Splinja e interpolimit kub. Ndërtimi i një spline kub

Në prodhimin industrial, të tilla si ndërtimi i anijeve, prodhimi i automobilave dhe prodhimi i avionëve, forma përfundimtare në shkallë ose afër përcaktohet përmes procesit të përfundimit.

Automatizimi i këtij procesi përfaqësohet interes të konsiderueshëm Për grafika kompjuterike. Forma e rruzullit matematikor ndjek konturën e vijës fizike (Fig. 5-4), d.m.th. një vizore fleksibël prej druri ose plastike që kalon nëpër pika të caktuara. Peshat e plumbit përdoren për të ndryshuar formën e shiritit. Duke ndryshuar numrin dhe vendndodhjen e tyre, ata përpiqen ta bëjnë kthesën që rezulton më e lëmuar, më e bukur dhe "të këndshme për syrin".

Nëse marrim një shirit fizik si një shirit të hollë fleksibël, forma e tij (devijim) përcaktohet nga ekuacioni i Euler (5-2) për momentin e përkuljes përgjatë shiritit:

ku është moduli i Young, i cili varet nga vetitë e materialit të raftit, është momenti i inercisë, i përcaktuar nga forma e kurbës dhe është rrezja e lakimit.

Për devijime të vogla rrezja është afërsisht e barabartë me

,

ku numri i thjeshtë tregon derivatin në lidhje me distancën përgjatë shkop, dhe është devijimi i shkop. Ekuacioni i Euler-it merr formën

Lërini peshat të veprojnë si mbështetëse të thjeshta, atëherë momenti i përkuljes midis tyre ndryshon në mënyrë lineare. Zëvendësimi në ekuacionin e Euler-it, marrim

dhe pas integrimit të dyfishtë

Kështu, forma e spline jepet nga një polinom kub.

NË rast i përgjithshëm Një spline matematikor është një polinom pjesë-pjesë i shkallës me një derivat të vazhdueshëm të shkallës në pikat lidhëse të segmenteve. Kështu, për shembull, splin kub ka vazhdimësi të rendit të dytë në pikat e lidhjes. Vijat pjesërisht nga polinomet e rendit të ulët janë shumë të përshtatshme për interpolimin e kthesave, pasi ato nuk kërkojnë kosto të mëdha llogaritëse dhe nuk shkaktojnë devijime numerike karakteristike të polinomeve rendit të lartë. Ngjashëm me vijat fizike, zakonisht përdoren një seri segmentesh kub, ku secili segment kalon nëpër dy pika. Një splin kub është gjithashtu i përshtatshëm sepse është një kurbë e rendit më të vogël, duke lejuar pikat e përkuljes dhe përkuljen në hapësirë.

Ekuacioni i një segmenti të vijës parametrike është:

, , (5-1)

ku dhe janë vlerat e parametrave në fillim dhe në fund të segmentit. - vektor në çdo pikë të segmentit. është një funksion me vlerë vektoriale, ku janë tre komponentët Koordinatat karteziane vektoriale.

Oriz. 5-5 Një segment i vijës kubike.

Çdo komponent ka një formë të ngjashme me , d.m.th.

, ,

, ,

, .

Koeficientët konstante llogariten në bazë të katër kushteve kufitare për segmentin spline. Le të shkruajmë ekuacionin (5-1) në formë

Le të jenë dhe vektorët e skajeve të segmentit (shih Fig. 5-5). Le të jenë gjithashtu dhe , derivatet në lidhje me , vektorë tangjentë në skajet e segmentit. Duke diferencuar ekuacionin (5-1), marrim

, . (5-3)

Le të shkruajmë rezultatin

, . (5-4)

Le të supozojmë, pa humbur përgjithësinë, se , dhe të zbatojmë kushtet kufitare

Marrim katër ekuacione për të panjohurat:

, (5-6b)

, (5-6c)

. (5-6 ditë)

Zgjidhjet për dhe kanë formën:

(5-7a)

. (5-7b)

Sasitë , , dhe përcaktojnë segmentin e vijës kub. Natyrisht, forma e një segmenti varet nga pozicioni dhe vektorët tangjentë në skajet e segmentit. Më pas, vini re se rezultatet përmbajnë vlerën e parametrit në fund të segmentit. Meqenëse çdo vektor i pikës fundore dhe tangjente ka tre komponentë, ekuacioni parametrik i një lakore të hapësirës kubike varet nga dymbëdhjetë komponentët vektorial dhe vlera e parametrit në fund të segmentit.

Duke zëvendësuar ekuacionet (5-6) dhe (5-7) në (5-1), ne marrim ekuacionin për një segment të një spine kub:

. (5-8)

Ky është një ekuacion për një segment. Për të marrë të gjithë kurbën, duhet të lidhni shumë segmente. Në Fig. 5-6 tregojnë dy segmente ngjitur. Nëse dihen vektorët , , , vektorët tangjentë , , dhe vlerat e parametrave , , atëherë forma e secilit segment përcaktohet nga ekuacioni (5-8). Megjithatë, nuk ka gjasa që vektori tangjent në pikën e lidhjes të jetë i njohur. Për fat të mirë, mund të rrjedhë nga kushti i vazhdimësisë.

Kujtoni se një spline shkallë-pjesë ka vazhdimësi shkallë në pikat e saj të bashkimit; vazhdimësia e një spline kubike është dy. Për ta bërë këtë, derivati ​​i dytë ose lakimi i vijës duhet të jetë i vazhdueshëm. Duke diferencuar ekuacionin (5-1) dy herë, marrim

, . (5-9)

Oriz. 5-6 Dy segmente kubike të ndara pjesë-pjesë.

Për pjesën e parë të spline, parametri ndryshon brenda . Le të zëvendësojmë me ekuacionin (5-9):

.

Për seksionin e dytë të spline, parametri ndryshon në interval. Le të zëvendësojmë në ekuacionin (5-9) vlerën në fillim të seksionit të dytë

Duke barazuar rezultatet e marra dhe duke përdorur ekuacionet (5-6a,b) dhe (5-7a), marrim

.

Ana e majtë e këtij ekuacioni përfaqëson lakimin në fund të segmentit të parë, dhe ana e djathtë përfaqëson lakimin në fillim të segmentit të dytë. Shumëzoni me dhe gruponi termat:

Kjo përcakton , vektorin e panjohur tangjente në pikën e lidhjes. Vini re se ekuacioni përfundimtar përsëri përmban vlerat e parametrave në skajet e segmenteve dhe .

Formula që rezulton mund të përgjithësohet për pikat, dhe për segmentet e një spline kub, vazhdimësia e rendit të dytë mund të merret në pikat e lidhjes.

Oriz. 5-7 Emërtimet për grupin e segmenteve të vijës kub pjesë-pjesë.

Ekuacioni i përgjithësuar për çdo dy segmente të vijës ngjitur dhe në shënimin e Fig. 5-7 duket si kjo:

(5-11)

për segmentin e parë dhe

(5-12)

për të dytën, pasi për çdo segment parametri fillon të ndryshojë nga zero, për të parën dhe për të dytin - .

Barazimi i derivateve të dytë në pikat e bashkimit për çdo segment ngjitur, , jep rezultat i përgjithshëm, ekuivalente me ekuacionin (5-10),

nga i cili përcaktohet vektori tangjent në pikat e lidhjes së çdo dy segmenti dhe .

Përdorimi rekurziv i ekuacionit (5-13) për të gjitha segmentet e spline gjeneron ekuacione vektoriale tangjente, . NË forma matrice:

(5-14)

Matrica është jo katrore, pasi ka vetëm ekuacione për vektorët dhe nuk mund të përmbyset për të marrë një zgjidhje për . Nëse supozojmë se vektorët tangjentë në skajet e lakores dhe janë të njohur, problemi zgjidhet. Tani matrica duket si

(5-15)

ku matrica është katrore dhe e kthyeshme. Vini re gjithashtu se është tridiagonal, gjë që redukton kostot llogaritëse të përmbysjes së saj. Më tej, matrica është diagonalisht dominuese. Nga kjo rezulton se ajo ka e vetmja zgjidhje:

. (5-16)

Nëse e dimë , atëherë është e lehtë të përcaktohen koeficientët për çdo segment spline. Duke përgjithësuar ekuacionet (5-6)-(5-11), marrim

,

.

