Monoton sayı dizileri vardır. BEN

Amaç: Dizi kavramını, tanımını, sonlu, sonsuz, dizi tanımlamanın çeşitli yollarını, farklarını vermek, örnek çözerken nasıl kullanılacağını öğretmek.

Ekipman: Masalar.

Dersin ilerlemesi

BEN. Organizasyon anı.

II. Ön kontrol Ev ödevi:

1) 2.636 numaralı tahta problemindeki öğrenci (“9. sınıfta yazılı sınav için görevlerin toplanması”nın II. bölümünden)

2) öğrenci. Grafik oluşturma

3) 2.334 (a) numaralı sınıfın tamamı ile önden.

III. Yeni malzemenin açıklanması.

Bir okul dersi, öğrencileri belirli bir konuyu incelerken ana konuya yönlendiren ve öğretmenin ve öğrencilerin eğitim materyaline karşı kişisel tutumunun geniş bir gösterimini içeren bir eğitim sürecini organize etme şeklidir. Çünkü Ders anlatımı, materyalin öğretmen tarafından geniş bloklu bir sunumunu sağlar, ardından öğretmen ve öğrenciler arasındaki sözlü iletişim, teknolojisindeki ana şeydir. Öğretmenin sözü duygusal, estetik bir etki yaratır ve konuya karşı belli bir tutum oluşturur. Bir ders yardımıyla sınıftaki çeşitli öğrenci faaliyetleri yönlendirilir ve bilgi, beceri ve yetenekler aracılığıyla eğitim faaliyetinin temeli olarak biliş oluşturulur.

I. Sonu 3 ile biten iki basamaklı sayıları artan sırada yazın.

13; 23; 33;………….93.

Herkese seri numarası 1'den 9'a kadar belirli iki basamaklı bir sayıyla eşleştirin:

1->13; 2->23;………9->93.

İlk dokuz doğal sayı kümesi ile sonu 3 ile biten iki basamaklı sayılar kümesi arasında bir yazışma kurulmuştur. Bu yazışma bir fonksiyondur.

Tanımın alanı (1; 2; 3;……..9)

Birçok değer (13; 23; 33;…….93).

Yazışma f ile gösteriliyorsa, o zaman

Bu sıra par. kullanılarak belirtilebilir.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Tablo No.1

A)

B)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyona sonsuz dizi denir.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- dizinin üyeleri.

Not: Küme kavramı ile dizi kavramını birbirinden ayırmak gerekir.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

Aynı set.

b) ancak diziler 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Çeşitli:

III. Sırayı düşünün:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> sonsuz, artan

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> son, azalan.

İkinciden başlayarak her üye bir öncekinden büyükse diziye artan dizi adı verilir.

B)

Azalan dizinin tanımı verilmiştir.

Artan veya azalan dizilere monotonik denir.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - dalgalanan;

5; 5; 5; 5; ….. - devamlı.

IV. Diziler geometrik olarak gösterilebilir. Çünkü dizi, tanım alanı N kümesi olan bir fonksiyondur, bu durumda grafik, görünüşe göre, (x; y) düzleminin noktaları kümesidir.

Örnek: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Bu diziyi çizelim

Şekil 1.

Örnek: Bu formda verilen bir diziyi kanıtlayın

99; 74; 49; 24; -1;……………

azalıyor.

V. Dizileri belirleme yöntemleri.

Çünkü Bir dizi, N kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur, bu durumda dizileri tanımlamanın beş yolu vardır:

I. Tablo halinde

II. Açıklama yöntemi

III. Analitik

IV. Grafik

V. Tekrarlayan

I. Tablo şeklinde - çok sakıncalı. Bir tablo hazırlayıp onu kullanarak hangi üyeyi tespit edeceğiz? hangi yeri alıyor.....

II. Açıklama yöntemi.

Örnek: Dizi, her üye 4 rakamı kullanılarak yazılacak ve basamak sayısı dizi numarasına eşit olacak şekildedir.

III. Analitik yöntem(formülü kullanarak).

Bir dizinin her bir elemanını n sayısına göre ifade eden formüle dizinin n elemanı için formül denir.

