Bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme (bilinmeyenlerin sıralı eliminasyonu)

Gauss yöntemi doğrusal sistemleri çözmek için mükemmel cebirsel denklemler(SLAU). Diğer yöntemlere göre bir takım avantajları vardır:

• öncelikle tutarlılık açısından denklem sistemini incelemeye gerek yoktur;
• ikinci olarak, Gauss yöntemi yalnızca denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı SLAE'leri değil, aynı zamanda denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerle çakışmadığı denklem sistemlerini de çözebilir. bilinmeyen değişkenlerin sayısı veya ana matrisin determinantı sıfıra eşit;
• üçüncü olarak, Gauss yöntemi göreceli olarak sonuçlara yol açmaktadır. az miktarda hesaplama işlemleri.

Makaleye kısa genel bakış.

Önce verelim gerekli tanımlar ve gösterimi tanıtın.

Daha sonra, en basit durum için Gauss yönteminin algoritmasını açıklayacağız, yani doğrusal cebirsel denklem sistemleri için, bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışan denklemlerin sayısı ve sistemin ana matrisinin determinantı şöyledir: sıfıra eşit değil. Bu tür denklem sistemlerini çözerken, Gauss yönteminin özü en açık şekilde görülebilir; bu, bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasıdır. Bu nedenle Gauss yöntemine bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi de denir. sana göstereceğiz detaylı çözümler birkaç örnek.

Sonuç olarak, ana matrisi dikdörtgen veya tekil olan lineer cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümünü ele alacağız. Bu tür sistemlerin çözümü, örneklerle detaylı olarak inceleyeceğimiz bazı özelliklere sahiptir.

Sayfada gezinme.

Temel tanımlar ve gösterimler.

Bir p sistemi düşünün doğrusal denklemler n bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir):

Bilinmeyen değişkenler, sayılar (gerçek veya karmaşık) ve serbest terimlerdir.

Eğer , o zaman doğrusal cebirsel denklemler sistemi denir homojen, aksi takdirde - heterojen.

Sistemin tüm denklemlerinin özdeşlik haline geldiği bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesine denir SLAU'nun kararı.

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri, aksi takdirde - uyumsuz.

SLAE varsa tek karar, o zaman denir kesin. Birden fazla çözüm varsa sistem çağrılır. belirsiz.

Sistemin yazılı olduğunu söylüyorlar koordinat formu , eğer formu varsa
.

Bu sistem de matris formu kayıtlar şu şekildedir: - SLAE'nin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenler sütununun matrisi, - serbest terimler matrisi.

A matrisine (n+1)'inci sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Genellikle genişletilmiş matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu ayrılır dikey çizgi kalan sütunlardan, yani

A kare matrisi denir dejenere determinantı sıfır ise. Eğer ise A matrisi denir dejenere olmayan.

Aşağıdaki noktaya dikkat edilmelidir.

Aşağıdaki işlemleri bir doğrusal cebirsel denklem sistemiyle gerçekleştirirseniz

• iki denklemin yerini değiştir,
• herhangi bir denklemin her iki tarafını keyfi ve sıfır olmayan bir gerçek (veya karmaşık) sayı k ile çarpın,
• herhangi bir denklemin her iki tarafına başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarını şununla çarparak ekleyin: Rasgele sayı k,

bu işe yarayacak eşdeğer sistem Aynı çözümlere sahip olan (veya orijinalindeki gibi hiçbir çözümü olmayan).

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genişletilmiş matrisi için bu eylemler, satırlarla temel dönüşümlerin gerçekleştirilmesi anlamına gelecektir:

• iki satırı değiştirerek,
• T matrisinin herhangi bir satırının tüm elemanlarını sıfırdan farklı bir k sayısıyla çarpmak,
• Bir matrisin herhangi bir satırının elemanlarına başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının rastgele bir k sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

Artık Gauss yönteminin açıklamasına geçebiliriz.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı doğrusal cebirsel denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

Bir denklem sistemine çözüm bulma görevi bize verilseydi okulda ne yapardık? .

Bazıları bunu yapardı.

İkinci denklemin sol tarafına ekleme yapıldığına dikkat edin Sol Taraf ilk olarak ve sağ tarafta - sağ tarafta, bilinmeyen x 2 ve x 3 değişkenlerinden kurtulabilir ve hemen x 1'i bulabilirsiniz:

Bulunan x 1 =1 değerini sistemin birinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Sistemin üçüncü denkleminin her iki tarafını -1 ile çarpıp birinci denklemin karşılık gelen kısımlarına eklersek bilinmeyen x 3 değişkeninden kurtuluruz ve x 2'yi bulabiliriz:

Ortaya çıkan x 2 = 2 değerini üçüncü denklemde yerine koyarız ve kalan bilinmeyen değişken x 3'ü buluruz:

Diğerleri farklı yapardı.

Sistemin ilk denklemini bilinmeyen x 1 değişkenine göre çözelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde bu değişkeni hariç tutmak için yerine koyalım:

Şimdi sistemin ikinci denklemini x 2 için çözelim ve elde edilen sonucu üçüncü denklemde yerine koyarak bilinmeyen x 2 değişkenini ortadan kaldıralım:

Sistemin üçüncü denkleminden x 3 =3 olduğu açıktır. Bulduğumuz ikinci denklemden ve elde ettiğimiz ilk denklemden.

Tanıdık çözümler, değil mi?

Buradaki en ilginç şey, ikinci çözüm yönteminin esasen bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi yani Gauss yöntemi olmasıdır. Bilinmeyen değişkenleri (ilk x 1, sonraki aşamada x 2) ifade edip sistemin geri kalan denklemlerine yerleştirdiğimizde onları dışarıda bırakmış oluyoruz. Son denklemde tek bir bilinmeyen değişken kalana kadar yok etme işlemi yaptık. Bilinmeyenlerin sırayla ortadan kaldırılması işlemine ne ad verilir? doğrudan Gauss yöntemi. İleriye doğru hamleyi tamamladıktan sonra son denklemde bulunan bilinmeyen değişkeni hesaplama fırsatına sahip oluyoruz. Onun yardımıyla sondan bir önceki denklemden bir sonraki bilinmeyen değişkeni buluruz vb. İşlem sıralı bulma Son denklemden ilkine geçerken bilinmeyen değişkenlere denir Gauss yönteminin tersi.