Që dhe është sasive vektoriale, atëherë janë edhe vektoriale; nëse kanë komponentë, atëherë i kanë edhe këta komponentë.

Në formën e matricës, ekuacioni i çdo segmenti spline është:

. (5-17)

Le të kërkohet për të specifikuar një spline kub që kalon nëpër pikat , me vektorë tangjente në skajet dhe . Nga ekuacioni (5-16) gjejmë vektorët tangjentë të brendshëm , . Më pas, nga ekuacioni (5-17) me koordinatat e njohura të skajeve të çdo segmenti dhe vektorët tangjentë, , , për çdo segment përcaktohen. Përgjithësimi përfundimtar i ekuacionit (5-1)

, , , (5-18)

përdoret për të llogaritur një segment spline.

Në formën e matricës, ekuacioni (5-18) duket si ky:

, . (5-19)

Duke zëvendësuar ekuacionin (5-17) dhe duke riorganizuar termat, marrim

, , , (5-20)

, (5-21a)

, (5-21b)

, (5-21s)

, (5-21 ditë)

quhen funksione peshe.

Oriz. 5-8 Funksionet e peshimit të vijës kubike për

Duke përdorur këto përkufizime, ne shkruajmë ekuacionin (5-20) në formë matrice

ku është matrica e funksionit të peshës

përmban informacion gjeometrik. Siç do të shihet nga sa vijon, ekuacionet si (5-22), d.m.th. një matricë e funksionit peshues e shumëzuar me një matricë të kushteve gjeometrike, e përdorur shpesh për të përshkruar kthesat dhe sipërfaqet.

Nga ekuacioni (5-21) është e qartë se çdo funksion peshe është i rendit të tretë. Çdo pikë në një segment të vijës kub është një shumë e ponderuar e pikave fundore dhe vektorëve tangjentë. Koeficientët veprojnë si funksione peshuese. Në Fig. 5-8 tregohen për . Nga figura është e qartë se dhe , d.m.th. kurba kalon nëpër vektorin e pikës. Në mënyrë të ngjashme dhe, d.m.th. lakorja kalon edhe nëpër vektorin e pikës. Më pas, vërejmë simetrinë e dhe , dhe dhe . Në fakt . Së fundi, le t'i kushtojmë vëmendje renditjes relative të , , dhe . Dallimi domethënës në madhësi sugjeron që, në përgjithësi, pozicioni i pikave fundore ka një ndikim më të madh se vektorët tangjentë.

Kujtoni që një vijë kub pjesë-pjesë përcaktohet nga pikat, vektorët tangjentë dhe vlerat e parametrave, d.m.th., në skajet e të gjithë segmenteve. Zgjedhja ndikon në butësinë e kurbës.

Vazhdimësia e derivatit të dytë në pikat e lidhjes së brendshme nuk siguron në vetvete butësinë e kurbës në kuptimin e lakimit minimal përgjatë saj. Duke zgjedhur vlerat e duhura, është e mundur të minimizohen koeficientët për secilin segment dhe të arrihet një butësi më e madhe e kurbës. Zakonisht këto llogaritje shtesë nuk kërkohen. Për qëllime praktike, më shumë se metoda të thjeshta, si ato të diskutuara këtu.

Një metodë llogaritjeje është vendosja e vlerave të parametrave gjatësi të barabarta akorde midis pikave ngjitur. Në të njëjtën kohë, cilësia e kurbës plotëson kërkesat e shumicës problemet e aplikuara. Një metodë tjetër është normalizimi i variacionit duke marrë e barabartë me një për çdo segment spline. Kjo zgjedhje thjeshton llogaritjet (shih seksionin 5-4). Siç mund të shihet nga ekuacionet e mësipërme, çdo zgjedhje rezulton në koeficientë të ndryshëm dhe kështu fitohen kurba të ndryshme që kalojnë nëpër pikat e dhëna.

Le të shohim një shembull.

PËRSHKRIMI I PIKËS SË SIPËRFAQEVE.

Metoda konsiston në përcaktimin e një sipërfaqeje me një grup pikash që i përkasin asaj. Rrjedhimisht, cilësia e imazhit me këtë metodë varet nga numri i pikave dhe vendndodhja e tyre.

Një përshkrim pikë për pikë përdoret në rastet kur sipërfaqja është shumë komplekse dhe nuk ka lëmim, dhe një paraqitje e detajuar veçoritë gjeometrike të rëndësishme për praktikë.

Shembull: Zonat e tokës në planetë të tjerë, forma trupat qiellorë, informacion për të cilin është marrë si rezultat i imazheve satelitore. Mikroobjektet e marra duke përdorur mikroskop elektronik.

Informacioni fillestar rreth objekteve të përshkruara sipas pikës paraqitet në formën e një matrice Koordinatat 3D pikë.

Splines janë funksione polinomiale të lëmuara (që kanë disa derivate të vazhdueshme) pjesë-pjesë që mund të përdoren për të paraqitur funksionet e dhëna një numër i madh vlerat dhe për të cilat përafrimi me një polinom të vetëm nuk është i zbatueshëm. Meqenëse splinat janë të lëmuara, ekonomike dhe të lehta për t'u punuar, ato përdoren në ndërtimin e funksioneve arbitrare për:

o modelimi i kurbës;

o përafrimi i të dhënave duke përdorur kurba;

o kryerja e përafrimeve funksionale;

o zgjidhjen e ekuacioneve funksionale.

Le të shqyrtojmë problemin e vizatimit të kthesave të lëmuara përgjatë pikave kufitare të dhëna, ose problemin e interpolimit. Meqenëse çdo numër i kthesave të lëmuara mund të vizatohet përmes dy pikave, për të zgjidhur këtë problem është e nevojshme të kufizohet klasa e funksioneve që do të përcaktojnë kurbën e dëshiruar. Vijat matematikore janë funksione që përdoren për të përafruar kthesat. Vetia e tyre e rëndësishme është lehtësia e llogaritjes. Në praktikë, shpesh përdoren splinat e llojit polinom të shkallës së tretë. Me ndihmën e tyre, është mjaft e përshtatshme të vizatoni kthesa që korrespondojnë në mënyrë intuitive me konceptin subjektiv njerëzor të butësisë. Termi "spline" vjen nga anglishtja spline, që do të thotë një shirit fleksibël prej çeliku që përdorej nga hartuesit për të vizatuar kthesa të lëmuara, për shembull, për të ndërtuar konturet e anijeve ose aeroplanëve.

Le të shqyrtojmë fillimisht një funksion spline për vizatimin e një funksioni të një ndryshoreje. Le të jepet një sekuencë pikash , në aeroplan dhe . Le të përcaktojmë funksionin e kërkuar dhe të vendosim dy kushte:

1) Funksioni duhet të kalojë nëpër të gjitha pikat: , ;

2) Funksioni duhet të jetë dy herë i diferencueshëm vazhdimisht, domethënë të ketë një derivat të dytë të vazhdueshëm në të gjithë intervalin.

Në secilin prej segmenteve, , ne do të kërkojmë funksionin tonë në formën e një polinomi të shkallës së tretë:

.

Funksioni spline

Detyra e ndërtimit të një polinomi zbret në gjetjen e koeficientëve. Meqenëse për secilin nga segmentet është e nevojshme të gjenden 4 koeficientë, numri i përgjithshëm i koeficientëve të kërkuar do të jetë . Për të gjetur të gjithë koeficientët, ne përcaktojmë numrin përkatës të ekuacioneve. Ekuacionet e para janë marrë nga kushtet për koincidencën e vlerave të funksionit në nyjet e brendshme. Ekuacionet e mëposhtme Ne marrim në mënyrë të ngjashme nga kushtet për koincidencën e vlerave të derivateve të parë dhe të dytë në nyjet e brendshme. Së bashku me kushtin e parë marrim ekuacionet. Dy ekuacionet që mungojnë mund të merren duke specifikuar vlerat e derivateve të parë në pikat fundore të segmentit. Në këtë mënyrë mund të specifikohen kushtet kufitare.