Örneğin:

ve öğrenciler bu dizileri oluştururlar ve bunun tersi de geçerlidir: dizilerin terimleri için bir formül seçin:

a) 1; ;
B) ...
;…………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Grafik yöntemi

- ayrıca pek kullanışlı değil, genellikle kullanmıyorlar.

Monoton bir dizinin limitine ilişkin Weierstrass teoremi Herhangi bir monoton sınırlı dizi(xn) sahip olmak son sınır , tam üst sınıra eşit, destek(xn) azalmayan ve kesin bir alt sınır için, inf(xn)
Artmayan bir dizi için Herhangi bir monotonik sınırsız dizi vardır sonsuz sınır

, azalmayan bir dizi için artı sonsuza ve artmayan bir dizi için eksi sonsuza eşittir.

1) Kanıt azalmayan .

(1.1) .

sınırlı dizi
.
Dizi sınırlı olduğundan sıkı bir üst sınırı vardır

• Bu şu anlama gelir:
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
tüm n'ler için,
Burada da (1.3)'ü kullandık. (1.2) ile birleştirildiğinde şunu buluruz:
.
,
O zamandan beri
Burada da (1.3)'ü kullandık. (1.2) ile birleştirildiğinde şunu buluruz:
veya

2) Teoremin ilk kısmı kanıtlandı. Şimdi sıra şöyle olsun:
(2.1) artmayan sınırlı dizi

Dizi sınırlı olduğundan sıkı bir alt sınırı vardır
.
Bu şu anlama gelir:

• tüm n'ler için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
  (2.2) ;
• herkes için pozitif sayıε'ya bağlı olarak bir sayı vardır;
  (2.3) .

.
Burada da (2.3)'ü kullandık. (2.2)’yi hesaba katarak şunu buluruz:
Burada da (1.3)'ü kullandık. (1.2) ile birleştirildiğinde şunu buluruz:
.
,
O zamandan beri
Burada da (1.3)'ü kullandık. (1.2) ile birleştirildiğinde şunu buluruz:
Bu, sayının dizinin limiti olduğu anlamına gelir.
Teoremin ikinci kısmı kanıtlanmıştır.

Şimdi düşünelim sınırsız diziler.
3) Sıra şöyle olsun sınırsız azalmayan dizi.

Dizi azalmadığı için aşağıdaki eşitsizlikler tüm n'ler için geçerlidir:
(3.1) .

Dizi azalmayan ve sınırsız olduğundan sınırsızdır sağ taraf. O zaman herhangi bir M sayısı için, M'ye bağlı olarak bir sayı vardır;
(3.2) .

Dizi azalmayan olduğundan, o zaman elimizde:
.
Burada da (3.2)'yi kullandık.

.
Bu, dizinin limitinin artı sonsuz olduğu anlamına gelir:
.
Teoremin üçüncü kısmı kanıtlanmıştır.

4) Son olarak, şu durumu düşünün: sınırsız artan olmayan dizi.

Bir öncekine benzer şekilde, dizi artmadığından, o zaman
(4.1) artmayan sınırlı dizi

Dizi artmayan ve sınırsız olduğundan sol tarafta sınırsızdır. O zaman herhangi bir M sayısı için, M'ye bağlı olarak bir sayı vardır;
(4.2) .

Dizi artmayan olduğundan, o zaman elimizde:
.

Dolayısıyla, herhangi bir M sayısı için M'ye bağlı bir doğal sayı vardır, dolayısıyla tüm sayılar için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
.
Bu, dizinin limitinin eksi sonsuza eşit olduğu anlamına gelir:
.
Teorem kanıtlandı.

Sorun çözümü örneği

Weierstrass teoremini kullanarak kanıtlayın dizi yakınsaması:
, , . . . , , . . .
Daha sonra limitini bulun.

Diziyi yinelenen formüller biçiminde temsil edelim:
,
.

Verilen dizinin yukarıdan sınırlandığını kanıtlayalım
(P1) .
Yöntemi kullanarak ispatı gerçekleştiriyoruz matematiksel tümevarım.
.
İzin vermek . Daha sonra
.
Eşitsizlik (A1) kanıtlanmıştır.

