . Probabiliteti i ngjarjes së dëshiruar përcaktohet si raporti i sipërfaqes së katrorit me zonën e rrethit, d.m.th. 
.
Pyetje kontrolli
1. Çfarë quhet test (përvojë)?
2. Çfarë është një ngjarje?
3. Cila ngjarje quhet a) e besueshme? b) të rastësishme? c) e pamundur?
4. Cilat ngjarje quhen a) të papajtueshme? b) nyje?
5. Cilat ngjarje quhen të kundërta, a) të papajtueshme b) të pajtueshme apo të rastësishme?
6. Çfarë quhet grup i plotë i ngjarjeve të rastit?
7. Nëse ngjarjet nuk mund të ndodhin të gjitha së bashku si rezultat i testit, a do të jenë ato të papajtueshme në çift?
8. A formohen ngjarjet A dhe grupi i plotë?
9. Cilat rezultate elementare janë të favorshme? këtë ngjarje?
10. Cili përkufizim i probabilitetit quhet klasik?
11. Cilat janë kufijtë e probabilitetit të ndonjë ngjarjeje?
12. Në çfarë kushtesh zbatohet? probabiliteti klasik?
13. Në çfarë kushtesh zbatohet probabiliteti gjeometrik?
14. Cili përkufizim i probabilitetit quhet gjeometrik?
15. Sa është shpeshtësia e një ngjarjeje?
16. Cili përkufizim i probabilitetit quhet statistikor?
1. Një shkronjë zgjidhet rastësisht nga shkronjat e fjalës “konservator”. Gjeni probabilitetin që kjo shkronjë të jetë një zanore. Gjeni probabilitetin që të jetë shkronja "o".
2. Shkronjat “o”, “p”, “s”, “t” shkruhen në letra identike. Gjeni probabilitetin që fjala "kabllo" të shfaqet në kartat e vendosura rastësisht në një rresht.
3. Në ekip janë 4 femra dhe 3 meshkuj. 4 bileta për në teatër hidhen mes anëtarëve të brigadës. Sa është probabiliteti që mes mbajtësve të biletave të ketë 2 gra dhe 2 burra?
4. Hidhen dy zare. Gjeni probabilitetin që shuma e pikëve në të dy zaret të jetë më e madhe se 6.
5. Shkronjat l, m, o, o, t shkruhen në pesë letra identike.
6. Nga 10 bileta, 2 janë fituese?
7. Sa është probabiliteti që në një të zgjedhur rastësisht numër dyshifror numrat janë të tillë që prodhimi i tyre është i barabartë me zero.
8. Një numër jo më i madh se 30 zgjidhet rastësisht Gjeni probabilitetin që ky numër të jetë pjesëtues i 30.
9. Një numër jo më i madh se 30 zgjidhet rastësisht Gjeni probabilitetin që ky numër të jetë shumëfish i 3.
10. Një numër jo më i madh se 50 zgjidhet rastësisht Gjeni probabilitetin që ky numër të jetë i thjeshtë.
Indeksi korrelacioni i rangut Kendall, duke testuar hipotezën përkatëse për rëndësinë e marrëdhënies.
2.Përkufizimi klasik i probabilitetit. Vetitë e probabilitetit.
Probabiliteti është një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. Ekzistojnë disa përkufizime të këtij koncepti. Le të japim një përkufizim që quhet klasik. Më tej ne tregojmë anët e dobëta këtë përkufizim dhe jepni përkufizime të tjera që na lejojnë të kapërcejmë mangësitë e përkufizimit klasik.
Le të shohim një shembull. Lëreni urnën të përmbajë 6 topa identikë, të përzier tërësisht, dhe 2 prej tyre janë të kuq, 3 janë blu dhe 1 është i bardhë. Natyrisht, mundësia e tërheqjes së rastësishme të një topi me ngjyrë (d.m.th., i kuq ose blu) nga një urnë është më i madh se mundësia për të nxjerrë një top të bardhë. A mund të matet kjo mundësi? Rezulton se është e mundur. Ky numër quhet probabiliteti i një ngjarjeje (shfaqja e një topi me ngjyrë). Kështu, probabiliteti është një numër që karakterizon shkallën e mundësisë së një ngjarjeje.