İlk denklemde x 1'i x 2 ve x 3 cinsinden ifade ettiğimizde ve elde edilen ifadeyi ikinci ve üçüncü denklemlerde değiştirdiğimizde, aşağıdaki eylemlerin aynı sonuca yol açacağına dikkat edilmelidir:

Aslında böyle bir prosedür, bilinmeyen x 1 değişkeninin sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkarılmasını da mümkün kılar:

Sistem denklemleri bazı değişkenler içermediğinde, Gauss yöntemini kullanarak bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasıyla ilgili nüanslar ortaya çıkar.

Örneğin, SLAU'da birinci denklemde bilinmeyen x 1 değişkeni yoktur (yani önündeki katsayı sıfırdır). Dolayısıyla bu bilinmeyen değişkeni kalan denklemlerden çıkarmak için sistemin ilk denklemini x 1 için çözemeyiz. Bu durumdan çıkmanın yolu sistemin denklemlerini değiştirmektir. Ana matrislerin determinantları sıfırdan farklı olan lineer denklem sistemlerini ele aldığımız için her zaman ihtiyacımız olan değişkenin bulunduğu bir denklem vardır ve bu denklemi ihtiyacımız olan konuma yeniden düzenleyebiliriz. Örneğimiz için sistemin birinci ve ikinci denklemlerinin yer değiştirmesi yeterlidir. , daha sonra x 1 için ilk denklemi çözebilir ve onu sistemin geri kalan denklemlerinden hariç tutabilirsiniz (her ne kadar x 1 artık ikinci denklemde mevcut olmasa da).

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Hadi tarif edelim Gauss yöntemi algoritması.

n bilinmeyenli n tane lineer cebirsel denklemden oluşan bir sistemi çözmemiz gerektiğini varsayalım. formun değişkenleri ve ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olmasına izin verin.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi çarpıyoruz, dördüncü denkleme ikinciyi ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinciyi çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem aşağıdaki formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ederiz.

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, x n'nin elde edilen değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Bir örnek kullanarak algoritmaya bakalım.

Örnek.

Gauss yöntemi.

Çözüm.

a 11 katsayısı sıfır değildir, bu nedenle Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine, yani bilinmeyen x 1 değişkeninin birincisi hariç sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulmasına geçelim. Bunu yapmak için ikinci, üçüncü ve sağ kısımların sol ve sağ kısımlarına dördüncü denklem birinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla ile çarparak toplayalım, Ve :

Bilinmeyen x 1 değişkeni elendi, şimdi x 2'yi yok etmeye geçelim. Sistemin üçüncü ve dördüncü denklemlerinin sol ve sağ taraflarına, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamlamak için sistemin son denkleminden bilinmeyen x3 değişkenini çıkarmamız gerekir. Dördüncü denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla üçüncü denklemin sol ve sağ taraflarını çarparak ekleyelim. :

Gauss yöntemini tersine çevirmeye başlayabilirsiniz.

Elimizdeki son denklemden ,
elde ettiğimiz üçüncü denklemden,
ikinciden itibaren,
ilkinden.

Kontrol etmek için bilinmeyen değişkenlerin elde edilen değerlerini orijinal denklem sistemine değiştirebilirsiniz. Tüm denklemlerin özdeşliğe dönüşmesi Gauss yöntemini kullanan çözümün doğru bulunduğunu gösterir.

Cevap:

Şimdi aynı örneğe matris gösteriminde Gauss yöntemini kullanarak bir çözüm verelim.

Örnek.

Denklem sisteminin çözümünü bulun Gauss yöntemi.

Çözüm.

Sistemin genişletilmiş matrisi şu şekildedir: . Her sütunun üstünde matrisin elemanlarına karşılık gelen bilinmeyen değişkenler bulunur.

Buradaki Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı, sistemin genişletilmiş matrisinin temel dönüşümler kullanılarak yamuk forma indirilmesini içerir. Bu işlem, sistemle koordinat formunda yaptığımız bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasına benzer. Şimdi bunu göreceksiniz.

Matrisi, ikinci sütundan başlayarak ilk sütundaki tüm öğeler sıfır olacak şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, birinci satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz, ve buna göre:

Daha sonra, ortaya çıkan matrisi, ikinci sütunda üçüncüden başlayarak tüm öğelerin sıfır olacağı şekilde dönüştürüyoruz. Bu, bilinmeyen x 2 değişkeninin ortadan kaldırılmasına karşılık gelecektir. Bunu yapmak için, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, matrisin ilk satırının karşılık gelen elemanlarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Geriye bilinmeyen x3 değişkenini sistemin son denkleminden hariç tutmak kalır. Bunu yapmak için, elde edilen matrisin son satırının elemanlarına, sondan bir önceki satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz: :

Bu matrisin bir doğrusal denklem sistemine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.

ileri bir hamleden sonra daha erken elde edildi.

Geri dönmenin zamanı geldi. Matris gösteriminde, Gauss yönteminin tersi, elde edilen matrisin şekilde işaretlenen matrisi elde edecek şekilde dönüştürülmesini içerir.

köşegen oldu, yani şeklini aldı

bazı sayılar nerede?

Bu dönüşümler Gauss yönteminin ileri dönüşümlerine benzer ancak ilk satırdan sonuncuya değil, sondan birinciye doğru gerçekleştirilir.

Üçüncü, ikinci ve birinci satırların elemanlarına, son satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleyin: , durmadan sırasıyla:

Şimdi ikinci ve birinci satırların elemanlarına üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleyin:

Ters Gauss yönteminin son adımında, ilk satırın elemanlarına ikinci satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz:

Ortaya çıkan matris denklem sistemine karşılık gelir bilinmeyen değişkenleri bulduğumuz yerden.

Cevap:

NOT.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini kullanırken, tamamen yanlış sonuçlara yol açabileceğinden yaklaşık hesaplamalardan kaçınılmalıdır. Ondalık sayıları yuvarlamamanızı öneririz. Daha iyi ondalık sayılar sıradan kesirlere geçin.

Örnek.

Gauss yöntemini kullanarak üç denklemden oluşan bir sistemi çözme .

Çözüm.

