Ağırlık merkezini bulmadan önce basit rakamlar dikdörtgen, yuvarlak, küresel veya silindirik olanlar gibi kare şekli belirli bir şeklin simetri merkezinin hangi noktada bulunduğunu bilmeniz gerekir. Çünkü bu durumlarda ağırlık merkezi simetri merkeziyle çakışacaktır.
Homojen bir çubuğun ağırlık merkezi geometrik merkezinde bulunur. Ağırlık merkezinin belirlenmesi gerekiyorsa yuvarlak disk homojen yapı, ardından ilk önce dairenin çaplarının kesişme noktasını bulun. Bu bedenin ağırlık merkezi olacak. Top, çember ve forma gibi figürler dikkate alındığında küboidçemberin ağırlık merkezinin şeklin merkezinde olacağını güvenle söyleyebiliriz, ancak noktalarının dışında topun ağırlık merkezi geometrik merkez küreler ve içinde ikinci durum ağırlık merkezinin dikdörtgen bir paralelyüzün köşegenlerinin kesişimi olduğu kabul edilir.
Homojen olmayan cisimlerin ağırlık merkezi
Homojen olmayan bir cismin ağırlık merkezinin yanı sıra ağırlık merkezinin koordinatlarını bulmak için, belirli bir cismin hangi bölümünde, tüm yerçekimi kuvvetlerinin kesiştiği noktanın bulunduğunu bulmak gerekir. çevrilmiş olup olmadığını anlayın. Pratikte böyle bir noktayı bulmak için gövde bir ip üzerine asılır ve ipliğin gövdeye bağlanma noktaları yavaş yavaş değiştirilir. Vücudun dengede olması durumunda, vücudun ağırlık merkezi, ipliğin çizgisine denk gelen bir çizgi üzerinde bulunacaktır. Aksi takdirde yerçekimi vücudun hareket etmesine neden olur.
Bir kalem ve bir cetvel alın, iplik yönleriyle (vücudun çeşitli noktalarına tutturulmuş iplikler) görsel olarak örtüşecek dikey düz çizgiler çizin. Vücudun şekli oldukça karmaşıksa, bir noktada kesişecek birkaç çizgi çizin. Deneyi gerçekleştirdiğiniz vücudun ağırlık merkezi olacaktır.
Üçgenin ağırlık merkezi
Bir üçgenin ağırlık merkezini bulmak için, üç noktada birbirine bağlı üç bölümden oluşan bir şekil olan bir üçgen çizmeniz gerekir. Şeklin ağırlık merkezini bulmadan önce üçgenin bir tarafının uzunluğunu ölçmek için bir cetvel kullanmanız gerekir. Kenarın ortasına bir işaret koyun ve ardından karşı köşe ve segmentin ortasını medyan adı verilen bir çizgiyle birleştirin. Aynı algoritmayı üçgenin ikinci tarafıyla ve ardından üçüncü tarafıyla tekrarlayın. Çalışmanızın sonucu, üçgenin ağırlık merkezi olacak bir noktada kesişen üç kenarortay olacaktır.
Eşkenar üçgen şeklindeki bir cismin ağırlık merkezini nasıl bulacağınızla ilgili bir görevle karşı karşıya kalırsanız, dikdörtgen bir cetvel kullanarak her köşeden bir yükseklik çizmeniz gerekir. Ağırlık merkezi eşkenar üçgen Aynı bölümler aynı anda yükseklik, kenarortay ve açıortay olduğundan, rakımların, kenarortayların veortayların kesişiminde olacaktır.
Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları
Üçgenin ağırlık merkezini ve koordinatlarını bulmadan önce şeklin kendisine daha yakından bakalım. Bu, A, B, C köşelerine ve buna göre koordinatlara sahip homojen bir üçgen plakadır: A köşesi için - x1 ve y1; köşe B - x2 ve y2 için; C - x3 ve y3 köşe noktası için. Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulurken üçgen plakanın kalınlığını dikkate almayacağız. Şekil, üçgenin ağırlık merkezinin E harfiyle gösterildiğini açıkça göstermektedir - onu bulmak için, kesişme noktasına E noktasını yerleştirdiğimiz üç medyan çizdik. Kendi koordinatları vardır: xE ve yE.
A köşesinden B parçasına çizilen medyanın bir ucu x 1, y 1 koordinatlarına sahiptir (bu A noktasıdır) ve medyanın ikinci koordinatları D noktasının (medyanın ikinci ucu) olmasına dayanarak elde edilir. ) BC segmentinin ortasındadır. biter bu segmentin koordinatları biliyoruz: B(x 2, y 2) ve C(x 3, y 3). D noktasının koordinatları xD ve yD ile gösterilir. Aşağıdaki formüllere dayanarak:
x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2
Segmentin ortasının koordinatlarını belirleyin. Aşağıdaki sonucu elde ederiz:
xd=(X2+X3)/2; уd=(У2+У3)/2;
D *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).
