Bu yayın sizin için başka bir planimetri görevi içermektedir. Görevlerle ilgilidir artan karmaşıklık(profil seviyesi). Ancak göreceğiniz gibi çözüm süreci aslında herhangi bir zorluk içermiyor. Böyle bir görev sınavda hediye sayılabilir. Öyleyse başlayalım!

Kenarı “a” olan düzgün bir üçgenin içine bir daire yazılmıştır. Bu daireye, içine bir dairenin yazıldığı normal bir üçgen yazılır ve bu böyle devam eder.
a) Dairelerin alanlarının geometrik bir ilerleme oluşturduğunu kanıtlayın.
b) Tüm dairelerin alanlarının toplamını bulun.

*Referans! Geometrik ilerleme nedir? Bu, her bir sonraki üyenin bir önceki üyenin aynı sayıyla çarpımına eşit olduğu bir dizidir. Basit bir örnek: 3, 6, 12, 24, 48…. Dizinin bir önceki terimi 2 ile çarpılarak bir sonraki terim elde edilir. "2" sayısına payda denir geometrik ilerleme.

a) Bir düzgün üçgen çizelim, bir daire çizelim, içine bir üçgen ve bir daire daha çizelim (burada duracağız):

Dairelere (en büyüğünden en küçüğüne) kısaca “birinci” ve “ikinci” diyelim. İlk (daha büyük) dairenin yarıçapının iki katı olacağını unutmayın. yarıçaptan daha büyük ikinci (bir dik üçgende bacak 30 derecelik açının karşısında yer alır) yarıya eşit hipotenüs).

Dairelerin alanlarına ne olur? Sahibiz:

Yani ikinci dairenin alanı dört katıdır daha az alan Birinci. Yazılı daireleri birbirine göre daha fazla düşünürsek, alanlarının birbirine göre aynı ilişkisini (bağımlılığını) elde edeceğiz, yani sonraki her dairenin alanı alanından 4 kat daha az olacaktır ​önceki. Daha ayrıntılı olarak yazalım:

*Geometrik ilerlemenin genel formülü şöyledir:

Böylece geometrik bir ilerleme elde ettik. Paydası ¼'tür. Kanıtlanmış!

b) Sonsuz geometrik ilerlemenin formülü şu şekildedir:

Bu, tüm dairelerin alanlarının toplamının şuna eşit olacağı anlamına gelir:

Şimdi üçgenin “a”ya eşit olan kenarından geçen ilk dairenin yarıçapını ifade edelim. Elimizde (eğer kenar “a”ya eşitse, o zaman kenarın yarısı 0,5a olur):

Böylece şunu elde ederiz:

Çözüme ikinci yaklaşım.

a) Komşu dairelerin yarıçapları iki kat farklı olduğundan benzerlik katsayısının 0,5 olduğu ortaya çıkar (daireler her zaman benzerdir). Şunları yazabiliriz:

Bu geometrik bir ilerlemedir.

b) Şimdi dairelerin alanlarının toplamını hesaplayalım. İzin vermek

Eşkenar üçgende yazılı dairenin yarıçapının yüksekliğinin üçte birine eşit olduğu bilinmektedir, yani:

Yani dairenin alanı şuna eşit olacaktır:

Giriş seviyesi

Eşkenar üçgen. Resimli Kılavuz (2019)

Eşkenar üçgenin doğasında hangi özel özellikler vardır?

Eşkenar üçgen. Özellikler.

Doğal değil mi? Toplamda üç özdeş açı, yani her biri.

Bu neden böyle? Hadi bakalım eşkenar üçgen:

Bu, bir eşkenar üçgendeki herhangi bir yüksekliğin aynı zamanda bir açıortay, bir kenarortay ve bir kenarortay olduğu anlamına gelir. dik açıortay! Eşkenar üçgende sıradan üçgenlerde olduğu gibi özel çizgiler yoktu, yalnızca üç çizgi vardı!

Yani bir kez daha:

Bunun neden böyle olduğu zaten açık olmalı.

Resme bakın: nokta üçgenin merkezidir. Bunun anlamı, çevrelenen dairenin yarıçapıdır (bunu belirtiriz) ve yazılı dairenin yarıçapıdır (bunu belirtiriz).

Ancak bir nokta aynı zamanda kenarortayların kesişme noktasıdır! Medyanların tepe noktasından sayılarak bir oranda kesişme noktasına bölündüğünü hatırlıyoruz.

Bu nedenle öyle.

Bundan emin olalım.

Eşkenar üçgen. Yükseklik

Şuna bir bakalım; dikdörtgen.