Dizinin monoton olarak arttığını kanıtlayalım.
;
(P2) .
O zamandan beri kesrin paydası ve paydaki ilk faktör pozitiftir. Dizinin terimlerinin eşitsizlikle (A1) sınırlandırılmasından dolayı ikinci faktör de pozitiftir. Bu yüzden
.
Yani dizi kesinlikle artıyor.

Dizi artan ve yukarıdan sınırlı olduğundan sınırlı bir dizidir. Dolayısıyla Weierstrass teoremine göre bir limiti vardır.

Bu sınırı bulalım. Bunu a ile gösterelim:
.
Şu gerçeği kullanalım
.
Yakınsak dizilerin limitlerinin aritmetik özelliklerini kullanarak bunu (A2)'ye uygulayalım:
.
Koşul kök tarafından sağlanır.

Eğer herkes doğal sayı n bazılarına atanır gerçek sayı x n ise verildiğini söylüyorlar sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

Sayı X 1'e dizinin bir üyesi denir 1 numara ile veya dizinin ilk terimi, sayı X 2 - dizinin üyesi 2 numara ile veya dizinin ikinci üyesi vb. xn sayısına denir numaralı dizinin üyesi N.

Sayı dizilerini belirtmenin iki yolu vardır - ile ve ile tekrarlanan formül.

Sıra kullanımı formüller genel üye diziler– bu bir sıralı görevdir

X 1 , X 2 , … xn , …

xn teriminin n sayısına bağımlılığını ifade eden bir formül kullanarak.

Örnek 1. Sayı dizisi

1, 4, 9, … N 2 , …

ortak terim formülü kullanılarak verilir

xn = N 2 , N = 1, 2, 3, …

Bir dizi üyesi x n'yi önceki sayıları içeren dizi üyeleri aracılığıyla ifade eden bir formül kullanarak bir dizi belirtmeye, kullanarak bir dizi belirtme adı verilir. tekrarlanan formül.

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde artan sırayla, Dahaönceki üye

Başka bir deyişle herkes için N

X N + 1 >X N

Örnek 3. Doğal sayılar dizisi

1, 2, 3, … N, …

öyle artan dizi.

Tanım 2. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde azalan dizi eğer bu dizinin her bir üyesi azönceki üye

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

X N + 1 < X N

Örnek 4. Alt sıra

formül tarafından verilen

öyle azalan dizi.

Örnek 5. Sayı dizisi

1, - 1, 1, - 1, …

formül tarafından verilen

xn = (- 1) N , N = 1, 2, 3, …

değil ne artıyor ne de azalıyor sekans.

Tanım 3. Artan ve azalan sayı dizilerine denir monoton diziler.

Sınırlı ve Sınırsız Diziler

Tanım 4. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde yukarıdan sınırlı, eğer bu dizinin her bir üyesini sağlayacak bir M sayısı varsa az sayılar M.

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Tanım 5. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde aşağıda sınırlı eğer bu dizinin her bir üyesini öyle bir m sayısı varsa Daha sayılar m.

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Tanım 6. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

eğer sınırlıysa denir hem üstü hem de altı sınırlıdır.

Başka bir deyişle, M ve m sayıları vardır, öyle ki herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

M< x n < M

Tanım 7. Sayı dizileri, Hangi sınırlı değil, isminde sınırsız diziler.

Örnek 6. Sayı dizisi

1, 4, 9, … N 2 , …

formül tarafından verilen

xn = N 2 , N = 1, 2, 3, … ,

aşağıda sınırlı, örneğin 0 sayısı. Ancak bu dizi yukarıdan sınırsız.

Örnek 7. Alt sıra

formül tarafından verilen

öyle sınırlı dizi, çünkü herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Web sitemizde ayrıca Resolventa eğitim merkezi öğretmenleri tarafından Birleşik Devlet Sınavı ve matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık için geliştirilen eğitim materyallerini de öğrenebilirsiniz.