Le të kalojmë në më shumë rast i vështirë– vendosja e kthesave në hapësirë ​​tredimensionale. Në rastin e një specifikimi funksional të një lakore, paqartësia është e mundur në rastin e vetëkryqëzimit dhe shqetësimit kur vlerat e derivateve janë të barabarta. Duke pasur parasysh këtë, ne do të kërkojmë një funksion në forma parametrike. Lë të jetë një parametër i pavarur i tillë që . Ne e quajmë një vijë kub parametrike sistemin e mëposhtëm ekuacionet:

Koordinatat e pikave në kurbë përshkruhen nga vektori, dhe tre derivatet specifikojnë koordinatat e vektorit tangjent përkatës në pikë. Për shembull, për koordinatën:

Një mënyrë për të specifikuar një vijë kub parametrike është të specifikoni koordinatat e inicialeve dhe pikat fundore, si dhe vektorët tangjentë në to. Kjo mënyrë e specifikimit quhet forma Hermite. Le të tregojmë pikat fundore dhe , Dhe vektorët tangjentë në to dhe . Indekset janë zgjedhur në këtë mënyrë duke marrë parasysh paraqitjen e mëtejshme.

Ne do të zgjidhim problemin e gjetjes së katër koeficientëve, pasi për dy ekuacionet e mbetura koeficientët gjenden në mënyrë të ngjashme. Le të shkruajmë kushtin për ndërtimin e një spline:

Le të rishkruajmë shprehjen për forma vektoriale:

.

Le të shënojmë vektorin e rreshtit dhe vektorin e kolonës së koeficientëve, atëherë .

Nga (*) rrjedh se, . Për tangjentet ,

Nga këtu marrim ekuacionin vektor-matricë:

.

Ky sistem mund të zgjidhet duke gjetur matricë e anasjelltë madhësia .

.

Këtu është një matricë hermitiane, - vektor gjeometrik Ermita. Le të zëvendësojmë shprehjen për të gjetur: . Në mënyrë të ngjashme për koordinatat e tjera: , .