Eşkenar üçgen. Çevre yarıçapı

Bu neden?

Bir noktanın yalnızca çevrelenen dairenin merkezi değil aynı zamanda kenarortayların kesişme noktası olduğunu zaten öğrenmiştik. Araç, .

Değerini zaten bulduk. Şimdi yerine şunu koyuyoruz:

Eşkenar üçgen. Yazılı daire yarıçapı

Bu şimdiye kadar oldukça açık olmalı

Tüm temel bilgiler tartışıldı. Elbette bir eşkenar üçgenin her türlü parçasının her türlü uzunluğu hakkında yüzlerce soru sorabilirsiniz.

Ancak eşkenar üçgenle ilgili problemleri çözerken akılda tutulması gereken en önemli şey şudur: tüm açıları biliniyor mu- eşittir ve tüm yükseklikler açıortay, ortanca ve dik açıortaydır.

EŞKENAR ÜÇGEN. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Eşkenar üçgen - tüm kenarları eşit olan bir üçgen: .

Bir eşkenar üçgende “iyi” olan tüm elemanların uzunlukları kenar uzunluğu cinsinden ifade edilir:

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

İkinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık seviyelerinde çözümleri ve cevapları olan 6000 problem." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterli olacaktır.

Aslında bu bir simülatörden çok daha fazlasıdır; tam bir eğitim programıdır. Gerektiğinde ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Tüm metinlere ve programlara erişim, sitenin TÜM varlığı boyunca sağlanmaktadır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

“A Alın” video kursu ihtiyacınız olan tüm konuları içerir başarılı tamamlama Matematikte 60-65 puanlık Birleşik Devlet Sınavı. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Hızlı yollarçözümler, tuzaklar ve Birleşik Devlet Sınavının sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs 5 içerir büyük konular, her biri 2,5 saat. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.

Talimatlar

İnşaat sırasında iletki kullanma fırsatınız varsa, seçerek başlayın keyfi nokta doğru olanın köşelerinden biri olması gereken bir daire üzerinde. Örneğin A harfiyle etiketleyin.

A'yı dairenin merkezine bağlayan yardımcı bir doğru parçası çizin. Sıfır bölümü dairenin merkezine denk gelecek şekilde bu parçaya bir iletki takın ve 120° işaretine bir yardımcı nokta yerleştirin. Bu noktadan başlayarak, başlangıcı dairenin merkezinde, kesişme noktasında olacak şekilde başka bir yardımcı parça çizin. çevre. Kesişme noktasını B harfiyle işaretleyin - bu, yazılı olanın ikinci köşesidir üçgen.

Önceki adımı tekrarlayın, ancak iletkiyi ikinci yardımcı parçaya ve kesişme noktasına uygulayın. çevre C harfiyle belirtin. Artık iletkiye ihtiyacınız olmayacak.

İletki yoksa ancak pusula ve varsa, kenar uzunluğunu hesaplayarak başlayın üçgen. Muhtemelen bunun çevrelenmiş dairenin yarıçapı cinsinden ifade edilebileceğini biliyorsunuzdur, bunu üç kat çarparak kareköküçte, yani yaklaşık 1,732050807568877. Bunu istediğiniz hassasiyete yuvarlayın ve dairenin yarıçapıyla çarpın.

Pusulanın beşinci adımında bulunan kenar uzunluğunu bir kenara koyun üçgen ve merkezi A noktasında olan bir yardımcı daire. İki dairenin kesişme noktalarını B ve C harfleriyle belirtin - bunlar dairenin içine yazılan normal dairenin diğer iki köşesidir. üçgen.

A ve B, B ve C, C ve A noktalarını bağlayın ve inşaat tamamlanacaktır.

Bir daire üç tarafa da dokunuyorsa verilen üçgen ve merkezi üçgenin içindeyse buna üçgenin içinde yazılı denir.

İhtiyacın olacak

• cetvel, pusula

Talimatlar

Cetvel boyunca yayların kesişme noktası, bölünebilir açının tepe noktasına bağlanır;

Aynı şey başka herhangi bir açı için de yapılır;

Kaynaklar:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Doğru üçgen- tüm kenarların aynı uzunlukta olduğu bir tane. Bu tanımdan hareketle bu kadar çeşitli yapıların yapımı üçgen ama zor bir iş değil.

İhtiyacın olacak

• Cetvel, çizgili kağıt, kalem

Talimatlar

lütfen aklınızda bulundurun

Normal (eşkenar) bir üçgende tüm açılar 60 dereceye eşittir.