Le t'i vendosim vetes detyrën për të dhënë vlerësimi sasior mundësia që një top i marrë rastësisht të jetë i ngjyrosur. Shfaqja e një topi me ngjyrë do të konsiderohet si ngjarja A. Secili prej rezultateve të mundshme të testit (testi konsiston në heqjen e topit nga urna) do të quhet rezultati elementar (ngjarja elementare). Rezultatet elementare i shënojmë me w 1, w 2, w 3, etj. Në shembullin tonë, 6 rezultatet e mëposhtme elementare janë të mundshme: w 1 - shfaqet një top i bardhë; w 2, w 3 - u shfaq një top i kuq; w 4, w 5, w 6 - shfaqet një top blu. Është e lehtë të shihet se këto rezultate formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift (vetëm një top do të shfaqet) dhe ato janë po aq të mundshme (topi vizatohet në mënyrë të rastësishme, topat janë identikë dhe të përzier plotësisht).
Ne do t'i quajmë ato rezultate elementare në të cilat ndodh ngjarja me interes për ne i favorshëm këtë ngjarje. Në shembullin tonë, 5 rezultatet e mëposhtme favorizojnë ngjarjen A (shfaqja e një topi me ngjyrë): w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.
Kështu, ngjarja A vërehet nëse një nga rezultatet elementare që favorizon A-në ndodh në test, pavarësisht se cili; në shembullin tonë, A vërehet nëse ndodh w 2, ose w 3, ose w 4, ose w 5, ose w 6. Në këtë kuptim, ngjarja A ndahet në disa ngjarje elementare (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); një ngjarje elementare nuk ndahet në ngjarje të tjera. Ky është ndryshimi midis ngjarjes A dhe një ngjarjeje elementare (një rezultat elementar).
Raporti i numrit të rezultateve elementare të favorshme për ngjarjen A ndaj tyre numri i përgjithshëm quhet probabiliteti i ngjarjes A dhe shënohet me P (A). Në shembullin në shqyrtim, ka 6 rezultate elementare; 5 prej tyre favorizojnë ngjarjen A. Për rrjedhojë, probabiliteti që topi i marrë të jetë i ngjyrosur është i barabartë me P (A) = 5 / 6. Ky numër jep vlerësimin sasior të shkallës së mundësisë së shfaqjes së një topi me ngjyrë që ne donte të gjente. Le të japim tani përkufizimin e probabilitetit.
Probabiliteti i ngjarjes A ata e quajnë raportin e numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë grupin e plotë. Pra, probabiliteti i ngjarjes A përcaktohet nga formula
ku m është numri i rezultateve elementare të favorshme për A; n është numri i të gjitha rezultateve të mundshme të testit elementar.
Këtu supozohet se rezultatet elementare janë të papajtueshme, po aq të mundshme dhe formojnë një grup të plotë. Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:
Me në rreth s t në rreth 1. Probabiliteti ngjarje e besueshme e barabartë me një.
Në të vërtetë, nëse ngjarja është e besueshme, atëherë çdo rezultat elementar i testit favorizon ngjarjen. Në këtë rast m = n, pra,
P (A) = m / n = n / n = 1.
S në rreth me t në rreth 2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.
Në të vërtetë, nëse një ngjarje është e pamundur, atëherë asnjë nga rezultatet elementare të testit nuk e favorizon ngjarjen. Në këtë rast m = 0, pra,
P (A) = m / n = 0 / n = 0.
Me në rreth me t në rreth 3. Probabiliteti ngjarje e rastësishme ka numër pozitiv, i mbyllur midis zeros dhe njës.
Në të vërtetë, vetëm një pjesë e numrit total të rezultateve elementare të testit favorizohet nga një ngjarje e rastësishme. Në këtë rast 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Pra, probabiliteti i çdo ngjarjeje plotëson pabarazinë e dyfishtë
Vërejtje: Kurset moderne rigoroze në teorinë e probabilitetit janë ndërtuar mbi bazën e teorisë së grupeve. Le të kufizohemi në paraqitjen në gjuhën e teorisë së grupeve të koncepteve të diskutuara më sipër.