İyi hazırlanmak ve başarılı olmak isteyen okul çocukları için Matematik veya Rus dilinde Birleşik Devlet Sınavı Açık yüksek puan, eğitim merkezi"Resolventa" yönetiyor

Dizinin monotonluğu

Monotonik dizi- aşağıdaki koşullardan birini karşılayan dizi:

Monotonik diziler arasında aşağıdakiler öne çıkıyor: kesinlikle monoton Aşağıdaki koşullardan birini karşılayan diziler:

Bazen "artan dizi" teriminin "azalan dizi" teriminin eşanlamlısı olduğu ve "azalan dizi" teriminin "artan dizi" teriminin eşanlamlısı olduğu kabul edilen bir terminoloji çeşidi kullanılır. ". Böyle bir durumda yukarıdaki tanımdan artan ve azalan dizilere sırasıyla “kesinlikle artan” ve “kesinlikle azalan” denir.

Bazı genellemeler

Yukarıdaki koşulların tüm sayılar için karşılanmadığı, yalnızca belirli bir aralıktaki sayılar için karşılandığı ortaya çıkabilir.

(burada sağ sınırın tersine çevrilmesine izin verilir) N+ sonsuza kadar). Bu durumda dizi çağrılır aralıkta monoton BEN ve aralığın kendisi BEN isminde bir monotonluk aralığı diziler.

Örnekler

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Bir dizinin monotonluğu” nun ne olduğuna bakın: Özelliklerin incelenmesiyle ilgili matematik dalıçeşitli işlevler . Fonksiyonlar teorisi iki alana ayrılır: gerçek değişkenli fonksiyonlar teorisi ve karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi; aralarındaki fark o kadar büyüktür ki... ...

Collier Ansiklopedisi Sahte rastgele dizilerin test edilmesi, belirli bir sözde rastgele dizinin rastgele bir diziye yakınlık derecesinin belirlenmesine yönelik bir dizi yöntemdir. Bu ölçü genellikle varlığıdır düzgün dağılım

, büyük... ... Vikipedi Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Ölçü. Bir kümenin ölçüsü negatif olmayan bir niceliktir ve sezgisel olarak kümenin boyutu (hacmi) olarak yorumlanır. Aslında bu bir ölçü sayısal fonksiyon

Ünlü yazar. Cins. 1871'de Orel'de; babası bir kadastrocuydu. Oryol spor salonunda ve St. Petersburg ve Moskova üniversitelerinde okudu. Hukuk Fakültesi. Öğrencinin çok ihtiyacı vardı. İşte o zaman ilk öyküsünü yazdı: “hakkında... ... Büyük biyografik ansiklopedi

Çözümün yerini alan yöntemleri çözmek için sayısal yöntemler sınır değeri problemi ayrık bir problemin çözümü (bkz. Doğrusal sınır değeri problemi; sayısal çözüm yöntemleri ve Doğrusal olmayan denklem; sayısal çözüm yöntemleri). Pek çok durumda, özellikle de düşünürken... ... Matematik Ansiklopedisi

Voynich el yazması kullanılarak yazılmıştır. bilinmeyen sistem harfler Voynich El Yazması (eng. Voyni ... Wikipedia

Bilinmeyen bir yazı sistemi kullanılarak yazılan Voynich El Yazması - yaklaşık 500 yıl önce yazılmış gizemli bir kitap bilinmeyen yazar, Açık bilinmeyen dil Bilinmeyen bir alfabe kullanarak. Voynich el yazması... ... Vikipedi

Sigismondo d'India (İtalyanca: Sigismondo d India, c. 1582, Palermo? - 19 Nisan 1629, Modena) İtalyan besteci. İçindekiler 1 Biyografi 2 Yaratıcılık ... Vikipedi

Modernizasyon- (Modernleşme) Modernizasyon, modernitenin gereklerine uygun olarak bir şeyin değiştirilmesi, daha ileri koşullara geçiş, çeşitli yeni güncellemelerin getirilmesi sürecidir. Modernleşme teorisi, modernizasyon türleri, organik... ... Yatırımcı Ansiklopedisi

Analardan biri matematiksel kavramlar matematiğin gelişmesiyle birlikte anlamı bir takım genellemelere konu olmuştur. I. Öklid'in "Elementler"inde (M.Ö. 3. yüzyıl) bile, şimdi V. olarak adlandırılan özellikler, onları diğerlerinden ayırmak için açıkça formüle edilmiştir... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Tanım 1. Dizinin adı azalan (artmayan ), eğer herkes için
eşitsizlik geçerli
.