Bu örnekte bilinmeyen değişkenlerin farklı bir atamaya sahip olduğuna dikkat edin (x 1, x 2, x 3 değil, x, y, z). Sıradan kesirlere geçelim:

Bilinmeyen x'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım:

Ortaya çıkan sistemde, bilinmeyen değişken y ikinci denklemde yok ama üçüncü denklemde y mevcut, bu nedenle ikinci ve üçüncü denklemleri yer değiştirelim:

Bu, Gauss yönteminin doğrudan ilerleyişini tamamlar (bu bilinmeyen değişken artık mevcut olmadığından y'yi üçüncü denklemden çıkarmaya gerek yoktur).

Ters harekete başlayalım.

Bulduğumuz son denklemden ,
sondan bir öncekinden


elimizdeki ilk denklemden

Cevap:

X = 10, y = 5, z = -20.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşmediği veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi.

Ana matrisi dikdörtgen veya kare tekil olan denklem sistemlerinin çözümleri olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz küme kararlar.

Şimdi Gauss yönteminin bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlememize ve uyumlu olması durumunda tüm çözümleri (veya tek bir çözümü) belirlememize nasıl izin verdiğini anlayacağız.

Prensip olarak, bu tür SLAE'ler durumunda bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırma süreci aynı kalır. Ancak ortaya çıkabilecek bazı durumlar hakkında detaya inmekte fayda var.

Gelelim en önemli aşamaya.

Dolayısıyla, Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamladıktan sonra doğrusal cebirsel denklemler sisteminin şu şekli aldığını varsayalım: ve tek bir denklem bile indirgenmedi (bu durumda sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırdık). Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: "Bundan sonra ne yapmalı?"

Ortaya çıkan sistemin tüm denklemlerinde ilk sırada yer alan bilinmeyen değişkenleri yazalım:

Örneğimizde bunlar x 1, x 4 ve x 5'tir. Sistemin denklemlerinin sol taraflarında yalnızca yazılı bilinmeyen değişkenler x 1, x 4 ve x 5'i içeren terimleri bırakıyoruz, geri kalan terimler ters işaretle denklemlerin sağ tarafına aktarılıyor:

Denklemlerin sağ tarafında yer alan bilinmeyen değişkenlere keyfi değerler verelim; - keyfi sayılar:

Bundan sonra SLAE'mizin tüm denklemlerinin sağ tarafları sayılar içerir ve Gauss yönteminin tersine ilerleyebiliriz.

Sistemin sahip olduğumuz son denkleminden, bulduğumuz sondan bir önceki denklemden, elde ettiğimiz ilk denklemden

Bir denklem sisteminin çözümü, bilinmeyen değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir

Numara Vermek Farklı anlamlar, Alacağız çeşitli çözümler denklem sistemleri. Yani denklem sistemimizin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Nerede - keyfi sayılar.

Malzemeyi pekiştirmek için birkaç örneğin daha çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Örnek.

Karar vermek homojen sistem doğrusal cebirsel denklemler Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için ikinci denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla birinci denklemin sol ve sağ taraflarını ile çarparak, üçüncü denklemin sol ve sağ taraflarına ise sol ve sağ taraflarını ekliyoruz. ilk denklemin sağ tarafları şununla çarpılır:

Şimdi ortaya çıkan denklem sisteminin üçüncü denkleminden y'yi hariç tutalım:

Ortaya çıkan SLAE, sisteme eşdeğerdir .

Sistem denklemlerinin sol tarafında yalnızca bilinmeyen x ve y değişkenlerini içeren terimleri bırakıp, bilinmeyen z değişkenini içeren terimleri sağ tarafa taşıyoruz:

(SLAE), bilinmeyenli denklemlerden oluşur:

Yani sisteme tek bir çözümün olduğu varsayılmaktadır.

Bu makalede, Gauss yöntemini kullanarak bir sistemi çözerken ortaya çıkan hatanın nedenleri, bu hatayı belirleme ve ortadan kaldırma (azaltma) yolları tartışılacaktır.

Yöntemin açıklaması

Doğrusal denklem sistemini çözme süreci

Gauss yöntemine göre 2 aşamadan oluşur:

• Tersi Doğrudan tanım Bilinmeyen

Yöntemin analizi

Bu yöntem, bir denklem sistemini çözmek için doğrudan yöntemler sınıfına aittir; bu, şu anlama gelir: son sayı Adımlarda, giriş verilerinin (matris ve matris) sağlanması koşuluyla kesin bir çözüm elde edebilirsiniz. sağ kısım denklemleri - ) tam olarak belirtilir ve hesaplama yuvarlama yapılmadan gerçekleştirilir. Çözüm elde etmek için çarpma ve bölme işlemleri yani işlem sırası gereklidir.

Yöntemin kesin bir çözüm ürettiği koşullar pratikte mümkün değildir; hem girdi verisi hataları hem de yuvarlama hataları kaçınılmazdır. O zaman şu soru ortaya çıkıyor: Gauss yöntemi kullanılarak ne kadar doğru bir çözüm elde edilebilir, yöntem ne kadar doğrudur? Giriş parametrelerine göre çözümün kararlılığını belirleyelim. Orijinal sistemin yanı sıra bozulmuş sistemi de göz önünde bulundurun:

Bazı normların getirilmesine izin verin. - matrisin koşul numarası olarak adlandırılır.

3 olası durum vardır:

Bir matrisin koşul numarası her zaman . Büyükse (), matrisin kötü koşullandığı söylenir. Bu durumda sistemin sağ tarafında ya başlangıç ​​verilerinin belirtilmesindeki yanlışlıktan ya da hesaplama hatalarından kaynaklanan küçük bozulmalar sistemin çözümünü önemli ölçüde etkiler. Kabaca söylemek gerekirse, eğer sağ tarafın hatası ise, o zaman çözümün hatası da olacaktır.

Elde edilen sonuçları aşağıdaki sayısal örnekle açıklayalım: Verilen bir sistem

Onun bir çözümü var.

Şimdi tedirgin sistemi düşünün:

Böyle bir sistemin çözümü bir vektör olacaktır.