AD doğru parçasının uçları için hangi koordinatların tipik olduğunu biliyoruz. E noktasının yani üçgen plakanın ağırlık merkezinin koordinatlarını da biliyoruz. Ayrıca ağırlık merkezinin AD segmentinin ortasında yer aldığını da biliyoruz. Artık bildiğimiz formülleri ve verileri kullanarak ağırlık merkezinin koordinatlarını bulabiliriz.
Böylece üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını veya daha doğrusu kalınlığını bilmediğimiz üçgen plakanın ağırlık merkezinin koordinatlarını bulabiliriz. Aritmetik ortalamaya eşittirler homojen koordinatlarüçgen plakanın köşeleri.
10) Zaten ağırlık merkezi nedir? düz şekil? İnce, tekdüze kartondan herhangi bir şekli zihinsel olarak kesin. ...Nedense aklıma tavşan figürü geldi. Yani: biraz ekerseniz bu rakam dikey olarak yerleştirilmiş bir iğnenin ağırlık merkezi (ne canavarım =)) o zaman teorik olarak şekil düşmemelidir.
Bir üçgenin ağırlık merkezi kenarortaylarının kesişme noktasıdır. Bir üçgende üç kenarortay vardır ve bunlar bir noktada kesişir. 7 numaralı noktadan medyanlardan birini zaten biliyoruz: . Sorun nasıl çözülür? İkinci medyanın denklemini (kalan iki medyandan herhangi biri) ve bu medyanların kesişme noktasını bulabilirsiniz. Ama daha kısa bir yol var! Sadece bilmen gerekiyor kullanışlı özellik:
Kenarortayların kesişme noktası, kenarortayların her birini üçgenin tepe noktasından sayılacak oranda böler.. Bu nedenle ilişki geçerlidir 
Noktaları biliyoruz 
.
İle bir segmenti bölmek için formüller bu konuda
:
Buna göre üçgenin ağırlık merkezi şu şekildedir:
Dersin son noktası:
11) Bir sistem oluşturalım doğrusal eşitsizlikler, bir üçgeni tanımlıyor.
Çözümü anlamak için makaleyi iyice incelemeniz gerekir. Doğrusal eşitsizlikler. Doğrusal eşitsizlik sistemleri.
Kolaylık sağlamak için tarafların bulunan denklemlerini yeniden yazıyoruz: 
Düz çizgiyi düşünün 
. Üçgen, tepe noktasının bulunduğu yarım düzlemde yer alır. Yardımcı bir polinom oluşturalım 
ve şu noktadaki değerini hesaplayın: . Kenar üçgene ait olduğundan eşitsizlik katı olmayacaktır:
Neyin ne olduğu net değilse, lütfen ilgili materyallere geri dönün. doğrusal eşitsizlikler.
Düz bir çizgi düşünelim. Üçgen bu çizginin altında yer aldığından eşitsizlik açıktır.
Ve son olarak doğrudan 
hadi bir polinom yapalım 
, içine noktanın koordinatlarını yerleştiriyoruz: . Böylece üçüncü eşitsizliği elde ederiz: . 
Yani üçgen tanımlanmış sonraki sistem doğrusal eşitsizlikler:
Biz geldik.
Daha önce de belirtildiği gibi, pratikte düzlemdeki üçgenle ilgili ele alınan problem çok popülerdir. Elbette on bir değil, daha az karar noktası olacaktır ve bunlar çok çeşitli kombinasyonlarda ortaya çıkabilir. Bu bağlamda, bağımsız olarak mantıksal bir çözüm zinciri geliştirmeniz gerekecektir. Genel olarak her şey oldukça monotondur.
Belki başka bir sorun var? Hadi çekinme, ne istediğini gözlerimde görebiliyorum =) Doyumsuz okuyucular, diğer sorunların çözümlerini kullanarak kendilerini tanıyabilirler. analitik geometri. Sayfadan uygun bir arşiv indirilebilir Yüksek matematikte hazır problemler.
Gerçekte şunu belirtmek gerekir ki zor görevler Analitik geometride nadirdir ve hemen hemen hepsini halledebilirsiniz! Önemli olan dersin başında anlatılan çözüm yöntemine uymaktır. Artık biraz rahatlayabilirsiniz, görevler bağımsız karar Bunu ben aklıma getirmedim. Pek çok aday vardı, ancak temel karar yöntemleri açısından hepsi analiz edilen örneklere uygunsuz bir şekilde benziyordu.
Hoş üçgen rüyalar!
