Paralel borunun karşılıklı köşeleri. Ne tür paralelyüzlüler vardır? Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Bu derste herkes “Dikdörtgen paralel yüzlü” konusunu çalışabilecek. Dersin başında rastgele ve düz paralelyüzlerin ne olduğunu tekrarlayacağız, karşıt yüzlerinin özelliklerini ve paralelyüzün köşegenlerini hatırlayacağız. Daha sonra küpün ne olduğuna bakacağız ve temel özelliklerini tartışacağız.

Konu: Doğruların ve düzlemlerin dikliği

Ders: Küboid

İki eşit paralelkenar ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 ile dört paralelkenar ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1'den oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü(Şekil 1).

Pirinç. 1 Paralel borulu

Yani: iki eşit ABCD paralelkenarımız ve A 1 B 1 C 1 D 1 (tabanlarımız) var, bunlar paralel düzlemler böylece AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 yan kenarları paralel olacaktır. Bu nedenle paralelkenarlardan oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü.

Böylece, bir paralelyüzün yüzeyi, paralelkenarı oluşturan tüm paralelkenarların toplamıdır.

1. Paralel borunun zıt yüzleri paralel ve eşittir.

(Şekiller eşittir yani üst üste bindirilerek birleştirilebilirler)

Örneğin:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( eşit paralelkenarlar tanımı gereği),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B ve DD 1 C 1 C'den beri - Zıt yüzler paralelyüzlü),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (çünkü AA 1 D 1 D ve BB 1 C 1 C paralel yüzün zıt yüzleridir).

2. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye bölünür.

Paralel uçlu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B'nin köşegenleri bir O noktasında kesişir ve her köşegen bu noktaya göre ikiye bölünür (Şekil 2).

Pirinç. 2 Paralel borunun köşegenleri kesişir ve kesişme noktasıyla ikiye bölünür.

3. Paralel borunun üç dörtlü eşit ve paralel kenarı vardır: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Tanım. Yan kenarları tabanlara dik ise paralel uçluya düz denir.

İzin vermek yan kaburga AA 1 tabana diktir (Şekil 3). Bu, AA 1 düz çizgisinin, taban düzleminde yer alan AD ve AB düz çizgilerine dik olduğu anlamına gelir. Bu, yan yüzlerin dikdörtgenler içerdiği anlamına gelir. Ve tabanlar keyfi paralelkenarlar içeriyor. ∠BAD = φ diyelim, φ açısı herhangi bir olabilir.

Pirinç. 3 Sağ paralel yüzlü

Dolayısıyla, sağ paralel boru, yan kenarların paralel borunun tabanlarına dik olduğu bir paralel borudur.

Tanım. Paralel boruya dikdörtgen denir, yan kenarları tabana dik ise. Tabanlar dikdörtgendir.

Paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 aşağıdaki durumlarda dikdörtgendir (Şekil 4):

1. AA 1 ⊥ ABCD (taban düzlemine dik yan kenar, yani düz bir paralel yüzlü).

2. ∠BAD = 90°, yani taban bir dikdörtgendir.

Pirinç. 4 Dikdörtgen paralel yüzlü

Dikdörtgen bir paralel boru, keyfi bir paralel borunun tüm özelliklerine sahiptir. Ancak küboidin tanımından türetilen ek özellikler de vardır.

Bu yüzden, küboid yan kenarları tabana dik olan bir paralelyüzdür. Dikdörtgen paralel borunun tabanı bir dikdörtgendir.

1. Dikdörtgen bir paralelyüzde altı yüzün tümü dikdörtgendir.

ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 tanım gereği dikdörtgenlerdir.

2. Yan kaburgalar tabana diktir. işte bu kadar yan yüzler dikdörtgen paralel yüzlü - dikdörtgenler.

3. Tüm dihedral açılar dikdörtgen paralel yüzlü düz çizgiler.

Örneğin, AB kenarı olan dikdörtgen paralel yüzlü bir dikdörtgenin dihedral açısını, yani ABC 1 ve ABC düzlemleri arasındaki dihedral açıyı ele alalım.

AB bir kenardır, A 1 noktası bir düzlemde - ABB 1 düzleminde ve D noktası diğerinde - A 1 B 1 C 1 D 1 düzleminde yer alır. O zaman söz konusu dihedral açı şu şekilde de gösterilebilir: ∠A 1 ABD.