Sağ tarafta çok küçük bir tedirginlikle kıyaslanamaz bir sonuç elde ettik büyük öfkeçözümler. Çözümün bu "güvenilmezliği", matrisin neredeyse tekil olmasıyla açıklanabilir: iki denkleme karşılık gelen düz çizgiler, grafikte görülebileceği gibi neredeyse çakışmaktadır:

Bu sonuç, matrisin zayıf koşulluluğu nedeniyle tahmin edilebilirdi:

Hesaplama oldukça karmaşıktır, tüm sistemin çözümüyle karşılaştırılabilir, bu nedenle hatayı tahmin etmek için daha basit ancak uygulaması daha basit yöntemler kullanılır.

Hataları değerlendirme yöntemleri

Sistemin kontrol elemanlarından oluşan bir kontrol sütunu oluşturuyoruz:

Denklemleri dönüştürürken, kontrol elemanları üzerinde denklemlerin serbest terimleriyle aynı işlemler gerçekleştirilir. Sonuç olarak kontrol elemanı Her yeni denklemin değeri bu denklemin katsayılarının toplamına eşit olmalıdır. Aralarında büyük bir tutarsızlık, hesaplamalardaki hataları veya hesaplama algoritmasının hesaplama hatasına göre kararsızlığını gösterir.

2) Bilinen bir çözümün göreceli hatası önemli ek maliyetler olmadan kararın hatası hakkında bir yargıya varmanızı sağlar.

İstenilen çözümün bileşenleri ile mümkünse aynı sıra ve işarete sahip bileşenlerle belirli bir vektör belirtilir. Vektör hesaplanır ve sistem orijinal denklem sistemiyle birlikte çözülür.

Bu sistemlerin gerçekte elde edilen çözümleri olsun ve olsun. İstenilen çözümün hatası hakkında bir yargıya hipoteze dayanarak ulaşılabilir: göreceli hatalar Aynı matrise ve farklı sağ taraflara sahip sistemler, yani miktarlar sırasıyla eleme yöntemiyle çözülürken, çok fazla farklılık göstermezler. Büyük sayı bir kere.

3) Ölçekleri değiştirme - Hesaplamalarda yuvarlama nedeniyle ortaya çıkan hatanın gerçek büyüklüğü hakkında fikir edinmek için kullanılan bir teknik.

Orijinal sistemle birlikte sistem aynı yöntemle çözülür.

Yuvarlama hatası olmasaydı, orijinal ve ölçeklendirilmiş sistemlerin çözümleri için eşitlik geçerli olurdu: . Bu nedenle ikinin kuvvetleri olmayan ve için vektörlerin karşılaştırılması hesaplama hatasının büyüklüğü hakkında fikir verir.

Gauss Eliminasyon Yönteminin Geliştirilmesi

Aşağıda tartışılan Gauss yöntemindeki değişiklikler sonucun hatasını azaltabilir.

Ana elemanın seçilmesi

Yöntemdeki hatadaki ana artış, ileri hareket sırasında, öndeki satır katsayılarla çarpıldığında meydana gelir. Katsayılar 1%20" alt= >1 "> ise önceki adımlarda elde edilen hatalardır. Bunu önlemek için, ana elemanın seçimi ile yöntemin bir modifikasyonu uygulanır. Her adımda, olağan devreye bir seçim eklenir. maksimum eleman aşağıdaki gibi sütuna göre:

Bilinmeyenlerin elenmesiyle denklem sistemi elde edilsin:

-e ve -e seviyelerinin yerlerini değiştirecek şekilde bulalım.

Çoğu durumda böyle bir dönüşüm, çözümün hesaplamalardaki yuvarlama hatalarına karşı duyarlılığını önemli ölçüde azaltır.

Sonucun yinelemeli iyileştirilmesi

Ortaya çıkan çözümün ciddi şekilde bozulduğuna dair bir şüphe varsa, sonucu aşağıdaki şekilde iyileştirebilirsiniz. miktarına artık denir. Hata denklem sistemini karşılıyor

Bu sistemi çözerek bir yaklaşıklık elde ederiz ve şunu varsayarız:

Bu yaklaşımın doğruluğu tatmin edici değilse, bu işlemi tekrarlarız.

Tüm bileşenler yeterince küçük olana kadar işleme devam edilebilir. Bu durumda, artık vektörünün tüm bileşenleri yeterince küçük olduğu için hesaplamaları durduramazsınız: bu, katsayı matrisinin kötü koşullandırılmasının bir sonucu olabilir.

Sayısal örnek

Örneğin 7x7'lik bir Vandermonde matrisini ve 2 farklı sağ tarafı düşünün:

Bu sistemler iki şekilde çözüldü. Veri türü - kayan nokta. Sonuç olarak aşağıdaki sonuçları elde ettik:

Çözülmesi gereken bir doğrusal cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini eşitliğe dönüştüren bilinmeyen xi değerlerini bulun).

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:

1) Çözümünüz yok (olun) uyumsuz).
2) Sonsuz sayıda çözümü var.
3) Tek bir çözümünüz olsun.

Hatırladığımız gibi Cramer kuralı ve matris yöntemi sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, Hangi her durumda bizi cevaba götürecek! Yöntemin algoritması her bakımdan üç vaka aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yöntemini uygulamak için yalnızca bilgiye ihtiyacınız vardır. Aritmetik işlemler Bu da onu ilkokul öğrencilerinin bile erişebilmesini sağlıyor.

Artırılmış matris dönüşümleri ( bu sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından ve serbest terimlerden oluşan bir sütundan oluşan bir matris) Gauss yöntemindeki doğrusal cebirsel denklem sistemleri:

1) İle troki matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde.

2) eğer orantılı olanlar matriste görünüyorsa (veya mevcutsa) (olarak özel durum– aynı) çizgiler, ardından takip eder silmek Bu satırların biri hariç tümü matristendir.

3) dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman da olmalıdır silmek.

4) matrisin bir satırı olabilir çarpmak (bölmek) sıfırdan başka herhangi bir sayıya.

5) bir matris satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı.