Kthesa dhe sipërfaqet e gjetura në probleme praktike, shpesh kanë mjaft formë komplekse, e cila nuk lejon universale detyrë analitike në përgjithësi me ndihmën funksionet elementare. Prandaj, ato janë mbledhur nga fragmente relativisht të thjeshta të lëmuara - segmente (lakore) ose prerje (sipërfaqe), secila prej të cilave mund të përshkruhet në mënyrë mjaft të kënaqshme duke përdorur funksionet elementare të një ose dy ndryshoreve. Në këtë rast, është krejt e natyrshme të kërkohet që funksionet e lëmuara që përdoren për të ndërtuar kthesa ose sipërfaqe të pjesshme duhet të jenë të një natyre të ngjashme, për shembull, ato duhet të jenë polinome në të njëjtën shkallë. Dhe në mënyrë që kurba ose sipërfaqja që rezulton të jetë mjaft e lëmuar, duhet të jeni veçanërisht të kujdesshëm ku bashkohen fragmentet përkatëse. Shkalla e polinomeve zgjidhet nga konsiderata të thjeshta gjeometrike dhe, si rregull, është e vogël. Për të ndryshuar pa probleme tangjenten përgjatë gjithë kurbës së përbërë, mjafton të përshkruani kthesat e bashkuara duke përdorur polinome të shkallës së tretë, polinomet kub. Koeficientët e polinomeve të tillë mund të zgjidhen gjithmonë në mënyrë që kurbatura e lakores së përbërë përkatëse të jetë e vazhdueshme. Vizat kubike, të cilat lindin gjatë zgjidhjes së problemeve njëdimensionale, mund të përshtaten në ndërtimin e fragmenteve të sipërfaqeve të përbëra. Dhe këtu vijat bikubike shfaqen mjaft natyrshëm, të përshkruara duke përdorur polinome të shkallës së tretë në secilën prej dy variablave. Puna me splina të tilla kërkon një sasi shumë më të madhe llogaritjesh. Por e drejtë proces i organizuar do të na lejojë të marrim parasysh mundësitë në rritje të vazhdueshme teknologji kompjuterike V shkallë maksimale. Funksionet spline Lëreni në segment, që është, Vërejtje. Indeksi (t) i numrave a^ tregon këtë. se bashkësia e koeficientëve që përcakton funksionin 5(x) në çdo segment të pjesshëm D është i ndryshëm. Në secilin prej segmenteve D1, spline 5(x) është një polinom i shkallës p dhe përcaktohet në këtë segment nga koeficienti p + 1. Segmente totale të pjesshme - atëherë. Kjo do të thotë që për të përcaktuar plotësisht spline-in, është e nevojshme të gjejmë (p + 1)pastaj numrat) do të thotë vazhdimësia e funksionit 5(x) dhe derivateve të tij në të gjitha nyjet e brendshme të rrjetit w. Numri i nyjeve të tilla është m - 1. Kështu, për të gjetur koeficientët e të gjithë polinomeve, fitohen p(m - 1) kushtet (ekuacionet). Për përcaktim i plotë mungon spline (kushtet (ekuacionet). Zgjedhja e kushteve shtesë përcaktohet nga natyra e problemit në shqyrtim dhe ndonjëherë thjesht nga dëshira e përdoruesit. TEORIA SPLINE shembuj të zgjidhjeve Problemet e interpolimit dhe zbutjes më së shpeshti konsiderohen kur është e nevojshme për të ndërtuar një ose një tjetër splin nga një grup i caktuar pikash në problemet e interpolimit në rrafshin B, kërkojnë që grafiku i vijës të kalojë nëpër pika, gjë që imponon m + 1 kushte (ekuacione) shtesë në koeficientët e tij, kushtet e mbetura p - 1 (ekuacionet). për ndërtimin e paqartë të vijës, më së shpeshti përcaktohen në formën e vlerave të derivateve më të ulëta të vijës në skajet e segmentit në shqyrtim [a, 6] - kushtet kufitare (kufitare). Kushtet e ndryshme kufitare ju lejojnë të ndërtoni spina me një sërë veçorish Në problemet e zbutjes, splineja është ndërtuar në mënyrë që grafiku i tij të kalojë pranë pikave (i" "Y"), * = 0, 1,..., t. dhe jo nëpërmjet tyre, masa e kësaj afërsie mund të përcaktohet në mënyra të ndryshme, gjë që çon në një larmi të konsiderueshme të zbutjes. Opsionet e përshkruara për zgjedhjen kur ndërtohen funksionet spline nuk shterojnë të gjithë diversitetin e tyre. Dhe nëse fillimisht u morën parasysh vetëm funksionet e splinave polinomiale pjesë-pjesë, atëherë me zgjerimin e fushës së zbatimit të tyre, filluan të shfaqen splinat, "të ngjitura së bashku" nga funksionet e tjera elementare. Splinjat kub të interpolimit Paraqitja e problemit të interpolimit Le të jepet një rrjet w në segmentin [a, 6). Ndërtoni një funksion të qetë në segmentin (a, 6] që merr vlerat e dhëna në nyjet e rrjetit, domethënë, Shënim: Problemi i formuluar i interpolimit është të rivendosni funksion të qetë , dhënë në një tabelë (Fig. 2). Është e qartë se një problem i tillë ka shumë zgjidhje të ndryshme . Mbivendosje në një funksion të ndërtuar kushte shtesë , mund të arrihet paqartësia e nevojshme. Në aplikacione, shpesh ka nevojë për të përafruar një funksion të dhënë në mënyrë analitike duke përdorur një funksion me mjaftueshëm të përshkruar veti të mira . Për shembull, në rastet kur llogaritja e vlerave të një funksioni të caktuar /(x) në pikat e segmentit [a, 6] shoqërohet me vështirësi të konsiderueshme dhe/ose funksioni i dhënë /(x) nuk ka butësinë e kërkuar. , është i përshtatshëm për të përdorur një funksion tjetër që përafrohet mjaft mirë do të kishte një funksion të caktuar dhe do të ishte i lirë nga disavantazhet e tij të theksuara. Problemi i interpolimit të funksionit. Ndërtoni në intervalin [a, 6] një funksion të qetë a(x), që përkon në nyjet e rrjetit w me/(X). Përkufizimi i një spline kub interpolues Një splin kub ndërpolues S(x) në një rrjetë w është një funksion që 1) në secilin segment është një polinom i shkallës së tretë, 2) është dy herë i diferencueshëm vazhdimisht në segmentin [a, b ], domethënë i përket klasës C2[a, 6] dhe 3) plotëson kushtet Në secilin prej segmenteve, splineja S(x) është një polinom i shkallës së tretë dhe përcaktohet në këtë segment me katër koeficientë. . Numri i përgjithshëm i segmenteve është m Kjo do të thotë se për të përcaktuar plotësisht vijën, është e nevojshme të gjenden 4 m numra. (x) në të gjitha nyjet e brendshme të rrjetit w. Numri i nyjeve të tilla është m - 1. Kështu, për të gjetur koeficientët e të gjithë polinomeve, fitohen edhe 3(m - 1) kushte (ekuacione). Së bashku me kushtet (2), fitohen kushtet (ekuacionet). Kushtet kufitare (kufitare) Dy kushte që mungojnë janë specifikuar në formën e kufizimeve në vlerat e vijës dhe/ose derivateve të saj në skajet e intervalit [a, 6]. Kur ndërtohet një vijë kub interpoluese, më shpesh përdoren katër llojet e mëposhtme të kushteve kufitare. A. Kushtet kufitare të tipit 1. - në skajet e intervalit [a, b] përcaktohen vlerat e derivatit të parë të funksionit të dëshiruar. B. Kushtet kufitare të tipit 2. - në skajet e intervalit (a, 6) përcaktohen vlerat e derivatit të dytë të funksionit të dëshiruar. B. Kushtet kufitare të tipit 3. quhen periodike. Është e natyrshme të kërkohet plotësimi i këtyre kushteve në rastet kur funksioni i interpoluar është periodik me periudhën T = b-a. D. Kushtet kufitare të tipit 4. kërkojnë komente të veçanta. Koment. Në nyjet e brendshme sepsi, derivati ​​i tretë i funksionit S(x), në përgjithësi, është i ndërprerë. Megjithatë, numri i ndërprerjeve të derivatit të tretë mund të reduktohet duke përdorur kushtet e tipit 4. Në këtë rast, splineja e ndërtuar do të jetë vazhdimisht e diferencueshme tre herë në intervale Ndërtimi i një spline kub interpolues Le të përshkruajmë një metodë për llogaritjen e koeficientëve të një spline kub, në të cilën numri i sasive që do të përcaktohen është i barabartë. Në secilin nga intervalet, funksioni spline i interpolimit kërkohet në formën e mëposhtme. Këtu TEORIA SPLINE shembujt e zgjidhjeve dhe numrave janë zgjidhje për një sistem linear, forma e së cilës varet nga lloji i kushteve kufitare. Për kushtet kufitare të tipeve 1 dhe 2, ky sistem ka formën e mëposhtme ku Koeficientët varen nga zgjedhja e kushteve kufitare. Kushtet kufitare të tipit 1: Kushtet kufitare të tipit të dytë: Në rastin e kushteve kufitare të tipit të tretë, sistemi për përcaktimin e numrave shkruhet si më poshtë: Numri i të panjohurave në sistemi i funditështë e barabartë me mn, pasi nga kushtet e periodicitetit rrjedh se po = nm. Për kushtet kufitare të tipit 4, sistemi për përcaktimin e numrave ka formën ku Bazuar në zgjidhjen e gjetur të sistemit, numrat po dhe n mund të përcaktohen duke përdorur formula. Matricat e të trijave lineare sistemet algjebrike janë matrica dominuese diagonalisht. Matricat nuk janë njëjës, dhe për këtë arsye secili prej këtyre sistemeve ka një zgjidhje unike. Teorema. Ekziston dhe është unik një vijë kubike interpoluese që plotëson kushtet (2) dhe një kusht kufitar i një prej katër llojeve të listuara më sipër. Kështu, të ndërtosh një spline kubike interpoluese do të thotë të gjesh koeficientët e saj Kur gjenden koeficientët e vijës, vlera e spline S(x). pikë arbitrare segmenti [a, b] mund të gjendet në formulën (3). Sidoqoftë, për llogaritjet praktike është më i përshtatshëm algoritmi i ardhshëm duke gjetur vlerën 5(g). Le të x 6 [x", Fillimisht, vlerat e A dhe B llogariten duke përdorur formulat dhe më pas gjendet vlera 5(x): Përdorimi i këtij algoritmi redukton ndjeshëm kostot llogaritëse të përcaktimit të vlerës. Këshilla për shfrytëzuesi Zgjedhja e kushteve kufitare (kufitare) dhe nyjeve të interpolimit lejon në një masë të caktuar kontrollojnë vetitë e splinave të interpolimit. A. Përzgjedhja e kushteve kufitare (të skajit). Zgjedhja e kushteve kufitare është një nga problemet qendrore mbi sjelljen e funksionit të përafërt f(x). Nëse vlerat e derivatit të parë f"(x) janë të njohura në skajet e segmentit (a, 6), atëherë është e natyrshme të përdoren kushtet kufitare të tipit 1. Nëse vlerat e derivatit të dytë f"(x) njihen në skajet e segmentit [a, 6], atëherë janë kushtet kufitare të përdorimit natyror të tipit 2. Nëse ka një zgjedhje midis kushteve kufitare të llojeve 1 dhe 2, atëherë përparësi duhet t'i jepet kushteve të tipit 1. Nëse f(x) - funksion periodik, atëherë duhet të ndalemi në kushtet kufitare të tipit të 3-të. Në rast se nuk ka informacione shtesë nuk ka informacion për sjelljen e funksionit të përafërt shpesh përdoren të ashtuquajturat kushte kufitare, megjithatë, duhet pasur parasysh se me një zgjedhje të tillë të kushteve kufitare, saktësia e përafrimit të funksionit f(x. ) nga spline S(x) pranë skajeve të segmentit (a, ft] zvogëlohet ndjeshëm. Ndonjëherë ato përdoren