AB kenarı üzerinde A noktasını alalım. AA 1 - АВВ-1 düzleminde AB kenarına dik, AD AB kenarına dik ABC düzlemi. Bu, ∠A 1 AD'nin belirli bir dihedral açının doğrusal açısı olduğu anlamına gelir. ∠A 1 AD = 90°, bu AB kenarındaki dihedral açının 90° olduğu anlamına gelir.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Benzer şekilde, dikdörtgen bir paralelyüzün herhangi bir dihedral açısının dik olduğu kanıtlanmıştır.

Bir küpün kare köşegeni toplamına eşitüç boyutunun kareleri.

Not. Bir küboidin bir köşesinden çıkan üç kenarın uzunlukları küboidin ölçümleridir. Bazen uzunluk, genişlik, yükseklik olarak da adlandırılırlar.

Verilen: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - dikdörtgen paralel yüzlü (Şekil 5).

Kanıtlamak: .

Pirinç. 5 Dikdörtgen paralel yüzlü

Kanıt:

CC1 düz çizgisi ABC düzlemine ve dolayısıyla AC düz çizgisine diktir. Bu, CC 1 A üçgeninin dik açılı olduğu anlamına gelir. Pisagor teoremine göre:

Dikdörtgen düşünün ABC üçgeni. Pisagor teoremine göre:

Fakat M.Ö. ve MS - zıt taraflar dikdörtgen. Yani BC = MS. Daha sonra:

Çünkü , A , O. CC 1 = AA 1 olduğuna göre kanıtlanması gereken de budur.

Dikdörtgen paralel borunun köşegenleri eşittir.

Paralel borulu ABC'nin boyutlarını a, b, c olarak gösterelim (bkz. Şekil 6), o zaman AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Bu derste herkes “Dikdörtgen paralel yüzlü” konusunu çalışabilecek. Dersin başında rastgele ve düz paralelyüzlerin ne olduğunu tekrarlayacağız, karşıt yüzlerinin özelliklerini ve paralelyüzün köşegenlerini hatırlayacağız. Daha sonra küpün ne olduğuna bakacağız ve temel özelliklerini tartışacağız.

Konu: Doğruların ve düzlemlerin dikliği

Ders: Küboid

İki eşit paralelkenar ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 ile dört paralelkenar ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1'den oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü(Şekil 1).

Pirinç. 1 Paralel borulu

Yani: iki eşit paralelkenarımız ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 (tabanlar) var, bunlar paralel düzlemlerde uzanırlar, böylece AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 yan kenarları paralel olur. Bu nedenle paralelkenarlardan oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü.

Böylece, bir paralelyüzün yüzeyi, paralelkenarı oluşturan tüm paralelkenarların toplamıdır.

1. Paralel borunun zıt yüzleri paralel ve eşittir.

(Şekiller eşittir yani üst üste bindirilerek birleştirilebilirler)

Örneğin:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (tanım gereği eşit paralelkenarlar),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B ve DD 1 C 1 C paralel yüzün zıt yüzleri olduğundan),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (çünkü AA 1 D 1 D ve BB 1 C 1 C paralel yüzün zıt yüzleridir).

2. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye bölünür.

Paralel uçlu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B'nin köşegenleri bir O noktasında kesişir ve her köşegen bu noktaya göre ikiye bölünür (Şekil 2).

Pirinç. 2 Paralel borunun köşegenleri kesişir ve kesişme noktasıyla ikiye bölünür.

3. Paralel borunun üç dörtlü eşit ve paralel kenarı vardır: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Tanım. Yan kenarları tabanlara dik ise paralel uçluya düz denir.

AA 1'in yan kenarının tabana dik olmasına izin verin (Şek. 3). Bu, AA 1 düz çizgisinin, taban düzleminde yer alan AD ve AB düz çizgilerine dik olduğu anlamına gelir. Bu, yan yüzlerin dikdörtgenler içerdiği anlamına gelir. Ve tabanlar keyfi paralelkenarlar içeriyor. ∠BAD = φ diyelim, φ açısı herhangi bir olabilir.

Pirinç. 3 Sağ paralel yüzlü

Dolayısıyla, sağ paralel boru, yan kenarların paralel borunun tabanlarına dik olduğu bir paralel borudur.

Tanım. Paralel boruya dikdörtgen denir, yan kenarları tabana dik ise. Tabanlar dikdörtgendir.

Paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 aşağıdaki durumlarda dikdörtgendir (Şekil 4):

1. AA 1 ⊥ ABCD (taban düzlemine dik yan kenar, yani düz bir paralel yüzlü).

2. ∠BAD = 90°, yani taban bir dikdörtgendir.