Faydalı tavsiyeler

Eşkenar üçgen aynı zamanda ikizkenar üçgendir. Bir üçgen ikizkenar ise, bu, 3 kenarından 2'sinin eşit olduğu ve üçüncü kenarın taban olarak kabul edildiği anlamına gelir. Herhangi bir normal üçgen ikizkenardır, ancak bunun tersi doğru değildir.

İpucu 4: Bir daire içine yazılan bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Bir üçgenin alanı, problem koşullarından hangi değerin bilindiğine bağlı olarak çeşitli şekillerde hesaplanabilir. Bir üçgenin tabanı ve yüksekliği verildiğinde, taban ile yüksekliğin çarpımı hesaplanarak alan bulunabilir. İkinci yöntemde alan üçgenin çevrel çemberi üzerinden hesaplanır.

Talimatlar

Planimetri problemlerinde, bir daire içine yazılan veya onun etrafında tanımlanan bir çokgenin alanını bulmanız gerekir. Bir çokgenin dışta olması ve kenarlarının çembere değmesi durumunda çemberin etrafında çevrelenmiş olduğu kabul edilir. Bir dairenin içinde bulunan bir çokgenin, daireleri onun üzerinde yer alıyorsa, içinde yazılı olduğu kabul edilir. Eğer yazılı olan problem verilirse, onun üç köşesi de çembere değecektir. Ne tür bir üçgenin dikkate alındığına bağlı olarak görevin yöntemi seçilir.

En basit durum, içine normal bir üçgenin yazılmasıdır. Böyle bir üçgen her şeye sahip olduğundan dairenin yarıçapı yüksekliğinin yarısına eşittir. Bu nedenle bir üçgenin alanını bulabilirsiniz. Bu alanı hesaplayın bu durumdaörneğin aşağıdaki yollardan herhangi biriyle yapılabilir:
R=abc/4S, burada S üçgenin alanıdır, a, b, c üçgenin kenarlarıdır

Üçgenin ikizkenar olması durumunda başka bir durum ortaya çıkar. Üçgenin tabanı dairenin çapının çizgisiyle çakışıyorsa veya çap aynı zamanda üçgenin yüksekliğiyse alan şu şekilde hesaplanabilir:
S=1/2h*AC, burada AC üçgenin tabanıdır
Bir dairenin yarıçapı biliniyorsa, onun açıları ve dairenin çapına denk gelen taban Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir. bilinmeyen yükseklik. Tabanı dairenin çapına denk gelen üçgenin alanı:
S=R*h
Başka bir durumda, yükseklik, etrafı çevrelenen dairenin çapına eşit olduğunda ikizkenar üçgen alanı şuna eşittir:
S=R*AC

Bazı problemlerde bir daire yazılır dik üçgen. Bu durumda dairenin merkezi hipotenüsün ortasında yer alır. Bir üçgenin açılarını ve tabanını bilerek, yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanarak alanı hesaplayabilirsiniz.
Diğer durumlarda, özellikle üçgen dar veya geniş olduğunda yukarıdaki formüllerden yalnızca ilki uygulanabilir.

Görev uyum sağlamaktır daire çokgençoğu zaman bir yetişkinin kafasını karıştırabilir. Okul çocuğunun kararını açıklaması gerekiyor, bu yüzden ebeveynler sörf yapmaya gidiyor Dünya çapında Ağ bir çözüm arıyoruz.

Talimatlar

Çizmek daire. Pusula iğnesini dairenin kenarına yerleştirin ancak yarıçapı değiştirmeyin. Kesişen iki yay çizin daire pusulayı sağa ve sola çevirerek.

Pusula iğnesini daire boyunca yayın kesiştiği noktaya kadar hareket ettirin. Pusulayı tekrar çevirin ve dairenin dış hatlarını kesen iki yay daha çizin. Bu işlemi ilk noktayla kesişene kadar tekrarlayın.

Çizmek daire. Çapı ortasından çizin, çizgi yatay olmalıdır. Çemberin merkezinden geçen bir dik çizin, şunu elde edersiniz: dikey çizgi(örneğin SV).

Yarıçapı ikiye bölün. Bu noktayı çap çizgisi üzerinde işaretleyin (bunu A olarak etiketleyin). İnşa etmek daire merkezi A noktasında ve yarıçapı AC olan. İle karşıya geçerken yatay çizgi başka bir puan alacaksınız (örneğin D). Sonuç olarak, CD segmenti beşgenin yazılması gereken tarafı olacaktır.