Le të ndodhë një dhe vetëm një nga ngjarjet w i, (i = 1, 2, ..., n) si rezultat i testit. Ngjarjet që quhen ngjarje elementare (rezultatet elementare). Nga kjo tashmë rezulton se ngjarjet elementare janë të papajtueshme në çift. Bashkësia e të gjitha ngjarjeve elementare që mund të ndodhin në një test quhet hapësira e ngjarjeve elementare W, dhe vetë ngjarjet elementare janë pikat e hapësirës W.
Ngjarja A identifikohet me një nëngrup (të hapësirës W), elementët e së cilës janë rezultate elementare të favorshme për A; Ngjarja B është një nëngrup i W, elementët e së cilës janë rezultate të favorshme për B, etj. Kështu, grupi i të gjitha ngjarjeve që mund të ndodhin në një test është bashkësia e të gjitha nëngrupeve të W. W në vetvete ndodh për çdo rezultat të testit, prandaj W është një ngjarje e besueshme; një nëngrup bosh i hapësirës W është një ngjarje e pamundur (nuk ndodh në asnjë rezultat të testit).
Vini re se ngjarjet elementare dallohen nga të gjitha ngjarjet nga fakti se secila prej tyre përmban vetëm një element W.
Çdo rezultati elementar w i i caktohet një numër pozitiv fq i është probabiliteti i këtij rezultati, dhe
Sipas përkufizimit, probabiliteti P(A) i ngjarjes A është i barabartë me shumën e probabiliteteve të rezultateve elementare të favorshme për A. Nga këtu është e lehtë të përftohet se probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një, një ngjarje e pamundur është e barabartë me zero, dhe një ngjarje arbitrare është midis zeros dhe një.
Le të konsiderojmë një të rëndësishme rast i veçantë kur të gjitha rezultatet janë njëlloj të mundshme. Numri i rezultateve është n, shuma e probabiliteteve të të gjitha rezultateve është e barabartë me një; prandaj, probabiliteti i secilit rezultat është 1/n. Lëreni ngjarjen A të favorizohet nga m rezultatet. Probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me shumën e probabiliteteve të rezultateve që favorizojnë A:
P (A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Duke marrë parasysh që numri i termave është i barabartë me m, kemi
P(A) = m/n.
Është marrë një përkufizim klasik i probabilitetit.
Ndërtimi logjikisht teori e plotë probabilitetet e bazuara në përkufizim aksiomatik ngjarje e rastësishme dhe probabiliteti i saj. Në sistemin e aksiomave të propozuar nga A. N. Kolmogorov, konceptet e papërcaktueshme janë ngjarje elementare dhe probabilitetit. Këtu janë aksiomat që përcaktojnë probabilitetin:
1. Çdo ngjarje A shoqërohet me një jonegative numër real R (A). Ky numër quhet probabiliteti i ngjarjes A.
2. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një:
3. Probabiliteti i ndodhjes së të paktën një prej ngjarjeve të papajtueshme në çift është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.
Bazuar në këto aksioma, vetitë e probabiliteteve dhe varësitë ndërmjet tyre nxirren si teorema.
3.Përcaktimi statik i probabilitetit, frekuenca relative.
Përkufizimi klasik nuk kërkon eksperimentim. Ndërsa e vërtetë problemet e aplikuara kanë numër i pafund rezultatet, dhe përkufizimi klasik në këtë rast nuk mund të japë një përgjigje. Prandaj, në probleme të tilla do të përdorim përkufizim statik probabilitetet, i cili llogaritet pas një eksperimenti ose eksperimenti.
Probabiliteti statik w(A) ose frekuenca relative është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin total të testeve të kryera në të vërtetë.
w(A)=nm
Frekuenca relative ngjarja ka pronë e stabilitetit:
lim n→∞P(∣ ∣ nm−fq∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4. Probabilitete gjeometrike.
Në qasje gjeometrike ndaj përkufizimit probabilitetet një grup arbitrar konsiderohet si hapësira e ngjarjeve elementare masë e fundme Lebesgue në një vijë, plan ose hapësirë. Ngjarjet quhen të gjitha llojet e matshme nëngrupet e grupit.