Pirinç. 4 Dikdörtgen paralel yüzlü

Dikdörtgen bir paralel boru, keyfi bir paralel borunun tüm özelliklerine sahiptir. Ancak küboidin tanımından türetilen ek özellikler de vardır.

Bu yüzden, küboid yan kenarları tabana dik olan bir paralelyüzdür. Dikdörtgen paralel borunun tabanı bir dikdörtgendir.

1. Dikdörtgen bir paralelyüzde altı yüzün tümü dikdörtgendir.

ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 tanım gereği dikdörtgenlerdir.

2. Yan kaburgalar tabana diktir. Bu, dikdörtgen bir paralel yüzün tüm yan yüzlerinin dikdörtgen olduğu anlamına gelir.

3. Dikdörtgen paralel borunun tüm dihedral açıları diktir.

Örneğin, AB kenarı olan dikdörtgen paralel yüzlü bir dikdörtgenin dihedral açısını, yani ABC 1 ve ABC düzlemleri arasındaki dihedral açıyı ele alalım.

AB bir kenardır, A 1 noktası bir düzlemde - ABB 1 düzleminde ve D noktası diğerinde - A 1 B 1 C 1 D 1 düzleminde yer alır. O zaman söz konusu dihedral açı şu şekilde de gösterilebilir: ∠A 1 ABD.

AB kenarı üzerinde A noktasını alalım. AA 1, АВВ-1 düzleminde AB kenarına diktir, AD, ABC düzleminde AB kenarına diktir. Bu, ∠A 1 AD'nin belirli bir dihedral açının doğrusal açısı olduğu anlamına gelir. ∠A 1 AD = 90°, bu AB kenarındaki dihedral açının 90° olduğu anlamına gelir.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Benzer şekilde, dikdörtgen bir paralelyüzün herhangi bir dihedral açısının dik olduğu kanıtlanmıştır.

Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeninin karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir.

Not. Bir küboidin bir köşesinden çıkan üç kenarın uzunlukları küboidin ölçümleridir. Bazen uzunluk, genişlik, yükseklik olarak da adlandırılırlar.

Verilen: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - dikdörtgen paralel yüzlü (Şekil 5).

Kanıtlamak: .

Pirinç. 5 Dikdörtgen paralel yüzlü

Kanıt:

CC1 düz çizgisi ABC düzlemine ve dolayısıyla AC düz çizgisine diktir. Bu, CC 1 A üçgeninin dik açılı olduğu anlamına gelir. Pisagor teoremine göre:

düşünelim dik üçgen ABC. Pisagor teoremine göre:

Ancak BC ve AD dikdörtgenin karşıt kenarlarıdır. Yani BC = MS. Daha sonra:

Çünkü , A , O. CC 1 = AA 1 olduğuna göre kanıtlanması gereken de budur.

Dikdörtgen paralel borunun köşegenleri eşittir.

Paralel borulu ABC'nin boyutlarını a, b, c olarak gösterelim (bkz. Şekil 6), o zaman AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Paralel boru, 6 yüzü de paralelkenar olan geometrik bir şekildir.

Bu paralelkenarların türüne bağlı olarak, aşağıdaki paralel boru türleri ayırt edilir:

• doğrudan;
• eğimli;
• dikdörtgen.

Sağ paralel yüzlü, kenarları taban düzlemi ile 90° açı yapan dörtgen bir prizmadır.

Dikdörtgen paralel yüzlü, tüm yüzleri dikdörtgen olan dörtgen bir prizmadır. Küp çeşitlidir dörtgen prizma, tüm yüzlerin ve kenarların birbirine eşit olduğu.

Bir figürün özellikleri onun özelliklerini önceden belirler. Bunlar aşağıdaki 4 ifadeyi içerir:

Verilen tüm özellikleri hatırlamak kolaydır, anlaşılması kolaydır ve tür ve özelliklere göre mantıksal olarak türetilmiştir. geometrik gövde. Ancak basit ifadeler karar vermede inanılmaz derecede yardımcı olabilir. tipik görevler Birleşik Devlet Sınavı, testi geçmek için gereken zamandan tasarruf etmenizi sağlar.

Paralel borulu formüller

Sorunun cevabını bulmak için sadece şeklin özelliklerini bilmek yeterli değildir. Geometrik bir cismin alanını ve hacmini bulmak için bazı formüllere de ihtiyacınız olabilir.