kushte kufitare të tipit 1 ose 2, por jo me vlerat e sakta derivatet përkatëse, dhe me përafrimin e diferencës së tyre. Saktësia e kësaj qasjeje është e ulët. Përvoja praktike e llogaritjeve tregon se në situatën në shqyrtim më e përshtatshme është zgjedhja e kushteve kufitare të tipit të 4-të. B. Përzgjedhja e nyjeve të interpolimit. Nëse derivati ​​i tretë f""(x) i funksionit ka një ndërprerje në disa pika të segmentit [a, b], atëherë për të përmirësuar cilësinë e përafrimit, këto pika duhet të përfshihen në numrin e nyjeve të interpolimit. Nëse derivati ​​i dytë /"(x) është i ndërprerë, atëherë për të shmangur lëkundjen e splinës pranë pikave të ndërprerjes, është e nevojshme të merren masa të veçanta. Në mënyrë tipike, nyjet e interpolimit zgjidhen në mënyrë që pikat e ndërprerjes së derivatit të dytë të bien. brenda intervalit \xif), e tillë që vlera a mund të zgjidhet përmes një eksperimenti numerik (shpesh mjafton të vendoset a = 0.01 Ka një grup recetash për tejkalimin e vështirësive që lindin kur derivati ​​i parë f". (x) është i ndërprerë. Si një nga më të thjeshtat, ne mund të sugjerojmë këtë: ndani segmentin e përafrimit në intervale ku derivati ​​është i vazhdueshëm dhe ndërtoni një spline në secilin prej këtyre intervaleve. Zgjedhja e një funksioni interpolimi (pro dhe kundër) Qasja 1. polinomi i interpolimit të Lagranzhit Për një grup të caktuar shembuj zgjidhjesh TEORIA SPLINE (Fig. 3), polinomi i interpolimit të Lagranzhit përcaktohet nga formula. disavantazhet. Përparësitë kryesore të qasjes së parë: 1) grafiku i polinomit të interpolimit të Lagranzhit kalon në secilën pikë të grupit, 2) funksioni i ndërtuar përshkruhet lehtësisht (numri i koeficientëve të polinomit të interpolimit të Lagranzhit në rrjet që do të përcaktohet është e barabartë me m + 1), 3) funksioni i ndërtuar ka derivate të vazhdueshëm të çdo rendi, 4) polinomi i interpolimit përcaktohet në mënyrë unike nga vargu i dhënë. Disavantazhet kryesore të qasjes së parë: 1) shkalla e polinomit të interpolimit të Lagranzhit varet nga numri i nyjeve të rrjetit, dhe sa më i madh ky numër, aq më e lartë është shkalla e polinomit të interpolimit dhe, për rrjedhojë, aq më shumë llogaritje kërkohen, 2) ndryshimi i të paktën një pike në grup kërkon një rillogaritje të plotë të koeficientëve të polinomit të interpolimit të Lagranzhit, 3) shtimi në grup rrit shkallën e polinomit të interpolimit të Lagranzhit me një dhe gjithashtu çon në një rillogaritje të plotë të koeficientëve të tij, 4) me rafinim të pakufizuar të rrjetës, shkalla e polinomit të interpolimit të Lagranzhit rritet pafundësisht. Sjellja e polinomit të interpolimit të Lagranzhit me rafinim të pakufizuar të rrjetës në përgjithësi kërkon vëmendje të veçantë. Komentet A. Mbi përafrimin funksion të vazhdueshëm polinom. Dihet (Weierstrass, 1885) se çdo funksion i vazhdueshëm (dhe aq më tepër i qetë) në një interval mund të përafrohet dhe të dëshirohet në këtë interval nga një polinom. Le ta përshkruajmë këtë fakt në gjuhën e formulave. Le të jetë f(x) një funksion i vazhdueshëm në intervalin [a, 6]. Atëherë për çdo e > 0 ekziston një polinom Є(x) i tillë që për çdo x nga intervali [a, 6] pabarazia do të plotësohet (Fig. 4) Vini re se polinomet madje të së njëjtës shkallë që përafrojnë funksionin f(x) me saktësinë e specifikuar , ka pafundësisht shumë. Le të ndërtojmë një rrjet w në segmentin [a, 6]. Është e qartë se nyjet e saj, në përgjithësi, nuk përkojnë me pikat e kryqëzimit të grafikëve të polinomit Pn(x) dhe funksionit f(x) (Fig. 5). Prandaj, për rrjetën e dhënë, polinomi Pn(x) nuk është interpolim. Kur një funksion i vazhdueshëm përafrohet nga një polinom interpolues Jla-graj, grafiku i tij jo vetëm që nuk duhet të jetë afër grafikut të funksionit f(x) në secilën pikë të segmentit [a, b), por mund të devijojë nga këtë funksion aq sa dëshironi. Le të japim dy shembuj. Shembulli 1 (Rung, 1901). Me një rritje të pakufizuar të numrit të nyjeve për funksionin në intervalin [-1, 1], barazia kufitare plotësohet (Fig. 6) Shembulli 2 (Beristein, 1912). Një sekuencë polinomesh interpolimi të Lagranzhit të ndërtuara në rrjeta uniforme për funksionin e vazhdueshëm /(x) = |x| në një segment me një numër në rritje të nyjeve, m nuk ka tendencë për funksionin /(x) (Fig. 7). për rrjetin (1) është i barabartë me 2 m), 3) duke pasur parasysh grupin, funksioni i ndërtuar është i përcaktuar në mënyrë unike, 4) shkalla e polinomeve të përdorura për të përshkruar funksionin e interpolimit nuk varet nga numri i nyjeve të rrjetit (e barabartë me 1), 5) ndryshimi i një pike në grup kërkon llogaritjen e katër numrave (koeficientët e dy lidhjeve të drejta që dalin nga një pikë e re), 6) shtimi pikë shtesë në grup kërkon llogaritjen e katër koeficientëve. Vetitë e një spline kubike të interpolimit A. Vetitë e përafrimit të një spline kubike. Vetitë e përafrimit të vijës së interpolimit varen nga butësia e funksionit f(x) - sa më e lartë të jetë butësia e funksionit të interpoluar, aq më i lartë është rendi i përafrimit dhe, kur rafinohet rrjeta, aq më e lartë është shpejtësia e konvergjencës. Nëse funksioni i interpoluar f(x) është i vazhdueshëm në interval Nëse funksioni i interpoluar f(x) ka një derivat të parë të vazhdueshëm në intervalin [a, 6], d.m.th. spline interpolimi, duke plotësuar kushtet kufitare të tipit 1 ose 3, atëherë për h O kemi Në këtë rast, jo vetëm spline konvergjon në funksionin e interpoluar, por edhe derivati ​​i spline konvergon në derivatin e këtij funksioni. Nëse splineja S(x) i përafrohet funksionit f(x) në segmentin [a, b], dhe derivatet e tij të parë dhe të dytë i përafrojnë funksionet B, respektivisht. Viza kubike e ndërthurur ka një tjetër pronë e dobishme. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. shembull. Ndërtoni një funksion /(x) që minimizon funksionalitetin në një klasë funksionesh nga hapësira C2, grafikët e të cilave kalojnë nëpër pikat e vargut, ndër të gjitha funksionet që kalojnë nëpër pikat e referencës (x;, /(x. )) dhe që i përket hapësirës së specifikuar, është spline kub 5( x), që plotëson kushtet kufitare, jep një ekstrem (minimum) në funksionalin Vërejtje 1. Shpesh kjo veti ekstreme merret si përkufizim i një kubiku interpolues spline. Vërejtje 2. Është interesante të theksohet se splina kubike interpoluese ka vetinë ekstremale të përshkruar më sipër në një klasë shumë të gjerë funksionesh, përkatësisht në klasën |o, 5]. 1.2. Zbutja e splinave kubike Rreth formulimit të problemit të zbutjes Le të jepet një rrjet dhe një grup numrash. gabim. Në fakt, kjo do të thotë se për secilin është specifikuar një interval dhe çdo numër nga ky interval mund të merret si vlerë e y, . Është i përshtatshëm për të interpretuar vlerat e y, për shembull, si rezultate të matjeve të disa funksioneve y(x) në variablat x që përmbajnë gabime të rastësishme. Kur zgjidhni problemin e rivendosjes së një funksioni nga vlera të tilla "eksperimentale", vështirë se këshillohet përdorimi i interpolimit, pasi funksioni i interpolimit do të riprodhojë me bindje lëkundjet e çuditshme të shkaktuara nga komponenti i rastësishëm në grup (y,). Një qasje më e natyrshme bazohet në një procedurë zbutjeje të krijuar për të reduktuar disi elementin e rastësisë në rezultatet e matjes. Zakonisht në probleme të tilla kërkohet të gjendet një funksion, vlerat e të cilit për x = x, * = 0, 1,.... m do të bien në intervalet e duhura dhe i cili, përveç kësaj, do të kishte veti mjaft të mira. Për shembull, do të kishte derivate të parë dhe të dytë të vazhdueshëm, ose grafiku i tij nuk do të ishte shumë i lakuar, domethënë nuk do të kishte lëkundje të forta. Një problem i këtij lloji lind edhe kur, duke pasur parasysh një grup të caktuar (pikërisht), është e nevojshme të ndërtohet një funksion që nuk kalon nëpër pika të dhëna, por pranë tyre dhe, për më tepër, ndryshon mjaft mirë. Me fjalë të tjera, funksioni i kërkuar dukej se e lëmonte grupin e dhënë, në vend që ta ndërfuste atë. Le të jepen një rrjetë w dhe dy grupe numrash TEORIA SHPALLËZORE shembuj të zgjidhjes së problemit. Ndërtoni një funksion të qetë në segmentin [a, A] vlerat e të cilit në nyjet e rrjetit u ndryshojnë nga numrat y me vlerat e dhëna. Problemi i zbutjes i formuluar është restaurimi funksioni i qetë i specifikuar në një tabelë. Është e qartë se një problem i tillë ka shumë zgjidhje të ndryshme. Duke i vendosur kushte shtesë funksionit të ndërtuar, mund të arrihet paqartësia e nevojshme. Përkufizimi i një spline kub zbutës Një splin kub zbutës S(x) në një rrjet w është një funksion që 1) në secilin prej segmenteve është një polinom i shkallës së tretë, 2) është dy herë i diferencueshëm vazhdimisht në segmentin [a, 6 ], domethënë i përket klasës C2 [a , b], 3) siguron një minimum për funksionalin ku - numrat e dhënë, 4) plotëson kushtet kufitare të njërit prej tre llojeve të treguara më poshtë. Kushtet kufitare (kufi) Kushtet kufitare përcaktohen në formën e kufizimeve në vlerat e vijës dhe derivateve të saj në nyjet kufitare të rrjetit w. A. Kushtet kufitare të tipit 1. - në skajet e intervalit [a, b) specifikohen vlerat e derivatit të parë të funksionit të dëshiruar. Kushtet kufitare të tipit 2. - derivatet e dyta të funksionit të dëshiruar në skajet e intervalit (a, b] janë të barabarta me zero. B. Kushtet kufitare të tipit të 3-të quhen periodike. Teorema. Viza kubike S(x), duke minimizuar funksionin (4) dhe plotësimi i kushteve kufitare të njërit prej tre llojeve të mësipërme, përkufizohet në mënyrë unike. Vërejtje, ky segment me katër koeficientë është m derivatet në të gjitha nyjet e brendshme të rrjetit o". Kështu, për të llogaritur koeficientët e të gjithë polinomeve, fitojmë 3(m - 1) kushte (ekuacione). funksioni kërkohet në formën e mëposhtme. Këtu, dhe numrat dhe janë zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare, forma e të cilit varet nga lloji i kushteve kufitare. Le të përshkruajmë fillimisht se si gjenden vlerat n*. Për kushtet kufitare të tipeve 1 dhe 2, sistemi ekuacionet lineare për të përcaktuar vlerat Hi shkruhet në formën e mëposhtme ku). Koeficientët varen nga zgjedhja