Gauss yönteminde elemanter dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:

1. "Doğrudan hareket" - temel dönüşümleri kullanarak, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" adım formuna getirin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin elemanları sıfıra eşittir (yukarıdan aşağıya hareket). Örneğin, bu türe:

Bunu yapmak için aşağıdaki adımları izleyin:

1) Lineer cebirsel denklemler sisteminin ilk denklemini ele alalım ve x 1'in katsayısı K'ye eşittir. İkinci, üçüncü, vb. denklemleri şu şekilde dönüştürürüz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenlerin katsayıları), her denklemdeki bilinmeyen x 1'in katsayısına böleriz ve K ile çarparız. Bundan sonra, birinciyi ikinci denklemden çıkarırız ( bilinmeyenlerin katsayıları ve serbest terimler). İkinci denklemde x 1 için 0 katsayısını elde ederiz. Dönüştürülen üçüncü denklemden, bilinmeyen x 1 için birinci dışındaki tüm denklemler 0 katsayısına sahip olana kadar birinci denklemi çıkarırız.

2) Bir sonraki denkleme geçelim. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'nin katsayısı M'ye eşit olsun. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda anlatıldığı gibi devam ediyoruz. Böylece bilinmeyen x 2'nin “altında” tüm denklemlerde sıfırlar olacaktır.

3) Bir sonraki denkleme geçin ve son bir bilinmeyene ve dönüştürülmüş serbest terim kalana kadar devam edin.

1. Gauss yönteminin “tersine hareketi”, doğrusal cebirsel denklemler sistemine (“aşağıdan yukarıya” hareket) bir çözüm elde etmektir. Son “alt” denklemden bir birinci çözüm elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunun için karar veriyoruz temel denklem A*x n = B. Yukarıdaki örnekte x 3 = 4. Bulunan değeri “üst” değere yazın aşağıdaki denklem ve bir sonraki bilinmeyene göre çözelim. Örneğin x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. Tüm bilinmeyenleri bulana kadar böyle devam ederiz.

Örnek.

Bazı yazarların önerdiği gibi, doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözelim:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yapalım:
1 adım . İlk satıra ikinci satırı –1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak –1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik ama ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir işlem yapabilir: İlk satırı -1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

Adım 2 . İlk satır 5 ile çarpılarak ikinci satıra eklendi. İlk satır 3 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi.

Aşama 3 . İlk satır -1 ile çarpıldı, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.

4. Adım . Üçüncü satır, ikinci satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

Adım 5 . Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren bir işaret (daha nadiren bir yazım hatası) "kötü" bir sonuçtur. Yani, aşağıda (0 0 11 |23) gibi bir şey bulursak ve buna göre 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, o zaman büyük bir pay olasılık, temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığı iddia edilebilir.

Bunun tersini yapalım; örneklerin tasarımında sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınır." Size hatırlatırım, ters hareket aşağıdan yukarıya doğru çalışır. İÇİNDE bu örnekte bir hediye olduğu ortaya çıktı:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolayısıyla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Cevap:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Aynı sistemi önerilen algoritmayı kullanarak çözelim. Aldık

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci denklemi 5'e, üçüncüsünü ise 3'e bölersek şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarparsak şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarırsak:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

İkinciyi üçüncü denklemden çıkararak "adımlı" bir genişletilmiş matris elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Böylece hesaplamalar sırasında oluşan hata nedeniyle x 3 = 0,96 yani yaklaşık 1 elde ederiz.

x 2 = 3 ve x 1 = –1.

Bu şekilde çözdüğünüzde hesaplamalarda hiçbir zaman kafanız karışmaz ve hesaplama hatalarına rağmen sonuca ulaşırsınız.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmenin bu yönteminin programlanması kolaydır ve dikkate alınmaz. spesifik özellikler bilinmeyenler için katsayılar, çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tam sayı olmayan katsayılarla uğraşmak gerekir.

Sana başarılar diliyorum! Sınıfta görüşürüz! Öğretmen Dmitry Aystrakhanov.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Tüm çözümlerinin kümesi çakışıyorsa, iki doğrusal denklem sistemine eşdeğer denir.

Temel dönüşümler denklem sistemleri şunlardır:

1. Önemsiz denklemlerin sistemden silinmesi, ör. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu durumlar;
2. Herhangi bir denklemin sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;
3. Herhangi bir i'inci denkleme herhangi bir j'inci denklemin herhangi bir sayıyla çarpılması.

Bir x i değişkenine, eğer bu değişkene izin verilmiyorsa ancak denklem sisteminin tamamına izin veriliyorsa serbest denir.

Teorem. Temel dönüşümler bir denklem sistemini eşdeğer bir sisteme dönüştürür.

Gauss yönteminin anlamı, orijinal denklem sistemini dönüştürerek eşdeğer çözümlü veya eşdeğer tutarsız bir sistem elde etmektir.

Yani Gauss yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. İlk denkleme bakalım. Sıfır olmayan ilk katsayıyı seçelim ve denklemin tamamını ona bölelim. Bazı x i değişkenlerinin 1 katsayısıyla girdiği bir denklem elde ediyoruz;
2. Bu denklemi diğerlerinden çıkaralım, öyle sayılarla çarpalım ki, geri kalan denklemlerdeki x i değişkeninin katsayıları sıfırlansın. Xi değişkenine göre çözümlenmiş ve orijinaline eşdeğer bir sistem elde ediyoruz;
3. Önemsiz denklemler ortaya çıkarsa (nadiren ama olur; örneğin 0 = 0), onları sistemden çıkarırız. Sonuç olarak, bir tane daha az denklem var;
4. Önceki adımları en fazla n kez tekrarlıyoruz; burada n, sistemdeki denklemlerin sayısıdır. Her seferinde “işleme” için yeni bir değişken seçiyoruz. Tutarsız denklemler ortaya çıkarsa (örneğin, 0 = 8), sistem tutarsızdır.

Sonuç olarak, birkaç adımdan sonra ya çözümlenmiş bir sistem (muhtemelen serbest değişkenlerle) ya da tutarsız bir sistem elde edeceğiz. İzin verilen sistemler iki duruma ayrılır:

1. Değişken sayısı denklem sayısına eşittir. Bu, sistemin tanımlandığı anlamına gelir;
2. Değişken sayısı denklem sayısından fazladır. Tüm serbest değişkenleri sağ tarafta topluyoruz - izin verilen değişkenler için formüller alıyoruz. Bu formüller cevapta yazılmıştır.