Yarıçapı CD'ye eşit olan yarım daireleri dairenin konturu boyunca yerleştirin. Böylece orijinal daire beş eşit parçaya bölünecek. Noktaları bir cetvelle birleştirin. Bir beşgenin içine yazılması problemi daire da tamamlandı.

Aşağıdakiler sığdırılarak anlatılmıştır daire kare. Bir çap çizgisi çizin. Bir iletki alın. Çapın dairenin kenarıyla kesiştiği noktaya yerleştirin. Pusulayı yarıçapın uzunluğuna kadar açın.

Kesişene kadar iki yay çizin daire Pusulayı bir yöne veya diğerine çeviriyorsun. Pusulanın ayağını karşı noktaya hareket ettirin ve aynı çözümle iki yay daha çizin. Ortaya çıkan noktaları birleştirin.

Çapın karesini alın, ikiye bölün ve kökü alın. Sonuç olarak, karenin içine kolayca sığabilecek bir kenarı elde edeceksiniz. daire. Pusulayı bu uzunluğa kadar açın. İğnesini tak daire ve dairenin bir tarafıyla kesişen bir yay çizin. Pusulanın ayağını ortaya çıkan noktaya hareket ettirin. Yayı tekrar çizin.

Prosedürü tekrarlayın ve iki nokta daha çizin. Dört noktayı da birleştirin. Bu, bir kareyi sığdırmanın daha kolay bir yoludur daire.

Uyum sağlama görevini düşünün daire. Çizmek daire. Daire üzerinde rastgele bir nokta alın - bu üçgenin tepe noktası olacaktır. Bu noktadan itibaren pusulayı tutarak, ile kesişene kadar bir yay çizin. daire Yu. Bu ikinci zirve olacak. Benzer şekilde üçüncü bir köşe noktası oluşturun. Noktaları bir cetvelle birleştirin. Çözüm bulundu.

Konuyla ilgili video

Ayrılmaz parçalardan biri olmak okul müfredatı, geometrik problemler inşa etmek düzenli çokgenler oldukça önemsizdir. Kural olarak inşaat, bir çokgenin içine yazılmasıyla gerçekleştirilir. daire, ilk önce çizilen. Peki ya eğer daire verilmiştir, ancak şekil çok karmaşık mı?

İhtiyacın olacak

• - cetvel;
• - pusula;
• - kalem;
• - bir kağıt parçası.

Talimatlar

AB'ye dik bir çizgi parçası oluşturun ve onu kesişme noktasında iki eşit parçaya bölün. Pusula iğnesini A noktasına yerleştirin. Bacağını ucu B noktasına veya segment üzerinde B'ye A'dan daha yakın olan herhangi bir noktaya yerleştirin. daire. Pusulanın bacaklarının açısını değiştirmeden iğnesini B noktasına getirin. Bir tane daha çizin daire.Çizilen daireler ikiye bölünecektir. Aralarından düz bir çizgi çizin. Kesişme noktasını işaretleyin bu segmentin AB doğru parçası C olacak şekilde. Bu doğru parçasının orijinal parçayla kesişme noktalarını işaretleyin daire D ve E'yi seviyorsun.

Onu ikiye bölen bir DE doğru parçası oluşturun. DE segmentiyle ilgili olarak önceki adımda açıklananlara benzer eylemler gerçekleştirin. Çizilen doğru parçasının DE'yi O noktasında kesmesine izin verin. Bu noktaçemberin merkezi olacak. Ayrıca inşa edilenin orijinal ile kesişme noktalarını da işaretleyin. daire F ve G'yi seviyorsun.

Pusula bacaklarının açıklığını, uçları arasındaki mesafe orijinal dairenin yarıçapına eşit olacak şekilde ayarlayın. Bunu yapmak için pusulanın iğnesini A, B, D, E, F veya G noktalarından birine yerleştirin. Bacağın uç kısmını O noktasına yerleştirin.

Düzenli bir altıgen oluşturun. Pusula iğnesini daire çizgisi üzerinde herhangi bir noktaya yerleştirin. Bu noktayı H olarak etiketleyin. Saat yönünde, daire çizgisiyle kesişecek şekilde pergelle kavisli bir çentik açın. Bu noktayı I olarak etiketleyin. Pusula iğnesini I noktasına hareket ettirin. Daire üzerinde tekrar bir çentik açın ve ortaya çıkan J noktasını etiketleyin. Benzer şekilde, K, L, M noktalarını oluşturun. H, I, J, K, L noktalarını tutarlı bir şekilde birleştirin. M, H çiftler halinde .Alındı