e kushteve kufitare. Kushtet kufitare të tipit 1: Kushtet kufitare të tipit të dytë: Në rastin e kushteve kufitare të tipit të tretë, sistemi për përcaktimin e numrave shkruhet si më poshtë: dhe të gjithë koeficientët llogariten sipas formulave (5) (vlerat me indekset k dhe m + k konsiderohen të barabarta : Shënim i rëndësishëm*: Matricat e sistemeve nuk janë të degjeneruara dhe për këtë arsye secili prej këtyre sistemeve ka një zgjidhje unike Nëse gjenden numrat n, - atëherë madhësitë përcaktohen me lehtësi formulat ku Në rastin e kushteve kufitare periodike, zgjedhja e koeficientëve është zgjedhja e koeficientëve të peshimit p, -, të përfshira në funksional (4), ju mund të kontrolloni vetitë e vijave zbutëse në një masë të caktuar pika (x^, Vk), atëherë faktori i peshimit p\ që korrespondon me të duhet të vendoset i barabartë me zero, në llogaritjet praktike, gjëja më e rëndësishme është zgjedhja e vlerave pi - Le të jetë D, gabimi në matje. vlera y. Atëherë është e natyrshme të kërkohet që vija zbutëse të plotësojë kushtin ose, e cila është e njëjtë Në rastin më të thjeshtë, koeficientët e peshimit pi mund të specifikohen, për shembull, në formën - ku c është një konstante mjaft e vogël. Sidoqoftë, kjo zgjedhje e peshave p nuk lejon përdorimin e një "korridori" për shkak të gabimeve në vlerat y, -. Një algoritëm më racional, por edhe më intensiv i punës për përcaktimin e vlerave p mund të duket kështu. Nëse vlerat gjenden në përsëritjen e fc-të, atëherë supozohet se ku e është një numër i vogël që zgjidhet eksperimentalisht duke marrë parasysh rrjetin e biteve të kompjuterit, vlerat e D dhe saktësinë e zgjidhja e sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare. Nëse në përsëritjen fc-të në pikën i, kushti (6) është shkelur, atëherë formula e fundit do të sigurojë një ulje të koeficientit përkatës të peshës p,. Nëse atëherë në përsëritjen tjetër një rritje në p çon në më shumë "korridori" (6) dhe, në fund të fundit, një spine që ndryshon më mirë. Pak teori A. Arsyetimi i formulave për llogaritjen e koeficientëve të një spline kub interpolimi. Le të prezantojmë shënimin ku m, janë madhësi aktualisht të panjohura. Numri i tyre është i barabartë me m + 1. Një vijë e shkruar në formën ku plotëson kushtet e interpolimit dhe është e vazhdueshme në të gjithë intervalin [a, b\: duke e vendosur në formulë, fitojmë, përkatësisht, ajo ka a derivati ​​i parë i vazhdueshëm në intervalin [a, 6]: Duke diferencuar relacionin (7) dhe duke e vendosur atë, marrim relacionin përkatës. në fakt. Le të tregojmë se numrat m mund të zgjidhen në mënyrë që funksioni spline (7) të ketë një derivat të dytë të vazhdueshëm në intervalin [a, 6]. Llogaritni derivatin e dytë të spline në intervalin: Në pikën x, - 0 (në t = 1) kemi Le të llogarisim derivatin e dytë të spline në intervalin Në pikën që kemi Nga kushti i vazhdimësisë së derivati ​​i dytë në nyjet e brendshme të rrjetit a; marrim relacion m - 1 ku duke u shtuar këtyre ekuacioneve m - 1 edhe dy të tjera, që rrjedhin nga kushtet kufitare, fitojmë një sistem m + 1 ekuacionesh algjebrike lineare me m + I të panjohur miy i = 0, 1... , m. Sistemi i ekuacioneve për llogaritjen e vlerave të rsh në rastin e kushteve kufitare të tipit 1 dhe 2 ka formën ku (kushtet kufitare të tipit 1), (kushtet kufitare të tipit të dytë). Për kushtet kufitare periodike (kushtet kufitare të tipit 3), rrjeta o; zgjerohet me një nyje më shumë dhe supozojmë Pastaj sistemi për përcaktimin e vlerave të σ* do të ketë kontinuitetin e formës në nyjet e rrjetit të dytë dhe (të - !)-të. Kemi Nga dy relacionet e fundit marrim dy ekuacionet që mungojnë që i përgjigjen kushteve kufitare të tipit të 4-të: Eliminimi i goo-së së panjohur nga ekuacionet, dhe pc-ja e panjohur nga ekuacionet, si rezultat fitojmë një sistem ekuacionesh. Vini re se numri i të panjohurave në këtë sistem është th - I. 6. Arsyetimi i formulave për llogaritjen e efikasitetit të një spline subichess zbutëse. Le të prezantojmë shënimin ku Zi dhe nj janë aktualisht sasi të panjohura. Numri i tyre është 2m + 2. Funksioni spline, i shkruar në formë, është i vazhdueshëm gjatë gjithë intervalit (a, 6]: duke vënë në këtë formulë, marrim përkatësisht. Le të tregojmë se numrat z, dhe n, mund të të zgjidhet në mënyrë që splinei, i shkruar në formën ( 8), të ketë një derivat të parë të vazhdueshëm në intervalin [a, 6] Le të llogarisim derivatin e parë të spline S(x) në intervalin: Në pikën x ^ - 0 (në t = 1) kemi Le të llogarisim derivatin e parë të spline S(x) në intervalin: Në pikën që kemi Nga kushti i vazhdimësisë së derivatit të parë të spline në nyjet e brendshme të rrjetë dhe --> marrim relacionin m - 1. Ky relacion është i përshtatshëm në formë matrice relacionin (8) dhe duke e vënë atë, fitojmë, përkatësisht, relacioni matricor fitohet nga kushti për minimumin e funksionalit (4). Kemi Dy barazitë e fundit të matricës mund të konsiderohen si një sistem linear prej 2m + 2 ekuacione algjebrike lineare për 2m + 2 të panjohura. Duke zëvendësuar kolonën r në barazinë e parë me shprehjen e saj të marrë nga relacioni (9), arrijmë në ekuacionin e matricës SPLINE TEORIA shembuj të zgjidhjeve për përcaktimin e kolonës M. Ky ekuacion ka një zgjidhje unike për faktin se matrica A + 6HRH7 është gjithmonë jo të degjeneruar. Pasi e kemi gjetur atë, ne mund ta identifikojmë lehtësisht qytetin e Emsshine. Elementet e matricave threadmagolale A dhe H përcaktohen vetëm nga parametrat e rrjetit dhe (me hapat hi) dhe nuk varen nga vlerat e y^. përdorim të plotë hapësirë ​​lineare dimensionet m + 3: 1) shuma e dy vijave kubike të ndërtuara në rrjetë u>, dhe produkti i një brezi kub të ndërtuar në rrjetë u>, nga numër arbitrar në mënyrë më të fshehtë, ato janë splina kubike të ndërtuara në këtë rrjetë, 2) çdo shpinë kubike e ndërtuar në rrjetë dhe nga një nyje përcaktohet plotësisht nga vlera m + 1 e vlerave y" në këto nyje dhe dy- vetëm + 3 parametra. Duke zgjedhur një bazë në këtë hapësirë ​​të përbërë nga m + 3 vija lineare të pavarura, ne mund të shkruajmë një vijë kub arbitrare a(x) si një kombinim linear i tyre në një mënyrë unike. Koment. Ky lloj caktimi i spline është i përhapur në praktikën informatike. Veçanërisht e përshtatshme është një bazë të dhënash e përbërë nga të ashtuquajturat vija kubike B (bazike ose themelore). Përdorimi i D-splines mund të zvogëlojë ndjeshëm kërkesat për kujtesën e kompjuterit. L-vijza. Një spline B me shkallë zero, e ndërtuar në vijën numerike përgjatë rrjetit w, quhet një funksion B-fork i shkallës k ^ I, i ndërtuar në vijën numerike përgjatë rrjetit u, përcaktohet me anë të rrymës. formula Grafikët e vijave B të shkallëve të para B, -1 "(g) dhe të dytë në\7\x) janë paraqitur në Fig. 11 dhe 12, përkatësisht. zero vetëm në një segment të caktuar (përcaktuar nga k + 2 nyje B, -3* (i) ishte i ndryshëm nga zeroja në segmentin y, -+2] rasti i një rrjete uniforme (me hapin A), në raste të tjera, kemi një grafik tipik. kub B-spline treguar në Fig. 13. Kredi*. funksioni a) është dy herë i diferencueshëm vazhdimisht në një interval, domethënë i përket klasës C2[a, "), k b) është i ndryshëm nga zero vetëm në katër intervale të njëpasnjëshme (Le ta plotësojmë rrjetin w me nyje ndihmëse të marra plotësisht në mënyrë arbitrare Duke përdorur rrjetën e zgjeruar w* ne mund të ndërtojmë një familje prej m + 3 kub vijash B: Kjo familje formon bazën në hapësirën e vijave kubike në segmentin (a, b]. Kështu, një vijë kub arbitrare S(z. ), e ndërtuar në segmentin |b, 6] nyjet izm+1 , mund të paraqiten në këtë segment në formën e një kombinimi linear rasti kur jepen vlerat y* të funksionit në nyjet e rrjetës dhe vlerat y o dhe Vm të derivatit të parë të funksionit në skajet e rrjetës" (problemi). interpolimet me kushtet kufitare të lloji i parë), këta koeficientë janë llogaritur nga një sistem i formës së mëposhtme Pas përjashtimit sasitë b-i dhe &m+i, marrim një sistem linear me të panjohura 5q, ..., bm dhe një matricë tredimensionale. Gjendja siguron dominimin diagonal dhe, për rrjedhojë, mundësinë e përdorimit të metodës së fshirjes për ta zgjidhur atë. 3 MMCHMY 1. Sistemet lineare Lloje të ngjashme lindin kur merren parasysh probleme të tjera të interpolimit. Zmmchnm* 2. Në krahasim me algoritmet e përshkruara në seksionin 1.1, përdorimi i R-spline në * problemet e interpolimit na lejon të zvogëlojmë* sasinë e informacionit të ruajtur, domethënë të reduktojmë ndjeshëm kërkesat për memorien e kompjuterit, megjithëse kjo çon për rritjen e numrit të operacioneve. Ndërtimi i kthesave spline duke përdorur funksionet spline Më sipër, ne kemi konsideruar vargje, pikat e të cilave janë numëruar në mënyrë që abshisat e tyre të formojnë një sekuencë rreptësisht në rritje. Për shembull, rasti i paraqitur në Fig. 14 kur pika të ndryshme grupi i abshisave identike nuk u lejua. Kjo rrethanë përcaktoi si zgjedhjen e klasës së kthesave të përafërta (funksionet e trafikut) ashtu edhe mënyrën e ndërtimit të tyre. Megjithatë, metoda e propozuar më sipër bën të mundur ndërtimin mjaft të suksesshëm të një kurbë interpolimi në rastin më të përgjithshëm, kur numërimi i pikave të grupit dhe vendndodhja e tyre në rrafsh, si rregull, nuk janë të lidhura (Fig. 15). Për më tepër, kur vendosim detyrën për të ndërtuar një kurbë interpolimi, mund ta konsiderojmë grupin e dhënë si jo planar, domethënë është e qartë se për të zgjidhur këtë detyrë e përbashkëtështë e nevojshme të zgjerohet ndjeshëm klasa e kthesave të pranueshme, duke përfshirë kthesat e mbyllura, kthesat me pika të vetëkryqëzimit dhe kthesat hapësinore. Është i përshtatshëm për të përshkruar kthesa të tilla duke përdorur ekuacionet parametrike Ne do ta kërkojmë atë. përveç kësaj, në mënyrë që funksionet të kenë butësi të mjaftueshme, për shembull, ata i përkasin klasës C1 [a, /0] ose klasës Për të gjetur ekuacionet parametrike të një lakore që kalon në mënyrë sekuenciale nëpër të gjitha pikat e grupit, veproni si më poshtë. . hapi 1. Në një segment të marrë në mënyrë arbitrare në të cilin është e nevojshme të zëvendësohet funksioni f(x) është i madh, mund të aplikohet interpolimi spline.