Bu kadar! Doğrusal denklem sistemi çözüldü! Bu oldukça basit bir algoritmadır ve bu konuda uzmanlaşmak için daha yüksek bir matematik öğretmeniyle iletişime geçmenize gerek yoktur. Bir örneğe bakalım:

Görev. Denklem sistemini çözün:

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi ikinci ve üçüncüden çıkarın - izin verilen x 1 değişkenini elde ederiz;
2. İkinci denklemi (−1) ile çarpıyoruz ve üçüncü denklemi (−3)'e bölüyoruz - x 2 değişkeninin 1 katsayısıyla girdiği iki denklem elde ediyoruz;
3. İkinci denklemi birinciye ekleriz ve üçüncüden çıkarırız. İzin verilen x 2 değişkenini elde ederiz;
4. Son olarak üçüncü denklemi birinciden çıkarırız - izin verilen x 3 değişkenini elde ederiz;
5. Onaylı bir sistem aldık, yanıtı yazın.

Eşzamanlı doğrusal denklem sisteminin genel çözümü: yeni sistem, izin verilen tüm değişkenlerin serbest değişkenler cinsinden ifade edildiği orijinaline eşdeğerdir.

Ne zaman ihtiyacın olabilir? ortak karar? Eğer k'den daha az adım atmanız gerekiyorsa (k, kaç tane denklemin olduğudur). Ancak sürecin herhangi bir adımda bitmesinin nedenleri< k , может быть две:

1. I. adımdan sonra (l+1) numaralı denklem içermeyen bir sistem elde ettik. Aslında bu iyi bir şey çünkü... Yetkili sistem, birkaç adım önceden bile olsa hâlâ elde ediliyor.
2. I. adımdan sonra değişkenlerin tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu, serbest katsayının ise sıfırdan farklı olduğu bir denklem elde ettik. Bu çelişkili bir denklemdir ve dolayısıyla sistem tutarsızdır.

Gauss yöntemi kullanılarak tutarsız bir denklemin ortaya çıkmasının tutarsızlık için yeterli bir temel olduğunun anlaşılması önemlidir. Aynı zamanda, 1. adımın sonucunda hiçbir önemsiz denklemin kalamayacağını, süreç içinde hepsinin üzerinin çizildiğini not ediyoruz.

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi 4 ile çarparak ikinciden çıkarın. Ayrıca ilk denklemi üçüncüye ekliyoruz - izin verilen x 1 değişkenini elde ediyoruz;
2. 2 ile çarpılan üçüncü denklemi ikinciden çıkarın - çelişkili denklem 0 = −5'i elde ederiz.

Yani sistem tutarsızdır çünkü tutarsız bir denklem keşfedilmiştir.

Görev. Uyumluluğu keşfedin ve sisteme genel bir çözüm bulun:

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi ikinciden (iki ile çarptıktan sonra) ve üçüncüsünden çıkarırız - izin verilen x 1 değişkenini elde ederiz;
2. İkinci denklemi üçüncüden çıkarın. Bu denklemlerdeki katsayıların tümü aynı olduğundan üçüncü denklem önemsiz hale gelecektir. Aynı zamanda ikinci denklemi (−1) ile çarpın;
3. İkinciyi ilk denklemden çıkarın - izin verilen x 2 değişkenini elde ederiz. Artık tüm denklem sistemi de çözülmüştür;
4. x 3 ve x 4 değişkenleri serbest olduğundan izin verilen değişkenleri ifade etmek için onları sağa kaydırıyoruz. Cevap bu.

Dolayısıyla, izin verilen iki değişken (x 1 ve x 2) ve iki serbest değişken (x 3 ve x 4) olduğundan sistem tutarlı ve belirsizdir.

Bu makalede yöntem, doğrusal denklem sistemlerinin (SLAE'ler) çözümüne yönelik bir yöntem olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani bir çözüm algoritması yazmanıza olanak tanır. Genel görünüm ve ardından buradaki belirli örneklerden değerleri değiştirin. Matris yönteminden veya Cramer formüllerinden farklı olarak, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Veya hiç sahip değiller.

Gauss yöntemini kullanarak çözmek ne anlama geliyor?

Öncelikle denklem sistemimizi yazmamız gerekiyor. Şöyle görünüyor. Sistemi ele alalım:

Katsayılar tablo halinde, serbest terimler ise sağ tarafta ayrı bir sütuna yazılır. Serbest terimlerin bulunduğu sütun kolaylık sağlamak için ayrılmıştır. Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Daha sonra katsayıları olan ana matrisin en üste getirilmesi gerekiyor üçgen şekli. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris, sol alt kısmı yalnızca sıfır içerecek şekilde görünmelidir:

O zaman yazarsak yeni matris yine bir denklem sistemi olarak şunu fark edebiliriz: son satır zaten köklerden birinin değerini içeriyor, bu daha sonra yukarıdaki denklemde ikame ediliyor, başka bir kök bulunuyor ve bu şekilde devam ediyor.

Bu, Gauss yöntemiyle çözümün çoğu durumda bir açıklamasıdır. Genel taslak. Aniden sistemin çözümü kalmazsa ne olur? Yoksa bunlardan sonsuz sayıda mı var? Bunları ve diğer birçok soruyu yanıtlamak için Gauss yöntemini çözmede kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Hiçbiri gizli anlam matriste değil. Basit uygun yol onlarla sonraki işlemler için verilerin kaydedilmesi. Okul çocuklarının bile onlardan korkmasına gerek yok.

Matris her zaman dikdörtgendir çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen formlu bir matris oluşturmaya geldiği Gauss yönteminde bile, girişte yalnızca sayıların olmadığı yerde sıfırlarla bir dikdörtgen belirir. Sıfırlar yazılmamış olabilir ancak ima edilmiştir.

Matrisin bir boyutu vardır. “Genişliği” satır sayısıdır (m), “uzunluk” sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (büyük harfler genellikle bunları belirtmek için kullanılır) edebiyat) A m×n olarak gösterilecektir. Eğer m=n ise bu matris karedir ve m=n onun mertebesidir. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun numaralarıyla gösterilebilir: a xy; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.

B kararın ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve kafanın karışması çok daha kolay olacaktır.

Belirleyici

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli karakteristik. Artık anlamını bulmaya gerek yok; basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerdir. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinde bulunan öğeler çarpılır ve ardından ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - artı işaretli, sola eğimli köşegenler - eksi işaretli.