Yüksek matematik yazışma öğrencileri ve daha fazlası için >>>
(Ana sayfaya git)
Entegrasyon yoluyla ağırlık merkezinin konumunun belirlenmesi
Barycenter alt kümesi X uzay R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) integral kullanılarak hesaplanabilir
G = ∫ x g (x) d x ∫ g (x) d x , (\displaystyle G=(\frac (\int xg(x)\;dx)(\int g(x)\;dx)))Barycenter'ın koordinatlarını hesaplamak için başka bir formül:
G k = ∫ z S k (z) d z ∫ S k (z) d z , (\displaystyle G_(k)=(\frac (\int zS_(k)(z)\;dz)(\int S_(k )(z)\;dz))),)Nerede G köyle k koordinat G, A S k (z) - kesişme ölçüsü X denklemle tanımlanan hiperdüzlem ile X k = z. Payda yine kümenin bir ölçüsüdür X.
Düz bir şekil için ağırlık merkezinin koordinatları şöyle olacaktır:
G x = ∫ x S y (x) d x Bir ; (\displaystyle G_(\mathrm (x) )=(\frac (\int xS_(\mathrm (y) )(x)\;dx)(A));)Nerede G y = ∫ y S x (y) d y A , (\displaystyle G_(\mathrm (y) )=(\frac (\int yS_(\mathrm (x) )(y)\;dy)(A)) ,) A X, S- şeklin alanı X) - sen ( [kavşak uzunluğu ] X bilinmeyen terim X, S apsisli dikey bir çizgi ile X( sen
) - eksenleri değiştirirken benzer bir değer.
Sürekli fonksiyonların grafikleriyle sınırlanan bir alan için ağırlık merkezinin konumunu belirleme Barycenter koordinatları(x ¯ , y ¯) (\displaystyle ((\bar (x))),\;(\bar (y)))) alanlar, programlarla sınırlı sürekli fonksiyonlar f (\displaystyle f) Ve g (\displaystyle g) öyle ki f (x) ≥ g (x) (\displaystyle f(x)\geq g(x)) aralıkta, [ a , b ] (\displaystyle) a ≤ x ≤ b (\displaystyle a\leq x\leq b)
ifadeleriyle verilmektedir . y ¯ = 1 A ∫ a b [ f (x) + g (x) 2 ] [ f (x) − g (x) ] d x , (\displaystyle (\bar (y))=(\frac (1)( A))\int _(a)^(b)\left[(\frac (f(x)+g(x))(2))\right]\left\;dx,)Nerede bir (\displaystyle A)- bölgenin alanı (formülle hesaplanır) ∫ a b [ f (x) − g (x) ] d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\left\;dx)) .
L şeklindeki bir nesnenin ağırlık merkezinin konumunun belirlenmesi
L şeklindeki bir şeklin ağırlık merkezini bulmak için bir yöntem.
Bir üçgenin ve tetrahedronun bari merkezleri
G = 1 a: 1 b: 1 c = b c: c a: a b = csc A: csc B: csc C (\displaystyle G=(\frac (1)(a)):(\frac (1) (b)):(\frac (1)(c))=bc:ca:ab=\csc A:\csc B:\csc C) = çünkü A + çünkü B ⋅ çünkü C: çünkü B + çünkü C ⋅ çünkü A: çünkü C + çünkü A ⋅ çünkü B (\displaystyle =\çünkü A+\cos B\cdot \cos C:\cos B+\cos C\cdot \cos A:\cos C+\cos A\cdot \cos B) = saniye A + saniye B ⋅ saniye C: saniye B + saniye C ⋅ saniye A: saniye C + saniye A ⋅ saniye B .(\displaystyle =\sec A+\sec B\cdot \sec C:\sec B+\sec C\cdot \sec A:\sec C+\sec A\cdot \sec B.) Barycenter aynı zamanda fiziksel olarak tekdüze tabaka malzemeden yapılmış bir üçgenin kütle merkezidir ve ayrıca tüm kütle köşelerde yoğunlaşmışsa ve bunlar arasında eşit olarak bölünmüşse. Kütle çevre boyunca eşit olarak dağılmışsa, kütle merkezi Spieker noktasında (ortadaki üçgenin merkezi) bulunur. genel durum
) tüm üçgenin ağırlık merkezi ile çakışmıyor.
Bir üçgenin alanı, herhangi bir kenarın uzunluğunun 3/2'sinin ağırlık merkezinden kenara olan mesafeyle çarpımına eşittir. Bir üçgenin ağırlık merkezi, diklik merkezi ile Euler düz çizgisi üzerinde yer alır. H ve çevresinin merkezi O
, ikinciye birinciden tam olarak iki kat daha yakın:G H = 2 GO . (\displaystyle GH=2GO.) Ayrıca merkez için BEN ve dokuz noktanın merkezi
N , sahibiz G H = 4 G N , (\displaystyle GH=4GN,)< H G , {\displaystyle IGben