1.1. Viza kubike.

Ndarjet e interpolimit 3 rendi - këto janë funksione të përbëra nga copa polinomesh 3 th urdhëroj. Në nyjet e ndërfaqes, sigurohet vazhdimësia e funksionit dhe derivateve të tij të parë dhe të dytë. Funksioni i përafërt përbëhet nga polinome individuale, zakonisht me shkallë po aq të vogël, secili i përcaktuar në pjesën e vet të segmentit.

Lëreni segmentin [ a, b] boshti real x specifikohet një rrjet, në nyjet e të cilit përcaktohen vlerat
funksionet f(x). Kërkohet të ndërtohet në segmentin [ a, b] funksioni i vijës së vazhdueshme S(x), që plotëson kushtet e mëposhtme:

Për të ndërtuar vijën e dëshiruar, duhet të gjeni koeficientët
polinomet
,i=1,… n, d.m.th. 4 n koeficientët e panjohur që plotësojnë 4 n-2 ekuacionet (1), (2), (3). Në mënyrë që sistemi i ekuacioneve të ketë zgjidhje, shtohen dy kushte shtesë (kufitare). Përdoren tre lloje të kushteve kufitare:

Kushtet (1), (2), (3) dhe një nga kushtet (4), (5), (6) formojnë një SLAE të porosisë 4 n. Sistemi mund të zgjidhet duke përdorur metodën Gaussian. Sidoqoftë, duke zgjedhur një formë të veçantë të shkrimit të polinomit kub, mund të zvogëloni ndjeshëm rendin e sistemit të ekuacioneve që zgjidhen.

1.2. Një formë e veçantë e shkrimit të një spline.

Merrni parasysh segmentin
. Le të prezantojmë shënimet e variablave të mëposhtëm:

Këtu
- gjatësia e segmentit
,

,
- variablat ndihmës,

x– pika e ndërmjetme në segment
.

Kur x kalon nëpër të gjitha vlerat në interval
, e ndryshueshme varion nga 0 në 1, dhe
varion nga 1 në 0.

Lëreni polinomin kub
në segment
ka formën:

Variablat Dhe
përcaktohen në lidhje me një segment specifik interpolimi.

Le të gjejmë vlerën e spline
në skajet e segmentit
. Pika
është pika e fillimit për segmentin
, Kjo është arsyeja pse =0,
=1 dhe në përputhje me (3.8):
.