Determinantın yalnızca kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. İçin dikdörtgen matrisşunu yapabilirsiniz: satır sayısından ve sütun sayısından en küçüğünü seçin (k olsun) ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rastgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişiminde yer alan elemanlar yeni bir yapı oluşturacaktır. Kare matris. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise buna orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü denir.

Gauss yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözmeye başlamadan önce determinantı hesaplamanın zararı olmaz. Eğer sıfır çıkarsa, o zaman matrisin ya sonsuz sayıda çözümü olduğunu ya da hiç çözümü olmadığını hemen söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda daha ileri gitmeniz ve matrisin rütbesini öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rütbesi diye bir şey vardır. Bu, sıfır olmayan determinantının maksimum sırasıdır (temel küçükleri hatırlarsak, bir matrisin rütbesinin temel küçüklerin sırası olduğunu söyleyebiliriz).

Dereceli duruma bağlı olarak SLAE şu şekilde ayrılabilir:

• Eklem yeri. sen Ortak sistemlerde, ana matrisin sıralaması (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş matrisin sıralamasıyla (bir serbest terimler sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir çözüm olması gerekmez, dolayısıyla ek olarak ortak sistemler bölündü:
• - kesin- tek bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde matrisin sırası ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütun sayısı) eşittir;
• - Tanımsız - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemlerde matrislerin sıralaması bilinmeyenlerin sayısından azdır.
• Uyumsuz. sen Bu tür sistemlerde ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.

Gauss yöntemi iyidir çünkü çözüm sırasında ya sistemin tutarsızlığının kesin bir kanıtını (büyük matrislerin determinantlarını hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel formda bir çözüm elde etmeyi sağlar.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemi çözmeye geçmeden önce, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel dönüşümler yoluyla gerçekleştirilir; böylece bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Verilen temel dönüşümlerden bazılarının yalnızca SLAE'nin kaynak olarak hizmet ettiği matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

1. Dizelerin yeniden düzenlenmesi. Açıkçası sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirmeniz çözümü hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Sonuç olarak, bu sistemin matrisinde serbest terimler sütununu da unutmadan satırları değiştirmek de mümkündür.
2. Bir dizenin tüm elemanlarının belirli bir katsayı ile çarpılması. Çok yararlı! Kısaltmak için kullanılabilir büyük sayılar matriste veya sıfırları kaldırın. Çoğu karar, her zamanki gibi değişmeyecek, ancak daha sonraki operasyonlar daha uygun hale gelecektir. Önemli olan, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
3. Orantılı çarpanlara sahip satırların kaldırılması. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Bir matristeki iki veya daha fazla satırın orantısal katsayıları varsa, satırlardan biri orantı katsayısıyla çarpıldığında/bölüldüğünde, iki (veya yine daha fazla) tamamen aynı satır elde edilir ve fazla olanlar kaldırılabilir. sadece bir.
4. Boş bir satırın kaldırılması. Dönüşüm sırasında, serbest terim dahil tüm elemanların sıfır olduğu bir yerde bir satır elde edilirse, böyle bir satıra sıfır denilebilir ve matrisin dışına atılabilir.
5. Bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi, belirli bir katsayı ile çarpılması. Tüm dönüşümlerin en bariz ve en önemlisi. Üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.

Bir faktörle çarpılmış bir dize ekleme

Anlaşılma kolaylığı açısından bu süreci adım adım özetlemeye değer. Matristen iki satır alınır:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

Diyelim ki birinciyi ikinciye "-2" katsayısıyla çarpmanız gerekiyor.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Daha sonra matristeki ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Çarpma katsayısının, iki satırın eklenmesi sonucunda yeni satırın elemanlarından birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Dolayısıyla bilinmeyenin az olacağı bir sistemde denklem elde etmek mümkündür. Ve eğer böyle iki denklem elde ederseniz, işlem tekrar yapılabilir ve iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalin altındaki tüm satırların bir katsayısını her sıfıra çevirdiğinizde, merdivenler gibi matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmek denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. M denklemi ve n bilinmeyen kökü var. Bunu aşağıdaki gibi yazabilirsiniz:

Ana matris sistem katsayılarından derlenmiştir. Genişletilmiş matrise serbest terimlerden oluşan bir sütun eklenir ve kolaylık olması açısından bir çizgiyle ayrılır.

• matrisin ilk satırı k = (-a 21 /a 11) katsayısı ile çarpılır;
• matrisin değiştirilen ilk satırı ile ikinci satırı eklenir;
• ikinci satır yerine önceki paragraftaki eklemenin sonucu matrise eklenir;
• şimdi ilk katsayı yeni ikinci doğru 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm dizisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü sıralar söz konusudur. Buna göre algoritmanın her adımında a (21) elemanının yerini 31 alır. Sonra her şey 41, ... m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfır olduğu bir matristir. Artık birinci satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamanız gerekiyor:

• katsayısı k = (-a 32 /a 22);
• değiştirilen ikinci satır “geçerli” satıra eklenir;
• toplamanın sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlara aktarılır, birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
• matrisin satırlarında ilk iki öğe zaten sıfıra eşittir.

Algoritma k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu şu anlama gelir: son kez Algoritma yalnızca alt denklem için gerçekleştirildi. Artık matris bir üçgene benziyor veya basamaklı bir şekle sahip. Sonuç olarak a mn × x n = b m eşitliği vardır. Katsayı ve serbest terim bilinmektedir ve kök bunlarla ifade edilir: x n = b m /a mn. Ortaya çıkan kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst satıra yerleştirilir. Ve benzetme yoluyla böyle devam eder: sonraki her satırda yeni kök ve sistemin "tepesine" ulaşıldığında birçok çözüm bulunabilir. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde serbest terim dışındaki tüm elemanlar sıfıra eşitse bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Sonsuz sayıda çözüm olduğunda

Verilen üçgen matriste denklemin bir eleman katsayısına sahip satırların bulunmaması ve bir - Ücretsiz Üye. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen çizgiler vardır. Bu, sistemin sahip olduğu anlamına gelir sonsuz sayı kararlar. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel olanlar, adım matrisindeki satırların "kenarında" duranlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest değişkenler üzerinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak tek bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, o bir tarafta kalır ve geri kalan her şey diğer tarafa aktarılır. Bu, bir temel değişkene sahip her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkün olduğunca temel değişken yerine kendisi için elde edilen ifade değiştirilir. Sonuç yine tek bir temel değişken içeren bir ifade ise, buradan tekrar ifade edilir ve her temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu şekilde devam eder. Bu SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Verilebilecek sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Spesifik örneklerle çözüm

Burada bir denklem sistemi var.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemiyle çözüldüğünde ilk satıra karşılık gelen denklemin dönüşümler sonunda değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst elemanının en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk elemanları sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinci satırı birincinin yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Şimdi kafanızın karışmaması için matrisi şununla yazmanız gerekir: ara sonuçlar dönüşümler.