Tanım 2. Tutarlılık
isminde artan (azalmayan ), eğer herkes için
eşitsizlik geçerli
.

Tanım 3. Azalan, artmayan, artan ve azalmayan dizilere denir monoton azalan ve artan dizilere de denir kesinlikle monoton diziler.

Açıkçası, azalmayan bir dizi alttan, artmayan bir dizi ise yukarıdan sınırlanmıştır. Bu nedenle herhangi bir monotonik dizi açıkça bir tarafta sınırlıdır.

Örnek 1. Tutarlılık
artar, azalmaz,
azalır
artmaz
– monotonik olmayan dizi.

Monotonik diziler için aşağıdakiler önemli bir rol oynar:

Teorem 1. Azalan (artmayan) bir dizi yukarıdan (aşağıdan) sınırlıysa yakınsar.

Kanıt. Sıraya izin ver
azalmaz ve yukarıdan sınırlanır;
ve birçok
yukarıdan sınırlıdır. Teorem 1 § 2'ye göre
. Hadi bunu kanıtlayalım
.

Hadi alalım
keyfi olarak. O zamandan beri A– tam üst sınır, bir sayı var N Öyle ki
. Dizi azalmayan bir dizi olduğundan herkes için
bizde var, yani
, Bu yüzden
herkes için
ve bu şu anlama geliyor
.

Aşağıda sınırlı artmayan bir dizi için ispat şuna benzer: ( öğrenciler bu ifadeyi evde kendi başlarına kanıtlayabilirler). Teorem kanıtlandı.

Yorum. Teorem 1 farklı şekilde formüle edilebilir.

Teorem 2. Monoton bir dizinin yakınsak olabilmesi için sınırlı olması gerekli ve yeterlidir.

Yeterlilik Teorem 1'de, gereklilik ise § 5'in Teorem 2'sinde tesis edilmiştir.

Yakınsak bir dizinin mutlaka monoton olması gerekmediğinden, bir dizinin yakınsaması için monotonluk koşulu gerekli değildir. Örneğin, dizi
monoton değildir ancak sıfıra yakınsar.

Sonuçlar. Eğer sıra
artar (azalır) ve yukarıdan (aşağıdan) sınırlanırsa, o zaman
(
).

Aslında Teorem 1'e göre
(
).

Tanım 4. Eğer
en
, daha sonra dizi çağrılır iç içe geçmiş bölümlerin sözleşme sistemi .

Teorem 3 (iç içe geçmiş bölümler ilkesi). İç içe geçmiş bölümlerden oluşan her sözleşme sisteminin benzersiz bir noktası vardır İle, bu sistemin tüm bölümlerine aittir.

Kanıt. Asıl meselenin bu olduğunu kanıtlayalım İle var. O zamandan beri
, O
ve bu nedenle dizi
azalmaz ama dizi
artmaz. Aynı zamanda
Ve
sınırlı çünkü. O halde Teorem 1'e göre,
Ve
ama o zamandan beri
, O
=
. Bulunan nokta İle Teorem 1'in doğal sonucu olarak sistemin tüm bölümlerine aittir
,
, yani
tüm değerler için N.

Şimdi asıl noktayı gösterelim İle- tek kişi. Böyle iki nokta olduğunu varsayalım: İle Ve D ve kesinlik için izin ver
. Daha sonra segment
tüm segmentlere ait
, yani
herkes için N bu imkansız çünkü
ve dolayısıyla belirli bir sayıdan başlayarak,
. Teorem kanıtlandı.

Burada önemli olanın kapalı aralıkların dikkate alınması olduğunu unutmayın. segmentler. Eğer bir daralma aralıkları sistemi düşünürsek, o zaman prensip genel anlamda yanlıştır. Örneğin aralıklar
belli ki bir noktaya kadar daralmış
ancak nokta
bu sistemin herhangi bir aralığına ait değildir.