Probabiliteti i ngjarjes A përcaktohet nga formula
ku tregon Masa Lebesgue e grupit A. Me këtë përkufizim të ngjarjeve dhe probabiliteteve, gjithçka Aksiomat e A.N. Kolmogorov janë të kënaqura.
Në detyra specifike që përfundojnë në sa më sipër skema probabiliste, testi interpretohet si një përzgjedhje e rastësishme e një pike në një zonë dhe ngjarje A– si pika e përzgjedhur godet një të caktuar nënrajonin A të rajonit. Në këtë rast kërkohet që të gjitha pikat në rajon të kenë mundësi të barabarta për t'u përzgjedhur. Kjo kërkesë zakonisht shprehet me fjalë "rastësisht", "rastësisht", etj.
Koncepti i probabilitetit të një ngjarjeje i referohet koncepteve themelore të teorisë së probabilitetit. Probabiliteti është një masë sasiore e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje të rastësishme A. Ai shënohet me P(A) dhe ka këto veti.
Probabiliteti është një numër pozitiv që varion nga zero në një:
Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero
Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një
Përkufizimi klasik i probabilitetit. Le të jetë = (1, 2,…, n) hapësira e ngjarjeve elementare që përshkruajnë të gjitha rezultatet e mundshme elementare dhe formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme dhe po aq të mundshme. Le të korrespondojë ngjarja A me një nëngrup të m rezultateve elementare
këto rezultate quhen të favorshme për ngjarjen A. Në përkufizimin klasik të probabilitetit, besohet se probabiliteti i ndonjë rezultati elementar
dhe probabiliteti i ngjarjes A i favorizuar nga m rezultate është i barabartë me
Prandaj përkufizimi:
Probabiliteti i ngjarjes A është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë grupin e plotë. Probabiliteti jepet nga formula
ku m është numri i rezultateve elementare të favorshme për ngjarjen A dhe është numri i të gjitha rezultateve të mundshme elementare të testit.
Përkufizimi klasik i probabilitetit bën të mundur që në disa probleme të llogaritet në mënyrë analitike probabiliteti i një ngjarjeje.
Le të kryhet një eksperiment si rezultat i të cilit mund të ndodhin ngjarje të caktuara. Nëse këto ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift dhe po aq të mundshme, atëherë përvoja thuhet se ka simetri të rezultateve të mundshme dhe reduktohet në një "skemë rastesh". Për eksperimentet që reduktohen në një skemë rasti, formula klasike e probabilitetit është e zbatueshme.
Shembulli 1.13. Shorti tërheq 1000 bileta, përfshirë 5 fituese. Përcaktoni probabilitetin që kur blini një biletë lotarie të merrni një fitore
Ngjarja elementare e kësaj eksperience është blerja e një bilete. Çdo biletë lotarie është unike, pasi ka numrin e vet dhe bileta e blerë nuk kthehet. Ngjarja A është se bileta fituese është blerë. Kur blini një nga 1000 biletat, të gjitha rezultatet e mundshme të kësaj përvoje do të jenë = 1000, rezultatet formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme. Numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen A do të jetë i barabartë me =5. Atëherë probabiliteti për të fituar duke blerë një biletë është i barabartë me
P(A) = = 0,005
Për të llogaritur drejtpërdrejt probabilitetet, është e përshtatshme të përdoren formulat e kombinatorikës. Le ta demonstrojmë këtë duke përdorur shembullin e një problemi të kontrollit të kampionimit.
Shembulli 1.14 Le të ketë një grup produktesh, disa prej të cilave janë me defekt. Një pjesë e produkteve zgjidhet për kontroll. Sa është probabiliteti që në mesin e produkteve të përzgjedhura të ketë pikërisht ato me defekt?