Tabanların alanı, paralelkenarın veya dikdörtgenin karşılık gelen göstergesiyle aynı şekilde bulunur. Paralelkenarın tabanını kendiniz seçebilirsiniz. Kural olarak, problemleri çözerken tabanı dikdörtgen olan bir prizma ile çalışmak daha kolaydır.

Paralel borunun yan yüzeyini bulma formülüne test görevlerinde de ihtiyaç duyulabilir.

Tipik Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözme örnekleri

Görev 1.

Verilen: 3, 4 ve 12 cm boyutlarında dikdörtgen paralel yüzlü.
GerekliŞeklin ana köşegenlerinden birinin uzunluğunu bulun.
Çözüm: Herhangi bir çözüm geometrik problemÜzerinde "verilen" ve istenen değerin gösterileceği doğru ve net bir çizimin yapımıyla başlamalıdır. Aşağıdaki resimde bir örnek gösterilmektedir doğru tasarım görev koşulları.

Yapılan çizimi inceledikten ve geometrik cismin tüm özelliklerini hatırlayarak tek sonuca geliyoruz. doğru yolçözümler. Paralelyüzün 4. özelliğini uygulayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Basit hesaplamalardan sonra b2=169, dolayısıyla b=13 ifadesini elde ederiz. Görevin cevabı bulundu; onu aramak ve çizmek için 5 dakikadan fazla zaman harcamanıza gerek yok.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Sizden bilgilerinizi vermeniz istenebilir kişisel bilgiler bizimle iletişime geçtiğinizde.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Veya (eşdeğer olarak) altı yüzü olan ve her biri - paralelkenar.

Paralel boru türleri

Birkaç tür paralelyüz vardır:

• Küboid, tüm yüzleri dikdörtgen olan paralel yüzlü bir cisimdir.
• Sağ paralel yüzlü, dikdörtgen olan 4 yan yüze sahip bir paralel yüzlüdür.
• Eğimli bir paralel boru, yan yüzleri tabanlara dik olmayan bir paralel borudur.

Temel unsurlar

Paralel borunun ortak kenarı olmayan iki yüzüne karşıt, ortak kenarı olanlara ise bitişik denir. Bir paralel yüzün aynı yüze ait olmayan iki köşesine zıt denir. Bağlanan bir segment zıt köşeler, paralelyüzün köşegeni olarak adlandırılır. Üç uzunluk Dikdörtgen paralel yüzlü kenarların ortak üst, buna ölçümler diyoruz.

Özellikler

• Paralel boru, köşegeninin ortası civarında simetriktir.
• Uçları paralel borunun yüzeyine ait olan ve köşegeninin ortasından geçen herhangi bir bölüm ikiye bölünür; özellikle, bir paralelyüzün tüm köşegenleri bir noktada kesişir ve onun tarafından ikiye bölünür.
• Paralel borunun zıt yüzleri paralel ve eşittir.
• Dikdörtgen bir paralel borunun köşegen uzunluğunun karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir.

Temel formüller

Sağ paralel yüzlü

Yan yüzey alanı S b =P o *h, burada P o tabanın çevresi, h ise yüksekliktir

Toplam yüzey alanı S p =S b +2S o, burada S o taban alanıdır

Hacim V=S o *h

Dikdörtgen paralel yüzlü

Yan yüzey alanı S b =2c(a+b), burada a, b tabanın kenarlarıdır, c dikdörtgen paralel yüzlünün yan kenarıdır

Toplam yüzey alanı S p =2(ab+bc+ac)

Hacim V=abc, burada a, b, c dikdörtgen bir paralelyüzün boyutlarıdır.

Küp

Yüzey alanı: $S=6a^2$
Hacim: $V=a^3$, Nerede $A$- bir küpün kenarı.

Herhangi bir paralelyüzlü

Hacim ve oranlar eğimli paralel yüzlü genellikle vektör cebiri kullanılarak tanımlanır. Paralel borunun hacmi, karışık ürünün mutlak değerine eşittir üç vektör, bir tepe noktasından çıkan paralel yüzün üç tarafıyla tanımlanır. Bir paralel yüzün kenarlarının uzunlukları ile aralarındaki açılar arasındaki ilişki, belirtilen üç vektörün Gram determinantının şu ifadeyi verir: kareye eşit onların karışık ürün :215 .

Matematiksel analizde

İÇİNDE matematiksel analiz n boyutlu altında dikdörtgen paralel yüzlü $B$ birçok noktayı anlayın $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ tür $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

"Paralel borulu" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Bağlantılar

Paralel Boruluyu karakterize eden bir alıntı