Şimdi yakınsak monotonik dizilerin örneklerini ele alalım.

1) Sayı e.

Şimdi sırayı ele alalım
. Nasıl davranıyor? Temel

derece
, Bu yüzden
? Diğer tarafta,
, A
, Bu yüzden
? Yoksa herhangi bir sınır yok mu?

Bu soruları cevaplamak için yardımcı diziyi düşünün
. Azaldığını ve aşağıda sınırlı olduğunu kanıtlayalım. Aynı zamanda ihtiyacımız olacak

Lemma. Eğer
, o zaman tüm doğal değerler için N sahibiz

(Bernoulli eşitsizliği).

Kanıt. Matematiksel tümevarım yöntemini kullanalım.

Eğer
, O
, yani eşitsizlik doğrudur.

için doğru olduğunu varsayalım.
ve geçerliliğini kanıtlamak
+1.

Sağ
. Bu eşitsizliği şu şekilde çarpalım:
:

Böylece, . Bu, matematiksel tümevarım ilkesine göre Bernoulli eşitsizliğinin tüm doğal değerler için geçerli olduğu anlamına gelir. N. Lemma kanıtlanmıştır.

Sıranın bu olduğunu gösterelim
azalır. Sahibiz

Bernoulli eşitsizliği
, ve bu da dizinin şu anlama geldiği anlamına gelir:
azalır.

Aşağıdan sınırlılık eşitsizlikten kaynaklanır
Bernoulli eşitsizliği
tüm doğal değerler için N.

Teorem 1'e göre
, harfle gösterilir e. Bu yüzden
.

Sayı e irrasyonel ve aşkın, e= 2,718281828… . Bilindiği gibi doğal logaritmanın temelidir.

Notlar. 1) Bernoulli eşitsizliği şunu kanıtlamak için kullanılabilir:
en
. Gerçekten eğer
, O
. O zaman Bernoulli eşitsizliğine göre
. Dolayısıyla,
sahibiz
yani
en
.

2) Yukarıda tartışılan örnekte derecenin temeli 1'e eğilimlidir ve üs N- İle yani formda belirsizlik var . Bu tür bir belirsizlik, gösterdiğimiz gibi, dikkate değer sınırla ortaya çıkar.
.

2)
(*)

Bu dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için alttan sınırlı olduğunu ve artmadığını gösteriyoruz. Bu durumda eşitsizliği kullanırız.
herkes için
eşitsizliğin bir sonucu olan
.

Sahibiz
bakın eşitsizlik daha yüksek
, yani dizi aşağıda sayıyla sınırlanmıştır
.

Sonraki,
beri

, yani sıra artmaz.

Teorem 1'e göre
, belirttiğimiz X. Eşitlik (*) ile limite geçilmesi
, alıyoruz

, yani
, Neresi
(dizideki tüm terimler pozitif olduğundan artı işaretini alıyoruz).

Hesaplamada (*) dizisi kullanılmıştır
yaklaşık olarak. İçin herhangi bir pozitif sayıyı al. Örneğin, bulalım
. İzin vermek
. Daha sonra
,. Böylece,
.

3)
.

Sahibiz
. O zamandan beri
en
, bir numara var Nöyle ki herkes için
eşitsizlik geçerli
. Yani sıra
, bir sayıdan başlayarak N, azalır ve aşağıda sınırlanır, çünkü
tüm değerler için N. Bu, Teorem 1'e göre şu anlama gelir:
. O zamandan beri
, sahibiz
.

Bu yüzden,
.

4)
, Sağ - N kökler.

Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak şunu göstereceğiz:
tüm değerler için N. Sahibiz
. İzin vermek
. Daha sonra buradan matematiksel tümevarım ilkesine dayanan bir ifade elde ederiz. Bu gerçeği kullanarak şunu buluyoruz: alt dizi
artar ve yukarıdan sınırlanır. Bu nedenle var çünkü
.

Böylece,
.