Ngjarja elementare në këtë eksperiment është zgjedhja e një nëngrupi elementar nga grupi elementar origjinal. Përzgjedhja e çdo pjese të produkteve nga një grup në produkte mund të konsiderohet ngjarje po aq e mundshme, kështu që kjo përvojë reduktohet në një skemë rastesh. Për të llogaritur probabilitetin e ngjarjes A = (ndërmjet produkteve me defekt, nëse ato janë zgjedhur nga një grup produktesh me defekt), mund të aplikoni formulën klasike të probabilitetit. Numri i të gjitha rezultateve të mundshme të eksperimentit është numri i mënyrave në të cilat produktet mund të zgjidhen nga grupi në, është i barabartë me numrin e kombinimeve të elementeve nga: . Një ngjarje e favorshme për ngjarjen A përbëhet nga produkti i dy ngjarjeve elementare: (nga produktet me defekt _ janë zgjedhur (nga _ produktet standarde _ janë zgjedhur). Numri i ngjarjeve të tilla, në përputhje me rregullin e shumëzimit të kombinatorikës, do të jetë
Pastaj probabiliteti i dëshiruar
Për shembull, le të =100, =10, =10, =1. Atëherë probabiliteti që midis 10 produkteve të zgjedhura do të ketë saktësisht një produkt me defekt është i barabartë me
Përkufizimi statistikor i probabilitetit. Për të zbatuar përkufizimin klasik të probabilitetit në kushtet e një eksperimenti të caktuar, është e nevojshme që eksperimenti të korrespondojë me modelin e rasteve, dhe për shumicën e problemeve reale këto kërkesa janë praktikisht të pamundura për t'u përmbushur. Megjithatë, probabiliteti i një ngjarjeje është një realitet objektiv që ekziston pavarësisht nëse përkufizimi klasik është i zbatueshëm apo jo. Ekziston nevoja për një përkufizim tjetër të probabilitetit, i zbatueshëm kur përvoja nuk korrespondon me modelin e rasteve.
Lëreni që eksperimenti të përbëhet nga kryerja e një sërë testesh që përsërisin të njëjtin eksperiment dhe le të ndodhë ngjarja A një herë në një seri eksperimentesh. Frekuenca relative e ngjarjes W(A) është raporti i numrit të eksperimenteve në të cilat ndodhi ngjarja A me numrin e të gjitha eksperimenteve të kryera
Është vërtetuar eksperimentalisht se frekuenca ka vetinë e qëndrueshmërisë: nëse numri i eksperimenteve në një seri është mjaft i madh, atëherë frekuencat relative të ngjarjes A në seri të ndryshme të të njëjtit eksperiment ndryshojnë pak nga njëra-tjetra.
Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje është numri në të cilin priren frekuencat relative nëse numri i eksperimenteve rritet pa kufi.
Ndryshe nga probabiliteti klasik a priori (i llogaritur para eksperimentit), probabiliteti statistikor është a posteriori (i marrë pas eksperimentit).
Shembulli 1.15 Vrojtimet meteorologjike mbi 10 vjet në një zonë të caktuar treguan se numri i ditëve me shi në korrik në vite të ndryshme ishte: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Përcaktoni probabilitetin që çdo ditë e caktuar e korrikut të jetë me shi
Ngjarja A është se do të bjerë shi në një ditë të caktuar të korrikut, për shembull më 10 korrik. Statistikat e dhëna nuk përmbajnë informacion se cilat ditë të veçanta të korrikut ka rënë shi, kështu që mund të supozojmë se të gjitha ditët janë njësoj të mundshme për këtë ngjarje. Le të jetë një vit një seri testesh prej 31 ditësh. Janë gjithsej 10 seri Frekuencat relative të serisë janë:
Frekuencat janë të ndryshme, por ato vërehen të grupohen rreth numrit 0.1. Ky numër mund të merret si probabilitet i ngjarjes A. Nëse marrim të gjitha ditët e korrikut për dhjetë vjet si një seri testesh, atëherë probabiliteti statistikor i ngjarjes A do të jetë i barabartë me
Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit. Ky përkufizim i probabilitetit përgjithëson përkufizimin klasik në rastin kur hapësira e rezultateve elementare përfshin një grup të panumërueshëm të ngjarjeve elementare dhe ndodhja e secilës prej ngjarjeve është po aq e mundshme. Probabiliteti gjeometrik i ngjarjes A është raporti i masës (A) të rajonit të favorshëm për ndodhjen e ngjarjes me masën () të të gjithë rajonit.