Açıkçası, böyle bir matris belirli işlemler kullanılarak algılama için daha uygun hale getirilebilir. Örneğin, her bir öğeyi “-1” ile çarparak ikinci satırdaki tüm “eksileri” kaldırabilirsiniz.

Ayrıca üçüncü satırdaki tüm elemanların üçün katı olduğunu da belirtmekte fayda var. Daha sonra dizeyi bu sayı kadar kısaltabilirsiniz, her öğeyi "-1/3" ile çarpabilirsiniz (eksi - aynı zamanda, kaldırmak için) negatif değerler).

Çok daha güzel görünüyor. Artık birinci satırı bırakıp ikinci ve üçüncü satırlarla çalışmamız gerekiyor. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, a 32 öğesinin sıfıra eşit olmasını sağlayacak bir katsayıyla çarpmaktır.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (bazı dönüşümler sırasında yanıtın bir tam sayı olmadığı ortaya çıkarsa, hesaplamaların doğruluğunun korunması önerilir. "olduğu gibi", formda ortak kesir ve ancak o zaman, cevaplar alındığında, yuvarlayıp başka bir kayıt biçimine dönüştürüp dönüştürmemeye karar verin)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matris yeni değerlerle yeniden yazılır.

Gördüğünüz gibi elde edilen matris zaten var. kademeli görünüm. Bu nedenle sistemin Gauss yöntemi kullanılarak daha fazla dönüştürülmesine gerek yoktur. Burada yapılabilecek şey üçüncü satırdan çıkarmaktır. genel katsayı "-1/7".

Şimdi her şey çok güzel. Geriye kalan tek şey matrisi tekrar denklem sistemi şeklinde yazıp kökleri hesaplamak

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Artık köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket adı verilmektedir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmamızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sistemi ortak, hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olarak adlandırma hakkımız var. Cevap aşağıdaki biçimde yazılmıştır:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Belirsiz bir sisteme bir örnek

Belirli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmenin çeşidi analiz edildi; şimdi sistemin belirsiz olup olmadığı, yani bunun için sonsuz sayıda çözümün bulunabileceği durumu dikkate almak gerekir.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sistemin görünümü zaten endişe verici çünkü bilinmeyenlerin sayısı n = 5 ve sistem matrisinin sıralaması zaten kesinlikle bu sayıdan az çünkü satır sayısı m = 4, yani en yüksek derece kare determinantı 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve bunun genel biçimini aramamız gerektiği anlamına gelir. Doğrusal denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmanıza olanak sağlar.

İlk olarak, her zamanki gibi genişletilmiş bir matris derlenir.

İkinci satır: k katsayısı = (-a 21 /a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk element dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarıyla çarparak ve gerekli satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı unsurlardan oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, yani bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalan "-1" katsayısı ile çarpılarak 3 numaralı satırı elde edilebilir. Ve yine iki özdeş satırdan bir tane bırakın.

Sonuç bunun gibi bir matristir. Sistem henüz yazıya geçirilmemiş olsa da, burada temel değişkenleri (a 11 = 1 ve a 22 = 1 katsayılarında duranlar ve serbest olanlar) belirlemek gerekiyor.

İkinci denklemde yalnızca bir temel değişken vardır - x 2. Bu, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla oradan yazılarak ifade edilebileceği anlamına gelir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde yerine koyarız.

Sonuç, tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklemdir. X 2 ile yaptığımızın aynısını onunla da yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişkenle ifade edilir; artık cevabı genel biçimde yazabiliriz.

Ayrıca sistemin belirli çözümlerinden birini de belirleyebilirsiniz. Bu gibi durumlarda serbest değişkenlerin değeri olarak genellikle sıfırlar seçilir. O zaman cevap şu olacaktır:

16, 23, 0, 0, 0.

İşbirlikçi olmayan bir sisteme bir örnek

Çözüm uyumsuz sistemler Gauss yöntemine göre denklemler - en hızlısı. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez hemen sona erer. Yani oldukça uzun ve meşakkatli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkmaktadır. Aşağıdaki sistem dikkate alınır:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi matris derlendi:

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

İlk dönüşümden sonra üçüncü satır şu şekilde bir denklem içerir:

bir çözüm olmadan. Sonuç olarak sistem tutarsızdır ve cevap boş kümedir.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'leri kağıt üzerinde kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede tartışılan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde kafanızın karışması, bir determinantı veya bazı zor ters matrisleri manuel olarak aramanız gerektiğinden çok daha zordur. Ancak, örneğin bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanıyorsanız, elektronik tablolar, o zaman bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini (determinant, küçükler, ters vb.) hesaplamak için algoritmalar içerdiği ortaya çıktı. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmanız daha tavsiye edilir, çünkü bunların kullanımı determinantların hesaplanmasıyla başlar ve biter ve ters matrisler.

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir rehber olarak konumlandırdığı için, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine matris biçiminde bir tabloya girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak değerlendirilecektir. Ve onlarla işlemler için pek çok güzel komut var: toplama (yalnızca matrisler ekleyebilirsiniz) aynı boyutlar!), bir sayıyla çarpma, matris çarpımı (aynı zamanda belirli kısıtlamalar), ters ve transpoze matrisleri bulmak ve en önemlisi determinantı hesaplamak. Zaman alan bu görevin yerine tek bir komut konulursa, matrisin sıralamasının çok daha hızlı belirlenmesi ve dolayısıyla uyumluluğunun veya uyumsuzluğunun tespit edilmesi mümkün olur.