Në fund të segmentit
=1,
=0 dhe
.

Për intervalin
pika
është e fundme, pra =1,
=0 dhe nga formula (9) marrim:
. Kështu, plotësohet kushti i vazhdimësisë së funksionit S(x) në pikat e bashkimit të polinomeve kub, pavarësisht nga zgjedhja e numrave  i.

Për të përcaktuar koeficientët  i, i=0,… n Le të dallojmë (8) dy herë si funksion kompleks i x. Pastaj

Le të përcaktojmë derivatet e dytë të spline
Dhe
:

Për një polinom
pika është fillimi i segmentit të interpolimit dhe =0,
= 1, pra

Nga (15) dhe (16) rrjedh se në intervalin [ a,b]funksioni spline, "i ngjitur së bashku" nga pjesët e polinomeve të rendit të tretë, ka një derivat të rendit të dytë të vazhdueshëm.

Për të marrë vazhdimësinë e derivatit të parë të një funksioni S(x), Le të kërkojmë që kushtet e mëposhtme të plotësohen në nyjet e interpolimit të brendshëm:

Për një splin kub natyral
Prandaj, sistemi i ekuacioneve do të duket si ky:

dhe sistemi i ekuacioneve (17) do të duket si ky:

Shembull.

Të dhënat fillestare:

Funksioni i zëvendësimit
një vijë kub interpoluese, vlerat e së cilës në pikat e dhëna nyje (shih tabelën) përkojnë me vlerat e funksionit në të njëjtat pika. Merrni parasysh kushte të ndryshme kufitare.

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikat nyjore. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat nga tabela në funksionin e dhënë.

Për kushte të ndryshme kufitare (4), (5), (6) gjejmë koeficientët e splinave kubike.

1. Le të shqyrtojmë kushtet e para kufitare.

Në rastin tonë n=3,
,
,
. Për të gjetur
ne përdorim sistemin e ekuacioneve (3.18):

Le të llogarisim Dhe , duke përdorur formulat (7) dhe (11):

Le të zëvendësojmë vlerat e marra në sistemin e ekuacioneve:

.

Zgjidhja e sistemit:

Duke marrë parasysh kushtet e para kufitare, koeficientët e vijës janë:

Le të shqyrtojmë përkufizimin e koeficientëve të vijës duke marrë parasysh kushtet kufitare (3.5):

Le të gjejmë derivatin e funksionit
:

Le të llogarisim
Dhe
:

Le të zëvendësojmë në sistemin e ekuacioneve (21) vlerat Dhe :

Duke përdorur formulën (20) ne përcaktojmë  0 dhe  3:

Duke marrë parasysh vlerat specifike:

dhe vektori i koeficientëve:

Le të llogarisim vlerat e vijës kubike S(x) në mes të segmenteve të interpolimit.

Pikat e mesit të segmenteve:

Për të llogaritur vlerën e vijës kubike në mes të segmenteve të interpolimit, ne përdorim formulat (7) dhe (9).

3.1.

Ne do të gjejmë Dhe
:

Në formulën (3.9) zëvendësojmë koeficientët

3.2.

Ne do të gjejmë Dhe
:

, për kushtet kufitare (4), (5), (6):

3.3.

Ne do të gjejmë Dhe
:

Në formulën (9) zëvendësojmë koeficientët
, për kushtet kufitare (4), (5), (6):

Le të bëjmë një tabelë:

Disavantazhet e interpolimit linear dhe polinomial pjesërisht çuan në zhvillimin e teorisë së funksionit spline (nga fjala angleze spline - sundimtar, lath). Kjo është për shkak të faktit se në praktikën inxhinierike shpesh është e nevojshme të vizatohen kthesa të lëmuara duke përdorur një sundimtar metalik elastik të fiksuar në pikat nodale.

Le të shqyrtojmë versionin më të zakonshëm të interpolimit spline - interpolimi kub spline.

Është vërtetuar se një vizore elastike jo e deformueshme kalon midis nyjeve ngjitur përgjatë një linje që plotëson ekuacionin

Natyrisht, nëse zgjidhni një polinom si funksion, atëherë shkalla e tij nuk duhet të jetë më e lartë se e treta, pasi për një polinom të shkallës së tretë derivati ​​i katërt është identikisht i barabartë me zero. Ky polinom quhet splin kub, e cila në interval shkruhet në formë

Ku a i, b i, c i, d i- koeficientët spline të përcaktuara nga kushtet shtesë; i = 1,2,3,....n- numri i splinit.

Ka një vijë më pak se pikat e interpolimit. Interpolimi spline mund të quhet polinom pjesë-pjesë.

Koeficientët e vijës përcaktohen nga kushtet e mëposhtme për bashkimin e splinave ngjitur në pikat nyjore.

1. Barazia e vlerave dhe funksioneve të vijës f(x) në pikat nodale - Kushtet e Lagranzhit:

, . (6.10)

2. Vazhdimësia e derivateve të parë dhe të dytë të splines në nyje:

Përveç kushteve të listuara, duhet të shtoni kushte në skajet, pra në pikat x 0 Dhe x n. Në përgjithësi, këto kushte varen nga detyra specifike. Ne do të përdorim kushtet e skajeve të lira të splinave, d.m.th. jashtë intervalit funksioni përshkruhet nga një polinom i shkallës së parë - një vijë e drejtë:

, . (6.12)

Kushtet (6.10)-(6.12) na lejojnë të gjejmë koeficientët a i, b i, c i, d i të gjithë n splinat. Vlerat e tyre shprehen me formulat e mëposhtme:

, (6.13)

ku në tre ekuacionet e para i = 1,2,...n, dhe në të tretën i = 2,3,..n;

h i =x i -x i -1 - i hapi i argumentit.

Duke marrë parasysh indeksimin për me i, shtoni vlerat e këtij koeficienti në skajet e spline

Së pari, sistemi zgjidhet nga n - 1 ekuacionet lineare për me i. Më pas përcaktohet b i Dhe d i nga koeficientët e njohur me i, dhe i të njohura - këto janë vlerat e funksionit f(x) në pikat nodale. Në çdo ekuacion për të përcaktuar me i përfshin vetëm tre të panjohura me vlera të njëpasnjëshme të indeksit c i - 1, c i, c i +1. Një matricë e tillë, e cila ka vetëm elementë jozero të diagonaleve kryesore dhe dy të afërta, quhet trediagonale.

Zbatimi i softuerit të algoritmit të konsideruar është dhënë më poshtë (PROGRAM 6.2). Jepet një fragment në të cilin koeficientët e spline llogariten bazuar në vlerat nodale të funksionit të interpoluar.

Për të formuar matricën tridiagonale Kc, përdoret një grup hapash argumenti h i. Në procedurë Gausi llogaritet një varg ndihmës cv, i cili ka 2 elementë më pak se vargu c., pasi c 0 dhe c n +1 janë të njohura dhe të barabarta me zero. Për një numër të madh ekuacionesh, për zgjidhjen e sistemeve me një matricë tridiagonale, përdoret metoda e fshirjes, e cila është një variant i metodës së eliminimit sekuencial. Rezultatet e llogaritjeve duke përdorur interpolimin spline janë paraqitur në Fig. 6.4. Rryma e spirales së elektromagnetit u mor si funksion i interpoluar.

Siç mund të shihet në figurën 6.4, interpolimi me splina kubike jep një përafrim shumë të mirë nëse funksioni është i qetë. Rrethi në figurë tregon zonën ku gabimi i vijës është i madh. Kjo për faktin se në këtë seksion ka një thyerje në lakoren aktuale që shoqërohet me një ndryshim në rezistencën e diodës R D nga direkt R pr e kundërta R arr.. Në këtë rast, derivati ​​i parë i rrymës bën një kërcim, dhe splinat, sipas përkufizimit, kanë derivate të parë të barabartë djathtas dhe majtas të pikës nodale.

Siç u përmend më herët, interpolimi është një rast i veçantë i përafrimit, kriteri i të cilit janë kushtet e Lagranzhit. Le të shqyrtojmë një kriter tjetër të përafrimit - minimizimin e devijimit rrënjë-mesatar-katror të funksionit të përafërt nga ai i përafërt f(x).