Nëse sipërfaqet paraqesin a) gjatësitë e segmenteve, b) sipërfaqet e figurave, c) vëllimet e figurave hapësinore, atëherë probabilitetet gjeometrike janë përkatësisht të barabarta.
Shembulli 1.16. Reklamat vendosen në intervale prej 10 metrash përgjatë rreshtit të blerjeve. Disa klientë kanë një gjerësi shikimi prej 3 metrash. Sa është probabiliteti që ai të mos e vërejë reklamën nëse lëviz pingul me rreshtin e blerjeve dhe mund të kalojë rreshtin në çdo pikë?
Seksioni i rreshtit të blerjeve që ndodhet midis dy reklamave mund të përfaqësohet si një segment i drejtë AB (Fig. 1.6). Më pas, në mënyrë që blerësi të vërejë reklamat, ai duhet të kalojë nëpër segmente të drejta AC ose DV të barabarta me 3 m. Nëse ai kalon rreshtin e blerjeve në një nga pikat e segmentit SD, gjatësia e të cilit është 4 m, atëherë ai nuk do ta vërejë reklamën. Probabiliteti i kësaj ngjarje do të jetë
Rastësia e ndodhjes së ngjarjeve shoqërohet me pamundësinë e parashikimit paraprak të rezultatit të një testi të veçantë. Sidoqoftë, nëse marrim parasysh, për shembull, një test: hedhje e përsëritur e monedhës, ω 1, ω 2, ..., ω n, atëherë rezulton se në afërsisht gjysmën e rezultateve ( n / 2) zbulohet një model i caktuar që korrespondon me konceptin e probabilitetit.
Nën probabiliteti ngjarjet A kuptohet si një karakteristikë e caktuar numerike e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje A. Le të shënojmë këtë karakteristikë numerike R(A). Ekzistojnë disa mënyra për të përcaktuar probabilitetin. Ato kryesore janë statistikore, klasike dhe gjeometrike.
Le të prodhohet n teste dhe në të njëjtën kohë ndonjë ngjarje A ka ardhur n Një herë. Numri n A quhet frekuencë absolute(ose thjesht frekuenca) e ngjarjes A, dhe relacioni quhet Frekuenca relative e shfaqjes së ngjarjes A. Frekuenca relative e çdo ngjarjeje karakterizohet nga vetitë e mëposhtme:
Baza për aplikimin e metodave të teorisë së probabilitetit në studimin e proceseve reale është ekzistenca objektive e ngjarjeve të rastësishme që kanë vetinë e stabilitetit të frekuencës. Prova të shumta të ngjarjes që po studiohen A tregojnë se në përgjithësi n frekuenca relative ( A) mbetet afërsisht konstante.
Përkufizimi statistikor i probabilitetit është se probabiliteti i ngjarjes A merret si një vlerë konstante p(A), rreth së cilës luhaten vlerat e frekuencave relative. (A) me një rritje të pakufizuar të numrit të testeven.
Shënim 1. Vini re se kufijtë e ndryshimit në probabilitetin e një ngjarjeje të rastësishme nga zero në një u zgjodhën nga B. Pascal për lehtësinë e llogaritjes dhe aplikimit të saj. Në korrespondencë me P. Fermat, Pascal tregoi se çdo interval mund të zgjidhej si interval i treguar, për shembull, nga zero në njëqind dhe intervale të tjera. Në problemet e mëposhtme në këtë manual, probabilitetet ndonjëherë shprehen në përqindje, d.m.th. nga zero në njëqind. Në këtë rast, përqindjet e dhëna në problematika duhet të shndërrohen në aksione, d.m.th. pjesëtojeni me 100.
Shembulli 1. U kryen 10 seri hedhje monedhash, secila me nga 1000 hedhje. Madhësia ( A) në secilën nga seritë është e barabartë me 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0.500; 0,497; 0,494; 0,484. Këto frekuenca janë të grupuara rreth R(A) = 0,5.
Ky shembull konfirmon se frekuenca relative ( A) është afërsisht i barabartë R(A), d.m.th.
